2019-2023年物理高考真题分类练--专题七 动量守恒定律（有解析）
文档属性
| 名称 | 2019-2023年物理高考真题分类练--专题七 动量守恒定律（有解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 物理 | ||
| 更新时间 | 2024-04-27 13:15:08 | ||
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文档简介
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2019-2023年物理高考真题分类
专题七 动量守恒定律
动量观点的简单应用
题组一
一、选择题
1. （2023新课标理综，6分，多选）使甲、乙两条形磁铁隔开一段距离，静止于水平桌面上，甲的 极正对着乙的 极，甲的质量大于乙的质量，两者与桌面之间的动摩擦因数相等.现同时释放甲和乙，在它们相互接近过程中的任一时刻( )
A. 甲的速度大小比乙的大 B. 甲的动量大小比乙的小
C. 甲的动量大小与乙的相等 D. 甲和乙的动量之和不为零
2. [2022海南，3分]北京2022年冬奥会，中国短道速滑队获得混合接力冠军.如图，交接棒的过程中甲运动员用力推乙运动员，设此过程中甲对乙的作用力为 ，乙对甲的作用力为 ，则( )
A. 与 总是大小相等，方向相反 B. 与 总是大小相等，方向相同
C. 的冲量大小比 的大 D. 的冲量大小比 的小
3. [2022重庆，4分]在测试汽车的安全气囊对驾乘人员头部防护作用的实验中，某小组得到了假人头部所受安全气囊的作用力随时间变化的曲线（如图）.从碰撞开始到碰撞结束过程中，若假人头部只受到安全气囊的作用，则由曲线可知，假人头部( )
A. 速度变化量的大小等于曲线与横轴围成的面积
B. 动量大小先增大后减小
C. 动能变化量的大小正比于曲线与横轴围成的面积
D. 加速度大小先增大后减小
4. [2021北京，3分]如图所示，圆盘在水平面内以角速度 绕中心轴匀速转动，圆盘上距轴 处的 点有一质量为 的小物体随圆盘一起转动.某时刻圆盘突然停止转动，小物体由 点滑至圆盘上的某点停止.下列说法正确的是( )
A. 圆盘停止转动前，小物体所受摩擦力的方向沿运动轨迹切线方向
B. 圆盘停止转动前，小物体运动一圈所受摩擦力的冲量大小为
C. 圆盘停止转动后，小物体沿圆盘半径方向运动
D. 圆盘停止转动后，小物体整个滑动过程所受摩擦力的冲量大小为
5. [2021湖南，4分]物体的运动状态可用位置 和动量 描述，称为相，对应 图像中的一个点.物体运动状态的变化可用 图像中的一条曲线来描述，称为相轨迹.假如一质点沿 轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动，则对应的相轨迹可能是( )
A.
B.
C.
D.
6. [2021全国乙，6分]如图，光滑水平地面上有一小车，一轻弹簧的一端与车厢的挡板相连，另一端与滑块相连，滑块与车厢的水平底板间有摩擦.用力向右推动车厢使弹簧压缩，撤去推力时滑块在车厢底板上有相对滑动.在地面参考系（可视为惯性系）中，从撤去推力开始，小车、弹簧和滑块组成的系统( )
A. 动量守恒，机械能守恒 B. 动量守恒，机械能不守恒
C. 动量不守恒，机械能守恒 D. 动量不守恒，机械能不守恒
7. （2020全国Ⅰ，6分）行驶中的汽车如果发生剧烈碰撞，车内的安全气囊会被弹出并瞬间充满气体.若碰撞后汽车的速度在很短时间内减小为零，关于安全气囊在此过程中的作用，下列说法正确的是( )
A. 增加了司机单位面积的受力大小
B. 减少了碰撞前后司机动量的变化量
C. 将司机的动能全部转换成汽车的动能
D. 延长了司机的受力时间并增大了司机的受力面积
8. [2019江苏，4分]质量为 的小孩站在质量为 的滑板上,小孩和滑板均处于静止状态,忽略滑板与地面间的摩擦.小孩沿水平方向跃离滑板,离开滑板时的速度大小为 ,此时滑板的速度大小为( )
A. B. C. D.
二、非选择题
9. [2022北京，9分]体育课上，甲同学在距离地面高 处将排球击出，球的初速度沿水平方向,大小为 ;乙同学在离地 处将排球垫起,垫起前后球的速度大小相等,方向相反.已知排球质量 ，取重力加速度 .不计空气阻力.求:
（1）排球被垫起前在水平方向飞行的距离 ;
（2）排球被垫起前瞬间的速度大小 及方向；
（3）排球与乙同学作用过程中所受冲量的大小 .
10. [2021河北，11分]如图，一滑雪道由 和 两段滑道组成，其中 段倾角为 ， 段水平， 段和 段由一小段光滑圆弧连接.一个质量为 的背包在滑道顶端 处由静止滑下，若 后质量为 的滑雪者从顶端以 的初速度、 的加速度匀加速追赶，恰好在坡底光滑圆弧的水平处追上背包并立即将其拎起.背包与滑道的动摩擦因数为 ,重力加速度取 , ， ，忽略空气阻力及拎包过程中滑雪者与背包的重心变化.求:
（1）滑道 段的长度；
（2）滑雪者拎起背包时这一瞬间的速度.
题组二
一、选择题
1. [2022北京，3分]质量为 和 的两个物体在光滑水平面上正碰，其位置坐标 随时间 变化的图像如图所示.下列说法正确的是( )
A. 碰撞前 的速率大于 的速率 B. 碰撞后 的速率大于 的速率
C. 碰撞后 的动量大于 的动量 D. 碰撞后 的动能小于 的动能
2. [2022山东，3分]我国多次成功使用“冷发射”技术发射长征十一号系列运载火箭.如图所示，发射仓内的高压气体先将火箭竖直向上推出，火箭速度接近零时再点火飞向太空.从火箭开始运动到点火的过程中( )
A. 火箭的加速度为零时，动能最大
B. 高压气体释放的能量全部转化为火箭的动能
C. 高压气体对火箭推力的冲量等于火箭动量的增加量
D. 高压气体的推力和空气阻力对火箭做功之和等于火箭动能的增加量
3. [2021天津，5分，多选]一冲九霄，问鼎苍穹.2021年4月29日，长征五号B遥二运载火箭搭载空间站天和核心舱发射升空，标志着我国空间站建造进入全面实施阶段.下列关于火箭的描述正确的是( )
A. 增加单位时间的燃气喷射量可以增大火箭的推力
B. 增大燃气相对于火箭的喷射速度可以增大火箭的推力
C. 当燃气喷出火箭喷口的速度相对于地面为零时火箭就不再加速
D. 火箭发射时获得的推力来自喷出的燃气与发射台之间的相互作用
4. [2021福建，4分]福建属于台风频发地区，各类户外设施建设都要考虑台风影响.已知10级台风的风速范围为 ，16级台风的风速范围为 .若台风迎面垂直吹向一固定的交通标志牌，则16级台风对该交通标志牌的作用力大小约为10级台风的( )
A. 2倍 B. 4倍 C. 8倍 D. 16倍
5. [2020全国Ⅱ，6分，多选]水平冰面上有一固定的竖直挡板.一滑冰运动员面对挡板静止在冰面上，他把一质量为 的静止物块以大小为 的速度沿与挡板垂直的方向推向挡板，运动员获得退行速度；物块与挡板弹性碰撞，速度反向，追上运动员时，运动员又把物块推向挡板，使其再一次以大小为 的速度与挡板弹性碰撞.总共经过8次这样推物块后，运动员退行速度的大小大于 ，反弹的物块不能再追上运动员.不计冰面的摩擦力，该运动员的质量可能为( )
A. B. C. D.
二、非选择题
6. [2023浙江1月选考，11分]一游戏装置竖直截面如图所示，该装置由固定在水平地面上倾角 的直轨道 、螺旋圆形轨道 、倾角 的直轨道 、水平直轨道 组成，除 段外各段轨道均光滑，且各处平滑连接.螺旋圆形轨道与轨道 、 相切于 处.凹槽 底面 水平光滑，上面放有一无动力摆渡车，并紧靠在竖直侧壁 处，摆渡车上表面与直轨道 、平台 位于同一水平面.已知螺旋圆形轨道半径 ， 点高度为 ， 长度 ， 长度 ，摆渡车长度 、质量 .将一质量也为 的滑块从倾斜轨道 上高度 处静止释放，滑块在 段运动时的阻力为其重力的0.2倍.（摆渡车碰到竖直侧壁 立即静止，滑块视为质点，不计空气阻力， ， ）
（1）求滑块过 点的速度大小 和轨道对滑块的作用力大小 ；
（2）摆渡车碰到 前，滑块恰好不脱离摆渡车，求滑块与摆渡车之间的动摩擦因数 ；
（3）在（2）的条件下，求滑块从 到 所用的时间 .
7. [2021北京，9分]如图所示，小物块 、 的质量均为 ， 静止在轨道水平段的末端. 以水平速度 与 碰撞，碰后两物块粘在一起水平抛出.抛出点距离水平地面的竖直高度为 ，两物块落地点距离轨道末端的水平距离为 ，取重力加速度 .求：
（1）两物块在空中运动的时间 ；
（2）两物块碰前 的速度 的大小；
（3）两物块碰撞过程中损失的机械能 .
力学三大观点的综合应用
题组三
一、选择题
1. [2022湖北，4分]一质点做曲线运动，在前一段时间内速度大小由 增大到 ，在随后的一段时间内速度大小由 增大到 .前后两段时间内，合外力对质点做功分别为 和 ，合外力的冲量大小分别为 和 .下列关系式一定成立的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2. [2022全国乙，6分，多选]质量为 的物块在水平力 的作用下由静止开始在水平地面上做直线运动， 与时间 的关系如图所示.已知物块与地面间的动摩擦因数为 ,重力加速度大小取 .则( )
A. 时物块的动能为零
B. 时物块回到初始位置
C. 时物块的动量为
D. 时间内 对物块所做的功为
3. [2021湖南，5分，多选]如图（a）,质量分别为 、 的 、 两物体用轻弹簧连接构成一个系统，外力 作用在 上，系统静止在光滑水平面上（ 靠墙面），此时弹簧形变量为 .撤去外力并开始计时， 、 两物体运动的 图像如图（b）所示， 表示0到 时间内 的 图线与坐标轴所围面积大小， 、 分别表示 到 时间内 、 的 图线与坐标轴所围面积大小. 在 时刻的速度为 .下列说法正确的是( )
图（a）
图（b）
A. 0到 时间内，墙对 的冲量等于 B.
C. 运动后，弹簧的最大形变量等于 D.
二、非选择题
4. [2023海南，14分]如图所示，有一固定的光滑 圆弧轨道 ，半径 ，一质量为 的小滑块 从轨道顶端滑下，在其冲上长木板 左端时，给木板一个与小滑块相同的初速度，已知 ， 、 间动摩擦因数 ， 与地面间的动摩擦因数 ， 右端有一个挡板， 长为 .已知 取 .
（1） 滑到 的底端时对 的压力是多大？
（2）若 未与 右端的挡板碰撞，当 与地面保持相对静止时， 、 间因摩擦产生的热量是多少？
（3）在 时， 与 右端的挡板发生碰撞，且碰后粘在一起，求 从滑上 到最终停止所用的时间.
5. [2023浙江6月选考，11分]为了探究物体间碰撞特性，设计了如图所示的实验装置.水平直轨道 、 和水平传送带平滑无缝连接，两半径均为 的四分之一圆周组成的竖直细圆弧管道 与轨道 和足够长的水平直轨道 平滑相切连接.质量为 的滑块 与质量为 的滑块 用劲度系数 的轻质弹簧连接，静置于轨道 上.现有质量 的滑块 以初速度 从 处进入，经 管道后,与 上的滑块 碰撞（时间极短）.已知传送带长 ,以 的速率顺时针转动,滑块 与传送带间的动摩擦因数 ,其他摩擦和阻力均不计，各滑块均可视为质点，弹簧的弹性势能 为形变量).
（1）求滑块 到达圆弧管道 最低点 时速度大小 和所受支持力大小 ;
（2）若滑块 碰后返回到 点时速度 ,求滑块 、 碰撞过程中损失的机械能 ；
（3）若滑块 碰到滑块 立即被粘住,求碰撞后弹簧最大长度与最小长度之差 .
6. [2022湖北，16分]打桩机是基建常用工具.某种简易打桩机模型如图所示，重物 、 和 通过不可伸长的轻质长绳跨过两个光滑的等高小定滑轮连接， 与滑轮等高（图中实线位置）时， 到两定滑轮的距离均为 .重物 和 的质量均为 ，系统可以在如图虚线位置保持静止，此时连接 的绳与水平方向的夹角为 .某次打桩时，用外力将 拉到图中实线位置，然后由静止释放.设 的下落速度为 时，与正下方质量为 的静止桩 正碰，碰撞时间极短，碰撞后 的速度为零， 竖直向下运动 距离后静止（不考虑 、 再次相碰） 、 、 、 均可视为质点.
（1）求 的质量；
（2）若 在运动过程中受到的阻力 可视为恒力，求 的大小；
（3）撤掉桩 ，将 再次拉到图中实线位置，然后由静止释放，求 、 、 的总动能最大时 的动能.
题组四
一、选择题
1. [2022湖南，5分，多选]神舟十三号返回舱进入大气层一段时间后，逐一打开引导伞、减速伞、主伞，最后启动反冲装置，实现软着陆.某兴趣小组研究了减速伞打开后返回舱的运动情况，将其运动简化为竖直方向的直线运动，其 图像如图所示.设该过程中，重力加速度不变，返回舱质量不变，下列说法正确的是( )
A. 在 时间内，返回舱重力的功率随时间减小
B. 在 时间内，返回舱的加速度不变
C. 在 时间内，返回舱的动量随时间减小
D. 在 时间内，返回舱的机械能不变
2. [2022北京，3分]“雪如意”是我国首座国际标准跳台滑雪场地，如图所示.跳台滑雪运动中，裁判员主要根据运动员在空中的飞行距离和动作姿态评分.运动员在进行跳台滑雪时大致经过四个阶段:①助滑阶段，运动员两腿尽量深蹲，顺着助滑道的倾斜面下滑;②起跳阶段，当进入起跳区时，运动员两腿猛蹬滑道快速伸直,同时上体向前伸展；③飞行阶段，在空中运动员保持身体与雪板基本平行、两臂伸直贴放于身体两侧的姿态;④着陆阶段，运动员落地时两腿屈膝，两臂左右平伸.下列说法正确的是( )
A. 助滑阶段，运动员深蹲是为了减小与滑道之间的摩擦力
B. 起跳阶段，运动员猛蹬滑道主要是为了增加向上的速度
C. 飞行阶段，运动员所采取的姿态是为了增加水平方向速度
D. 着陆阶段，运动员两腿屈膝是为了减少与地面的作用时间
二、非选择题
3. [2023湖南，16分]如图，质量为 的匀质凹槽放在光滑水平地面上，凹槽内有一个半椭圆形的光滑轨道，椭圆的半长轴和半短轴分别为 和 ,长轴水平，短轴竖直.质量为 的小球，初始时刻从椭圆轨道长轴的右端点由静止开始下滑.以初始时刻椭圆中心的位置为坐标原点，在竖直平面内建立固定于地面的直角坐标系 ,椭圆长轴位于 轴上.整个过程凹槽不翻转，重力加速度为 .
（1）小球第一次运动到轨道最低点时，求凹槽的速度大小以及凹槽相对于初始时刻运动的距离;
（2）在平面直角坐标系 中，求出小球运动的轨迹方程;
（3）若 ，求小球下降 高度时，小球相对于地面的速度大小（结果用 、 及 表示）.
4. [2023辽宁，17分]如图，质量 的木板静止在光滑水平地面上，右侧的竖直墙面固定一劲度系数 的轻弹簧，弹簧处于自然状态.质量 的小物块以水平向右的速度 滑上木板左端，两者共速时木板恰好与弹簧接触.木板足够长，物块与木板间的动摩擦因数 ,最大静摩擦力等于滑动摩擦力.弹簧始终处在弹性限度内，弹簧的弹性势能 与形变量 的关系为 .取重力加速度 ,结果可用根式表示.
（1）求木板刚接触弹簧时速度 的大小及木板运动前右端距弹簧左端的距离 .
（2）求木板与弹簧接触以后，物块与木板之间即将相对滑动时弹簧的压缩量 及此时木板速度 的大小.
（3）已知木板向右运动的速度从 减小到0所用时间为 .求木板从速度为 时到之后与物块加速度首次相同时的过程中，系统因摩擦转化的内能 （用 表示）.
5. [2022河北，11分]如图，光滑水平面上有两个等高且足够长的滑板 和 ，质量分别为 和 , 右端和 左端分别放置物块 和 ,物块的质量均为 , 和 以相同速度 向右运动, 和 以相同速度 向左运动,在某时刻发生碰撞,作用时间极短,碰撞后 与 粘在一起形成一个新物块, 与 粘在一起形成一个新滑板，物块与滑板之间的动摩擦因数均为 .重力加速度大小取 .求：
（1）若 ，新物块和新滑板速度的大小和方向；
（2）若 ，从碰撞后到新物块与新滑板相对静止过程两者相对位移的大小.
题组五
一、选择题
1. [2022湖南，4分]1932年，查德威克用未知射线轰击氢核，发现这种射线是由质量与质子大致相等的中性粒子（即中子）组成.如图，中子以速度 分别碰撞静止的氢核和氮核，碰撞后氢核和氮核的速度分别为 和 .设碰撞为弹性正碰，不考虑相对论效应，下列说法正确的是( )
A. 碰撞后氮核的动量比氢核的小 B. 碰撞后氮核的动能比氢核的小
C. 大于 D. 大于
2. [2022重庆，5分，多选]一物块在倾角为 的固定斜面上受到方向与斜面平行、大小与摩擦力相等的拉力作用，由静止开始沿斜面向下做匀变速直线运动，物块与斜面间的动摩擦因数处处相同.若拉力沿斜面向下时，物块滑到底端的过程中重力和摩擦力对物块做的功随时间的变化分别如图中曲线①、②所示，则( )
A. 物块与斜面间的动摩擦因数为
B. 当拉力沿斜面向上，重力做的功为 时，物块动能为
C. 当拉力分别沿斜面向上和向下时，物块的加速度大小之比为
D. 当拉力分别沿斜面向上和向下时，物块滑到底端时的动量大小之比为
3. （2020全国Ⅲ，6分）甲、乙两个物块在光滑水平桌面上沿同一直线运动，甲追上乙，并与乙发生碰撞，碰撞前后甲、乙的速度随时间的变化如图中实线所示.已知甲的质量为 ,则碰撞过程两物块损失的机械能为( )
A. B. C. D.
二、非选择题
4. [2023全国乙，20分]如图，一竖直固定的长直圆管内有一质量为 的静止薄圆盘，圆盘与管的上端口距离为 ，圆管长度为 .一质量为 的小球从管的上端口由静止下落，并撞在圆盘中心，圆盘向下滑动，所受滑动摩擦力与其所受重力大小相等.小球在管内运动时与管壁不接触，圆盘始终水平，小球与圆盘发生的碰撞均为弹性碰撞且碰撞时间极短.不计空气阻力，重力加速度大小为 .求
（1）第一次碰撞后瞬间小球和圆盘的速度大小；
（2）在第一次碰撞到第二次碰撞之间，小球与圆盘间的最远距离；
（3）圆盘在管内运动过程中，小球与圆盘碰撞的次数.
5. [2022广东，15分]密立根通过观测油滴的运动规律证明了电荷的量子性,因此获得了1923年的诺贝尔奖.如图是密立根油滴实验的原理示意图,两个水平放置、相距为 的足够大金属极板,上极板中央有一小孔.通过小孔喷入一些小油滴,由于碰撞或摩擦,部分油滴带上了电荷.有两个质量均为 、位于同一竖直线上的球形小油滴 和 ，在时间 内都匀速下落了距离 .此时给两极板加上电压 （上极板接正极）, 继续以原速度下落, 经过一段时间后向上匀速运动. 在匀速运动时间 内上升了距离 ,随后与 合并,形成一个球形新油滴,继续在两极板间运动直至匀速.已知球形油滴受到的空气阻力大小为 ,其中 为比例系数, 为油滴质量, 为油滴运动速率.不计空气浮力,重力加速度为 .求:
（1）比例系数 ;
（2）油滴 、 的带电荷量和电性; 上升距离 电势能的变化量;
（3）新油滴匀速运动速度的大小和方向.
6. [2022湖南，15分]如图（a）,质量为 的篮球从离地 高度处由静止下落,与地面发生一次非弹性碰撞后反弹至离地 的最高处.设篮球在运动过程中所受空气阻力的大小是篮球所受重力的 倍 为常数且 ,且篮球每次与地面碰撞的碰后速率与碰前速率之比相同,重力加速度大小为 .
图（a）
（1）求篮球与地面碰撞的碰后速率与碰前速率之比;
（2）若篮球反弹至最高处 时,运动员对篮球施加一个向下的压力 ,使得篮球与地面碰撞一次后恰好反弹至 的高度处,力 随高度 的变化如图（b）所示,其中 已知,求 的大小;
图（b）
（3）篮球从 高度处由静止下落后,每次反弹至最高点时,运动员拍击一次篮球（拍击时间极短）,瞬间给其一个竖直向下、大小相等的冲量 ,经过 次拍击后篮球恰好反弹至 高度处,求冲量 的大小.
题组六
1. [2022海南，12分]如图，竖直面内一倾角可调的轨道与光滑水平面平滑相连.当轨道倾角为 时，物块 恰好能沿轨道匀速下滑.小球 用轻绳悬挂于 点，恰与水平面接触而无挤压.将轨道倾角调为 ，物块 从轨道上距水平面高为 处由静止开始运动，一段时间后与小球 发生对心弹性碰撞，碰撞后小球 恰好能做完整的圆周运动.已知物块 的质量是小球 的3倍，重力加速度为 ，忽略空气阻力，求：
（1）物块 与轨道间的动摩擦因数；
（2）碰撞后瞬间小球 的速度大小；
（3）轻绳的长度.
2. [2022福建，12分]如图， 形滑板 静置在粗糙水平面上，滑板右端固定一劲度系数为 的轻质弹簧，弹簧左端与一小物块 相连，弹簧处于原长状态.一小物块 以初速度 从滑板最左端滑入，滑行 后与 发生完全非弹性碰撞（碰撞时间极短），然后一起向右运动；一段时间后，滑板 也开始运动.已知 、 、 的质量均为 ，滑板与小物块、滑板与地面之间的动摩擦因数均为 ，重力加速度大小为 ；最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，弹簧始终处于弹性限度内.求：
（1） 在碰撞前瞬间的速度大小；
（2） 与 碰撞过程损失的机械能；
（3）从 与 相碰后到 开始运动的过程， 和 克服摩擦力所做的功.
3. [2022浙江6月选考，12分]如图所示，在竖直面内，一质量为 的物块 静置于悬点 正下方的 点，以速度 逆时针转动的传送带 与直轨道 、 、 处于同一水平面上， 、 、 的长度均为 .圆弧形细管道 半径为 ， 在竖直直径上， 点高度为 .开始时，与物块 相同的物块 悬挂于 点，并向左拉开一定的高度 由静止下摆，细线始终张紧，摆到最低点时恰好与 发生弹性正碰.已知 ， ， ， ， ，物块与 、 之间的动摩擦因数 ，轨道 和管道 均光滑，物块 落到 时不反弹且静止.忽略 、 和 、 之间的空隙， 与 平滑连接，物块可视为质点.
