2019-2023年物理高考真题分类练--专题六 机械能守恒定律（有解析）

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2019-2023年物理高考真题分类
专题六 机械能守恒定律
机械能及其相关分析
题组一
一、选择题
1. [2023浙江1月选考，3分]一位游客正在体验蹦极，绑上蹦极专用的橡皮绳后从跳台纵身而下.游客从跳台下落直到最低点过程中( )
A. 弹性势能减小 B. 重力势能减小
C. 机械能保持不变 D. 绳一绷紧动能就开始减小
2. [2023辽宁，4分]如图（a）, 从高处 点到地面 点有Ⅰ、Ⅱ两条光滑轨道.两相同小物块甲、乙同时从 点由静止释放，沿不同轨道滑到 点，其速率 与时间 的关系如图 （b）所示.由图可知，两物块在离开 点后、到达 点前的下滑过程中( )
图（a） 图（b）
A. 甲沿Ⅰ下滑且同一时刻甲的动能比乙的大
B. 甲沿Ⅱ 下滑且同一时刻甲的动能比乙的小
C. 乙沿Ⅰ下滑且乙的重力功率一直不变
D. 乙沿Ⅱ下滑且乙的重力功率一直增大
3. [2022全国甲，6分]北京2022年冬奥会首钢滑雪大跳台局部示意图如图所示.运动员从 处由静止自由滑下，到 处起跳， 点为 、 之间的最低点， 、 两处的高度差为 .要求运动员经过 点时对滑雪板的压力不大于自身所受重力的 倍，运动过程中将运动员视为质点并忽略所有阻力，则 点处这一段圆弧雪道的半径不应小于( )
A. B. C. D.
4. [2022全国乙，6分]固定于竖直平面内的光滑大圆环上套有一个小环.小环从大圆环顶端 点由静止开始自由下滑，在下滑过程中，小环的速率正比于( )
A. 它滑过的弧长 B. 它下降的高度
C. 它到 点的距离 D. 它与 点的连线扫过的面积
5. [2021河北，4分]一半径为 的圆柱体水平固定，横截面如图所示.长度为 、不可伸长的轻细绳，一端固定在圆柱体最高点 处，另一端系一个小球.小球位于 点右侧同一水平高度的 点时，绳刚好拉直.将小球从 点由静止释放，当与圆柱体未接触部分的细绳竖直时，小球的速度大小为（重力加速度为 ，不计空气阻力）( )
A. B. C. D.
6. [2021广东，6分，多选]长征途中，为了突破敌方关隘，战士爬上陡峭的山头，居高临下向敌方工事内投掷手榴弹.战士在同一位置先后投出甲、乙两颗质量均为 的手榴弹.手榴弹从投出的位置到落地点的高度差为 ,在空中的运动可视为平抛运动，轨迹如图所示,重力加速度为 .下列说法正确的有( )
A. 甲在空中的运动时间比乙的长
B. 两手榴弹在落地前瞬间，重力的功率相等
C. 从投出到落地,每颗手榴弹的重力势能减少
D. 从投出到落地,每颗手榴弹的机械能变化量为
二、非选择题
7. [2023全国甲，12分]如图，光滑水平桌面上有一轻质弹簧，其一端固定在墙上.用质量为 的小球压弹簧的另一端，使弹簧的弹性势能为 .释放后，小球在弹簧作用下从静止开始在桌面上运动，与弹簧分离后，从桌面水平飞出.小球与水平地面碰撞后瞬间，其平行于地面的速度分量与碰撞前瞬间相等;垂直于地面的速度分量大小变为碰撞前瞬间的 .小球与地面碰撞后，弹起的最大高度为 .重力加速度大小为 ，忽略空气阻力.求
（1）小球离开桌面时的速度大小;
（2）小球第一次落地点距桌面上其飞出点的水平距离.
8. [2021全国乙，12分]一篮球质量为 ，一运动员使其从距地面高度为 处由静止自由落下，反弹高度为 .若使篮球从距地面 的高度由静止下落，并在开始下落的同时向下拍球，球落地后反弹的高度也为 .假设运动员拍球时对球的作用力为恒力，作用时间为 ；该篮球每次与地面碰撞前后的动能的比值不变.重力加速度大小取 ，不计空气阻力.求
（1）运动员拍球过程中对篮球所做的功；
（2）运动员拍球时对篮球的作用力的大小.
题组二
一、选择题
1. [2023浙江6月选考，3分]铅球被水平推出后的运动过程中，不计空气阻力，下列关于铅球在空中运动时的加速度大小 、速度大小 、动能 和机械能 随运动时间 的变化关系中,正确的是( )
A.
B.
C.
D.
2. [2022福建，4分]福建土楼兼具居住和防御的功能，承启楼是圆形土楼的典型代表，如图（a）所示.承启楼外楼共四层，各楼层高度如图（b）所示.同一楼层内部通过直径约 的圆形廊道连接.若将质量为 的防御物资先从二楼仓库搬到四楼楼梯口 处，再用 沿廊道运送到 处，如图（c）所示.重力加速度大小取 ，则( )
图（a）承启楼
图（b）剖面图 图（c）四楼平面图
A. 该物资从二楼地面被运送到四楼 处的过程，克服重力所做的功为
B. 该物资从 处被运送到 处的过程，克服重力所做的功为
C. 从 处沿圆形廊道运动到 处，位移大小为
D. 从 处沿圆形廊道运动到 处，平均速率为
3. [2022河北，6分，多选]如图,轻质定滑轮固定在天花板上,物体 和 用不可伸长的轻绳相连，悬挂在定滑轮上,质量 , 时刻将两物体由静止释放,物体 的加速度大小为 . 时刻轻绳突然断开,物体 能够达到的最高点恰与物体 释放位置处于同一高度，取 时刻物体 所在水平面为零势能面,此时物体 的机械能为 .重力加速度大小为 ,不计摩擦和空气阻力,两物体均可视为质点.下列说法正确的是( )
A. 物体 和 的质量之比为 B. 时刻物体 的机械能为
C. 时刻物体 重力的功率为 D. 时刻物体 的速度大小
4. [2022广东，6分，多选]如图所示，载有防疫物资的无人驾驶小车，在水平 段以恒定功率 、速度 匀速行驶，在斜坡 段以恒定功率 、速度 匀速行驶.已知小车总质量为 ， ， 段的倾角为 ，重力加速度 取 ，不计空气阻力.下列说法正确的有( )
A. 从 到 ,小车牵引力大小为 B. 从 到 ,小车克服摩擦力做功
C. 从 到 ,小车重力势能增加 D. 从 到 ,小车克服摩擦力做功
5. [2021北京，3分]如图所示，高速公路上汽车定速巡航（即保持汽车的速率不变）通过路面 ，其中 段为平直上坡路面， 段为水平路面， 段为平直下坡路面.不考虑整个过程中空气阻力和摩擦阻力的大小变化.下列说法正确的是( )
A. 在 段汽车的输出功率逐渐减小 B. 汽车在 段的输出功率比 段的大
C. 在 段汽车的输出功率逐渐减小 D. 汽车在 段的输出功率比 段的大
6. [2021湖南，4分]“复兴号”动车组用多节车厢提供动力，从而达到提速的目的.总质量为 的动车组在平直的轨道上行驶.该动车组有四节动力车厢，每节车厢发动机的额定功率均为 ，若动车组所受的阻力与其速率成正比（ ， 为常量），动车组能达到的最大速度为 .下列说法正确的是( )
A. 动车组在匀加速启动过程中，牵引力恒定不变
B. 若四节动力车厢输出功率均为额定值，则动车组从静止开始做匀加速运动
C. 若四节动力车厢输出的总功率为 ，则动车组匀速行驶的速度为
D. 若四节动力车厢输出功率均为额定值，动车组从静止启动，经过时间 达到最大速度 ，则这一过程中该动车组克服阻力做的功为
二、非选择题
7. [2022江苏，13分]在轨空间站中物体处于完全失重状态，对空间站的影响可忽略.空间站上操控货物的机械臂可简化为两根相连的等长轻质臂杆，每根臂杆长为 .如图1所示，机械臂一端固定在空间站上的 点，另一端抓住质量为 的货物；在机械臂的操控下，货物先绕 点做半径为 、角速度为 的匀速圆周运动，运动到 点停下；然后在机械臂操控下，货物从 点由静止开始做匀加速直线运动，经时间 到达 点， 、 间的距离为 .
图1
（1）求货物做匀速圆周运动时受到的向心力大小 ；
（2）求货物运动到 点时机械臂对其做功的瞬时功率 ；
（3）在机械臂作用下，货物、空间站和地球的位置如图2所示，它们在同一直线上，货物与空间站同步做匀速圆周运动.已知空间站轨道半径为 ，货物与空间站中心的距离为 ，忽略空间站对货物的引力，求货物所受的机械臂作用力与所受的地球引力之比 .
