2019-2023年物理高考真题分类练--专题十二 电磁感应（有解析）
文档属性
| 名称 | 2019-2023年物理高考真题分类练--专题十二 电磁感应（有解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.8MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 物理 | ||
| 更新时间 | 2024-04-27 13:20:37 | ||
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文档简介
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2019-2023年物理高考真题分类
专题十二 电磁感应
楞次定律和法拉第电磁感应定律的基本应用
题组一
一、选择题
1. [2023全国乙，6分]一学生小组在探究电磁感应现象时，进行了如下比较实验.用图（a）所示的缠绕方式，将漆包线分别绕在几何尺寸相同的有机玻璃管和金属铝管上，漆包线的两端与电流传感器接通.两管皆竖直放置，将一很小的强磁体分别从管的上端由静止释放，
图（a）
在管内下落至管的下端.实验中电流传感器测得的两管上流过漆包线的电流 随时间 的变化分别如图（b）和 图（c）所示，分析可知( )
图（b） 图（c）
A. 图（c）是用玻璃管获得的图像
B. 在铝管中下落，小磁体做匀变速运动
C. 在玻璃管中下落，小磁体受到的电磁阻力始终保持不变
D. 用铝管时测得的电流第一个峰到最后一个峰的时间间隔比用玻璃管时的短
2. [2023海南，3分]汽车测速利用了电磁感应现象，汽车可简化为一个矩形线圈 ，埋在地下的线圈分别为1、2，通上顺时针（俯视）方向电流，当汽车经过线圈时( )
A. 线圈1、2产生的磁场方向竖直向上
B. 汽车进入线圈1过程产生感应电流方向为
C. 汽车离开线圈1过程产生感应电流方向为
D. 汽车进入线圈2过程受到的安培力方向与速度方向相同
3. [2022江苏，4分]如图所示，半径为 的圆形区域内有垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度 随时间 的变化规律为 ， 、 为常量，则图中半径为 的单匝圆形线圈中产生的感应电动势大小为( )
A. B. C. D.
4. [2021北京，3分]某同学搬运如图所示的磁电式电流表时，发现表针晃动剧烈且不易停止.按照老师建议，该同学在两接线柱间接一根导线后再次搬运，发现表针晃动明显减弱且能很快停止.下列说法正确的是( )
A. 未接导线时，表针晃动过程中表内线圈不产生感应电动势
B. 未接导线时，表针晃动剧烈是因为表内线圈受到安培力的作用
C. 接上导线后，表针晃动过程中表内线圈不产生感应电动势
D. 接上导线后，表针晃动减弱是因为表内线圈受到安培力的作用
二、非选择题
5. [2022上海，4分]如图，半径为 的金属圆环里，有一个垂直于纸面向里且半径为 的圆形区域匀强磁场，磁感应强度的大小为 .若增大该区域内的磁感应强度，则金属圆环的感应电流方向为 （选填“顺时针”或“逆时针”）;若保持圆形区域内磁场的磁感应强度大小不变，方向变化 ，则金属圆环的磁通量变化的大小为 .
6. [2022全国乙，12分]如图，一不可伸长的细绳的上端固定，下端系在边长为 的正方形金属框的一个顶点上.金属框的一条对角线水平，其下方有方向垂直于金属框所在平面的匀强磁场.已知构成金属框的导线单位长度的阻值为 ；在 到 时间内,磁感应强度大小随时间 的变化关系为 .求
（1） 时金属框所受安培力的大小；
（2）在 到 时间内金属框产生的焦耳热.
7. [2019江苏，15分]如图所示,匀强磁场中有一个用软导线制成的单匝闭合线圈,线圈平面与磁场垂直.已知线圈的面积 、电阻 ,磁场的磁感应强度 .现同时向两侧拉动线圈,线圈的两边在 时间内合到一起.求线圈在上述过程中
（1）感应电动势的平均值 ;
（2）感应电流的平均值 ,并在图中标出电流方向;
（3）通过导线横截面的电荷量 .
题组二
一、选择题
1. [2023全国甲，6分，多选]一有机玻璃管竖直放在水平地面上，管上有漆包线绕成的线圈，线圈的两端与电流传感器相连，线圈在玻璃管上部的5匝均匀分布，下部的3匝也均匀分布，下部相邻两匝间的距离大于上部相邻两匝间的距离,如图（a）所示.现让一个很小的强磁体在玻璃管内沿轴线从上端口由静止下落，电流传感器测得线圈中电流 随时间 的变化如图（b）所示.则( )
图（a）
图（b）
A. 小磁体在玻璃管内下降速度越来越快
B. 下落过程中，小磁体的 极、 极上下颠倒了8次
C. 下落过程中，小磁体受到的电磁阻力始终保持不变
D. 与上部相比，小磁体通过线圈下部的过程中，磁通量变化率的最大值更大
2. [2023辽宁，4分]如图，空间中存在水平向右的匀强磁场，一导体棒绕固定的竖直轴 在磁场中匀速转动，且始终平行于 .导体棒两端的电势差 随时间 变化的图像可能正确的是( )
图（a） 图（b）俯视图
A.
B.
C.
D.
3. [2022河北，4分]将一根绝缘硬质细导线顺次绕成如图所示的线圈,其中大圆面积为 ,小圆面积均为 ,垂直线圈平面方向有随时间 变化的磁场,磁感应强度大小 , 和 均为常量,则线圈中总的感应电动势大小为( )
A. B. C. D.
4. [2021山东，3分]迷你系绳卫星在地球赤道正上方的电离层中，沿圆形轨道绕地飞行.系绳卫星由两子卫星组成，它们之间的导体绳沿地球半径方向，如图所示.在电池和感应电动势的共同作用下，导体绳中形成指向地心的电流，等效总电阻为 .导体绳所受的安培力克服大小为 的环境阻力，可使卫星保持在原轨道上.已知卫星离地平均高度为 ，导体绳长为 ，地球半径为 ，质量为 ，轨道处磁感应强度大小为 ，方向垂直于赤道平面.忽略地球自转的影响.据此可得，电池电动势为( )
A. B. C. D.
5. [2021河北，4分]如图，两光滑导轨水平放置在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为 .导轨间距最窄处为一狭缝，取狭缝所在处 点为坐标原点.狭缝右侧两导轨与 轴夹角均为 ，一电容为 的电容器与导轨左端相连.导轨上的金属棒与 轴垂直，在外力 作用下从 点开始以速度 向右匀速运动，忽略所有电阻.下列说法正确的是( )
A. 通过金属棒的电流为
B. 金属棒到达 时，电容器极板上的电荷量为
C. 金属棒运动过程中，电容器的上极板带负电
D. 金属棒运动过程中，外力 做功的功率恒定
二、非选择题
6. [2021天津，16分]如图所示，两根足够长的平行光滑金属导轨 、 间距 ，其电阻不计，两导轨及其构成的平面均与水平面成 角， 、 两端接有 的电阻.一金属棒 垂直导轨放置， 两端与导轨始终有良好接触，已知 的质量 ，电阻 ，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度大小 . 在平行于导轨向上的拉力作用下，以初速度 沿导轨向上开始运动，可达到最大速度 .运动过程中拉力的功率恒定不变，重力加速度 .
（1）求拉力的功率 ；
（2） 开始运动后，经 速度达到 ，此过程中 克服安培力做功 ，求该过程中 沿导轨的位移大小 .
7. [2020全国Ⅲ，12分]如图，一边长为 的正方形金属框 固定在水平面内，空间存在方向垂直于水平面、磁感应强度大小为 的匀强磁场.一长度大于 的均匀导体棒以速率 自左向右在金属框上匀速滑过，滑动过程中导体棒始终与 垂直且中点位于 上，导体棒与金属框接触良好.已知导体棒单位长度的电阻为 ,金属框电阻可忽略.将导体棒与 点之间的距离记为 ，求导体棒所受安培力的大小随 变化的关系式.
题组三
一、选择题
1. [2023江苏，4分]如图所示，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场, 导体棒的 端位于圆心,棒的中点 位于磁场区域的边缘.现使导体棒绕 点在纸面内逆时针转动, 、 、 点电势分别为 、 、 ，则( )
A. B.
C. D.
2. [2022重庆，4分]如图1所示，光滑的平行导电轨道水平固定在桌面上，轨道间连接一可变电阻，导体杆与轨道垂直并接触良好（不计杆和轨道的电阻），整个装置处在垂直于轨道平面向上的匀强磁场中.杆在水平向右的拉力作用下先后两次都由静止开始做匀加速直线运动，两次运动中拉力大小与速率的关系如图2所示.其中，第一次对应直线①，初始拉力大小为 ，改变电阻阻值和磁感应强度大小后，第二次对应直线②，初始拉力大小为 ，两直线交点的纵坐标为 .若第一次和第二次运动中的磁感应强度大小之比为 、电阻的阻值之比为 、杆从静止开始运动相同位移的时间之比为 ，则 、 、 可能为( )
图1 图2
A. 、 、 B. 、 、
C. 、 、 D. 、 、
3. [2022全国甲，6分]三个用同样的细导线做成的刚性闭合线框，正方形线框的边长与圆线框的直径相等，圆线框的半径与正六边形线框的边长相等，如图所示.把它们放入磁感应强度随时间线性变化的同一匀强磁场中，线框所在平面均与磁场方向垂直，正方形、圆形和正六边形线框中感应电流的大小分别为 、 和 .则 ( )
A. B. C. D.
4. [2021广东，6分，多选]如图所示，水平放置足够长光滑金属导轨 和 , 与 平行, 是以 为圆心的圆弧导轨.圆弧 左侧和扇形 内有方向如图的匀强磁场.金属杆 的 端与 点用导线相接, 端与圆弧 接触良好.初始时,可滑动的金属杆 静止在平行导轨上.若杆 绕 点在匀强磁场区内从 到 匀速转动时,回路中始终有电流,则此过程中,下列说法正确的有( )
A. 杆 产生的感应电动势恒定 B. 杆 受到的安培力不变
C. 杆 做匀加速直线运动 D. 杆 中的电流逐渐减小
二、非选择题
5. [2022北京，12分]指南针是利用地磁场指示方向的装置，它的广泛使用促进了人们对地磁场的认识.现代科技可以实现对地磁场的精确测量.
（1）如图1所示，两同学把一根长约 的电线两端用其他导线连接一个电压表，迅速摇动这根电线.若电线中间位置的速度约 ，电压表的最大示数约 .粗略估算该处地磁场磁感应强度的大小 .
图1
（2）如图2所示，一矩形金属薄片，其长为 ，宽为 ，厚为 .大小为 的恒定电流从电极 流入、从电极 流出,当外加与薄片垂直的匀强磁场时， 、 两电极间产生的电压为 .已知薄片单位体积中导电的电子数为 ,电子的电荷量为 .求磁感应强度的大小 .
图2
（3）假定（2）中的装置足够灵敏，可用来测量北京地区地磁场磁感应强度的大小和方向,请说明测量的思路.
6. [2020浙江7月选考，10分]如图1所示，在绝缘光滑水平桌面上，以 为原点、水平向右为正方向建立 轴，在 区域内存在方向竖直向上的匀强磁场.桌面上有一边长 、电阻 的正方形线框 ,当平行于磁场边界的 边进入磁场时，在沿 方向的外力 作用下以 的速度做匀速运动，直到 边进入磁场时撤去外力.若以 边进入磁场时作为计时起点，在 内磁感应强度 的大小与时间 的关系如图2所示，在 内线框始终做匀速运动.
图1
图2
（1）求外力 的大小；
（2）在 内存在连续变化的磁场，求磁感应强度 的大小与时间 的关系；
（3）求在 内流过导线横截面的电荷量 .