（1）若 ，求 、 碰撞后瞬时物块 的速度 的大小；
（2）物块 在 最高点时，求管道对物块的作用力 与 间满足的关系；
（3）若物块 释放高度 ，求物块 最终静止的位置 值的范围（以 点为坐标原点，水平向右为正，建立 轴）.
4. [2022全国乙，20分]如图（a）,一质量为 的物块 与轻质弹簧连接，静止在光滑水平面上；物块 向 运动， 时与弹簧接触，到 时与弹簧分离，第一次碰撞结束， 、 的 图像如图（b）所示.已知从 到 时间内，物块 运动的距离为 、 分离后， 滑上粗糙斜面，然后滑下，与一直在水平面上运动的 再次碰撞，之后 再次滑上斜面，达到的最高点与前一次相同.斜面倾角为 ,与水平面光滑连接.碰撞过程中弹簧始终处于弹性限度内.求
图（a）
图（b）
（1）第一次碰撞过程中，弹簧弹性势能的最大值；
（2）第一次碰撞过程中，弹簧压缩量的最大值；
（3）物块 与斜面间的动摩擦因数.
题组七
1. [2022广东，11分]某同学受自动雨伞开伞过程的启发，设计了如图所示的物理模型.竖直放置在水平桌面上的滑杆上套有一个滑块，初始时它们处于静止状态.当滑块从 处以初速度 为 向上滑动时,受到滑杆的摩擦力 为 .滑块滑到 处与滑杆发生完全非弹性碰撞，带动滑杆离开桌面一起竖直向上运动.已知滑块的质量 ，滑杆的质量 , 、 间的距离 ,重力加速度 取 ,不计空气阻力.求：
（1）滑块在静止时和向上滑动的过程中,桌面对滑杆支持力的大小 和 ;
（2）滑块碰撞前瞬间的速度大小 ;
（3）滑杆向上运动的最大高度 .
2. [2021广东，11分]算盘是我国古老的计算工具，中心带孔的相同算珠可在算盘的固定导杆上滑动，使用前算珠需要归零.如图所示，水平放置的算盘中有甲、乙两颗算珠未在归零位置，甲靠边框 ,甲、乙相隔 ,乙与边框 相隔 ,算珠与导杆间的动摩擦因数 .现用手指将甲以 的初速度拨出，甲、乙碰撞后甲的速度大小为 ,方向不变，碰撞时间极短且不计，重力加速度 取 .
（1）通过计算，判断乙算珠能否滑动到边框 ；
（2）求甲算珠从拨出到停下所需的时间.
3. [2020浙江7月选考，12分]小明将如图所示的装置放在水平地面上，该装置由弧形轨道、竖直圆轨道、水平直轨道 和倾角 的斜轨道 平滑连接而成.质量 的小滑块从弧形轨道离地高 处静止释放.已知 , ,滑块与轨道 和 间的动摩擦因数均为 ,弧形轨道和圆轨道均可视为光滑，忽略空气阻力.
（1）求滑块运动到与圆心 等高的 点时对轨道的压力；
（2）通过计算判断滑块能否冲出斜轨道的末端 点；
（3）若滑下的滑块与静止在水平直轨道上距 点 处的质量为 的小滑块相碰，碰后一起运动，动摩擦因数仍为 ，求它们在轨道 上到达的高度 与 之间的关系.（碰撞时间不计， ， ）
4. [2020山东，16分]如图所示，一倾角为 的固定斜面的底端安装一弹性挡板， 、 两物块的质量分别为 和 ， 静止于斜面上 处.某时刻， 以沿斜面向上的速度 与 发生弹性碰撞. 与斜面间的动摩擦因数等于 ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力. 与斜面间无摩擦，与挡板之间的碰撞无动能损失.两物块均可以看作质点，斜面足够长， 的速度减为零之前 不会与之发生碰撞.重力加速度大小为 .
（1）求 与 第一次碰撞后瞬间各自的速度大小 、 ；
（2）求第 次碰撞使物块 上升的高度 ；
（3）求物块 从 点上升的总高度 ；
（4）为保证在 的速度减为零之前 不会与之发生碰撞，求 点与挡板之间的最小距离 .
题组八
1. [2022山东，16分]如图所示，“ ”形平板 静置在地面上，小物块 处于平板 上的 点， 点左侧粗糙，右侧光滑.用不可伸长的轻绳将质量为 的小球悬挂在 点正上方的 点，轻绳处于水平拉直状态.将小球由静止释放，下摆至最低点与小物块 发生碰撞,碰后小球速度方向与碰前方向相同，开始做简谐运动（要求摆角小于 ）， 以速度 沿平板滑动直至与 右侧挡板发生弹性碰撞.一段时间后， 返回到 点的正下方时，相对于地面的速度减为零，此时小球恰好第一次上升到最高点.已知 的质量 ， 的质量 ， 与 的动摩擦因数 ， 与地面间的动摩擦因数 ， ，取重力加速度 .整个过程中 始终在 上，所有碰撞时间忽略不计,不计空气阻力，求：
（1） 与 的挡板碰撞后，二者的速度大小 与 ；
（2） 光滑部分的长度 ；
（3）运动过程中 对 的摩擦力所做的功 ;
（4）实现上述运动过程， 的取值范围（结果用 表示） .
2. [2021海南，12分]如图，一长木板在光滑的水平面上以速度 向右做匀速直线运动，将一小滑块无初速度地轻放在木板最右端.已知滑块和木板的质量分别为 和 ，它们之间的动摩擦因数为 ，重力加速度为 .
（1）滑块相对木板静止时，求它们的共同速度大小；
（2）某时刻木板速度是滑块的2倍，求此时滑块到木板最右端的距离；
（3）若滑块轻放在木板最右端的同时，给木板施加一水平向右的外力，使得木板保持匀速直线运动，直到滑块相对木板静止，求此过程中滑块的运动时间以及外力所做的功.
3. [2020天津，16分]长为 的轻绳上端固定，下端系着质量为 的小球 ，处于静止状态. 受到一个水平瞬时冲量后在竖直平面内做圆周运动，恰好能通过圆周轨迹的最高点.当 回到最低点时，质量为 的小球 与之迎面正碰，碰后 、 粘在一起，仍做圆周运动，并能通过圆周轨迹的最高点.不计空气阻力，重力加速度为 ，求:
（1） 受到的水平瞬时冲量 的大小；
（2）碰撞前瞬间 的动能 至少多大？
4. [2019全国Ⅰ，20分]竖直面内一倾斜轨道与一足够长的水平轨道通过一小段光滑圆弧平滑连接，小物块 静止于水平轨道的最左端，如图（a）所示. 时刻，小物块 在倾斜轨道上从静止开始下滑，一段时间后与 发生弹性碰撞（碰撞时间极短）；当 返回到倾斜轨道上的 点（图中未标出）时，速度减为0，此时对其施加一外力，使其在倾斜轨道上保持静止.物块 运动的 图像如图（b）所示，图中的 和 均为未知量.已知 的质量为 ，初始时 与 的高度差为 ，重力加速度大小为 ，不计空气阻力.
图（a）
图（b）
（1）求物块 的质量；
（2）在图（b）所描述的整个运动过程中，求物块 克服摩擦力所做的功；
（3）已知两物块与轨道间的动摩擦因数均相等.在物块 停止运动后，改变物块与轨道间的动摩擦因数，然后将 从 点释放，一段时间后 刚好能与 再次碰上.求改变前后动摩擦因数的比值.
专题七 动量守恒定律
动量观点的简单应用
题组一
一、选择题
1. （2023新课标理综，6分，多选）使甲、乙两条形磁铁隔开一段距离，静止于水平桌面上，甲的 极正对着乙的 极，甲的质量大于乙的质量，两者与桌面之间的动摩擦因数相等.现同时释放甲和乙，在它们相互接近过程中的任一时刻( BD )
A. 甲的速度大小比乙的大 B. 甲的动量大小比乙的小
C. 甲的动量大小与乙的相等 D. 甲和乙的动量之和不为零
[解析] 根据 可得 ，因 ，故 ，则任一时刻甲的速度大小比乙的小， 错误； ，又 ，则 ，故甲和乙组成的系统合外力的冲量方向向左，即甲的动量大小比乙的小， 正确， 错误.
【易错警示】 本题由于两磁铁质量不等，因此两磁铁所受摩擦力不等，两磁铁系统合外力不为零，系统动量不守恒，本题很容易思维定势，把系统理解成动量守恒.
2. [2022海南，3分]北京2022年冬奥会，中国短道速滑队获得混合接力冠军.如图，交接棒的过程中甲运动员用力推乙运动员，设此过程中甲对乙的作用力为 ，乙对甲的作用力为 ，则( A )
A. 与 总是大小相等，方向相反 B. 与 总是大小相等，方向相同
C. 的冲量大小比 的大 D. 的冲量大小比 的小
[解析] 根据题意可知， 和 是一对相互作用力，则 和 等大反向、具有同时性,根据 可知， 和 的冲量大小相等、方向相反，只有 正确.
3. [2022重庆，4分]在测试汽车的安全气囊对驾乘人员头部防护作用的实验中，某小组得到了假人头部所受安全气囊的作用力随时间变化的曲线（如图）.从碰撞开始到碰撞结束过程中，若假人头部只受到安全气囊的作用，则由曲线可知，假人头部( D )
A. 速度变化量的大小等于曲线与横轴围成的面积
B. 动量大小先增大后减小
C. 动能变化量的大小正比于曲线与横轴围成的面积
D. 加速度大小先增大后减小
[解析]
4. [2021北京，3分]如图所示，圆盘在水平面内以角速度 绕中心轴匀速转动，圆盘上距轴 处的 点有一质量为 的小物体随圆盘一起转动.某时刻圆盘突然停止转动，小物体由 点滑至圆盘上的某点停止.下列说法正确的是( D )
A. 圆盘停止转动前，小物体所受摩擦力的方向沿运动轨迹切线方向
B. 圆盘停止转动前，小物体运动一圈所受摩擦力的冲量大小为
C. 圆盘停止转动后，小物体沿圆盘半径方向运动
D. 圆盘停止转动后，小物体整个滑动过程所受摩擦力的冲量大小为
[解析] 圆盘停止转动前，小物体所受的摩擦力方向指向转轴提供向心力，故 错误；由动量定理可知，圆盘停止转动前，小物体运动一圈所受摩擦力的冲量大小为零， 错误；圆盘停止转动后，小物体沿运动轨迹的切线方向运动， 错误；由动量定理可知，整个滑动过程摩擦力的冲量大小 ， 正确.
5. [2021湖南，4分]物体的运动状态可用位置 和动量 描述，称为相，对应 图像中的一个点.物体运动状态的变化可用 图像中的一条曲线来描述，称为相轨迹.假如一质点沿 轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动，则对应的相轨迹可能是( D )
A.
B.
C.
D.
[解析] 根据运动学公式 ，又有 ，解得 ，根据数学知识，不难判断出 项正确， 、 、 项错误.
【一题多解】 由动能定理得 ，又有 及 ，解得 ，可判断出 项正确, 、 、 项错误.
6. [2021全国乙，6分]如图，光滑水平地面上有一小车，一轻弹簧的一端与车厢的挡板相连，另一端与滑块相连，滑块与车厢的水平底板间有摩擦.用力向右推动车厢使弹簧压缩，撤去推力时滑块在车厢底板上有相对滑动.在地面参考系（可视为惯性系）中，从撤去推力开始，小车、弹簧和滑块组成的系统( B )
A. 动量守恒，机械能守恒 B. 动量守恒，机械能不守恒
C. 动量不守恒，机械能守恒 D. 动量不守恒，机械能不守恒
[解析] 撤去推力后，小车、弹簧和滑块组成的系统所受合外力为零，满足系统动量守恒的条件，故系统动量守恒；由于撤去推力时滑块在车厢底板上有相对滑动，存在摩擦力做功的情况，故系统机械能不守恒，所以选项 正确.
【光速解法】 系统内力不改变系统动量，但改变系统能量.摩擦力和弹簧弹力均属于系统内力，故系统动量守恒；由于有相对滑动，故存在摩擦力，系统机械能不守恒， 正确.
7. （2020全国Ⅰ，6分）行驶中的汽车如果发生剧烈碰撞，车内的安全气囊会被弹出并瞬间充满气体.若碰撞后汽车的速度在很短时间内减小为零，关于安全气囊在此过程中的作用，下列说法正确的是( D )
A. 增加了司机单位面积的受力大小
B. 减少了碰撞前后司机动量的变化量
C. 将司机的动能全部转换成汽车的动能
D. 延长了司机的受力时间并增大了司机的受力面积
[解析] 行驶中的汽车如果发生剧烈碰撞，车内安全气囊被弹出并瞬间充满气体，增大了司机的受力面积，减少了司机单位面积的受力大小，可以延长司机的受力时间，从而减小了司机受到的作用力， 项错误， 项正确；碰撞前司机动量等于其质量与速度的乘积，碰撞后司机动量为零，所以安全气囊不能减少碰撞前后司机动量的变化量， 项错误；碰撞过程中通过安全气囊将司机的动能转化为司机对安全气囊做的功, 项错误.
8. [2019江苏，4分]质量为 的小孩站在质量为 的滑板上,小孩和滑板均处于静止状态,忽略滑板与地面间的摩擦.小孩沿水平方向跃离滑板,离开滑板时的速度大小为 ,此时滑板的速度大小为( B )
A. B. C. D.
[解析] 对小孩和滑板组成的系统，由动量守恒定律有 ，解得滑板的速度大小 ，选项 正确.
二、非选择题
9. [2022北京，9分]体育课上，甲同学在距离地面高 处将排球击出，球的初速度沿水平方向,大小为 ;乙同学在离地 处将排球垫起,垫起前后球的速度大小相等,方向相反.已知排球质量 ，取重力加速度 .不计空气阻力.求:
（1）排球被垫起前在水平方向飞行的距离 ;
[答案] 设排球在空中飞行的时间为 ，则 （1分）
解得 （1分）
则排球在空中飞行的水平距离 （1分）
（2）排球被垫起前瞬间的速度大小 及方向；
[答案] 乙同学垫起排球前瞬间排球在竖直方向速度的大小 ，得 （1分）
根据 得 （1分）
速度方向左偏下，设速度方向与水平方向夹角为
则有 （1分）
（3）排球与乙同学作用过程中所受冲量的大小 .
[答案] 根据动量定理可得，排球与乙同学作用过程中所受冲量的大小 （3分）
10. [2021河北，11分]如图，一滑雪道由 和 两段滑道组成，其中 段倾角为 ， 段水平， 段和 段由一小段光滑圆弧连接.一个质量为 的背包在滑道顶端 处由静止滑下，若 后质量为 的滑雪者从顶端以 的初速度、 的加速度匀加速追赶，恰好在坡底光滑圆弧的水平处追上背包并立即将其拎起.背包与滑道的动摩擦因数为 ,重力加速度取 , ， ，忽略空气阻力及拎包过程中滑雪者与背包的重心变化.求:
（1）滑道 段的长度；
[答案] 背包下滑过程中，由牛顿第二定律有
①（1分）
解得背包在滑道 段的加速度 ②（1分）
设 段长为 ，滑到底端所用时间为 ,故有
③（1分）
对滑雪者，有 ④（1分）
解得 ⑤
⑥（2分）
（2）滑雪者拎起背包时这一瞬间的速度.
[答案] 滑雪者滑到 点时的速度 ⑦（1分）
背包滑到底端 点时的速度 ⑧（1分）
对滑雪者拎起背包的过程，由动量守恒定律有
⑨（1分）
解得滑雪者拎起背包瞬间的速度 （2分）
题组二
一、选择题
1. [2022北京，3分]质量为 和 的两个物体在光滑水平面上正碰，其位置坐标 随时间 变化的图像如图所示.下列说法正确的是( C )
A. 碰撞前 的速率大于 的速率 B. 碰撞后 的速率大于 的速率
C. 碰撞后 的动量大于 的动量 D. 碰撞后 的动能小于 的动能
[解析]
2. [2022山东，3分]我国多次成功使用“冷发射”技术发射长征十一号系列运载火箭.如图所示，发射仓内的高压气体先将火箭竖直向上推出，火箭速度接近零时再点火飞向太空.从火箭开始运动到点火的过程中( A )
A. 火箭的加速度为零时，动能最大
B. 高压气体释放的能量全部转化为火箭的动能
C. 高压气体对火箭推力的冲量等于火箭动量的增加量
D. 高压气体的推力和空气阻力对火箭做功之和等于火箭动能的增加量
[解析] 从火箭开始运动到点火的过程中，火箭先加速运动后减速运动，当加速度为零时，动能最大， 项正确；高压气体释放的能量转化为火箭的动能和重力势能及火箭与空气间因摩擦产生的热量， 项错误；根据动量定理可得高压气体对火箭的推力 、火箭自身的重力 和空气阻力 的冲量矢量和等于火箭动量的变化量， 项错误；根据动能定理可得高压气体对火箭的推力 、火箭自身的重力 和空气阻力 对火箭做的功之和等于火箭动能的变化量， 项错误.
3. [2021天津，5分，多选]一冲九霄，问鼎苍穹.2021年4月29日，长征五号B遥二运载火箭搭载空间站天和核心舱发射升空，标志着我国空间站建造进入全面实施阶段.下列关于火箭的描述正确的是( AB )
A. 增加单位时间的燃气喷射量可以增大火箭的推力
B. 增大燃气相对于火箭的喷射速度可以增大火箭的推力
C. 当燃气喷出火箭喷口的速度相对于地面为零时火箭就不再加速
D. 火箭发射时获得的推力来自喷出的燃气与发射台之间的相互作用
[解析] 根据 可知，增加单位时间的燃气喷射量（即增加单位时间喷射气体的质量 ）或增大燃气相对于火箭的喷射速度 ，都可以增大火箭的推力，故选项 、 正确；当燃气喷出火箭喷口的速度相对于地面为零时，燃气相对火箭的速度不为零，且与火箭的运动方向相反，火箭仍然受推力作用，做加速运动，故 错误；燃气被喷出的瞬间，燃气对火箭的反冲力作用在火箭上，使火箭获得推力，故 错误.
4. [2021福建，4分]福建属于台风频发地区，各类户外设施建设都要考虑台风影响.已知10级台风的风速范围为 ，16级台风的风速范围为 .若台风迎面垂直吹向一固定的交通标志牌，则16级台风对该交通标志牌的作用力大小约为10级台风的( B )
A. 2倍 B. 4倍 C. 8倍 D. 16倍
[解析] 设交通标志牌迎风面积为 、空气密度为 、标志牌对台风的作用力为 ，在 时间内吹向标志牌的空气体积为 、空气质量 ，由动量定理得 ，解得 ，由牛顿第三定律可知，台风对该交通标志牌的作用力大小为 ；10级台风的风速我们取 进行估算，16级台风的风速我们取 进行估算，16级台风对该交通标志牌的作用力大小与10级台风对该交通标志牌的作用力大小之比为 ，即16级台风对该交通标志牌的作用力大小约为10级台风的4倍，选项 正确.
5. [2020全国Ⅱ，6分，多选]水平冰面上有一固定的竖直挡板.一滑冰运动员面对挡板静止在冰面上，他把一质量为 的静止物块以大小为 的速度沿与挡板垂直的方向推向挡板，运动员获得退行速度；物块与挡板弹性碰撞，速度反向，追上运动员时，运动员又把物块推向挡板，使其再一次以大小为 的速度与挡板弹性碰撞.总共经过8次这样推物块后，运动员退行速度的大小大于 ，反弹的物块不能再追上运动员.不计冰面的摩擦力，该运动员的质量可能为( BC )
A. B. C. D.
[解析] 选运动员退行速度方向为正方向，设运动员的质量为 ，物块的质量为 ，物块被推出时的速度大小为 ，运动员第一次推出物块后的退行速度大小为 .根据动量守恒定律可知，运动员第一次推出物块时有 ，物块与挡板发生弹性碰撞，以等大的速率反弹；第二次推出物块时有 ，依此类推， ， ， ，又运动员的退行速度 ， ，解得 ,即 ，故 、 项正确， 、 项错误.
【光速解法】 用等差数列巧解“推块”问题：设运动员的质量为 ，物块的质量为 ，物块第 次被推出后，运动员速度大小为 ，第 次被推出后，运动员速度大小为 ，规定物块初速度方向为正方向，则 ，公差 ，则 ， ，代入 ， ，解得 ，B、C正确.
二、非选择题
6. [2023浙江1月选考，11分]一游戏装置竖直截面如图所示，该装置由固定在水平地面上倾角 的直轨道 、螺旋圆形轨道 、倾角 的直轨道 、水平直轨道 组成，除 段外各段轨道均光滑，且各处平滑连接.螺旋圆形轨道与轨道 、 相切于 处.凹槽 底面 水平光滑，上面放有一无动力摆渡车，并紧靠在竖直侧壁 处，摆渡车上表面与直轨道 、平台 位于同一水平面.已知螺旋圆形轨道半径 ， 点高度为 ， 长度 ， 长度 ，摆渡车长度 、质量 .将一质量也为 的滑块从倾斜轨道 上高度 处静止释放，滑块在 段运动时的阻力为其重力的0.2倍.（摆渡车碰到竖直侧壁 立即静止，滑块视为质点，不计空气阻力， ， ）
（1）求滑块过 点的速度大小 和轨道对滑块的作用力大小 ；
[答案] 点离地高度为
滑块从静止释放到 点过程，根据动能定理可得
（1分）
解得 （1分）
在最高点 时，根据牛顿第二定律可得
（1分）
解得 （1分）
（2）摆渡车碰到 前，滑块恰好不脱离摆渡车，求滑块与摆渡车之间的动摩擦因数 ；
[答案] 从静止释放到 点，由动能定理可得
（1分）
由题可知，滑块到达摆渡车右端时刚好与摆渡车共速，速度大小设为
根据动量守恒定律可得 （1分）
由功能关系可得 （1分）
综合解得 （1分）
（3）在（2）的条件下，求滑块从 到 所用的时间 .
[答案] 滑块从滑上摆渡车到与摆渡车共速过程，滑块的加速度大小为
设滑块从滑上摆渡车到共速的时间为 ，有
（1分）
共速后继续向右匀速运动的时间
（1分）
（1分）
7. [2021北京，9分]如图所示，小物块 、 的质量均为 ， 静止在轨道水平段的末端. 以水平速度 与 碰撞，碰后两物块粘在一起水平抛出.抛出点距离水平地面的竖直高度为 ，两物块落地点距离轨道末端的水平距离为 ，取重力加速度 .求：
（1）两物块在空中运动的时间 ；
[答案] 两物块碰撞后，竖直方向的运动为自由落体运动
则有 （1分）
解得 （1分）
（2）两物块碰前 的速度 的大小；
[答案] 设 、 碰后瞬间的速度为 ，水平方向的运动为匀速运动，则有
（1分）
解得 （1分）
根据动量守恒定律有 （1分）
解得 （1分）
（3）两物块碰撞过程中损失的机械能 .
[答案] 根据能量守恒定律可得，两物块碰撞过程中损失的机械能 （2分）
解得 （1分）
力学三大观点的综合应用
题组三
一、选择题
1. [2022湖北，4分]一质点做曲线运动，在前一段时间内速度大小由 增大到 ，在随后的一段时间内速度大小由 增大到 .前后两段时间内，合外力对质点做功分别为 和 ，合外力的冲量大小分别为 和 .下列关系式一定成立的是( D )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
[解析] 根据动能定理得 ， ，所以 ;根据动量定理得 ,而 ，即 , ，同理 ，而 ，即 ，所以选项 正确.