图2
动能定理的应用
题组三
一、选择题
1. [2023江苏，4分]滑块以一定的初速度沿粗糙斜面从底端上滑,到达最高点 后返回到底端.利用频闪仪分别对上滑和下滑过程进行拍摄,频闪照片示意图如图所示.与图乙中相比,图甲中滑块( )
A. 受到的合力较小 B. 经过 点的动能较小
C. 在 、 之间的运动时间较短 D. 在 、 之间克服摩擦力做的功较小
2. [2023全国乙，6分，多选]如图，一质量为 、长为 的木板静止在
光滑水平桌面上，另一质量为 的小物块（可视为质点）从木板上的左端以速度 开始运动.已知物块与木板间的滑动摩擦力大小为 ，当物块从木板右端离开时( )
A. 木板的动能一定等于 B. 木板的动能一定小于
C. 物块的动能一定大于 D. 物块的动能一定小于
3. [2022福建，4分]2021年美国“星链”卫星曾近距离接近我国运行在距地 近圆轨道上的天宫空间站.为避免发生危险，天宫空间站实施了发动机点火变轨的紧急避碰措施.已知质量为 的物体从距地心 处运动到无穷远处克服地球引力所做的功为 ，式中 为地球质量， 为引力常量；现将空间站的质量记为 ，变轨前、后稳定运行的轨道半径分别记为 、 ，如图所示.空间站紧急避碰过程发动机做的功至少为( )
A. B.
C. D.
4. [2021湖北，4分]如图（a）所示，一物块以一定初速度沿倾角为 的固定斜面上滑，运动过程中摩擦力大小 恒定，物块动能 与运动路程 的关系如图（b）所示.重力加速度大小取 ，物块质量 和所受摩擦力大小 分别为( )
图（a）
图（b）
A. , B. ,
C. , D. ,
5. [2020全国Ⅱ，6分]如图，在摩托车越野赛途中的水平路段前方有一个坑，该坑沿摩托车前进方向的水平宽度为 ，其左边缘 点比右边缘 点高 .若摩托车经过 点时的动能为 ,它会落到坑内 点， 与 的水平距离和高度差均为 ；若经过 点时的动能为 ,该摩托车恰能越过坑到达 点 等于( )
A. 20 B. 18 C. 9.0 D. 3.0
二、非选择题
6. [2022北京，10分]利用物理模型对问题进行分析，是重要的科学思维方法.
（1）某质量为 的行星绕太阳运动的轨迹为椭圆,在近日点速度为 ，在远日点速度为 .求从近日点到远日点过程中太阳对行星所做的功 .
（2）设行星与恒星的距离为 ，请根据开普勒第三定律 及向心力相关知识，证明恒星对行星的作用力 与 的平方成反比.
（3）宇宙中某恒星质量是太阳质量的2倍，单位时间内向外辐射的能量是太阳的16倍.设想地球“流浪”后绕此恒星公转，且在新公转轨道上的温度与“流浪”前一样.地球绕太阳公转的周期为 ，绕此恒星公转的周期为 ，求 .
7. [2022上海，14分]如图所示， 为平直导轨，长为 ，物块与导轨间的动摩擦因数为 ， 为光滑曲面， 与地面间的高度差
为 , 、 间高度差为 .一个质量为 的物块在水平恒力作用下，从 点由静止开始向右运动，到达 点时撤去恒力，物块经过 点后在空中运动一段时间落地，已知重力加速度为 .
（1）若物块落地时动能为 ，求其经过 点时的动能 ;
（2）若要物块落地时动能小于 ,求恒力必须满足的条件.
8. [2021福建，12分]如图（a），一倾角为 的固定斜面的 段粗糙、 段光滑，斜面上一轻质弹簧的一端固定在底端 处，弹簧的原长与 长度相同.一小滑块在沿斜面向下的拉力 作用下，从 处由静止开始下滑，当滑块第一次到达 点时撤去 ， 随滑块沿斜面下滑的位移 的变化关系如图（b）所示.已知 段长度为 ，滑块质量为 ，滑块与斜面 段间的动摩擦因数为 ，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度大小取 ， .求：
图（a）
图（b）
（1）当拉力为 时，滑块的加速度大小；
（2）滑块第一次到达 点时的动能；
（3）滑块第一次在 点与弹簧脱离后，沿斜面上滑的最大距离.
题组四
一、选择题
1. [2023全国乙，6分]小车在水平地面上沿轨道从左向右运动，动能一直增加.如果用带箭头的线段表示小车在轨道上相应位置处所受合力,下列四幅图可能正确的是( )
A.
B.
C.
D.
2. [2023新课标理综，6分，多选]一质量为 的物体在水平拉力的作用下，由静止开始在水平地面上沿 轴运动，出发点为 轴零点，拉力做的功 与物体坐标 的关系如图所示.物体与水平地面间的动摩擦因数为 ，重力加速度大小取 .下列说法正确的是( )
A. 在 时，拉力的功率为
B. 在 时，物体的动能为
C. 从 运动到 ，物体克服摩擦力做的功为
D. 从 运动到 的过程中，物体的动量最大为
3. [2023湖南，5分，多选]如图，固定在竖直面内的光滑轨道 由直线段 和圆弧段 组成，两段相切于 点, 段与水平面夹角为 , 段圆心为 ,最高点为 , 与 的高度差等于圆弧轨道的直径 .小球从 点以初速度 冲上轨道，能沿轨道运动恰好到达 点，下列说法正确的是( )
A. 小球从 到 的过程中，对轨道的压力逐渐增大
B. 小球从 到 的过程中，重力的功率始终保持不变
C. 小球的初速度
D. 若小球初速度 增大，小球有可能从 点脱离轨道
4. [2022福建，6分，多选]一物块以初速度 自固定斜面底端沿斜面向上运动，一段时间后回到斜面底端.该物块的动能 随位移 的变化关系如图所示，图中 、 、 均已知.根据图中信息可以求出的物理量有( )
A. 重力加速度的大小 B. 物块所受滑动摩擦力的大小
C. 斜面的倾角 D. 物块沿斜面上滑的时间
5. [2021全国甲，6分，多选]一质量为 的物体自倾角为 的固定斜面底端沿斜面向上滑动.该物体开始滑动时的动能为 ，向上滑动一段距离后速度减小为零,此后物体向下滑动，到达斜面底端时动能为 .已知 ，重力加速度大小为 .则( )
A. 物体向上滑动的距离为
B. 物体向下滑动时的加速度大小为
C. 物体与斜面间的动摩擦因数等于0.5
D. 物体向上滑动所用的时间比向下滑动的时间长
6. [2020江苏，3分]如图所示，一小物块由静止开始沿斜面向下滑动，最后停在水平地面上.斜面和地面平滑连接，且物块与斜面、物块与地面间的动摩擦因数均为常数.该过程中，物块的动能 与水平位移 关系的图像是( )
A.
B.
C.
D.
二、非选择题
7. [2021全国甲，12分]如图，一倾角为 的光滑斜面上有50个减速带（图中未完全画出），相邻减速带间的距离均为 ，减速带的宽度远小于 ；一质量为 的无动力小车（可视为质点）从距第一个减速带 处由静止释放.已知小车通过减速带损失的机械能与到达减速带时的速度有关.观察发现，小车通过第30个减速带后，在相邻减速带间的平均速度均相同.小车通过第50个减速带后立刻进入与斜面光滑连接的水平地面，继续滑行距离 后停下.已知小车与地面间的动摩擦因数为 ，重力加速度大小为 .
（1）求小车通过第30个减速带后，经过每一个减速带时损失的机械能；
（2）求小车通过前30个减速带的过程中在每一个减速带上平均损失的机械能；
（3）若小车在前30个减速带上平均每一个损失的机械能大于之后每一个减速带上损失的机械能，则 应满足什么条件？
8. [2020全国Ⅱ，20分]如图，一竖直圆管质量为 ，下端距水平地面的高度为 ，顶端塞有一质量为 的小球.圆管由静止自由下落，与地面发生多次弹性碰撞，且每次碰撞时间均极短；在运动过程中，管始终保持竖直.已知 ，球和管之间的滑动摩擦力大小为 , 为重力加速度的大小，不计空气阻力.
（1）求管第一次与地面碰撞后的瞬间，管和球各自的加速度大小；
（2）管第一次落地弹起后，在上升过程中球没有从管中滑出，求管上升的最大高度；
（3）管第二次落地弹起的上升过程中，球仍没有从管中滑出，求圆管长度应满足的条件.
