2019-2023年物理高考真题分类练--专题九 静电场（有解析）
文档属性
| 名称 | 2019-2023年物理高考真题分类练--专题九 静电场（有解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 2.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 物理 | ||
| 更新时间 | 2024-04-27 13:11:45 | ||
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文档简介
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2019-2023年物理高考真题分类
专题九 静电场
电场力与能的性质
题组一
1. [2023全国甲，6分]在一些电子显示设备中，让阴极发射的电子束通过适当的非匀强电场，可以使发散的电子束聚集.下列4幅图中带箭头的实线表示电场线，如果用虚线表示电子可能的运动轨迹，其中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
2. [2023海南，4分，多选]如图所示，正三角形三个顶点固定三个带等量电荷的点电荷，其中 、 带正电， 带负电， 、 、 为 边的四等分点，下列说法正确的是( )
A. 、 两点的电场强度相同
B. 、 两点的电势相同
C. 负电荷在 点的电势能比在 点时要小
D. 负电荷在 点的电势能比在 点时要大
3. [2023全国乙，6分，多选]在 点处固定一个正点电荷， 点在 点右上方.从 点由静止释放一个带负电的小球，小球仅在重力和该点电荷电场力作用下在竖直面内运动，其一段轨迹如图所示. 、 是轨迹上的两点， ， ,则小球( )
A. 在运动过程中，电势能先增加后减少
B. 在 点的电势能大于在 点的电势能
C. 在 点的机械能等于在 点的机械能
D. 从 点运动到 点的过程中，电场力始终不做功
4. [2022海南，4分，多选]某带电体周围的电场线和等势面如图所示，图中 、 两点的电场强度大小分别为 、 ，电势分别为 、 ，则( )
A. B. C. D.
5. [2022福建，4分]平时我们所处的地球表面，实际上存在场强大小为 的电场，可将其视为匀强电场，在地面立一金属杆后空间中的等势面如图所示.空间中存在 、 、 三点，其中 点位于金属杆正上方， 、 等高.则下列说法正确的是( )
A. 、 两点的电势差 B. 点场强大小大于
C. 点场强方向水平向右 D. 点的电势低于 点
6. [2022湖南，4分]如图，四根完全相同的均匀带正电绝缘长棒对称放置在长方体的四条长边 、 、 、 上.移去 处的绝缘棒，假定另外三根绝缘棒电荷分布不变.关于长方体几何中心 点处电场强度方向和电势的变化，下列说法正确的是( )
A.电场强度方向垂直指向 ，电势减小
B. 电场强度方向垂直指向 ，电势减小
C. 电场强度方向垂直指向 ，电势增大
D. 电场强度方向垂直指向 ，电势增大
7. [2021湖北，4分，多选]关于电场，下列说法正确的是( )
A. 电场是物质存在的一种形式
B. 电场力一定对正电荷做正功
C. 电场线是实际存在的线，反映电场强度的大小和方向
D. 静电场的电场线总是与等势面垂直，且从电势高的等势面指向电势低的等势面
8. [2021浙江6月选考，3分]某书中有如图所示的图，用来表示横截面是“ ”形导体右侧的电场线和等势面，其中 、 是同一条实线上的两点， 是另一条实线上的一点， 是导体尖角右侧表面附近的一点.下列说法正确的是( )
A. 实线表示电场线
B. 离 点最近的导体表面电荷密度最大
C. “ ”形导体右侧表面附近电场强度方向均相同
D. 电荷从 点到 点再到 点电场力做功一定为零
9. [2021海南，4分，多选]如图，在匀强电场中有一虚线圆， 和 是圆的两条直径，其中 与电场方向的夹角为 ， ， 与电场方向平行， 、 两点间的电势差 .则( )
A. 电场强度的大小
B. 点的电势比 点的低
C. 将电子从 点移到 点，电场力做正功
D. 电子在 点的电势能大于在 点的电势能
10. [2021湖南，4分]如图，在 位置放置电荷量为 的正点电荷，在 位置放置电荷量为 的负点电荷，在距 为 的某点处放置正点电荷 ，使得 点的电场强度为零.则 的位置及电荷量分别为( )
A. , B. , C. , D. ,
11. [2021湖北，4分，多选]如图所示，一匀强电场 大小未知、方向水平向右.两根长度均为 的绝缘轻绳分别将小球 和 悬挂在电场中，悬点均为 .两小球质量均为 、带等量异号电荷，电荷量大小均为 .平衡时两轻绳与竖直方向的夹角均为 .若仅将两小球的电荷量同时变为原来的2倍，两小球仍在原位置平衡.已知静电力常量为 ，重力加速度大小为 ，下列说法正确的是( )
A. 带正电荷 B. 带正电荷 C. D.
12. （2020全国Ⅱ，6分，多选）如图，竖直面内一绝缘细圆环的上、下半圆分别均匀分布着等量异种电荷. 、 为圆环水平直径上的两个点， 、 为竖直直径上的两个点，它们与圆心的距离均相等.则( )
A. 、 两点的场强相等 B. 、 两点的电势相等
C. 、 两点的场强相等 D. 、 两点的电势相等
题组二
1. [2023湖南，4分]如图，真空中有三个点电荷固定在同一直线上，电荷量分别为 、 和 ， 点和三个点电荷的连线与点电荷所在直线的夹角分别为 、 和 .若 点处的电场强度为零， ,则三个点电荷的电荷量可能为( )
A. , , B. , ,
C. , , D. , ,
2. [2023辽宁，6分，多选]图 （a）为金属四极杆带电粒子质量分析器的局部结构示意图，图 （b）为四极杆内垂直于 轴的任意截面内的等势面分布图，相邻两等势面间电势差相等，则( )
图（a）
图（b）
A. 点电势比 点的低 B. 点电场强度大小比 点的大
C. 点电场强度方向沿 轴正方向 D. 沿 轴运动的带电粒子，电势能不变
3. [2022湖北，4分]密立根油滴实验装置如图所示，两块水平放置的金属板分别与电源的正负极相接，板间产生匀强电场.用一个喷雾器把密度相同的许多油滴从上板中间的小孔喷入电场，油滴从喷口喷出时由于摩擦而带电.金属板间电势差为 时，电荷量为 、半径为 的球状油滴在板间保持静止.若仅将金属板间电势差调整为 ，则在板间能保持静止的球状油滴所带电荷量和半径可以为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
4. [2022重庆，5分，多选]如图为两点电荷 、 的电场等势面分布示意图， 、 位于 轴上，相邻等势面间的电势差为 .若 轴上的 点和 点位于 等势面上， 为某等势面上一点，则( )
A. 点的电场强度大小比 点的大 B. 为正电荷
C. 点的电场方向沿 轴负方向 D. 点与 点的电势差为
5. [2022全国乙，6分，多选]如图，两对等量异号点电荷 、 固定于正方形的4个顶点上. 、 是该正方形两条对角线与其内切圆的交点， 为内切圆的圆心， 为切点.则( )
A. 和 两点处的电场方向相互垂直
B. 点的电场方向平行于该点处的切线，方向向左
C. 将一带正电的点电荷从 点移动到 点，电场力做正功
D. 将一带正电的点电荷从 点移动到 点，电场力做功为零
6. [2022山东，3分]半径为 的绝缘细圆环固定在图示位置，圆心位于 点，环上均匀分布着电荷量为 的正电荷.点 、 、 将圆环三等分，取走 、 处两段弧长均为 的小圆弧上的电荷.将一点电荷 置于 延长线上距 点为 的 点， 点的电场强度刚好为零.圆环上剩余电荷分布不变， 为( )
A. 正电荷， B. 正电荷，
C. 负电荷， D. 负电荷，
7. [2021河北，6分，多选]如图，四个电荷量均为 的点电荷分别放置于菱形的四个顶点，其坐标分别为 、 、 和 ，其中 轴上的两个点电荷位置固定， 轴上的两个点电荷可沿 轴对称移动 .下列说法正确的是( )
A. 除无穷远处之外，菱形外部电场强度处处不为零
B. 当 取某值时，可使得菱形内部只存在两个电场强度为零的点
C. 当 时，将一带负电的试探电荷由点 移至点 ，静电力做正功
D. 当 时,将一带负电的试探电荷放置在点 处，其所受到的静电力方向与 轴正方向成 倾斜向上
8. [2021天津，5分，多选]两个位于纸面内的点电荷产生电场的等势面如图中实线所示，相邻等势面间的电势差相等.虚线 是一个电子在该电场中的运动轨迹，轨迹与某等势面相切于 点.下列说法正确的是( )
A. 两点电荷可能是异种点电荷 B. 点的电场强度比 点的大
C. 点的电势高于 点的电势 D. 电子运动到 点时动能最小
9. [2020浙江1月选考，3分]如图所示，在倾角为 的光滑绝缘斜面上固定一个挡板，在挡板上连接一根劲度系数为 的绝缘轻质弹簧，弹簧另一端与 球连接. 、 、 三小球的质量均为 ， , ,当系统处于静止状态时，三小球等间距排列.已知静电力常量为 ，则( )
A. B. 弹簧伸长量为
C. 球受到的库仑力大小为 D. 相邻两小球间距为
10. （2020全国Ⅲ，6分，多选）如图， 是锐角三角形 最大的内角，电荷量为 的点电荷固定在 点.下列说法正确的是( )
A. 沿 边，从 点到 点，电场强度的大小逐渐增大
B. 沿 边，从 点到 点，电势先增大后减小
C. 正电荷在 点的电势能比其在 点的电势能大
D. 将正电荷从 点移动到 点，电场力所做的总功为负
题组三
一、选择题
1. [2023浙江6月选考，3分]某带电粒子转向器的横截面如图所示,转向器中有辐向电场.粒子从 点射入,沿着由半径分别为 和 的圆弧平滑连接成的虚线（等势线）运动,并从虚线上的 点射出,虚线处电场强度大小分别为 和 ,则 、 和 、 应满足( )
A. B. C. D.
2. [2022河北，4分]如图,真空中电荷量为 和 的两个点电荷分别位于 点与 点,形成一个以 延长线上 点为球心,电势为零的等势面（取无穷远处电势为零）, 为 连线上的一点, 为等势面与直线 的交点, 为等势面上一点,下列说法正确的是( )
A. 点电势低于 点电势
B. 点电场方向指向 点
C. 除无穷远处外,直线上还有两个电场强度为零的点
D. 将正试探电荷 从无穷远处移到 点,静电力做正功
3. [2022辽宁，6分，多选]如图所示，带电荷量为 的球1固定在倾角为 的光滑绝缘斜面上的 点，其正上方 处固定一带电荷量为 的球2，斜面上距 点 处的 点有质量为 的带电球3.球3与一端固定的绝缘轻质弹簧相连并在 点处于静止状态，此时弹簧的压缩量为 ，球2、3间的静电力大小为 .迅速移走球1后，球3沿斜面向下运动. 为重力加速度，球的大小可忽略，下列关于球3的说法正确的是( )
A. 带负电
B. 运动至 点的速度大小为
C. 运动至 点的加速度大小为
D. 运动至 中点时对斜面的压力大小为
4. [2022全国甲，6分，多选]地面上方某区域存在方向水平向右的匀强电场，将一带正电荷的小球自电场中 点水平向左射出.小球所受的重力和电场力的大小相等，重力势能和电势能的零点均取在 点.则射出后，( )
A. 小球的动能最小时，其电势能最大
B. 小球的动能等于初始动能时，其电势能最大
C. 小球速度的水平分量和竖直分量大小相等时，其动能最大
D. 从射出时刻到小球速度的水平分量为零时，重力做的功等于小球电势能的增加量
5. [2021广东，4分]如图所示是某种静电推进装置的原理图，发射极与吸极接在高压电源两端，两极间产生强电场，虚线为等差等势面.在强电场作用下，一带电液滴从发射极加速飞向吸极， 、 是其路径上的两点.不计液滴重力.下列说法正确的是( )
A. 点的电势比 点的低 B. 点的电场强度比 点的小
C. 液滴在 点的加速度比在 点的小 D. 液滴在 点的电势能比在 点的大
6. [2021全国乙，6分]如图（a）, 在一块很大的接地金属平板的上方固定一负电荷.由于静电感应，在金属平板上表面产生感应电荷，金属板上方电场的等势面如图（b）中虚线所示，相邻等势面间的电势差都相等.若将一正试探电荷先后放于 和 处，该试探电荷受到的电场力大小分别为 和 ，相应的电势能分别为 和 ,则( )
图(a)
图(b)
A. , B. ,
C. , D. ,
7. [2021全国甲，6分，多选]某电场的等势面如图所示，图中 、 、 、 、 为电场中的5个点，则( )
A. 一正电荷从 点运动到 点，电场力做正功
B. 一电子从 点运动到 点，电场力做功为
C. 点电场强度垂直于该点所在等势面，方向向右
D. 、 、 、 四个点中， 点的电场强度大小最大
8. [2021辽宁，4分]等量异号点电荷固定在水平向右的匀强电场中，电场分布如图所示，实线表示电场线，虚线表示等势线.将同一负电荷先后置于 、 两点，电势能分别为 和 ，电荷所受电场力大小分别为 和 ，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
9. [2021江苏，4分]一球面均匀带有正电荷，球内的电场强度处处为零，如图所示， 为球心， 、 为直径上的两点， ，现垂直于 将球面均分为左右两部分， 为截面上的一点，移去左半球面，右半球面所带电荷仍均匀分布，则( )
A. 、 两点电势相等 B. 点的电场强度大于 点
C. 沿直线从 到 电势先升高后降低 D. 沿直线从 到 电场强度逐渐增大
10. [2020山东，4分，多选]真空中有两个固定的带正电的点电荷，电荷量不相等.一个带负电的试探电荷置于二者连线上的 点时，仅在电场力的作用下恰好保持静止状态.过 点作两正电荷连线的垂线，以 点为圆心的圆与连线和垂线分别交于 、 和 、 ，如图所示.以下说法正确的是( )
A. 点电势低于 点
B. 点电势低于 点
C. 该试探电荷在 点的电势能大于在 点的电势能
D. 该试探电荷在 点的电势能小于在 点的电势能
11. [2020江苏，4分，多选]如图所示，绝缘轻杆的两端固定带有等量异号电荷的小球（不计重力）.开始时，两小球分别静止在 、 位置.现外加一匀强电场 ，在静电力作用下，小球绕轻杆中点 转到水平位置.取 点的电势为0.下列说法正确的有( )
A. 电场 中 点电势低于 点 B. 转动中两小球的电势能始终相等
C. 该过程静电力对两小球均做负功 D. 该过程两小球的总电势能增加
二、非选择题
12. [2022上海，4分]水平面上有一带电荷量为 的均匀带电圆环，圆心为 .其中央轴线上距离 点为 的位置处有一带电荷量为 的点电荷.若点电荷受到的电场力为 ,则 （ 为静电力常量，选填“ ”“ ”或“ ”）.静电力常量 的单位可表示
为 （用“ 单位制”中的基本单位表示）.
电容器及带电体在电场中的动力学问题
题组四
一、选择题
1. [2023海南，3分]如图所示，一光滑绝缘轨道水平放置，直径上有 、 两点， , ，在 、 两点固定两个带电荷量分别为 、 的正电荷，现有一个带正电的小球静置于轨道内侧 点（小球可视为点电荷），已知 ，则 是( )
A. B. C. D.
2. [2023浙江6月选考，3分] 、 两块正对的平行金属板与水平面成 角固定,竖直截面如图所示.两板间距 ,电荷量为 、质量为 的小球用长为 的绝缘细线悬挂于 点.闭合开关 ,小球静止时,细线与 板夹角为 ;剪断细线,小球运动到 板上的 点（未标出），则( )
A. 距离为 B. 电势能增加了
C. 电场强度大小为 D. 减小 的阻值, 的距离将变大
3. [2022重庆，4分]如图为某同学采用平行板电容器测量材料竖直方向尺度随温度变化的装置示意图，电容器上极板固定，下极板可随材料尺度的变化上下移动，两极板间电压不变.若材料温度降低时，极板上所带电荷量变少，则( )
A. 材料竖直方向尺度减小 B. 极板间电场强度不变
C. 极板间电场强度变大 D. 电容器电容变大
二、非选择题
4. [2023全国乙，12分]如图，等边 位于竖直平面内, 边水平,顶点 在 边上方,3个点电荷分别固定在三角形的三个顶点上.已知 边中点 处的电场强度方向竖直向下， 边中点 处的电场强度方向竖直向上， 点处点电荷的电荷量的绝对值为 ，求
（1） 点处点电荷的电荷量的绝对值并判断3个点电荷的正负；
（2） 点处点电荷的电荷量.
5. [2022北京，9分]如图所示，真空中平行金属板 、 之间距离为 ,两板所加的电压为 .一质量为 、电荷量为 的带正电粒子从 板由静止释放.不计带电粒子的重力.
（1）求带电粒子所受的静电力的大小 ;
（2）求带电粒子到达 板时的速度大小 ;
（3）若在带电粒子运动 距离时撤去所加电压，求该粒子从 板运动到 板经历的时间 .
6. [2019天津，20分]2018年,人类历史上第一架由离子引擎推动的飞机诞生,这种引擎不需要燃料,也无污染物排放.引擎获得推力的原理如图所示,进入电离室的气体被电离成正离子,而后飘入电极 、 之间的匀强电场（初速度忽略不计）, 、 间电压为 ,使正离子加速形成离子束,在加速过程中引擎获得恒定的推力.单位时间内飘入的正离子数目为定值,离子质量为 ,电荷量为 ,其中 是正整数, 是元电荷.
（1）若引擎获得的推力为 ,求单位时间内飘入 、 间的正离子数目 为多少;
（2）加速正离子束所消耗的功率 不同时,引擎获得的推力 也不同,试推导 的表达式;
（3）为提高能量的转换效率,要使 尽量大,请提出增大 的三条建议.
题组五
一、选择题
1. [2023海南，3分]如图所示电路，已知电源电动势为 ，内阻不计，电容器电容为 ，闭合开关 ，待电路稳定后，电容器上的电荷量为( )
A. B. C. D.
2. [2023湖北，4分，多选]一带正电微粒从静止开始经电压 加速后，射入水平放置的平行板电容器，极板间电压为 .微粒射入时紧靠下极板边缘，速度方向与极板夹角为 ，微粒运动轨迹的最高点到极板左右两端的水平距离分别为 和 ，到两极板距离均为 ，如图所示.忽略边缘效应，不计重力.下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 微粒穿过电容器区域的偏转角度的正切值为2
D. 仅改变微粒的质量或者电荷数量，微粒在电容器中的运动轨迹不变
3. [2022北京，3分]利用如图所示电路观察电容器的充、放电现象，其中 为电源， 为定值电阻， 为电容器，为电流表，为电压表.下列说法正确的是( )
A. 充电过程中，电流表的示数逐渐增大后趋于稳定
B. 充电过程中，电压表的示数迅速增大后趋于稳定
C. 放电过程中，电流表的示数均匀减小至零
D. 放电过程中，电压表的示数均匀减小至零
4. [2021山东，3分]如图甲所示，边长为 的正方形，四个顶点上分别固定一个电荷量为 的点电荷；在 区间， 轴上电势 的变化曲线如图乙所示.现将一电荷量为 的点电荷 置于正方形的中心 点，此时每个点电荷所受库仑力的合力均为零.若将 沿 轴向右略微移动后，由静止释放，以下判断正确的是( )
图甲
图乙
A. ，释放后 将向右运动 B. ，释放后 将向左运动
C. ，释放后 将向右运动 D. ，释放后 将向左运动
5. [2021全国乙，6分，多选]四个带电粒子的电荷量和质量分别为 、 、 、 ,它们先后以相同的速度从坐标原点沿 轴正方向射入一匀强电场中，电场方向与 轴平行.不计重力.下列描绘这四个粒子运动轨迹的图像中，可能正确的是( )
A. B. C. D.
二、非选择题
6. [2022辽宁，12分]如图所示，光滑水平面 和竖直面内的光滑 圆弧导轨 在 点平滑连接，导轨半径为 .质量为 的带正电小球将轻质弹簧压缩至 点后由静止释放，脱离弹簧后经过 点时的速度大小为 ，之后沿导轨 运动.以 为坐标原点建立直角坐标系 ，在 区域有方向与 轴夹角为 的匀强电场，进入电场后小球受到的电场力大小为 .小球在运动过程中电荷量保持不变，重力加速度为 .求:
（1）弹簧压缩至 点时的弹性势能；
（2）小球经过 点时的速度大小；
（3）小球过 点后运动的轨迹方程.
7. （2020全国Ⅰ，20分）在一柱形区域内有匀强电场，柱的横截面是以 为圆心、半径为 的圆， 为圆的直径，如图所示.质量为 ，电荷量为 的带电粒子在纸面内自 点先后以不同的速度进入电场，速度方向与电场的方向垂直.已知刚进入电场时速度为零的粒子，自圆周上的 点以速率 穿出电场， 与 的夹角 .运动中粒子仅受电场力作用.
（1）求电场强度的大小；
（2）为使粒子穿过电场后的动能增量最大，该粒子进入电场时的速度应为多大？
（3）为使粒子穿过电场前后动量变化量的大小为 ，该粒子进入电场时的速度应为多大
题组六
一、选择题
1. [2022江苏，4分]如图所示，正方形 的四个顶点各固定一个带正电的点电荷，电荷量相等， 点为正方形的中心.现将 点的电荷沿 的延长线向无穷远处移动，则( )
A. 在移动过程中， 点电场强度变小
B. 在移动过程中， 点的电荷所受静电力变大
C. 在移动过程中，移动的电荷所受静电力做负功
D. 当其移动到无穷远处， 点的电势高于 点
2. [2022福建，6分，多选]我国霍尔推进器技术世界领先，其简化的工作原理如图所示.放电通道两端电极间存在一加速电场，该区域内有一与电场近似垂直的约束磁场（未画出）用于提高工作物质被电离的比例.工作时，工作物质氙气进入放电通道后被电离为氙离子，再经电场加速喷出，形成推力.某次测试中，氙气被电离的比例为 ，氙离子喷射速度为 ，推进器产生的推力为 .已知氙离子的比荷为 ；计算时，取氙离子的初速度为零，忽略磁场对离子的作用力及粒子之间的相互作用，则( )
A. 氙离子的加速电压约为
B. 氙离子的加速电压约为
C. 氙离子向外喷射形成的电流约为
D. 每秒进入放电通道的氙气质量约为
3. [2019江苏，3分]一匀强电场的方向竖直向上. 时刻，一带电粒子以一定初速度水平射入该电场，电场力对粒子做功的功率为 ，不计粒子重力，则 关系图像是( )
A. B.
C. D.
二、非选择题
4. [2023新课标理综，14分]密立根油滴实验的示意图如图所示.两水平金属平板上下放置，间距固定，可从上板中央的小孔向两板间喷入大小不同、带电量不同、密度相同的小油滴.两板间不加电压时，油滴 、 在重力和空气阻力的作用下竖直向下匀速运动，速率分别为 、 ;两板间加上电压后（上板为正极），这两个油滴很快达到相同的速率 ，均竖直向下匀速运动.油滴可视为球形，所受空气阻力大小与油滴半径、运动速率成正比，比例系数视为常数.不计空气浮力和油滴间的相互作用.