2. [2022全国乙，6分，多选]质量为 的物块在水平力 的作用下由静止开始在水平地面上做直线运动， 与时间 的关系如图所示.已知物块与地面间的动摩擦因数为 ,重力加速度大小取 .则( AD )
A. 时物块的动能为零
B. 时物块回到初始位置
C. 时物块的动量为
D. 时间内 对物块所做的功为
[解析] 物块与地面间的滑动摩擦力大小为 ，对物块在 内的运动过程，由动量定理可得 ,得 , 时物块的动量为 ，设 后经过时间 物块的速度第一次减为0，由动量定理可得 ,解得 ,所以物块在 时速度减为0，此时物块的动能也为0，故 正确， 错误；设 时间内物块的位移为 ，由动能定理可得 ,得 , 过程中，对物块由动能定理可得 ,得 , 时间内物块反向运动，物块的加速度大小为 ,位移大小为 ,即 时物块没有回到初始位置，故 错误； 内拉力做的功为 ,故 正确.
3. [2021湖南，5分，多选]如图（a）,质量分别为 、 的 、 两物体用轻弹簧连接构成一个系统，外力 作用在 上，系统静止在光滑水平面上（ 靠墙面），此时弹簧形变量为 .撤去外力并开始计时， 、 两物体运动的 图像如图（b）所示， 表示0到 时间内 的 图线与坐标轴所围面积大小， 、 分别表示 到 时间内 、 的 图线与坐标轴所围面积大小. 在 时刻的速度为 .下列说法正确的是( ABD )
图（a）
图（b）
A. 0到 时间内，墙对 的冲量等于 B.
C. 运动后，弹簧的最大形变量等于 D.
[解析] 0到 时间内，对 物体由动量定理得 ，而 物体处于静止状态，墙壁对 的冲量等于弹簧弹力对 的冲量 ， 项正确； 时刻后， 物体离开墙壁， 时刻 、 两物体的加速度大小均达到最大，弹簧拉伸到最长，二者速度相同，由于此时 、 两物体所受弹簧弹力大小相等，而 的加速度大于 的，故由牛顿第二定律可知, ， 正确； 运动后，由图可知任意时刻 的加速度小于其初始时刻的加速度，因此弹簧的形变量始终小于初始时刻形变量 ，故 项错误; 时刻 、 共速，图线与坐标轴所围面积表示速度的变化量的大小，故有 ， 项正确.
二、非选择题
4. [2023海南，14分]如图所示，有一固定的光滑 圆弧轨道 ，半径 ，一质量为 的小滑块 从轨道顶端滑下，在其冲上长木板 左端时，给木板一个与小滑块相同的初速度，已知 ， 、 间动摩擦因数 ， 与地面间的动摩擦因数 ， 右端有一个挡板， 长为 .已知 取 .
（1） 滑到 的底端时对 的压力是多大？
[答案] 小滑块 从轨道顶端下滑到轨道底部的过程，由动能定理有
（1分）
小滑块 在 的底端时，有 （1分）
解得 （1分）
由牛顿第三定律可知 对 的压力大小也为 （1分）
（2）若 未与 右端的挡板碰撞，当 与地面保持相对静止时， 、 间因摩擦产生的热量是多少？
[答案] 当 滑上 瞬间， 、 的速度相等
假设两者之间无相对滑动，对 、 整体有
解得
而 减速的最大加速度
故假设不成立， 、 间会有相对滑动
则 的加速度向左，大小为 （1分）
C受 向右的摩擦力 和地面向左的摩擦力 （1分）
其加速度满足
解得
B向右运动的距离 （1分）
C向右运动的距离 （1分）
B、 间因摩擦产生的热量 （1分）
解得 （1分）
（3）在 时， 与 右端的挡板发生碰撞，且碰后粘在一起，求 从滑上 到最终停止所用的时间.
[答案] 假设 还未与 右端挡板发生碰撞， 就停下，设 从开始运动到停下用时为 ，有
（1分）
得
此时 、 的位移分别是
、
则 ，此时 （1分）
由于 ，所以假设成立，一定是 停下之后， 才与 右端挡板发生碰撞
设再经 时间 与 右端挡板发生碰撞，有
（1分）
解得 （另一解不符合题意，舍去）
碰撞前瞬间 的速度大小为
碰撞过程由动量守恒定律可得
碰撞后 、 速度大小为
之后二者一起减速，有 ，经 后停下
则有
解得
故总时间 （1分）
5. [2023浙江6月选考，11分]为了探究物体间碰撞特性，设计了如图所示的实验装置.水平直轨道 、 和水平传送带平滑无缝连接，两半径均为 的四分之一圆周组成的竖直细圆弧管道 与轨道 和足够长的水平直轨道 平滑相切连接.质量为 的滑块 与质量为 的滑块 用劲度系数 的轻质弹簧连接，静置于轨道 上.现有质量 的滑块 以初速度 从 处进入，经 管道后,与 上的滑块 碰撞（时间极短）.已知传送带长 ,以 的速率顺时针转动,滑块 与传送带间的动摩擦因数 ,其他摩擦和阻力均不计，各滑块均可视为质点，弹簧的弹性势能 为形变量).
（1）求滑块 到达圆弧管道 最低点 时速度大小 和所受支持力大小 ;
[答案] 滑块 以初速度 从 处进入竖直圆弧轨道 运动，由动能定理有
（1分）
解得 （1分）
在最低点 ，由牛顿第二定律有 （1分）
解得 （1分）
（2）若滑块 碰后返回到 点时速度 ,求滑块 、 碰撞过程中损失的机械能 ；
[答案] 碰撞后滑块 返回到 点的过程，由动能定理有
（1分）
解得
滑块 、 碰撞过程，由动量守恒定律有 （1分）
解得
碰撞过程中损失的机械能 （1分）
（3）若滑块 碰到滑块 立即被粘住,求碰撞后弹簧最大长度与最小长度之差 .
[答案] 滑块 碰撞 后立即被粘住，由动量守恒定律有
（1分）
解得
滑块 一起向右运动，压缩弹簧， 减速运动， 加速运动，当 三者速度相等时，弹簧长度最小，由动量守恒定律有
（1分）
解得
由机械能守恒定律有 （1分）
解得
由 解得最大压缩量
滑块 一起继续向右运动，弹簧弹力使 继续加速，使 继续减速，当弹簧弹力减小到零时， 速度最大， 速度最小；滑块 一起再继续向右运动，弹簧弹力使 减速， 加速，当 三者速度相等时，弹簧长度最大，其对应的弹性势能与弹簧长度最小时弹性势能相等，由弹簧的弹性势能公式可知最大伸长量
所以碰撞后弹簧最大长度与最小长度之差 （1分）
6. [2022湖北，16分]打桩机是基建常用工具.某种简易打桩机模型如图所示，重物 、 和 通过不可伸长的轻质长绳跨过两个光滑的等高小定滑轮连接， 与滑轮等高（图中实线位置）时， 到两定滑轮的距离均为 .重物 和 的质量均为 ，系统可以在如图虚线位置保持静止，此时连接 的绳与水平方向的夹角为 .某次打桩时，用外力将 拉到图中实线位置，然后由静止释放.设 的下落速度为 时，与正下方质量为 的静止桩 正碰，碰撞时间极短，碰撞后 的速度为零， 竖直向下运动 距离后静止（不考虑 、 再次相碰） 、 、 、 均可视为质点.
（1）求 的质量；
[答案] 系统在题图虚线位置保持静止，以 为研究对象，根据平衡条件可知 （2分）
解得 （1分）
（2）若 在运动过程中受到的阻力 可视为恒力，求 的大小；
[答案] 与 碰后 的速度为零，设碰撞后 的速度为 ，根据动量守恒定律可知
（1分）
解得 （1分）
C与 碰撞后 向下运动 距离后停止，根据动能定理可知
（2分）
解得 （1分）
（3）撤掉桩 ，将 再次拉到图中实线位置，然后由静止释放，求 、 、 的总动能最大时 的动能.
[答案] 设某时刻 向下运动的速度大小为 ，绳与竖直方向的夹角为 ，根据机械能守恒定律可知 （2分）
令
对上式求导数可得
当 时解得
即 （2分）
此时
有 （2分）
解得
此时 的动能最大,为 （2分）
题组四
一、选择题
1. [2022湖南，5分，多选]神舟十三号返回舱进入大气层一段时间后，逐一打开引导伞、减速伞、主伞，最后启动反冲装置，实现软着陆.某兴趣小组研究了减速伞打开后返回舱的运动情况，将其运动简化为竖直方向的直线运动，其 图像如图所示.设该过程中，重力加速度不变，返回舱质量不变，下列说法正确的是( AC )
A. 在 时间内，返回舱重力的功率随时间减小
B. 在 时间内，返回舱的加速度不变
C. 在 时间内，返回舱的动量随时间减小
D. 在 时间内，返回舱的机械能不变
[解析] 由题知，返回舱的运动简化为竖直方向的直线运动，所以重力的功率 ，因此在 时间内，结合 图像可知返回舱重力的功率随时间减小， 项正确； 图像的斜率表示返回舱的加速度，故 时间内，返回舱的加速度不断减小， 项错误；返回舱的动量大小与其速度大小成正比，所以 时间内，返回舱的动量随时间减小， 项正确；在 时间内，返回舱匀速下降，机械能不守恒， 项错误.
2. [2022北京，3分]“雪如意”是我国首座国际标准跳台滑雪场地，如图所示.跳台滑雪运动中，裁判员主要根据运动员在空中的飞行距离和动作姿态评分.运动员在进行跳台滑雪时大致经过四个阶段:①助滑阶段，运动员两腿尽量深蹲，顺着助滑道的倾斜面下滑;②起跳阶段，当进入起跳区时，运动员两腿猛蹬滑道快速伸直,同时上体向前伸展；③飞行阶段，在空中运动员保持身体与雪板基本平行、两臂伸直贴放于身体两侧的姿态;④着陆阶段，运动员落地时两腿屈膝，两臂左右平伸.下列说法正确的是( B )
A. 助滑阶段，运动员深蹲是为了减小与滑道之间的摩擦力
B. 起跳阶段，运动员猛蹬滑道主要是为了增加向上的速度
C. 飞行阶段，运动员所采取的姿态是为了增加水平方向速度
D. 着陆阶段，运动员两腿屈膝是为了减少与地面的作用时间
[解析]
二、非选择题
3. [2023湖南，16分]如图，质量为 的匀质凹槽放在光滑水平地面上，凹槽内有一个半椭圆形的光滑轨道，椭圆的半长轴和半短轴分别为 和 ,长轴水平，短轴竖直.质量为 的小球，初始时刻从椭圆轨道长轴的右端点由静止开始下滑.以初始时刻椭圆中心的位置为坐标原点，在竖直平面内建立固定于地面的直角坐标系 ,椭圆长轴位于 轴上.整个过程凹槽不翻转，重力加速度为 .
（1）小球第一次运动到轨道最低点时，求凹槽的速度大小以及凹槽相对于初始时刻运动的距离;
[答案] 小球从静止到第一次运动到轨道最低点的过程，水平方向上小球和凹槽组成的系统动量守恒，有 （2分）
对小球与凹槽组成的系统，由机械能守恒定律有
（2分）
联立解得 （1分）
根据人船模型规律，在水平方向上有 （1分）
又由位移关系知 （1分）
解得凹槽相对于初始时刻运动的距离 （1分）
（2）在平面直角坐标系 中，求出小球运动的轨迹方程;
[答案] 小球向左运动过程中，凹槽向右运动，当小球的坐标为 时，小球向左运动的位移 ，则凹槽水平向右运动的位移为 （1分）
小球在凹槽所在的椭圆上运动，根据数学知识可知小球的运动轨迹满足
（1分）
整理得小球运动的轨迹方程为 （1分）
（3）若 ，求小球下降 高度时，小球相对于地面的速度大小（结果用 、 及 表示）.
[答案] 若 ，代入（2）问结果化简可得
（1分）
即小球的运动轨迹是半径为 的圆
小球下降 高度的过程，小球与凹槽组成的系统在水平方向动量守恒，有 （1分）
对小球与凹槽组成的系统，由机械能守恒定律有
（1分）
由几何关系及速度的分解得 （1分）
联立解得 （1分）
【考情速递】 本题以小球从放在光滑水平面上的一光滑椭圆形匀质凹槽的顶端静止滑下为情境，考查系统动量守恒定律和机械能守恒定律，作为压轴大题情境并不复杂，设计的巧妙之处是结合了数学上椭圆和圆的知识，考查了学生的建模能力和数理结合能力，利用数学知识解决物理问题，体现试题的选拔功能.
4. [2023辽宁，17分]如图，质量 的木板静止在光滑水平地面上，右侧的竖直墙面固定一劲度系数 的轻弹簧，弹簧处于自然状态.质量 的小物块以水平向右的速度 滑上木板左端，两者共速时木板恰好与弹簧接触.木板足够长，物块与木板间的动摩擦因数 ,最大静摩擦力等于滑动摩擦力.弹簧始终处在弹性限度内，弹簧的弹性势能 与形变量 的关系为 .取重力加速度 ,结果可用根式表示.
（1）求木板刚接触弹簧时速度 的大小及木板运动前右端距弹簧左端的距离 .
[答案] 小物块从滑上木板到两者共速的过程，由动量守恒定律有
（1分）
解得 （1分）
两者共速前，对木板，由牛顿第二定律有
（1分）
解得
由运动学公式有
（1分）
解得 （1分）
（2）求木板与弹簧接触以后，物块与木板之间即将相对滑动时弹簧的压缩量 及此时木板速度 的大小.
[答案] 木板与弹簧接触后，物块与木板先一起减速，当物块受到的摩擦力达到最大静摩擦力时，两者之间即将相对滑动
对物块有 （1分）
对整体有 （1分）
解得 （1分）
从木板接触弹簧后到物块与木板之间即将相对滑动的过程，物块、木板和弹簧三者组成的系统机械能守恒，有
（1分）
解得 （1分）
（3）已知木板向右运动的速度从 减小到0所用时间为 .求木板从速度为 时到之后与物块加速度首次相同时的过程中，系统因摩擦转化的内能 （用 表示）.
[答案] 木板向右运动的速度从 减小到0所用时间为 ，木板从速度为0到物块与木板加速度首次相同，弹簧又回到了物块和木板刚要相对滑动的位置，考虑到木板返回时，受力与木板压缩弹簧时相同，故木板的速度大小又变为 ，木板返回所用时间也为 （2分）
在此 的时间内，对物块用动量定理有
（1分）
解得 （1分）
在此 的时间内，弹簧的初末弹性势能不变，木板的初末动能不变，故对系统，由能量守恒定律有
（2分）
解得 （1分）
5. [2022河北，11分]如图，光滑水平面上有两个等高且足够长的滑板 和 ，质量分别为 和 , 右端和 左端分别放置物块 和 ,物块的质量均为 , 和 以相同速度 向右运动, 和 以相同速度 向左运动,在某时刻发生碰撞,作用时间极短,碰撞后 与 粘在一起形成一个新物块, 与 粘在一起形成一个新滑板，物块与滑板之间的动摩擦因数均为 .重力加速度大小取 .求：
（1）若 ，新物块和新滑板速度的大小和方向；
[答案] 与 碰撞后粘在一起形成新滑板，规定水平向右为正方向,根据动量守恒定律有
（2分）
解得
由于 ,所以 ,即新滑板的速度大小为 ,方向水平向右.（1分）
C与 碰撞后粘在一起形成新物块,规定水平向右为正方向,根据动量守恒定律有
（1分）
解得
由于 ,所以 ,即新物块的速度大小为 ，方向水平向右.（1分）
（2）若 ，从碰撞后到新物块与新滑板相对静止过程两者相对位移的大小.
[答案] 若 ,代入（1）中结果得 ,
新物块与新滑板组成的系统动量守恒,从碰撞后瞬间到新物块与新滑板达到共速的过程中,根据动量守恒定律有
（1分）
解得 （1分）
根据功能关系有 （2分）
解得从碰后到相对静止过程两者的相对位移大小 （2分）
题组五
一、选择题
1. [2022湖南，4分]1932年，查德威克用未知射线轰击氢核，发现这种射线是由质量与质子大致相等的中性粒子（即中子）组成.如图，中子以速度 分别碰撞静止的氢核和氮核，碰撞后氢核和氮核的速度分别为 和 .设碰撞为弹性正碰，不考虑相对论效应，下列说法正确的是( B )
A. 碰撞后氮核的动量比氢核的小 B. 碰撞后氮核的动能比氢核的小
C. 大于 D. 大于
[解析] 设中子质量为 ，被碰粒子质量为 ，碰后中子速度为 ,被碰粒子速度为 ,二者发生弹性正碰，由动量守恒定律和能量守恒定律有 ， ，解得 ， ，因此当被碰粒子分别为氢核 和氮核 时，有 , ，故 、 项错误；碰撞后氮核的动量为 ,氢核的动量为 , ，故 错误；碰撞后氮核的动能为 氮 ,氢核的动能为 氢 , 氮 氢，故 正确.
【光速解法】 发生弹性碰撞的两物体若质量相等，则两物体将发生速度交换，所以被碰后氢核的速度、动量、动能均等于入射中子的速度、动量和动能；而当中子碰撞质量较大的氮核时，中子将反向运动，由动量守恒定律可知，碰撞后氮核动量的增加量等于中子动量的减少量，所以氮核被碰后的动量大于中子的动量，A项错误；弹性碰撞过程中，系统机械能守恒，所以碰撞后氮核动能小于入射中子动能，B项正确.
2. [2022重庆，5分，多选]一物块在倾角为 的固定斜面上受到方向与斜面平行、大小与摩擦力相等的拉力作用，由静止开始沿斜面向下做匀变速直线运动，物块与斜面间的动摩擦因数处处相同.若拉力沿斜面向下时，物块滑到底端的过程中重力和摩擦力对物块做的功随时间的变化分别如图中曲线①、②所示，则( BC )
A. 物块与斜面间的动摩擦因数为
B. 当拉力沿斜面向上，重力做的功为 时，物块动能为
C. 当拉力分别沿斜面向上和向下时，物块的加速度大小之比为
D. 当拉力分别沿斜面向上和向下时，物块滑到底端时的动量大小之比为
[解析]
3. （2020全国Ⅲ，6分）甲、乙两个物块在光滑水平桌面上沿同一直线运动，甲追上乙，并与乙发生碰撞，碰撞前后甲、乙的速度随时间的变化如图中实线所示.已知甲的质量为 ,则碰撞过程两物块损失的机械能为( A )
A. B. C. D.
[解析] 设乙物块的质量为 ，由动量守恒定律有 ，代入图中数据解得 ，进而可求得碰撞过程中两物块损失的机械能为 ，代入图中数据解得 ，选项 正确.
二、非选择题
4. [2023全国乙，20分]如图，一竖直固定的长直圆管内有一质量为 的静止薄圆盘，圆盘与管的上端口距离为 ，圆管长度为 .一质量为 的小球从管的上端口由静止下落，并撞在圆盘中心，圆盘向下滑动，所受滑动摩擦力与其所受重力大小相等.小球在管内运动时与管壁不接触，圆盘始终水平，小球与圆盘发生的碰撞均为弹性碰撞且碰撞时间极短.不计空气阻力，重力加速度大小为 .求
（1）第一次碰撞后瞬间小球和圆盘的速度大小；
[答案] 设碰撞前瞬间小球的速度为 ，碰后小球及圆盘的速度分别为 、 ，取竖直向下为正方向，对碰撞前，小球自由落体运动的过程，由动能定理得
（1分）
解得
小球和圆盘的碰撞过程满足动量守恒和系统机械能守恒，有
（1分）
（1分）
又
联立解得 ， （2分）
所以第一次碰撞后瞬间小球和圆盘的速度大小均为 （1分）
（2）在第一次碰撞到第二次碰撞之间，小球与圆盘间的最远距离；
[答案] 在第一次碰撞到第二次碰撞之间，小球先向上做匀减速直线运动，到最高点再向下做匀加速直线运动，圆盘一直向下做匀速直线运动，当小球速度向下且与圆盘速度相等时，两物体间距最大，设此过程所经历的时间为 ,对小球，由匀变速直线运动公式得
（1分）
解得
由竖直上抛运动的对称性知，此时小球又回到了与圆盘第一次碰撞的位置，故圆盘下落的距离就是此时两物体的间距，也是在第一次碰撞到第二次碰撞之间两物体的最远距离，为
（1分）
（3）圆盘在管内运动过程中，小球与圆盘碰撞的次数.
[答案] 设小球和圆盘从第一次碰撞后瞬间到第二次碰撞前瞬间经历的时间为 ，有 （1分）
解得
在这段时间内，圆盘下落的距离为 （1分）
设小球第二次与圆盘碰撞前瞬间速度为 ，则
（1分）
设第二次碰后小球和圆盘的速度分别为 、 ，小球和圆盘碰撞过程满足动量守恒和系统机械能守恒，有
解得 ，
设小球和圆盘从第二次碰撞后瞬间到第三次碰撞前瞬间经历的时间为 ，有
（1分）
解得
在这段时间内圆盘下降的距离为 （1分）
同理，小球第三次与圆盘碰撞前瞬间速度为 （1分）
小球与圆盘发生第三次碰撞，由动量守恒和系统机械能守恒有
解得 ， （1分）
设经过 ，两物体发生第四次碰撞，有
（1分）
解得
在这段时间里，圆盘下降的距离为 （1分）
由数学归纳法知，以后每次碰撞间隔时间均为 （1分）
在这段时间内圆盘下降的距离比上次碰撞间隔内下降的距离增加 ,所以从第四次碰撞后瞬间到第五次碰撞前瞬间，圆盘下降的距离为 ,若圆盘始终在管内运动，则从第一次碰撞后瞬间到第五次碰撞前瞬间，圆盘下降的距离为 （1分）
故此时圆盘已经滑出长直管，不会在管内发生第五次碰撞，所以圆盘在管内运动过程中，小球与圆盘碰撞的次数为4次（1分）
【考情速递】 本题作为压轴大题，设置了多次碰撞的复杂情境，三问的设置由易到难，层层递进，梯度明显.第三问考查了数学归纳法的应用，对考生的分析综合能力要求极高，体现试题的选拔功能.除解析方法外，还可以合理利用 图像解题，能让复杂运动过程清晰直观.记住经典动碰静模型的结论，可大大节省解方程组的时间.合理选择参考系，可轻松发现运动的规律性.比如每次都选与碰前圆盘运动速度相等的物体为参考系，可把动碰动模型转化为动碰静模型，容易发现每次碰后圆盘增加的速度相等.
5. [2022广东，15分]密立根通过观测油滴的运动规律证明了电荷的量子性,因此获得了1923年的诺贝尔奖.如图是密立根油滴实验的原理示意图,两个水平放置、相距为 的足够大金属极板,上极板中央有一小孔.通过小孔喷入一些小油滴,由于碰撞或摩擦,部分油滴带上了电荷.有两个质量均为 、位于同一竖直线上的球形小油滴 和 ，在时间 内都匀速下落了距离 .此时给两极板加上电压 （上极板接正极）, 继续以原速度下落, 经过一段时间后向上匀速运动. 在匀速运动时间 内上升了距离 ,随后与 合并,形成一个球形新油滴,继续在两极板间运动直至匀速.已知球形油滴受到的空气阻力大小为 ,其中 为比例系数, 为油滴质量, 为油滴运动速率.不计空气浮力,重力加速度为 .求:
（1）比例系数 ;
[答案] 两小油滴匀速下落时，由题意得油滴的速度大小为
（1分）
由于匀速下落，则油滴的重力等于其所受的空气阻力，即
（1分）
解得 （1分）
（2）油滴 、 的带电荷量和电性; 上升距离 电势能的变化量;
[答案] 给两极板加上电压，经过一段时间后 向上匀速运动，而 仍以原速度下落，说明 不带电， 带负电（2分）
B匀速上升的速度为 （1分）
对 由平衡条件得 （1分）
解得 （1分）
B上升距离为 的过程，电场力做的功为
（1分）
又
则 电势能的变化量为 （1分）
（3）新油滴匀速运动速度的大小和方向.