电磁感应的综合应用
题组四
一、选择题
1. [2023辽宁，6分，多选]如图，两根光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，左、右两侧导轨间距分别为 和 ,处于竖直向上的磁场中，磁感应强度大小分别为 和 .已知导体棒 的电阻为 、长度为 ,导体棒 的电阻为 、长度为 , 的质量是 的2倍.初始时刻两棒静止，两棒中点之间连接一压缩量为 的轻质绝缘弹簧.释放弹簧，两棒在各自磁场中运动直至停止，弹簧始终在弹性限度内.整个过程中两棒保持与导轨垂直并接触良好，导轨足够长且电阻不计.下列说法正确的是( )
A. 弹簧伸展过程中，回路中产生顺时针方向的电流
B. 速率为 时， 所受安培力大小为
C. 整个运动过程中， 与 的路程之比为
D. 整个运动过程中，通过 的电荷量为
2. [2023浙江6月选考，3分]如图所示，质量为 、电阻为 、长为 的导体棒，通过两根长均为 、质量不计的导电细杆连在等高的两固定点上，固定点间距也为 .细杆通过开关 可与直流电源 或理想二极管串接.在导体棒所在空间存在磁感应强度方向竖直向上、大小为 的匀强磁场，不计空气阻力和其他电阻.开关 接1，当导体棒静止时，细杆与竖直方向的夹角 ；然后开关 接2,棒从右侧开始运动完成一次振动的过程中( )
A. 电源电动势
B. 棒消耗的焦耳热
C. 从左向右运动时,最大摆角小于
D. 棒两次过最低点时感应电动势大小相等
3. [2022湖北，4分，多选]如图所示，两平行导轨在同一水平面内.一导体棒垂直放在导轨上，棒与导轨间的动摩擦因数恒定.整个装置置于匀强磁场中，磁感应强度大小恒定，方向与金属棒垂直、与水平向右方向的夹角 可调.导体棒沿导轨向右运动，现给导体棒通以图示方向的恒定电流，适当调整磁场方向，可以使导体棒沿导轨做匀加速运动或匀减速运动.已知导体棒加速时，加速度的最大值为 ；减速时，加速度的最大值为 ，其中 为重力加速度大小.下列说法正确的是( )
A. 棒与导轨间的动摩擦因数为
B. 棒与导轨间的动摩擦因数为
C. 加速阶段加速度大小最大时，磁场方向斜向下，
D. 减速阶段加速度大小最大时，磁场方向斜向上，
4. [2022山东，4分，多选]如图所示， 平面的第一、三象限内以坐标原点 为圆心、半径为 的扇形区域充满方向垂直纸面向外的匀强磁场.边长为 的正方形金属框绕其始终在 点的顶点、在 平面内以角速度 顺时针匀速转动. 时刻，金属框开始进入第一象限.不考虑自感影响，关于金属框中感应电动势 随时间 变化规律的描述正确的是( )
A. 在 到 的过程中， 一直增大
B. 在 到 的过程中， 先增大后减小
C. 在 到 的过程中， 的变化率一直增大
D. 在 到 的过程中， 的变化率一直减小
5. [2021全国甲，6分，多选]由相同材料的导线绕成边长相同的甲、乙两个正方形闭合线圈，两线圈的质量相等，但所用导线的横截面积不同，甲线圈的匝数是乙的2倍.现两线圈在竖直平面内从同一高度同时由静止开始下落，一段时间后进入一方向垂直于纸面的匀强磁场区域，磁场的上边界水平，如图所示.不计空气阻力，已知下落过程中线圈始终平行于纸面，上、下边保持水平.在线圈下边进入磁场后且上边进入磁场前，可能出现的是( )
A. 甲和乙都加速运动 B. 甲和乙都减速运动
C. 甲加速运动，乙减速运动 D. 甲减速运动，乙加速运动
二、非选择题
6. [2022重庆，12分]某同学以金属戒指为研究对象，探究金属物品在变化磁场中的热效应.如图所示，戒指可视为周长为 、横截面积为 、电阻率为 的单匝圆形线圈，放置在匀强磁场中，磁感应强度方向垂直于戒指平面.若磁感应强度大小在 时间内从0均匀增加到 ，求：
（1）戒指中的感应电动势和电流；
（2）戒指中电流的热功率.
题组五
一、选择题
1. [2022上海，4分]如图，一个正方形导线框以初速度 向右穿过一个有界的匀强磁场.线框两次速度发生变化所用时间分别为 和 ，这两段时间内克服安培力做的功分别为 和 ，则( )
A. , B. ，
C. , D. ，
2. [2021山东，4分，多选]如图所示，电阻不计的光滑 形金属导轨固定在绝缘斜面上.区域Ⅰ、Ⅱ中磁场方向均垂直斜面向上，Ⅰ区中磁感应强度随时间均匀增加，Ⅱ区中为匀强磁场.阻值恒定的金属棒从无磁场区域中 处由静止释放，进入Ⅱ区后，经 下行至 处反向上行.运动过程中金属棒始终垂直导轨且接触良好.在第一次下行和上行的过程中，以下叙述正确的是( )
A. 金属棒下行过 时的速度大于上行过 时的速度
B. 金属棒下行过 时的加速度大于上行过 时的加速度
C. 金属棒不能回到无磁场区
D. 金属棒能回到无磁场区，但不能回到 处
3. [2020全国Ⅰ，6分，多选]如图， 形光滑金属框 置于水平绝缘平台上， 和 边平行，和 边垂直. 、 足够长，整个金属框电阻可忽略.一根具有一定电阻的导体棒 置于金属框上，用水平恒力 向右拉动金属框，运动过程中，装置始终处于竖直向下的匀强磁场中， 与金属框保持良好接触，且与 边保持平行.经过一段时间后( )
A. 金属框的速度大小趋于恒定值
B. 金属框的加速度大小趋于恒定值
C. 导体棒所受安培力的大小趋于恒定值
D. 导体棒到金属框 边的距离趋于恒定值
4. [2020浙江7月选考，3分]如图所示，固定在水平面上的半径为 的金属圆环内存在方向竖直向上、磁感应强度大小为 的匀强磁场.长为 的金属棒，一端与圆环接触良好，另一端固定在竖直导电转轴 上，随轴以角速度 匀速转动，在圆环的 点和电刷间接有阻值为 的电阻和电容为 、板间距为 的平行板电容器，有一带电微粒在电容器极板间处于静止状态.已知重力加速度为 ，不计其他电阻和摩擦，下列说法正确的是( )
A. 棒产生的电动势为 B. 微粒的电荷量与质量之比为
C. 电阻消耗的电功率为 D. 电容器所带的电荷量为
二、非选择题
5. [2023全国甲，20分]如图，水平桌面上固定一光滑 型金属导轨，其平行部分的间距为 ，导轨的最右端与桌子右边缘对齐，导轨的电阻忽略不计.导轨所在区域有方向竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为 .一质量为 、电阻为 、长度也为 的金属棒 静止在导轨上.导轨上质量为 的绝缘棒 位于 的左侧，以大小为 的速度向 运动并与 发生弹性碰撞，碰撞时间极短.碰撞一次后， 和 先后从导轨的最右端滑出导轨，并落在地面上同一地点. 在导轨上运动时，两端与导轨接触良好， 与 始终平行.不计空气阻力.求
（1）金属棒 滑出导轨时的速度大小；
（2）金属棒 在导轨上运动过程中产生的热量；
（3）与 碰撞后，绝缘棒 在导轨上运动的时间.
6. [2022上海，16分]如图甲，间距为 的两导轨固定，导轨间存在着垂直于纸面且磁感应强度 的匀强磁场，虚线框Ⅰ、Ⅱ中有定值电阻 和最大阻值为 的滑动变阻器 （均未画出）.一根与导轨间距相等的金属杆以恒定速率向右运动，图乙和图丙分别为滑动变阻器全部接入和一半接入时沿 方向电势变化的图像.
图甲
图乙
图丙
（1）判断匀强磁场的方向;
（2）分析并说明定值电阻 是在Ⅰ中还是Ⅱ中，并求 的大小;
（3）求金属杆运动时的速率;
（4）滑动变阻器阻值为多少时消耗的功率最大 求出该最大功率 .
题组六
一、选择题
1. [2022全国甲，6分，多选]如图，两根相互平行的光滑长直金属导轨固定在水平绝缘桌面上，在导轨的左端接入电容为 的电容器和阻值为 的电阻.质量为 、阻值也为 的导体棒 静止于导轨上，与导轨垂直，且接触良好，导轨电阻忽略不计，整个系统处于方向竖直向下的匀强磁场中.开始时，电容器所带的电荷量为 ,合上开关 后，( )
A. 通过导体棒 电流的最大值为
B. 导体棒 向右先加速、后匀速运动
C. 导体棒 速度最大时所受的安培力也最大
D. 电阻 上产生的焦耳热大于导体棒 上产生的焦耳热
2. [2021福建，6分，多选]如图， 、 是两根固定在水平面内的光滑平行金属导轨，间距为 ，导轨足够长且电阻可忽略不计.图中 矩形区域内有方向垂直导轨平面向上、磁感应强度大小为 的匀强磁场.在 时刻，两均匀金属棒 、 分别从磁场边界 、 进入磁场，速度大小均为 ；一段时间后，流经 棒的电流为0，此时 ， 棒仍位于磁场区域内.已知金属棒 、 由相同材料制成，长度均为 ，电阻分别为 和 ， 棒的质量为 .在运动过程中两金属棒始终与导轨垂直且接触良好， 、 棒没有相碰，则( )
A. 时刻 棒的加速度大小为
B. 时刻 棒的速度为0
C. 时间内，通过 棒横截面的电荷量是 棒的2倍
D. 时间内， 棒产生的焦耳热为
3. [2021辽宁，6分，多选]如图（a）所示，两根间距为 、足够长的光滑平行金属导轨竖直放置并固定，顶端接有阻值为 的电阻.垂直导轨平面存在变化规律如图（b）所示的匀强磁场， 时磁场方向垂直纸面向里.在 到 的时间内，金属棒水平固定在距导轨顶端 处； 时，释放金属棒.整个过程中金属棒与导轨接触良好，导轨与金属棒的电阻不计，则( )
图（a）
图（b）
A. 在 时，金属棒受到安培力的大小为
B. 在 时，金属棒中电流的大小为
C. 在 时，金属棒受到安培力的方向竖直向上
D. 在 时，金属棒中电流的方向向右
4. [2020山东，4分，多选]如图所示，平面直角坐标系的第一和第二象限分别存在磁感应强度大小相等、方向相反且垂直于坐标平面的匀强磁场，图中虚线方格为等大正方形.一位于 平面内的刚性导体框 在外力作用下以恒定速度沿 轴正方向运动（不发生转动）.从图示位置开始计时， 末 边刚好进入磁场.在此过程中，导体框内感应电流的大小为 ， 边所受安培力的大小为 ，二者与时间 的关系图像可能正确的是( )
A. B. C. D.
二、非选择题
5. [2023湖南，14分]如图，两根足够长的光滑金属直导轨平行放置，导轨间距为 ，两导轨及其所构成的平面均与水平面成 角，整个装置处于垂直于导轨平面斜向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为 .现将质量均为 的金属棒 、 垂直导轨放置，每根金属棒接入导轨之间的电阻均为 .运动过程中金属棒与导轨始终垂直且接触良好，金属棒始终未滑出导轨，导轨电阻忽略不计，重力加速度为 .
（1）先保持棒 静止，将棒 由静止释放，求棒 匀速运动时的速度大小 ;
（2）在（1）问中，当棒 匀速运动时，再将棒 由静止释放，求释放瞬间棒 的加速度大小 ；
（3）在（2）问中，从棒 释放瞬间开始计时，经过时间 ，两棒恰好达到相同的速度 ，求速度 的大小，以及时间 内棒 相对于棒 运动的距离 .
6. [2022湖北，15分]如图所示，高度足够的匀强磁场区域下边界水平、左右边界竖直，磁场方向垂直于纸面向里.正方形单匝线框 的边长 、回路电阻 、质量 .线框平面与磁场方向垂直，线框的 边与磁场左边界平齐， 边与磁场下边界的距离也为 .现对线框施加与水平向右方向成 角、大小为 的恒力 ，使其在图示竖直平面内由静止开始运动.从 边进入磁场开始，在竖直方向线框做匀速运动； 边进入磁场时， 边恰好到达磁场右边界.重力加速度大小取 ，求：
（1） 边进入磁场前，线框在水平方向和竖直方向的加速度大小；
（2）磁场的磁感应强度大小和线框进入磁场的整个过程中回路产生的焦耳热；
（3）磁场区域的水平宽度.
题组七
一、选择题
1. [2022河北，6分，多选]如图,两光滑导轨水平放置在竖直向下的匀强磁场中,一根导轨位于 轴上,另一根由 、 、 三段直导轨组成,其中 段与 轴平行,导轨左端接入一电阻 .导轨上一金属棒 沿 轴正向以速度 保持匀速运动, 时刻通过坐标原点 ,金属棒始终与 轴垂直.设运动过程中通过电阻的电流强度为 ,金属棒受到安培力的大小为 ,金属棒克服安培力做功的功率为 ,电阻两端的电压为 ,导轨与金属棒接触良好,忽略导轨与金属棒的电阻.下列图像可能正确的是( )
A. B.
C. D.
2. [2022湖南，5分，多选]如图，间距 的 形金属导轨，一端接有 的定值电阻 ，固定在高 的绝缘水平桌面上.质量均为 的匀质导体棒 和 静止在导轨上，两导体棒与导轨接触良好且始终与导轨垂直，接入电路的阻值均为 ，与导轨间的动摩擦因数均为 （设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），导体棒 距离导轨最右端 .整个空间存在竖直向下的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度大小为 .用 沿导轨水平向右的恒力拉导体棒 ，当导体棒 运动到导轨最右端时，导体棒 刚要滑动，撤去 ，导体棒 离开导轨后落到水平地面上.重力加速度取 ，不计空气阻力，不计其他电阻，下列说法正确的是( )
A. 导体棒 离开导轨至落地过程中，水平位移为
B. 导体棒 离开导轨至落地前，其感应电动势不变
C. 导体棒 在导轨上运动的过程中，导体棒 有向右运动的趋势
D. 导体棒 在导轨上运动的过程中，通过电阻 的电荷量为
3. [2021北京，3分]如图所示，在竖直向下的匀强磁场中，水平 形导体框左端连接一阻值为 的电阻，质量为 、电阻为 的导体棒 置于导体框上.不计导体框的电阻、导体棒与框间的摩擦. 以水平向右的初速度 开始运动，最终停在导体框上.在此过程中 ( )
A. 导体棒做匀减速直线运动
B. 导体棒中感应电流的方向为
C. 电阻 消耗的总电能为
D. 导体棒克服安培力做的总功小于
4. [2021湖南，5分，多选]两个完全相同的正方形匀质金属框,边长为 ，通过长为 的绝缘轻质杆相连，构成如图所示的组合体.距离组合体下底边 处有一方向水平、垂直纸面向里的匀强磁场.磁场区域上下边界水平，高度为 ，左右宽度足够大.把该组合体在垂直磁场的平面内以初速度 水平无旋转抛出，设置合适的磁感应强度大小 使其匀速通过磁场，不计空气阻力.下列说法正确的是( )
A. 与 无关，与 成反比
B. 通过磁场的过程中，金属框中电流的大小和方向保持不变
C. 通过磁场的过程中，组合体克服安培力做功的功率与重力做功的功率相等
D. 调节 、 和 ,只要组合体仍能匀速通过磁场，则其通过磁场的过程中产生的热量不变
二、非选择题
5. （2023新课标理综，20分）一边长为 、质量为 的正方形金属细框，每边电阻为 ，置于光滑的绝缘水平桌面（纸面）上.宽度为 的区域内存在方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度大小为 ，两虚线为磁场边界，如图（a）所示.