（1）求油滴 和油滴 的质量之比；
（2）判断油滴 和油滴 所带电荷的正负，并求 、 所带电荷量的绝对值之比.
5. [2020天津，18分]多反射飞行时间质谱仪是一种测量离子质量的新型实验仪器，其基本原理如图所示，从离子源 处飘出的离子初速度不计，经电压为 的匀强电场加速后射入质量分析器.质量分析器由两个反射区和长为 的漂移管（无场区域）构成，开始时反射区1、2均未加电场，当离子第一次进入漂移管时，两反射区开始加上电场强度大小相等、方向相反的匀强电场，其电场强度足够大，使得进入反射区的离子能够反射回漂移管.离子在质量分析器中经多次往复即将进入反射区2时，撤去反射区的电场，离子打在荧光屏 上被探测到，可测得离子从 到 的总飞行时间.设实验所用离子的电荷量均为 ,不计离子重力.
（1）求质量为 的离子第一次通过漂移管所用的时间 ;
（2）反射区加上电场，电场强度大小为 ，求离子能进入反射区的最大距离 ;
（3）已知质量为 的离子总飞行时间为 ,待测离子的总飞行时间为 ，两种离子在质量分析器中反射相同次数，求待测离子质量 .
题组七
一、选择题
1. [2023浙江1月选考，3分]如图所示，示波管由电子枪、竖直方向偏转电极 、水平方向偏转电极 和荧光屏组成.电极 的长度为 、间距为 、极板间电压为 ， 极板间电压为零，电子枪加速电压为 .电子刚离开金属丝的速度为零，从电子枪射出后沿 方向进入偏转电极.已知电子电荷量为 ，质量为 ，则电子( )
A. 在 极板间的加速度大小为
B. 打在荧光屏上时，动能大小为
C. 在 极板间受到电场力的冲量大小为
D. 打在荧光屏上时，其速度方向与 连线夹角 的正切
2. [2022海南，4分，多选]如图甲，物块 放在绝缘水平面上的 点，用跨过轻质定滑轮的绝缘轻绳与物块 连接， 离滑轮足够远.空间存在水平向左的匀强电场，电场强度大小为 . 、 的质量均为 ， 的电荷量为 ， 不带电.运动过程中 与 点的距离设为 ， 与水平面间的动摩擦因数 与 的关系如图乙.规定 点的电势为零，重力加速度大小取 .将 、 由静止释放，则物块 的( )
图甲
图乙
A. 最大速度为
B. 最大位移为
C. 速度为 时，电势能可能为
D. 速度为 时，绳中拉力大小可能为
3. [2020浙江1月选考，3分]如图所示，电子以某一初速度沿两块平行板的中线方向射入偏转电场中，已知极板长度 ，间距 ，电子质量 ，电荷量 .若电子恰好从极板边缘射出电场,由以上条件可以求出的是( )
A. 偏转电压 B. 偏转的角度
C. 射出电场速度 D. 电场中运动的时间
二、非选择题
4. [2022江苏，16分]某装置用电场控制带电粒子运动，工作原理如图所示.矩形 区域内存在多层紧邻的匀强电场，每层的高度均为 ，电场强度大小均为 ，方向沿竖直方向交替交化， 边长为 ， 边长为 .质量为 、电荷量为 的粒子流从装置左端中点射入电场，粒子初动能为 ，入射角为 ，在纸面内运动.不计粒子重力及粒子间的相互作用力.
（1）当 时，若粒子能从 边射出，求该粒子通过电场的时间 ；
（2）当 时，若粒子从 边射出电场时与轴线 的距离小于 ，求入射角 的范围；
（3）当 ，粒子在 为 ~ 范围内均匀射入电场时，求从 边出射的粒子与入射粒子的数量之比 .
5. [2021福建，16分]如图（a），同一竖直平面内 、 、 、 四点距 点的距离均为 ， 为水平连线 的中点， 、 在 连线的中垂线上， 、 两点分别固定有一点电荷，电荷量均为 .以 为原点，竖直向下为正方向建立 轴，若取无穷远处为电势零点，则 上的电势 随位置 的变化关系如图（b）所示.一电荷量为 的小球 以一定的初动能从 点竖直下落，一段时间后经过 点，其在 段运动的加速度大小 随位置 的变化关系如图（c）所示.图中 为重力加速度大小、 为静电力常量.
图（a）
图（b）
图（c）
（1）求小球 在 点所受电场力的大小；
（2）当小球 运动到 点时，恰与一沿 轴负方向运动的不带电绝缘小球 发生弹性碰撞.已知 与 的质量相等，碰撞前、后 的动能均为 ，碰撞时间极短.求碰撞前 的动量大小；
（3）现将 固定在 点，为保证 能运动到 点与之相碰， 从 点下落时的初动能需满足什么条件？
专题九 静电场
电场力与能的性质
题组一
1. [2023全国甲，6分]在一些电子显示设备中，让阴极发射的电子束通过适当的非匀强电场，可以使发散的电子束聚集.下列4幅图中带箭头的实线表示电场线，如果用虚线表示电子可能的运动轨迹，其中正确的是( A )
A.
B.
C.
D.
[解析] 带电粒子在电场中做曲线运动，粒子所受电场力指向轨迹的凹侧，如图所示，故选 .
2. [2023海南，4分，多选]如图所示，正三角形三个顶点固定三个带等量电荷的点电荷，其中 、 带正电， 带负电， 、 、 为 边的四等分点，下列说法正确的是( BC )
A. 、 两点的电场强度相同
B. 、 两点的电势相同
C. 负电荷在 点的电势能比在 点时要小
D. 负电荷在 点的电势能比在 点时要大
[解析] 经分析可知 、 两点电场强度的大小相等，方向不同， 错；由 可知， 、 两点在 、 的电场中位于同一等势面上，比 点电势要高，同时 、 两点在 的电场中也是位于同一等势面上，也比 点电势要高，所以 、 两点位于同一等势面上，电势相等， 对；由于 点电势高于 点电势，根据 可知，负电荷在 点的电势能高于在 点的电势能， 对， 错.
3. [2023全国乙，6分，多选]在 点处固定一个正点电荷， 点在 点右上方.从 点由静止释放一个带负电的小球，小球仅在重力和该点电荷电场力作用下在竖直面内运动，其一段轨迹如图所示. 、 是轨迹上的两点， ， ,则小球( BC )
A. 在运动过程中，电势能先增加后减少
B. 在 点的电势能大于在 点的电势能
C. 在 点的机械能等于在 点的机械能
D. 从 点运动到 点的过程中，电场力始终不做功
[解析] 画出 点处点电荷过 、 两点的等势面，如图所示，由图可知带负电的小球在运动过程中电场力先做正功，后做负功，电势能先减小后增大， 错；沿电场线方向电势降低，则 ，根据电势能计算式 ，结合小球带负电可知 ， 对；小球在运动过程中动能、重力势能、电势能的总和保持不变，并相互转化， 、 两点在点电荷的等势面上，因此小球在 、 两点上的电势能相等，又机械能为动能与重力势能之和，则小球在 、 两点上的机械能相等， 对.
4. [2022海南，4分，多选]某带电体周围的电场线和等势面如图所示，图中 、 两点的电场强度大小分别为 、 ，电势分别为 、 ，则( BD )
A. B. C. D.
[解析] 电场线的疏密程度反映电场强度的大小， 点所在处的电场线较 点的稀疏，所以 ， 错误， 正确；沿电场线方向电势逐渐降低，所以越靠外侧的等势面上电势越低， 点所在的等势面较 点的靠外，则 ， 错误， 正确.
5. [2022福建，4分]平时我们所处的地球表面，实际上存在场强大小为 的电场，可将其视为匀强电场，在地面立一金属杆后空间中的等势面如图所示.空间中存在 、 、 三点，其中 点位于金属杆正上方， 、 等高.则下列说法正确的是( B )
A. 、 两点的电势差 B. 点场强大小大于
C. 点场强方向水平向右 D. 点的电势低于 点
[解析] 由图可知， 、 两点的电势差为 ， 错误；由图可知， 点与相邻两等势面的距离均小于 ，电势差等于 ，根据 可知 点场强大小大于 ， 正确；已知 点位于金属杆正上方，则根据场强方向垂直于等势面可知 点的场强方向沿竖直方向，不是水平向右， 错误；由图可知， 点与 点在同一等势面上，电势均为 ， ， 错误.
6. [2022湖南，4分]如图，四根完全相同的均匀带正电绝缘长棒对称放置在长方体的四条长边 、 、 、 上.移去 处的绝缘棒，假定另外三根绝缘棒电荷分布不变.关于长方体几何中心 点处电场强度方向和电势的变化，下列说法正确的是( A )
A.电场强度方向垂直指向 ，电势减小
B. 电场强度方向垂直指向 ，电势减小
C. 电场强度方向垂直指向 ，电势增大
D. 电场强度方向垂直指向 ，电势增大
[解析] 由对称性与电场叠加原理可知， 、 、 、 处四根完全相同、均匀带正电绝缘长棒在 点的合场强为零，类比正点电荷电场可知，一根带正电绝缘长棒在空间某点的场强方向沿该棒所在直线的垂线指向该点，故撤去 处的绝缘棒后， 点的电场强度方向由 点垂直指向 ， 、 项错误；设每根带正电绝缘长棒在 点产生的电势为 ，且大于零，则根据电势的叠加原理知，四根完全相同、均匀带正电绝缘长棒在 点产生的电场的电势为 ，若撤去 处的绝缘棒，其他三棒在 点产生的电场的电势为 ，故撤去 处的绝缘棒后， 点的电势减小， 项正确、 项错误.
7. [2021湖北，4分，多选]关于电场，下列说法正确的是( AD )
A. 电场是物质存在的一种形式
B. 电场力一定对正电荷做正功
C. 电场线是实际存在的线，反映电场强度的大小和方向
D. 静电场的电场线总是与等势面垂直，且从电势高的等势面指向电势低的等势面
[解析] 电场是存在于电荷周围的一种特殊媒介物质， 正确；如果正电荷的速度方向与电场力的夹角大于 ，则电场力做负功，夹角等于 电场力不做功，夹角小于 电场力做正功， 错误；电场线是为了形象地描绘电场而人为引入的一簇曲线，该曲线的疏密程度反映场强的大小， 错误；静电场的电场线在空间上与等势面垂直，且沿电场线的方向电势降低，即由高等势面指向低等势面， 正确.
8. [2021浙江6月选考，3分]某书中有如图所示的图，用来表示横截面是“ ”形导体右侧的电场线和等势面，其中 、 是同一条实线上的两点， 是另一条实线上的一点， 是导体尖角右侧表面附近的一点.下列说法正确的是( D )
A. 实线表示电场线
B. 离 点最近的导体表面电荷密度最大
C. “ ”形导体右侧表面附近电场强度方向均相同
D. 电荷从 点到 点再到 点电场力做功一定为零
[解析] 根据电场线与等势线垂直的特点可知，图中的实线是等势线，虚线是电场线，选项 错误；从题图中可以看出 点的电场线最稀疏，所以离 点最近的导体表面电荷密度最小，选项 错误；从题图中可以看出除拐角处外，导体右侧表面附近电场方向与导体表面垂直，所以角平分线上方和下方导体右侧表面附近的电场方向不相同，选项 错误；电场力做功与路径无关，取决于起点、终点的电势差，由于 、 是同一条等势线上的两点，所以电荷从 点到 点再到 点电场力做的总功为零，选项 正确.
9. [2021海南，4分，多选]如图，在匀强电场中有一虚线圆， 和 是圆的两条直径，其中 与电场方向的夹角为 ， ， 与电场方向平行， 、 两点间的电势差 .则( AD )
A. 电场强度的大小
B. 点的电势比 点的低
C. 将电子从 点移到 点，电场力做正功
D. 电子在 点的电势能大于在 点的电势能
[解析] 由匀强电场中场强与电势差的关系可知， ， 项正确；沿电场线方向电势降低，故 点电势高于 点电势， 项错；同理 点电势低于 点电势，由 可知，电子在 点的电势能大于在 点的电势能， 项正确；电子受力与场强方向相反，故电子从 点到 点，电场力做负功， 项错.
10. [2021湖南，4分]如图，在 位置放置电荷量为 的正点电荷，在 位置放置电荷量为 的负点电荷，在距 为 的某点处放置正点电荷 ，使得 点的电场强度为零.则 的位置及电荷量分别为( B )
A. , B. , C. , D. ,
[解析] 根据点电荷周围电场的电场强度公式得原来两点电荷在 点产生的电场强度大小均为 ，原来两点电荷在 点产生电场的合电场强度为 ，方向斜向左上方与 轴负方向成 角，由于放入正点电荷 后 点的电场强度为零，结合题述可知正点电荷 的位置应该在 处，并且满足 ，解得 ，故 正确， 、 、 错误.
11. [2021湖北，4分，多选]如图所示，一匀强电场 大小未知、方向水平向右.两根长度均为 的绝缘轻绳分别将小球 和 悬挂在电场中，悬点均为 .两小球质量均为 、带等量异号电荷，电荷量大小均为 .平衡时两轻绳与竖直方向的夹角均为 .若仅将两小球的电荷量同时变为原来的2倍，两小球仍在原位置平衡.已知静电力常量为 ，重力加速度大小为 ，下列说法正确的是( BC )
A. 带正电荷 B. 带正电荷 C. D.
[解析] 由题图可知，对小球 受力分析如图（a）所示，对小球 受力分析如图（b）所示，由受力分析图可知小球 带负电，小球 带正电， 错误， 正确.由几何关系可知，两小球之间的距离为 ，当两小球的电荷量大小均为 时，由力的平衡条件得 ；两小球的电荷量同时变为原来的2倍后，由力的平衡条件得 ，整理解得 ， 正确， 错误.
图（a）
图（b）
12. （2020全国Ⅱ，6分，多选）如图，竖直面内一绝缘细圆环的上、下半圆分别均匀分布着等量异种电荷. 、 为圆环水平直径上的两个点， 、 为竖直直径上的两个点，它们与圆心的距离均相等.则( ABC )
A. 、 两点的场强相等 B. 、 两点的电势相等
C. 、 两点的场强相等 D. 、 两点的电势相等
[解析] 沿竖直方向将圆环分割成无穷个小段，关于水平直径对称的两小段构成等量异种点电荷模型，在等量异种点电荷的垂直平分线上各点场强方向由正点电荷指向负点电荷，根据对称性可知 、 两点的场强相等， 项正确；取无穷远处电势为零，在等量异种点电荷的垂直平分线上各点电势均为零，故 、 两点的电势相等， 项正确；沿水平方向将圆环分割成无穷个小段，关于竖直直径对称的两小段构成等量同种点电荷模型，在等量同种点电荷的垂直平分线上各点场强方向垂直于连线，根据对称性可知 、 两点的场强相等， 项正确；在等量异种点电荷模型中，距离正点电荷近的点电势高，故 ， 项错误.
题组二
1. [2023湖南，4分]如图，真空中有三个点电荷固定在同一直线上，电荷量分别为 、 和 ， 点和三个点电荷的连线与点电荷所在直线的夹角分别为 、 和 .若 点处的电场强度为零， ,则三个点电荷的电荷量可能为( D )
A. , , B. , ,
C. , , D. , ,
[解析] 若三个点电荷都带正电或负电，则三个点电荷在 点产生的场强叠加后一定不为零， 错；几何关系如图1，若 ，则根据 分析可知 ， 和 在 点产生的电场强度叠加后为 ，如图2所示，与 在 点产生的电场强度不可能在一条直线上，即 点处的电场强度不可能叠加为零， 错；若 ， ，则根据 分析可知 ，叠加后 ，如图3所示，与 在 点产生的电场强度等大反向，叠加为零， 对.
图1 图2 图3
【一题多解】 根据图1所示的几何关系可知 、 、 ,将 、 在 点产生的场强分解为水平方向和竖直方向，则由题意 点处的电场强度为零可得，水平方向上有 ,竖直方向上有 ，联立解得 , ,即 , 与 和 的电性相反，故 对， 错.
2. [2023辽宁，6分，多选]图 （a）为金属四极杆带电粒子质量分析器的局部结构示意图，图 （b）为四极杆内垂直于 轴的任意截面内的等势面分布图，相邻两等势面间电势差相等，则( CD )
图（a）
图（b）
A. 点电势比 点的低 B. 点电场强度大小比 点的大
C. 点电场强度方向沿 轴正方向 D. 沿 轴运动的带电粒子，电势能不变
[解析] 由题图可知 点靠近带负电的极杆， 点靠近带正电的极杆，又电势沿场强方向降低，则 点的电势比 点的电势高， 错误；等势面的疏密程度反映场强的大小，由图（b）可知 点的等势面密，则 点的电场强度大， 错误；由对称性可知两带正电的极杆在 点产生的电场方向沿 轴正方向，两带负电的极杆在 点产生的电场方向也沿 轴正方向，则由电场强度的叠加可知 点的电场强度方向沿 轴的正方向， 正确；由对称性可知 轴上的电场强度为零，则带电粒子沿 轴运动时始终不受电场力的作用，所以电场力不做功，电势能保持不变， 正确.
3. [2022湖北，4分]密立根油滴实验装置如图所示，两块水平放置的金属板分别与电源的正负极相接，板间产生匀强电场.用一个喷雾器把密度相同的许多油滴从上板中间的小孔喷入电场，油滴从喷口喷出时由于摩擦而带电.金属板间电势差为 时，电荷量为 、半径为 的球状油滴在板间保持静止.若仅将金属板间电势差调整为 ，则在板间能保持静止的球状油滴所带电荷量和半径可以为( D )
A. ， B. ， C. ， D. ，
[解析] 带电油滴在电场中平衡，根据平衡条件有 ，而 ，即 ，仅将金属板间电势差调整为 ，则有 ，依次将球状油滴所带电荷量和半径代入此式，只有 项正确， 项错误.
4. [2022重庆，5分，多选]如图为两点电荷 、 的电场等势面分布示意图， 、 位于 轴上，相邻等势面间的电势差为 .若 轴上的 点和 点位于 等势面上， 为某等势面上一点，则( AD )
A. 点的电场强度大小比 点的大 B. 为正电荷
C. 点的电场方向沿 轴负方向 D. 点与 点的电势差为
[解析]
5. [2022全国乙，6分，多选]如图，两对等量异号点电荷 、 固定于正方形的4个顶点上. 、 是该正方形两条对角线与其内切圆的交点， 为内切圆的圆心， 为切点.则( AB )
A. 和 两点处的电场方向相互垂直
B. 点的电场方向平行于该点处的切线，方向向左
C. 将一带正电的点电荷从 点移动到 点，电场力做正功
D. 将一带正电的点电荷从 点移动到 点，电场力做功为零
[解析] 两正点电荷在 点处产生的场强方向由 指向 ， 点处于两负点电荷连线的垂直平分线上，则两负点电荷在 点产生的场强方向由 指向 ，则 点处的合场强方向由 指向 ，同理可知，两负点电荷在 点处产生的场强方向由 指向 ， 点处于两正点电荷连线的垂直平分线上，两正点电荷在 点处产生的场强方向由 指向 ，则 点处的合场强方向由 指向 ，由于正方形两对角线相互垂直平分，则 和 两点处的电场方向相互垂直， 正确；正方形底边上的等量异号点电荷在 点产生的场强方向向左，而上方的等量异号点电荷在 点产生的场强方向向右，由于 点离上方等量异号点电荷距离较远，则 点的场强方向平行于该点处的切线，方向向左， 正确；由图可知， 和 点位于两对等量异号点电荷的等势线上，即 点和 点电势相等，所以将一带正电的点电荷从 点移动到 点，电场力做的功为零， 错误；由图结合等量异号点电荷模型可知， 点的电势低于 点电势，则将一带正电的点电荷从 点移动到 点，电场力做的功不为零， 错误.
6. [2022山东，3分]半径为 的绝缘细圆环固定在图示位置，圆心位于 点，环上均匀分布着电荷量为 的正电荷.点 、 、 将圆环三等分，取走 、 处两段弧长均为 的小圆弧上的电荷.将一点电荷 置于 延长线上距 点为 的 点， 点的电场强度刚好为零.圆环上剩余电荷分布不变， 为( C )
A. 正电荷， B. 正电荷，
C. 负电荷， D. 负电荷，
[解析] 在取走 、 处两段小圆弧上的电荷之前，整个圆环上的电荷在 点产生的场强为零，而取走的 、 处的电荷的电荷量 , 、 在 点产生的合场强为 ,方向为从 指向 ，故取走 、 处的电荷之后，剩余部分在 点产生的场强大小为 ，方向由 指向 ，而点电荷 放在 点后， 点场强为零，故 在 点产生的场强与 、 在 点产生的合场强相同，所以 为负电荷，又 ,解得 , 项正确.