[答案] 假设新油滴最终向下匀速运动，其速度大小为 ，则新油滴所受空气阻力向上，由平衡条件得
（1分）
解得 （1分）
若 ，则 ，新油滴向下运动（1分）
若 ,则 ，新油滴静止（1分）
若 ，则 ，新油滴向上运动（1分）
6. [2022湖南，15分]如图（a）,质量为 的篮球从离地 高度处由静止下落,与地面发生一次非弹性碰撞后反弹至离地 的最高处.设篮球在运动过程中所受空气阻力的大小是篮球所受重力的 倍 为常数且 ,且篮球每次与地面碰撞的碰后速率与碰前速率之比相同,重力加速度大小为 .
图（a）
（1）求篮球与地面碰撞的碰后速率与碰前速率之比;
[答案] 篮球运动过程中阻力大小为 （1分）
篮球从最高点下落到第一次碰到地面前，由动能定理有
（1分）
篮球从第一次碰到地面到上升至最高点，由动能定理有
（1分）
联立解得篮球与地面碰撞的碰后速率与碰前速率之比 .（1分）
（2）若篮球反弹至最高处 时,运动员对篮球施加一个向下的压力 ,使得篮球与地面碰撞一次后恰好反弹至 的高度处,力 随高度 的变化如图（b）所示,其中 已知,求 的大小;
图（b）
[答案] 篮球从 高处到第二次碰到地面前，由动能定理有
（1分）
第二次碰到地面后上升到最大高度 处，由动能定理有
（1分）
第二次碰到地面后反弹有
联立解得 .（1分）
（3）篮球从 高度处由静止下落后,每次反弹至最高点时,运动员拍击一次篮球（拍击时间极短）,瞬间给其一个竖直向下、大小相等的冲量 ,经过 次拍击后篮球恰好反弹至 高度处,求冲量 的大小.
[答案] 篮球从 高处下落碰到地面后上升的高度为
运动员第1次拍击篮球，由动量定理得冲量 （1分）
篮球从最高点到第二次与地面相碰前有
（1分）
篮球第二次与地面相碰后上升到最大高度 处，有
（1分）
联立解得 （1分）
同理可得运动员第2次拍击篮球，篮球第三次与地面相碰后上升到最大高度 处，有
（1分）
同理可得运动员第3次拍击篮球，篮球第四次与地面相碰后上升到最大高度 处，有
（1分）
运动员第 次拍击篮球，篮球第 次与地面相碰后上升到最大高度 处，有
（1分）
由题可知
联立解得 .（1分）
题组六
1. [2022海南，12分]如图，竖直面内一倾角可调的轨道与光滑水平面平滑相连.当轨道倾角为 时，物块 恰好能沿轨道匀速下滑.小球 用轻绳悬挂于 点，恰与水平面接触而无挤压.将轨道倾角调为 ，物块 从轨道上距水平面高为 处由静止开始运动，一段时间后与小球 发生对心弹性碰撞，碰撞后小球 恰好能做完整的圆周运动.已知物块 的质量是小球 的3倍，重力加速度为 ，忽略空气阻力，求：
（1）物块 与轨道间的动摩擦因数；
[答案] 倾角为 时 恰好匀速运动，根据平衡条件有
（2分）
解得 （1分）
（2）碰撞后瞬间小球 的速度大小；
[答案] 设 滑至水平面上时的速度为 ，根据动能定理有
（2分）
设 与 碰撞后瞬间的速度分别为 和 ，根据动量守恒定律和机械能守恒定律分别有
（1分）
（1分）
解得 （1分）
（3）轻绳的长度.
[答案] 设 到达最高点的速度为 ，由牛顿第二定律有
（1分）
根据能量守恒定律有
（2分）
解得 （1分）
2. [2022福建，12分]如图， 形滑板 静置在粗糙水平面上，滑板右端固定一劲度系数为 的轻质弹簧，弹簧左端与一小物块 相连，弹簧处于原长状态.一小物块 以初速度 从滑板最左端滑入，滑行 后与 发生完全非弹性碰撞（碰撞时间极短），然后一起向右运动；一段时间后，滑板 也开始运动.已知 、 、 的质量均为 ，滑板与小物块、滑板与地面之间的动摩擦因数均为 ，重力加速度大小为 ；最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，弹簧始终处于弹性限度内.求：
（1） 在碰撞前瞬间的速度大小；
[答案] 小物块 与 碰撞前， 对 的摩擦力 （1分）
由于 、 整体受到地面的最大静摩擦力为 ，故小物块 运动至刚要与物块 相碰前的过程， 、 静止不动（1分）
对该过程，根据动能定理可得
（1分）
解得 （1分）
（2） 与 碰撞过程损失的机械能；
[答案] 物块 、 发生完全非弹性碰撞，根据动量守恒定律可得
（1分）
解得 （1分）
故 与 碰撞过程中损失的机械能为
（2分）
（3）从 与 相碰后到 开始运动的过程， 和 克服摩擦力所做的功.
[答案] 滑板 刚要滑动时，对滑板 ，由平衡条件可得
（2分）
即滑板 开始运动前物块 和物块 一起运动的位移大小为
（1分）
从 与 相碰后到 开始运动的过程， 和 克服摩擦力所做的功为 （1分）
3. [2022浙江6月选考，12分]如图所示，在竖直面内，一质量为 的物块 静置于悬点 正下方的 点，以速度 逆时针转动的传送带 与直轨道 、 、 处于同一水平面上， 、 、 的长度均为 .圆弧形细管道 半径为 ， 在竖直直径上， 点高度为 .开始时，与物块 相同的物块 悬挂于 点，并向左拉开一定的高度 由静止下摆，细线始终张紧，摆到最低点时恰好与 发生弹性正碰.已知 ， ， ， ， ，物块与 、 之间的动摩擦因数 ，轨道 和管道 均光滑，物块 落到 时不反弹且静止.忽略 、 和 、 之间的空隙， 与 平滑连接，物块可视为质点.
（1）若 ，求 、 碰撞后瞬时物块 的速度 的大小；
[答案] 物块 从 高度摆到最低点有 （1分）
与 发生弹性正碰有
联立解得 （1分）
（2）物块 在 最高点时，求管道对物块的作用力 与 间满足的关系；
[答案] 以竖直向下为正方向
物块 在 最高点时有 （1分）
物块 由 点到 点的过程中有 （2分）
从 释放时，滑块 运动到 点时速度恰好为零
（1分）
联立解得 （1分）
（3）若物块 释放高度 ，求物块 最终静止的位置 值的范围（以 点为坐标原点，水平向右为正，建立 轴）.
[答案] 当 时
物块 由 点水平抛出则有 （1分）
（1分）
当 时
从 释放时，滑块 运动到距 点右侧 处速度恰好为零（1分）
滑块 由 点速度为零，返回到 时距 点右侧 处速度恰好为零（1分）
（1分）
4. [2022全国乙，20分]如图（a）,一质量为 的物块 与轻质弹簧连接，静止在光滑水平面上；物块 向 运动， 时与弹簧接触，到 时与弹簧分离，第一次碰撞结束， 、 的 图像如图（b）所示.已知从 到 时间内，物块 运动的距离为 、 分离后， 滑上粗糙斜面，然后滑下，与一直在水平面上运动的 再次碰撞，之后 再次滑上斜面，达到的最高点与前一次相同.斜面倾角为 ,与水平面光滑连接.碰撞过程中弹簧始终处于弹性限度内.求
图（a）
图（b）
（1）第一次碰撞过程中，弹簧弹性势能的最大值；
[答案] 水平面光滑，故在水平面上两物块碰撞过程动量守恒，从 与弹簧接触到弹簧第一次压缩到最短过程中有
①（1分）
其中 ②（1分）
可得 ③
该过程中机械能守恒，设弹簧最大弹性势能为 ，得
④（2分）
由①②③④得 ⑤.（2分）
（2）第一次碰撞过程中，弹簧压缩量的最大值；
[答案] 由图像知 时间内物块 与物块 的位移差等于弹簧的最大压缩量，也就是题图中该段时间物块 、 图线所夹面积，物块 在 时间内的位移 （图中深灰色阴影面积），即 时间内， 图像中 线与 轴所夹面积.
过程中，由动量守恒定律有
（1分）
结合运动学知识有 （1分）
解得 （ 在 时间内的位移,图中阴影面积）
最大压缩量为 .（2分）
（3）物块 与斜面间的动摩擦因数.
[答案] 设物块 第一次从斜面滑到平面上时的速度为 ,物块 （含弹簧）回到水平面，第二次与 相互作用过程系统机械能守恒、动量守恒.则有
⑧（2分）
⑨（2分）
由⑧⑨得 （另一解舍去）
物块 第一次从斜面底端滑到最高点的过程，由动能定理有
（2分）
物块 第一次从最高点滑到水平面的过程，由动能定理有
（2分）
由 得 .（2分）
题组七
1. [2022广东，11分]某同学受自动雨伞开伞过程的启发，设计了如图所示的物理模型.竖直放置在水平桌面上的滑杆上套有一个滑块，初始时它们处于静止状态.当滑块从 处以初速度 为 向上滑动时,受到滑杆的摩擦力 为 .滑块滑到 处与滑杆发生完全非弹性碰撞，带动滑杆离开桌面一起竖直向上运动.已知滑块的质量 ，滑杆的质量 , 、 间的距离 ,重力加速度 取 ,不计空气阻力.求：
（1）滑块在静止时和向上滑动的过程中,桌面对滑杆支持力的大小 和 ;
[答案] 滑块静止时，滑块和滑杆均处于静止状态，以滑块和滑杆整体为研究对象，由平衡条件可知
（1分）
滑块向上滑动时，滑杆受重力、滑块对其向上的摩擦力以及桌面的支持力，则有 （1分）
代入数据得 （1分）
（2）滑块碰撞前瞬间的速度大小 ;
[答案] 解法一 碰前，滑块向上做匀减速直线运动，由牛顿第二定律得 （1分）
解得 ，方向向下
由运动学公式得 （1分）
代入数据得 （1分）
解法二 由动能定理得
代入数据解得
（3）滑杆向上运动的最大高度 .
[答案] 滑块和滑杆发生的碰撞为完全非弹性碰撞，根据动量守恒定律有 （2分）
代入数据得
此后滑块与滑杆一起竖直向上运动，根据动能定理有
（2分）
代入数据得 （1分）
2. [2021广东，11分]算盘是我国古老的计算工具，中心带孔的相同算珠可在算盘的固定导杆上滑动，使用前算珠需要归零.如图所示，水平放置的算盘中有甲、乙两颗算珠未在归零位置，甲靠边框 ,甲、乙相隔 ,乙与边框 相隔 ,算珠与导杆间的动摩擦因数 .现用手指将甲以 的初速度拨出，甲、乙碰撞后甲的速度大小为 ,方向不变，碰撞时间极短且不计，重力加速度 取 .
（1）通过计算，判断乙算珠能否滑动到边框 ；
[答案] 设甲算珠与乙碰撞前的速度为 ，甲、乙算珠的质量均为
对甲算珠在导杆上滑动，由动能定理有
（1分）
解得
甲、乙算珠碰撞，由动量守恒定律有
（1分）
解得碰后瞬间乙算珠的速度
对乙算珠，由动能定理有 （1分）
解得 ，所以乙算珠恰能滑动到边框 处（2分）
（2）求甲算珠从拨出到停下所需的时间.
[答案] 甲算珠与乙算珠碰撞前、后运动的加速度大小
（1分）
甲算珠与乙算珠碰撞前的运动时间
（1分）
甲算珠与乙算珠碰撞后甲运动的距离
（1分）
故甲算珠与乙算珠碰撞后的运动时间
（1分）
所以甲算珠从拨出到停下所需的时间
（2分）
3. [2020浙江7月选考，12分]小明将如图所示的装置放在水平地面上，该装置由弧形轨道、竖直圆轨道、水平直轨道 和倾角 的斜轨道 平滑连接而成.质量 的小滑块从弧形轨道离地高 处静止释放.已知 , ,滑块与轨道 和 间的动摩擦因数均为 ,弧形轨道和圆轨道均可视为光滑，忽略空气阻力.
（1）求滑块运动到与圆心 等高的 点时对轨道的压力；
[答案] 小滑块从开始至 点，由机械能守恒定律得
（1分）
由牛顿第二定律得 （1分）
在 点时由牛顿第三定律得 ,方向水平向左（1分）
（2）通过计算判断滑块能否冲出斜轨道的末端 点；
[答案] 能在斜轨道上到达的最高点为 点，由功能关系得
（2分）
得 ，故不会冲出（1分）
（3）若滑下的滑块与静止在水平直轨道上距 点 处的质量为 的小滑块相碰，碰后一起运动，动摩擦因数仍为 ，求它们在轨道 上到达的高度 与 之间的关系.（碰撞时间不计， ， ）
[答案] 滑块运动到距 点 处的速度为 ,由动能定理得
（1分）
碰撞后的速度为 ,由动量守恒定律得 （1分）
设碰撞后滑块滑到斜轨道的高度为 ,由动能定理得
（2分）
得 （1分）
（1分）
4. [2020山东，16分]如图所示，一倾角为 的固定斜面的底端安装一弹性挡板， 、 两物块的质量分别为 和 ， 静止于斜面上 处.某时刻， 以沿斜面向上的速度 与 发生弹性碰撞. 与斜面间的动摩擦因数等于 ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力. 与斜面间无摩擦，与挡板之间的碰撞无动能损失.两物块均可以看作质点，斜面足够长， 的速度减为零之前 不会与之发生碰撞.重力加速度大小为 .
（1）求 与 第一次碰撞后瞬间各自的速度大小 、 ；
[答案] 与 的第一次碰撞，取 的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得 ①（1分）
由机械能守恒定律得 ②（1分）
联立①②式得 ③
④
故第一次碰撞后 的速度大小为 , 的速度大小为 （1分）
（2）求第 次碰撞使物块 上升的高度 ；
[答案] 设 、 第一次碰撞后 上升的高度为 ，对 由运动学公式得 ⑤（1分）
联立①②⑤式得 ⑥（1分）
设 运动至与 刚要发生第二次碰撞前的位置时速度为 ，第一次碰后至第二次碰前，对 由动能定理得
⑦
联立①②⑤⑦式得 ⑧
P与 的第二次碰撞，设碰后 与 的速度分别为 、 ，由动量守恒定律得 ⑨
由机械能守恒定律得 ⑩
联立①②⑤⑦⑨⑩式得
设第二次碰撞后 上升的高度为 ，对 由运动学公式得
联立①②⑤⑦⑨⑩ 式得 （1分）
设 运动至与 刚要发生第三次碰撞前的位置时速度为 ，第二次碰后至第三次碰前，对 由动能定理得
联立①②⑤⑦⑨⑩ 式得
P与 的第三次碰撞，设碰后 与 的速度分别为 、 ，由动量守恒定律得
由机械能守恒定律得
联立①②⑤⑦⑨⑩ 式得
设第三次碰撞后 上升的高度为 ，对 由运动学公式得
联立①②⑤⑦⑨⑩ 式得
（1分）
……
总结可知，第 次碰撞后，物块 上升的高度为
（1分）
（3）求物块 从 点上升的总高度 ；
[答案] 当 、 达到 时，两物块到此处的速度可视为零，对两物块运动全过程由动能定理得
（1分）
解得 （1分）
（4）为保证在 的速度减为零之前 不会与之发生碰撞，求 点与挡板之间的最小距离 .
[答案] 设 第一次碰撞至速度减为零需要的时间为 ,由运动学公式得 （1分）
设 运动到斜面底端时的速度为 ,需要的时间为 ,由运动学公式得 （1分）
（1分）
设 从 点到 第一次碰后速度减为零处匀减速运动的时间为
（1分）
当 点与挡板之间的距离最小时 （1分）
联立 式，代入数据得 （1分）
题组八
1. [2022山东，16分]如图所示，“ ”形平板 静置在地面上，小物块 处于平板 上的 点， 点左侧粗糙，右侧光滑.用不可伸长的轻绳将质量为 的小球悬挂在 点正上方的 点，轻绳处于水平拉直状态.将小球由静止释放，下摆至最低点与小物块 发生碰撞,碰后小球速度方向与碰前方向相同，开始做简谐运动（要求摆角小于 ）， 以速度 沿平板滑动直至与 右侧挡板发生弹性碰撞.一段时间后， 返回到 点的正下方时，相对于地面的速度减为零，此时小球恰好第一次上升到最高点.已知 的质量 ， 的质量 ， 与 的动摩擦因数 ， 与地面间的动摩擦因数 ， ，取重力加速度 .整个过程中 始终在 上，所有碰撞时间忽略不计,不计空气阻力，求：
（1） 与 的挡板碰撞后，二者的速度大小 与 ；
[答案] 由于 点右侧光滑，则 匀速运动至与 发生弹性碰撞，对 、 的碰撞过程，有
（1分）
（1分）
联立解得 ， .（1分）
（2） 光滑部分的长度 ；
[答案] 与 碰撞后，假设 停止时， 还未进入 的粗糙部分，对 的减速过程，由牛顿第二定律有
（1分）
由运动学规律有 （1分）
联立解得 ，
对 越过 后的减速过程，由牛顿第二定律有
由运动学规律有
联立解得 ，
因为 ，与题设矛盾，故假设不成立，则 停止前， 已经越过 点（1分）
【说明】 返回到 点的正下方时，相对于地面的速度减为0，则 应与 相等.
A越过 后，对 的减速过程，由牛顿第二定律有
（1分）
解得
作出 、 碰后到均停止过程的 图像如图所示
则图中 部分的面积与 部分的面积相等，均等于
设 向左匀速运动的时间为 ，则有
（1分）
代入数据解得 （ 不合题意，舍去）
则 .（1分）
（3）运动过程中 对 的摩擦力所做的功 ;
[答案] 结合 图像可知 在 摩擦力的作用下产生的位移
（1分）
则
代入数据解得 .（1分）
（4）实现上述运动过程， 的取值范围（结果用 表示） .
[答案] 结合上述分析， 向右匀速运动的时间
A向左运动的总时间为
则单摆的运动周期 （1分）
对小球从释放到与 碰撞的过程，由动能定理得
（1分）
小球与 碰撞的过程，由动量守恒定律有 （1分）
①当碰后小球摆角恰为 时，有
（1分）
联立并代入数据解得 不合题意，舍去）
②当碰后小球摆角恰为 时，有
代入数据解得
则 的取值范围为 ， （1分）
2. [2021海南，12分]如图，一长木板在光滑的水平面上以速度 向右做匀速直线运动，将一小滑块无初速度地轻放在木板最右端.已知滑块和木板的质量分别为 和 ，它们之间的动摩擦因数为 ，重力加速度为 .
（1）滑块相对木板静止时，求它们的共同速度大小；
[答案] 整个过程中，滑块和木板组成的系统动量守恒，有
（2分）
解得共同速度大小为 （1分）
（2）某时刻木板速度是滑块的2倍，求此时滑块到木板最右端的距离；
[答案] 对滑块和木板组成的系统有 （1分）
（1分）
其中
解得此时滑块到木板最右端的距离为 （1分）
（3）若滑块轻放在木板最右端的同时，给木板施加一水平向右的外力，使得木板保持匀速直线运动，直到滑块相对木板静止，求此过程中滑块的运动时间以及外力所做的功.
[答案] 对滑块有 （1分）
解得 （1分）
对木板有 （1分）
木板运动的位移 （1分）
故外力所做的功 （1分）
解得 （1分）
3. [2020天津，16分]长为 的轻绳上端固定，下端系着质量为 的小球 ，处于静止状态. 受到一个水平瞬时冲量后在竖直平面内做圆周运动，恰好能通过圆周轨迹的最高点.当 回到最低点时，质量为 的小球 与之迎面正碰，碰后 、 粘在一起，仍做圆周运动，并能通过圆周轨迹的最高点.不计空气阻力，重力加速度为 ，求:
（1） 受到的水平瞬时冲量 的大小；
[答案] 恰好能通过圆周轨迹的最高点，此时轻绳的拉力刚好为零，设 在最高点时的速度大小为 ，由牛顿第二定律，有
①（2分）
A从最低点到最高点的过程中机械能守恒，取轨迹最低点处重力势能为零，设 在最低点的速度大小为 ,有
②（2分）
由动量定理，有 ③（2分）
联立①②③式，得 ④（2分）
（2）碰撞前瞬间 的动能 至少多大？
[答案] 设两球粘在一起时的速度大小为 , 、 粘在一起后恰能通过圆周轨迹的最高点，需满足 ⑤（2分）
要达到上述条件，碰后两球速度方向必须与碰前 的速度方向相同，以此方向为正方向，设 碰前瞬间的速度大小为 ,由动量守恒定律,有
⑥（2分）
又 ⑦（2分）
联立①②⑤⑥⑦式,得碰撞前瞬间 的动能 至少为
⑧（2分）
4. [2019全国Ⅰ，20分]竖直面内一倾斜轨道与一足够长的水平轨道通过一小段光滑圆弧平滑连接，小物块 静止于水平轨道的最左端，如图（a）所示. 时刻，小物块 在倾斜轨道上从静止开始下滑，一段时间后与 发生弹性碰撞（碰撞时间极短）；当 返回到倾斜轨道上的 点（图中未标出）时，速度减为0，此时对其施加一外力，使其在倾斜轨道上保持静止.物块 运动的 图像如图（b）所示，图中的 和 均为未知量.已知 的质量为 ，初始时 与 的高度差为 ，重力加速度大小为 ，不计空气阻力.
图（a）
图（b）
（1）求物块 的质量；
[答案] 根据题图（b）可知, 为物块 在碰撞前瞬间速度的大小, 为其碰撞后瞬间速度的大小.设物块 的质量为 ,碰撞后瞬间的速度大小为 .由动量守恒定律和机械能守恒定律有
①（1分）
②（1分）
联立①②式得 ③（2分）
（2）在图（b）所描述的整个运动过程中，求物块 克服摩擦力所做的功；
[答案] 在图（b）所描述的运动中,设物块 与轨道间的滑动摩擦力大小为 ,下滑过程中所走过的路程为 ,返回过程中所走过的路程为 , 点的高度为 ,整个过程中克服摩擦力所做的功为 .由动能定理有
④（1分）
⑤（1分）
从图（b）所给出的 图线可知 ⑥（1分）
⑦（1分）
由几何关系 ⑧（1分）
物块 在整个过程中克服摩擦力所做的功为 ⑨（1分）
联立④⑤⑥⑦⑧⑨式可得 ⑩（2分）
（3）已知两物块与轨道间的动摩擦因数均相等.在物块 停止运动后，改变物块与轨道间的动摩擦因数，然后将 从 点释放，一段时间后 刚好能与 再次碰上.求改变前后动摩擦因数的比值.