功能关系 能量守恒定律
题组五
一、选择题
1. [2022江苏，4分]如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端与物块 连接在一起，处于压缩状态. 由静止释放后沿斜面向上运动到最大位移时，立即将物块 轻放在 右侧， 、 由静止开始一起沿斜面向下运动，下滑过程中 、 始终不分离，当 回到初始位置时速度为零. 、 与斜面间的动摩擦因数相同，弹簧未超过弹性限度，则( B )
A. 当上滑到最大位移的一半时， 的加速度方向沿斜面向下
B. 上滑时，弹簧的弹力方向不发生变化
C. 下滑时， 对 的压力先减小后增大
D. 整个过程， 、 克服摩擦力所做的总功大于 的重力势能减少量
[解析]
释放时刻， ,设斜面倾角为 , 、 与斜面间的动摩擦因数为
下滑过程， 对 的弹力方向只能沿斜面向上，设大小为 ，设在最高点时，弹簧弹力为 ，规定沿斜面向下为正方向
对
对
解得
所以在最高点处 ，沿斜面向上，弹簧依然处于压缩状态，弹力方向不发生变化，在下滑过程中， 增大， 增大，B对，C错.
A从释放位置到最大位移处，由能量守恒定律得
解得
运动到最大位移一半处时，弹簧压缩量
合力 ，加速度为零，A错.
整个过程，弹簧的弹性势能不变， 的重力势能减少，系统内能增加（摩擦生热）.由功能关系可知， 、 克服摩擦力做的功等于 的重力势能减少量，D错.
2. [2021浙江6月选考，3分]中国制造的某一型号泵车如图所示，表中列出了其部分技术参数.已知混凝土密度为 ,假设泵车的泵送系统以 的输送量给 高处输送混凝土，则每小时泵送系统对混凝土做的功至少为( C )
发动机最大输出功率 332 最大输送高度 63
整车满载质量 最大输送量 180
A. B. C. D.
[解析] 每小时输送的混凝土的体积为 ，则其增加的重力势能为 ，根据功能关系可知，选项C正确.
3. [2020山东，4分，多选]如图所示，质量为 的物块 放置在光滑水平桌面上，右侧连接一固定于墙面的水平轻绳，左侧通过一倾斜轻绳跨过光滑定滑轮与一竖直轻弹簧相连.现将质量为 的钩码 挂于弹簧下端，当弹簧处于原长时，将 由静止释放，当 下降到最低点时（未着地）， 对水平桌面的压力刚好为零.轻绳不可伸长，弹簧始终在弹性限度内，物块 始终处于静止状态.以下判断正确的是( ACD )
A.
B.
C. 在 从释放位置运动到最低点的过程中， 所受合力对 先做正功后做负功
D. 在 从释放位置运动到速度最大的过程中， 克服弹簧弹力做的功等于 机械能的减少量
[解析] 钩码 释放后做简谐运动，根据简谐运动的对称性，物块 在最高点加速度大小为 ，所以在最低点加速度大小也为 .在最低点对 由牛顿第二定律有 ，得 ，而 在最低点时物块 对水平桌面的压力刚好为零，可知 左侧轻绳上拉力的竖直分力等于 ，故 , 项正确，B项错误； 从释放位置到最低点的过程中，速度先增大后减小，由动能定理可知，合力对 先做正功后做负功，C项正确；由功能关系可知， 从释放到速度最大过程中 克服弹簧弹力做的功等于 机械能的减少量，D项正确.
4. [2020全国Ⅰ，6分，多选]一物块在高 、长 的斜面顶端从静止开始沿斜面下滑，其重力势能和动能随下滑距离 的变化如图中直线Ⅰ、Ⅱ所示，重力加速度取 .则( AB )
A. 物块下滑过程中机械能不守恒
B. 物块与斜面间的动摩擦因数为0.5
C. 物块下滑时加速度的大小为
D. 当物块下滑 时机械能损失了
[解析] 由重力势能和动能随下滑距离 变化的图像可知，重力势能和动能之和随下滑距离 的增大而减小，可知物块下滑过程中机械能不守恒， 项正确；在斜面顶端，重力势能 ，解得物块质量 ，由重力势能随下滑距离 的变化图像可知，重力势能可以表示为 ，由动能随下滑距离 的变化图像可知，动能可以表示为 ，设斜面倾角为 ，则有 ， ,由功能关系有 ，可得 ， 项正确；由 ， 可得， ，对比匀变速直线运动公式 ，可得 ，即物块下滑时加速度的大小为 , 项错误；由重力势能和动能随下滑距离 的变化图像可知，当物块下滑 时机械能为 ，机械能损失了 ,D项错误.
【一题多解】 在得出物块与斜面之间的动摩擦因数 后，可以利用牛顿第二定律得出物块沿斜面下滑时的加速度大小为 .可以得出物块下滑 的过程中摩擦力做的功为 ，由功能关系可知机械能损失了 .
二、非选择题
5. [2021北京，12分]秋千由踏板和绳构成，人在秋千上的摆动过程可以简化为单摆的摆动，等效“摆球”的质量为 ，人蹲在踏板上时摆长为 ，人站立时摆长为 .不计空气阻力，重力加速度大小为 .
（1）如果摆长为 ，“摆球”通过最低点时的速度为 ，求此时“摆球”受到拉力 的大小.
[答案] “摆球”在最低点时，根据牛顿第二定律有
（1分）
解得 （1分）
（2）在没有别人帮助的情况下，人可以通过在低处站起、在高处蹲下的方式使“摆球”摆得越来越高.
.人蹲在踏板上从最大摆角 开始运动，到最低点时突然站起，此后保持站立姿势摆到另一边的最大摆角为 .假定人在最低点站起前后“摆球”摆动速度大小不变，通过计算证明 .
.实际上人在最低点快速站起后“摆球”摆动速度的大小会增大.随着摆动越来越高，达到某个最大摆角 后，如果再次经过最低点时，通过一次站起并保持站立姿势就能实现在竖直平面内做完整的圆周运动，求在最低点“摆球”增加的动能 应满足的条件.
[答案] .设人在最低点站起前后“摆球”的摆动速度大小分别为 、 ，根据功能关系得
（1分）
（1分）
已知 ，得 （1分）
因为 ，则 （1分）
所以 （1分）
.设“摆球”由最大摆角 摆至最低点时动能为 ，根据功能关系得 （1分）
“摆球”在竖直平面内做完整的圆周运动，设通过最高点的最小速度为
根据牛顿第二定律得 （1分）
“摆球”在竖直平面内做完整的圆周运动，根据功能关系有
（2分）
解得 （1分）
6. [2021山东，16分]如图所示，三个质量均为 的小物块 、 、 ，放置在水平地面上， 紧靠竖直墙壁，一劲度系数为 的轻弹簧将 、 连接， 紧靠 ，开始时弹簧处于原长， 、 、 均静止.现给 施加一水平向左、大小为 的恒力，使 、 一起向左运动，当速度为零时，立即撤去恒力，一段时间后 离开墙壁，最终三物块都停止运动.已知 、 、 与地面间的滑动摩擦力大小均为 ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，弹簧始终在弹性限度内.（弹簧的弹性势能可表示为： ， 为弹簧的劲度系数， 为弹簧的形变量）
（1）求 、 向左移动的最大距离 和 、 分离时 的动能 ；
[答案] 从开始到 、 向左移动到最大距离的过程，以 、 和弹簧为研究对象，由功能关系得 （1分）
解得 （1分）
弹簧恢复原长时 、 分离，从弹簧最短到 、 分离，以 、 和弹簧为研究对象，由能量守恒定律得 （1分）
联立方程解得 （1分）
（2）为保证 能离开墙壁，求恒力的最小值 ；
[答案] 当 刚要离开墙时，设弹簧的伸长量为 ，以 为研究对象，由平衡条件得 （1分）
若 刚要离开墙壁时 的速度恰好等于零，这种情况下对应的恒力为最小值 ，从弹簧恢复原长到 刚要离开墙的过程，以 和弹簧为研究对象，由能量守恒定律得 （1分）
结合第（1）问结果可知
根据题意舍去 ，所以恒力的最小值为 （1分）
（3）若三物块都停止时 、 间的距离为 ，从 、 分离到 停止运动的整个过程， 克服弹簧弹力做的功为 ，通过推导比较 与 的大小；
[答案] 从 、 分离到 停止运动，设 的路程为 ， 的位移为 ，以 为研究对象，由动能定理得 （1分）
以 为研究对象，由动能定理得 （1分）
由 、 的运动关系得 （1分）
联立可知 （1分）
（4）若 ，请在所给坐标系中，画出 向右运动过程中加速度 随位移 变化的图像，并在坐标轴上标出开始运动和停止运动时的 、 值（用 、 、 表示），不要求推导过程.以撤去 时 的位置为坐标原点，水平向右为正方向.