7. [2021河北，6分，多选]如图，四个电荷量均为 的点电荷分别放置于菱形的四个顶点，其坐标分别为 、 、 和 ，其中 轴上的两个点电荷位置固定， 轴上的两个点电荷可沿 轴对称移动 .下列说法正确的是( ACD )
A. 除无穷远处之外，菱形外部电场强度处处不为零
B. 当 取某值时，可使得菱形内部只存在两个电场强度为零的点
C. 当 时，将一带负电的试探电荷由点 移至点 ，静电力做正功
D. 当 时,将一带负电的试探电荷放置在点 处，其所受到的静电力方向与 轴正方向成 倾斜向上
[解析] 由点电荷周围电场线分布特点可知除无穷远处外，合场强不可能为零， 项正确；根据对称性可知，若菱形内部除坐标原点 场强为零外还存在另一场强为零的位置，则该点关于坐标原点、坐标轴的对称点的场强也将为零， 项错误；离正电荷越近，电势越高，当 时，点 到四个点电荷的距离依次为 、 、 、 ，而点 到四个点电荷的距离依次为 、 、 、 ,因此点 的电势低于点 的电势，所以负电荷由点 移动到点 电势能减小，静电力做正功， 正确；当 时，负试探电荷在点 处受到四个点电荷的库仑力作用，设负试探电荷的带电荷量大小为 ,则 、 正半轴上的两点电荷对负试探电荷的库仑力大小均为 ，结合几何关系可得二者的合力大小为 ，方向为与 轴成 斜向右上方，同理可得 、 负半轴上的两点电荷对负试探电荷的合力大小为 ，方向为与 轴成 斜向左下方， ,则可知该试探电荷所受的合静电力方向与 轴正方向成 倾斜向上， 正确.
8. [2021天津，5分，多选]两个位于纸面内的点电荷产生电场的等势面如图中实线所示，相邻等势面间的电势差相等.虚线 是一个电子在该电场中的运动轨迹，轨迹与某等势面相切于 点.下列说法正确的是( CD )
A. 两点电荷可能是异种点电荷 B. 点的电场强度比 点的大
C. 点的电势高于 点的电势 D. 电子运动到 点时动能最小
[解析] 根据两点电荷间等势面的分布情况可知两点电荷是同种电荷，又根据电子在该电场中的运动轨迹可判断出电子一直受到斥力作用，可知两点电荷为同种负电荷，故 错误；根据 定性分析可知，等差等势面越密的地方，电场强度越大，则 点的电场强度比 点的小，故 错误.两点电荷为同种负电荷，电场线指向负电荷，沿电场线方向电势逐渐降低，又 所在的等势面比 所在的等势面靠外，故 点的电势高于 点的电势，故 正确；在电子的运动轨迹上， 点的电势最低，故电子在 点的电势能最高，又电子在运动过程中只受电场力作用，电子的动能与电势能之和不变，故电子运动到 点时动能最小， 正确.
9. [2020浙江1月选考，3分]如图所示，在倾角为 的光滑绝缘斜面上固定一个挡板，在挡板上连接一根劲度系数为 的绝缘轻质弹簧，弹簧另一端与 球连接. 、 、 三小球的质量均为 ， , ,当系统处于静止状态时，三小球等间距排列.已知静电力常量为 ，则( A )
A. B. 弹簧伸长量为
C. 球受到的库仑力大小为 D. 相邻两小球间距为
[解析] 以 、 、 整体为研究对象，对其受力分析，受重力、支持力以及弹簧的拉力，则由力的平衡条件可知， ，解得 ， 错误；以 为研究对象，小球受到的库仑力大小为 ，方向沿斜面向下， 错误；为了使 、 均能静止在光滑的绝缘斜面上，则小球 应带正电，设相邻两球之间的距离为 ，则对小球 由力的平衡条件得 ，对小球 由力的平衡条件得 ，解得 ， ， 正确， 错误.
10. （2020全国Ⅲ，6分，多选）如图， 是锐角三角形 最大的内角，电荷量为 的点电荷固定在 点.下列说法正确的是( BC )
A. 沿 边，从 点到 点，电场强度的大小逐渐增大
B. 沿 边，从 点到 点，电势先增大后减小
C. 正电荷在 点的电势能比其在 点的电势能大
D. 将正电荷从 点移动到 点，电场力所做的总功为负
[解析] 如图所示，找出 点，使 点与 点的距离等于 点与 点的距离， 点为 上到 点距离最短的点，根据三角形边角关系、点电荷的电场强度公式 和正点电荷形成电场中的电势特点可知，沿着 边，从 点到 点，与 点的距离 先减小后增大，电场强度先增大后减小，电势也先增大后减小，选项 正确， 错误；根据电势能与电势的关系 可知，正电荷在 点的电势能比在 点的电势能大，故将正电荷从 点移动到 点，电场力所做的总功为正，选项 正确， 错误.
题组三
一、选择题
1. [2023浙江6月选考，3分]某带电粒子转向器的横截面如图所示,转向器中有辐向电场.粒子从 点射入,沿着由半径分别为 和 的圆弧平滑连接成的虚线（等势线）运动,并从虚线上的 点射出,虚线处电场强度大小分别为 和 ,则 、 和 、 应满足( A )
A. B. C. D.
[解析] 粒子在下侧电场中运动时，由牛顿第二定律得 ，又由于粒子沿等势线运动，则粒子进入上侧电场的速度大小不变，由牛顿第二定律得 ，整理得 ， 对， 错.
2. [2022河北，4分]如图,真空中电荷量为 和 的两个点电荷分别位于 点与 点,形成一个以 延长线上 点为球心,电势为零的等势面（取无穷远处电势为零）, 为 连线上的一点, 为等势面与直线 的交点, 为等势面上一点,下列说法正确的是( B )
A. 点电势低于 点电势
B. 点电场方向指向 点
C. 除无穷远处外,直线上还有两个电场强度为零的点
D. 将正试探电荷 从无穷远处移到 点,静电力做正功
[解析] 在 、 间离负电荷越近，电势越低，离正电荷越近，电势越高，又已知 点在零等势面上，所以 点电势大于零， 项错；电场线由正电荷到负电荷，又由于电场方向与等势面垂直，所以 点电场方向指向 点， 项正确； 直线上，在 点左侧， 点处正电荷产生的场强大于 点处负电荷产生的场强，故合场强不可能为零，在 、 两点间，两电荷产生的场强方向均向右，合场强不可能为零，在 点右侧，两电荷产生的场强方向相反，若场强大小相等，则合场强为零，故除无穷远处外直线上只有一个点合场强为零， 项错；将正试探电荷由无穷远处移到 点，由 可知，试探电荷电势能增大，故静电力做负功， 项错.
3. [2022辽宁，6分，多选]如图所示，带电荷量为 的球1固定在倾角为 的光滑绝缘斜面上的 点，其正上方 处固定一带电荷量为 的球2，斜面上距 点 处的 点有质量为 的带电球3.球3与一端固定的绝缘轻质弹簧相连并在 点处于静止状态，此时弹簧的压缩量为 ，球2、3间的静电力大小为 .迅速移走球1后，球3沿斜面向下运动. 为重力加速度，球的大小可忽略，下列关于球3的说法正确的是( BCD )
A. 带负电
B. 运动至 点的速度大小为
C. 运动至 点的加速度大小为
D. 运动至 中点时对斜面的压力大小为
[解析] 假设球3带负电，则球1对球3的作用力沿斜面向下，球2对球3的作用力为斥力，由于球之间的距离相等，则球1对球3的作用力一定大于球2对球3的作用力，弹簧不可能处于压缩状态，因此球3一定带正电， 错误.移走球1前，弹簧的压缩量为 ，则移走球1后球3运动至 位置时，弹簧的伸长量为 ，则球3在 点与在 点时弹簧的弹性势能相等，又由于 、 两点到球2的距离相等，则在球2形成的电场中 、 两点的电势相等， 、 两点的电势差为零，则球3由 到 的过程中，由动能定理得 ，解得 ， 正确.对移走球1前的球3受力分析，如图甲所示，由力的平衡条件，沿斜面方向上有 ，又 ， ，解得 ；当球3在 点时，受力分析如图乙所示，由于弹簧的伸长量为 ，则 ，对球3由牛顿第二定律得 ，解得 ， 正确.球3运动到 、 中点时，受力分析如图丙所示，球3与球2之间的距离为 ，则两球之间的库仑力大小为 ，由力的平衡条件在垂直斜面的方向上有 ，解得 ， 正确.
图甲
图乙
图丙
4. [2022全国甲，6分，多选]地面上方某区域存在方向水平向右的匀强电场，将一带正电荷的小球自电场中 点水平向左射出.小球所受的重力和电场力的大小相等，重力势能和电势能的零点均取在 点.则射出后，( BD )
A. 小球的动能最小时，其电势能最大
B. 小球的动能等于初始动能时，其电势能最大
C. 小球速度的水平分量和竖直分量大小相等时，其动能最大
D. 从射出时刻到小球速度的水平分量为零时，重力做的功等于小球电势能的增加量
[解析] 由题意可知，小球所受电场力与重力的合力指向右下，与水平方向成 角，小球向左射出后做匀变速曲线运动，当其水平速度与竖直速度大小相等时，即速度方向与小球所受合力方向垂直时,小球克服合力做的功最大，此时动能最小，而此时小球仍具有水平向左的分速度，电场力仍对其做负功，其电势能继续增大， 、 项错误；小球在电场力方向上的加速度大小 ,竖直方向加速度大小 ，当小球水平速度减为零时，克服电场力做的功最大，小球的电势能最大，由匀变速运动规律有 ，此时小球竖直方向的速度 ，所以此时小球动能等于初动能，由能量守恒定律可知，小球重力势能减少量等于小球电势能的增加量，又由功能关系知重力做的功等于小球重力势能的减少量，故 、 项正确.
5. [2021广东，4分]如图所示是某种静电推进装置的原理图，发射极与吸极接在高压电源两端，两极间产生强电场，虚线为等差等势面.在强电场作用下，一带电液滴从发射极加速飞向吸极， 、 是其路径上的两点.不计液滴重力.下列说法正确的是( D )
A. 点的电势比 点的低 B. 点的电场强度比 点的小
C. 液滴在 点的加速度比在 点的小 D. 液滴在 点的电势能比在 点的大
[解析] 由图可知发射极电势高于吸极电势，故 点的电势比 点的高，选项 错误；由 点处的等势面比 点处的密集可知， 点的电场强度比 点的大，液滴在 点受到的电场力比在 点时的大，即液滴在 点的加速度比在 点的大，选项 、 均错误；由带电液滴从发射极加速飞向吸极可知，电场力做正功，故液滴在 点的电势能比在 点的大，选项 正确.
6. [2021全国乙，6分]如图（a）, 在一块很大的接地金属平板的上方固定一负电荷.由于静电感应，在金属平板上表面产生感应电荷，金属板上方电场的等势面如图（b）中虚线所示，相邻等势面间的电势差都相等.若将一正试探电荷先后放于 和 处，该试探电荷受到的电场力大小分别为 和 ，相应的电势能分别为 和 ,则( A )
图(a)
图(b)
A. , B. ,
C. , D. ,
[解析] 根据等差等势面越密处电场强度越大，可知 处的电场强度 大于 处的电场强度 ，由电场力公式 可知，试探电荷在 处所受的电场力 大于在 处受到的电场力 .由于越靠近负电荷电势越低，可知 点的电势 低于 点电势 ，根据电势能公式 ，可知正试探电荷在 处的电势能 小于在 处的电势能 ，所以选项 正确.
7. [2021全国甲，6分，多选]某电场的等势面如图所示，图中 、 、 、 、 为电场中的5个点，则( BD )
A. 一正电荷从 点运动到 点，电场力做正功
B. 一电子从 点运动到 点，电场力做功为
C. 点电场强度垂直于该点所在等势面，方向向右
D. 、 、 、 四个点中， 点的电场强度大小最大
[解析] 、 两点在同一等势面上，电荷运动过程中电场力不做功，故选项 错误.电场强度的方向总是与等势面垂直，且由高电势等势面指向低电势等势面，故 点的场强方向向左，选项 错误.一电子从 点运动到 点电场力做的功 ，故选项 正确.根据图知任意两个相邻的等势面间电势差相等，且等差等势面越密集的地方，电场强度就越大，因此结合图可以判断 、 、 、 四个点中， 点的电场强度大小最大，故选项 正确.
8. [2021辽宁，4分]等量异号点电荷固定在水平向右的匀强电场中，电场分布如图所示，实线表示电场线，虚线表示等势线.将同一负电荷先后置于 、 两点，电势能分别为 和 ，电荷所受电场力大小分别为 和 ，则( D )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
[解析] 根据电场线的疏密程度表示电场强度的大小可知， 点的电场强度大于 点，由电场力公式 可知负电荷在 点所受的电场力小于在 点所受的电场力，即 .在等量异号点电荷电场中，越靠近正电荷，电势越高，越靠近负电荷，电势越低，又空间内匀强电场水平向右，沿电场线方向电势降低，故 点的电势高于 点的电势，又负电荷在电势较低的地方电势能较高，所以该负电荷在 点的电势能小于在 点的电势能，即 ，选项 正确.
9. [2021江苏，4分]一球面均匀带有正电荷，球内的电场强度处处为零，如图所示， 为球心， 、 为直径上的两点， ，现垂直于 将球面均分为左右两部分， 为截面上的一点，移去左半球面，右半球面所带电荷仍均匀分布，则( A )
A. 、 两点电势相等 B. 点的电场强度大于 点
C. 沿直线从 到 电势先升高后降低 D. 沿直线从 到 电场强度逐渐增大
[解析] 将题中半球壳补成一个完整的球壳，且带电均匀，设左、右半球在 点产生的电场强度大小分别为 和 ，由题知，均匀带电球壳内部电场强度处处为零，则知 ，根据对称性知，左、右半球在 点产生的电场强度大小分别为 和 ，且 ，故在图示电场中， 的电场强度大小为 ，方向向左， 的电场强度大小为 ，方向向左，所以 点的电场强度与 点的电场强度相同， 、 错误.由电场强度的叠加可知， 点左侧的电场方向均向左，沿电场线方向电势逐渐降低，则沿直线从 到 电势一直升高， 错误.由排除法可知， 正确.
10. [2020山东，4分，多选]真空中有两个固定的带正电的点电荷，电荷量不相等.一个带负电的试探电荷置于二者连线上的 点时，仅在电场力的作用下恰好保持静止状态.过 点作两正电荷连线的垂线，以 点为圆心的圆与连线和垂线分别交于 、 和 、 ，如图所示.以下说法正确的是( BD )
A. 点电势低于 点
B. 点电势低于 点
C. 该试探电荷在 点的电势能大于在 点的电势能
D. 该试探电荷在 点的电势能小于在 点的电势能
[解析] 由题意可知 点场强为零，所以 、 两点间场强方向是由 指向 的，所以 ， 项错误；同理， ， 点与 点间的电场强度有竖直向上的分量，所以 ，则 ， 项正确；同理， ， ，又带负电的试探电荷在电势高处电势能较小，所以 项错误， 项正确.
11. [2020江苏，4分，多选]如图所示，绝缘轻杆的两端固定带有等量异号电荷的小球（不计重力）.开始时，两小球分别静止在 、 位置.现外加一匀强电场 ，在静电力作用下，小球绕轻杆中点 转到水平位置.取 点的电势为0.下列说法正确的有( AB )
A. 电场 中 点电势低于 点 B. 转动中两小球的电势能始终相等
C. 该过程静电力对两小球均做负功 D. 该过程两小球的总电势能增加
[解析] 沿电场线方向电势降低，则 点的电势比 点的电势高， 正确；由对称性可知，两小球所处位置的电势的绝对值始终相等，则由 可知两小球的电势能始终相等， 正确；该过程中，带正电荷的小球所受的电场力方向向右，带负电荷的小球所受的电场力方向向左，则电场力对两小球均做正功， 错误；电场力做正功，电势能减少，所以该过程中两小球的总电势能减少， 错误.
二、非选择题
12. [2022上海，4分]水平面上有一带电荷量为 的均匀带电圆环，圆心为 .其中央轴线上距离 点为 的位置处有一带电荷量为 的点电荷.若点电荷受到的电场力为 ,则 （2分） （ 为静电力常量，选填“ ”“ ”或“ ”）.静电力常量 的单位可表示为 （2分）（用“ 单位制”中的基本单位表示）.
[解析] 把均匀带电圆环平均分成 小段，每一小段都可以看成点电荷，电荷量为 .如图所示，设 与点电荷 之间的连线与中央轴线之间的夹角为 ，由库仑定律得 与点电荷 之间的库仑力大小为 ，点电荷 受到的总库仑力大小为 ，由于 ，则 ，所以 .由库仑定律得 ，可得 ，用“ 单位制”中的基本单位表示力 的单位是 ，距离 的单位为 ，电荷量的单位为 ，所以静电力常量 的单位为 .
电容器及带电体在电场中的动力学问题
题组四
一、选择题
1. [2023海南，3分]如图所示，一光滑绝缘轨道水平放置，直径上有 、 两点， , ，在 、 两点固定两个带电荷量分别为 、 的正电荷，现有一个带正电的小球静置于轨道内侧 点（小球可视为点电荷），已知 ，则 是( C )
A. B. C. D.
[解析] 如图所示，小球受到 、 的库仑斥力 、 和指向圆心的轨道弹力作用而平衡，由正弦定理有 ，又 , ，在 中，有 ，同理在 中，有 ，设小球的带电荷量为 ，则 , ，联立解得 ， 对.
2. [2023浙江6月选考，3分] 、 两块正对的平行金属板与水平面成 角固定,竖直截面如图所示.两板间距 ,电荷量为 、质量为 的小球用长为 的绝缘细线悬挂于 点.闭合开关 ,小球静止时,细线与 板夹角为 ;剪断细线,小球运动到 板上的 点（未标出），则( B )
A. 距离为 B. 电势能增加了
C. 电场强度大小为 D. 减小 的阻值, 的距离将变大
[解析] 结合几何关系，对小球受力分析有
剪断细线，小球合力方向与 等大反向，故小球沿 方向做直线运动，由数学知识可知 故 ， 错
由 到 过程，电场力做的功 ，故小球电势能增加了 ， 对
因为电容器两端的电压等于电源电压，所以减小 的阻值，电容器上的电压不变，又两板间距一定，故小球的受力情况不变，即小球的运动情况不变，则 的距离不变， 错.
3. [2022重庆，4分]如图为某同学采用平行板电容器测量材料竖直方向尺度随温度变化的装置示意图，电容器上极板固定，下极板可随材料尺度的变化上下移动，两极板间电压不变.若材料温度降低时，极板上所带电荷量变少，则( A )
A. 材料竖直方向尺度减小 B. 极板间电场强度不变
C. 极板间电场强度变大 D. 电容器电容变大
[解析]
二、非选择题
4. [2023全国乙，12分]如图，等边 位于竖直平面内, 边水平,顶点 在 边上方,3个点电荷分别固定在三角形的三个顶点上.已知 边中点 处的电场强度方向竖直向下， 边中点 处的电场强度方向竖直向上， 点处点电荷的电荷量的绝对值为 ，求
（1） 点处点电荷的电荷量的绝对值并判断3个点电荷的正负；
[答案] 题中已知 点的场强竖直向下，可知 、 处点电荷在 点产生的场强等大反向， 处点电荷带正电，又 为 边的中点，结合点电荷的场强公式 可知两点电荷的电荷量大小相等，电性相同（2分）
即 点处点电荷的电荷量的绝对值为 （2分）
C处点电荷在 点产生的电场强度方向为 ，假设 、 两点处点电荷均带负电，则三个点电荷在 处产生的合场强方向不可能竖直向上，所以 、 两点处点电荷均带正电，即3个点电荷均带正电（2分）
（2） 点处点电荷的电荷量.
[答案] 设 点处点电荷的电荷量为 ，等边三角形的边长为 ，则 ，对三个点电荷在 处产生的电场强度分析，如图所示，其中 是 、 处点电荷在 处产生的合场强， 是 处点电荷在 处产生的场强， 为 点处的合场强
根据几何关系得 （2分）
故 （2分）
解得 （2分）
5. [2022北京，9分]如图所示，真空中平行金属板 、 之间距离为 ,两板所加的电压为 .一质量为 、电荷量为 的带正电粒子从 板由静止释放.不计带电粒子的重力.
（1）求带电粒子所受的静电力的大小 ;
[答案] 两极板间的场强 （1分）
带电粒子所受的静电力 （1分）
（2）求带电粒子到达 板时的速度大小 ;
[答案] 带电粒子从静止开始运动到 板的过程，根据功能关系有 （2分）
解得 （1分）
（3）若在带电粒子运动 距离时撤去所加电压，求该粒子从 板运动到 板经历的时间 .
[答案] 设带电粒子运动 距离时的速度大小为 ，根据功能关系有 （1分）
带电粒子在前 距离做匀加速直线运动，后 距离做匀速运动，设用时分别为 、 ，有 ， （2分）
则该粒子从 板运动到 板经历的时间
（1分）
6. [2019天津，20分]2018年,人类历史上第一架由离子引擎推动的飞机诞生,这种引擎不需要燃料,也无污染物排放.引擎获得推力的原理如图所示,进入电离室的气体被电离成正离子,而后飘入电极 、 之间的匀强电场（初速度忽略不计）, 、 间电压为 ,使正离子加速形成离子束,在加速过程中引擎获得恒定的推力.单位时间内飘入的正离子数目为定值,离子质量为 ,电荷量为 ,其中 是正整数, 是元电荷.
（1）若引擎获得的推力为 ,求单位时间内飘入 、 间的正离子数目 为多少;
[答案] 设正离子经过电极 时的速度为 ,根据动能定理,有
①（2分）
设正离子束所受的电场力为 ,根据牛顿第三定律,有
②（2分）
设在 时间内飘入电极间的正离子个数为 ,由牛顿第二定律,有 ③（2分）
联立①②③式且 ，得 ④（3分）
（2）加速正离子束所消耗的功率 不同时,引擎获得的推力 也不同,试推导 的表达式;
[答案] 设正离子束所受的电场力为 ,由正离子束在电场中做匀加速直线运动,有 ⑤（2分）
根据牛顿第三定律，有 ,联立①⑤式得
⑥（3分）
（3）为提高能量的转换效率,要使 尽量大,请提出增大 的三条建议.
[答案] 为使 尽量大,分析⑥式得到三条建议:用质量大的离子;用带电荷量少的离子;减小加速电压.（6分）
题组五
一、选择题
1. [2023海南，3分]如图所示电路，已知电源电动势为 ，内阻不计，电容器电容为 ，闭合开关 ，待电路稳定后，电容器上的电荷量为( C )
A. B. C. D.
[解析] 由电路的串并联规律可知，电阻 两端的电压为 ，电阻 两端的电压为 ，则电容器两极板间电势差 ，则 ， 对.
2. [2023湖北，4分，多选]一带正电微粒从静止开始经电压 加速后，射入水平放置的平行板电容器，极板间电压为 .微粒射入时紧靠下极板边缘，速度方向与极板夹角为 ，微粒运动轨迹的最高点到极板左右两端的水平距离分别为 和 ，到两极板距离均为 ，如图所示.忽略边缘效应，不计重力.下列说法正确的是( BD )
A.