[答案] 设倾斜轨道倾角为 ,物块与轨道间的动摩擦因数在改变前为 ,有 （2分）
设物块 在水平轨道上能够滑行的距离为 ,由动能定理有
（2分）
设改变后的动摩擦因数为 ,由动能定理有
（2分）
联立①③④⑤⑥⑦⑧⑩ 式可得 （2分）
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2019-2023年物理高考真题分类
专题七 动量守恒定律
动量观点的简单应用
题组一
一、选择题
1. （2023新课标理综，6分，多选）使甲、乙两条形磁铁隔开一段距离，静止于水平桌面上，甲的 极正对着乙的 极，甲的质量大于乙的质量，两者与桌面之间的动摩擦因数相等.现同时释放甲和乙，在它们相互接近过程中的任一时刻( )
A. 甲的速度大小比乙的大 B. 甲的动量大小比乙的小
C. 甲的动量大小与乙的相等 D. 甲和乙的动量之和不为零
2. [2022海南，3分]北京2022年冬奥会，中国短道速滑队获得混合接力冠军.如图，交接棒的过程中甲运动员用力推乙运动员，设此过程中甲对乙的作用力为 ，乙对甲的作用力为 ，则( )
A. 与 总是大小相等，方向相反 B. 与 总是大小相等，方向相同
C. 的冲量大小比 的大 D. 的冲量大小比 的小
3. [2022重庆，4分]在测试汽车的安全气囊对驾乘人员头部防护作用的实验中，某小组得到了假人头部所受安全气囊的作用力随时间变化的曲线（如图）.从碰撞开始到碰撞结束过程中，若假人头部只受到安全气囊的作用，则由曲线可知，假人头部( )
A. 速度变化量的大小等于曲线与横轴围成的面积
B. 动量大小先增大后减小
C. 动能变化量的大小正比于曲线与横轴围成的面积
D. 加速度大小先增大后减小
4. [2021北京，3分]如图所示，圆盘在水平面内以角速度 绕中心轴匀速转动，圆盘上距轴 处的 点有一质量为 的小物体随圆盘一起转动.某时刻圆盘突然停止转动，小物体由 点滑至圆盘上的某点停止.下列说法正确的是( )
A. 圆盘停止转动前，小物体所受摩擦力的方向沿运动轨迹切线方向
B. 圆盘停止转动前，小物体运动一圈所受摩擦力的冲量大小为
C. 圆盘停止转动后，小物体沿圆盘半径方向运动
D. 圆盘停止转动后，小物体整个滑动过程所受摩擦力的冲量大小为
5. [2021湖南，4分]物体的运动状态可用位置 和动量 描述，称为相，对应 图像中的一个点.物体运动状态的变化可用 图像中的一条曲线来描述，称为相轨迹.假如一质点沿 轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动，则对应的相轨迹可能是( )
A.
B.
C.
D.
6. [2021全国乙，6分]如图，光滑水平地面上有一小车，一轻弹簧的一端与车厢的挡板相连，另一端与滑块相连，滑块与车厢的水平底板间有摩擦.用力向右推动车厢使弹簧压缩，撤去推力时滑块在车厢底板上有相对滑动.在地面参考系（可视为惯性系）中，从撤去推力开始，小车、弹簧和滑块组成的系统( )
A. 动量守恒，机械能守恒 B. 动量守恒，机械能不守恒
C. 动量不守恒，机械能守恒 D. 动量不守恒，机械能不守恒
7. （2020全国Ⅰ，6分）行驶中的汽车如果发生剧烈碰撞，车内的安全气囊会被弹出并瞬间充满气体.若碰撞后汽车的速度在很短时间内减小为零，关于安全气囊在此过程中的作用，下列说法正确的是( )
A. 增加了司机单位面积的受力大小
B. 减少了碰撞前后司机动量的变化量
C. 将司机的动能全部转换成汽车的动能
D. 延长了司机的受力时间并增大了司机的受力面积
8. [2019江苏，4分]质量为 的小孩站在质量为 的滑板上,小孩和滑板均处于静止状态,忽略滑板与地面间的摩擦.小孩沿水平方向跃离滑板,离开滑板时的速度大小为 ,此时滑板的速度大小为( )
A. B. C. D.
二、非选择题
9. [2022北京，9分]体育课上，甲同学在距离地面高 处将排球击出，球的初速度沿水平方向,大小为 ;乙同学在离地 处将排球垫起,垫起前后球的速度大小相等,方向相反.已知排球质量 ，取重力加速度 .不计空气阻力.求:
（1）排球被垫起前在水平方向飞行的距离 ;
（2）排球被垫起前瞬间的速度大小 及方向；
（3）排球与乙同学作用过程中所受冲量的大小 .
10. [2021河北，11分]如图，一滑雪道由 和 两段滑道组成，其中 段倾角为 ， 段水平， 段和 段由一小段光滑圆弧连接.一个质量为 的背包在滑道顶端 处由静止滑下，若 后质量为 的滑雪者从顶端以 的初速度、 的加速度匀加速追赶，恰好在坡底光滑圆弧的水平处追上背包并立即将其拎起.背包与滑道的动摩擦因数为 ,重力加速度取 , ， ，忽略空气阻力及拎包过程中滑雪者与背包的重心变化.求:
（1）滑道 段的长度；
（2）滑雪者拎起背包时这一瞬间的速度.
题组二
一、选择题
1. [2022北京，3分]质量为 和 的两个物体在光滑水平面上正碰，其位置坐标 随时间 变化的图像如图所示.下列说法正确的是( )
A. 碰撞前 的速率大于 的速率 B. 碰撞后 的速率大于 的速率
C. 碰撞后 的动量大于 的动量 D. 碰撞后 的动能小于 的动能
2. [2022山东，3分]我国多次成功使用“冷发射”技术发射长征十一号系列运载火箭.如图所示，发射仓内的高压气体先将火箭竖直向上推出，火箭速度接近零时再点火飞向太空.从火箭开始运动到点火的过程中( )
A. 火箭的加速度为零时，动能最大
B. 高压气体释放的能量全部转化为火箭的动能
C. 高压气体对火箭推力的冲量等于火箭动量的增加量
D. 高压气体的推力和空气阻力对火箭做功之和等于火箭动能的增加量
3. [2021天津，5分，多选]一冲九霄，问鼎苍穹.2021年4月29日，长征五号B遥二运载火箭搭载空间站天和核心舱发射升空，标志着我国空间站建造进入全面实施阶段.下列关于火箭的描述正确的是( )
A. 增加单位时间的燃气喷射量可以增大火箭的推力
B. 增大燃气相对于火箭的喷射速度可以增大火箭的推力
C. 当燃气喷出火箭喷口的速度相对于地面为零时火箭就不再加速
D. 火箭发射时获得的推力来自喷出的燃气与发射台之间的相互作用
4. [2021福建，4分]福建属于台风频发地区，各类户外设施建设都要考虑台风影响.已知10级台风的风速范围为 ，16级台风的风速范围为 .若台风迎面垂直吹向一固定的交通标志牌，则16级台风对该交通标志牌的作用力大小约为10级台风的( )
A. 2倍 B. 4倍 C. 8倍 D. 16倍
5. [2020全国Ⅱ，6分，多选]水平冰面上有一固定的竖直挡板.一滑冰运动员面对挡板静止在冰面上，他把一质量为 的静止物块以大小为 的速度沿与挡板垂直的方向推向挡板，运动员获得退行速度；物块与挡板弹性碰撞，速度反向，追上运动员时，运动员又把物块推向挡板，使其再一次以大小为 的速度与挡板弹性碰撞.总共经过8次这样推物块后，运动员退行速度的大小大于 ，反弹的物块不能再追上运动员.不计冰面的摩擦力，该运动员的质量可能为( )
A. B. C. D.
二、非选择题
6. [2023浙江1月选考，11分]一游戏装置竖直截面如图所示，该装置由固定在水平地面上倾角 的直轨道 、螺旋圆形轨道 、倾角 的直轨道 、水平直轨道 组成，除 段外各段轨道均光滑，且各处平滑连接.螺旋圆形轨道与轨道 、 相切于 处.凹槽 底面 水平光滑，上面放有一无动力摆渡车，并紧靠在竖直侧壁 处，摆渡车上表面与直轨道 、平台 位于同一水平面.已知螺旋圆形轨道半径 ， 点高度为 ， 长度 ， 长度 ，摆渡车长度 、质量 .将一质量也为 的滑块从倾斜轨道 上高度 处静止释放，滑块在 段运动时的阻力为其重力的0.2倍.（摆渡车碰到竖直侧壁 立即静止，滑块视为质点，不计空气阻力， ， ）
（1）求滑块过 点的速度大小 和轨道对滑块的作用力大小 ；
（2）摆渡车碰到 前，滑块恰好不脱离摆渡车，求滑块与摆渡车之间的动摩擦因数 ；
（3）在（2）的条件下，求滑块从 到 所用的时间 .
7. [2021北京，9分]如图所示，小物块 、 的质量均为 ， 静止在轨道水平段的末端. 以水平速度 与 碰撞，碰后两物块粘在一起水平抛出.抛出点距离水平地面的竖直高度为 ，两物块落地点距离轨道末端的水平距离为 ，取重力加速度 .求：
（1）两物块在空中运动的时间 ；
（2）两物块碰前 的速度 的大小；
（3）两物块碰撞过程中损失的机械能 .
力学三大观点的综合应用
题组三
一、选择题
1. [2022湖北，4分]一质点做曲线运动，在前一段时间内速度大小由 增大到 ，在随后的一段时间内速度大小由 增大到 .前后两段时间内，合外力对质点做功分别为 和 ，合外力的冲量大小分别为 和 .下列关系式一定成立的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2. [2022全国乙，6分，多选]质量为 的物块在水平力 的作用下由静止开始在水平地面上做直线运动， 与时间 的关系如图所示.已知物块与地面间的动摩擦因数为 ,重力加速度大小取 .则( )
A. 时物块的动能为零
B. 时物块回到初始位置
C. 时物块的动量为
D. 时间内 对物块所做的功为
3. [2021湖南，5分，多选]如图（a）,质量分别为 、 的 、 两物体用轻弹簧连接构成一个系统，外力 作用在 上，系统静止在光滑水平面上（ 靠墙面），此时弹簧形变量为 .撤去外力并开始计时， 、 两物体运动的 图像如图（b）所示， 表示0到 时间内 的 图线与坐标轴所围面积大小， 、 分别表示 到 时间内 、 的 图线与坐标轴所围面积大小. 在 时刻的速度为 .下列说法正确的是( )
图（a）
图（b）
A. 0到 时间内，墙对 的冲量等于 B.
C. 运动后，弹簧的最大形变量等于 D.
二、非选择题
4. [2023海南，14分]如图所示，有一固定的光滑 圆弧轨道 ，半径 ，一质量为 的小滑块 从轨道顶端滑下，在其冲上长木板 左端时，给木板一个与小滑块相同的初速度，已知 ， 、 间动摩擦因数 ， 与地面间的动摩擦因数 ， 右端有一个挡板， 长为 .已知 取 .
（1） 滑到 的底端时对 的压力是多大？
（2）若 未与 右端的挡板碰撞，当 与地面保持相对静止时， 、 间因摩擦产生的热量是多少？
（3）在 时， 与 右端的挡板发生碰撞，且碰后粘在一起，求 从滑上 到最终停止所用的时间.
5. [2023浙江6月选考，11分]为了探究物体间碰撞特性，设计了如图所示的实验装置.水平直轨道 、 和水平传送带平滑无缝连接，两半径均为 的四分之一圆周组成的竖直细圆弧管道 与轨道 和足够长的水平直轨道 平滑相切连接.质量为 的滑块 与质量为 的滑块 用劲度系数 的轻质弹簧连接，静置于轨道 上.现有质量 的滑块 以初速度 从 处进入，经 管道后,与 上的滑块 碰撞（时间极短）.已知传送带长 ,以 的速率顺时针转动,滑块 与传送带间的动摩擦因数 ,其他摩擦和阻力均不计，各滑块均可视为质点，弹簧的弹性势能 为形变量).
（1）求滑块 到达圆弧管道 最低点 时速度大小 和所受支持力大小 ;
（2）若滑块 碰后返回到 点时速度 ,求滑块 、 碰撞过程中损失的机械能 ；
（3）若滑块 碰到滑块 立即被粘住,求碰撞后弹簧最大长度与最小长度之差 .
6. [2022湖北，16分]打桩机是基建常用工具.某种简易打桩机模型如图所示，重物 、 和 通过不可伸长的轻质长绳跨过两个光滑的等高小定滑轮连接， 与滑轮等高（图中实线位置）时， 到两定滑轮的距离均为 .重物 和 的质量均为 ，系统可以在如图虚线位置保持静止，此时连接 的绳与水平方向的夹角为 .某次打桩时，用外力将 拉到图中实线位置，然后由静止释放.设 的下落速度为 时，与正下方质量为 的静止桩 正碰，碰撞时间极短，碰撞后 的速度为零， 竖直向下运动 距离后静止（不考虑 、 再次相碰） 、 、 、 均可视为质点.
（1）求 的质量；
（2）若 在运动过程中受到的阻力 可视为恒力，求 的大小；
（3）撤掉桩 ，将 再次拉到图中实线位置，然后由静止释放，求 、 、 的总动能最大时 的动能.
题组四
一、选择题
1. [2022湖南，5分，多选]神舟十三号返回舱进入大气层一段时间后，逐一打开引导伞、减速伞、主伞，最后启动反冲装置，实现软着陆.某兴趣小组研究了减速伞打开后返回舱的运动情况，将其运动简化为竖直方向的直线运动，其 图像如图所示.设该过程中，重力加速度不变，返回舱质量不变，下列说法正确的是( )
A. 在 时间内，返回舱重力的功率随时间减小
B. 在 时间内，返回舱的加速度不变
C. 在 时间内，返回舱的动量随时间减小
D. 在 时间内，返回舱的机械能不变
2. [2022北京，3分]“雪如意”是我国首座国际标准跳台滑雪场地，如图所示.跳台滑雪运动中，裁判员主要根据运动员在空中的飞行距离和动作姿态评分.运动员在进行跳台滑雪时大致经过四个阶段:①助滑阶段，运动员两腿尽量深蹲，顺着助滑道的倾斜面下滑;②起跳阶段，当进入起跳区时，运动员两腿猛蹬滑道快速伸直,同时上体向前伸展；③飞行阶段，在空中运动员保持身体与雪板基本平行、两臂伸直贴放于身体两侧的姿态;④着陆阶段，运动员落地时两腿屈膝，两臂左右平伸.下列说法正确的是( )
A. 助滑阶段，运动员深蹲是为了减小与滑道之间的摩擦力
B. 起跳阶段，运动员猛蹬滑道主要是为了增加向上的速度
C. 飞行阶段，运动员所采取的姿态是为了增加水平方向速度
D. 着陆阶段，运动员两腿屈膝是为了减少与地面的作用时间
二、非选择题
3. [2023湖南，16分]如图，质量为 的匀质凹槽放在光滑水平地面上，凹槽内有一个半椭圆形的光滑轨道，椭圆的半长轴和半短轴分别为 和 ,长轴水平，短轴竖直.质量为 的小球，初始时刻从椭圆轨道长轴的右端点由静止开始下滑.以初始时刻椭圆中心的位置为坐标原点，在竖直平面内建立固定于地面的直角坐标系 ,椭圆长轴位于 轴上.整个过程凹槽不翻转，重力加速度为 .
（1）小球第一次运动到轨道最低点时，求凹槽的速度大小以及凹槽相对于初始时刻运动的距离;
（2）在平面直角坐标系 中，求出小球运动的轨迹方程;
（3）若 ，求小球下降 高度时，小球相对于地面的速度大小（结果用 、 及 表示）.
4. [2023辽宁，17分]如图，质量 的木板静止在光滑水平地面上，右侧的竖直墙面固定一劲度系数 的轻弹簧，弹簧处于自然状态.质量 的小物块以水平向右的速度 滑上木板左端，两者共速时木板恰好与弹簧接触.木板足够长，物块与木板间的动摩擦因数 ,最大静摩擦力等于滑动摩擦力.弹簧始终处在弹性限度内，弹簧的弹性势能 与形变量 的关系为 .取重力加速度 ,结果可用根式表示.
（1）求木板刚接触弹簧时速度 的大小及木板运动前右端距弹簧左端的距离 .
（2）求木板与弹簧接触以后，物块与木板之间即将相对滑动时弹簧的压缩量 及此时木板速度 的大小.
（3）已知木板向右运动的速度从 减小到0所用时间为 .求木板从速度为 时到之后与物块加速度首次相同时的过程中，系统因摩擦转化的内能 （用 表示）.
5. [2022河北，11分]如图，光滑水平面上有两个等高且足够长的滑板 和 ，质量分别为 和 , 右端和 左端分别放置物块 和 ,物块的质量均为 , 和 以相同速度 向右运动, 和 以相同速度 向左运动,在某时刻发生碰撞,作用时间极短,碰撞后 与 粘在一起形成一个新物块, 与 粘在一起形成一个新滑板，物块与滑板之间的动摩擦因数均为 .重力加速度大小取 .求：
（1）若 ，新物块和新滑板速度的大小和方向；
（2）若 ，从碰撞后到新物块与新滑板相对静止过程两者相对位移的大小.
题组五
一、选择题
1. [2022湖南，4分]1932年，查德威克用未知射线轰击氢核，发现这种射线是由质量与质子大致相等的中性粒子（即中子）组成.如图，中子以速度 分别碰撞静止的氢核和氮核，碰撞后氢核和氮核的速度分别为 和 .设碰撞为弹性正碰，不考虑相对论效应，下列说法正确的是( )
A. 碰撞后氮核的动量比氢核的小 B. 碰撞后氮核的动能比氢核的小
C. 大于 D. 大于
2. [2022重庆，5分，多选]一物块在倾角为 的固定斜面上受到方向与斜面平行、大小与摩擦力相等的拉力作用，由静止开始沿斜面向下做匀变速直线运动，物块与斜面间的动摩擦因数处处相同.若拉力沿斜面向下时，物块滑到底端的过程中重力和摩擦力对物块做的功随时间的变化分别如图中曲线①、②所示，则( )
A. 物块与斜面间的动摩擦因数为
B. 当拉力沿斜面向上，重力做的功为 时，物块动能为
C. 当拉力分别沿斜面向上和向下时，物块的加速度大小之比为
D. 当拉力分别沿斜面向上和向下时，物块滑到底端时的动量大小之比为
3. （2020全国Ⅲ，6分）甲、乙两个物块在光滑水平桌面上沿同一直线运动，甲追上乙，并与乙发生碰撞，碰撞前后甲、乙的速度随时间的变化如图中实线所示.已知甲的质量为 ,则碰撞过程两物块损失的机械能为( )
A. B. C. D.
二、非选择题
4. [2023全国乙，20分]如图，一竖直固定的长直圆管内有一质量为 的静止薄圆盘，圆盘与管的上端口距离为 ，圆管长度为 .一质量为 的小球从管的上端口由静止下落，并撞在圆盘中心，圆盘向下滑动，所受滑动摩擦力与其所受重力大小相等.小球在管内运动时与管壁不接触，圆盘始终水平，小球与圆盘发生的碰撞均为弹性碰撞且碰撞时间极短.不计空气阻力，重力加速度大小为 .求
（1）第一次碰撞后瞬间小球和圆盘的速度大小；
（2）在第一次碰撞到第二次碰撞之间，小球与圆盘间的最远距离；
（3）圆盘在管内运动过程中，小球与圆盘碰撞的次数.
5. [2022广东，15分]密立根通过观测油滴的运动规律证明了电荷的量子性,因此获得了1923年的诺贝尔奖.如图是密立根油滴实验的原理示意图,两个水平放置、相距为 的足够大金属极板,上极板中央有一小孔.通过小孔喷入一些小油滴,由于碰撞或摩擦,部分油滴带上了电荷.有两个质量均为 、位于同一竖直线上的球形小油滴 和 ，在时间 内都匀速下落了距离 .此时给两极板加上电压 （上极板接正极）, 继续以原速度下落, 经过一段时间后向上匀速运动. 在匀速运动时间 内上升了距离 ,随后与 合并,形成一个球形新油滴,继续在两极板间运动直至匀速.已知球形油滴受到的空气阻力大小为 ,其中 为比例系数, 为油滴质量, 为油滴运动速率.不计空气浮力,重力加速度为 .求:
（1）比例系数 ;
（2）油滴 、 的带电荷量和电性; 上升距离 电势能的变化量;
（3）新油滴匀速运动速度的大小和方向.
6. [2022湖南，15分]如图（a）,质量为 的篮球从离地 高度处由静止下落,与地面发生一次非弹性碰撞后反弹至离地 的最高处.设篮球在运动过程中所受空气阻力的大小是篮球所受重力的 倍 为常数且 ,且篮球每次与地面碰撞的碰后速率与碰前速率之比相同,重力加速度大小为 .
图（a）
（1）求篮球与地面碰撞的碰后速率与碰前速率之比;
（2）若篮球反弹至最高处 时,运动员对篮球施加一个向下的压力 ,使得篮球与地面碰撞一次后恰好反弹至 的高度处,力 随高度 的变化如图（b）所示,其中 已知,求 的大小;
图（b）
（3）篮球从 高度处由静止下落后,每次反弹至最高点时,运动员拍击一次篮球（拍击时间极短）,瞬间给其一个竖直向下、大小相等的冲量 ,经过 次拍击后篮球恰好反弹至 高度处,求冲量 的大小.
题组六
1. [2022海南，12分]如图，竖直面内一倾角可调的轨道与光滑水平面平滑相连.当轨道倾角为 时，物块 恰好能沿轨道匀速下滑.小球 用轻绳悬挂于 点，恰与水平面接触而无挤压.将轨道倾角调为 ，物块 从轨道上距水平面高为 处由静止开始运动，一段时间后与小球 发生对心弹性碰撞，碰撞后小球 恰好能做完整的圆周运动.已知物块 的质量是小球 的3倍，重力加速度为 ，忽略空气阻力，求：
（1）物块 与轨道间的动摩擦因数；
（2）碰撞后瞬间小球 的速度大小；
（3）轻绳的长度.
2. [2022福建，12分]如图， 形滑板 静置在粗糙水平面上，滑板右端固定一劲度系数为 的轻质弹簧，弹簧左端与一小物块 相连，弹簧处于原长状态.一小物块 以初速度 从滑板最左端滑入，滑行 后与 发生完全非弹性碰撞（碰撞时间极短），然后一起向右运动；一段时间后，滑板 也开始运动.已知 、 、 的质量均为 ，滑板与小物块、滑板与地面之间的动摩擦因数均为 ，重力加速度大小为 ；最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，弹簧始终处于弹性限度内.求：
（1） 在碰撞前瞬间的速度大小；
（2） 与 碰撞过程损失的机械能；
（3）从 与 相碰后到 开始运动的过程， 和 克服摩擦力所做的功.
3. [2022浙江6月选考，12分]如图所示，在竖直面内，一质量为 的物块 静置于悬点 正下方的 点，以速度 逆时针转动的传送带 与直轨道 、 、 处于同一水平面上， 、 、 的长度均为 .圆弧形细管道 半径为 ， 在竖直直径上， 点高度为 .开始时，与物块 相同的物块 悬挂于 点，并向左拉开一定的高度 由静止下摆，细线始终张紧，摆到最低点时恰好与 发生弹性正碰.已知 ， ， ， ， ，物块与 、 之间的动摩擦因数 ，轨道 和管道 均光滑，物块 落到 时不反弹且静止.忽略 、 和 、 之间的空隙， 与 平滑连接，物块可视为质点.