图（a）
（1）使金属框以一定的初速度向右运动，进入磁场.运动过程中金属框的左、右边框始终与磁场边界平行，金属框完全穿过磁场区域后，速度大小降为它初速度的一半，求金属框的初速度大小.
（2）在桌面上固定两条光滑长直金属导轨，导轨与磁场边界垂直，左端连接电阻 ，导轨电阻可忽略，金属框置于导轨上，如图（b）所示.让金属框以与（1）中相同的初速度向右运动，进入磁场.运动过程中金属框的上、下边框处处与导轨始终接触良好.求在金属框整个运动过程中，电阻 产生的热量.
图（b）
6. [2022辽宁，18分]如图所示，两平行光滑长直金属导轨水平放置，间距为 区域有匀强磁场，磁感应强度大小为 ，方向竖直向上.初始时刻，磁场外的细金属杆 以初速度 向右运动，磁场内的细金属杆 处于静止状态.两金属杆与导轨接触良好且运动过程中始终与导轨垂直.两杆的质量均为 ，在导轨间的电阻均为 ，感应电流产生的磁场及导轨的电阻忽略不计.
（1）求 刚进入磁场时受到的安培力 的大小和方向；
（2）若两杆在磁场内未相撞且 出磁场时的速度为 ，求: 在磁场内运动过程中通过回路的电荷量 ；②初始时刻 到 的最小距离 ；
（3）初始时刻，若 到 的距离与第（2）问初始时刻的相同、到 的距离为 ，求 出磁场后不与 相撞条件下 的取值范围.
专题十二 电磁感应
楞次定律和法拉第电磁感应定律的基本应用
题组一
一、选择题
1. [2023全国乙，6分]一学生小组在探究电磁感应现象时，进行了如下比较实验.用图（a）所示的缠绕方式，将漆包线分别绕在几何尺寸相同的有机玻璃管和金属铝管上，漆包线的两端与电流传感器接通.两管皆竖直放置，将一很小的强磁体分别从管的上端由静止释放，
图（a）
在管内下落至管的下端.实验中电流传感器测得的两管上流过漆包线的电流 随时间 的变化分别如图（b）和 图（c）所示，分析可知( A )
图（b） 图（c）
A. 图（c）是用玻璃管获得的图像
B. 在铝管中下落，小磁体做匀变速运动
C. 在玻璃管中下落，小磁体受到的电磁阻力始终保持不变
D. 用铝管时测得的电流第一个峰到最后一个峰的时间间隔比用玻璃管时的短
[解析]
2. [2023海南，3分]汽车测速利用了电磁感应现象，汽车可简化为一个矩形线圈 ，埋在地下的线圈分别为1、2，通上顺时针（俯视）方向电流，当汽车经过线圈时( C )
A. 线圈1、2产生的磁场方向竖直向上
B. 汽车进入线圈1过程产生感应电流方向为
C. 汽车离开线圈1过程产生感应电流方向为
D. 汽车进入线圈2过程受到的安培力方向与速度方向相同
[解析] 由右手螺旋定则可知，线圈1、2形成的磁场方向都是竖直向下的， 错；汽车进入线圈1时，线圈 中向下的磁通量增大，由楞次定律可判断，线圈 中的感应电流方向与线圈1反向，是逆时针，即感应电流方向为 ，同理，汽车离开线圈1时，线圈 中向下的磁通量减小，线圈 中的感应电流方向是顺时针，即感应电流方向为 ，故 错， 对；安培力为阻力，与速度方向相反， 错.
3. [2022江苏，4分]如图所示，半径为 的圆形区域内有垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度 随时间 的变化规律为 ， 、 为常量，则图中半径为 的单匝圆形线圈中产生的感应电动势大小为( A )
A. B. C. D.
[解析]
4. [2021北京，3分]某同学搬运如图所示的磁电式电流表时，发现表针晃动剧烈且不易停止.按照老师建议，该同学在两接线柱间接一根导线后再次搬运，发现表针晃动明显减弱且能很快停止.下列说法正确的是( D )
A. 未接导线时，表针晃动过程中表内线圈不产生感应电动势
B. 未接导线时，表针晃动剧烈是因为表内线圈受到安培力的作用
C. 接上导线后，表针晃动过程中表内线圈不产生感应电动势
D. 接上导线后，表针晃动减弱是因为表内线圈受到安培力的作用
[解析] 未接导线时，表针晃动过程中表内线圈产生感应电动势，但不构成闭合回路，故不产生感应电流，不受安培力作用， 、 错误；接上导线后，表针晃动过程中表内线圈产生感应电动势，在闭合回路中产生感应电流，受到安培力的作用，是电磁阻尼的表现， 错误， 正确.
二、非选择题
5. [2022上海，4分]如图，半径为 的金属圆环里，有一个垂直于纸面向里且半径为 的圆形区域匀强磁场，磁感应强度的大小为 .若增大该区域内的磁感应强度，则金属圆环的感应电流方向为逆时针（2分）（选填“顺时针”或“逆时针”）;若保持圆形区域内磁场的磁感应强度大小不变，方向变化 ，则金属圆环的磁通量变化的大小为 （2分）.
[解析] 半径为 的圆形区域内，匀强磁场的磁场方向垂直纸面向里，若增大该区域的磁感应强度，由磁通量公式 可知，金属圆环内磁通量增大，由楞次定律可知，金属圆环中产生的感应电流方向为逆时针方向.若保持圆形区域内磁场的磁感应强度大小不变，方向变化 ，则金属圆环的磁通量变化的大小为 .
6. [2022全国乙，12分]如图，一不可伸长的细绳的上端固定，下端系在边长为 的正方形金属框的一个顶点上.金属框的一条对角线水平，其下方有方向垂直于金属框所在平面的匀强磁场.已知构成金属框的导线单位长度的阻值为 ；在 到 时间内,磁感应强度大小随时间 的变化关系为 .求
（1） 时金属框所受安培力的大小；
[答案] 安培力 ①（1分）
时， ②（1分）
又 ， ③（2分）
④（1分）
L为等效长度，大小等于正方形对角线的长度 ⑤（1分）
将②③④⑤代入①得 .（2分）
（2）在 到 时间内金属框产生的焦耳热.
[答案] 时间内金属框产生的焦耳热 ⑥（2分）
解得 .（2分）
7. [2019江苏，15分]如图所示,匀强磁场中有一个用软导线制成的单匝闭合线圈,线圈平面与磁场垂直.已知线圈的面积 、电阻 ,磁场的磁感应强度 .现同时向两侧拉动线圈,线圈的两边在 时间内合到一起.求线圈在上述过程中
（1）感应电动势的平均值 ;
[答案] 感应电动势的平均值 （2分）
磁通量的变化量 （2分）
解得 ，代入数据得
（2分）
（2）感应电流的平均值 ,并在图中标出电流方向;
[答案] 平均电流 （2分）
代入数据得 （电流方向见图）（3分）
（3）通过导线横截面的电荷量 .
[答案] 电荷量 （2分）
代入数据得 （2分）
题组二
一、选择题
1. [2023全国甲，6分，多选]一有机玻璃管竖直放在水平地面上，管上有漆包线绕成的线圈，线圈的两端与电流传感器相连，线圈在玻璃管上部的5匝均匀分布，下部的3匝也均匀分布，下部相邻两匝间的距离大于上部相邻两匝间的距离,如图（a）所示.现让一个很小的强磁体在玻璃管内沿轴线从上端口由静止下落，电流传感器测得线圈中电流 随时间 的变化如图（b）所示.则( AD )
图（a）
图（b）
A. 小磁体在玻璃管内下降速度越来越快
B. 下落过程中，小磁体的 极、 极上下颠倒了8次
C. 下落过程中，小磁体受到的电磁阻力始终保持不变
D. 与上部相比，小磁体通过线圈下部的过程中，磁通量变化率的最大值更大
[解析] 对于小磁体，可以忽略其与较远线圈的电磁感应现象，只考虑与最近一匝线圈的电磁感应，则由图（b）可知，小磁体依次通过每匝线圈时产生的感应电流最大值逐渐增大，结合法拉第电磁感应定律和闭合电路欧姆定律可知，小磁体通过每匝线圈时的磁通量变化率越来越大，即小磁体在玻璃管内下降的速度越来越快， 正确；下落过程中，小磁体在水平方向受的合力为零，故小磁体的的 极、 极上下没有颠倒， 错误；小磁体下落过程中受到的电磁阻力实质就是安培力，根据安培力公式可知，下落过程中，小磁体受到的电磁阻力并不是始终保持不变的， 错误；由图（b）可知，与上部相比，小磁体通过线圈下部的过程中，感应电流的最大值更大，故磁通量变化率的最大值更大， 正确.
【易错警示】 本题B项容易误选.电流方向的改变不是因为小磁体 极、 极颠倒，而是因为小磁体穿过每个线圈过程中，线圈中磁通量先增后减.
2. [2023辽宁，4分]如图，空间中存在水平向右的匀强磁场，一导体棒绕固定的竖直轴 在磁场中匀速转动，且始终平行于 .导体棒两端的电势差 随时间 变化的图像可能正确的是( C )
图（a） 图（b）俯视图
A.
B.
C.
D.
[解析] 设导体棒的长度为 ，做匀速圆周运动的线速度大小为 ，经过一段时间 导体棒的速度方向与初始速度方向的夹角为 ，则 ，如图所示，此时导体棒的有效切割速度为 ，则导体棒在匀速转动的过程中，导体棒两端的电势差为 ， 正确， 错误.
【考情速递】 本题看似复杂，但如果能够把空间中导体棒的旋转切割转化为平面内的运动，问题就变得简单.有些试题往往看似复杂，但仔细分析，会发现并不难，考生容易被试题表象所蒙蔽.
3. [2022河北，4分]将一根绝缘硬质细导线顺次绕成如图所示的线圈,其中大圆面积为 ,小圆面积均为 ,垂直线圈平面方向有随时间 变化的磁场,磁感应强度大小 , 和 均为常量,则线圈中总的感应电动势大小为( D )
A. B. C. D.
[解析] 由法拉第电磁感应定律得 ，由题意可知 ，可得 ， 正确.
4. [2021山东，3分]迷你系绳卫星在地球赤道正上方的电离层中，沿圆形轨道绕地飞行.系绳卫星由两子卫星组成，它们之间的导体绳沿地球半径方向，如图所示.在电池和感应电动势的共同作用下，导体绳中形成指向地心的电流，等效总电阻为 .导体绳所受的安培力克服大小为 的环境阻力，可使卫星保持在原轨道上.已知卫星离地平均高度为 ，导体绳长为 ，地球半径为 ，质量为 ，轨道处磁感应强度大小为 ，方向垂直于赤道平面.忽略地球自转的影响.据此可得，电池电动势为( A )
A. B. C. D.
[解析] 由 可得卫星做圆周运动的线速度 ，根据右手定则可知，导体绳产生的感应电动势方向与图中电源电动势相反，其大小为 ，由导体绳受力平衡有 ，导体绳中的电流方向向下，回路中的电流 ，解得 ， 项正确.
5. [2021河北，4分]如图，两光滑导轨水平放置在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为 .导轨间距最窄处为一狭缝，取狭缝所在处 点为坐标原点.狭缝右侧两导轨与 轴夹角均为 ，一电容为 的电容器与导轨左端相连.导轨上的金属棒与 轴垂直，在外力 作用下从 点开始以速度 向右匀速运动，忽略所有电阻.下列说法正确的是( A )
A. 通过金属棒的电流为
B. 金属棒到达 时，电容器极板上的电荷量为
C. 金属棒运动过程中，电容器的上极板带负电
D. 金属棒运动过程中，外力 做功的功率恒定
[解析] 金属棒向右运动时间 时,位移 ，此时产生的感应电动势 ，又根据电容器的带电荷量 ，可知电流 ，选项 正确；根据上述分析可知，金属棒到达 时电动势 ，此时电容器的带电荷量 ，选项 错误； 根据右手定则可知电容器上极板带正电，选项 错误；根据上述分析可知，金属棒中电流 恒定，磁感应强度 和 都恒定，又外力 与安培力等大反向，则外力做功的功率 ,可知外力 做功的功率随时间增加，选项 错误.