B.
C. 微粒穿过电容器区域的偏转角度的正切值为2
D. 仅改变微粒的质量或者电荷数量，微粒在电容器中的运动轨迹不变
[解析] 将微粒在电容器中的运动进行分解，其在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做匀变速直线运动，根据电场强度和电势差的关系及场强和电场力的关系可得 ， ，设微粒射入电容器时的速度为 ，水平方向和竖直方向的分速度 ， ，从射入到运动到最高点，由运动学公式有 ，微粒经电压 加速后，由动能定理可得 ，联立解得 ， 正确；微粒从射入电容器到运动到最高点，由运动学公式可得 ， ，联立可得 ， 错误；微粒从最高点到穿出电容器，由运动学公式可得 ， ，微粒从射入电容器到最高点有 ，解得 ，设微粒穿出电容器时速度方向与水平方向的夹角为 ，则 ，设微粒射入电容器时速度方向与水平方向的夹角为 ，则 ，因微粒穿过磁场区域的偏转角度为 ，则有 ， 错误；微粒在电容器中运动时，水平方向上有 ，竖直方向上有 ， ，又 ，联立解得 ，可知轨迹与微粒的电荷量和质量都没有关系，只改变电荷量或质量，轨迹不会改变， 正确.
3. [2022北京，3分]利用如图所示电路观察电容器的充、放电现象，其中 为电源， 为定值电阻， 为电容器，为电流表，为电压表.下列说法正确的是( B )
A. 充电过程中，电流表的示数逐渐增大后趋于稳定
B. 充电过程中，电压表的示数迅速增大后趋于稳定
C. 放电过程中，电流表的示数均匀减小至零
D. 放电过程中，电压表的示数均匀减小至零
[解析]
4. [2021山东，3分]如图甲所示，边长为 的正方形，四个顶点上分别固定一个电荷量为 的点电荷；在 区间， 轴上电势 的变化曲线如图乙所示.现将一电荷量为 的点电荷 置于正方形的中心 点，此时每个点电荷所受库仑力的合力均为零.若将 沿 轴向右略微移动后，由静止释放，以下判断正确的是( C )
图甲
图乙
A. ，释放后 将向右运动 B. ，释放后 将向左运动
C. ，释放后 将向右运动 D. ，释放后 将向左运动
[解析] 对 点上方的点电荷，由平衡知识可得 ，解得 ，因在 区间内沿 轴正方向电势升高，则场强方向沿 轴负方向，则将 沿 轴正方向向右略微移动后释放， 受到向右的电场力而向右运动， 项正确.
5. [2021全国乙，6分，多选]四个带电粒子的电荷量和质量分别为 、 、 、 ,它们先后以相同的速度从坐标原点沿 轴正方向射入一匀强电场中，电场方向与 轴平行.不计重力.下列描绘这四个粒子运动轨迹的图像中，可能正确的是( AD )
A. B. C. D.
[解析] 四个带电粒子以相同的速度从坐标原点射入方向与 轴平行的匀强电场中，由牛顿第二定律有 ， ， ， ，解得 ， ， ， ，因此三个带正电的粒子的轨迹为两条，在同一方向，带负电的粒子轨迹在 轴另一侧，可排除图像 ；加速度为 的粒子与加速度为 的粒子轨迹重合，且与加速度为 的粒子轨迹关于 轴对称，加速度为 的粒子轨迹处于加速度为 的粒子轨迹与加速度为 的粒子轨迹之间，所以图像 不可能，可能正确的是 、 .
【光速解法】 巧用平抛运动的位移偏转角度： ，易知带同种电荷且比荷相同的带电粒子，轨迹相同，故 、 轨迹相同， 与之对称， 轨迹偏转角度较小.故选 .
二、非选择题
6. [2022辽宁，12分]如图所示，光滑水平面 和竖直面内的光滑 圆弧导轨 在 点平滑连接，导轨半径为 .质量为 的带正电小球将轻质弹簧压缩至 点后由静止释放，脱离弹簧后经过 点时的速度大小为 ，之后沿导轨 运动.以 为坐标原点建立直角坐标系 ，在 区域有方向与 轴夹角为 的匀强电场，进入电场后小球受到的电场力大小为 .小球在运动过程中电荷量保持不变，重力加速度为 .求:
（1）弹簧压缩至 点时的弹性势能；
[答案] 小球从 点静止释放，根据动能定理有
（2分）
可得弹簧压缩至 点时的弹性势能 （1分）
（2）小球经过 点时的速度大小；
[答案] 小球从 运动到 的过程中重力、电场力对小球做功，根据动能定理有 （2分）
其中
可得 （2分）
（3）小球过 点后运动的轨迹方程.
[答案] 小球离开 点后的受力分析如图所示，根据受力分析可知重力与电场力的合力方向沿水平方向，大小为 ，即小球离开 点后，在水平方向以加速度 做匀加速直线运动，有 ，其中 （2分）
在竖直方向以速度 做匀速直线运动，有 （1分）
联立可得轨迹方程为 （2分）
7. （2020全国Ⅰ，20分）在一柱形区域内有匀强电场，柱的横截面是以 为圆心、半径为 的圆， 为圆的直径，如图所示.质量为 ，电荷量为 的带电粒子在纸面内自 点先后以不同的速度进入电场，速度方向与电场的方向垂直.已知刚进入电场时速度为零的粒子，自圆周上的 点以速率 穿出电场， 与 的夹角 .运动中粒子仅受电场力作用.
（1）求电场强度的大小；
[答案] 初速度为零的粒子，由 点射出电场，故电场方向与 平行，由 指向 .由几何关系和电场强度的定义知
①（1分）
②（1分）
由动能定理有 ③（1分）
联立①②③式得 ④（2分）
（2）为使粒子穿过电场后的动能增量最大，该粒子进入电场时的速度应为多大？
[答案] 如图，由几何关系知 ，故电场中的等势线与 平行.作与 平行的直线与圆相切于 点，与 的延长线交于 点，则自 点从圆周上穿出的粒子的动能增量最大.由几何关系知
， ， ⑤（2分）
设粒子以速度 进入电场时动能增量最大，在电场中运动的时间为 .粒子在 方向做加速度为 的匀加速运动，运动的距离等于 ；在垂直于 的方向上做匀速运动，运动的距离等于 .由牛顿第二定律和运动学公式有 ⑥（1分）
⑦（1分）
⑧（1分）
联立②④⑤⑥⑦⑧式得 ⑨（2分）
（3）为使粒子穿过电场前后动量变化量的大小为 ，该粒子进入电场时的速度应为多大
[答案] 设粒子以速度 进入电场时，在电场中运动的时间为 .以 为原点，粒子进入电场的方向为 轴正方向，电场方向为 轴正方向建立直角坐标系.由运动学公式有 ⑩（1分）
（1分）
粒子离开电场的位置在圆周上，有
（2分）
粒子在电场中运动时，其沿 轴方向的动量不变，沿 轴方向的初始动量为零.设穿过电场前后动量变化量的大小为 的粒子，离开电场时其沿 轴方向的速度分量为 ,由题给条件及运动学公式有 （2分）
联立②④⑥⑩ 式得 （1分）
和 （1分）
另解:由题意知，初速度为0时，动量增量的大小为 ,此即问题的一个解.自 点以不同的速率垂直于电场方向射入电场的粒子，沿 轴方向位移相等时，所用时间都相同.因此，不同粒子运动到线段 上时，动量变化量都相同，自 点射出电场的粒子，其动量变化量也为 ，由几何关系及运动学规律可得，此时入射速率 .
题组六
一、选择题
1. [2022江苏，4分]如图所示，正方形 的四个顶点各固定一个带正电的点电荷，电荷量相等， 点为正方形的中心.现将 点的电荷沿 的延长线向无穷远处移动，则( D )
A. 在移动过程中， 点电场强度变小
B. 在移动过程中， 点的电荷所受静电力变大
C. 在移动过程中，移动的电荷所受静电力做负功
D. 当其移动到无穷远处， 点的电势高于 点
[解析] A、 、 、 各固定一个等量同种正电荷，设为 ， 点的电荷沿 方向移至无穷远处过程中：
（1） 点场强：初始时 点场强为零，移动过程中， 减小， 点的场强 增大， 错.
（2） 点电荷：移动过程中， 减小， 点的场强减小， 点电荷受到的电场力 减小， 错.
（3） 点电荷： 、 、 处电荷在 及其延长线上的点的合场强方向均沿 方向，正电荷沿电场方向移动过程中，电场力做正功， 错.
（4） 点与 点电势： 点电荷移动到无穷远处后，由于 点距 、 、 各点的距离均大于 点距 、 、 各点的距离，故 点电势小于 点电势， 对.
2. [2022福建，6分，多选]我国霍尔推进器技术世界领先，其简化的工作原理如图所示.放电通道两端电极间存在一加速电场，该区域内有一与电场近似垂直的约束磁场（未画出）用于提高工作物质被电离的比例.工作时，工作物质氙气进入放电通道后被电离为氙离子，再经电场加速喷出，形成推力.某次测试中，氙气被电离的比例为 ，氙离子喷射速度为 ，推进器产生的推力为 .已知氙离子的比荷为 ；计算时，取氙离子的初速度为零，忽略磁场对离子的作用力及粒子之间的相互作用，则( AD )
A. 氙离子的加速电压约为
B. 氙离子的加速电压约为
C. 氙离子向外喷射形成的电流约为
D. 每秒进入放电通道的氙气质量约为
[解析] 加速过程 , 对 错
, 对
形成电流 错
3. [2019江苏，3分]一匀强电场的方向竖直向上. 时刻，一带电粒子以一定初速度水平射入该电场，电场力对粒子做功的功率为 ，不计粒子重力，则 关系图像是( A )
A. B.
C. D.
[解析] 带电粒子所受电场力沿竖直方向，则粒子在电场中做类平抛运动，即沿初速度方向做匀速直线运动,沿电场力方向做初速度为零的匀加速直线运动，假设电场力大小为 ，则 ，其中 为沿电场力方向的速度，则 、 ，整理得 ，由关系式可知 图像应为一条过原点的倾斜直线， 正确, 、 、 错误.
二、非选择题
4. [2023新课标理综，14分]密立根油滴实验的示意图如图所示.两水平金属平板上下放置，间距固定，可从上板中央的小孔向两板间喷入大小不同、带电量不同、密度相同的小油滴.两板间不加电压时，油滴 、 在重力和空气阻力的作用下竖直向下匀速运动，速率分别为 、 ;两板间加上电压后（上板为正极），这两个油滴很快达到相同的速率 ，均竖直向下匀速运动.油滴可视为球形，所受空气阻力大小与油滴半径、运动速率成正比，比例系数视为常数.不计空气浮力和油滴间的相互作用.
（1）求油滴 和油滴 的质量之比；
[答案] 根据题述有
设油滴 的质量为 ，油滴 以速率 向下匀速运动，由平衡条件有 ， （2分）
设油滴 的质量为 ，油滴 以速率 向下匀速运动，由平衡条件有 ， （2分）
联立解得 （2分）
（2）判断油滴 和油滴 所带电荷的正负，并求 、 所带电荷量的绝对值之比.
[答案] 由于当在上下平板加恒定电压（上板为高电势）时，这两个油滴很快以 的速率竖直向下匀速运动，所以有
油滴 速度减小，说明油滴 受到了向上的电场力，则油滴 带负电荷（1分）
油滴 速度增大，说明油滴 受到了向下的电场力，则油滴 带正电荷（1分）
由 和 ， 可知，甲乙油滴的半径之比为
由 可知两个油滴均以速率 竖直向下匀速运动时，所受阻力之比为 （1分）
油滴 以速率 竖直向下匀速运动时，所受阻力为
结合 可知油滴 以速率 竖直向下匀速运动时，所受阻力为 （1分）
油滴 以速率 竖直向下匀速运动，所受阻力为
（1分）
设油滴 所带电荷量的绝对值为 ，由平衡条件有
（1分）
设油滴 所带电荷量的绝对值为 ，由平衡条件有
（1分）
联立解得 （1分）
5. [2020天津，18分]多反射飞行时间质谱仪是一种测量离子质量的新型实验仪器，其基本原理如图所示，从离子源 处飘出的离子初速度不计，经电压为 的匀强电场加速后射入质量分析器.质量分析器由两个反射区和长为 的漂移管（无场区域）构成，开始时反射区1、2均未加电场，当离子第一次进入漂移管时，两反射区开始加上电场强度大小相等、方向相反的匀强电场，其电场强度足够大，使得进入反射区的离子能够反射回漂移管.离子在质量分析器中经多次往复即将进入反射区2时，撤去反射区的电场，离子打在荧光屏 上被探测到，可测得离子从 到 的总飞行时间.设实验所用离子的电荷量均为 ,不计离子重力.
（1）求质量为 的离子第一次通过漂移管所用的时间 ;
[答案] 设离子经加速电场加速后的速度大小为 ,有
①（2分）
离子在漂移管中做匀速直线运动，则 ②（2分）
联立①②式，得 ③（2分）
（2）反射区加上电场，电场强度大小为 ，求离子能进入反射区的最大距离 ;
[答案] 根据动能定理，有 ④（2分）
得 ⑤（2分）
（3）已知质量为 的离子总飞行时间为 ,待测离子的总飞行时间为 ，两种离子在质量分析器中反射相同次数，求待测离子质量 .
[答案] 离子在加速电场中运动和反射区电场中每次单向运动均为匀变速直线运动，平均速度大小均相等，设其为 ,有
⑥（2分）
通过⑤式可知，离子在反射区的电场中运动路程是与离子本身无关的，所以不同离子在电场区运动的总路程相等，设为 ,在无场区的总路程设为 ,根据题目条件可知，离子在无场区速度大小恒为 ，设离子的总飞行时间为 ，有
⑦（2分）
联立①⑥⑦式,得 ⑧（2分）
可见，离子从 到 的总飞行时间与 成正比.依题意可得
即 ⑨（2分）
题组七
一、选择题
1. [2023浙江1月选考，3分]如图所示，示波管由电子枪、竖直方向偏转电极 、水平方向偏转电极 和荧光屏组成.电极 的长度为 、间距为 、极板间电压为 ， 极板间电压为零，电子枪加速电压为 .电子刚离开金属丝的速度为零，从电子枪射出后沿 方向进入偏转电极.已知电子电荷量为 ，质量为 ，则电子( D )
A. 在 极板间的加速度大小为
B. 打在荧光屏上时，动能大小为
C. 在 极板间受到电场力的冲量大小为
D. 打在荧光屏上时，其速度方向与 连线夹角 的正切
[解析] 极板间的电场强度大小为 ，电子所受的电场力大小为 ，由牛顿第二定律得 ， 错误；电子在加速电场中运动时电场力做的功为 ，电子沿 方向进入偏转电极，若能打在荧光屏上，在 极板间沿电场力方向的位移 ，则电场力做的功 ，对全过程由动能定理得 ， 错误；电子刚好从 极板的边缘离开时，电子在 极板间受到的电场力做的功为 ，故在 极板间受到电场力的冲量大小 ， 错误；电子离开加速电场时有 ，电子在 极板间的加速度大小为 ，则离开 极板间时电子在垂直 极板方向的速度大小为 ，沿 方向有 ，联立解得 ， 正确.
2. [2022海南，4分，多选]如图甲，物块 放在绝缘水平面上的 点，用跨过轻质定滑轮的绝缘轻绳与物块 连接， 离滑轮足够远.空间存在水平向左的匀强电场，电场强度大小为 . 、 的质量均为 ， 的电荷量为 ， 不带电.运动过程中 与 点的距离设为 ， 与水平面间的动摩擦因数 与 的关系如图乙.规定 点的电势为零，重力加速度大小取 .将 、 由静止释放，则物块 的( ACD )
图甲
图乙
A. 最大速度为
B. 最大位移为
C. 速度为 时，电势能可能为
D. 速度为 时，绳中拉力大小可能为
[解析] 当 速度最大时， 速度也最大，此时两者的加速度均为零，则绳中拉力为 ，对 受力分析可知， ，解得 ，根据图乙可知，对应 ，对 、 整体由能量守恒定律有 ，代入数据解得 ， 正确；设 运动的最大位移为 ，则对 、 整体由能量守恒定律有 ，又 ，代入数据解得 ， 错误；当物块 速度为 时，对 、 整体由能量守恒定律有 ，又 ，代入数据解得 或 ，当 时，物块 的电势能 ， 正确；当 时， ，对物块 由牛顿第二定律有 ，对物块 由牛顿第二定律有 ，联立并代入数据得 ， ， 正确.
3. [2020浙江1月选考，3分]如图所示，电子以某一初速度沿两块平行板的中线方向射入偏转电场中，已知极板长度 ，间距 ，电子质量 ，电荷量 .若电子恰好从极板边缘射出电场,由以上条件可以求出的是( B )
A. 偏转电压 B. 偏转的角度
C. 射出电场速度 D. 电场中运动的时间
[解析] 由题意可知电子在平行于平行板中线方向做匀速直线运动，在垂直于极板方向做初速度为零的匀加速直线运动，则在平行于平行板中线方向上有 ，在垂直于极板方向上有 ，而 ，由于初速度大小 未知，则电子在电场中运动的时间不可求，偏转电压不可求，电子离开电场的速度不可求， 、 、 错误；电子恰好从极板边缘射出电场时，位移与初速度方向夹角的正切值为 ，由类平抛运动的规律可知，电子射出电场时的速度与初速度方向夹角的正切值为 ，即电子的偏转角度可求， 正确.
二、非选择题
4. [2022江苏，16分]某装置用电场控制带电粒子运动，工作原理如图所示.矩形 区域内存在多层紧邻的匀强电场，每层的高度均为 ，电场强度大小均为 ，方向沿竖直方向交替交化， 边长为 ， 边长为 .质量为 、电荷量为 的粒子流从装置左端中点射入电场，粒子初动能为 ，入射角为 ，在纸面内运动.不计粒子重力及粒子间的相互作用力.
（1）当 时，若粒子能从 边射出，求该粒子通过电场的时间 ；
[答案] 粒子所受电场力在竖直方向上，粒子在水平方向上做匀速直线运动，速度分解如图1所示
粒子在水平方向上的分速度为 （1分）
根据 可知 （1分）
则时间 （1分）
图1
（2）当 时，若粒子从 边射出电场时与轴线 的距离小于 ，求入射角 的范围；
[答案] 粒子进入电场时的初动能 （1分）
粒子进入电场后只有电场力做功，粒子竖直方向上反复运动后，根据题意可知最终的运动空间如图2所示
若粒子从 上部分离开 边，则电场力做负功，根据动能定理可知 （1分）
其中 ， （1分）
粒子在水平方向上做匀速直线运动
所以 ，竖直方向上
动能定理的方程可表示为
（1分）
当 时， 取到最大值
即 （1分）
解得粒子在竖直方向上的最大位移为 （1分）
根据题意可知 ，可知
解得 （1分）
粒子在 上、下部分运动呈现对称性，所以入射角的范围为
或 （1分）
图2
（3）当 ，粒子在 为 ~ 范围内均匀射入电场时，求从 边出射的粒子与入射粒子的数量之比 .
[答案] 粒子在水平方向做匀速直线运动，从 边射出时，粒子穿过电场所用时间为
（1分）
当粒子恰好从 点射出时，由于粒子在电场方向上反复做加速度大小相等的减速运动、加速运动，如此循环3次；故粒子沿电场线方向的速度在 上方 、 、 处的大小相同，在 上方 、 、 处的速度大小也相同；则可知粒子在每一段电场中的运动时间均相等，设为 ,可得 （1分）
在第一段电场中，竖直方向上有
（1分）
又
联立可得 （1分）
即
可得 或 （舍去）
故
则从 边出射的粒子与入射粒子的数量之比 （1分）
5. [2021福建，16分]如图（a），同一竖直平面内 、 、 、 四点距 点的距离均为 ， 为水平连线 的中点， 、 在 连线的中垂线上， 、 两点分别固定有一点电荷，电荷量均为 .以 为原点，竖直向下为正方向建立 轴，若取无穷远处为电势零点，则 上的电势 随位置 的变化关系如图（b）所示.一电荷量为 的小球 以一定的初动能从 点竖直下落，一段时间后经过 点，其在 段运动的加速度大小 随位置 的变化关系如图（c）所示.图中 为重力加速度大小、 为静电力常量.