（1）若 ，求 、 碰撞后瞬时物块 的速度 的大小；
（2）物块 在 最高点时，求管道对物块的作用力 与 间满足的关系；
（3）若物块 释放高度 ，求物块 最终静止的位置 值的范围（以 点为坐标原点，水平向右为正，建立 轴）.
4. [2022全国乙，20分]如图（a）,一质量为 的物块 与轻质弹簧连接，静止在光滑水平面上；物块 向 运动， 时与弹簧接触，到 时与弹簧分离，第一次碰撞结束， 、 的 图像如图（b）所示.已知从 到 时间内，物块 运动的距离为 、 分离后， 滑上粗糙斜面，然后滑下，与一直在水平面上运动的 再次碰撞，之后 再次滑上斜面，达到的最高点与前一次相同.斜面倾角为 ,与水平面光滑连接.碰撞过程中弹簧始终处于弹性限度内.求
图（a）
图（b）
（1）第一次碰撞过程中，弹簧弹性势能的最大值；
（2）第一次碰撞过程中，弹簧压缩量的最大值；
（3）物块 与斜面间的动摩擦因数.
题组七
1. [2022广东，11分]某同学受自动雨伞开伞过程的启发，设计了如图所示的物理模型.竖直放置在水平桌面上的滑杆上套有一个滑块，初始时它们处于静止状态.当滑块从 处以初速度 为 向上滑动时,受到滑杆的摩擦力 为 .滑块滑到 处与滑杆发生完全非弹性碰撞，带动滑杆离开桌面一起竖直向上运动.已知滑块的质量 ，滑杆的质量 , 、 间的距离 ,重力加速度 取 ,不计空气阻力.求：
（1）滑块在静止时和向上滑动的过程中,桌面对滑杆支持力的大小 和 ;
（2）滑块碰撞前瞬间的速度大小 ;
（3）滑杆向上运动的最大高度 .
2. [2021广东，11分]算盘是我国古老的计算工具，中心带孔的相同算珠可在算盘的固定导杆上滑动，使用前算珠需要归零.如图所示，水平放置的算盘中有甲、乙两颗算珠未在归零位置，甲靠边框 ,甲、乙相隔 ,乙与边框 相隔 ,算珠与导杆间的动摩擦因数 .现用手指将甲以 的初速度拨出，甲、乙碰撞后甲的速度大小为 ,方向不变，碰撞时间极短且不计，重力加速度 取 .
（1）通过计算，判断乙算珠能否滑动到边框 ；
（2）求甲算珠从拨出到停下所需的时间.
3. [2020浙江7月选考，12分]小明将如图所示的装置放在水平地面上，该装置由弧形轨道、竖直圆轨道、水平直轨道 和倾角 的斜轨道 平滑连接而成.质量 的小滑块从弧形轨道离地高 处静止释放.已知 , ,滑块与轨道 和 间的动摩擦因数均为 ,弧形轨道和圆轨道均可视为光滑，忽略空气阻力.
（1）求滑块运动到与圆心 等高的 点时对轨道的压力；
（2）通过计算判断滑块能否冲出斜轨道的末端 点；
（3）若滑下的滑块与静止在水平直轨道上距 点 处的质量为 的小滑块相碰，碰后一起运动，动摩擦因数仍为 ，求它们在轨道 上到达的高度 与 之间的关系.（碰撞时间不计， ， ）
4. [2020山东，16分]如图所示，一倾角为 的固定斜面的底端安装一弹性挡板， 、 两物块的质量分别为 和 ， 静止于斜面上 处.某时刻， 以沿斜面向上的速度 与 发生弹性碰撞. 与斜面间的动摩擦因数等于 ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力. 与斜面间无摩擦，与挡板之间的碰撞无动能损失.两物块均可以看作质点，斜面足够长， 的速度减为零之前 不会与之发生碰撞.重力加速度大小为 .
（1）求 与 第一次碰撞后瞬间各自的速度大小 、 ；
（2）求第 次碰撞使物块 上升的高度 ；
（3）求物块 从 点上升的总高度 ；
（4）为保证在 的速度减为零之前 不会与之发生碰撞，求 点与挡板之间的最小距离 .
题组八
1. [2022山东，16分]如图所示，“ ”形平板 静置在地面上，小物块 处于平板 上的 点， 点左侧粗糙，右侧光滑.用不可伸长的轻绳将质量为 的小球悬挂在 点正上方的 点，轻绳处于水平拉直状态.将小球由静止释放，下摆至最低点与小物块 发生碰撞,碰后小球速度方向与碰前方向相同，开始做简谐运动（要求摆角小于 ）， 以速度 沿平板滑动直至与 右侧挡板发生弹性碰撞.一段时间后， 返回到 点的正下方时，相对于地面的速度减为零，此时小球恰好第一次上升到最高点.已知 的质量 ， 的质量 ， 与 的动摩擦因数 ， 与地面间的动摩擦因数 ， ，取重力加速度 .整个过程中 始终在 上，所有碰撞时间忽略不计,不计空气阻力，求：
（1） 与 的挡板碰撞后，二者的速度大小 与 ；
（2） 光滑部分的长度 ；
（3）运动过程中 对 的摩擦力所做的功 ;
（4）实现上述运动过程， 的取值范围（结果用 表示） .
2. [2021海南，12分]如图，一长木板在光滑的水平面上以速度 向右做匀速直线运动，将一小滑块无初速度地轻放在木板最右端.已知滑块和木板的质量分别为 和 ，它们之间的动摩擦因数为 ，重力加速度为 .
（1）滑块相对木板静止时，求它们的共同速度大小；
（2）某时刻木板速度是滑块的2倍，求此时滑块到木板最右端的距离；
（3）若滑块轻放在木板最右端的同时，给木板施加一水平向右的外力，使得木板保持匀速直线运动，直到滑块相对木板静止，求此过程中滑块的运动时间以及外力所做的功.
3. [2020天津，16分]长为 的轻绳上端固定，下端系着质量为 的小球 ，处于静止状态. 受到一个水平瞬时冲量后在竖直平面内做圆周运动，恰好能通过圆周轨迹的最高点.当 回到最低点时，质量为 的小球 与之迎面正碰，碰后 、 粘在一起，仍做圆周运动，并能通过圆周轨迹的最高点.不计空气阻力，重力加速度为 ，求:
（1） 受到的水平瞬时冲量 的大小；
（2）碰撞前瞬间 的动能 至少多大？
4. [2019全国Ⅰ，20分]竖直面内一倾斜轨道与一足够长的水平轨道通过一小段光滑圆弧平滑连接，小物块 静止于水平轨道的最左端，如图（a）所示. 时刻，小物块 在倾斜轨道上从静止开始下滑，一段时间后与 发生弹性碰撞（碰撞时间极短）；当 返回到倾斜轨道上的 点（图中未标出）时，速度减为0，此时对其施加一外力，使其在倾斜轨道上保持静止.物块 运动的 图像如图（b）所示，图中的 和 均为未知量.已知 的质量为 ，初始时 与 的高度差为 ，重力加速度大小为 ，不计空气阻力.
图（a）
图（b）
（1）求物块 的质量；
（2）在图（b）所描述的整个运动过程中，求物块 克服摩擦力所做的功；
（3）已知两物块与轨道间的动摩擦因数均相等.在物块 停止运动后，改变物块与轨道间的动摩擦因数，然后将 从 点释放，一段时间后 刚好能与 再次碰上.求改变前后动摩擦因数的比值.
专题七 动量守恒定律
动量观点的简单应用
题组一
一、选择题
1. （2023新课标理综，6分，多选）使甲、乙两条形磁铁隔开一段距离，静止于水平桌面上，甲的 极正对着乙的 极，甲的质量大于乙的质量，两者与桌面之间的动摩擦因数相等.现同时释放甲和乙，在它们相互接近过程中的任一时刻( BD )
A. 甲的速度大小比乙的大 B. 甲的动量大小比乙的小
C. 甲的动量大小与乙的相等 D. 甲和乙的动量之和不为零
[解析] 根据 可得 ，因 ，故 ，则任一时刻甲的速度大小比乙的小， 错误； ，又 ，则 ，故甲和乙组成的系统合外力的冲量方向向左，即甲的动量大小比乙的小， 正确， 错误.
【易错警示】 本题由于两磁铁质量不等，因此两磁铁所受摩擦力不等，两磁铁系统合外力不为零，系统动量不守恒，本题很容易思维定势，把系统理解成动量守恒.
2. [2022海南，3分]北京2022年冬奥会，中国短道速滑队获得混合接力冠军.如图，交接棒的过程中甲运动员用力推乙运动员，设此过程中甲对乙的作用力为 ，乙对甲的作用力为 ，则( A )
A. 与 总是大小相等，方向相反 B. 与 总是大小相等，方向相同
C. 的冲量大小比 的大 D. 的冲量大小比 的小
[解析] 根据题意可知， 和 是一对相互作用力，则 和 等大反向、具有同时性,根据 可知， 和 的冲量大小相等、方向相反，只有 正确.
3. [2022重庆，4分]在测试汽车的安全气囊对驾乘人员头部防护作用的实验中，某小组得到了假人头部所受安全气囊的作用力随时间变化的曲线（如图）.从碰撞开始到碰撞结束过程中，若假人头部只受到安全气囊的作用，则由曲线可知，假人头部( D )
A. 速度变化量的大小等于曲线与横轴围成的面积
B. 动量大小先增大后减小
C. 动能变化量的大小正比于曲线与横轴围成的面积
D. 加速度大小先增大后减小
[解析]
4. [2021北京，3分]如图所示，圆盘在水平面内以角速度 绕中心轴匀速转动，圆盘上距轴 处的 点有一质量为 的小物体随圆盘一起转动.某时刻圆盘突然停止转动，小物体由 点滑至圆盘上的某点停止.下列说法正确的是( D )
A. 圆盘停止转动前，小物体所受摩擦力的方向沿运动轨迹切线方向
B. 圆盘停止转动前，小物体运动一圈所受摩擦力的冲量大小为
C. 圆盘停止转动后，小物体沿圆盘半径方向运动
D. 圆盘停止转动后，小物体整个滑动过程所受摩擦力的冲量大小为
[解析] 圆盘停止转动前，小物体所受的摩擦力方向指向转轴提供向心力，故 错误；由动量定理可知，圆盘停止转动前，小物体运动一圈所受摩擦力的冲量大小为零， 错误；圆盘停止转动后，小物体沿运动轨迹的切线方向运动， 错误；由动量定理可知，整个滑动过程摩擦力的冲量大小 ， 正确.
5. [2021湖南，4分]物体的运动状态可用位置 和动量 描述，称为相，对应 图像中的一个点.物体运动状态的变化可用 图像中的一条曲线来描述，称为相轨迹.假如一质点沿 轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动，则对应的相轨迹可能是( D )
A.
B.
C.
D.
[解析] 根据运动学公式 ，又有 ，解得 ，根据数学知识，不难判断出 项正确， 、 、 项错误.
【一题多解】 由动能定理得 ，又有 及 ，解得 ，可判断出 项正确, 、 、 项错误.
6. [2021全国乙，6分]如图，光滑水平地面上有一小车，一轻弹簧的一端与车厢的挡板相连，另一端与滑块相连，滑块与车厢的水平底板间有摩擦.用力向右推动车厢使弹簧压缩，撤去推力时滑块在车厢底板上有相对滑动.在地面参考系（可视为惯性系）中，从撤去推力开始，小车、弹簧和滑块组成的系统( B )
A. 动量守恒，机械能守恒 B. 动量守恒，机械能不守恒
C. 动量不守恒，机械能守恒 D. 动量不守恒，机械能不守恒
[解析] 撤去推力后，小车、弹簧和滑块组成的系统所受合外力为零，满足系统动量守恒的条件，故系统动量守恒；由于撤去推力时滑块在车厢底板上有相对滑动，存在摩擦力做功的情况，故系统机械能不守恒，所以选项 正确.
【光速解法】 系统内力不改变系统动量，但改变系统能量.摩擦力和弹簧弹力均属于系统内力，故系统动量守恒；由于有相对滑动，故存在摩擦力，系统机械能不守恒， 正确.
7. （2020全国Ⅰ，6分）行驶中的汽车如果发生剧烈碰撞，车内的安全气囊会被弹出并瞬间充满气体.若碰撞后汽车的速度在很短时间内减小为零，关于安全气囊在此过程中的作用，下列说法正确的是( D )
A. 增加了司机单位面积的受力大小
B. 减少了碰撞前后司机动量的变化量
C. 将司机的动能全部转换成汽车的动能
D. 延长了司机的受力时间并增大了司机的受力面积
[解析] 行驶中的汽车如果发生剧烈碰撞，车内安全气囊被弹出并瞬间充满气体，增大了司机的受力面积，减少了司机单位面积的受力大小，可以延长司机的受力时间，从而减小了司机受到的作用力， 项错误， 项正确；碰撞前司机动量等于其质量与速度的乘积，碰撞后司机动量为零，所以安全气囊不能减少碰撞前后司机动量的变化量， 项错误；碰撞过程中通过安全气囊将司机的动能转化为司机对安全气囊做的功, 项错误.
8. [2019江苏，4分]质量为 的小孩站在质量为 的滑板上,小孩和滑板均处于静止状态,忽略滑板与地面间的摩擦.小孩沿水平方向跃离滑板,离开滑板时的速度大小为 ,此时滑板的速度大小为( B )
A. B. C. D.
[解析] 对小孩和滑板组成的系统，由动量守恒定律有 ，解得滑板的速度大小 ，选项 正确.
二、非选择题
9. [2022北京，9分]体育课上，甲同学在距离地面高 处将排球击出，球的初速度沿水平方向,大小为 ;乙同学在离地 处将排球垫起,垫起前后球的速度大小相等,方向相反.已知排球质量 ，取重力加速度 .不计空气阻力.求:
（1）排球被垫起前在水平方向飞行的距离 ;
[答案] 设排球在空中飞行的时间为 ，则 （1分）
解得 （1分）
则排球在空中飞行的水平距离 （1分）
（2）排球被垫起前瞬间的速度大小 及方向；
[答案] 乙同学垫起排球前瞬间排球在竖直方向速度的大小 ，得 （1分）
根据 得 （1分）
速度方向左偏下，设速度方向与水平方向夹角为
则有 （1分）
（3）排球与乙同学作用过程中所受冲量的大小 .
[答案] 根据动量定理可得，排球与乙同学作用过程中所受冲量的大小 （3分）
10. [2021河北，11分]如图，一滑雪道由 和 两段滑道组成，其中 段倾角为 ， 段水平， 段和 段由一小段光滑圆弧连接.一个质量为 的背包在滑道顶端 处由静止滑下，若 后质量为 的滑雪者从顶端以 的初速度、 的加速度匀加速追赶，恰好在坡底光滑圆弧的水平处追上背包并立即将其拎起.背包与滑道的动摩擦因数为 ,重力加速度取 , ， ，忽略空气阻力及拎包过程中滑雪者与背包的重心变化.求:
（1）滑道 段的长度；
[答案] 背包下滑过程中，由牛顿第二定律有
①（1分）
解得背包在滑道 段的加速度 ②（1分）
设 段长为 ，滑到底端所用时间为 ,故有
③（1分）
对滑雪者，有 ④（1分）
解得 ⑤
⑥（2分）
（2）滑雪者拎起背包时这一瞬间的速度.
[答案] 滑雪者滑到 点时的速度 ⑦（1分）
背包滑到底端 点时的速度 ⑧（1分）
对滑雪者拎起背包的过程，由动量守恒定律有
⑨（1分）
解得滑雪者拎起背包瞬间的速度 （2分）
题组二
一、选择题
1. [2022北京，3分]质量为 和 的两个物体在光滑水平面上正碰，其位置坐标 随时间 变化的图像如图所示.下列说法正确的是( C )
A. 碰撞前 的速率大于 的速率 B. 碰撞后 的速率大于 的速率
C. 碰撞后 的动量大于 的动量 D. 碰撞后 的动能小于 的动能
[解析]
2. [2022山东，3分]我国多次成功使用“冷发射”技术发射长征十一号系列运载火箭.如图所示，发射仓内的高压气体先将火箭竖直向上推出，火箭速度接近零时再点火飞向太空.从火箭开始运动到点火的过程中( A )
A. 火箭的加速度为零时，动能最大
B. 高压气体释放的能量全部转化为火箭的动能
C. 高压气体对火箭推力的冲量等于火箭动量的增加量
D. 高压气体的推力和空气阻力对火箭做功之和等于火箭动能的增加量
[解析] 从火箭开始运动到点火的过程中，火箭先加速运动后减速运动，当加速度为零时，动能最大， 项正确；高压气体释放的能量转化为火箭的动能和重力势能及火箭与空气间因摩擦产生的热量， 项错误；根据动量定理可得高压气体对火箭的推力 、火箭自身的重力 和空气阻力 的冲量矢量和等于火箭动量的变化量， 项错误；根据动能定理可得高压气体对火箭的推力 、火箭自身的重力 和空气阻力 对火箭做的功之和等于火箭动能的变化量， 项错误.
3. [2021天津，5分，多选]一冲九霄，问鼎苍穹.2021年4月29日，长征五号B遥二运载火箭搭载空间站天和核心舱发射升空，标志着我国空间站建造进入全面实施阶段.下列关于火箭的描述正确的是( AB )
A. 增加单位时间的燃气喷射量可以增大火箭的推力
B. 增大燃气相对于火箭的喷射速度可以增大火箭的推力
C. 当燃气喷出火箭喷口的速度相对于地面为零时火箭就不再加速
D. 火箭发射时获得的推力来自喷出的燃气与发射台之间的相互作用
[解析] 根据 可知，增加单位时间的燃气喷射量（即增加单位时间喷射气体的质量 ）或增大燃气相对于火箭的喷射速度 ，都可以增大火箭的推力，故选项 、 正确；当燃气喷出火箭喷口的速度相对于地面为零时，燃气相对火箭的速度不为零，且与火箭的运动方向相反，火箭仍然受推力作用，做加速运动，故 错误；燃气被喷出的瞬间，燃气对火箭的反冲力作用在火箭上，使火箭获得推力，故 错误.
4. [2021福建，4分]福建属于台风频发地区，各类户外设施建设都要考虑台风影响.已知10级台风的风速范围为 ，16级台风的风速范围为 .若台风迎面垂直吹向一固定的交通标志牌，则16级台风对该交通标志牌的作用力大小约为10级台风的( B )
A. 2倍 B. 4倍 C. 8倍 D. 16倍
[解析] 设交通标志牌迎风面积为 、空气密度为 、标志牌对台风的作用力为 ，在 时间内吹向标志牌的空气体积为 、空气质量 ，由动量定理得 ，解得 ，由牛顿第三定律可知，台风对该交通标志牌的作用力大小为 ；10级台风的风速我们取 进行估算，16级台风的风速我们取 进行估算，16级台风对该交通标志牌的作用力大小与10级台风对该交通标志牌的作用力大小之比为 ，即16级台风对该交通标志牌的作用力大小约为10级台风的4倍，选项 正确.
5. [2020全国Ⅱ，6分，多选]水平冰面上有一固定的竖直挡板.一滑冰运动员面对挡板静止在冰面上，他把一质量为 的静止物块以大小为 的速度沿与挡板垂直的方向推向挡板，运动员获得退行速度；物块与挡板弹性碰撞，速度反向，追上运动员时，运动员又把物块推向挡板，使其再一次以大小为 的速度与挡板弹性碰撞.总共经过8次这样推物块后，运动员退行速度的大小大于 ，反弹的物块不能再追上运动员.不计冰面的摩擦力，该运动员的质量可能为( BC )
A. B. C. D.
[解析] 选运动员退行速度方向为正方向，设运动员的质量为 ，物块的质量为 ，物块被推出时的速度大小为 ，运动员第一次推出物块后的退行速度大小为 .根据动量守恒定律可知，运动员第一次推出物块时有 ，物块与挡板发生弹性碰撞，以等大的速率反弹；第二次推出物块时有 ，依此类推， ， ， ，又运动员的退行速度 ， ，解得 ,即 ，故 、 项正确， 、 项错误.
【光速解法】 用等差数列巧解“推块”问题：设运动员的质量为 ，物块的质量为 ，物块第 次被推出后，运动员速度大小为 ，第 次被推出后，运动员速度大小为 ，规定物块初速度方向为正方向，则 ，公差 ，则 ， ，代入 ， ，解得 ，B、C正确.
二、非选择题
6. [2023浙江1月选考，11分]一游戏装置竖直截面如图所示，该装置由固定在水平地面上倾角 的直轨道 、螺旋圆形轨道 、倾角 的直轨道 、水平直轨道 组成，除 段外各段轨道均光滑，且各处平滑连接.螺旋圆形轨道与轨道 、 相切于 处.凹槽 底面 水平光滑，上面放有一无动力摆渡车，并紧靠在竖直侧壁 处，摆渡车上表面与直轨道 、平台 位于同一水平面.已知螺旋圆形轨道半径 ， 点高度为 ， 长度 ， 长度 ，摆渡车长度 、质量 .将一质量也为 的滑块从倾斜轨道 上高度 处静止释放，滑块在 段运动时的阻力为其重力的0.2倍.（摆渡车碰到竖直侧壁 立即静止，滑块视为质点，不计空气阻力， ， ）
（1）求滑块过 点的速度大小 和轨道对滑块的作用力大小 ；
[答案] 点离地高度为
滑块从静止释放到 点过程，根据动能定理可得
（1分）
解得 （1分）
在最高点 时，根据牛顿第二定律可得
（1分）
解得 （1分）
（2）摆渡车碰到 前，滑块恰好不脱离摆渡车，求滑块与摆渡车之间的动摩擦因数 ；
[答案] 从静止释放到 点，由动能定理可得
（1分）
由题可知，滑块到达摆渡车右端时刚好与摆渡车共速，速度大小设为
根据动量守恒定律可得 （1分）
由功能关系可得 （1分）
综合解得 （1分）
（3）在（2）的条件下，求滑块从 到 所用的时间 .
[答案] 滑块从滑上摆渡车到与摆渡车共速过程，滑块的加速度大小为
设滑块从滑上摆渡车到共速的时间为 ，有
（1分）
共速后继续向右匀速运动的时间
（1分）
（1分）
7. [2021北京，9分]如图所示，小物块 、 的质量均为 ， 静止在轨道水平段的末端. 以水平速度 与 碰撞，碰后两物块粘在一起水平抛出.抛出点距离水平地面的竖直高度为 ，两物块落地点距离轨道末端的水平距离为 ，取重力加速度 .求：
（1）两物块在空中运动的时间 ；
[答案] 两物块碰撞后，竖直方向的运动为自由落体运动
则有 （1分）
解得 （1分）
（2）两物块碰前 的速度 的大小；
[答案] 设 、 碰后瞬间的速度为 ，水平方向的运动为匀速运动，则有
（1分）
解得 （1分）
根据动量守恒定律有 （1分）
解得 （1分）
（3）两物块碰撞过程中损失的机械能 .
[答案] 根据能量守恒定律可得，两物块碰撞过程中损失的机械能 （2分）
解得 （1分）
力学三大观点的综合应用
题组三
一、选择题
1. [2022湖北，4分]一质点做曲线运动，在前一段时间内速度大小由 增大到 ，在随后的一段时间内速度大小由 增大到 .前后两段时间内，合外力对质点做功分别为 和 ，合外力的冲量大小分别为 和 .下列关系式一定成立的是( D )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
[解析] 根据动能定理得 ， ，所以 ;根据动量定理得 ,而 ，即 , ，同理 ，而 ，即 ，所以选项 正确.