二、非选择题
6. [2021天津，16分]如图所示，两根足够长的平行光滑金属导轨 、 间距 ，其电阻不计，两导轨及其构成的平面均与水平面成 角， 、 两端接有 的电阻.一金属棒 垂直导轨放置， 两端与导轨始终有良好接触，已知 的质量 ，电阻 ，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度大小 . 在平行于导轨向上的拉力作用下，以初速度 沿导轨向上开始运动，可达到最大速度 .运动过程中拉力的功率恒定不变，重力加速度 .
（1）求拉力的功率 ；
[答案] 在 运动过程中，由于拉力功率恒定， 做加速度逐渐减小的加速运动，速度达到最大时，加速度为零，设此时拉力的大小为 ，安培力大小为 ，有 （2分）
设此时回路中的感应电动势为 ，由法拉第电磁感应定律，有
（2分）
设回路中的感应电流为 ，由闭合电路欧姆定律，有 （2分）
受到的安培力 （2分）
由功率表达式，有 （2分）
联立上述各式，代入数据解得 （2分）
（2） 开始运动后，经 速度达到 ，此过程中 克服安培力做功 ，求该过程中 沿导轨的位移大小 .
[答案] 从速度 到 的过程中，由动能定理，有
（2分）
代入数据解得 （2分）
7. [2020全国Ⅲ，12分]如图，一边长为 的正方形金属框 固定在水平面内，空间存在方向垂直于水平面、磁感应强度大小为 的匀强磁场.一长度大于 的均匀导体棒以速率 自左向右在金属框上匀速滑过，滑动过程中导体棒始终与 垂直且中点位于 上，导体棒与金属框接触良好.已知导体棒单位长度的电阻为 ,金属框电阻可忽略.将导体棒与 点之间的距离记为 ，求导体棒所受安培力的大小随 变化的关系式.
[答案] 当导体棒与金属框接触的两点间棒的长度为 时，由法拉第电磁感应定律知，导体棒上感应电动势的大小为 ①（2分）
由欧姆定律知，流过导体棒的感应电流为 ②（2分）
式中， 为这一段导体棒的电阻.按题意有 ③（2分）
此时导体棒所受安培力大小为 ④（2分）
由题设和几何关系有
⑤（2分）
联立①②③④⑤式得
（2分）
题组三
一、选择题
1. [2023江苏，4分]如图所示，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场, 导体棒的 端位于圆心,棒的中点 位于磁场区域的边缘.现使导体棒绕 点在纸面内逆时针转动, 、 、 点电势分别为 、 、 ，则( A )
A. B.
C. D.
[解析] 导体棒 段旋转切割磁感线，根据右手定则可知 ； 段不切割磁感线，属于等势体，则 ，故 , 对， 错.
2. [2022重庆，4分]如图1所示，光滑的平行导电轨道水平固定在桌面上，轨道间连接一可变电阻，导体杆与轨道垂直并接触良好（不计杆和轨道的电阻），整个装置处在垂直于轨道平面向上的匀强磁场中.杆在水平向右的拉力作用下先后两次都由静止开始做匀加速直线运动，两次运动中拉力大小与速率的关系如图2所示.其中，第一次对应直线①，初始拉力大小为 ，改变电阻阻值和磁感应强度大小后，第二次对应直线②，初始拉力大小为 ，两直线交点的纵坐标为 .若第一次和第二次运动中的磁感应强度大小之比为 、电阻的阻值之比为 、杆从静止开始运动相同位移的时间之比为 ，则 、 、 可能为( C )
图1 图2
A. 、 、 B. 、 、
C. 、 、 D. 、 、
[解析]
3. [2022全国甲，6分]三个用同样的细导线做成的刚性闭合线框，正方形线框的边长与圆线框的直径相等，圆线框的半径与正六边形线框的边长相等，如图所示.把它们放入磁感应强度随时间线性变化的同一匀强磁场中，线框所在平面均与磁场方向垂直，正方形、圆形和正六边形线框中感应电流的大小分别为 、 和 .则 ( C )
A. B. C. D.
[解析] 设线框的面积为 ，周长为 ，导线的横截面积为 ，由法拉第电磁感应定律可知，线框中感应电动势 ，而线框的总电阻 ，所以线框中感应电流 ，由于三个线框处于同一线性变化的磁场中，且绕制三个线框的导线相同，设正方形线框的边长为 ，则三个线框的面积分别为 , , ，三个线框的周长分别为 ， ， ，则 ， 项正确.
【快解秘诀】 线框中的感应电动势 ，设单位长度的导线的电阻为 ，则 ，联立上式知 ,则 ： ： ，C项正确.
4. [2021广东，6分，多选]如图所示，水平放置足够长光滑金属导轨 和 , 与 平行, 是以 为圆心的圆弧导轨.圆弧 左侧和扇形 内有方向如图的匀强磁场.金属杆 的 端与 点用导线相接, 端与圆弧 接触良好.初始时,可滑动的金属杆 静止在平行导轨上.若杆 绕 点在匀强磁场区内从 到 匀速转动时,回路中始终有电流,则此过程中,下列说法正确的有( AD )
A. 杆 产生的感应电动势恒定 B. 杆 受到的安培力不变
C. 杆 做匀加速直线运动 D. 杆 中的电流逐渐减小
[解析] 杆 绕 点在匀强磁场区域内从 到 以角速度 匀速转动时，旋转切割产生的感应电动势为 ，其大小恒定，选项 正确；由右手定则可知，回路中产生逆时针方向的感应电流，对 杆由左手定则可知，其受到向左的安培力，向左做加速运动，切割磁感线产生反电动势，故电路中的电流逐渐减小，杆 所受的安培力减小、加速度减小，杆 受到的安培力也减小，故 、 错误， 正确.
【快解秘诀】 杆 匀速转动，则安培力方向随时发生改变，B项错误.
二、非选择题
5. [2022北京，12分]指南针是利用地磁场指示方向的装置，它的广泛使用促进了人们对地磁场的认识.现代科技可以实现对地磁场的精确测量.
（1）如图1所示，两同学把一根长约 的电线两端用其他导线连接一个电压表，迅速摇动这根电线.若电线中间位置的速度约 ，电压表的最大示数约 .粗略估算该处地磁场磁感应强度的大小 .
图1
[答案] 电线中间位置速度约 ，则整体平均速度
由 可估算出该处地磁场磁感应强度 的大小为 （3分）
（2）如图2所示，一矩形金属薄片，其长为 ，宽为 ，厚为 .大小为 的恒定电流从电极 流入、从电极 流出,当外加与薄片垂直的匀强磁场时， 、 两电极间产生的电压为 .已知薄片单位体积中导电的电子数为 ,电子的电荷量为 .求磁感应强度的大小 .
图2
[答案] 设导电电子定向移动的速率为 ， 时间内通过横截面的电荷量为 ，有 （2分）
导电电子定向移动过程中，在 方向受到的电场力与洛伦兹力平衡，有 （2分）
得 （1分）
（3）假定（2）中的装置足够灵敏，可用来测量北京地区地磁场磁感应强度的大小和方向,请说明测量的思路.
[答案] 如图，建立三维直角坐标系
设地磁场磁感应强度在三个坐标轴方向的分量分别为 、 、 .把金属薄片置于 平面内， 、 两极间产生电压 仅取决于 .由（2）得 （1分）
由 的正负（ 、 两极电势的高低）和电流 的方向可以确定 的方向.（1分）
同理，把金属薄片置于 平面内，可得 的大小和方向；把金属薄片置于 平面内，可得 的大小和方向，则地磁场的磁感应强度的大小为 （1分）
根据 、 、 的大小和方向可确定北京地区地磁场的磁感应强度的方向.（1分）
6. [2020浙江7月选考，10分]如图1所示，在绝缘光滑水平桌面上，以 为原点、水平向右为正方向建立 轴，在 区域内存在方向竖直向上的匀强磁场.桌面上有一边长 、电阻 的正方形线框 ,当平行于磁场边界的 边进入磁场时，在沿 方向的外力 作用下以 的速度做匀速运动，直到 边进入磁场时撤去外力.若以 边进入磁场时作为计时起点，在 内磁感应强度 的大小与时间 的关系如图2所示，在 内线框始终做匀速运动.
图1
图2
（1）求外力 的大小；
[答案] ,
回路电流 （1分）
安培力 （1分）
外力 （1分）
（2）在 内存在连续变化的磁场，求磁感应强度 的大小与时间 的关系；
[答案] 匀速出磁场，电流为0,磁通量不变
时， ,磁通量 （1分）
时刻，磁通量 （1分）
得 （1分）
（3）求在 内流过导线横截面的电荷量 .
[答案] 时电荷量 （1分）
时电荷量 （1分）
1. 时电荷量 （1分）
总电荷量 （1分）
电磁感应的综合应用
题组四
一、选择题
1. [2023辽宁，6分，多选]如图，两根光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，左、右两侧导轨间距分别为 和 ,处于竖直向上的磁场中，磁感应强度大小分别为 和 .已知导体棒 的电阻为 、长度为 ,导体棒 的电阻为 、长度为 , 的质量是 的2倍.初始时刻两棒静止，两棒中点之间连接一压缩量为 的轻质绝缘弹簧.释放弹簧，两棒在各自磁场中运动直至停止，弹簧始终在弹性限度内.整个过程中两棒保持与导轨垂直并接触良好，导轨足够长且电阻不计.下列说法正确的是( AC )
A. 弹簧伸展过程中，回路中产生顺时针方向的电流
B. 速率为 时， 所受安培力大小为
C. 整个运动过程中， 与 的路程之比为
D. 整个运动过程中，通过 的电荷量为
[解析] 弹簧伸展的过程中，穿过闭合回路的磁通量向上增加，由楞次定律可判断回路中的电流方向为顺时针， 正确；设 的质量为 ，则 的质量为 ，对 由动量定理得 ，对 由动量定理得 ，解得导体棒 与 的速度关系为 ， 速率为 时，回路中的感应电动势大小为 ，回路中的感应电流大小为 ，则 所受的安培力大小为 ， 错误；整个运动过程中， 的加速度为 ， 的加速度为 ，则 ，由 选项分析可知 与 的速率之比为 ，则由公式 可知 与 的路程之比为 ， 正确；由 选项分析可知两导体棒静止时， 的位移大小为 ， 的位移大小为 ，由法拉第电磁感应定律得 ，又 ，通过 的电荷量为 ，整理得 ，代入数据解得 ， 错误.
2. [2023浙江6月选考，3分]如图所示，质量为 、电阻为 、长为 的导体棒，通过两根长均为 、质量不计的导电细杆连在等高的两固定点上，固定点间距也为 .细杆通过开关 可与直流电源 或理想二极管串接.在导体棒所在空间存在磁感应强度方向竖直向上、大小为 的匀强磁场，不计空气阻力和其他电阻.开关 接1，当导体棒静止时，细杆与竖直方向的夹角 ；然后开关 接2,棒从右侧开始运动完成一次振动的过程中( C )
A. 电源电动势
B. 棒消耗的焦耳热
C. 从左向右运动时,最大摆角小于
D. 棒两次过最低点时感应电动势大小相等
[解析] 作出静止时导体棒的受力图如图所示，由于 ,故安培力 ，又 ，电流 ，解得 ， 错；开关 接2，导体棒先向左运动，回路中有电流，棒会产生焦耳热，然后由于重力的作用，棒向右运动，由于二极管的作用，此过程回路中无电流，棒不会产生焦耳热，故导体棒完成一次全振动，在最低点时速度不为0，即 ，由能量守恒定律可知棒完成一次振动的过程消耗的焦耳热满足 ,所以 ， 错；导体棒从右向左摆动，会产生焦耳热，故由能量守恒定律可知，其从右向左运动的最大摆角小于 ，由对称性可知导体棒从左向右摆动时，最大摆角也小于 ， 对；导体棒第二次通过最低点的速度小于第一次通过最低点的速度，故两次通过最低点的速度大小不等，由 可知，产生的感应电动势大小也不相等， 错.
【考情速递】 通过开关、导体棒与电源和二极管相连，是本题最大的创新点，本题通过一个背景考查了多个物理模型.（1）考查安培力作用下导体棒的平衡；（2）判断动生电动势方向，考查电磁感应电流方向能否通过二极管，从而判断电路的通与断.