[答案] 小物块 、 向左运动的整个过程，由动能定理得
（1分）
解得撤去恒力瞬间弹簧弹力为
则 在坐标原点的加速度为 （1分）
之后 向右运动过程（ 与 未分离）的加速度为
可知加速度与位移 为线性关系，随着弹簧逐渐恢复原长， 减小， 减小，弹簧恢复原长时， 和 分离，之后 只受地面的滑动摩擦力，加速度为 ，负号表示 的加速度方向水平向左
从撤去恒力到弹簧恢复原长的过程，以 、 为研究对象，由动能定理得 （1分）
脱离弹簧瞬间 的速度为 ，之后 受到滑动摩擦力减速至0，由能量守恒定律得
解得脱离弹簧后， 运动的距离为
则 最后停止的位置为 （1分）
所以 向右运动的图像为
（1分）
专题六 机械能守恒定律
机械能及其相关分析
题组一
一、选择题
1. [2023浙江1月选考，3分]一位游客正在体验蹦极，绑上蹦极专用的橡皮绳后从跳台纵身而下.游客从跳台下落直到最低点过程中( B )
A. 弹性势能减小 B. 重力势能减小
C. 机械能保持不变 D. 绳一绷紧动能就开始减小
[解析] 游客从跳台下落直到最低点过程中，游客的重力做正功，重力势能减小， 正确；橡皮绳绷紧后形变量一直增大，弹性势能一直增大， 错误；橡皮绳绷紧后的过程，橡皮绳的弹力做负功，因此游客的机械能减小， 错误；绳绷紧后游客先加速后减速，因此游客的动能先增大后减小， 错误.
2. [2023辽宁，4分]如图（a）, 从高处 点到地面 点有Ⅰ、Ⅱ两条光滑轨道.两相同小物块甲、乙同时从 点由静止释放，沿不同轨道滑到 点，其速率 与时间 的关系如图 （b）所示.由图可知，两物块在离开 点后、到达 点前的下滑过程中( B )
图（a） 图（b）
A. 甲沿Ⅰ下滑且同一时刻甲的动能比乙的大
B. 甲沿Ⅱ 下滑且同一时刻甲的动能比乙的小
C. 乙沿Ⅰ下滑且乙的重力功率一直不变
D. 乙沿Ⅱ下滑且乙的重力功率一直增大
[解析] 由图（b）可知小物块甲做匀加速直线运动，小物块乙做加速度减小的加速运动，结合图（a）可知，小物块甲沿轨道Ⅱ下滑，小物块乙沿轨道Ⅰ下滑， 错误；由图（b）可知，两物块在离开 点后、到达 点前的下滑过程中，同一时刻物块乙的速度大于物块甲的速度，则同一时刻甲的动能比乙的小， 正确；小物块乙由静止释放的瞬间，小物块乙的速度为零，则小物块乙的重力功率为0，小物块乙滑到轨道Ⅰ底端的瞬间，小物块乙的速度方向与重力方向垂直，则小物块乙的重力功率为0，但在下滑过程，小物块乙的重力做的功不为0，则小物块乙的重力的瞬时功率先增大后减小， 错误.
3. [2022全国甲，6分]北京2022年冬奥会首钢滑雪大跳台局部示意图如图所示.运动员从 处由静止自由滑下，到 处起跳， 点为 、 之间的最低点， 、 两处的高度差为 .要求运动员经过 点时对滑雪板的压力不大于自身所受重力的 倍，运动过程中将运动员视为质点并忽略所有阻力，则 点处这一段圆弧雪道的半径不应小于( D )
A. B. C. D.
[解析] 运动员由 运动到 的过程中，设到 点时的速度为 ，由机械能守恒定律有 ，设 点处这一段圆弧雪道的最小半径为 ，则在经过 点时，有 ，解得 ， 项正确.
4. [2022全国乙，6分]固定于竖直平面内的光滑大圆环上套有一个小环.小环从大圆环顶端 点由静止开始自由下滑，在下滑过程中，小环的速率正比于( C )
A. 它滑过的弧长 B. 它下降的高度
C. 它到 点的距离 D. 它与 点的连线扫过的面积
[解析] 小环从大圆环顶端 点由静止开始自由下滑，其机械能守恒，下落 高度的过程中，有 ，解得 ，选项 错误；设小环位置与 点连线所对的圆心角为 ，小环下滑过程滑过的弧长 ，而 ，所以选项 错误；小环位置到 点的距离 ， ， ，即 ，代入 可知 与 成正比，即小环的速率与小环到 点的距离成正比，选项 正确；小环位置与 点连线扫过的面积 ，分析知与 不成正比，选项 错误.
5. [2021河北，4分]一半径为 的圆柱体水平固定，横截面如图所示.长度为 、不可伸长的轻细绳，一端固定在圆柱体最高点 处，另一端系一个小球.小球位于 点右侧同一水平高度的 点时，绳刚好拉直.将小球从 点由静止释放，当与圆柱体未接触部分的细绳竖直时，小球的速度大小为（重力加速度为 ，不计空气阻力）( A )
A. B. C. D.
[解析] 相对初状态，末状态小球下降的高度 ，对小球，根据机械能守恒定律有 ，解得 ，选项 正确， 、 、 错误.
【快解秘诀】 根据轻细绳总长不变得到与圆柱体接触部分绳的长度，进而求出小球下降高度 是解题的关键.
6. [2021广东，6分，多选]长征途中，为了突破敌方关隘，战士爬上陡峭的山头，居高临下向敌方工事内投掷手榴弹.战士在同一位置先后投出甲、乙两颗质量均为 的手榴弹.手榴弹从投出的位置到落地点的高度差为 ,在空中的运动可视为平抛运动，轨迹如图所示,重力加速度为 .下列说法正确的有( BC )
A. 甲在空中的运动时间比乙的长
B. 两手榴弹在落地前瞬间，重力的功率相等
C. 从投出到落地,每颗手榴弹的重力势能减少
D. 从投出到落地,每颗手榴弹的机械能变化量为
[解析] 由平抛运动在竖直方向做自由落体运动可知 ，则手榴弹在空中运动的时间 ，甲、乙在空中运动时间相等，落地前瞬间手榴弹竖直向下的速度 ，则手榴弹在落地前瞬间重力的功率为 ，两手榴弹在落地前瞬间重力的功率相等，选项 错误， 正确；由重力做的功等于重力势能的减少量可知，从投出到落地，每颗手榴弹的重力做的功均为 ，它们的重力势能都减小 ，选项 正确；从投出到落地，只有手榴弹的重力做功，故其机械能守恒，选项 错误.
【快解秘诀】 平抛运动模型的规律为水平方向上做匀速直线运动和竖直方向上做自由落体运动；空中运动时间由竖直高度决定；重力的瞬时功率为重力与此时竖直方向上的速度大小的乘积；由于平抛运动中只有重力做功，故机械能守恒.
二、非选择题
7. [2023全国甲，12分]如图，光滑水平桌面上有一轻质弹簧，其一端固定在墙上.用质量为 的小球压弹簧的另一端，使弹簧的弹性势能为 .释放后，小球在弹簧作用下从静止开始在桌面上运动，与弹簧分离后，从桌面水平飞出.小球与水平地面碰撞后瞬间，其平行于地面的速度分量与碰撞前瞬间相等;垂直于地面的速度分量大小变为碰撞前瞬间的 .小球与地面碰撞后，弹起的最大高度为 .重力加速度大小为 ，忽略空气阻力.求
（1）小球离开桌面时的速度大小;
[答案] 从释放弹簧到小球离开桌面的过程中，小球与弹簧组成的系统机械能守恒，设小球离开桌面时的速度大小为 ,由机械能守恒定律有 （2分）
解得 （1分）
（2）小球第一次落地点距桌面上其飞出点的水平距离.
[答案] 小球与地面碰撞弹起后在竖直方向做竖直上抛运动，设弹起时小球的竖直速度为 ,则
由运动学公式有 （2分）
设小球落地前的瞬间竖直方向速度大小为 ，则有 （1分）
小球从桌面水平飞出后，做平抛运动的过程中，有 （2分）
其水平位移 （2分）
联立解得 （2分）
8. [2021全国乙，12分]一篮球质量为 ，一运动员使其从距地面高度为 处由静止自由落下，反弹高度为 .若使篮球从距地面 的高度由静止下落，并在开始下落的同时向下拍球，球落地后反弹的高度也为 .假设运动员拍球时对球的作用力为恒力，作用时间为 ；该篮球每次与地面碰撞前后的动能的比值不变.重力加速度大小取 ，不计空气阻力.求
（1）运动员拍球过程中对篮球所做的功；
[答案] 篮球下落及上升过程中，机械能守恒
则碰地前、后动能的比值 （2分）
设运动员拍球过程中对篮球所做的功为
则 （2分）
代入数据得 （2分）
（2）运动员拍球时对篮球的作用力的大小.