图（a）
图（b）
图（c）
（1）求小球 在 点所受电场力的大小；
[答案] 设 到 点的距离为 、 点的电荷对小球 （在 点时）的库仑力大小为 ，由库仑定律有 （1分）
设小球 在 点所受电场力大小为 ，结合 点的电荷对小球 的库仑力由力的合成有 （1分）
联立①②式并代入数据得 （1分）
（2）当小球 运动到 点时，恰与一沿 轴负方向运动的不带电绝缘小球 发生弹性碰撞.已知 与 的质量相等，碰撞前、后 的动能均为 ，碰撞时间极短.求碰撞前 的动量大小；
[答案] 设 点下方 处为 点、 与 的距离为 、小球 在 处所受的库仑力大小为 ，由库仑定律和力的合成有
（1分）
式中 ，
设小球 的质量为 、小球 在 点的加速度大小为 ，由牛顿第二定律有 （1分）
由图（c）可知，式中 ，联立④⑤式并代入数据得
（1分）
设 的质量为 ，碰撞前、后 的速度分别为 、 ， 碰撞前、后的速度分别为 、 ，取竖直向下为正方向，由动量守恒定律和能量守恒定律有
（1分）
⑧（1分）
设小球 碰撞前的动量为 ，由动量的定义有 （1分）
依题意有 ，
联立⑥⑦⑧⑨式并代入数据得 （1分）
即碰撞前 的动量大小为 （1分）
（3）现将 固定在 点，为保证 能运动到 点与之相碰， 从 点下落时的初动能需满足什么条件？
[答案] 设 点上方 处为 点，根据图（c）和对称性可知， 在 点所受的电场力大小等于小球的重力大小、方向竖直向上， 在此处加速度为0；又 ，故 在 点上方做减速运动，在 点下方做加速运动，为保证 能运动到 点与 相碰， 运动到 点时的速度必须大于零（1分）
设 点与 点间的电势差为 ，由电势差的定义有
（1分）
设小球 初动能为 ，运动到 点的动能为 ，由动能定理有
（1分）
（1分）
由对称性知， 点与 点电势相等， 点与 点电势相等，依据图（b）所给数据，并联立⑥ 式可得
（1分）
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2019-2023年物理高考真题分类
专题九 静电场
电场力与能的性质
题组一
1. [2023全国甲，6分]在一些电子显示设备中，让阴极发射的电子束通过适当的非匀强电场，可以使发散的电子束聚集.下列4幅图中带箭头的实线表示电场线，如果用虚线表示电子可能的运动轨迹，其中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
2. [2023海南，4分，多选]如图所示，正三角形三个顶点固定三个带等量电荷的点电荷，其中 、 带正电， 带负电， 、 、 为 边的四等分点，下列说法正确的是( )
A. 、 两点的电场强度相同
B. 、 两点的电势相同
C. 负电荷在 点的电势能比在 点时要小
D. 负电荷在 点的电势能比在 点时要大
3. [2023全国乙，6分，多选]在 点处固定一个正点电荷， 点在 点右上方.从 点由静止释放一个带负电的小球，小球仅在重力和该点电荷电场力作用下在竖直面内运动，其一段轨迹如图所示. 、 是轨迹上的两点， ， ,则小球( )
A. 在运动过程中，电势能先增加后减少
B. 在 点的电势能大于在 点的电势能
C. 在 点的机械能等于在 点的机械能
D. 从 点运动到 点的过程中，电场力始终不做功
4. [2022海南，4分，多选]某带电体周围的电场线和等势面如图所示，图中 、 两点的电场强度大小分别为 、 ，电势分别为 、 ，则( )
A. B. C. D.
5. [2022福建，4分]平时我们所处的地球表面，实际上存在场强大小为 的电场，可将其视为匀强电场，在地面立一金属杆后空间中的等势面如图所示.空间中存在 、 、 三点，其中 点位于金属杆正上方， 、 等高.则下列说法正确的是( )
A. 、 两点的电势差 B. 点场强大小大于
C. 点场强方向水平向右 D. 点的电势低于 点
6. [2022湖南，4分]如图，四根完全相同的均匀带正电绝缘长棒对称放置在长方体的四条长边 、 、 、 上.移去 处的绝缘棒，假定另外三根绝缘棒电荷分布不变.关于长方体几何中心 点处电场强度方向和电势的变化，下列说法正确的是( )
A.电场强度方向垂直指向 ，电势减小
B. 电场强度方向垂直指向 ，电势减小
C. 电场强度方向垂直指向 ，电势增大
D. 电场强度方向垂直指向 ，电势增大
7. [2021湖北，4分，多选]关于电场，下列说法正确的是( )
A. 电场是物质存在的一种形式
B. 电场力一定对正电荷做正功
C. 电场线是实际存在的线，反映电场强度的大小和方向
D. 静电场的电场线总是与等势面垂直，且从电势高的等势面指向电势低的等势面
8. [2021浙江6月选考，3分]某书中有如图所示的图，用来表示横截面是“ ”形导体右侧的电场线和等势面，其中 、 是同一条实线上的两点， 是另一条实线上的一点， 是导体尖角右侧表面附近的一点.下列说法正确的是( )
A. 实线表示电场线
B. 离 点最近的导体表面电荷密度最大
C. “ ”形导体右侧表面附近电场强度方向均相同
D. 电荷从 点到 点再到 点电场力做功一定为零
9. [2021海南，4分，多选]如图，在匀强电场中有一虚线圆， 和 是圆的两条直径，其中 与电场方向的夹角为 ， ， 与电场方向平行， 、 两点间的电势差 .则( )
A. 电场强度的大小
B. 点的电势比 点的低
C. 将电子从 点移到 点，电场力做正功
D. 电子在 点的电势能大于在 点的电势能
10. [2021湖南，4分]如图，在 位置放置电荷量为 的正点电荷，在 位置放置电荷量为 的负点电荷，在距 为 的某点处放置正点电荷 ，使得 点的电场强度为零.则 的位置及电荷量分别为( )
A. , B. , C. , D. ,
11. [2021湖北，4分，多选]如图所示，一匀强电场 大小未知、方向水平向右.两根长度均为 的绝缘轻绳分别将小球 和 悬挂在电场中，悬点均为 .两小球质量均为 、带等量异号电荷，电荷量大小均为 .平衡时两轻绳与竖直方向的夹角均为 .若仅将两小球的电荷量同时变为原来的2倍，两小球仍在原位置平衡.已知静电力常量为 ，重力加速度大小为 ，下列说法正确的是( )
A. 带正电荷 B. 带正电荷 C. D.
12. （2020全国Ⅱ，6分，多选）如图，竖直面内一绝缘细圆环的上、下半圆分别均匀分布着等量异种电荷. 、 为圆环水平直径上的两个点， 、 为竖直直径上的两个点，它们与圆心的距离均相等.则( )
A. 、 两点的场强相等 B. 、 两点的电势相等
C. 、 两点的场强相等 D. 、 两点的电势相等
题组二
1. [2023湖南，4分]如图，真空中有三个点电荷固定在同一直线上，电荷量分别为 、 和 ， 点和三个点电荷的连线与点电荷所在直线的夹角分别为 、 和 .若 点处的电场强度为零， ,则三个点电荷的电荷量可能为( )
A. , , B. , ,
C. , , D. , ,
2. [2023辽宁，6分，多选]图 （a）为金属四极杆带电粒子质量分析器的局部结构示意图，图 （b）为四极杆内垂直于 轴的任意截面内的等势面分布图，相邻两等势面间电势差相等，则( )
图（a）
图（b）
A. 点电势比 点的低 B. 点电场强度大小比 点的大
C. 点电场强度方向沿 轴正方向 D. 沿 轴运动的带电粒子，电势能不变
3. [2022湖北，4分]密立根油滴实验装置如图所示，两块水平放置的金属板分别与电源的正负极相接，板间产生匀强电场.用一个喷雾器把密度相同的许多油滴从上板中间的小孔喷入电场，油滴从喷口喷出时由于摩擦而带电.金属板间电势差为 时，电荷量为 、半径为 的球状油滴在板间保持静止.若仅将金属板间电势差调整为 ，则在板间能保持静止的球状油滴所带电荷量和半径可以为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
4. [2022重庆，5分，多选]如图为两点电荷 、 的电场等势面分布示意图， 、 位于 轴上，相邻等势面间的电势差为 .若 轴上的 点和 点位于 等势面上， 为某等势面上一点，则( )
A. 点的电场强度大小比 点的大 B. 为正电荷
C. 点的电场方向沿 轴负方向 D. 点与 点的电势差为
5. [2022全国乙，6分，多选]如图，两对等量异号点电荷 、 固定于正方形的4个顶点上. 、 是该正方形两条对角线与其内切圆的交点， 为内切圆的圆心， 为切点.则( )
A. 和 两点处的电场方向相互垂直
B. 点的电场方向平行于该点处的切线，方向向左
C. 将一带正电的点电荷从 点移动到 点，电场力做正功
D. 将一带正电的点电荷从 点移动到 点，电场力做功为零
6. [2022山东，3分]半径为 的绝缘细圆环固定在图示位置，圆心位于 点，环上均匀分布着电荷量为 的正电荷.点 、 、 将圆环三等分，取走 、 处两段弧长均为 的小圆弧上的电荷.将一点电荷 置于 延长线上距 点为 的 点， 点的电场强度刚好为零.圆环上剩余电荷分布不变， 为( )
A. 正电荷， B. 正电荷，
C. 负电荷， D. 负电荷，
7. [2021河北，6分，多选]如图，四个电荷量均为 的点电荷分别放置于菱形的四个顶点，其坐标分别为 、 、 和 ，其中 轴上的两个点电荷位置固定， 轴上的两个点电荷可沿 轴对称移动 .下列说法正确的是( )
A. 除无穷远处之外，菱形外部电场强度处处不为零
B. 当 取某值时，可使得菱形内部只存在两个电场强度为零的点
C. 当 时，将一带负电的试探电荷由点 移至点 ，静电力做正功
D. 当 时,将一带负电的试探电荷放置在点 处，其所受到的静电力方向与 轴正方向成 倾斜向上
8. [2021天津，5分，多选]两个位于纸面内的点电荷产生电场的等势面如图中实线所示，相邻等势面间的电势差相等.虚线 是一个电子在该电场中的运动轨迹，轨迹与某等势面相切于 点.下列说法正确的是( )
A. 两点电荷可能是异种点电荷 B. 点的电场强度比 点的大
C. 点的电势高于 点的电势 D. 电子运动到 点时动能最小
9. [2020浙江1月选考，3分]如图所示，在倾角为 的光滑绝缘斜面上固定一个挡板，在挡板上连接一根劲度系数为 的绝缘轻质弹簧，弹簧另一端与 球连接. 、 、 三小球的质量均为 ， , ,当系统处于静止状态时，三小球等间距排列.已知静电力常量为 ，则( )
A. B. 弹簧伸长量为
C. 球受到的库仑力大小为 D. 相邻两小球间距为
10. （2020全国Ⅲ，6分，多选）如图， 是锐角三角形 最大的内角，电荷量为 的点电荷固定在 点.下列说法正确的是( )
A. 沿 边，从 点到 点，电场强度的大小逐渐增大
B. 沿 边，从 点到 点，电势先增大后减小
C. 正电荷在 点的电势能比其在 点的电势能大
D. 将正电荷从 点移动到 点，电场力所做的总功为负
题组三
一、选择题
1. [2023浙江6月选考，3分]某带电粒子转向器的横截面如图所示,转向器中有辐向电场.粒子从 点射入,沿着由半径分别为 和 的圆弧平滑连接成的虚线（等势线）运动,并从虚线上的 点射出,虚线处电场强度大小分别为 和 ,则 、 和 、 应满足( )
A. B. C. D.
2. [2022河北，4分]如图,真空中电荷量为 和 的两个点电荷分别位于 点与 点,形成一个以 延长线上 点为球心,电势为零的等势面（取无穷远处电势为零）, 为 连线上的一点, 为等势面与直线 的交点, 为等势面上一点,下列说法正确的是( )
A. 点电势低于 点电势
B. 点电场方向指向 点
C. 除无穷远处外,直线上还有两个电场强度为零的点
D. 将正试探电荷 从无穷远处移到 点,静电力做正功
3. [2022辽宁，6分，多选]如图所示，带电荷量为 的球1固定在倾角为 的光滑绝缘斜面上的 点，其正上方 处固定一带电荷量为 的球2，斜面上距 点 处的 点有质量为 的带电球3.球3与一端固定的绝缘轻质弹簧相连并在 点处于静止状态，此时弹簧的压缩量为 ，球2、3间的静电力大小为 .迅速移走球1后，球3沿斜面向下运动. 为重力加速度，球的大小可忽略，下列关于球3的说法正确的是( )
A. 带负电
B. 运动至 点的速度大小为
C. 运动至 点的加速度大小为
D. 运动至 中点时对斜面的压力大小为
4. [2022全国甲，6分，多选]地面上方某区域存在方向水平向右的匀强电场，将一带正电荷的小球自电场中 点水平向左射出.小球所受的重力和电场力的大小相等，重力势能和电势能的零点均取在 点.则射出后，( )
A. 小球的动能最小时，其电势能最大
B. 小球的动能等于初始动能时，其电势能最大
C. 小球速度的水平分量和竖直分量大小相等时，其动能最大
D. 从射出时刻到小球速度的水平分量为零时，重力做的功等于小球电势能的增加量
5. [2021广东，4分]如图所示是某种静电推进装置的原理图，发射极与吸极接在高压电源两端，两极间产生强电场，虚线为等差等势面.在强电场作用下，一带电液滴从发射极加速飞向吸极， 、 是其路径上的两点.不计液滴重力.下列说法正确的是( )
A. 点的电势比 点的低 B. 点的电场强度比 点的小
C. 液滴在 点的加速度比在 点的小 D. 液滴在 点的电势能比在 点的大
6. [2021全国乙，6分]如图（a）, 在一块很大的接地金属平板的上方固定一负电荷.由于静电感应，在金属平板上表面产生感应电荷，金属板上方电场的等势面如图（b）中虚线所示，相邻等势面间的电势差都相等.若将一正试探电荷先后放于 和 处，该试探电荷受到的电场力大小分别为 和 ，相应的电势能分别为 和 ,则( )
图(a)
图(b)
A. , B. ,
C. , D. ,
7. [2021全国甲，6分，多选]某电场的等势面如图所示，图中 、 、 、 、 为电场中的5个点，则( )
A. 一正电荷从 点运动到 点，电场力做正功
B. 一电子从 点运动到 点，电场力做功为
C. 点电场强度垂直于该点所在等势面，方向向右
D. 、 、 、 四个点中， 点的电场强度大小最大
8. [2021辽宁，4分]等量异号点电荷固定在水平向右的匀强电场中，电场分布如图所示，实线表示电场线，虚线表示等势线.将同一负电荷先后置于 、 两点，电势能分别为 和 ，电荷所受电场力大小分别为 和 ，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
9. [2021江苏，4分]一球面均匀带有正电荷，球内的电场强度处处为零，如图所示， 为球心， 、 为直径上的两点， ，现垂直于 将球面均分为左右两部分， 为截面上的一点，移去左半球面，右半球面所带电荷仍均匀分布，则( )
A. 、 两点电势相等 B. 点的电场强度大于 点
C. 沿直线从 到 电势先升高后降低 D. 沿直线从 到 电场强度逐渐增大
10. [2020山东，4分，多选]真空中有两个固定的带正电的点电荷，电荷量不相等.一个带负电的试探电荷置于二者连线上的 点时，仅在电场力的作用下恰好保持静止状态.过 点作两正电荷连线的垂线，以 点为圆心的圆与连线和垂线分别交于 、 和 、 ，如图所示.以下说法正确的是( )
A. 点电势低于 点
B. 点电势低于 点
C. 该试探电荷在 点的电势能大于在 点的电势能
D. 该试探电荷在 点的电势能小于在 点的电势能
11. [2020江苏，4分，多选]如图所示，绝缘轻杆的两端固定带有等量异号电荷的小球（不计重力）.开始时，两小球分别静止在 、 位置.现外加一匀强电场 ，在静电力作用下，小球绕轻杆中点 转到水平位置.取 点的电势为0.下列说法正确的有( )
A. 电场 中 点电势低于 点 B. 转动中两小球的电势能始终相等
C. 该过程静电力对两小球均做负功 D. 该过程两小球的总电势能增加
二、非选择题
12. [2022上海，4分]水平面上有一带电荷量为 的均匀带电圆环，圆心为 .其中央轴线上距离 点为 的位置处有一带电荷量为 的点电荷.若点电荷受到的电场力为 ,则 （ 为静电力常量，选填“ ”“ ”或“ ”）.静电力常量 的单位可表示
为 （用“ 单位制”中的基本单位表示）.
电容器及带电体在电场中的动力学问题
题组四
一、选择题
1. [2023海南，3分]如图所示，一光滑绝缘轨道水平放置，直径上有 、 两点， , ，在 、 两点固定两个带电荷量分别为 、 的正电荷，现有一个带正电的小球静置于轨道内侧 点（小球可视为点电荷），已知 ，则 是( )
A. B. C. D.
2. [2023浙江6月选考，3分] 、 两块正对的平行金属板与水平面成 角固定,竖直截面如图所示.两板间距 ,电荷量为 、质量为 的小球用长为 的绝缘细线悬挂于 点.闭合开关 ,小球静止时,细线与 板夹角为 ;剪断细线,小球运动到 板上的 点（未标出），则( )
A. 距离为 B. 电势能增加了
C. 电场强度大小为 D. 减小 的阻值, 的距离将变大
3. [2022重庆，4分]如图为某同学采用平行板电容器测量材料竖直方向尺度随温度变化的装置示意图，电容器上极板固定，下极板可随材料尺度的变化上下移动，两极板间电压不变.若材料温度降低时，极板上所带电荷量变少，则( )
A. 材料竖直方向尺度减小 B. 极板间电场强度不变
C. 极板间电场强度变大 D. 电容器电容变大
二、非选择题
4. [2023全国乙，12分]如图，等边 位于竖直平面内, 边水平,顶点 在 边上方,3个点电荷分别固定在三角形的三个顶点上.已知 边中点 处的电场强度方向竖直向下， 边中点 处的电场强度方向竖直向上， 点处点电荷的电荷量的绝对值为 ，求
（1） 点处点电荷的电荷量的绝对值并判断3个点电荷的正负；
（2） 点处点电荷的电荷量.
5. [2022北京，9分]如图所示，真空中平行金属板 、 之间距离为 ,两板所加的电压为 .一质量为 、电荷量为 的带正电粒子从 板由静止释放.不计带电粒子的重力.
（1）求带电粒子所受的静电力的大小 ;
（2）求带电粒子到达 板时的速度大小 ;
（3）若在带电粒子运动 距离时撤去所加电压，求该粒子从 板运动到 板经历的时间 .
6. [2019天津，20分]2018年,人类历史上第一架由离子引擎推动的飞机诞生,这种引擎不需要燃料,也无污染物排放.引擎获得推力的原理如图所示,进入电离室的气体被电离成正离子,而后飘入电极 、 之间的匀强电场（初速度忽略不计）, 、 间电压为 ,使正离子加速形成离子束,在加速过程中引擎获得恒定的推力.单位时间内飘入的正离子数目为定值,离子质量为 ,电荷量为 ,其中 是正整数, 是元电荷.
（1）若引擎获得的推力为 ,求单位时间内飘入 、 间的正离子数目 为多少;
（2）加速正离子束所消耗的功率 不同时,引擎获得的推力 也不同,试推导 的表达式;
（3）为提高能量的转换效率,要使 尽量大,请提出增大 的三条建议.
题组五
一、选择题
1. [2023海南，3分]如图所示电路，已知电源电动势为 ，内阻不计，电容器电容为 ，闭合开关 ，待电路稳定后，电容器上的电荷量为( )
A. B. C. D.
2. [2023湖北，4分，多选]一带正电微粒从静止开始经电压 加速后，射入水平放置的平行板电容器，极板间电压为 .微粒射入时紧靠下极板边缘，速度方向与极板夹角为 ，微粒运动轨迹的最高点到极板左右两端的水平距离分别为 和 ，到两极板距离均为 ，如图所示.忽略边缘效应，不计重力.下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 微粒穿过电容器区域的偏转角度的正切值为2
D. 仅改变微粒的质量或者电荷数量，微粒在电容器中的运动轨迹不变
3. [2022北京，3分]利用如图所示电路观察电容器的充、放电现象，其中 为电源， 为定值电阻， 为电容器，为电流表，为电压表.下列说法正确的是( )
A. 充电过程中，电流表的示数逐渐增大后趋于稳定
B. 充电过程中，电压表的示数迅速增大后趋于稳定
C. 放电过程中，电流表的示数均匀减小至零
D. 放电过程中，电压表的示数均匀减小至零
4. [2021山东，3分]如图甲所示，边长为 的正方形，四个顶点上分别固定一个电荷量为 的点电荷；在 区间， 轴上电势 的变化曲线如图乙所示.现将一电荷量为 的点电荷 置于正方形的中心 点，此时每个点电荷所受库仑力的合力均为零.若将 沿 轴向右略微移动后，由静止释放，以下判断正确的是( )
图甲
图乙
A. ，释放后 将向右运动 B. ，释放后 将向左运动
C. ，释放后 将向右运动 D. ，释放后 将向左运动
5. [2021全国乙，6分，多选]四个带电粒子的电荷量和质量分别为 、 、 、 ,它们先后以相同的速度从坐标原点沿 轴正方向射入一匀强电场中，电场方向与 轴平行.不计重力.下列描绘这四个粒子运动轨迹的图像中，可能正确的是( )
A. B. C. D.
二、非选择题
6. [2022辽宁，12分]如图所示，光滑水平面 和竖直面内的光滑 圆弧导轨 在 点平滑连接，导轨半径为 .质量为 的带正电小球将轻质弹簧压缩至 点后由静止释放，脱离弹簧后经过 点时的速度大小为 ，之后沿导轨 运动.以 为坐标原点建立直角坐标系 ，在 区域有方向与 轴夹角为 的匀强电场，进入电场后小球受到的电场力大小为 .小球在运动过程中电荷量保持不变，重力加速度为 .求:
（1）弹簧压缩至 点时的弹性势能；
（2）小球经过 点时的速度大小；
（3）小球过 点后运动的轨迹方程.
7. （2020全国Ⅰ，20分）在一柱形区域内有匀强电场，柱的横截面是以 为圆心、半径为 的圆， 为圆的直径，如图所示.质量为 ，电荷量为 的带电粒子在纸面内自 点先后以不同的速度进入电场，速度方向与电场的方向垂直.已知刚进入电场时速度为零的粒子，自圆周上的 点以速率 穿出电场， 与 的夹角 .运动中粒子仅受电场力作用.
（1）求电场强度的大小；
（2）为使粒子穿过电场后的动能增量最大，该粒子进入电场时的速度应为多大？
（3）为使粒子穿过电场前后动量变化量的大小为 ，该粒子进入电场时的速度应为多大
题组六
一、选择题
1. [2022江苏，4分]如图所示，正方形 的四个顶点各固定一个带正电的点电荷，电荷量相等， 点为正方形的中心.现将 点的电荷沿 的延长线向无穷远处移动，则( )
A. 在移动过程中， 点电场强度变小
B. 在移动过程中， 点的电荷所受静电力变大
C. 在移动过程中，移动的电荷所受静电力做负功
D. 当其移动到无穷远处， 点的电势高于 点
2. [2022福建，6分，多选]我国霍尔推进器技术世界领先，其简化的工作原理如图所示.放电通道两端电极间存在一加速电场，该区域内有一与电场近似垂直的约束磁场（未画出）用于提高工作物质被电离的比例.工作时，工作物质氙气进入放电通道后被电离为氙离子，再经电场加速喷出，形成推力.某次测试中，氙气被电离的比例为 ，氙离子喷射速度为 ，推进器产生的推力为 .已知氙离子的比荷为 ；计算时，取氙离子的初速度为零，忽略磁场对离子的作用力及粒子之间的相互作用，则( )
A. 氙离子的加速电压约为
B. 氙离子的加速电压约为
C. 氙离子向外喷射形成的电流约为
D. 每秒进入放电通道的氙气质量约为
3. [2019江苏，3分]一匀强电场的方向竖直向上. 时刻，一带电粒子以一定初速度水平射入该电场，电场力对粒子做功的功率为 ，不计粒子重力，则 关系图像是( )
A. B.
C. D.
二、非选择题
4. [2023新课标理综，14分]密立根油滴实验的示意图如图所示.两水平金属平板上下放置，间距固定，可从上板中央的小孔向两板间喷入大小不同、带电量不同、密度相同的小油滴.两板间不加电压时，油滴 、 在重力和空气阻力的作用下竖直向下匀速运动，速率分别为 、 ;两板间加上电压后（上板为正极），这两个油滴很快达到相同的速率 ，均竖直向下匀速运动.油滴可视为球形，所受空气阻力大小与油滴半径、运动速率成正比，比例系数视为常数.不计空气浮力和油滴间的相互作用.