2. [2022全国乙，6分，多选]质量为 的物块在水平力 的作用下由静止开始在水平地面上做直线运动， 与时间 的关系如图所示.已知物块与地面间的动摩擦因数为 ,重力加速度大小取 .则( AD )
A. 时物块的动能为零
B. 时物块回到初始位置
C. 时物块的动量为
D. 时间内 对物块所做的功为
[解析] 物块与地面间的滑动摩擦力大小为 ，对物块在 内的运动过程，由动量定理可得 ,得 , 时物块的动量为 ，设 后经过时间 物块的速度第一次减为0，由动量定理可得 ,解得 ,所以物块在 时速度减为0，此时物块的动能也为0，故 正确， 错误；设 时间内物块的位移为 ，由动能定理可得 ,得 , 过程中，对物块由动能定理可得 ,得 , 时间内物块反向运动，物块的加速度大小为 ,位移大小为 ,即 时物块没有回到初始位置，故 错误； 内拉力做的功为 ,故 正确.
3. [2021湖南，5分，多选]如图（a）,质量分别为 、 的 、 两物体用轻弹簧连接构成一个系统，外力 作用在 上，系统静止在光滑水平面上（ 靠墙面），此时弹簧形变量为 .撤去外力并开始计时， 、 两物体运动的 图像如图（b）所示， 表示0到 时间内 的 图线与坐标轴所围面积大小， 、 分别表示 到 时间内 、 的 图线与坐标轴所围面积大小. 在 时刻的速度为 .下列说法正确的是( ABD )
图（a）
图（b）
A. 0到 时间内，墙对 的冲量等于 B.
C. 运动后，弹簧的最大形变量等于 D.
[解析] 0到 时间内，对 物体由动量定理得 ，而 物体处于静止状态，墙壁对 的冲量等于弹簧弹力对 的冲量 ， 项正确； 时刻后， 物体离开墙壁， 时刻 、 两物体的加速度大小均达到最大，弹簧拉伸到最长，二者速度相同，由于此时 、 两物体所受弹簧弹力大小相等，而 的加速度大于 的，故由牛顿第二定律可知, ， 正确； 运动后，由图可知任意时刻 的加速度小于其初始时刻的加速度，因此弹簧的形变量始终小于初始时刻形变量 ，故 项错误; 时刻 、 共速，图线与坐标轴所围面积表示速度的变化量的大小，故有 ， 项正确.
二、非选择题
4. [2023海南，14分]如图所示，有一固定的光滑 圆弧轨道 ，半径 ，一质量为 的小滑块 从轨道顶端滑下，在其冲上长木板 左端时，给木板一个与小滑块相同的初速度，已知 ， 、 间动摩擦因数 ， 与地面间的动摩擦因数 ， 右端有一个挡板， 长为 .已知 取 .
（1） 滑到 的底端时对 的压力是多大？
[答案] 小滑块 从轨道顶端下滑到轨道底部的过程，由动能定理有
（1分）
小滑块 在 的底端时，有 （1分）
解得 （1分）
由牛顿第三定律可知 对 的压力大小也为 （1分）
（2）若 未与 右端的挡板碰撞，当 与地面保持相对静止时， 、 间因摩擦产生的热量是多少？
[答案] 当 滑上 瞬间， 、 的速度相等
假设两者之间无相对滑动，对 、 整体有
解得
而 减速的最大加速度
故假设不成立， 、 间会有相对滑动
则 的加速度向左，大小为 （1分）
C受 向右的摩擦力 和地面向左的摩擦力 （1分）
其加速度满足
解得
B向右运动的距离 （1分）
C向右运动的距离 （1分）
B、 间因摩擦产生的热量 （1分）
解得 （1分）
（3）在 时， 与 右端的挡板发生碰撞，且碰后粘在一起，求 从滑上 到最终停止所用的时间.
[答案] 假设 还未与 右端挡板发生碰撞， 就停下，设 从开始运动到停下用时为 ，有
（1分）
得
此时 、 的位移分别是
、
则 ，此时 （1分）
由于 ，所以假设成立，一定是 停下之后， 才与 右端挡板发生碰撞
设再经 时间 与 右端挡板发生碰撞，有
（1分）
解得 （另一解不符合题意，舍去）
碰撞前瞬间 的速度大小为
碰撞过程由动量守恒定律可得
碰撞后 、 速度大小为
之后二者一起减速，有 ，经 后停下
则有
解得
故总时间 （1分）
5. [2023浙江6月选考，11分]为了探究物体间碰撞特性，设计了如图所示的实验装置.水平直轨道 、 和水平传送带平滑无缝连接，两半径均为 的四分之一圆周组成的竖直细圆弧管道 与轨道 和足够长的水平直轨道 平滑相切连接.质量为 的滑块 与质量为 的滑块 用劲度系数 的轻质弹簧连接，静置于轨道 上.现有质量 的滑块 以初速度 从 处进入，经 管道后,与 上的滑块 碰撞（时间极短）.已知传送带长 ,以 的速率顺时针转动,滑块 与传送带间的动摩擦因数 ,其他摩擦和阻力均不计，各滑块均可视为质点，弹簧的弹性势能 为形变量).
（1）求滑块 到达圆弧管道 最低点 时速度大小 和所受支持力大小 ;
[答案] 滑块 以初速度 从 处进入竖直圆弧轨道 运动，由动能定理有
（1分）
解得 （1分）
在最低点 ，由牛顿第二定律有 （1分）
解得 （1分）
（2）若滑块 碰后返回到 点时速度 ,求滑块 、 碰撞过程中损失的机械能 ；
[答案] 碰撞后滑块 返回到 点的过程，由动能定理有
（1分）
解得
滑块 、 碰撞过程，由动量守恒定律有 （1分）
解得
碰撞过程中损失的机械能 （1分）
（3）若滑块 碰到滑块 立即被粘住,求碰撞后弹簧最大长度与最小长度之差 .
[答案] 滑块 碰撞 后立即被粘住，由动量守恒定律有
（1分）
解得
滑块 一起向右运动，压缩弹簧， 减速运动， 加速运动，当 三者速度相等时，弹簧长度最小，由动量守恒定律有
（1分）
解得
由机械能守恒定律有 （1分）
解得
由 解得最大压缩量
滑块 一起继续向右运动，弹簧弹力使 继续加速，使 继续减速，当弹簧弹力减小到零时， 速度最大， 速度最小；滑块 一起再继续向右运动，弹簧弹力使 减速， 加速，当 三者速度相等时，弹簧长度最大，其对应的弹性势能与弹簧长度最小时弹性势能相等，由弹簧的弹性势能公式可知最大伸长量
所以碰撞后弹簧最大长度与最小长度之差 （1分）
6. [2022湖北，16分]打桩机是基建常用工具.某种简易打桩机模型如图所示，重物 、 和 通过不可伸长的轻质长绳跨过两个光滑的等高小定滑轮连接， 与滑轮等高（图中实线位置）时， 到两定滑轮的距离均为 .重物 和 的质量均为 ，系统可以在如图虚线位置保持静止，此时连接 的绳与水平方向的夹角为 .某次打桩时，用外力将 拉到图中实线位置，然后由静止释放.设 的下落速度为 时，与正下方质量为 的静止桩 正碰，碰撞时间极短，碰撞后 的速度为零， 竖直向下运动 距离后静止（不考虑 、 再次相碰） 、 、 、 均可视为质点.
（1）求 的质量；
[答案] 系统在题图虚线位置保持静止，以 为研究对象，根据平衡条件可知 （2分）
解得 （1分）
（2）若 在运动过程中受到的阻力 可视为恒力，求 的大小；
[答案] 与 碰后 的速度为零，设碰撞后 的速度为 ，根据动量守恒定律可知
（1分）
解得 （1分）
C与 碰撞后 向下运动 距离后停止，根据动能定理可知
（2分）
解得 （1分）
（3）撤掉桩 ，将 再次拉到图中实线位置，然后由静止释放，求 、 、 的总动能最大时 的动能.
[答案] 设某时刻 向下运动的速度大小为 ，绳与竖直方向的夹角为 ，根据机械能守恒定律可知 （2分）
令
对上式求导数可得
当 时解得
即 （2分）
此时
有 （2分）
解得
此时 的动能最大,为 （2分）
题组四
一、选择题
1. [2022湖南，5分，多选]神舟十三号返回舱进入大气层一段时间后，逐一打开引导伞、减速伞、主伞，最后启动反冲装置，实现软着陆.某兴趣小组研究了减速伞打开后返回舱的运动情况，将其运动简化为竖直方向的直线运动，其 图像如图所示.设该过程中，重力加速度不变，返回舱质量不变，下列说法正确的是( AC )
A. 在 时间内，返回舱重力的功率随时间减小
B. 在 时间内，返回舱的加速度不变
C. 在 时间内，返回舱的动量随时间减小
D. 在 时间内，返回舱的机械能不变
[解析] 由题知，返回舱的运动简化为竖直方向的直线运动，所以重力的功率 ，因此在 时间内，结合 图像可知返回舱重力的功率随时间减小， 项正确； 图像的斜率表示返回舱的加速度，故 时间内，返回舱的加速度不断减小， 项错误；返回舱的动量大小与其速度大小成正比，所以 时间内，返回舱的动量随时间减小， 项正确；在 时间内，返回舱匀速下降，机械能不守恒， 项错误.
2. [2022北京，3分]“雪如意”是我国首座国际标准跳台滑雪场地，如图所示.跳台滑雪运动中，裁判员主要根据运动员在空中的飞行距离和动作姿态评分.运动员在进行跳台滑雪时大致经过四个阶段:①助滑阶段，运动员两腿尽量深蹲，顺着助滑道的倾斜面下滑;②起跳阶段，当进入起跳区时，运动员两腿猛蹬滑道快速伸直,同时上体向前伸展；③飞行阶段，在空中运动员保持身体与雪板基本平行、两臂伸直贴放于身体两侧的姿态;④着陆阶段，运动员落地时两腿屈膝，两臂左右平伸.下列说法正确的是( B )
A. 助滑阶段，运动员深蹲是为了减小与滑道之间的摩擦力
B. 起跳阶段，运动员猛蹬滑道主要是为了增加向上的速度
C. 飞行阶段，运动员所采取的姿态是为了增加水平方向速度
D. 着陆阶段，运动员两腿屈膝是为了减少与地面的作用时间
[解析]
二、非选择题
3. [2023湖南，16分]如图，质量为 的匀质凹槽放在光滑水平地面上，凹槽内有一个半椭圆形的光滑轨道，椭圆的半长轴和半短轴分别为 和 ,长轴水平，短轴竖直.质量为 的小球，初始时刻从椭圆轨道长轴的右端点由静止开始下滑.以初始时刻椭圆中心的位置为坐标原点，在竖直平面内建立固定于地面的直角坐标系 ,椭圆长轴位于 轴上.整个过程凹槽不翻转，重力加速度为 .
（1）小球第一次运动到轨道最低点时，求凹槽的速度大小以及凹槽相对于初始时刻运动的距离;
[答案] 小球从静止到第一次运动到轨道最低点的过程，水平方向上小球和凹槽组成的系统动量守恒，有 （2分）
对小球与凹槽组成的系统，由机械能守恒定律有
（2分）
联立解得 （1分）
根据人船模型规律，在水平方向上有 （1分）
又由位移关系知 （1分）
解得凹槽相对于初始时刻运动的距离 （1分）
（2）在平面直角坐标系 中，求出小球运动的轨迹方程;
[答案] 小球向左运动过程中，凹槽向右运动，当小球的坐标为 时，小球向左运动的位移 ，则凹槽水平向右运动的位移为 （1分）
小球在凹槽所在的椭圆上运动，根据数学知识可知小球的运动轨迹满足
（1分）
整理得小球运动的轨迹方程为 （1分）
（3）若 ，求小球下降 高度时，小球相对于地面的速度大小（结果用 、 及 表示）.
[答案] 若 ，代入（2）问结果化简可得
（1分）
即小球的运动轨迹是半径为 的圆
小球下降 高度的过程，小球与凹槽组成的系统在水平方向动量守恒，有 （1分）
对小球与凹槽组成的系统，由机械能守恒定律有
（1分）
由几何关系及速度的分解得 （1分）
联立解得 （1分）
【考情速递】 本题以小球从放在光滑水平面上的一光滑椭圆形匀质凹槽的顶端静止滑下为情境，考查系统动量守恒定律和机械能守恒定律，作为压轴大题情境并不复杂，设计的巧妙之处是结合了数学上椭圆和圆的知识，考查了学生的建模能力和数理结合能力，利用数学知识解决物理问题，体现试题的选拔功能.
4. [2023辽宁，17分]如图，质量 的木板静止在光滑水平地面上，右侧的竖直墙面固定一劲度系数 的轻弹簧，弹簧处于自然状态.质量 的小物块以水平向右的速度 滑上木板左端，两者共速时木板恰好与弹簧接触.木板足够长，物块与木板间的动摩擦因数 ,最大静摩擦力等于滑动摩擦力.弹簧始终处在弹性限度内，弹簧的弹性势能 与形变量 的关系为 .取重力加速度 ,结果可用根式表示.
（1）求木板刚接触弹簧时速度 的大小及木板运动前右端距弹簧左端的距离 .
[答案] 小物块从滑上木板到两者共速的过程，由动量守恒定律有
（1分）
解得 （1分）
两者共速前，对木板，由牛顿第二定律有
（1分）
解得
由运动学公式有
（1分）
解得 （1分）
（2）求木板与弹簧接触以后，物块与木板之间即将相对滑动时弹簧的压缩量 及此时木板速度 的大小.
[答案] 木板与弹簧接触后，物块与木板先一起减速，当物块受到的摩擦力达到最大静摩擦力时，两者之间即将相对滑动
对物块有 （1分）
对整体有 （1分）
解得 （1分）
从木板接触弹簧后到物块与木板之间即将相对滑动的过程，物块、木板和弹簧三者组成的系统机械能守恒，有
（1分）
解得 （1分）
（3）已知木板向右运动的速度从 减小到0所用时间为 .求木板从速度为 时到之后与物块加速度首次相同时的过程中，系统因摩擦转化的内能 （用 表示）.
[答案] 木板向右运动的速度从 减小到0所用时间为 ，木板从速度为0到物块与木板加速度首次相同，弹簧又回到了物块和木板刚要相对滑动的位置，考虑到木板返回时，受力与木板压缩弹簧时相同，故木板的速度大小又变为 ，木板返回所用时间也为 （2分）
在此 的时间内，对物块用动量定理有
（1分）
解得 （1分）
在此 的时间内，弹簧的初末弹性势能不变，木板的初末动能不变，故对系统，由能量守恒定律有
（2分）
解得 （1分）
5. [2022河北，11分]如图，光滑水平面上有两个等高且足够长的滑板 和 ，质量分别为 和 , 右端和 左端分别放置物块 和 ,物块的质量均为 , 和 以相同速度 向右运动, 和 以相同速度 向左运动,在某时刻发生碰撞,作用时间极短,碰撞后 与 粘在一起形成一个新物块, 与 粘在一起形成一个新滑板，物块与滑板之间的动摩擦因数均为 .重力加速度大小取 .求：
（1）若 ，新物块和新滑板速度的大小和方向；
[答案] 与 碰撞后粘在一起形成新滑板，规定水平向右为正方向,根据动量守恒定律有
（2分）
解得
由于 ,所以 ,即新滑板的速度大小为 ,方向水平向右.（1分）
C与 碰撞后粘在一起形成新物块,规定水平向右为正方向,根据动量守恒定律有
（1分）
解得
由于 ,所以 ,即新物块的速度大小为 ，方向水平向右.（1分）
（2）若 ，从碰撞后到新物块与新滑板相对静止过程两者相对位移的大小.
[答案] 若 ,代入（1）中结果得 ,
新物块与新滑板组成的系统动量守恒,从碰撞后瞬间到新物块与新滑板达到共速的过程中,根据动量守恒定律有
（1分）
解得 （1分）
根据功能关系有 （2分）
解得从碰后到相对静止过程两者的相对位移大小 （2分）
题组五
一、选择题
1. [2022湖南，4分]1932年，查德威克用未知射线轰击氢核，发现这种射线是由质量与质子大致相等的中性粒子（即中子）组成.如图，中子以速度 分别碰撞静止的氢核和氮核，碰撞后氢核和氮核的速度分别为 和 .设碰撞为弹性正碰，不考虑相对论效应，下列说法正确的是( B )
A. 碰撞后氮核的动量比氢核的小 B. 碰撞后氮核的动能比氢核的小
C. 大于 D. 大于
[解析] 设中子质量为 ，被碰粒子质量为 ，碰后中子速度为 ,被碰粒子速度为 ,二者发生弹性正碰，由动量守恒定律和能量守恒定律有 ， ，解得 ， ，因此当被碰粒子分别为氢核 和氮核 时，有 , ，故 、 项错误；碰撞后氮核的动量为 ,氢核的动量为 , ，故 错误；碰撞后氮核的动能为 氮 ,氢核的动能为 氢 , 氮 氢，故 正确.
【光速解法】 发生弹性碰撞的两物体若质量相等，则两物体将发生速度交换，所以被碰后氢核的速度、动量、动能均等于入射中子的速度、动量和动能；而当中子碰撞质量较大的氮核时，中子将反向运动，由动量守恒定律可知，碰撞后氮核动量的增加量等于中子动量的减少量，所以氮核被碰后的动量大于中子的动量，A项错误；弹性碰撞过程中，系统机械能守恒，所以碰撞后氮核动能小于入射中子动能，B项正确.
2. [2022重庆，5分，多选]一物块在倾角为 的固定斜面上受到方向与斜面平行、大小与摩擦力相等的拉力作用，由静止开始沿斜面向下做匀变速直线运动，物块与斜面间的动摩擦因数处处相同.若拉力沿斜面向下时，物块滑到底端的过程中重力和摩擦力对物块做的功随时间的变化分别如图中曲线①、②所示，则( BC )
A. 物块与斜面间的动摩擦因数为
B. 当拉力沿斜面向上，重力做的功为 时，物块动能为
C. 当拉力分别沿斜面向上和向下时，物块的加速度大小之比为
D. 当拉力分别沿斜面向上和向下时，物块滑到底端时的动量大小之比为
[解析]
3. （2020全国Ⅲ，6分）甲、乙两个物块在光滑水平桌面上沿同一直线运动，甲追上乙，并与乙发生碰撞，碰撞前后甲、乙的速度随时间的变化如图中实线所示.已知甲的质量为 ,则碰撞过程两物块损失的机械能为( A )
A. B. C. D.
[解析] 设乙物块的质量为 ，由动量守恒定律有 ，代入图中数据解得 ，进而可求得碰撞过程中两物块损失的机械能为 ，代入图中数据解得 ，选项 正确.
二、非选择题
4. [2023全国乙，20分]如图，一竖直固定的长直圆管内有一质量为 的静止薄圆盘，圆盘与管的上端口距离为 ，圆管长度为 .一质量为 的小球从管的上端口由静止下落，并撞在圆盘中心，圆盘向下滑动，所受滑动摩擦力与其所受重力大小相等.小球在管内运动时与管壁不接触，圆盘始终水平，小球与圆盘发生的碰撞均为弹性碰撞且碰撞时间极短.不计空气阻力，重力加速度大小为 .求
（1）第一次碰撞后瞬间小球和圆盘的速度大小；
[答案] 设碰撞前瞬间小球的速度为 ，碰后小球及圆盘的速度分别为 、 ，取竖直向下为正方向，对碰撞前，小球自由落体运动的过程，由动能定理得
（1分）
解得
小球和圆盘的碰撞过程满足动量守恒和系统机械能守恒，有
（1分）
（1分）
又
联立解得 ， （2分）
所以第一次碰撞后瞬间小球和圆盘的速度大小均为 （1分）
（2）在第一次碰撞到第二次碰撞之间，小球与圆盘间的最远距离；
[答案] 在第一次碰撞到第二次碰撞之间，小球先向上做匀减速直线运动，到最高点再向下做匀加速直线运动，圆盘一直向下做匀速直线运动，当小球速度向下且与圆盘速度相等时，两物体间距最大，设此过程所经历的时间为 ,对小球，由匀变速直线运动公式得
（1分）
解得
由竖直上抛运动的对称性知，此时小球又回到了与圆盘第一次碰撞的位置，故圆盘下落的距离就是此时两物体的间距，也是在第一次碰撞到第二次碰撞之间两物体的最远距离，为
（1分）
（3）圆盘在管内运动过程中，小球与圆盘碰撞的次数.
[答案] 设小球和圆盘从第一次碰撞后瞬间到第二次碰撞前瞬间经历的时间为 ，有 （1分）
解得
在这段时间内，圆盘下落的距离为 （1分）
设小球第二次与圆盘碰撞前瞬间速度为 ，则
（1分）
设第二次碰后小球和圆盘的速度分别为 、 ，小球和圆盘碰撞过程满足动量守恒和系统机械能守恒，有
解得 ，
设小球和圆盘从第二次碰撞后瞬间到第三次碰撞前瞬间经历的时间为 ，有
（1分）
解得
在这段时间内圆盘下降的距离为 （1分）
同理，小球第三次与圆盘碰撞前瞬间速度为 （1分）
小球与圆盘发生第三次碰撞，由动量守恒和系统机械能守恒有
解得 ， （1分）
设经过 ，两物体发生第四次碰撞，有
（1分）
解得
在这段时间里，圆盘下降的距离为 （1分）
由数学归纳法知，以后每次碰撞间隔时间均为 （1分）
在这段时间内圆盘下降的距离比上次碰撞间隔内下降的距离增加 ,所以从第四次碰撞后瞬间到第五次碰撞前瞬间，圆盘下降的距离为 ,若圆盘始终在管内运动，则从第一次碰撞后瞬间到第五次碰撞前瞬间，圆盘下降的距离为 （1分）
故此时圆盘已经滑出长直管，不会在管内发生第五次碰撞，所以圆盘在管内运动过程中，小球与圆盘碰撞的次数为4次（1分）
【考情速递】 本题作为压轴大题，设置了多次碰撞的复杂情境，三问的设置由易到难，层层递进，梯度明显.第三问考查了数学归纳法的应用，对考生的分析综合能力要求极高，体现试题的选拔功能.除解析方法外，还可以合理利用 图像解题，能让复杂运动过程清晰直观.记住经典动碰静模型的结论，可大大节省解方程组的时间.合理选择参考系，可轻松发现运动的规律性.比如每次都选与碰前圆盘运动速度相等的物体为参考系，可把动碰动模型转化为动碰静模型，容易发现每次碰后圆盘增加的速度相等.
5. [2022广东，15分]密立根通过观测油滴的运动规律证明了电荷的量子性,因此获得了1923年的诺贝尔奖.如图是密立根油滴实验的原理示意图,两个水平放置、相距为 的足够大金属极板,上极板中央有一小孔.通过小孔喷入一些小油滴,由于碰撞或摩擦,部分油滴带上了电荷.有两个质量均为 、位于同一竖直线上的球形小油滴 和 ，在时间 内都匀速下落了距离 .此时给两极板加上电压 （上极板接正极）, 继续以原速度下落, 经过一段时间后向上匀速运动. 在匀速运动时间 内上升了距离 ,随后与 合并,形成一个球形新油滴,继续在两极板间运动直至匀速.已知球形油滴受到的空气阻力大小为 ,其中 为比例系数, 为油滴质量, 为油滴运动速率.不计空气浮力,重力加速度为 .求:
（1）比例系数 ;
[答案] 两小油滴匀速下落时，由题意得油滴的速度大小为
（1分）
由于匀速下落，则油滴的重力等于其所受的空气阻力，即
（1分）
解得 （1分）
（2）油滴 、 的带电荷量和电性; 上升距离 电势能的变化量;
[答案] 给两极板加上电压，经过一段时间后 向上匀速运动，而 仍以原速度下落，说明 不带电， 带负电（2分）
B匀速上升的速度为 （1分）
对 由平衡条件得 （1分）
解得 （1分）
B上升距离为 的过程，电场力做的功为
（1分）
又
则 电势能的变化量为 （1分）
（3）新油滴匀速运动速度的大小和方向.