[答案] 设运动员拍球时对篮球作用力为 ，篮球的加速度为
则有 （2分）
设时间 内篮球运动距离为 ，
则 ，又 （2分）
代入数据得 （2分）
题组二
一、选择题
1. [2023浙江6月选考，3分]铅球被水平推出后的运动过程中，不计空气阻力，下列关于铅球在空中运动时的加速度大小 、速度大小 、动能 和机械能 随运动时间 的变化关系中,正确的是( D )
A.
B.
C.
D.
[解析] 铅球在空中做平抛运动，加速度为重力加速度，恒定不变， 错；铅球的速度大小为 ，又 ，联立可得 ,所以 图像为曲线， 错；由于不计空气阻力，则铅球在空中运动过程中只有重力做功，机械能守恒，由动能定理有 ，又 ，联立可得 ，所以 图线为二次函数图线， 错， 对.
2. [2022福建，4分]福建土楼兼具居住和防御的功能，承启楼是圆形土楼的典型代表，如图（a）所示.承启楼外楼共四层，各楼层高度如图（b）所示.同一楼层内部通过直径约 的圆形廊道连接.若将质量为 的防御物资先从二楼仓库搬到四楼楼梯口 处，再用 沿廊道运送到 处，如图（c）所示.重力加速度大小取 ，则( A )
图（a）承启楼
图（b）剖面图 图（c）四楼平面图
A. 该物资从二楼地面被运送到四楼 处的过程，克服重力所做的功为
B. 该物资从 处被运送到 处的过程，克服重力所做的功为
C. 从 处沿圆形廊道运动到 处，位移大小为
D. 从 处沿圆形廊道运动到 处，平均速率为
[解析] 从二楼地面
到四楼 处 , 对
3. [2022河北，6分，多选]如图,轻质定滑轮固定在天花板上,物体 和 用不可伸长的轻绳相连，悬挂在定滑轮上,质量 , 时刻将两物体由静止释放,物体 的加速度大小为 . 时刻轻绳突然断开,物体 能够达到的最高点恰与物体 释放位置处于同一高度，取 时刻物体 所在水平面为零势能面,此时物体 的机械能为 .重力加速度大小为 ,不计摩擦和空气阻力,两物体均可视为质点.下列说法正确的是( BCD )
A. 物体 和 的质量之比为 B. 时刻物体 的机械能为
C. 时刻物体 重力的功率为 D. 时刻物体 的速度大小
[解析] 轻绳断开前，对物体 由牛顿第二定律得 ，对物体 由牛顿第二定律得 ，整理得 ， 错误； 时刻两物体的速度为 ， 时间内两物体的位移大小为 ，此后物体 上升的高度为 ， 时刻物体 的机械能为 ，轻绳断裂瞬间物体 的机械能为 ， 时刻后物体 的机械能守恒，即 时刻物体 的机械能为 ， 正确；轻绳断开后，物体 经时间 运动到最高点，此后自由下落，则 时刻物体 的速度大小为 ，重力的功率为 ，结合 得 ， 、 正确.
【一题多解】 轻绳断开前，对两物体由牛顿第二定律得 ，整理得 ，且绳上拉力大小 ,A错误；在计算出 时刻物体 的机械能后， 时间内轻绳对物体 做负功，则由 ，则物体 的机械能减少 ，B正确.
4. [2022广东，6分，多选]如图所示，载有防疫物资的无人驾驶小车，在水平 段以恒定功率 、速度 匀速行驶，在斜坡 段以恒定功率 、速度 匀速行驶.已知小车总质量为 ， ， 段的倾角为 ，重力加速度 取 ，不计空气阻力.下列说法正确的有( ABD )
A. 从 到 ,小车牵引力大小为 B. 从 到 ,小车克服摩擦力做功
C. 从 到 ,小车重力势能增加 D. 从 到 ,小车克服摩擦力做功
[解析] 从 到 ，由 可得小车牵引力 ， 正确.从 到 ，小车匀速行驶，牵引力等于摩擦力，可得摩擦力 ，小车克服摩擦力做的功 ， 正确.从 到 ，由 可得小车牵引力 ，从 到 ，小车匀速行驶，小车牵引力 ，解得 ；从 到 ，小车克服摩擦力做的功 ， 正确.从 到 ，小车上升的高度 ，小车重力势能的增加量 ， 错误.
【一题多解】 对选项B，由于小车匀速运动，动能不变，也可利用动能定理得出小车在 段克服摩擦力做的功，即 ， ， ，得出 .对选项D，由于小车匀速运动，动能不变，也可利用功能关系得出小车在 段克服摩擦力做的功，即 ， ， ，得出 .
5. [2021北京，3分]如图所示，高速公路上汽车定速巡航（即保持汽车的速率不变）通过路面 ，其中 段为平直上坡路面， 段为水平路面， 段为平直下坡路面.不考虑整个过程中空气阻力和摩擦阻力的大小变化.下列说法正确的是( B )
A. 在 段汽车的输出功率逐渐减小 B. 汽车在 段的输出功率比 段的大
C. 在 段汽车的输出功率逐渐减小 D. 汽车在 段的输出功率比 段的大
[解析] 汽车的输出功率等于牵引力的功率 ，汽车的速率不变，在 段的牵引力大小不变，故汽车在 段的输出功率不变， 错误；同理，选项 错误；经分析可知，汽车在 段受到的牵引力比 段的大，又两段的速率相等，由 可知汽车在 段的输出功率比 段的大， 正确；汽车在 段的牵引力比 段的小，同理可知，选项 错误.
6. [2021湖南，4分]“复兴号”动车组用多节车厢提供动力，从而达到提速的目的.总质量为 的动车组在平直的轨道上行驶.该动车组有四节动力车厢，每节车厢发动机的额定功率均为 ，若动车组所受的阻力与其速率成正比（ ， 为常量），动车组能达到的最大速度为 .下列说法正确的是( C )
A. 动车组在匀加速启动过程中，牵引力恒定不变
B. 若四节动力车厢输出功率均为额定值，则动车组从静止开始做匀加速运动
C. 若四节动力车厢输出的总功率为 ，则动车组匀速行驶的速度为
D. 若四节动力车厢输出功率均为额定值，动车组从静止启动，经过时间 达到最大速度 ，则这一过程中该动车组克服阻力做的功为
[解析] 根据牛顿第二定律有 ，动车组做匀加速直线运动时加速度恒定，而加速运动过程速度是变化的，故牵引力是变力， 项错误；若四节动力车厢输出功率均为额定值，有 ，加速度是变化的， 项错误；动车组达到最大速度匀速运动时，有 ，若四节动力车厢输出的总功率为 ，设动车组匀速行驶时的速率为 ,则有 ,解得 ， 项正确；若四节动力车厢输出功率为额定值，对整个过程由动能定理得 ,则 , 项错误.
二、非选择题
7. [2022江苏，13分]在轨空间站中物体处于完全失重状态，对空间站的影响可忽略.空间站上操控货物的机械臂可简化为两根相连的等长轻质臂杆，每根臂杆长为 .如图1所示，机械臂一端固定在空间站上的 点，另一端抓住质量为 的货物；在机械臂的操控下，货物先绕 点做半径为 、角速度为 的匀速圆周运动，运动到 点停下；然后在机械臂操控下，货物从 点由静止开始做匀加速直线运动，经时间 到达 点， 、 间的距离为 .
图1
（1）求货物做匀速圆周运动时受到的向心力大小 ；
[答案] 质量为 的货物绕 点做匀速圆周运动，半径为 ，根据牛顿第二定律可知 （2分）
（2）求货物运动到 点时机械臂对其做功的瞬时功率 ；
[答案] 货物从静止开始以加速度 做匀加速直线运动，根据运动学公式可知 （1分）
解得 （1分）
货物到达 点时的速度大小为 （1分）
货物在机械臂的作用下在水平方向上做匀加速直线运动，机械臂对货物的作用力即为货物所受合力 ，所以经过时间 ，货物运动到 点时机械臂对其做功的瞬时功率为
（1分）
（3）在机械臂作用下，货物、空间站和地球的位置如图2所示，它们在同一直线上，货物与空间站同步做匀速圆周运动.已知空间站轨道半径为 ，货物与空间站中心的距离为 ，忽略空间站对货物的引力，求货物所受的机械臂作用力与所受的地球引力之比 .