3. [2022湖北，4分，多选]如图所示，两平行导轨在同一水平面内.一导体棒垂直放在导轨上，棒与导轨间的动摩擦因数恒定.整个装置置于匀强磁场中，磁感应强度大小恒定，方向与金属棒垂直、与水平向右方向的夹角 可调.导体棒沿导轨向右运动，现给导体棒通以图示方向的恒定电流，适当调整磁场方向，可以使导体棒沿导轨做匀加速运动或匀减速运动.已知导体棒加速时，加速度的最大值为 ；减速时，加速度的最大值为 ，其中 为重力加速度大小.下列说法正确的是( BC )
A. 棒与导轨间的动摩擦因数为
B. 棒与导轨间的动摩擦因数为
C. 加速阶段加速度大小最大时，磁场方向斜向下，
D. 减速阶段加速度大小最大时，磁场方向斜向上，
[解析] 设安培力的大小为 ,当导体棒加速且安培力方向朝右上时，导体棒的加速度才有可能最大，导体棒受力图如图甲所示，根据牛顿第二定律得 ， ，而 ,整理得 ,加速度的最大值为 .当导体棒减速且安培力方向朝左下时，导体棒的加速度才有可能最大，导体棒受力图如图乙所示，根据牛顿第二定律得 ， ，而 ,整理得 ,加速度的最大值为 .联立解得 ，所以选项 正确， 错误.加速阶段加速度大小最大时， ,根据左手定则可知磁场方向斜向下， ，即选项 正确.减速阶段加速度大小最大时， ，根据左手定则可知磁场方向斜向上， ，即选项 错误.
图甲 图乙
4. [2022山东，4分，多选]如图所示， 平面的第一、三象限内以坐标原点 为圆心、半径为 的扇形区域充满方向垂直纸面向外的匀强磁场.边长为 的正方形金属框绕其始终在 点的顶点、在 平面内以角速度 顺时针匀速转动. 时刻，金属框开始进入第一象限.不考虑自感影响，关于金属框中感应电动势 随时间 变化规律的描述正确的是( BC )
A. 在 到 的过程中， 一直增大
B. 在 到 的过程中， 先增大后减小
C. 在 到 的过程中， 的变化率一直增大
D. 在 到 的过程中， 的变化率一直减小
[解析] 如图所示，金属框切割磁感线的有效长度为 ，根据转动切割磁感线产生的感应电动势公式有 ，从图中可以看出在 到 的过程中， 是先增大到 ,再减小到 ，所以电动势 先增大后减小， 项错误, 项正确.在 到 的过程中， ，感应电动势的表达式可写为 ，由表达式可以看出在 到 的过程中， 的变化率一直增大， 项正确， 项错误.
5. [2021全国甲，6分，多选]由相同材料的导线绕成边长相同的甲、乙两个正方形闭合线圈，两线圈的质量相等，但所用导线的横截面积不同，甲线圈的匝数是乙的2倍.现两线圈在竖直平面内从同一高度同时由静止开始下落，一段时间后进入一方向垂直于纸面的匀强磁场区域，磁场的上边界水平，如图所示.不计空气阻力，已知下落过程中线圈始终平行于纸面，上、下边保持水平.在线圈下边进入磁场后且上边进入磁场前，可能出现的是( AB )
A. 甲和乙都加速运动 B. 甲和乙都减速运动
C. 甲加速运动，乙减速运动 D. 甲减速运动，乙加速运动
[解析] 由于甲、乙线圈的材料、边长和质量均相同，故导线的体积相同，而甲线圈的匝数 是乙的匝数 的2倍，因此甲的长度 是乙的长度 的2倍，甲的横截面积 是乙的横截面积 的 ，根据电阻定律 可知，甲的电阻 是乙的电阻 的4倍，则甲进入磁场后所受安培力 ，乙进入磁场后所受安培力 ，由于 、 ，故 ，由于甲、乙的质量和进入磁场时的速度都相同，故其合外力相同，加速度相同，因此甲、乙可能都加速、可能都匀速、还可能都减速，故选项 、 正确，选项 、 错误.
二、非选择题
6. [2022重庆，12分]某同学以金属戒指为研究对象，探究金属物品在变化磁场中的热效应.如图所示，戒指可视为周长为 、横截面积为 、电阻率为 的单匝圆形线圈，放置在匀强磁场中，磁感应强度方向垂直于戒指平面.若磁感应强度大小在 时间内从0均匀增加到 ，求：
（1）戒指中的感应电动势和电流；
[答案] 设戒指的半径为 ，则其周长 ，磁感应强度大小在 时间内从0均匀增加到 ，产生的感应电动势为
（2分）
可得 （2分）
戒指的电阻为 （2分）
则戒指中的感应电流为 （3分）
（2）戒指中电流的热功率.
[答案] 解法一 戒指中电流的热功率为
（3分）
解法二 由于戒指是纯电阻电路，故电流的热功率
解法三 由于戒指是纯电阻电路，故电流的热功率
题组五
一、选择题
1. [2022上海，4分]如图，一个正方形导线框以初速度 向右穿过一个有界的匀强磁场.线框两次速度发生变化所用时间分别为 和 ，这两段时间内克服安培力做的功分别为 和 ，则( B )
A. , B. ，
C. , D. ，
[解析]
2. [2021山东，4分，多选]如图所示，电阻不计的光滑 形金属导轨固定在绝缘斜面上.区域Ⅰ、Ⅱ中磁场方向均垂直斜面向上，Ⅰ区中磁感应强度随时间均匀增加，Ⅱ区中为匀强磁场.阻值恒定的金属棒从无磁场区域中 处由静止释放，进入Ⅱ区后，经 下行至 处反向上行.运动过程中金属棒始终垂直导轨且接触良好.在第一次下行和上行的过程中，以下叙述正确的是( ABD )
A. 金属棒下行过 时的速度大于上行过 时的速度
B. 金属棒下行过 时的加速度大于上行过 时的加速度
C. 金属棒不能回到无磁场区
D. 金属棒能回到无磁场区，但不能回到 处
[解析] 在Ⅰ区域中，磁感应强度为 为常量)，感应电动势为 ，感应电动势恒定，所以金属棒在进入Ⅱ区前，回路中的感应电流恒为 ，根据楞次定律判断出电流方向为顺时针，金属棒进入Ⅱ区后，金属棒切割磁感线产生的感应电动势 ，根据右手定则判断出方向为顺时针，回路中因切割产生的电流为 ，Ⅰ区域产生的电流使金属棒受到的安培力始终沿导轨向上，大小恒定不变，因为金属棒到达 点后又能上行，说明进入Ⅱ区下行时加速度始终沿导轨向上，下行和上行经过 点的受力分析分别如图1、图2所示，下行过程中，由牛顿第二定律有 ，上行过程中，由牛顿第二定律有 ，比较加速度大小可知 ，由于 段距离不变，下行过程中加速度大，上行过程中加速度小，故金属棒下行经过 点时的速度大于上行经过 点时的速度， 、 项正确；Ⅰ区域产生的安培力总是大于沿导轨向下的作用力，故金属棒一定能回到无磁场区域，由于整个过程中电流通过金属棒产生焦耳热，金属棒的机械能减少，故金属棒不能回到 处， 项错误， 项正确.
图1 图2
3. [2020全国Ⅰ，6分，多选]如图， 形光滑金属框 置于水平绝缘平台上， 和 边平行，和 边垂直. 、 足够长，整个金属框电阻可忽略.一根具有一定电阻的导体棒 置于金属框上，用水平恒力 向右拉动金属框，运动过程中，装置始终处于竖直向下的匀强磁场中， 与金属框保持良好接触，且与 边保持平行.经过一段时间后( BC )
A. 金属框的速度大小趋于恒定值
B. 金属框的加速度大小趋于恒定值
C. 导体棒所受安培力的大小趋于恒定值
D. 导体棒到金属框 边的距离趋于恒定值
[解析] 用水平恒力 向右拉动金属框， 边切割磁感线产生感应电动势，回路中有感应电流 ， 边受到水平向左的安培力作用，设金属框的质量为 ，加速度为 ，由牛顿第二定律有 ；导体棒 受到向右的安培力，向右做加速运动，设导体棒的质量为 ，加速度为 ，由牛顿第二定律有 .设金属框 边的速度为 时，导体棒的速度为 ，则回路中产生的感应电动势为 ，由闭合电路欧姆定律 ， ，可得金属框 边所受安培力和导体棒 所受的安培力均为 ,二者加速度之差 ，随着所受安培力的增大，二者加速度之差 减小，当 减小到零时， ，之后金属框和导体棒的速度之差 ,保持不变.由此可知，金属框的速度逐渐增大，金属框所受安培力趋于恒定值，金属框的加速度大小趋于恒定值，导体棒所受的安培力 趋于恒定值，选项 错误， 、 正确；导体棒到金属框 边的距离 ,随时间的增大而增大，选项 错误.
【光速解法】 对金属框， ，对导体棒， ，在闭合电路中： .刚开始金属框的加速度较大，导体棒 的加速度较小，两者速度差增大， 增大，当二者加速度相同时，速度差恒定，电流恒定，所以最终加速度大小趋于恒定值，安培力大小趋于恒定值，两者速度差不变，则导体棒到 边的距离越来越大，B、C正确.
4. [2020浙江7月选考，3分]如图所示，固定在水平面上的半径为 的金属圆环内存在方向竖直向上、磁感应强度大小为 的匀强磁场.长为 的金属棒，一端与圆环接触良好，另一端固定在竖直导电转轴 上，随轴以角速度 匀速转动，在圆环的 点和电刷间接有阻值为 的电阻和电容为 、板间距为 的平行板电容器，有一带电微粒在电容器极板间处于静止状态.已知重力加速度为 ，不计其他电阻和摩擦，下列说法正确的是( B )
A. 棒产生的电动势为 B. 微粒的电荷量与质量之比为
C. 电阻消耗的电功率为 D. 电容器所带的电荷量为
[解析] 棒产生的电动势为 ，选项 错误.金属棒电阻不计，故电容器两极板间的电压等于棒产生的电动势，微粒的重力与其受到的电场力大小相等，有 ，可得 ，选项 正确.电阻消耗的电功率 ，选项 错误.电容器所带的电荷量 ，选项 错误.
二、非选择题
5. [2023全国甲，20分]如图，水平桌面上固定一光滑 型金属导轨，其平行部分的间距为 ，导轨的最右端与桌子右边缘对齐，导轨的电阻忽略不计.导轨所在区域有方向竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为 .一质量为 、电阻为 、长度也为 的金属棒 静止在导轨上.导轨上质量为 的绝缘棒 位于 的左侧，以大小为 的速度向 运动并与 发生弹性碰撞，碰撞时间极短.碰撞一次后， 和 先后从导轨的最右端滑出导轨，并落在地面上同一地点. 在导轨上运动时，两端与导轨接触良好， 与 始终平行.不计空气阻力.求
（1）金属棒 滑出导轨时的速度大小；
[答案] 与 发生弹性碰撞，由动量守恒定律有
（1分）
由能量守恒定律有
（1分）
联立解得 ， （2分）
根据题述， 、 落到地面上同一地点，结合平抛运动规律可知，金属棒 滑出导轨时的速度大小为 （1分）
（2）金属棒 在导轨上运动过程中产生的热量；
[答案] 由能量守恒定律可得，金属棒 在导轨上运动过程中产生的热量为
（2分）
（3）与 碰撞后，绝缘棒 在导轨上运动的时间.
[答案] 在导轨上做变速运动，设速度大小为 时金属棒中产生的感应电动势大小为 ，电流大小为 ，在 时间内速度变化 ，则由法拉第电磁感应定律有 （1分）
由闭合电路欧姆定律有 （1分）
金属棒 所受的安培力 （1分）
由动量定理有 （2分）
即 （1分）
方程两侧求和得 （1分）
即 （1分）
注意到 ， （2分）
联立解得 （1分）
对绝缘棒 有 （1分）
解得与 碰撞后，绝缘棒 在导轨上运动的时间为 （1分）
6. [2022上海，16分]如图甲，间距为 的两导轨固定，导轨间存在着垂直于纸面且磁感应强度 的匀强磁场，虚线框Ⅰ、Ⅱ中有定值电阻 和最大阻值为 的滑动变阻器 （均未画出）.一根与导轨间距相等的金属杆以恒定速率向右运动，图乙和图丙分别为滑动变阻器全部接入和一半接入时沿 方向电势变化的图像.
图甲
图乙
图丙
（1）判断匀强磁场的方向;
[答案] 由电势变化图像可以看出， 点电势最高，则金属杆上端相当于电源的正极，根据右手定则可判断出匀强磁场方向为垂直纸面向里.（2分）
（2）分析并说明定值电阻 是在Ⅰ中还是Ⅱ中，并求 的大小;
[答案] 滑动变阻器接入电路的阻值减小时，回路中电流变大，定值电阻 两端电势差增大，结合题图乙、图丙可知， 、 间接定值电阻 ，即定值电阻 是在Ⅰ中.（2分）
由于两次过程， 点电势不变，所以金属杆没有电阻
对图乙过程，有
（1分）
对图丙过程，有
（1分）
联立解得 , （2分）
（3）求金属杆运动时的速率;
[答案] 金属杆切割磁感线产生的电动势
（2分）
代入数据解得 （2分）
（4）滑动变阻器阻值为多少时消耗的功率最大 求出该最大功率 .