[答案] 假设新油滴最终向下匀速运动，其速度大小为 ，则新油滴所受空气阻力向上，由平衡条件得
（1分）
解得 （1分）
若 ，则 ，新油滴向下运动（1分）
若 ,则 ，新油滴静止（1分）
若 ，则 ，新油滴向上运动（1分）
6. [2022湖南，15分]如图（a）,质量为 的篮球从离地 高度处由静止下落,与地面发生一次非弹性碰撞后反弹至离地 的最高处.设篮球在运动过程中所受空气阻力的大小是篮球所受重力的 倍 为常数且 ,且篮球每次与地面碰撞的碰后速率与碰前速率之比相同,重力加速度大小为 .
图（a）
（1）求篮球与地面碰撞的碰后速率与碰前速率之比;
[答案] 篮球运动过程中阻力大小为 （1分）
篮球从最高点下落到第一次碰到地面前，由动能定理有
（1分）
篮球从第一次碰到地面到上升至最高点，由动能定理有
（1分）
联立解得篮球与地面碰撞的碰后速率与碰前速率之比 .（1分）
（2）若篮球反弹至最高处 时,运动员对篮球施加一个向下的压力 ,使得篮球与地面碰撞一次后恰好反弹至 的高度处,力 随高度 的变化如图（b）所示,其中 已知,求 的大小;
图（b）
[答案] 篮球从 高处到第二次碰到地面前，由动能定理有
（1分）
第二次碰到地面后上升到最大高度 处，由动能定理有
（1分）
第二次碰到地面后反弹有
联立解得 .（1分）
（3）篮球从 高度处由静止下落后,每次反弹至最高点时,运动员拍击一次篮球（拍击时间极短）,瞬间给其一个竖直向下、大小相等的冲量 ,经过 次拍击后篮球恰好反弹至 高度处,求冲量 的大小.
[答案] 篮球从 高处下落碰到地面后上升的高度为
运动员第1次拍击篮球，由动量定理得冲量 （1分）
篮球从最高点到第二次与地面相碰前有
（1分）
篮球第二次与地面相碰后上升到最大高度 处，有
（1分）
联立解得 （1分）
同理可得运动员第2次拍击篮球，篮球第三次与地面相碰后上升到最大高度 处，有
（1分）
同理可得运动员第3次拍击篮球，篮球第四次与地面相碰后上升到最大高度 处，有
（1分）
运动员第 次拍击篮球，篮球第 次与地面相碰后上升到最大高度 处，有
（1分）
由题可知
联立解得 .（1分）
题组六
1. [2022海南，12分]如图，竖直面内一倾角可调的轨道与光滑水平面平滑相连.当轨道倾角为 时，物块 恰好能沿轨道匀速下滑.小球 用轻绳悬挂于 点，恰与水平面接触而无挤压.将轨道倾角调为 ，物块 从轨道上距水平面高为 处由静止开始运动，一段时间后与小球 发生对心弹性碰撞，碰撞后小球 恰好能做完整的圆周运动.已知物块 的质量是小球 的3倍，重力加速度为 ，忽略空气阻力，求：
（1）物块 与轨道间的动摩擦因数；
[答案] 倾角为 时 恰好匀速运动，根据平衡条件有
（2分）
解得 （1分）
（2）碰撞后瞬间小球 的速度大小；
[答案] 设 滑至水平面上时的速度为 ，根据动能定理有
（2分）
设 与 碰撞后瞬间的速度分别为 和 ，根据动量守恒定律和机械能守恒定律分别有
（1分）
（1分）
解得 （1分）
（3）轻绳的长度.
[答案] 设 到达最高点的速度为 ，由牛顿第二定律有
（1分）
根据能量守恒定律有
（2分）
解得 （1分）
2. [2022福建，12分]如图， 形滑板 静置在粗糙水平面上，滑板右端固定一劲度系数为 的轻质弹簧，弹簧左端与一小物块 相连，弹簧处于原长状态.一小物块 以初速度 从滑板最左端滑入，滑行 后与 发生完全非弹性碰撞（碰撞时间极短），然后一起向右运动；一段时间后，滑板 也开始运动.已知 、 、 的质量均为 ，滑板与小物块、滑板与地面之间的动摩擦因数均为 ，重力加速度大小为 ；最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，弹簧始终处于弹性限度内.求：
（1） 在碰撞前瞬间的速度大小；
[答案] 小物块 与 碰撞前， 对 的摩擦力 （1分）
由于 、 整体受到地面的最大静摩擦力为 ，故小物块 运动至刚要与物块 相碰前的过程， 、 静止不动（1分）
对该过程，根据动能定理可得
（1分）
解得 （1分）
（2） 与 碰撞过程损失的机械能；
[答案] 物块 、 发生完全非弹性碰撞，根据动量守恒定律可得
（1分）
解得 （1分）
故 与 碰撞过程中损失的机械能为
（2分）
（3）从 与 相碰后到 开始运动的过程， 和 克服摩擦力所做的功.
[答案] 滑板 刚要滑动时，对滑板 ，由平衡条件可得
（2分）
即滑板 开始运动前物块 和物块 一起运动的位移大小为
（1分）
从 与 相碰后到 开始运动的过程， 和 克服摩擦力所做的功为 （1分）
3. [2022浙江6月选考，12分]如图所示，在竖直面内，一质量为 的物块 静置于悬点 正下方的 点，以速度 逆时针转动的传送带 与直轨道 、 、 处于同一水平面上， 、 、 的长度均为 .圆弧形细管道 半径为 ， 在竖直直径上， 点高度为 .开始时，与物块 相同的物块 悬挂于 点，并向左拉开一定的高度 由静止下摆，细线始终张紧，摆到最低点时恰好与 发生弹性正碰.已知 ， ， ， ， ，物块与 、 之间的动摩擦因数 ，轨道 和管道 均光滑，物块 落到 时不反弹且静止.忽略 、 和 、 之间的空隙， 与 平滑连接，物块可视为质点.
（1）若 ，求 、 碰撞后瞬时物块 的速度 的大小；
[答案] 物块 从 高度摆到最低点有 （1分）
与 发生弹性正碰有
联立解得 （1分）
（2）物块 在 最高点时，求管道对物块的作用力 与 间满足的关系；
[答案] 以竖直向下为正方向
物块 在 最高点时有 （1分）
物块 由 点到 点的过程中有 （2分）
从 释放时，滑块 运动到 点时速度恰好为零
（1分）
联立解得 （1分）
（3）若物块 释放高度 ，求物块 最终静止的位置 值的范围（以 点为坐标原点，水平向右为正，建立 轴）.
[答案] 当 时
物块 由 点水平抛出则有 （1分）
（1分）
当 时
从 释放时，滑块 运动到距 点右侧 处速度恰好为零（1分）
滑块 由 点速度为零，返回到 时距 点右侧 处速度恰好为零（1分）
（1分）
4. [2022全国乙，20分]如图（a）,一质量为 的物块 与轻质弹簧连接，静止在光滑水平面上；物块 向 运动， 时与弹簧接触，到 时与弹簧分离，第一次碰撞结束， 、 的 图像如图（b）所示.已知从 到 时间内，物块 运动的距离为 、 分离后， 滑上粗糙斜面，然后滑下，与一直在水平面上运动的 再次碰撞，之后 再次滑上斜面，达到的最高点与前一次相同.斜面倾角为 ,与水平面光滑连接.碰撞过程中弹簧始终处于弹性限度内.求
图（a）
图（b）
（1）第一次碰撞过程中，弹簧弹性势能的最大值；
[答案] 水平面光滑，故在水平面上两物块碰撞过程动量守恒，从 与弹簧接触到弹簧第一次压缩到最短过程中有
①（1分）
其中 ②（1分）
可得 ③
该过程中机械能守恒，设弹簧最大弹性势能为 ，得
④（2分）
由①②③④得 ⑤.（2分）
（2）第一次碰撞过程中，弹簧压缩量的最大值；
[答案] 由图像知 时间内物块 与物块 的位移差等于弹簧的最大压缩量，也就是题图中该段时间物块 、 图线所夹面积，物块 在 时间内的位移 （图中深灰色阴影面积），即 时间内， 图像中 线与 轴所夹面积.
过程中，由动量守恒定律有
（1分）
结合运动学知识有 （1分）
解得 （ 在 时间内的位移,图中阴影面积）
最大压缩量为 .（2分）
（3）物块 与斜面间的动摩擦因数.
[答案] 设物块 第一次从斜面滑到平面上时的速度为 ,物块 （含弹簧）回到水平面，第二次与 相互作用过程系统机械能守恒、动量守恒.则有
⑧（2分）
⑨（2分）
由⑧⑨得 （另一解舍去）
物块 第一次从斜面底端滑到最高点的过程，由动能定理有
（2分）
物块 第一次从最高点滑到水平面的过程，由动能定理有
（2分）
由 得 .（2分）
题组七
1. [2022广东，11分]某同学受自动雨伞开伞过程的启发，设计了如图所示的物理模型.竖直放置在水平桌面上的滑杆上套有一个滑块，初始时它们处于静止状态.当滑块从 处以初速度 为 向上滑动时,受到滑杆的摩擦力 为 .滑块滑到 处与滑杆发生完全非弹性碰撞，带动滑杆离开桌面一起竖直向上运动.已知滑块的质量 ，滑杆的质量 , 、 间的距离 ,重力加速度 取 ,不计空气阻力.求：
（1）滑块在静止时和向上滑动的过程中,桌面对滑杆支持力的大小 和 ;
[答案] 滑块静止时，滑块和滑杆均处于静止状态，以滑块和滑杆整体为研究对象，由平衡条件可知
（1分）
滑块向上滑动时，滑杆受重力、滑块对其向上的摩擦力以及桌面的支持力，则有 （1分）
代入数据得 （1分）
（2）滑块碰撞前瞬间的速度大小 ;
[答案] 解法一 碰前，滑块向上做匀减速直线运动，由牛顿第二定律得 （1分）
解得 ，方向向下
由运动学公式得 （1分）
代入数据得 （1分）
解法二 由动能定理得
代入数据解得
（3）滑杆向上运动的最大高度 .
[答案] 滑块和滑杆发生的碰撞为完全非弹性碰撞，根据动量守恒定律有 （2分）
代入数据得
此后滑块与滑杆一起竖直向上运动，根据动能定理有
（2分）
代入数据得 （1分）
2. [2021广东，11分]算盘是我国古老的计算工具，中心带孔的相同算珠可在算盘的固定导杆上滑动，使用前算珠需要归零.如图所示，水平放置的算盘中有甲、乙两颗算珠未在归零位置，甲靠边框 ,甲、乙相隔 ,乙与边框 相隔 ,算珠与导杆间的动摩擦因数 .现用手指将甲以 的初速度拨出，甲、乙碰撞后甲的速度大小为 ,方向不变，碰撞时间极短且不计，重力加速度 取 .
（1）通过计算，判断乙算珠能否滑动到边框 ；
[答案] 设甲算珠与乙碰撞前的速度为 ，甲、乙算珠的质量均为
对甲算珠在导杆上滑动，由动能定理有
（1分）
解得
甲、乙算珠碰撞，由动量守恒定律有
（1分）
解得碰后瞬间乙算珠的速度
对乙算珠，由动能定理有 （1分）
解得 ，所以乙算珠恰能滑动到边框 处（2分）
（2）求甲算珠从拨出到停下所需的时间.
[答案] 甲算珠与乙算珠碰撞前、后运动的加速度大小
（1分）
甲算珠与乙算珠碰撞前的运动时间
（1分）
甲算珠与乙算珠碰撞后甲运动的距离
（1分）
故甲算珠与乙算珠碰撞后的运动时间
（1分）
所以甲算珠从拨出到停下所需的时间
（2分）
3. [2020浙江7月选考，12分]小明将如图所示的装置放在水平地面上，该装置由弧形轨道、竖直圆轨道、水平直轨道 和倾角 的斜轨道 平滑连接而成.质量 的小滑块从弧形轨道离地高 处静止释放.已知 , ,滑块与轨道 和 间的动摩擦因数均为 ,弧形轨道和圆轨道均可视为光滑，忽略空气阻力.
（1）求滑块运动到与圆心 等高的 点时对轨道的压力；
[答案] 小滑块从开始至 点，由机械能守恒定律得
（1分）
由牛顿第二定律得 （1分）
在 点时由牛顿第三定律得 ,方向水平向左（1分）
（2）通过计算判断滑块能否冲出斜轨道的末端 点；
[答案] 能在斜轨道上到达的最高点为 点，由功能关系得
（2分）
得 ，故不会冲出（1分）
（3）若滑下的滑块与静止在水平直轨道上距 点 处的质量为 的小滑块相碰，碰后一起运动，动摩擦因数仍为 ，求它们在轨道 上到达的高度 与 之间的关系.（碰撞时间不计， ， ）
[答案] 滑块运动到距 点 处的速度为 ,由动能定理得
（1分）
碰撞后的速度为 ,由动量守恒定律得 （1分）
设碰撞后滑块滑到斜轨道的高度为 ,由动能定理得
（2分）
得 （1分）
（1分）
4. [2020山东，16分]如图所示，一倾角为 的固定斜面的底端安装一弹性挡板， 、 两物块的质量分别为 和 ， 静止于斜面上 处.某时刻， 以沿斜面向上的速度 与 发生弹性碰撞. 与斜面间的动摩擦因数等于 ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力. 与斜面间无摩擦，与挡板之间的碰撞无动能损失.两物块均可以看作质点，斜面足够长， 的速度减为零之前 不会与之发生碰撞.重力加速度大小为 .
（1）求 与 第一次碰撞后瞬间各自的速度大小 、 ；
[答案] 与 的第一次碰撞，取 的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得 ①（1分）
由机械能守恒定律得 ②（1分）
联立①②式得 ③
④
故第一次碰撞后 的速度大小为 , 的速度大小为 （1分）
（2）求第 次碰撞使物块 上升的高度 ；
[答案] 设 、 第一次碰撞后 上升的高度为 ，对 由运动学公式得 ⑤（1分）
联立①②⑤式得 ⑥（1分）
设 运动至与 刚要发生第二次碰撞前的位置时速度为 ，第一次碰后至第二次碰前，对 由动能定理得
⑦
联立①②⑤⑦式得 ⑧
P与 的第二次碰撞，设碰后 与 的速度分别为 、 ，由动量守恒定律得 ⑨
由机械能守恒定律得 ⑩
联立①②⑤⑦⑨⑩式得
设第二次碰撞后 上升的高度为 ，对 由运动学公式得
联立①②⑤⑦⑨⑩ 式得 （1分）
设 运动至与 刚要发生第三次碰撞前的位置时速度为 ，第二次碰后至第三次碰前，对 由动能定理得
联立①②⑤⑦⑨⑩ 式得
P与 的第三次碰撞，设碰后 与 的速度分别为 、 ，由动量守恒定律得
由机械能守恒定律得
联立①②⑤⑦⑨⑩ 式得
设第三次碰撞后 上升的高度为 ，对 由运动学公式得
联立①②⑤⑦⑨⑩ 式得
（1分）
……
总结可知，第 次碰撞后，物块 上升的高度为
（1分）
（3）求物块 从 点上升的总高度 ；
[答案] 当 、 达到 时，两物块到此处的速度可视为零，对两物块运动全过程由动能定理得
（1分）
解得 （1分）
（4）为保证在 的速度减为零之前 不会与之发生碰撞，求 点与挡板之间的最小距离 .
[答案] 设 第一次碰撞至速度减为零需要的时间为 ,由运动学公式得 （1分）
设 运动到斜面底端时的速度为 ,需要的时间为 ,由运动学公式得 （1分）
（1分）
设 从 点到 第一次碰后速度减为零处匀减速运动的时间为
（1分）
当 点与挡板之间的距离最小时 （1分）
联立 式，代入数据得 （1分）
题组八
1. [2022山东，16分]如图所示，“ ”形平板 静置在地面上，小物块 处于平板 上的 点， 点左侧粗糙，右侧光滑.用不可伸长的轻绳将质量为 的小球悬挂在 点正上方的 点，轻绳处于水平拉直状态.将小球由静止释放，下摆至最低点与小物块 发生碰撞,碰后小球速度方向与碰前方向相同，开始做简谐运动（要求摆角小于 ）， 以速度 沿平板滑动直至与 右侧挡板发生弹性碰撞.一段时间后， 返回到 点的正下方时，相对于地面的速度减为零，此时小球恰好第一次上升到最高点.已知 的质量 ， 的质量 ， 与 的动摩擦因数 ， 与地面间的动摩擦因数 ， ，取重力加速度 .整个过程中 始终在 上，所有碰撞时间忽略不计,不计空气阻力，求：
（1） 与 的挡板碰撞后，二者的速度大小 与 ；
[答案] 由于 点右侧光滑，则 匀速运动至与 发生弹性碰撞，对 、 的碰撞过程，有
（1分）
（1分）
联立解得 ， .（1分）
（2） 光滑部分的长度 ；
[答案] 与 碰撞后，假设 停止时， 还未进入 的粗糙部分，对 的减速过程，由牛顿第二定律有
（1分）
由运动学规律有 （1分）
联立解得 ，
对 越过 后的减速过程，由牛顿第二定律有
由运动学规律有
联立解得 ，
因为 ，与题设矛盾，故假设不成立，则 停止前， 已经越过 点（1分）
【说明】 返回到 点的正下方时，相对于地面的速度减为0，则 应与 相等.
A越过 后，对 的减速过程，由牛顿第二定律有
（1分）
解得
作出 、 碰后到均停止过程的 图像如图所示
则图中 部分的面积与 部分的面积相等，均等于
设 向左匀速运动的时间为 ，则有
（1分）
代入数据解得 （ 不合题意，舍去）
则 .（1分）
（3）运动过程中 对 的摩擦力所做的功 ;
[答案] 结合 图像可知 在 摩擦力的作用下产生的位移
（1分）
则
代入数据解得 .（1分）
（4）实现上述运动过程， 的取值范围（结果用 表示） .
[答案] 结合上述分析， 向右匀速运动的时间
A向左运动的总时间为
则单摆的运动周期 （1分）
对小球从释放到与 碰撞的过程，由动能定理得
（1分）
小球与 碰撞的过程，由动量守恒定律有 （1分）
①当碰后小球摆角恰为 时，有
（1分）
联立并代入数据解得 不合题意，舍去）
②当碰后小球摆角恰为 时，有
代入数据解得
则 的取值范围为 ， （1分）
2. [2021海南，12分]如图，一长木板在光滑的水平面上以速度 向右做匀速直线运动，将一小滑块无初速度地轻放在木板最右端.已知滑块和木板的质量分别为 和 ，它们之间的动摩擦因数为 ，重力加速度为 .
（1）滑块相对木板静止时，求它们的共同速度大小；
[答案] 整个过程中，滑块和木板组成的系统动量守恒，有
（2分）
解得共同速度大小为 （1分）
（2）某时刻木板速度是滑块的2倍，求此时滑块到木板最右端的距离；
[答案] 对滑块和木板组成的系统有 （1分）
（1分）
其中
解得此时滑块到木板最右端的距离为 （1分）
（3）若滑块轻放在木板最右端的同时，给木板施加一水平向右的外力，使得木板保持匀速直线运动，直到滑块相对木板静止，求此过程中滑块的运动时间以及外力所做的功.
[答案] 对滑块有 （1分）
解得 （1分）
对木板有 （1分）
木板运动的位移 （1分）
故外力所做的功 （1分）
解得 （1分）
3. [2020天津，16分]长为 的轻绳上端固定，下端系着质量为 的小球 ，处于静止状态. 受到一个水平瞬时冲量后在竖直平面内做圆周运动，恰好能通过圆周轨迹的最高点.当 回到最低点时，质量为 的小球 与之迎面正碰，碰后 、 粘在一起，仍做圆周运动，并能通过圆周轨迹的最高点.不计空气阻力，重力加速度为 ，求:
（1） 受到的水平瞬时冲量 的大小；
[答案] 恰好能通过圆周轨迹的最高点，此时轻绳的拉力刚好为零，设 在最高点时的速度大小为 ，由牛顿第二定律，有
①（2分）
A从最低点到最高点的过程中机械能守恒，取轨迹最低点处重力势能为零，设 在最低点的速度大小为 ,有
②（2分）
由动量定理，有 ③（2分）
联立①②③式，得 ④（2分）
（2）碰撞前瞬间 的动能 至少多大？
[答案] 设两球粘在一起时的速度大小为 , 、 粘在一起后恰能通过圆周轨迹的最高点，需满足 ⑤（2分）
要达到上述条件，碰后两球速度方向必须与碰前 的速度方向相同，以此方向为正方向，设 碰前瞬间的速度大小为 ,由动量守恒定律,有
⑥（2分）
又 ⑦（2分）
联立①②⑤⑥⑦式,得碰撞前瞬间 的动能 至少为
⑧（2分）
4. [2019全国Ⅰ，20分]竖直面内一倾斜轨道与一足够长的水平轨道通过一小段光滑圆弧平滑连接，小物块 静止于水平轨道的最左端，如图（a）所示. 时刻，小物块 在倾斜轨道上从静止开始下滑，一段时间后与 发生弹性碰撞（碰撞时间极短）；当 返回到倾斜轨道上的 点（图中未标出）时，速度减为0，此时对其施加一外力，使其在倾斜轨道上保持静止.物块 运动的 图像如图（b）所示，图中的 和 均为未知量.已知 的质量为 ，初始时 与 的高度差为 ，重力加速度大小为 ，不计空气阻力.
图（a）
图（b）
（1）求物块 的质量；
[答案] 根据题图（b）可知, 为物块 在碰撞前瞬间速度的大小, 为其碰撞后瞬间速度的大小.设物块 的质量为 ,碰撞后瞬间的速度大小为 .由动量守恒定律和机械能守恒定律有
①（1分）
②（1分）
联立①②式得 ③（2分）
（2）在图（b）所描述的整个运动过程中，求物块 克服摩擦力所做的功；
[答案] 在图（b）所描述的运动中,设物块 与轨道间的滑动摩擦力大小为 ,下滑过程中所走过的路程为 ,返回过程中所走过的路程为 , 点的高度为 ,整个过程中克服摩擦力所做的功为 .由动能定理有
④（1分）
⑤（1分）
从图（b）所给出的 图线可知 ⑥（1分）
⑦（1分）
由几何关系 ⑧（1分）
物块 在整个过程中克服摩擦力所做的功为 ⑨（1分）
联立④⑤⑥⑦⑧⑨式可得 ⑩（2分）
（3）已知两物块与轨道间的动摩擦因数均相等.在物块 停止运动后，改变物块与轨道间的动摩擦因数，然后将 从 点释放，一段时间后 刚好能与 再次碰上.求改变前后动摩擦因数的比值.
[答案] 设倾斜轨道倾角为 ,物块与轨道间的动摩擦因数在改变前为 ,有 （2分）
设物块 在水平轨道上能够滑行的距离为 ,由动能定理有
（2分）
设改变后的动摩擦因数为 ,由动能定理有
（2分）
联立①③④⑤⑥⑦⑧⑩ 式可得 （2分）
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