图2
[答案] 空间站和货物同轴转动，角速度 相同，对质量为 的空间站，质量为 的地球提供其做圆周运动的向心力，则有
（1分）
解得 （1分）
货物在机械臂的作用力 和万有引力 的作用下做匀速圆周运动，则 （1分）
货物受到的万有引力 （1分）
解得机械臂对货物的作用力大小为
（2分）
则 （1分）
动能定理的应用
题组三
一、选择题
1. [2023江苏，4分]滑块以一定的初速度沿粗糙斜面从底端上滑,到达最高点 后返回到底端.利用频闪仪分别对上滑和下滑过程进行拍摄,频闪照片示意图如图所示.与图乙中相比,图甲中滑块( C )
A. 受到的合力较小 B. 经过 点的动能较小
C. 在 、 之间的运动时间较短 D. 在 、 之间克服摩擦力做的功较小
[解析] 设斜面倾角为 、滑块与斜面间的动摩擦因数为 ，对滑块受力分析有 , ,故图甲中滑块受到的合力较大， 错；滑块由 到 的过程，有 上，由 到 的过程，有 下，又 ，则 ，故 上 下，图甲中滑块经过 点的动能较大，B错；将滑块由 到 的过程逆向思维为由 到 的初速度为0、加速度大小为 的匀加速运动，则 ,又 ， ,故 ，即图甲中滑块在 、 之间的运动时间较短，C对；上升和下降过程摩擦力大小相等，经过 的距离相等，根据 可知在 、 之间克服摩擦力做的功相等，D错.
2. [2023全国乙，6分，多选]如图，一质量为 、长为 的木板静止在
光滑水平桌面上，另一质量为 的小物块（可视为质点）从木板上的左端以速度 开始运动.已知物块与木板间的滑动摩擦力大小为 ，当物块从木板右端离开时( BD )
A. 木板的动能一定等于 B. 木板的动能一定小于
C. 物块的动能一定大于 D. 物块的动能一定小于
[解析] 物块和木板的运动示意图和 图像如下
根据动能定理可知
对
对
根据 图像与横轴围成的面积 表示物体运动的位移可知
，
根据位移关系可知
因此 ，即木板的动能一定小于 ， 错 对
将①、②两式相加得 ，变形得物块离开木板时的动能 ，C错D对
3. [2022福建，4分]2021年美国“星链”卫星曾近距离接近我国运行在距地 近圆轨道上的天宫空间站.为避免发生危险，天宫空间站实施了发动机点火变轨的紧急避碰措施.已知质量为 的物体从距地心 处运动到无穷远处克服地球引力所做的功为 ，式中 为地球质量， 为引力常量；现将空间站的质量记为 ，变轨前、后稳定运行的轨道半径分别记为 、 ，如图所示.空间站紧急避碰过程发动机做的功至少为( A )
A. B.
C. D.
[解析]
,A正确
4. [2021湖北，4分]如图（a）所示，一物块以一定初速度沿倾角为 的固定斜面上滑，运动过程中摩擦力大小 恒定，物块动能 与运动路程 的关系如图（b）所示.重力加速度大小取 ，物块质量 和所受摩擦力大小 分别为( A )
图（a）
图（b）
A. , B. ,
C. , D. ,
[解析] 内物块上滑，由动能定理得 ，整理得 ，结合 内的图像得，斜率的绝对值 ； 内物块下滑，由动能定理得 ，整理得 ，结合 内的图像得，斜率 ，联立解得 、 ，A正确，B、C、D错误.
【光速解法】 图像的斜率表示合力，上升阶段有 ，下降阶段有 ，两式相加可得 ，从而可求得 ，A正确.
5. [2020全国Ⅱ，6分]如图，在摩托车越野赛途中的水平路段前方有一个坑，该坑沿摩托车前进方向的水平宽度为 ，其左边缘 点比右边缘 点高 .若摩托车经过 点时的动能为 ,它会落到坑内 点， 与 的水平距离和高度差均为 ；若经过 点时的动能为 ,该摩托车恰能越过坑到达 点 等于( B )
A. 20 B. 18 C. 9.0 D. 3.0
[解析] 摩托车落到 点时，根据平抛运动规律有 ， ，解得 ；同理摩托车落到 点时有 .又动能 、 ，所以 ，故A、C、D项错误，B项正确.
二、非选择题
6. [2022北京，10分]利用物理模型对问题进行分析，是重要的科学思维方法.
（1）某质量为 的行星绕太阳运动的轨迹为椭圆,在近日点速度为 ，在远日点速度为 .求从近日点到远日点过程中太阳对行星所做的功 .
[答案] 根据动能定理有 （2分）
（2）设行星与恒星的距离为 ，请根据开普勒第三定律 及向心力相关知识，证明恒星对行星的作用力 与 的平方成反比.
[答案] 设行星绕恒星做匀速圆周运动，行星的质量为 ，运动半径为 ，运动速度大小为 .恒星对行星的作用力 提供向心力，则 （1分）
运动周期 （1分）
根据开普勒第三定律 ， 为常量，可得 （2分）
即恒星对行星的作用力 与 的平方成反比.
（3）宇宙中某恒星质量是太阳质量的2倍，单位时间内向外辐射的能量是太阳的16倍.设想地球“流浪”后绕此恒星公转，且在新公转轨道上的温度与“流浪”前一样.地球绕太阳公转的周期为 ，绕此恒星公转的周期为 ，求 .
[答案] 假定恒星的能量辐射各向均匀，地球绕恒星做半径为 的圆周运动，恒星单位时间内向外辐射的能量为 .以恒星为球心，以 为半径的球面上，单位面积单位时间的辐射能量
（1分）
设地球绕太阳公转半径为 ,在新轨道上公转半径为 .地球在新公转轨道上的温度与“流浪”前一样，必须满足 不变，由于该恒星单位时间内向外辐射的能量是太阳的16倍，得
设恒星质量为 ，地球在轨道上运行周期为 ，万有引力提供向心力，有 （1分）
解得 （1分）
该恒星质量是太阳质量的2倍，可得 （1分）
7. [2022上海，14分]如图所示， 为平直导轨，长为 ，物块与导轨间的动摩擦因数为 ， 为光滑曲面， 与地面间的高度差
为 , 、 间高度差为 .一个质量为 的物块在水平恒力作用下，从 点由静止开始向右运动，到达 点时撤去恒力，物块经过 点后在空中运动一段时间落地，已知重力加速度为 .
（1）若物块落地时动能为 ，求其经过 点时的动能 ;
[答案] 对物块从 点到落地的过程，由机械能守恒定律有
（2分）
解得 （2分）
（2）若要物块落地时动能小于 ,求恒力必须满足的条件.
[答案] 对物块从 点到落地的整个过程，由动能定理有
（2分）
解得 （2分）
若物块恰能到达 点，根据动能定理有
（2分）
解得 （2分）
则恒力 必须满足的条件为
（2分）
8. [2021福建，12分]如图（a），一倾角为 的固定斜面的 段粗糙、 段光滑，斜面上一轻质弹簧的一端固定在底端 处，弹簧的原长与 长度相同.一小滑块在沿斜面向下的拉力 作用下，从 处由静止开始下滑，当滑块第一次到达 点时撤去 ， 随滑块沿斜面下滑的位移 的变化关系如图（b）所示.已知 段长度为 ，滑块质量为 ，滑块与斜面 段间的动摩擦因数为 ，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度大小取 ， .求：
图（a）
图（b）
（1）当拉力为 时，滑块的加速度大小；
[答案] 设小滑块的质量为 、斜面倾角为 、滑块与斜面 段间的动摩擦因数为 、滑块受斜面的支持力大小为 、滑动摩擦力大小为 、拉力为 时滑块的加速度大小为 .由牛顿第二定律和滑动摩擦力公式有 （1分）
（1分）
（1分）
联立①②③式并代入题给数据得 （1分）
（2）滑块第一次到达 点时的动能；
[答案] 设滑块在 段运动的过程中拉力所做的功为 ，由功的定义有 （1分）
式中 、 和 、 分别对应滑块下滑过程中两阶段所受的拉力及相应的位移大小，依题意有 ， ， ， （1分）
设滑块第一次到达 点时的动能为 ，由动能定理有
（2分）
联立②③⑤⑥式并代入题给数据得 （1分）
（3）滑块第一次在 点与弹簧脱离后，沿斜面上滑的最大距离.
[答案] 由机械能守恒定律可知，滑块第一次在 点与弹簧脱离时，动能仍为 .设滑块离 点的最大距离为 ，由动能定理有
（2分）
联立②③⑦⑧式并代入题给数据得 （1分）
题组四
一、选择题
1. [2023全国乙，6分]小车在水平地面上沿轨道从左向右运动，动能一直增加.如果用带箭头的线段表示小车在轨道上相应位置处所受合力,下列四幅图可能正确的是( D )
A.
B.
C.
D.
[解析] 做曲线运动的小车所受合外力指向轨迹的凹侧，AB错
与 夹角为钝角，减速，动能减小 C错
与 夹角为锐角，加速，动能增大 D对
2. [2023新课标理综，6分，多选]一质量为 的物体在水平拉力的作用下，由静止开始在水平地面上沿 轴运动，出发点为 轴零点，拉力做的功 与物体坐标 的关系如图所示.物体与水平地面间的动摩擦因数为 ，重力加速度大小取 .下列说法正确的是( BC )
A. 在 时，拉力的功率为
B. 在 时，物体的动能为
C. 从 运动到 ，物体克服摩擦力做的功为
D. 从 运动到 的过程中，物体的动量最大为
[解析] 物体所受的滑动摩擦力大小为 ， 的过程，由动能定理有 ，解得 ，又 图像的斜率表示拉力 ,则 的过程，拉力 ，故 时拉力的功率 ， 错误； 的过程，由动能定理有 ，则在 时，物体的动能 ， 正确； 的过程，物体克服摩擦力做的功 ，C正确；由 图像可知， 的过程，拉力 ,则 ,所以物体在 的过程做加速运动， 的过程做减速运动，故 的过程，物体在 处速度最大，由动能定理有 ，解得 ，故物体的最大动量为 ，D错误.