[答案] 将定值电阻与金属杆等效为一个电源，当外电路电阻和等效电源的内阻相等时，外电路消耗功率最大，则此时滑动变阻器接入电路的电阻为 （2分）
消耗的功率 （2分）
题组六
一、选择题
1. [2022全国甲，6分，多选]如图，两根相互平行的光滑长直金属导轨固定在水平绝缘桌面上，在导轨的左端接入电容为 的电容器和阻值为 的电阻.质量为 、阻值也为 的导体棒 静止于导轨上，与导轨垂直，且接触良好，导轨电阻忽略不计，整个系统处于方向竖直向下的匀强磁场中.开始时，电容器所带的电荷量为 ,合上开关 后，( AD )
A. 通过导体棒 电流的最大值为
B. 导体棒 向右先加速、后匀速运动
C. 导体棒 速度最大时所受的安培力也最大
D. 电阻 上产生的焦耳热大于导体棒 上产生的焦耳热
[解析] 开始时电容器两极板间的电压 ，合上开关瞬间，通过导体棒的电流 ，随着电容器放电，通过电阻、导体棒的电流不断减小，所以在开关闭合瞬间，导体棒所受安培力最大， 项正确， 项错误；由于回路中有电阻与导体棒，最终电能完全转化为焦耳热，故导体棒最终必定静止， 项错误；由于导体棒切割磁感线，产生感应电动势，所以通过导体棒的电流始终小于通过电阻的电流，由焦耳定律可知，电阻 上产生的焦耳热大于导体棒 上产生的焦耳热， 项正确.
2. [2021福建，6分，多选]如图， 、 是两根固定在水平面内的光滑平行金属导轨，间距为 ，导轨足够长且电阻可忽略不计.图中 矩形区域内有方向垂直导轨平面向上、磁感应强度大小为 的匀强磁场.在 时刻，两均匀金属棒 、 分别从磁场边界 、 进入磁场，速度大小均为 ；一段时间后，流经 棒的电流为0，此时 ， 棒仍位于磁场区域内.已知金属棒 、 由相同材料制成，长度均为 ，电阻分别为 和 ， 棒的质量为 .在运动过程中两金属棒始终与导轨垂直且接触良好， 、 棒没有相碰，则( AD )
A. 时刻 棒的加速度大小为
B. 时刻 棒的速度为0
C. 时间内，通过 棒横截面的电荷量是 棒的2倍
D. 时间内， 棒产生的焦耳热为
[解析] 在 时刻，两均匀金属棒 、 分别从磁场边界 、 进入磁场，速度大小均为 ，由右手定则可判断出两金属棒产生的感应电流方向都是逆时针方向，产生的感应电动势都是 ，由闭合电路欧姆定律可得， 时刻 金属棒中的感应电流 ，受到的安培力 ，由牛顿第二定律 可得， 时刻 棒的加速度大小为 ，选项 正确；由于金属棒 、 串联构成回路，所以在 时间内，通过 棒横截面的电荷量与 棒的相同，选项 错误；由于金属棒 、 电阻分别为 和 ，金属棒 、 串联构成回路，二者电流相等，由焦耳定律可知金属棒 、 产生的焦耳热之比为 ，设 时间内， 棒产生的焦耳热为 ，则 棒产生的焦耳热为 ，又两者材料相同，由电阻定律可知，金属棒 的横截面积为 的2倍，故体积为 的2倍，质量为 的2倍，即 的质量为 ， 时刻流经 棒的电流为0，且 棒仍位于磁场区域内，说明金属棒 、 具有共同速度，由动量守恒定律有 ，解得 ，由能量守恒定律有 ，解得 ，选项 错误， 正确.
3. [2021辽宁，6分，多选]如图（a）所示，两根间距为 、足够长的光滑平行金属导轨竖直放置并固定，顶端接有阻值为 的电阻.垂直导轨平面存在变化规律如图（b）所示的匀强磁场， 时磁场方向垂直纸面向里.在 到 的时间内，金属棒水平固定在距导轨顶端 处； 时，释放金属棒.整个过程中金属棒与导轨接触良好，导轨与金属棒的电阻不计，则( BC )
图（a）
图（b）
A. 在 时，金属棒受到安培力的大小为
B. 在 时，金属棒中电流的大小为
C. 在 时，金属棒受到安培力的方向竖直向上
D. 在 时，金属棒中电流的方向向右
[解析] 在 时间内，回路中磁感应强度的变化率大小恒为 ，由法拉第电磁感应定律可得回路中产生的感应电动势 ，由闭合电路欧姆定律可得金属棒中电流 ，在 时， ，此时金属棒受到的安培力的大小 ，选项 错误, 正确；在 时，磁场方向垂直纸面向外，由楞次定律可判断出产生的感应电流方向为顺时针方向，金属棒中电流从右向左，由左手定则可判断出此时金属棒受到安培力的方向竖直向上，选项 正确； 后，磁场方向垂直纸面向外且恒定，金属棒向下运动，由右手定则可判断出金属棒中电流的方向向左，故选项 错误.
4. [2020山东，4分，多选]如图所示，平面直角坐标系的第一和第二象限分别存在磁感应强度大小相等、方向相反且垂直于坐标平面的匀强磁场，图中虚线方格为等大正方形.一位于 平面内的刚性导体框 在外力作用下以恒定速度沿 轴正方向运动（不发生转动）.从图示位置开始计时， 末 边刚好进入磁场.在此过程中，导体框内感应电流的大小为 ， 边所受安培力的大小为 ，二者与时间 的关系图像可能正确的是( BC )
A. B. C. D.
[解析] 第 内， 边切割磁感线，由 可知，感应电动势不变，导体框总电阻一定，故感应电流一定，由安培力 可知 边所受安培力与 边进入磁场的长度成正比；第 内，导体框切割磁感线的有效长度均匀增大，感应电动势均匀增大，感应电流均匀增大；第 内，导体框在第二象限内切割磁感线的有效长度保持不变，在第一象限内切割磁感线的有效长度不断增大，但两象限磁场方向相反，导体框的两部分感应电动势方向相反，所以第 末感应电动势达到最大，之后便不断减小，第 末与第 末，导体框切割磁感线的有效长度相同，可知第 末与第 末线框中产生的感应电流大小相等， 项错误， 项正确；但第 末 边进入磁场的长度是第 末的3倍，即 边所受安培力在第 末的大小等于第 末所受安培力大小的3倍， 项正确， 项错误.
二、非选择题
5. [2023湖南，14分]如图，两根足够长的光滑金属直导轨平行放置，导轨间距为 ，两导轨及其所构成的平面均与水平面成 角，整个装置处于垂直于导轨平面斜向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为 .现将质量均为 的金属棒 、 垂直导轨放置，每根金属棒接入导轨之间的电阻均为 .运动过程中金属棒与导轨始终垂直且接触良好，金属棒始终未滑出导轨，导轨电阻忽略不计，重力加速度为 .
（1）先保持棒 静止，将棒 由静止释放，求棒 匀速运动时的速度大小 ;
[答案] 棒 匀速运动时，对棒 分析，由平衡条件有
（1分）
由法拉第电磁感应定律有 （1分）
由欧姆定律有 （1分）
联立解得 （1分）
（2）在（1）问中，当棒 匀速运动时，再将棒 由静止释放，求释放瞬间棒 的加速度大小 ；
[答案] 当棒 匀速运动时，释放棒 ，分析可知，棒 受到沿导轨向下的安培力，则释放棒 的瞬间，对棒 ，由牛顿第二定律有
（1分）
又
解得 （1分）
（3）在（2）问中，从棒 释放瞬间开始计时，经过时间 ，两棒恰好达到相同的速度 ，求速度 的大小，以及时间 内棒 相对于棒 运动的距离 .
[答案] 释放棒 后，由于棒 中产生的感应电动势对于回路来说，与棒 中产生的感应电动势方向相反，所以两棒所受安培力均减小，对棒 ，由动量定理有
（1分）
对棒 ，由动量定理有
（1分）
结合（1）问结果联立解得 （1分）
设棒 速度为 时产生的感应电动势为 ，则 （1分）
同理设棒 速度为 时产生的感应电动势为 ，则
棒中电流为 （1分）
两棒所受安培力的大小均为 （1分）
对棒 ，由动量定理有mgsin θ+ （1分）
对方程两侧求和，即 mgsin θ+
注意 ， ，
解得 （1分）
【考情速递】 本题以双棒在磁场中运动为情境，综合考查法拉第电磁感应定律、受力分析、共点力平衡、牛顿第二定律、动量定理等主干内容，情境和模型对学生来说都比较熟悉，但由于过程复杂，试题还是有一定难度，体现了四层四翼中的综合性，考查学生的分析综合能力.
6. [2022湖北，15分]如图所示，高度足够的匀强磁场区域下边界水平、左右边界竖直，磁场方向垂直于纸面向里.正方形单匝线框 的边长 、回路电阻 、质量 .线框平面与磁场方向垂直，线框的 边与磁场左边界平齐， 边与磁场下边界的距离也为 .现对线框施加与水平向右方向成 角、大小为 的恒力 ，使其在图示竖直平面内由静止开始运动.从 边进入磁场开始，在竖直方向线框做匀速运动； 边进入磁场时， 边恰好到达磁场右边界.重力加速度大小取 ，求：
（1） 边进入磁场前，线框在水平方向和竖直方向的加速度大小；
[答案] 边进入磁场前，对线框进行受力分析，在水平方向有
（1分）
代入数据有 （1分）
在竖直方向有 （1分）
代入数据有 （1分）
（2）磁场的磁感应强度大小和线框进入磁场的整个过程中回路产生的焦耳热；
[答案] 边进入磁场后， 边在竖直方向切割磁感线； 边和 边的上部分也进入磁场，且在水平方向切割磁感线.但 和 边的上部分产生的感应电动势相互抵消，则整个回路的电源为 ，根据右手定则可知回路的电流方向为 ，则从 边进入磁场开始， 边受到的安培力竖直向下， 边的上部分受到的安培力水平向右， 边的上部分受到的安培力水平向左，则 边和 边的上部分受到的安培力相互抵消，故线框 受到的安培力的合力等于 边受到的竖直向下的安培力.又线框从 边进入磁场开始，在竖直方向线框做匀速运动，有
（1分）
（1分）
联立解得 （1分）
由题知，从 边进入磁场开始，在竖直方向线框做匀速运动； 边进入磁场时， 边恰好到达磁场右边界.线框进入磁场的整个过程中，线框受到的安培力为恒力，则有
（1分）
（1分）
联立解得 （1分）
（3）磁场区域的水平宽度.
[答案] 设线框从开始运动到进入磁场的整个过程所用的时间为 ，则有
（1分）
（1分）
联立解得 （1分）
结合（2）中分析可知线框在水平方向一直做匀加速直线运动，则在水平方向有
（1分）
则磁场区域的水平宽度为 （1分）
题组七
一、选择题
1. [2022河北，6分，多选]如图,两光滑导轨水平放置在竖直向下的匀强磁场中,一根导轨位于 轴上,另一根由 、 、 三段直导轨组成,其中 段与 轴平行,导轨左端接入一电阻 .导轨上一金属棒 沿 轴正向以速度 保持匀速运动, 时刻通过坐标原点 ,金属棒始终与 轴垂直.设运动过程中通过电阻的电流强度为 ,金属棒受到安培力的大小为 ,金属棒克服安培力做功的功率为 ,电阻两端的电压为 ,导轨与金属棒接触良好,忽略导轨与金属棒的电阻.下列图像可能正确的是( AC )
A. B.
C. D.
[解析] 设 ， 所在直线与 轴的夹角为 ，则金属棒匀速运动时，在金属棒上产生的感应电动势大小为 ，感应电流为 ， 的过程中 ，整理得 ，则金属棒上的感应电流随时间均匀增加，同理分析可知 的过程中感应电流不变， 的过程中感应电流随时间均匀减小， 正确， 错误；金属棒在 点时所受的安培力大小不为零， 错误；由公式 可知金属棒在 的过程中克服安培力做功的功率与时间的关系为二次函数关系，则功率随时间增加，同理结合以 的过程中功率不变， 的过程中上分析可知功率减小， 正确.
【光速解法】 本题还可以用排除法快速解题！由于 时金属棒中的感应电流不为零，则安培力一定不为零，B错误；金属棒匀速运动，有效切割长度均匀增加，则金属棒中的感应电动势均匀增加，电阻两端的电压均匀增加，D错误.