（1）求油滴 和油滴 的质量之比；
（2）判断油滴 和油滴 所带电荷的正负，并求 、 所带电荷量的绝对值之比.
5. [2020天津，18分]多反射飞行时间质谱仪是一种测量离子质量的新型实验仪器，其基本原理如图所示，从离子源 处飘出的离子初速度不计，经电压为 的匀强电场加速后射入质量分析器.质量分析器由两个反射区和长为 的漂移管（无场区域）构成，开始时反射区1、2均未加电场，当离子第一次进入漂移管时，两反射区开始加上电场强度大小相等、方向相反的匀强电场，其电场强度足够大，使得进入反射区的离子能够反射回漂移管.离子在质量分析器中经多次往复即将进入反射区2时，撤去反射区的电场，离子打在荧光屏 上被探测到，可测得离子从 到 的总飞行时间.设实验所用离子的电荷量均为 ,不计离子重力.
（1）求质量为 的离子第一次通过漂移管所用的时间 ;
（2）反射区加上电场，电场强度大小为 ，求离子能进入反射区的最大距离 ;
（3）已知质量为 的离子总飞行时间为 ,待测离子的总飞行时间为 ，两种离子在质量分析器中反射相同次数，求待测离子质量 .
题组七
一、选择题
1. [2023浙江1月选考，3分]如图所示，示波管由电子枪、竖直方向偏转电极 、水平方向偏转电极 和荧光屏组成.电极 的长度为 、间距为 、极板间电压为 ， 极板间电压为零，电子枪加速电压为 .电子刚离开金属丝的速度为零，从电子枪射出后沿 方向进入偏转电极.已知电子电荷量为 ，质量为 ，则电子( )
A. 在 极板间的加速度大小为
B. 打在荧光屏上时，动能大小为
C. 在 极板间受到电场力的冲量大小为
D. 打在荧光屏上时，其速度方向与 连线夹角 的正切
2. [2022海南，4分，多选]如图甲，物块 放在绝缘水平面上的 点，用跨过轻质定滑轮的绝缘轻绳与物块 连接， 离滑轮足够远.空间存在水平向左的匀强电场，电场强度大小为 . 、 的质量均为 ， 的电荷量为 ， 不带电.运动过程中 与 点的距离设为 ， 与水平面间的动摩擦因数 与 的关系如图乙.规定 点的电势为零，重力加速度大小取 .将 、 由静止释放，则物块 的( )
图甲
图乙
A. 最大速度为
B. 最大位移为
C. 速度为 时，电势能可能为
D. 速度为 时，绳中拉力大小可能为
3. [2020浙江1月选考，3分]如图所示，电子以某一初速度沿两块平行板的中线方向射入偏转电场中，已知极板长度 ，间距 ，电子质量 ，电荷量 .若电子恰好从极板边缘射出电场,由以上条件可以求出的是( )
A. 偏转电压 B. 偏转的角度
C. 射出电场速度 D. 电场中运动的时间
二、非选择题
4. [2022江苏，16分]某装置用电场控制带电粒子运动，工作原理如图所示.矩形 区域内存在多层紧邻的匀强电场，每层的高度均为 ，电场强度大小均为 ，方向沿竖直方向交替交化， 边长为 ， 边长为 .质量为 、电荷量为 的粒子流从装置左端中点射入电场，粒子初动能为 ，入射角为 ，在纸面内运动.不计粒子重力及粒子间的相互作用力.
（1）当 时，若粒子能从 边射出，求该粒子通过电场的时间 ；
（2）当 时，若粒子从 边射出电场时与轴线 的距离小于 ，求入射角 的范围；
（3）当 ，粒子在 为 ~ 范围内均匀射入电场时，求从 边出射的粒子与入射粒子的数量之比 .
5. [2021福建，16分]如图（a），同一竖直平面内 、 、 、 四点距 点的距离均为 ， 为水平连线 的中点， 、 在 连线的中垂线上， 、 两点分别固定有一点电荷，电荷量均为 .以 为原点，竖直向下为正方向建立 轴，若取无穷远处为电势零点，则 上的电势 随位置 的变化关系如图（b）所示.一电荷量为 的小球 以一定的初动能从 点竖直下落，一段时间后经过 点，其在 段运动的加速度大小 随位置 的变化关系如图（c）所示.图中 为重力加速度大小、 为静电力常量.
图（a）
图（b）
图（c）
（1）求小球 在 点所受电场力的大小；
（2）当小球 运动到 点时，恰与一沿 轴负方向运动的不带电绝缘小球 发生弹性碰撞.已知 与 的质量相等，碰撞前、后 的动能均为 ，碰撞时间极短.求碰撞前 的动量大小；
（3）现将 固定在 点，为保证 能运动到 点与之相碰， 从 点下落时的初动能需满足什么条件？
专题九 静电场
电场力与能的性质
题组一
1. [2023全国甲，6分]在一些电子显示设备中，让阴极发射的电子束通过适当的非匀强电场，可以使发散的电子束聚集.下列4幅图中带箭头的实线表示电场线，如果用虚线表示电子可能的运动轨迹，其中正确的是( A )
A.
B.
C.
D.
[解析] 带电粒子在电场中做曲线运动，粒子所受电场力指向轨迹的凹侧，如图所示，故选 .
2. [2023海南，4分，多选]如图所示，正三角形三个顶点固定三个带等量电荷的点电荷，其中 、 带正电， 带负电， 、 、 为 边的四等分点，下列说法正确的是( BC )
A. 、 两点的电场强度相同
B. 、 两点的电势相同
C. 负电荷在 点的电势能比在 点时要小
D. 负电荷在 点的电势能比在 点时要大
[解析] 经分析可知 、 两点电场强度的大小相等，方向不同， 错；由 可知， 、 两点在 、 的电场中位于同一等势面上，比 点电势要高，同时 、 两点在 的电场中也是位于同一等势面上，也比 点电势要高，所以 、 两点位于同一等势面上，电势相等， 对；由于 点电势高于 点电势，根据 可知，负电荷在 点的电势能高于在 点的电势能， 对， 错.
3. [2023全国乙，6分，多选]在 点处固定一个正点电荷， 点在 点右上方.从 点由静止释放一个带负电的小球，小球仅在重力和该点电荷电场力作用下在竖直面内运动，其一段轨迹如图所示. 、 是轨迹上的两点， ， ,则小球( BC )
A. 在运动过程中，电势能先增加后减少
B. 在 点的电势能大于在 点的电势能
C. 在 点的机械能等于在 点的机械能
D. 从 点运动到 点的过程中，电场力始终不做功
[解析] 画出 点处点电荷过 、 两点的等势面，如图所示，由图可知带负电的小球在运动过程中电场力先做正功，后做负功，电势能先减小后增大， 错；沿电场线方向电势降低，则 ，根据电势能计算式 ，结合小球带负电可知 ， 对；小球在运动过程中动能、重力势能、电势能的总和保持不变，并相互转化， 、 两点在点电荷的等势面上，因此小球在 、 两点上的电势能相等，又机械能为动能与重力势能之和，则小球在 、 两点上的机械能相等， 对.
4. [2022海南，4分，多选]某带电体周围的电场线和等势面如图所示，图中 、 两点的电场强度大小分别为 、 ，电势分别为 、 ，则( BD )
A. B. C. D.
[解析] 电场线的疏密程度反映电场强度的大小， 点所在处的电场线较 点的稀疏，所以 ， 错误， 正确；沿电场线方向电势逐渐降低，所以越靠外侧的等势面上电势越低， 点所在的等势面较 点的靠外，则 ， 错误， 正确.
5. [2022福建，4分]平时我们所处的地球表面，实际上存在场强大小为 的电场，可将其视为匀强电场，在地面立一金属杆后空间中的等势面如图所示.空间中存在 、 、 三点，其中 点位于金属杆正上方， 、 等高.则下列说法正确的是( B )
A. 、 两点的电势差 B. 点场强大小大于
C. 点场强方向水平向右 D. 点的电势低于 点
[解析] 由图可知， 、 两点的电势差为 ， 错误；由图可知， 点与相邻两等势面的距离均小于 ，电势差等于 ，根据 可知 点场强大小大于 ， 正确；已知 点位于金属杆正上方，则根据场强方向垂直于等势面可知 点的场强方向沿竖直方向，不是水平向右， 错误；由图可知， 点与 点在同一等势面上，电势均为 ， ， 错误.
6. [2022湖南，4分]如图，四根完全相同的均匀带正电绝缘长棒对称放置在长方体的四条长边 、 、 、 上.移去 处的绝缘棒，假定另外三根绝缘棒电荷分布不变.关于长方体几何中心 点处电场强度方向和电势的变化，下列说法正确的是( A )
A.电场强度方向垂直指向 ，电势减小
B. 电场强度方向垂直指向 ，电势减小
C. 电场强度方向垂直指向 ，电势增大
D. 电场强度方向垂直指向 ，电势增大
[解析] 由对称性与电场叠加原理可知， 、 、 、 处四根完全相同、均匀带正电绝缘长棒在 点的合场强为零，类比正点电荷电场可知，一根带正电绝缘长棒在空间某点的场强方向沿该棒所在直线的垂线指向该点，故撤去 处的绝缘棒后， 点的电场强度方向由 点垂直指向 ， 、 项错误；设每根带正电绝缘长棒在 点产生的电势为 ，且大于零，则根据电势的叠加原理知，四根完全相同、均匀带正电绝缘长棒在 点产生的电场的电势为 ，若撤去 处的绝缘棒，其他三棒在 点产生的电场的电势为 ，故撤去 处的绝缘棒后， 点的电势减小， 项正确、 项错误.
7. [2021湖北，4分，多选]关于电场，下列说法正确的是( AD )
A. 电场是物质存在的一种形式
B. 电场力一定对正电荷做正功
C. 电场线是实际存在的线，反映电场强度的大小和方向
D. 静电场的电场线总是与等势面垂直，且从电势高的等势面指向电势低的等势面
[解析] 电场是存在于电荷周围的一种特殊媒介物质， 正确；如果正电荷的速度方向与电场力的夹角大于 ，则电场力做负功，夹角等于 电场力不做功，夹角小于 电场力做正功， 错误；电场线是为了形象地描绘电场而人为引入的一簇曲线，该曲线的疏密程度反映场强的大小， 错误；静电场的电场线在空间上与等势面垂直，且沿电场线的方向电势降低，即由高等势面指向低等势面， 正确.
8. [2021浙江6月选考，3分]某书中有如图所示的图，用来表示横截面是“ ”形导体右侧的电场线和等势面，其中 、 是同一条实线上的两点， 是另一条实线上的一点， 是导体尖角右侧表面附近的一点.下列说法正确的是( D )
A. 实线表示电场线
B. 离 点最近的导体表面电荷密度最大
C. “ ”形导体右侧表面附近电场强度方向均相同
D. 电荷从 点到 点再到 点电场力做功一定为零
[解析] 根据电场线与等势线垂直的特点可知，图中的实线是等势线，虚线是电场线，选项 错误；从题图中可以看出 点的电场线最稀疏，所以离 点最近的导体表面电荷密度最小，选项 错误；从题图中可以看出除拐角处外，导体右侧表面附近电场方向与导体表面垂直，所以角平分线上方和下方导体右侧表面附近的电场方向不相同，选项 错误；电场力做功与路径无关，取决于起点、终点的电势差，由于 、 是同一条等势线上的两点，所以电荷从 点到 点再到 点电场力做的总功为零，选项 正确.
9. [2021海南，4分，多选]如图，在匀强电场中有一虚线圆， 和 是圆的两条直径，其中 与电场方向的夹角为 ， ， 与电场方向平行， 、 两点间的电势差 .则( AD )
A. 电场强度的大小
B. 点的电势比 点的低
C. 将电子从 点移到 点，电场力做正功
D. 电子在 点的电势能大于在 点的电势能
[解析] 由匀强电场中场强与电势差的关系可知， ， 项正确；沿电场线方向电势降低，故 点电势高于 点电势， 项错；同理 点电势低于 点电势，由 可知，电子在 点的电势能大于在 点的电势能， 项正确；电子受力与场强方向相反，故电子从 点到 点，电场力做负功， 项错.
10. [2021湖南，4分]如图，在 位置放置电荷量为 的正点电荷，在 位置放置电荷量为 的负点电荷，在距 为 的某点处放置正点电荷 ，使得 点的电场强度为零.则 的位置及电荷量分别为( B )
A. , B. , C. , D. ,
[解析] 根据点电荷周围电场的电场强度公式得原来两点电荷在 点产生的电场强度大小均为 ，原来两点电荷在 点产生电场的合电场强度为 ，方向斜向左上方与 轴负方向成 角，由于放入正点电荷 后 点的电场强度为零，结合题述可知正点电荷 的位置应该在 处，并且满足 ，解得 ，故 正确， 、 、 错误.
11. [2021湖北，4分，多选]如图所示，一匀强电场 大小未知、方向水平向右.两根长度均为 的绝缘轻绳分别将小球 和 悬挂在电场中，悬点均为 .两小球质量均为 、带等量异号电荷，电荷量大小均为 .平衡时两轻绳与竖直方向的夹角均为 .若仅将两小球的电荷量同时变为原来的2倍，两小球仍在原位置平衡.已知静电力常量为 ，重力加速度大小为 ，下列说法正确的是( BC )
A. 带正电荷 B. 带正电荷 C. D.
[解析] 由题图可知，对小球 受力分析如图（a）所示，对小球 受力分析如图（b）所示，由受力分析图可知小球 带负电，小球 带正电， 错误， 正确.由几何关系可知，两小球之间的距离为 ，当两小球的电荷量大小均为 时，由力的平衡条件得 ；两小球的电荷量同时变为原来的2倍后，由力的平衡条件得 ，整理解得 ， 正确， 错误.
图（a）
图（b）
12. （2020全国Ⅱ，6分，多选）如图，竖直面内一绝缘细圆环的上、下半圆分别均匀分布着等量异种电荷. 、 为圆环水平直径上的两个点， 、 为竖直直径上的两个点，它们与圆心的距离均相等.则( ABC )
A. 、 两点的场强相等 B. 、 两点的电势相等
C. 、 两点的场强相等 D. 、 两点的电势相等
[解析] 沿竖直方向将圆环分割成无穷个小段，关于水平直径对称的两小段构成等量异种点电荷模型，在等量异种点电荷的垂直平分线上各点场强方向由正点电荷指向负点电荷，根据对称性可知 、 两点的场强相等， 项正确；取无穷远处电势为零，在等量异种点电荷的垂直平分线上各点电势均为零，故 、 两点的电势相等， 项正确；沿水平方向将圆环分割成无穷个小段，关于竖直直径对称的两小段构成等量同种点电荷模型，在等量同种点电荷的垂直平分线上各点场强方向垂直于连线，根据对称性可知 、 两点的场强相等， 项正确；在等量异种点电荷模型中，距离正点电荷近的点电势高，故 ， 项错误.
题组二
1. [2023湖南，4分]如图，真空中有三个点电荷固定在同一直线上，电荷量分别为 、 和 ， 点和三个点电荷的连线与点电荷所在直线的夹角分别为 、 和 .若 点处的电场强度为零， ,则三个点电荷的电荷量可能为( D )
A. , , B. , ,
C. , , D. , ,
[解析] 若三个点电荷都带正电或负电，则三个点电荷在 点产生的场强叠加后一定不为零， 错；几何关系如图1，若 ，则根据 分析可知 ， 和 在 点产生的电场强度叠加后为 ，如图2所示，与 在 点产生的电场强度不可能在一条直线上，即 点处的电场强度不可能叠加为零， 错；若 ， ，则根据 分析可知 ，叠加后 ，如图3所示，与 在 点产生的电场强度等大反向，叠加为零， 对.
图1 图2 图3
【一题多解】 根据图1所示的几何关系可知 、 、 ,将 、 在 点产生的场强分解为水平方向和竖直方向，则由题意 点处的电场强度为零可得，水平方向上有 ,竖直方向上有 ，联立解得 , ,即 , 与 和 的电性相反，故 对， 错.
2. [2023辽宁，6分，多选]图 （a）为金属四极杆带电粒子质量分析器的局部结构示意图，图 （b）为四极杆内垂直于 轴的任意截面内的等势面分布图，相邻两等势面间电势差相等，则( CD )
图（a）
图（b）
A. 点电势比 点的低 B. 点电场强度大小比 点的大
C. 点电场强度方向沿 轴正方向 D. 沿 轴运动的带电粒子，电势能不变
[解析] 由题图可知 点靠近带负电的极杆， 点靠近带正电的极杆，又电势沿场强方向降低，则 点的电势比 点的电势高， 错误；等势面的疏密程度反映场强的大小，由图（b）可知 点的等势面密，则 点的电场强度大， 错误；由对称性可知两带正电的极杆在 点产生的电场方向沿 轴正方向，两带负电的极杆在 点产生的电场方向也沿 轴正方向，则由电场强度的叠加可知 点的电场强度方向沿 轴的正方向， 正确；由对称性可知 轴上的电场强度为零，则带电粒子沿 轴运动时始终不受电场力的作用，所以电场力不做功，电势能保持不变， 正确.
3. [2022湖北，4分]密立根油滴实验装置如图所示，两块水平放置的金属板分别与电源的正负极相接，板间产生匀强电场.用一个喷雾器把密度相同的许多油滴从上板中间的小孔喷入电场，油滴从喷口喷出时由于摩擦而带电.金属板间电势差为 时，电荷量为 、半径为 的球状油滴在板间保持静止.若仅将金属板间电势差调整为 ，则在板间能保持静止的球状油滴所带电荷量和半径可以为( D )
A. ， B. ， C. ， D. ，
[解析] 带电油滴在电场中平衡，根据平衡条件有 ，而 ，即 ，仅将金属板间电势差调整为 ，则有 ，依次将球状油滴所带电荷量和半径代入此式，只有 项正确， 项错误.
4. [2022重庆，5分，多选]如图为两点电荷 、 的电场等势面分布示意图， 、 位于 轴上，相邻等势面间的电势差为 .若 轴上的 点和 点位于 等势面上， 为某等势面上一点，则( AD )
A. 点的电场强度大小比 点的大 B. 为正电荷
C. 点的电场方向沿 轴负方向 D. 点与 点的电势差为
[解析]
5. [2022全国乙，6分，多选]如图，两对等量异号点电荷 、 固定于正方形的4个顶点上. 、 是该正方形两条对角线与其内切圆的交点， 为内切圆的圆心， 为切点.则( AB )
A. 和 两点处的电场方向相互垂直
B. 点的电场方向平行于该点处的切线，方向向左
C. 将一带正电的点电荷从 点移动到 点，电场力做正功
D. 将一带正电的点电荷从 点移动到 点，电场力做功为零
[解析] 两正点电荷在 点处产生的场强方向由 指向 ， 点处于两负点电荷连线的垂直平分线上，则两负点电荷在 点产生的场强方向由 指向 ，则 点处的合场强方向由 指向 ，同理可知，两负点电荷在 点处产生的场强方向由 指向 ， 点处于两正点电荷连线的垂直平分线上，两正点电荷在 点处产生的场强方向由 指向 ，则 点处的合场强方向由 指向 ，由于正方形两对角线相互垂直平分，则 和 两点处的电场方向相互垂直， 正确；正方形底边上的等量异号点电荷在 点产生的场强方向向左，而上方的等量异号点电荷在 点产生的场强方向向右，由于 点离上方等量异号点电荷距离较远，则 点的场强方向平行于该点处的切线，方向向左， 正确；由图可知， 和 点位于两对等量异号点电荷的等势线上，即 点和 点电势相等，所以将一带正电的点电荷从 点移动到 点，电场力做的功为零， 错误；由图结合等量异号点电荷模型可知， 点的电势低于 点电势，则将一带正电的点电荷从 点移动到 点，电场力做的功不为零， 错误.
6. [2022山东，3分]半径为 的绝缘细圆环固定在图示位置，圆心位于 点，环上均匀分布着电荷量为 的正电荷.点 、 、 将圆环三等分，取走 、 处两段弧长均为 的小圆弧上的电荷.将一点电荷 置于 延长线上距 点为 的 点， 点的电场强度刚好为零.圆环上剩余电荷分布不变， 为( C )
A. 正电荷， B. 正电荷，
C. 负电荷， D. 负电荷，
[解析] 在取走 、 处两段小圆弧上的电荷之前，整个圆环上的电荷在 点产生的场强为零，而取走的 、 处的电荷的电荷量 , 、 在 点产生的合场强为 ,方向为从 指向 ，故取走 、 处的电荷之后，剩余部分在 点产生的场强大小为 ，方向由 指向 ，而点电荷 放在 点后， 点场强为零，故 在 点产生的场强与 、 在 点产生的合场强相同，所以 为负电荷，又 ,解得 , 项正确.
7. [2021河北，6分，多选]如图，四个电荷量均为 的点电荷分别放置于菱形的四个顶点，其坐标分别为 、 、 和 ，其中 轴上的两个点电荷位置固定， 轴上的两个点电荷可沿 轴对称移动 .下列说法正确的是( ACD )
A. 除无穷远处之外，菱形外部电场强度处处不为零
B. 当 取某值时，可使得菱形内部只存在两个电场强度为零的点
C. 当 时，将一带负电的试探电荷由点 移至点 ，静电力做正功
D. 当 时,将一带负电的试探电荷放置在点 处，其所受到的静电力方向与 轴正方向成 倾斜向上
[解析] 由点电荷周围电场线分布特点可知除无穷远处外，合场强不可能为零， 项正确；根据对称性可知，若菱形内部除坐标原点 场强为零外还存在另一场强为零的位置，则该点关于坐标原点、坐标轴的对称点的场强也将为零， 项错误；离正电荷越近，电势越高，当 时，点 到四个点电荷的距离依次为 、 、 、 ，而点 到四个点电荷的距离依次为 、 、 、 ,因此点 的电势低于点 的电势，所以负电荷由点 移动到点 电势能减小，静电力做正功， 正确；当 时，负试探电荷在点 处受到四个点电荷的库仑力作用，设负试探电荷的带电荷量大小为 ,则 、 正半轴上的两点电荷对负试探电荷的库仑力大小均为 ，结合几何关系可得二者的合力大小为 ，方向为与 轴成 斜向右上方，同理可得 、 负半轴上的两点电荷对负试探电荷的合力大小为 ，方向为与 轴成 斜向左下方， ,则可知该试探电荷所受的合静电力方向与 轴正方向成 倾斜向上， 正确.