3. [2023湖南，5分，多选]如图，固定在竖直面内的光滑轨道 由直线段 和圆弧段 组成，两段相切于 点, 段与水平面夹角为 , 段圆心为 ,最高点为 , 与 的高度差等于圆弧轨道的直径 .小球从 点以初速度 冲上轨道，能沿轨道运动恰好到达 点，下列说法正确的是( AD )
A. 小球从 到 的过程中，对轨道的压力逐渐增大
B. 小球从 到 的过程中，重力的功率始终保持不变
C. 小球的初速度
D. 若小球初速度 增大，小球有可能从 点脱离轨道
[解析] 小球恰好运动至 点，小球在 点的速度
小球在圆弧 上运动到 点的受力分析如图所示
到 过程 ， 对
小球从 到 重力瞬时功率 ，B错
小球从 到 ， 错
若小球在 点的速度满足 ，则小球将从 点脱离轨道， 对
4. [2022福建，6分，多选]一物块以初速度 自固定斜面底端沿斜面向上运动，一段时间后回到斜面底端.该物块的动能 随位移 的变化关系如图所示，图中 、 、 均已知.根据图中信息可以求出的物理量有( BD )
A. 重力加速度的大小 B. 物块所受滑动摩擦力的大小
C. 斜面的倾角 D. 物块沿斜面上滑的时间
[解析] ，物块运动过程摩擦力做负功，动能减小
上滑过程物块做匀减速运动 ,D对
5. [2021全国甲，6分，多选]一质量为 的物体自倾角为 的固定斜面底端沿斜面向上滑动.该物体开始滑动时的动能为 ，向上滑动一段距离后速度减小为零,此后物体向下滑动，到达斜面底端时动能为 .已知 ，重力加速度大小为 .则( BC )
A. 物体向上滑动的距离为
B. 物体向下滑动时的加速度大小为
C. 物体与斜面间的动摩擦因数等于0.5
D. 物体向上滑动所用的时间比向下滑动的时间长
[解析] 对物体的上滑过程，由动能定理有 ，对全程利用动能定理有 ，由以上两式解得 ， ，所以选项 错误，选项 正确；根据牛顿第二定律可得下滑过程有 ，解得 ，选项B正确；根据牛顿第二定律可得上滑过程有 ，解得 ，利用运动的可逆性分析，由于位移大小相等， ，故根据 可知 ，选项D错误.
6. [2020江苏，3分]如图所示，一小物块由静止开始沿斜面向下滑动，最后停在水平地面上.斜面和地面平滑连接，且物块与斜面、物块与地面间的动摩擦因数均为常数.该过程中，物块的动能 与水平位移 关系的图像是( A )
A.
B.
C.
D.
[解析] 在斜面上，物块受竖直向下的重力、沿斜面向上的滑动摩擦力以及垂直斜面向上的支持力，设物块的质量为 ，斜面的倾角为 ，物块沿斜面下滑的距离对应的水平位移为 ，由动能定理有 ，解得 ，即在斜面上时物块的动能与水平位移成正比，B、D项均错误；在水平面上，物块受竖直向下的重力、竖直向上的支持力以及水平向左的滑动摩擦力，由动能定理有 ，解得 ，其中 为物块滑到斜面底端时的动能, 为物块沿斜面下滑到底端时的距离对应的水平位移，即在水平面上物块的动能与水平位移为一次函数关系，且为减函数， 项正确， 项错误.
【光速解法】 图像的斜率表示合力，小物块在斜面上所受合力不变，则斜率恒定，图线为直线；小物块在地面上所受合力不变，斜率恒定， 图线为直线，A正确.
二、非选择题
7. [2021全国甲，12分]如图，一倾角为 的光滑斜面上有50个减速带（图中未完全画出），相邻减速带间的距离均为 ，减速带的宽度远小于 ；一质量为 的无动力小车（可视为质点）从距第一个减速带 处由静止释放.已知小车通过减速带损失的机械能与到达减速带时的速度有关.观察发现，小车通过第30个减速带后，在相邻减速带间的平均速度均相同.小车通过第50个减速带后立刻进入与斜面光滑连接的水平地面，继续滑行距离 后停下.已知小车与地面间的动摩擦因数为 ，重力加速度大小为 .
（1）求小车通过第30个减速带后，经过每一个减速带时损失的机械能；
[答案] 由动能定理可知，小车通过第30个减速带后，经过每一个减速带时损失的机械能等于小车在相邻减速带间重力势能的减少量，即 （2分）
（2）求小车通过前30个减速带的过程中在每一个减速带上平均损失的机械能；
[答案] 设小车通过第50个减速带后速度为 ，则由动能定理有
（2分）
由题意，小车通过第30个减速带后速度也为
小车通过前30个减速带的过程中，损失的总机械能为
（2分）
在每一个减速带上平均损失的机械能为
解得 （2分）
（3）若小车在前30个减速带上平均每一个损失的机械能大于之后每一个减速带上损失的机械能，则 应满足什么条件？
[答案] 若小车在前30个减速带上平均每一个损失的机械能大于之后每一个减速带上损失的机械能，则 （2分）
解得 （2分）
8. [2020全国Ⅱ，20分]如图，一竖直圆管质量为 ，下端距水平地面的高度为 ，顶端塞有一质量为 的小球.圆管由静止自由下落，与地面发生多次弹性碰撞，且每次碰撞时间均极短；在运动过程中，管始终保持竖直.已知 ，球和管之间的滑动摩擦力大小为 , 为重力加速度的大小，不计空气阻力.
（1）求管第一次与地面碰撞后的瞬间，管和球各自的加速度大小；
[答案] 管第一次落地弹起的瞬间，小球仍然向下运动.设此时管的加速度大小为 ,方向向下；球的加速度大小为 ，方向向上；球与管之间的摩擦力大小为 ,由牛顿运动定律有
①（1分）
②（1分）
联立①②式并代入题给数据，得 , ③（2分）
（2）管第一次落地弹起后，在上升过程中球没有从管中滑出，求管上升的最大高度；
[答案] 管第一次碰地前与球的速度大小相同.由运动学公式，碰地前瞬间它们的速度大小均为 ④（1分）
方向均向下.管弹起的瞬间，管的速度反向，球的速度方向依然向下.
设自弹起时经过时间 ,管与小球的速度刚好相同.取向上为正方向，由运动学公式 ⑤（2分）
联立③④⑤式得 ⑥（1分）
设此时管下端的高度为 ,速度为 .由运动学公式可得
⑦（1分）
⑧（1分）
由③④⑥⑧式可判断此时 .此后，管与小球将以加速度 减速上升 ,到达最高点.由运动学公式有 ⑨（1分）
设管第一次落地弹起后上升的最大高度为 ,则
⑩（1分）
联立③④⑥⑦⑧⑨⑩式可得 （1分）
（3）管第二次落地弹起的上升过程中，球仍没有从管中滑出，求圆管长度应满足的条件.
[答案] 设第一次弹起过程中球相对管的位移为 .在管开始下落到上升 这一过程中，由动能定理有
（3分）
联立 式并代入题给数据得 （1分）
同理可推得，管与球从再次下落到第二次弹起至最高点的过程中，球与管的相对位移 为 （1分）
设圆管长度为 .管第二次落地弹起后的上升过程中，球不会滑出管外的条件是 （1分）
联立 式， 应满足条件为 （1分）
功能关系 能量守恒定律
题组五
一、选择题
1. [2022江苏，4分]如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端与物块 连接在一起，处于压缩状态. 由静止释放后沿斜面向上运动到最大位移时，立即将物块 轻放在 右侧， 、 由静止开始一起沿斜面向下运动，下滑过程中 、 始终不分离，当 回到初始位置时速度为零. 、 与斜面间的动摩擦因数相同，弹簧未超过弹性限度，则( B )
A. 当上滑到最大位移的一半时， 的加速度方向沿斜面向下
B. 上滑时，弹簧的弹力方向不发生变化
C. 下滑时， 对 的压力先减小后增大
D. 整个过程， 、 克服摩擦力所做的总功大于 的重力势能减少量
[解析]
释放时刻， ,设斜面倾角为 , 、 与斜面间的动摩擦因数为
下滑过程， 对 的弹力方向只能沿斜面向上，设大小为 ，设在最高点时，弹簧弹力为 ，规定沿斜面向下为正方向
对
对
解得
所以在最高点处 ，沿斜面向上，弹簧依然处于压缩状态，弹力方向不发生变化，在下滑过程中， 增大， 增大，B对，C错.