2. [2022湖南，5分，多选]如图，间距 的 形金属导轨，一端接有 的定值电阻 ，固定在高 的绝缘水平桌面上.质量均为 的匀质导体棒 和 静止在导轨上，两导体棒与导轨接触良好且始终与导轨垂直，接入电路的阻值均为 ，与导轨间的动摩擦因数均为 （设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），导体棒 距离导轨最右端 .整个空间存在竖直向下的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度大小为 .用 沿导轨水平向右的恒力拉导体棒 ，当导体棒 运动到导轨最右端时，导体棒 刚要滑动，撤去 ，导体棒 离开导轨后落到水平地面上.重力加速度取 ，不计空气阻力，不计其他电阻，下列说法正确的是( BD )
A. 导体棒 离开导轨至落地过程中，水平位移为
B. 导体棒 离开导轨至落地前，其感应电动势不变
C. 导体棒 在导轨上运动的过程中，导体棒 有向右运动的趋势
D. 导体棒 在导轨上运动的过程中，通过电阻 的电荷量为
[解析] 导体棒 向右运动时，由楞次定律可知，导体棒 有向左运动的趋势， 项错误；设导体棒 运动到最右端时的速度为 ，此时棒 切割磁感线产生的感应电动势 ,回路中的感应电流 ， ，此时棒 所受安培力为 ，导体棒 刚要滑动，故所受静摩擦力 达到最大值，此时 ，联立以上各式解得 ，导体棒 离开导轨到落地做平抛运动，有 , ，解得 ， 项错误；磁场方向竖直向下，导体棒 离开导轨后在水平方向做匀速直线运动,又 ,可知导体棒 平抛过程中感应电动势不变， 项正确；导体棒 在导轨上运动过程中，感应电动势平均值为 ，回路中平均感应电流 ，通过导体棒 的电荷量 ，联立三式解得 ，导体棒 与定值电阻 并联，所以通过电阻 的电荷量 ， 项正确.
3. [2021北京，3分]如图所示，在竖直向下的匀强磁场中，水平 形导体框左端连接一阻值为 的电阻，质量为 、电阻为 的导体棒 置于导体框上.不计导体框的电阻、导体棒与框间的摩擦. 以水平向右的初速度 开始运动，最终停在导体框上.在此过程中 ( C )
A. 导体棒做匀减速直线运动
B. 导体棒中感应电流的方向为
C. 电阻 消耗的总电能为
D. 导体棒克服安培力做的总功小于
[解析] 由右手定则可知，导体棒中感应电流的方向为 ， 错误；由左手定则可知，安培力方向向左，导体棒的速度逐渐变小，故感应电动势逐渐变小，感应电流逐渐变小，导体棒受到的安培力逐渐变小，加速度逐渐变小，故 错误；由能量守恒定律可知，总电阻消耗的总电能为 ，故电阻 消耗的总电能为 ， 正确；由动能定理可知，导体棒克服安培力做的总功等于 ， 错误.
4. [2021湖南，5分，多选]两个完全相同的正方形匀质金属框,边长为 ，通过长为 的绝缘轻质杆相连，构成如图所示的组合体.距离组合体下底边 处有一方向水平、垂直纸面向里的匀强磁场.磁场区域上下边界水平，高度为 ，左右宽度足够大.把该组合体在垂直磁场的平面内以初速度 水平无旋转抛出，设置合适的磁感应强度大小 使其匀速通过磁场，不计空气阻力.下列说法正确的是( CD )
A. 与 无关，与 成反比
B. 通过磁场的过程中，金属框中电流的大小和方向保持不变
C. 通过磁场的过程中，组合体克服安培力做功的功率与重力做功的功率相等
D. 调节 、 和 ,只要组合体仍能匀速通过磁场，则其通过磁场的过程中产生的热量不变
[解析] 组合体进入磁场前在竖直方向上做自由落体运动，进入磁场后，其在竖直方向上做匀速运动，有 ，而竖直方向上有 ，故 与 无关，但 与 成反比， 项错误；组合体通过磁场的过程中，金属框进入磁场时，根据楞次定律可知，电流沿逆时针方向，出磁场时，电流沿顺时针方向， 项错误；在组合体通过磁场的过程中，克服安培力做的功与重力做的功相等，故克服安培力做功的功率与重力做功的功率相等， 项正确；只要组合体能匀速通过磁场，从下方金属框开始进入磁场到上方金属框离开磁场的过程，组合体下落的高度为 ，由能量守恒定律得，组合体减少的重力势能等于金属框中产生的热量，即 ， 与 、 和 无关， 项正确.
二、非选择题
5. （2023新课标理综，20分）一边长为 、质量为 的正方形金属细框，每边电阻为 ，置于光滑的绝缘水平桌面（纸面）上.宽度为 的区域内存在方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度大小为 ，两虚线为磁场边界，如图（a）所示.
图（a）
（1）使金属框以一定的初速度向右运动，进入磁场.运动过程中金属框的左、右边框始终与磁场边界平行，金属框完全穿过磁场区域后，速度大小降为它初速度的一半，求金属框的初速度大小.
[答案] 设金属框的初速度大小为 ，则金属框完全穿过磁场的过程，由动量定理有
（2分）
通过线框的电流 （1分）
根据法拉第电磁感应定律有 （1分）
联立解得 （1分）
（2）在桌面上固定两条光滑长直金属导轨，导轨与磁场边界垂直，左端连接电阻 ，导轨电阻可忽略，金属框置于导轨上，如图（b）所示.让金属框以与（1）中相同的初速度向右运动，进入磁场.运动过程中金属框的上、下边框处处与导轨始终接触良好.求在金属框整个运动过程中，电阻 产生的热量.
图（b）
[答案] 金属框进入磁场的过程，有
（1分）
闭合电路的总电阻 （1分）
通过线框的电流 （1分）
根据法拉第电磁感应定律有 （1分）
解得 （1分）
金属框完全在磁场中时继续做加速度逐渐减小的减速运动，金属框的右边框和左边框为电源，两电源并联给外电路供电，假设金属框的右边框没有出磁场右边界，则有
（1分）
通过金属框的电流 （1分）
根据法拉第电磁感应定律有 （1分）
解得
故假设成立，金属框的右边框恰好停在磁场右边界处（1分）
对金属框进入磁场过程分析，由能量守恒定律有
（1分）
电阻 产生的热量为 （1分）
金属框完全在磁场中运动过程，有 （1分）
电阻 产生的热量为 （1分）
电阻 产生的总热量为 总 （1分）
解得 总 （1分）
【易错警示】 （1）图（b）情况中，金属框在进磁场时，金属框右边框切割磁感线，金属框在出磁场时，金属框左边框切割磁感线，两种情况上下两边框都被短路，解题时，极易把上下边框的电阻都考虑上，导致运算量很大，耗时很长，模型建构还错误，丢掉大量的分数.（2）金属框完全在磁场中运动时，金属框的右边框和左边框为电源，两电源并联给外电路供电，两边框中电流方向相同、所受安培力均向左减小，故金属框继续做加速度逐渐减小的减速运动，这里容易误认为金属框做匀速运动.
【考情速递】 金属框进出磁场是最常见的电磁感应模型，本题第一问就是经典模型再现.在第二问中，要考虑电路结构的变化，确定电源是第一步，确定电路的变化是第二步，由于金属导轨电阻不计，因此金属框的上下边框被短路，该物理模型在经典模型的基础上，进行了创新，反套路出题，全面考查考生的能力.
6. [2022辽宁，18分]如图所示，两平行光滑长直金属导轨水平放置，间距为 区域有匀强磁场，磁感应强度大小为 ，方向竖直向上.初始时刻，磁场外的细金属杆 以初速度 向右运动，磁场内的细金属杆 处于静止状态.两金属杆与导轨接触良好且运动过程中始终与导轨垂直.两杆的质量均为 ，在导轨间的电阻均为 ，感应电流产生的磁场及导轨的电阻忽略不计.
（1）求 刚进入磁场时受到的安培力 的大小和方向；
[答案] 当细金属杆 刚进入磁场时， 、 及导轨形成闭合回路
设回路中的感应电动势为 ，由法拉第电磁感应定律有
（1分）
根据闭合电路欧姆定律得，回路中的电流 （1分）
M刚进入磁场时受到的安培力 ，方向与 的运动方向相反，水平向左（2分）
（2）若两杆在磁场内未相撞且 出磁场时的速度为 ，求: 在磁场内运动过程中通过回路的电荷量 ；②初始时刻 到 的最小距离 ；
[答案] ①对金属杆 进行分析，设 在磁场内运动过程中回路中的平均电流为
由动量定理有 （2分）
N在磁场内运动过程中通过回路的电荷量 （1分）
②设 、 两杆在磁场内运动时的速度差为
当 、 同在磁场内运动时，回路中的感应电动势
则两杆受到的安培力 （1分）
若初始时刻 到 为最小距离，则当 出磁场时 恰好未与 相撞，有 （1分）
对 由动量定理有 （1分）
解得 （1分）
（3）初始时刻，若 到 的距离与第（2）问初始时刻的相同、到 的距离为 ，求 出磁场后不与 相撞条件下 的取值范围.
[答案] 两杆出磁场后在平行光滑长直金属导轨上运动，若 到 的距离与第（2）问初始时刻的相同、到 的距离为 ，则 到 边时速度大小恒为 ，根据动量守恒定律可知
（1分）
解得 出磁场时， 的速度大小
由题意可知，此时 到 边的距离 （1分）
要保证 出磁场后不与 相撞，则有两种临界情况：① 减速到 时出磁场，速度刚好等于 的速度，一定不与 相撞，对 根据动量定理有
（1分）
联立解得 （1分）
② 运动到 边时，恰好减速到零，则对 根据动量定理有
（1分）
同理可得 （1分）
综上所述， 出磁场后不与 相撞条件下 的取值范围为
（1分）
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2019-2023年物理高考真题分类
专题十二 电磁感应
楞次定律和法拉第电磁感应定律的基本应用
题组一
一、选择题
1. [2023全国乙，6分]一学生小组在探究电磁感应现象时，进行了如下比较实验.用图（a）所示的缠绕方式，将漆包线分别绕在几何尺寸相同的有机玻璃管和金属铝管上，漆包线的两端与电流传感器接通.两管皆竖直放置，将一很小的强磁体分别从管的上端由静止释放，
图（a）
在管内下落至管的下端.实验中电流传感器测得的两管上流过漆包线的电流 随时间 的变化分别如图（b）和 图（c）所示，分析可知( )
图（b） 图（c）
A. 图（c）是用玻璃管获得的图像
B. 在铝管中下落，小磁体做匀变速运动
C. 在玻璃管中下落，小磁体受到的电磁阻力始终保持不变
D. 用铝管时测得的电流第一个峰到最后一个峰的时间间隔比用玻璃管时的短
2. [2023海南，3分]汽车测速利用了电磁感应现象，汽车可简化为一个矩形线圈 ，埋在地下的线圈分别为1、2，通上顺时针（俯视）方向电流，当汽车经过线圈时( )
A. 线圈1、2产生的磁场方向竖直向上
B. 汽车进入线圈1过程产生感应电流方向为
C. 汽车离开线圈1过程产生感应电流方向为
D. 汽车进入线圈2过程受到的安培力方向与速度方向相同
3. [2022江苏，4分]如图所示，半径为 的圆形区域内有垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度 随时间 的变化规律为 ， 、 为常量，则图中半径为 的单匝圆形线圈中产生的感应电动势大小为( )
A. B. C. D.
4. [2021北京，3分]某同学搬运如图所示的磁电式电流表时，发现表针晃动剧烈且不易停止.按照老师建议，该同学在两接线柱间接一根导线后再次搬运，发现表针晃动明显减弱且能很快停止.下列说法正确的是( )
A. 未接导线时，表针晃动过程中表内线圈不产生感应电动势
B. 未接导线时，表针晃动剧烈是因为表内线圈受到安培力的作用
C. 接上导线后，表针晃动过程中表内线圈不产生感应电动势
D. 接上导线后，表针晃动减弱是因为表内线圈受到安培力的作用
二、非选择题
5. [2022上海，4分]如图，半径为 的金属圆环里，有一个垂直于纸面向里且半径为 的圆形区域匀强磁场，磁感应强度的大小为 .若增大该区域内的磁感应强度，则金属圆环的感应电流方向为 （选填“顺时针”或“逆时针”）;若保持圆形区域内磁场的磁感应强度大小不变，方向变化 ，则金属圆环的磁通量变化的大小为 .
6. [2022全国乙，12分]如图，一不可伸长的细绳的上端固定，下端系在边长为 的正方形金属框的一个顶点上.金属框的一条对角线水平，其下方有方向垂直于金属框所在平面的匀强磁场.已知构成金属框的导线单位长度的阻值为 ；在 到 时间内,磁感应强度大小随时间 的变化关系为 .求
（1） 时金属框所受安培力的大小；
（2）在 到 时间内金属框产生的焦耳热.
7. [2019江苏，15分]如图所示,匀强磁场中有一个用软导线制成的单匝闭合线圈,线圈平面与磁场垂直.已知线圈的面积 、电阻 ,磁场的磁感应强度 .现同时向两侧拉动线圈,线圈的两边在 时间内合到一起.求线圈在上述过程中
（1）感应电动势的平均值 ;
（2）感应电流的平均值 ,并在图中标出电流方向;
（3）通过导线横截面的电荷量 .