8. [2021天津，5分，多选]两个位于纸面内的点电荷产生电场的等势面如图中实线所示，相邻等势面间的电势差相等.虚线 是一个电子在该电场中的运动轨迹，轨迹与某等势面相切于 点.下列说法正确的是( CD )
A. 两点电荷可能是异种点电荷 B. 点的电场强度比 点的大
C. 点的电势高于 点的电势 D. 电子运动到 点时动能最小
[解析] 根据两点电荷间等势面的分布情况可知两点电荷是同种电荷，又根据电子在该电场中的运动轨迹可判断出电子一直受到斥力作用，可知两点电荷为同种负电荷，故 错误；根据 定性分析可知，等差等势面越密的地方，电场强度越大，则 点的电场强度比 点的小，故 错误.两点电荷为同种负电荷，电场线指向负电荷，沿电场线方向电势逐渐降低，又 所在的等势面比 所在的等势面靠外，故 点的电势高于 点的电势，故 正确；在电子的运动轨迹上， 点的电势最低，故电子在 点的电势能最高，又电子在运动过程中只受电场力作用，电子的动能与电势能之和不变，故电子运动到 点时动能最小， 正确.
9. [2020浙江1月选考，3分]如图所示，在倾角为 的光滑绝缘斜面上固定一个挡板，在挡板上连接一根劲度系数为 的绝缘轻质弹簧，弹簧另一端与 球连接. 、 、 三小球的质量均为 ， , ,当系统处于静止状态时，三小球等间距排列.已知静电力常量为 ，则( A )
A. B. 弹簧伸长量为
C. 球受到的库仑力大小为 D. 相邻两小球间距为
[解析] 以 、 、 整体为研究对象，对其受力分析，受重力、支持力以及弹簧的拉力，则由力的平衡条件可知， ，解得 ， 错误；以 为研究对象，小球受到的库仑力大小为 ，方向沿斜面向下， 错误；为了使 、 均能静止在光滑的绝缘斜面上，则小球 应带正电，设相邻两球之间的距离为 ，则对小球 由力的平衡条件得 ，对小球 由力的平衡条件得 ，解得 ， ， 正确， 错误.
10. （2020全国Ⅲ，6分，多选）如图， 是锐角三角形 最大的内角，电荷量为 的点电荷固定在 点.下列说法正确的是( BC )
A. 沿 边，从 点到 点，电场强度的大小逐渐增大
B. 沿 边，从 点到 点，电势先增大后减小
C. 正电荷在 点的电势能比其在 点的电势能大
D. 将正电荷从 点移动到 点，电场力所做的总功为负
[解析] 如图所示，找出 点，使 点与 点的距离等于 点与 点的距离， 点为 上到 点距离最短的点，根据三角形边角关系、点电荷的电场强度公式 和正点电荷形成电场中的电势特点可知，沿着 边，从 点到 点，与 点的距离 先减小后增大，电场强度先增大后减小，电势也先增大后减小，选项 正确， 错误；根据电势能与电势的关系 可知，正电荷在 点的电势能比在 点的电势能大，故将正电荷从 点移动到 点，电场力所做的总功为正，选项 正确， 错误.
题组三
一、选择题
1. [2023浙江6月选考，3分]某带电粒子转向器的横截面如图所示,转向器中有辐向电场.粒子从 点射入,沿着由半径分别为 和 的圆弧平滑连接成的虚线（等势线）运动,并从虚线上的 点射出,虚线处电场强度大小分别为 和 ,则 、 和 、 应满足( A )
A. B. C. D.
[解析] 粒子在下侧电场中运动时，由牛顿第二定律得 ，又由于粒子沿等势线运动，则粒子进入上侧电场的速度大小不变，由牛顿第二定律得 ，整理得 ， 对， 错.
2. [2022河北，4分]如图,真空中电荷量为 和 的两个点电荷分别位于 点与 点,形成一个以 延长线上 点为球心,电势为零的等势面（取无穷远处电势为零）, 为 连线上的一点, 为等势面与直线 的交点, 为等势面上一点,下列说法正确的是( B )
A. 点电势低于 点电势
B. 点电场方向指向 点
C. 除无穷远处外,直线上还有两个电场强度为零的点
D. 将正试探电荷 从无穷远处移到 点,静电力做正功
[解析] 在 、 间离负电荷越近，电势越低，离正电荷越近，电势越高，又已知 点在零等势面上，所以 点电势大于零， 项错；电场线由正电荷到负电荷，又由于电场方向与等势面垂直，所以 点电场方向指向 点， 项正确； 直线上，在 点左侧， 点处正电荷产生的场强大于 点处负电荷产生的场强，故合场强不可能为零，在 、 两点间，两电荷产生的场强方向均向右，合场强不可能为零，在 点右侧，两电荷产生的场强方向相反，若场强大小相等，则合场强为零，故除无穷远处外直线上只有一个点合场强为零， 项错；将正试探电荷由无穷远处移到 点，由 可知，试探电荷电势能增大，故静电力做负功， 项错.
3. [2022辽宁，6分，多选]如图所示，带电荷量为 的球1固定在倾角为 的光滑绝缘斜面上的 点，其正上方 处固定一带电荷量为 的球2，斜面上距 点 处的 点有质量为 的带电球3.球3与一端固定的绝缘轻质弹簧相连并在 点处于静止状态，此时弹簧的压缩量为 ，球2、3间的静电力大小为 .迅速移走球1后，球3沿斜面向下运动. 为重力加速度，球的大小可忽略，下列关于球3的说法正确的是( BCD )
A. 带负电
B. 运动至 点的速度大小为
C. 运动至 点的加速度大小为
D. 运动至 中点时对斜面的压力大小为
[解析] 假设球3带负电，则球1对球3的作用力沿斜面向下，球2对球3的作用力为斥力，由于球之间的距离相等，则球1对球3的作用力一定大于球2对球3的作用力，弹簧不可能处于压缩状态，因此球3一定带正电， 错误.移走球1前，弹簧的压缩量为 ，则移走球1后球3运动至 位置时，弹簧的伸长量为 ，则球3在 点与在 点时弹簧的弹性势能相等，又由于 、 两点到球2的距离相等，则在球2形成的电场中 、 两点的电势相等， 、 两点的电势差为零，则球3由 到 的过程中，由动能定理得 ，解得 ， 正确.对移走球1前的球3受力分析，如图甲所示，由力的平衡条件，沿斜面方向上有 ，又 ， ，解得 ；当球3在 点时，受力分析如图乙所示，由于弹簧的伸长量为 ，则 ，对球3由牛顿第二定律得 ，解得 ， 正确.球3运动到 、 中点时，受力分析如图丙所示，球3与球2之间的距离为 ，则两球之间的库仑力大小为 ，由力的平衡条件在垂直斜面的方向上有 ，解得 ， 正确.
图甲
图乙
图丙
4. [2022全国甲，6分，多选]地面上方某区域存在方向水平向右的匀强电场，将一带正电荷的小球自电场中 点水平向左射出.小球所受的重力和电场力的大小相等，重力势能和电势能的零点均取在 点.则射出后，( BD )
A. 小球的动能最小时，其电势能最大
B. 小球的动能等于初始动能时，其电势能最大
C. 小球速度的水平分量和竖直分量大小相等时，其动能最大
D. 从射出时刻到小球速度的水平分量为零时，重力做的功等于小球电势能的增加量
[解析] 由题意可知，小球所受电场力与重力的合力指向右下，与水平方向成 角，小球向左射出后做匀变速曲线运动，当其水平速度与竖直速度大小相等时，即速度方向与小球所受合力方向垂直时,小球克服合力做的功最大，此时动能最小，而此时小球仍具有水平向左的分速度，电场力仍对其做负功，其电势能继续增大， 、 项错误；小球在电场力方向上的加速度大小 ,竖直方向加速度大小 ，当小球水平速度减为零时，克服电场力做的功最大，小球的电势能最大，由匀变速运动规律有 ，此时小球竖直方向的速度 ，所以此时小球动能等于初动能，由能量守恒定律可知，小球重力势能减少量等于小球电势能的增加量，又由功能关系知重力做的功等于小球重力势能的减少量，故 、 项正确.
5. [2021广东，4分]如图所示是某种静电推进装置的原理图，发射极与吸极接在高压电源两端，两极间产生强电场，虚线为等差等势面.在强电场作用下，一带电液滴从发射极加速飞向吸极， 、 是其路径上的两点.不计液滴重力.下列说法正确的是( D )
A. 点的电势比 点的低 B. 点的电场强度比 点的小
C. 液滴在 点的加速度比在 点的小 D. 液滴在 点的电势能比在 点的大
[解析] 由图可知发射极电势高于吸极电势，故 点的电势比 点的高，选项 错误；由 点处的等势面比 点处的密集可知， 点的电场强度比 点的大，液滴在 点受到的电场力比在 点时的大，即液滴在 点的加速度比在 点的大，选项 、 均错误；由带电液滴从发射极加速飞向吸极可知，电场力做正功，故液滴在 点的电势能比在 点的大，选项 正确.
6. [2021全国乙，6分]如图（a）, 在一块很大的接地金属平板的上方固定一负电荷.由于静电感应，在金属平板上表面产生感应电荷，金属板上方电场的等势面如图（b）中虚线所示，相邻等势面间的电势差都相等.若将一正试探电荷先后放于 和 处，该试探电荷受到的电场力大小分别为 和 ，相应的电势能分别为 和 ,则( A )
图(a)
图(b)
A. , B. ,
C. , D. ,
[解析] 根据等差等势面越密处电场强度越大，可知 处的电场强度 大于 处的电场强度 ，由电场力公式 可知，试探电荷在 处所受的电场力 大于在 处受到的电场力 .由于越靠近负电荷电势越低，可知 点的电势 低于 点电势 ，根据电势能公式 ，可知正试探电荷在 处的电势能 小于在 处的电势能 ，所以选项 正确.
7. [2021全国甲，6分，多选]某电场的等势面如图所示，图中 、 、 、 、 为电场中的5个点，则( BD )
A. 一正电荷从 点运动到 点，电场力做正功
B. 一电子从 点运动到 点，电场力做功为
C. 点电场强度垂直于该点所在等势面，方向向右
D. 、 、 、 四个点中， 点的电场强度大小最大
[解析] 、 两点在同一等势面上，电荷运动过程中电场力不做功，故选项 错误.电场强度的方向总是与等势面垂直，且由高电势等势面指向低电势等势面，故 点的场强方向向左，选项 错误.一电子从 点运动到 点电场力做的功 ，故选项 正确.根据图知任意两个相邻的等势面间电势差相等，且等差等势面越密集的地方，电场强度就越大，因此结合图可以判断 、 、 、 四个点中， 点的电场强度大小最大，故选项 正确.
8. [2021辽宁，4分]等量异号点电荷固定在水平向右的匀强电场中，电场分布如图所示，实线表示电场线，虚线表示等势线.将同一负电荷先后置于 、 两点，电势能分别为 和 ，电荷所受电场力大小分别为 和 ，则( D )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
[解析] 根据电场线的疏密程度表示电场强度的大小可知， 点的电场强度大于 点，由电场力公式 可知负电荷在 点所受的电场力小于在 点所受的电场力，即 .在等量异号点电荷电场中，越靠近正电荷，电势越高，越靠近负电荷，电势越低，又空间内匀强电场水平向右，沿电场线方向电势降低，故 点的电势高于 点的电势，又负电荷在电势较低的地方电势能较高，所以该负电荷在 点的电势能小于在 点的电势能，即 ，选项 正确.
9. [2021江苏，4分]一球面均匀带有正电荷，球内的电场强度处处为零，如图所示， 为球心， 、 为直径上的两点， ，现垂直于 将球面均分为左右两部分， 为截面上的一点，移去左半球面，右半球面所带电荷仍均匀分布，则( A )
A. 、 两点电势相等 B. 点的电场强度大于 点
C. 沿直线从 到 电势先升高后降低 D. 沿直线从 到 电场强度逐渐增大
[解析] 将题中半球壳补成一个完整的球壳，且带电均匀，设左、右半球在 点产生的电场强度大小分别为 和 ，由题知，均匀带电球壳内部电场强度处处为零，则知 ，根据对称性知，左、右半球在 点产生的电场强度大小分别为 和 ，且 ，故在图示电场中， 的电场强度大小为 ，方向向左， 的电场强度大小为 ，方向向左，所以 点的电场强度与 点的电场强度相同， 、 错误.由电场强度的叠加可知， 点左侧的电场方向均向左，沿电场线方向电势逐渐降低，则沿直线从 到 电势一直升高， 错误.由排除法可知， 正确.
10. [2020山东，4分，多选]真空中有两个固定的带正电的点电荷，电荷量不相等.一个带负电的试探电荷置于二者连线上的 点时，仅在电场力的作用下恰好保持静止状态.过 点作两正电荷连线的垂线，以 点为圆心的圆与连线和垂线分别交于 、 和 、 ，如图所示.以下说法正确的是( BD )
A. 点电势低于 点
B. 点电势低于 点
C. 该试探电荷在 点的电势能大于在 点的电势能
D. 该试探电荷在 点的电势能小于在 点的电势能
[解析] 由题意可知 点场强为零，所以 、 两点间场强方向是由 指向 的，所以 ， 项错误；同理， ， 点与 点间的电场强度有竖直向上的分量，所以 ，则 ， 项正确；同理， ， ，又带负电的试探电荷在电势高处电势能较小，所以 项错误， 项正确.
11. [2020江苏，4分，多选]如图所示，绝缘轻杆的两端固定带有等量异号电荷的小球（不计重力）.开始时，两小球分别静止在 、 位置.现外加一匀强电场 ，在静电力作用下，小球绕轻杆中点 转到水平位置.取 点的电势为0.下列说法正确的有( AB )
A. 电场 中 点电势低于 点 B. 转动中两小球的电势能始终相等
C. 该过程静电力对两小球均做负功 D. 该过程两小球的总电势能增加
[解析] 沿电场线方向电势降低，则 点的电势比 点的电势高， 正确；由对称性可知，两小球所处位置的电势的绝对值始终相等，则由 可知两小球的电势能始终相等， 正确；该过程中，带正电荷的小球所受的电场力方向向右，带负电荷的小球所受的电场力方向向左，则电场力对两小球均做正功， 错误；电场力做正功，电势能减少，所以该过程中两小球的总电势能减少， 错误.
二、非选择题
12. [2022上海，4分]水平面上有一带电荷量为 的均匀带电圆环，圆心为 .其中央轴线上距离 点为 的位置处有一带电荷量为 的点电荷.若点电荷受到的电场力为 ,则 （2分） （ 为静电力常量，选填“ ”“ ”或“ ”）.静电力常量 的单位可表示为 （2分）（用“ 单位制”中的基本单位表示）.
[解析] 把均匀带电圆环平均分成 小段，每一小段都可以看成点电荷，电荷量为 .如图所示，设 与点电荷 之间的连线与中央轴线之间的夹角为 ，由库仑定律得 与点电荷 之间的库仑力大小为 ，点电荷 受到的总库仑力大小为 ，由于 ，则 ，所以 .由库仑定律得 ，可得 ，用“ 单位制”中的基本单位表示力 的单位是 ，距离 的单位为 ，电荷量的单位为 ，所以静电力常量 的单位为 .
电容器及带电体在电场中的动力学问题
题组四
一、选择题
1. [2023海南，3分]如图所示，一光滑绝缘轨道水平放置，直径上有 、 两点， , ，在 、 两点固定两个带电荷量分别为 、 的正电荷，现有一个带正电的小球静置于轨道内侧 点（小球可视为点电荷），已知 ，则 是( C )
A. B. C. D.
[解析] 如图所示，小球受到 、 的库仑斥力 、 和指向圆心的轨道弹力作用而平衡，由正弦定理有 ，又 , ，在 中，有 ，同理在 中，有 ，设小球的带电荷量为 ，则 , ，联立解得 ， 对.
2. [2023浙江6月选考，3分] 、 两块正对的平行金属板与水平面成 角固定,竖直截面如图所示.两板间距 ,电荷量为 、质量为 的小球用长为 的绝缘细线悬挂于 点.闭合开关 ,小球静止时,细线与 板夹角为 ;剪断细线,小球运动到 板上的 点（未标出），则( B )
A. 距离为 B. 电势能增加了
C. 电场强度大小为 D. 减小 的阻值, 的距离将变大
[解析] 结合几何关系，对小球受力分析有
剪断细线，小球合力方向与 等大反向，故小球沿 方向做直线运动，由数学知识可知 故 ， 错
由 到 过程，电场力做的功 ，故小球电势能增加了 ， 对
因为电容器两端的电压等于电源电压，所以减小 的阻值，电容器上的电压不变，又两板间距一定，故小球的受力情况不变，即小球的运动情况不变，则 的距离不变， 错.
3. [2022重庆，4分]如图为某同学采用平行板电容器测量材料竖直方向尺度随温度变化的装置示意图，电容器上极板固定，下极板可随材料尺度的变化上下移动，两极板间电压不变.若材料温度降低时，极板上所带电荷量变少，则( A )
A. 材料竖直方向尺度减小 B. 极板间电场强度不变
C. 极板间电场强度变大 D. 电容器电容变大
[解析]
二、非选择题
4. [2023全国乙，12分]如图，等边 位于竖直平面内, 边水平,顶点 在 边上方,3个点电荷分别固定在三角形的三个顶点上.已知 边中点 处的电场强度方向竖直向下， 边中点 处的电场强度方向竖直向上， 点处点电荷的电荷量的绝对值为 ，求
（1） 点处点电荷的电荷量的绝对值并判断3个点电荷的正负；
[答案] 题中已知 点的场强竖直向下，可知 、 处点电荷在 点产生的场强等大反向， 处点电荷带正电，又 为 边的中点，结合点电荷的场强公式 可知两点电荷的电荷量大小相等，电性相同（2分）
即 点处点电荷的电荷量的绝对值为 （2分）
C处点电荷在 点产生的电场强度方向为 ，假设 、 两点处点电荷均带负电，则三个点电荷在 处产生的合场强方向不可能竖直向上，所以 、 两点处点电荷均带正电，即3个点电荷均带正电（2分）
（2） 点处点电荷的电荷量.
[答案] 设 点处点电荷的电荷量为 ，等边三角形的边长为 ，则 ，对三个点电荷在 处产生的电场强度分析，如图所示，其中 是 、 处点电荷在 处产生的合场强， 是 处点电荷在 处产生的场强， 为 点处的合场强
根据几何关系得 （2分）
故 （2分）
解得 （2分）
5. [2022北京，9分]如图所示，真空中平行金属板 、 之间距离为 ,两板所加的电压为 .一质量为 、电荷量为 的带正电粒子从 板由静止释放.不计带电粒子的重力.
（1）求带电粒子所受的静电力的大小 ;
[答案] 两极板间的场强 （1分）
带电粒子所受的静电力 （1分）
（2）求带电粒子到达 板时的速度大小 ;
[答案] 带电粒子从静止开始运动到 板的过程，根据功能关系有 （2分）
解得 （1分）
（3）若在带电粒子运动 距离时撤去所加电压，求该粒子从 板运动到 板经历的时间 .
[答案] 设带电粒子运动 距离时的速度大小为 ，根据功能关系有 （1分）
带电粒子在前 距离做匀加速直线运动，后 距离做匀速运动，设用时分别为 、 ，有 ， （2分）
则该粒子从 板运动到 板经历的时间
（1分）
6. [2019天津，20分]2018年,人类历史上第一架由离子引擎推动的飞机诞生,这种引擎不需要燃料,也无污染物排放.引擎获得推力的原理如图所示,进入电离室的气体被电离成正离子,而后飘入电极 、 之间的匀强电场（初速度忽略不计）, 、 间电压为 ,使正离子加速形成离子束,在加速过程中引擎获得恒定的推力.单位时间内飘入的正离子数目为定值,离子质量为 ,电荷量为 ,其中 是正整数, 是元电荷.
（1）若引擎获得的推力为 ,求单位时间内飘入 、 间的正离子数目 为多少;
[答案] 设正离子经过电极 时的速度为 ,根据动能定理,有
①（2分）
设正离子束所受的电场力为 ,根据牛顿第三定律,有
②（2分）
设在 时间内飘入电极间的正离子个数为 ,由牛顿第二定律,有 ③（2分）
联立①②③式且 ，得 ④（3分）
（2）加速正离子束所消耗的功率 不同时,引擎获得的推力 也不同,试推导 的表达式;
[答案] 设正离子束所受的电场力为 ,由正离子束在电场中做匀加速直线运动,有 ⑤（2分）
根据牛顿第三定律，有 ,联立①⑤式得
⑥（3分）
（3）为提高能量的转换效率,要使 尽量大,请提出增大 的三条建议.
[答案] 为使 尽量大,分析⑥式得到三条建议:用质量大的离子;用带电荷量少的离子;减小加速电压.（6分）
题组五
一、选择题
1. [2023海南，3分]如图所示电路，已知电源电动势为 ，内阻不计，电容器电容为 ，闭合开关 ，待电路稳定后，电容器上的电荷量为( C )
A. B. C. D.
[解析] 由电路的串并联规律可知，电阻 两端的电压为 ，电阻 两端的电压为 ，则电容器两极板间电势差 ，则 ， 对.
2. [2023湖北，4分，多选]一带正电微粒从静止开始经电压 加速后，射入水平放置的平行板电容器，极板间电压为 .微粒射入时紧靠下极板边缘，速度方向与极板夹角为 ，微粒运动轨迹的最高点到极板左右两端的水平距离分别为 和 ，到两极板距离均为 ，如图所示.忽略边缘效应，不计重力.下列说法正确的是( BD )
A.
B.