A从释放位置到最大位移处，由能量守恒定律得
解得
运动到最大位移一半处时，弹簧压缩量
合力 ，加速度为零，A错.
整个过程，弹簧的弹性势能不变， 的重力势能减少，系统内能增加（摩擦生热）.由功能关系可知， 、 克服摩擦力做的功等于 的重力势能减少量，D错.
2. [2021浙江6月选考，3分]中国制造的某一型号泵车如图所示，表中列出了其部分技术参数.已知混凝土密度为 ,假设泵车的泵送系统以 的输送量给 高处输送混凝土，则每小时泵送系统对混凝土做的功至少为( C )
发动机最大输出功率 332 最大输送高度 63
整车满载质量 最大输送量 180
A. B. C. D.
[解析] 每小时输送的混凝土的体积为 ，则其增加的重力势能为 ，根据功能关系可知，选项C正确.
3. [2020山东，4分，多选]如图所示，质量为 的物块 放置在光滑水平桌面上，右侧连接一固定于墙面的水平轻绳，左侧通过一倾斜轻绳跨过光滑定滑轮与一竖直轻弹簧相连.现将质量为 的钩码 挂于弹簧下端，当弹簧处于原长时，将 由静止释放，当 下降到最低点时（未着地）， 对水平桌面的压力刚好为零.轻绳不可伸长，弹簧始终在弹性限度内，物块 始终处于静止状态.以下判断正确的是( ACD )
A.
B.
C. 在 从释放位置运动到最低点的过程中， 所受合力对 先做正功后做负功
D. 在 从释放位置运动到速度最大的过程中， 克服弹簧弹力做的功等于 机械能的减少量
[解析] 钩码 释放后做简谐运动，根据简谐运动的对称性，物块 在最高点加速度大小为 ，所以在最低点加速度大小也为 .在最低点对 由牛顿第二定律有 ，得 ，而 在最低点时物块 对水平桌面的压力刚好为零，可知 左侧轻绳上拉力的竖直分力等于 ，故 , 项正确，B项错误； 从释放位置到最低点的过程中，速度先增大后减小，由动能定理可知，合力对 先做正功后做负功，C项正确；由功能关系可知， 从释放到速度最大过程中 克服弹簧弹力做的功等于 机械能的减少量，D项正确.
4. [2020全国Ⅰ，6分，多选]一物块在高 、长 的斜面顶端从静止开始沿斜面下滑，其重力势能和动能随下滑距离 的变化如图中直线Ⅰ、Ⅱ所示，重力加速度取 .则( AB )
A. 物块下滑过程中机械能不守恒
B. 物块与斜面间的动摩擦因数为0.5
C. 物块下滑时加速度的大小为
D. 当物块下滑 时机械能损失了
[解析] 由重力势能和动能随下滑距离 变化的图像可知，重力势能和动能之和随下滑距离 的增大而减小，可知物块下滑过程中机械能不守恒， 项正确；在斜面顶端，重力势能 ，解得物块质量 ，由重力势能随下滑距离 的变化图像可知，重力势能可以表示为 ，由动能随下滑距离 的变化图像可知，动能可以表示为 ，设斜面倾角为 ，则有 ， ,由功能关系有 ，可得 ， 项正确；由 ， 可得， ，对比匀变速直线运动公式 ，可得 ，即物块下滑时加速度的大小为 , 项错误；由重力势能和动能随下滑距离 的变化图像可知，当物块下滑 时机械能为 ，机械能损失了 ,D项错误.
【一题多解】 在得出物块与斜面之间的动摩擦因数 后，可以利用牛顿第二定律得出物块沿斜面下滑时的加速度大小为 .可以得出物块下滑 的过程中摩擦力做的功为 ，由功能关系可知机械能损失了 .
二、非选择题
5. [2021北京，12分]秋千由踏板和绳构成，人在秋千上的摆动过程可以简化为单摆的摆动，等效“摆球”的质量为 ，人蹲在踏板上时摆长为 ，人站立时摆长为 .不计空气阻力，重力加速度大小为 .
（1）如果摆长为 ，“摆球”通过最低点时的速度为 ，求此时“摆球”受到拉力 的大小.
[答案] “摆球”在最低点时，根据牛顿第二定律有
（1分）
解得 （1分）
（2）在没有别人帮助的情况下，人可以通过在低处站起、在高处蹲下的方式使“摆球”摆得越来越高.
.人蹲在踏板上从最大摆角 开始运动，到最低点时突然站起，此后保持站立姿势摆到另一边的最大摆角为 .假定人在最低点站起前后“摆球”摆动速度大小不变，通过计算证明 .
.实际上人在最低点快速站起后“摆球”摆动速度的大小会增大.随着摆动越来越高，达到某个最大摆角 后，如果再次经过最低点时，通过一次站起并保持站立姿势就能实现在竖直平面内做完整的圆周运动，求在最低点“摆球”增加的动能 应满足的条件.
[答案] .设人在最低点站起前后“摆球”的摆动速度大小分别为 、 ，根据功能关系得
（1分）
（1分）
已知 ，得 （1分）
因为 ，则 （1分）
所以 （1分）
.设“摆球”由最大摆角 摆至最低点时动能为 ，根据功能关系得 （1分）
“摆球”在竖直平面内做完整的圆周运动，设通过最高点的最小速度为
根据牛顿第二定律得 （1分）
“摆球”在竖直平面内做完整的圆周运动，根据功能关系有
（2分）
解得 （1分）
6. [2021山东，16分]如图所示，三个质量均为 的小物块 、 、 ，放置在水平地面上， 紧靠竖直墙壁，一劲度系数为 的轻弹簧将 、 连接， 紧靠 ，开始时弹簧处于原长， 、 、 均静止.现给 施加一水平向左、大小为 的恒力，使 、 一起向左运动，当速度为零时，立即撤去恒力，一段时间后 离开墙壁，最终三物块都停止运动.已知 、 、 与地面间的滑动摩擦力大小均为 ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，弹簧始终在弹性限度内.（弹簧的弹性势能可表示为： ， 为弹簧的劲度系数， 为弹簧的形变量）
（1）求 、 向左移动的最大距离 和 、 分离时 的动能 ；
[答案] 从开始到 、 向左移动到最大距离的过程，以 、 和弹簧为研究对象，由功能关系得 （1分）
解得 （1分）
弹簧恢复原长时 、 分离，从弹簧最短到 、 分离，以 、 和弹簧为研究对象，由能量守恒定律得 （1分）
联立方程解得 （1分）
（2）为保证 能离开墙壁，求恒力的最小值 ；
[答案] 当 刚要离开墙时，设弹簧的伸长量为 ，以 为研究对象，由平衡条件得 （1分）
若 刚要离开墙壁时 的速度恰好等于零，这种情况下对应的恒力为最小值 ，从弹簧恢复原长到 刚要离开墙的过程，以 和弹簧为研究对象，由能量守恒定律得 （1分）
结合第（1）问结果可知
根据题意舍去 ，所以恒力的最小值为 （1分）
（3）若三物块都停止时 、 间的距离为 ，从 、 分离到 停止运动的整个过程， 克服弹簧弹力做的功为 ，通过推导比较 与 的大小；
[答案] 从 、 分离到 停止运动，设 的路程为 ， 的位移为 ，以 为研究对象，由动能定理得 （1分）
以 为研究对象，由动能定理得 （1分）
由 、 的运动关系得 （1分）
联立可知 （1分）
（4）若 ，请在所给坐标系中，画出 向右运动过程中加速度 随位移 变化的图像，并在坐标轴上标出开始运动和停止运动时的 、 值（用 、 、 表示），不要求推导过程.以撤去 时 的位置为坐标原点，水平向右为正方向.
[答案] 小物块 、 向左运动的整个过程，由动能定理得
（1分）
解得撤去恒力瞬间弹簧弹力为
则 在坐标原点的加速度为 （1分）
之后 向右运动过程（ 与 未分离）的加速度为
可知加速度与位移 为线性关系，随着弹簧逐渐恢复原长， 减小， 减小，弹簧恢复原长时， 和 分离，之后 只受地面的滑动摩擦力，加速度为 ，负号表示 的加速度方向水平向左
从撤去恒力到弹簧恢复原长的过程，以 、 为研究对象，由动能定理得 （1分）
脱离弹簧瞬间 的速度为 ，之后 受到滑动摩擦力减速至0，由能量守恒定律得
解得脱离弹簧后， 运动的距离为
则 最后停止的位置为 （1分）
所以 向右运动的图像为
（1分）
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