C. 微粒穿过电容器区域的偏转角度的正切值为2
D. 仅改变微粒的质量或者电荷数量，微粒在电容器中的运动轨迹不变
[解析] 将微粒在电容器中的运动进行分解，其在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做匀变速直线运动，根据电场强度和电势差的关系及场强和电场力的关系可得 ， ，设微粒射入电容器时的速度为 ，水平方向和竖直方向的分速度 ， ，从射入到运动到最高点，由运动学公式有 ，微粒经电压 加速后，由动能定理可得 ，联立解得 ， 正确；微粒从射入电容器到运动到最高点，由运动学公式可得 ， ，联立可得 ， 错误；微粒从最高点到穿出电容器，由运动学公式可得 ， ，微粒从射入电容器到最高点有 ，解得 ，设微粒穿出电容器时速度方向与水平方向的夹角为 ，则 ，设微粒射入电容器时速度方向与水平方向的夹角为 ，则 ，因微粒穿过磁场区域的偏转角度为 ，则有 ， 错误；微粒在电容器中运动时，水平方向上有 ，竖直方向上有 ， ，又 ，联立解得 ，可知轨迹与微粒的电荷量和质量都没有关系，只改变电荷量或质量，轨迹不会改变， 正确.
3. [2022北京，3分]利用如图所示电路观察电容器的充、放电现象，其中 为电源， 为定值电阻， 为电容器，为电流表，为电压表.下列说法正确的是( B )
A. 充电过程中，电流表的示数逐渐增大后趋于稳定
B. 充电过程中，电压表的示数迅速增大后趋于稳定
C. 放电过程中，电流表的示数均匀减小至零
D. 放电过程中，电压表的示数均匀减小至零
[解析]
4. [2021山东，3分]如图甲所示，边长为 的正方形，四个顶点上分别固定一个电荷量为 的点电荷；在 区间， 轴上电势 的变化曲线如图乙所示.现将一电荷量为 的点电荷 置于正方形的中心 点，此时每个点电荷所受库仑力的合力均为零.若将 沿 轴向右略微移动后，由静止释放，以下判断正确的是( C )
图甲
图乙
A. ，释放后 将向右运动 B. ，释放后 将向左运动
C. ，释放后 将向右运动 D. ，释放后 将向左运动
[解析] 对 点上方的点电荷，由平衡知识可得 ，解得 ，因在 区间内沿 轴正方向电势升高，则场强方向沿 轴负方向，则将 沿 轴正方向向右略微移动后释放， 受到向右的电场力而向右运动， 项正确.
5. [2021全国乙，6分，多选]四个带电粒子的电荷量和质量分别为 、 、 、 ,它们先后以相同的速度从坐标原点沿 轴正方向射入一匀强电场中，电场方向与 轴平行.不计重力.下列描绘这四个粒子运动轨迹的图像中，可能正确的是( AD )
A. B. C. D.
[解析] 四个带电粒子以相同的速度从坐标原点射入方向与 轴平行的匀强电场中，由牛顿第二定律有 ， ， ， ，解得 ， ， ， ，因此三个带正电的粒子的轨迹为两条，在同一方向，带负电的粒子轨迹在 轴另一侧，可排除图像 ；加速度为 的粒子与加速度为 的粒子轨迹重合，且与加速度为 的粒子轨迹关于 轴对称，加速度为 的粒子轨迹处于加速度为 的粒子轨迹与加速度为 的粒子轨迹之间，所以图像 不可能，可能正确的是 、 .
【光速解法】 巧用平抛运动的位移偏转角度： ，易知带同种电荷且比荷相同的带电粒子，轨迹相同，故 、 轨迹相同， 与之对称， 轨迹偏转角度较小.故选 .
二、非选择题
6. [2022辽宁，12分]如图所示，光滑水平面 和竖直面内的光滑 圆弧导轨 在 点平滑连接，导轨半径为 .质量为 的带正电小球将轻质弹簧压缩至 点后由静止释放，脱离弹簧后经过 点时的速度大小为 ，之后沿导轨 运动.以 为坐标原点建立直角坐标系 ，在 区域有方向与 轴夹角为 的匀强电场，进入电场后小球受到的电场力大小为 .小球在运动过程中电荷量保持不变，重力加速度为 .求:
（1）弹簧压缩至 点时的弹性势能；
[答案] 小球从 点静止释放，根据动能定理有
（2分）
可得弹簧压缩至 点时的弹性势能 （1分）
（2）小球经过 点时的速度大小；
[答案] 小球从 运动到 的过程中重力、电场力对小球做功，根据动能定理有 （2分）
其中
可得 （2分）
（3）小球过 点后运动的轨迹方程.
[答案] 小球离开 点后的受力分析如图所示，根据受力分析可知重力与电场力的合力方向沿水平方向，大小为 ，即小球离开 点后，在水平方向以加速度 做匀加速直线运动，有 ，其中 （2分）
在竖直方向以速度 做匀速直线运动，有 （1分）
联立可得轨迹方程为 （2分）
7. （2020全国Ⅰ，20分）在一柱形区域内有匀强电场，柱的横截面是以 为圆心、半径为 的圆， 为圆的直径，如图所示.质量为 ，电荷量为 的带电粒子在纸面内自 点先后以不同的速度进入电场，速度方向与电场的方向垂直.已知刚进入电场时速度为零的粒子，自圆周上的 点以速率 穿出电场， 与 的夹角 .运动中粒子仅受电场力作用.
（1）求电场强度的大小；
[答案] 初速度为零的粒子，由 点射出电场，故电场方向与 平行，由 指向 .由几何关系和电场强度的定义知
①（1分）
②（1分）
由动能定理有 ③（1分）
联立①②③式得 ④（2分）
（2）为使粒子穿过电场后的动能增量最大，该粒子进入电场时的速度应为多大？
[答案] 如图，由几何关系知 ，故电场中的等势线与 平行.作与 平行的直线与圆相切于 点，与 的延长线交于 点，则自 点从圆周上穿出的粒子的动能增量最大.由几何关系知
， ， ⑤（2分）
设粒子以速度 进入电场时动能增量最大，在电场中运动的时间为 .粒子在 方向做加速度为 的匀加速运动，运动的距离等于 ；在垂直于 的方向上做匀速运动，运动的距离等于 .由牛顿第二定律和运动学公式有 ⑥（1分）
⑦（1分）
⑧（1分）
联立②④⑤⑥⑦⑧式得 ⑨（2分）
（3）为使粒子穿过电场前后动量变化量的大小为 ，该粒子进入电场时的速度应为多大
[答案] 设粒子以速度 进入电场时，在电场中运动的时间为 .以 为原点，粒子进入电场的方向为 轴正方向，电场方向为 轴正方向建立直角坐标系.由运动学公式有 ⑩（1分）
（1分）
粒子离开电场的位置在圆周上，有
（2分）
粒子在电场中运动时，其沿 轴方向的动量不变，沿 轴方向的初始动量为零.设穿过电场前后动量变化量的大小为 的粒子，离开电场时其沿 轴方向的速度分量为 ,由题给条件及运动学公式有 （2分）
联立②④⑥⑩ 式得 （1分）
和 （1分）
另解:由题意知，初速度为0时，动量增量的大小为 ,此即问题的一个解.自 点以不同的速率垂直于电场方向射入电场的粒子，沿 轴方向位移相等时，所用时间都相同.因此，不同粒子运动到线段 上时，动量变化量都相同，自 点射出电场的粒子，其动量变化量也为 ，由几何关系及运动学规律可得，此时入射速率 .
题组六
一、选择题
1. [2022江苏，4分]如图所示，正方形 的四个顶点各固定一个带正电的点电荷，电荷量相等， 点为正方形的中心.现将 点的电荷沿 的延长线向无穷远处移动，则( D )
A. 在移动过程中， 点电场强度变小
B. 在移动过程中， 点的电荷所受静电力变大
C. 在移动过程中，移动的电荷所受静电力做负功
D. 当其移动到无穷远处， 点的电势高于 点
[解析] A、 、 、 各固定一个等量同种正电荷，设为 ， 点的电荷沿 方向移至无穷远处过程中：
（1） 点场强：初始时 点场强为零，移动过程中， 减小， 点的场强 增大， 错.
（2） 点电荷：移动过程中， 减小， 点的场强减小， 点电荷受到的电场力 减小， 错.
（3） 点电荷： 、 、 处电荷在 及其延长线上的点的合场强方向均沿 方向，正电荷沿电场方向移动过程中，电场力做正功， 错.
（4） 点与 点电势： 点电荷移动到无穷远处后，由于 点距 、 、 各点的距离均大于 点距 、 、 各点的距离，故 点电势小于 点电势， 对.
2. [2022福建，6分，多选]我国霍尔推进器技术世界领先，其简化的工作原理如图所示.放电通道两端电极间存在一加速电场，该区域内有一与电场近似垂直的约束磁场（未画出）用于提高工作物质被电离的比例.工作时，工作物质氙气进入放电通道后被电离为氙离子，再经电场加速喷出，形成推力.某次测试中，氙气被电离的比例为 ，氙离子喷射速度为 ，推进器产生的推力为 .已知氙离子的比荷为 ；计算时，取氙离子的初速度为零，忽略磁场对离子的作用力及粒子之间的相互作用，则( AD )
A. 氙离子的加速电压约为
B. 氙离子的加速电压约为
C. 氙离子向外喷射形成的电流约为
D. 每秒进入放电通道的氙气质量约为
[解析] 加速过程 , 对 错
, 对
形成电流 错
3. [2019江苏，3分]一匀强电场的方向竖直向上. 时刻，一带电粒子以一定初速度水平射入该电场，电场力对粒子做功的功率为 ，不计粒子重力，则 关系图像是( A )
A. B.
C. D.
[解析] 带电粒子所受电场力沿竖直方向，则粒子在电场中做类平抛运动，即沿初速度方向做匀速直线运动,沿电场力方向做初速度为零的匀加速直线运动，假设电场力大小为 ，则 ，其中 为沿电场力方向的速度，则 、 ，整理得 ，由关系式可知 图像应为一条过原点的倾斜直线， 正确, 、 、 错误.
二、非选择题
4. [2023新课标理综，14分]密立根油滴实验的示意图如图所示.两水平金属平板上下放置，间距固定，可从上板中央的小孔向两板间喷入大小不同、带电量不同、密度相同的小油滴.两板间不加电压时，油滴 、 在重力和空气阻力的作用下竖直向下匀速运动，速率分别为 、 ;两板间加上电压后（上板为正极），这两个油滴很快达到相同的速率 ，均竖直向下匀速运动.油滴可视为球形，所受空气阻力大小与油滴半径、运动速率成正比，比例系数视为常数.不计空气浮力和油滴间的相互作用.
（1）求油滴 和油滴 的质量之比；
[答案] 根据题述有
设油滴 的质量为 ，油滴 以速率 向下匀速运动，由平衡条件有 ， （2分）
设油滴 的质量为 ，油滴 以速率 向下匀速运动，由平衡条件有 ， （2分）
联立解得 （2分）
（2）判断油滴 和油滴 所带电荷的正负，并求 、 所带电荷量的绝对值之比.
[答案] 由于当在上下平板加恒定电压（上板为高电势）时，这两个油滴很快以 的速率竖直向下匀速运动，所以有
油滴 速度减小，说明油滴 受到了向上的电场力，则油滴 带负电荷（1分）
油滴 速度增大，说明油滴 受到了向下的电场力，则油滴 带正电荷（1分）
由 和 ， 可知，甲乙油滴的半径之比为
由 可知两个油滴均以速率 竖直向下匀速运动时，所受阻力之比为 （1分）
油滴 以速率 竖直向下匀速运动时，所受阻力为
结合 可知油滴 以速率 竖直向下匀速运动时，所受阻力为 （1分）
油滴 以速率 竖直向下匀速运动，所受阻力为
（1分）
设油滴 所带电荷量的绝对值为 ，由平衡条件有
（1分）
设油滴 所带电荷量的绝对值为 ，由平衡条件有
（1分）
联立解得 （1分）
5. [2020天津，18分]多反射飞行时间质谱仪是一种测量离子质量的新型实验仪器，其基本原理如图所示，从离子源 处飘出的离子初速度不计，经电压为 的匀强电场加速后射入质量分析器.质量分析器由两个反射区和长为 的漂移管（无场区域）构成，开始时反射区1、2均未加电场，当离子第一次进入漂移管时，两反射区开始加上电场强度大小相等、方向相反的匀强电场，其电场强度足够大，使得进入反射区的离子能够反射回漂移管.离子在质量分析器中经多次往复即将进入反射区2时，撤去反射区的电场，离子打在荧光屏 上被探测到，可测得离子从 到 的总飞行时间.设实验所用离子的电荷量均为 ,不计离子重力.
（1）求质量为 的离子第一次通过漂移管所用的时间 ;
[答案] 设离子经加速电场加速后的速度大小为 ,有
①（2分）
离子在漂移管中做匀速直线运动，则 ②（2分）
联立①②式，得 ③（2分）
（2）反射区加上电场，电场强度大小为 ，求离子能进入反射区的最大距离 ;
[答案] 根据动能定理，有 ④（2分）
得 ⑤（2分）
（3）已知质量为 的离子总飞行时间为 ,待测离子的总飞行时间为 ，两种离子在质量分析器中反射相同次数，求待测离子质量 .
[答案] 离子在加速电场中运动和反射区电场中每次单向运动均为匀变速直线运动，平均速度大小均相等，设其为 ,有
⑥（2分）
通过⑤式可知，离子在反射区的电场中运动路程是与离子本身无关的，所以不同离子在电场区运动的总路程相等，设为 ,在无场区的总路程设为 ,根据题目条件可知，离子在无场区速度大小恒为 ，设离子的总飞行时间为 ，有
⑦（2分）
联立①⑥⑦式,得 ⑧（2分）
可见，离子从 到 的总飞行时间与 成正比.依题意可得
即 ⑨（2分）
题组七
一、选择题
1. [2023浙江1月选考，3分]如图所示，示波管由电子枪、竖直方向偏转电极 、水平方向偏转电极 和荧光屏组成.电极 的长度为 、间距为 、极板间电压为 ， 极板间电压为零，电子枪加速电压为 .电子刚离开金属丝的速度为零，从电子枪射出后沿 方向进入偏转电极.已知电子电荷量为 ，质量为 ，则电子( D )
A. 在 极板间的加速度大小为
B. 打在荧光屏上时，动能大小为
C. 在 极板间受到电场力的冲量大小为
D. 打在荧光屏上时，其速度方向与 连线夹角 的正切
[解析] 极板间的电场强度大小为 ，电子所受的电场力大小为 ，由牛顿第二定律得 ， 错误；电子在加速电场中运动时电场力做的功为 ，电子沿 方向进入偏转电极，若能打在荧光屏上，在 极板间沿电场力方向的位移 ，则电场力做的功 ，对全过程由动能定理得 ， 错误；电子刚好从 极板的边缘离开时，电子在 极板间受到的电场力做的功为 ，故在 极板间受到电场力的冲量大小 ， 错误；电子离开加速电场时有 ，电子在 极板间的加速度大小为 ，则离开 极板间时电子在垂直 极板方向的速度大小为 ，沿 方向有 ，联立解得 ， 正确.
2. [2022海南，4分，多选]如图甲，物块 放在绝缘水平面上的 点，用跨过轻质定滑轮的绝缘轻绳与物块 连接， 离滑轮足够远.空间存在水平向左的匀强电场，电场强度大小为 . 、 的质量均为 ， 的电荷量为 ， 不带电.运动过程中 与 点的距离设为 ， 与水平面间的动摩擦因数 与 的关系如图乙.规定 点的电势为零，重力加速度大小取 .将 、 由静止释放，则物块 的( ACD )
图甲
图乙
A. 最大速度为
B. 最大位移为
C. 速度为 时，电势能可能为
D. 速度为 时，绳中拉力大小可能为
[解析] 当 速度最大时， 速度也最大，此时两者的加速度均为零，则绳中拉力为 ，对 受力分析可知， ，解得 ，根据图乙可知，对应 ，对 、 整体由能量守恒定律有 ，代入数据解得 ， 正确；设 运动的最大位移为 ，则对 、 整体由能量守恒定律有 ，又 ，代入数据解得 ， 错误；当物块 速度为 时，对 、 整体由能量守恒定律有 ，又 ，代入数据解得 或 ，当 时，物块 的电势能 ， 正确；当 时， ，对物块 由牛顿第二定律有 ，对物块 由牛顿第二定律有 ，联立并代入数据得 ， ， 正确.
3. [2020浙江1月选考，3分]如图所示，电子以某一初速度沿两块平行板的中线方向射入偏转电场中，已知极板长度 ，间距 ，电子质量 ，电荷量 .若电子恰好从极板边缘射出电场,由以上条件可以求出的是( B )
A. 偏转电压 B. 偏转的角度
C. 射出电场速度 D. 电场中运动的时间
[解析] 由题意可知电子在平行于平行板中线方向做匀速直线运动，在垂直于极板方向做初速度为零的匀加速直线运动，则在平行于平行板中线方向上有 ，在垂直于极板方向上有 ，而 ，由于初速度大小 未知，则电子在电场中运动的时间不可求，偏转电压不可求，电子离开电场的速度不可求， 、 、 错误；电子恰好从极板边缘射出电场时，位移与初速度方向夹角的正切值为 ，由类平抛运动的规律可知，电子射出电场时的速度与初速度方向夹角的正切值为 ，即电子的偏转角度可求， 正确.
二、非选择题
4. [2022江苏，16分]某装置用电场控制带电粒子运动，工作原理如图所示.矩形 区域内存在多层紧邻的匀强电场，每层的高度均为 ，电场强度大小均为 ，方向沿竖直方向交替交化， 边长为 ， 边长为 .质量为 、电荷量为 的粒子流从装置左端中点射入电场，粒子初动能为 ，入射角为 ，在纸面内运动.不计粒子重力及粒子间的相互作用力.
（1）当 时，若粒子能从 边射出，求该粒子通过电场的时间 ；
[答案] 粒子所受电场力在竖直方向上，粒子在水平方向上做匀速直线运动，速度分解如图1所示
粒子在水平方向上的分速度为 （1分）
根据 可知 （1分）
则时间 （1分）
图1
（2）当 时，若粒子从 边射出电场时与轴线 的距离小于 ，求入射角 的范围；
[答案] 粒子进入电场时的初动能 （1分）
粒子进入电场后只有电场力做功，粒子竖直方向上反复运动后，根据题意可知最终的运动空间如图2所示
若粒子从 上部分离开 边，则电场力做负功，根据动能定理可知 （1分）
其中 ， （1分）
粒子在水平方向上做匀速直线运动
所以 ，竖直方向上
动能定理的方程可表示为
（1分）
当 时， 取到最大值
即 （1分）
解得粒子在竖直方向上的最大位移为 （1分）
根据题意可知 ，可知
解得 （1分）
粒子在 上、下部分运动呈现对称性，所以入射角的范围为
或 （1分）
图2
（3）当 ，粒子在 为 ~ 范围内均匀射入电场时，求从 边出射的粒子与入射粒子的数量之比 .
[答案] 粒子在水平方向做匀速直线运动，从 边射出时，粒子穿过电场所用时间为
（1分）
当粒子恰好从 点射出时，由于粒子在电场方向上反复做加速度大小相等的减速运动、加速运动，如此循环3次；故粒子沿电场线方向的速度在 上方 、 、 处的大小相同，在 上方 、 、 处的速度大小也相同；则可知粒子在每一段电场中的运动时间均相等，设为 ,可得 （1分）
在第一段电场中，竖直方向上有
（1分）
又
联立可得 （1分）
即
可得 或 （舍去）
故
则从 边出射的粒子与入射粒子的数量之比 （1分）
5. [2021福建，16分]如图（a），同一竖直平面内 、 、 、 四点距 点的距离均为 ， 为水平连线 的中点， 、 在 连线的中垂线上， 、 两点分别固定有一点电荷，电荷量均为 .以 为原点，竖直向下为正方向建立 轴，若取无穷远处为电势零点，则 上的电势 随位置 的变化关系如图（b）所示.一电荷量为 的小球 以一定的初动能从 点竖直下落，一段时间后经过 点，其在 段运动的加速度大小 随位置 的变化关系如图（c）所示.图中 为重力加速度大小、 为静电力常量.
图（a）
图（b）
图（c）
（1）求小球 在 点所受电场力的大小；
[答案] 设 到 点的距离为 、 点的电荷对小球 （在 点时）的库仑力大小为 ，由库仑定律有 （1分）
设小球 在 点所受电场力大小为 ，结合 点的电荷对小球 的库仑力由力的合成有 （1分）
联立①②式并代入数据得 （1分）
（2）当小球 运动到 点时，恰与一沿 轴负方向运动的不带电绝缘小球 发生弹性碰撞.已知 与 的质量相等，碰撞前、后 的动能均为 ，碰撞时间极短.求碰撞前 的动量大小；
[答案] 设 点下方 处为 点、 与 的距离为 、小球 在 处所受的库仑力大小为 ，由库仑定律和力的合成有
（1分）
式中 ，
设小球 的质量为 、小球 在 点的加速度大小为 ，由牛顿第二定律有 （1分）
由图（c）可知，式中 ，联立④⑤式并代入数据得
（1分）
设 的质量为 ，碰撞前、后 的速度分别为 、 ， 碰撞前、后的速度分别为 、 ，取竖直向下为正方向，由动量守恒定律和能量守恒定律有
（1分）
⑧（1分）
设小球 碰撞前的动量为 ，由动量的定义有 （1分）
依题意有 ，
联立⑥⑦⑧⑨式并代入数据得 （1分）
即碰撞前 的动量大小为 （1分）
（3）现将 固定在 点，为保证 能运动到 点与之相碰， 从 点下落时的初动能需满足什么条件？
[答案] 设 点上方 处为 点，根据图（c）和对称性可知， 在 点所受的电场力大小等于小球的重力大小、方向竖直向上， 在此处加速度为0；又 ，故 在 点上方做减速运动，在 点下方做加速运动，为保证 能运动到 点与 相碰， 运动到 点时的速度必须大于零（1分）
设 点与 点间的电势差为 ，由电势差的定义有
（1分）
设小球 初动能为 ，运动到 点的动能为 ，由动能定理有
（1分）
（1分）
由对称性知， 点与 点电势相等， 点与 点电势相等，依据图（b）所给数据，并联立⑥ 式可得
（1分）
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