题组二
一、选择题
1. [2023全国甲，6分，多选]一有机玻璃管竖直放在水平地面上，管上有漆包线绕成的线圈，线圈的两端与电流传感器相连，线圈在玻璃管上部的5匝均匀分布，下部的3匝也均匀分布，下部相邻两匝间的距离大于上部相邻两匝间的距离,如图（a）所示.现让一个很小的强磁体在玻璃管内沿轴线从上端口由静止下落，电流传感器测得线圈中电流 随时间 的变化如图（b）所示.则( )
图（a）
图（b）
A. 小磁体在玻璃管内下降速度越来越快
B. 下落过程中，小磁体的 极、 极上下颠倒了8次
C. 下落过程中，小磁体受到的电磁阻力始终保持不变
D. 与上部相比，小磁体通过线圈下部的过程中，磁通量变化率的最大值更大
2. [2023辽宁，4分]如图，空间中存在水平向右的匀强磁场，一导体棒绕固定的竖直轴 在磁场中匀速转动，且始终平行于 .导体棒两端的电势差 随时间 变化的图像可能正确的是( )
图（a） 图（b）俯视图
A.
B.
C.
D.
3. [2022河北，4分]将一根绝缘硬质细导线顺次绕成如图所示的线圈,其中大圆面积为 ,小圆面积均为 ,垂直线圈平面方向有随时间 变化的磁场,磁感应强度大小 , 和 均为常量,则线圈中总的感应电动势大小为( )
A. B. C. D.
4. [2021山东，3分]迷你系绳卫星在地球赤道正上方的电离层中，沿圆形轨道绕地飞行.系绳卫星由两子卫星组成，它们之间的导体绳沿地球半径方向，如图所示.在电池和感应电动势的共同作用下，导体绳中形成指向地心的电流，等效总电阻为 .导体绳所受的安培力克服大小为 的环境阻力，可使卫星保持在原轨道上.已知卫星离地平均高度为 ，导体绳长为 ，地球半径为 ，质量为 ，轨道处磁感应强度大小为 ，方向垂直于赤道平面.忽略地球自转的影响.据此可得，电池电动势为( )
A. B. C. D.
5. [2021河北，4分]如图，两光滑导轨水平放置在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为 .导轨间距最窄处为一狭缝，取狭缝所在处 点为坐标原点.狭缝右侧两导轨与 轴夹角均为 ，一电容为 的电容器与导轨左端相连.导轨上的金属棒与 轴垂直，在外力 作用下从 点开始以速度 向右匀速运动，忽略所有电阻.下列说法正确的是( )
A. 通过金属棒的电流为
B. 金属棒到达 时，电容器极板上的电荷量为
C. 金属棒运动过程中，电容器的上极板带负电
D. 金属棒运动过程中，外力 做功的功率恒定
二、非选择题
6. [2021天津，16分]如图所示，两根足够长的平行光滑金属导轨 、 间距 ，其电阻不计，两导轨及其构成的平面均与水平面成 角， 、 两端接有 的电阻.一金属棒 垂直导轨放置， 两端与导轨始终有良好接触，已知 的质量 ，电阻 ，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度大小 . 在平行于导轨向上的拉力作用下，以初速度 沿导轨向上开始运动，可达到最大速度 .运动过程中拉力的功率恒定不变，重力加速度 .
（1）求拉力的功率 ；
（2） 开始运动后，经 速度达到 ，此过程中 克服安培力做功 ，求该过程中 沿导轨的位移大小 .
7. [2020全国Ⅲ，12分]如图，一边长为 的正方形金属框 固定在水平面内，空间存在方向垂直于水平面、磁感应强度大小为 的匀强磁场.一长度大于 的均匀导体棒以速率 自左向右在金属框上匀速滑过，滑动过程中导体棒始终与 垂直且中点位于 上，导体棒与金属框接触良好.已知导体棒单位长度的电阻为 ,金属框电阻可忽略.将导体棒与 点之间的距离记为 ，求导体棒所受安培力的大小随 变化的关系式.
题组三
一、选择题
1. [2023江苏，4分]如图所示，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场, 导体棒的 端位于圆心,棒的中点 位于磁场区域的边缘.现使导体棒绕 点在纸面内逆时针转动, 、 、 点电势分别为 、 、 ，则( )
A. B.
C. D.
2. [2022重庆，4分]如图1所示，光滑的平行导电轨道水平固定在桌面上，轨道间连接一可变电阻，导体杆与轨道垂直并接触良好（不计杆和轨道的电阻），整个装置处在垂直于轨道平面向上的匀强磁场中.杆在水平向右的拉力作用下先后两次都由静止开始做匀加速直线运动，两次运动中拉力大小与速率的关系如图2所示.其中，第一次对应直线①，初始拉力大小为 ，改变电阻阻值和磁感应强度大小后，第二次对应直线②，初始拉力大小为 ，两直线交点的纵坐标为 .若第一次和第二次运动中的磁感应强度大小之比为 、电阻的阻值之比为 、杆从静止开始运动相同位移的时间之比为 ，则 、 、 可能为( )
图1 图2
A. 、 、 B. 、 、
C. 、 、 D. 、 、
3. [2022全国甲，6分]三个用同样的细导线做成的刚性闭合线框，正方形线框的边长与圆线框的直径相等，圆线框的半径与正六边形线框的边长相等，如图所示.把它们放入磁感应强度随时间线性变化的同一匀强磁场中，线框所在平面均与磁场方向垂直，正方形、圆形和正六边形线框中感应电流的大小分别为 、 和 .则 ( )
A. B. C. D.
4. [2021广东，6分，多选]如图所示，水平放置足够长光滑金属导轨 和 , 与 平行, 是以 为圆心的圆弧导轨.圆弧 左侧和扇形 内有方向如图的匀强磁场.金属杆 的 端与 点用导线相接, 端与圆弧 接触良好.初始时,可滑动的金属杆 静止在平行导轨上.若杆 绕 点在匀强磁场区内从 到 匀速转动时,回路中始终有电流,则此过程中,下列说法正确的有( )
A. 杆 产生的感应电动势恒定 B. 杆 受到的安培力不变
C. 杆 做匀加速直线运动 D. 杆 中的电流逐渐减小
二、非选择题
5. [2022北京，12分]指南针是利用地磁场指示方向的装置，它的广泛使用促进了人们对地磁场的认识.现代科技可以实现对地磁场的精确测量.
（1）如图1所示，两同学把一根长约 的电线两端用其他导线连接一个电压表，迅速摇动这根电线.若电线中间位置的速度约 ，电压表的最大示数约 .粗略估算该处地磁场磁感应强度的大小 .
图1
（2）如图2所示，一矩形金属薄片，其长为 ，宽为 ，厚为 .大小为 的恒定电流从电极 流入、从电极 流出,当外加与薄片垂直的匀强磁场时， 、 两电极间产生的电压为 .已知薄片单位体积中导电的电子数为 ,电子的电荷量为 .求磁感应强度的大小 .
图2
（3）假定（2）中的装置足够灵敏，可用来测量北京地区地磁场磁感应强度的大小和方向,请说明测量的思路.
6. [2020浙江7月选考，10分]如图1所示，在绝缘光滑水平桌面上，以 为原点、水平向右为正方向建立 轴，在 区域内存在方向竖直向上的匀强磁场.桌面上有一边长 、电阻 的正方形线框 ,当平行于磁场边界的 边进入磁场时，在沿 方向的外力 作用下以 的速度做匀速运动，直到 边进入磁场时撤去外力.若以 边进入磁场时作为计时起点，在 内磁感应强度 的大小与时间 的关系如图2所示，在 内线框始终做匀速运动.
图1
图2
（1）求外力 的大小；
（2）在 内存在连续变化的磁场，求磁感应强度 的大小与时间 的关系；
（3）求在 内流过导线横截面的电荷量 .
电磁感应的综合应用
题组四
一、选择题
1. [2023辽宁，6分，多选]如图，两根光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，左、右两侧导轨间距分别为 和 ,处于竖直向上的磁场中，磁感应强度大小分别为 和 .已知导体棒 的电阻为 、长度为 ,导体棒 的电阻为 、长度为 , 的质量是 的2倍.初始时刻两棒静止，两棒中点之间连接一压缩量为 的轻质绝缘弹簧.释放弹簧，两棒在各自磁场中运动直至停止，弹簧始终在弹性限度内.整个过程中两棒保持与导轨垂直并接触良好，导轨足够长且电阻不计.下列说法正确的是( )
A. 弹簧伸展过程中，回路中产生顺时针方向的电流
B. 速率为 时， 所受安培力大小为
C. 整个运动过程中， 与 的路程之比为
D. 整个运动过程中，通过 的电荷量为
2. [2023浙江6月选考，3分]如图所示，质量为 、电阻为 、长为 的导体棒，通过两根长均为 、质量不计的导电细杆连在等高的两固定点上，固定点间距也为 .细杆通过开关 可与直流电源 或理想二极管串接.在导体棒所在空间存在磁感应强度方向竖直向上、大小为 的匀强磁场，不计空气阻力和其他电阻.开关 接1，当导体棒静止时，细杆与竖直方向的夹角 ；然后开关 接2,棒从右侧开始运动完成一次振动的过程中( )
A. 电源电动势
B. 棒消耗的焦耳热
C. 从左向右运动时,最大摆角小于
D. 棒两次过最低点时感应电动势大小相等
3. [2022湖北，4分，多选]如图所示，两平行导轨在同一水平面内.一导体棒垂直放在导轨上，棒与导轨间的动摩擦因数恒定.整个装置置于匀强磁场中，磁感应强度大小恒定，方向与金属棒垂直、与水平向右方向的夹角 可调.导体棒沿导轨向右运动，现给导体棒通以图示方向的恒定电流，适当调整磁场方向，可以使导体棒沿导轨做匀加速运动或匀减速运动.已知导体棒加速时，加速度的最大值为 ；减速时，加速度的最大值为 ，其中 为重力加速度大小.下列说法正确的是( )
A. 棒与导轨间的动摩擦因数为
B. 棒与导轨间的动摩擦因数为
C. 加速阶段加速度大小最大时，磁场方向斜向下，
D. 减速阶段加速度大小最大时，磁场方向斜向上，
4. [2022山东，4分，多选]如图所示， 平面的第一、三象限内以坐标原点 为圆心、半径为 的扇形区域充满方向垂直纸面向外的匀强磁场.边长为 的正方形金属框绕其始终在 点的顶点、在 平面内以角速度 顺时针匀速转动. 时刻，金属框开始进入第一象限.不考虑自感影响，关于金属框中感应电动势 随时间 变化规律的描述正确的是( )
A. 在 到 的过程中， 一直增大
B. 在 到 的过程中， 先增大后减小
C. 在 到 的过程中， 的变化率一直增大
D. 在 到 的过程中， 的变化率一直减小
5. [2021全国甲，6分，多选]由相同材料的导线绕成边长相同的甲、乙两个正方形闭合线圈，两线圈的质量相等，但所用导线的横截面积不同，甲线圈的匝数是乙的2倍.现两线圈在竖直平面内从同一高度同时由静止开始下落，一段时间后进入一方向垂直于纸面的匀强磁场区域，磁场的上边界水平，如图所示.不计空气阻力，已知下落过程中线圈始终平行于纸面，上、下边保持水平.在线圈下边进入磁场后且上边进入磁场前，可能出现的是( )
A. 甲和乙都加速运动 B. 甲和乙都减速运动
C. 甲加速运动，乙减速运动 D. 甲减速运动，乙加速运动
二、非选择题
6. [2022重庆，12分]某同学以金属戒指为研究对象，探究金属物品在变化磁场中的热效应.如图所示，戒指可视为周长为 、横截面积为 、电阻率为 的单匝圆形线圈，放置在匀强磁场中，磁感应强度方向垂直于戒指平面.若磁感应强度大小在 时间内从0均匀增加到 ，求：
（1）戒指中的感应电动势和电流；
（2）戒指中电流的热功率.
题组五
一、选择题
1. [2022上海，4分]如图，一个正方形导线框以初速度 向右穿过一个有界的匀强磁场.线框两次速度发生变化所用时间分别为 和 ，这两段时间内克服安培力做的功分别为 和 ，则( )
A. , B. ，
C. , D. ，
2. [2021山东，4分，多选]如图所示，电阻不计的光滑 形金属导轨固定在绝缘斜面上.区域Ⅰ、Ⅱ中磁场方向均垂直斜面向上，Ⅰ区中磁感应强度随时间均匀增加，Ⅱ区中为匀强磁场.阻值恒定的金属棒从无磁场区域中 处由静止释放，进入Ⅱ区后，经 下行至 处反向上行.运动过程中金属棒始终垂直导轨且接触良好.在第一次下行和上行的过程中，以下叙述正确的是( )
A. 金属棒下行过 时的速度大于上行过 时的速度
B. 金属棒下行过 时的加速度大于上行过 时的加速度
C. 金属棒不能回到无磁场区
D. 金属棒能回到无磁场区，但不能回到 处
3. [2020全国Ⅰ，6分，多选]如图， 形光滑金属框 置于水平绝缘平台上， 和 边平行，和 边垂直. 、 足够长，整个金属框电阻可忽略.一根具有一定电阻的导体棒 置于金属框上，用水平恒力 向右拉动金属框，运动过程中，装置始终处于竖直向下的匀强磁场中， 与金属框保持良好接触，且与 边保持平行.经过一段时间后( )
A. 金属框的速度大小趋于恒定值
B. 金属框的加速度大小趋于恒定值
C. 导体棒所受安培力的大小趋于恒定值
D. 导体棒到金属框 边的距离趋于恒定值
4. [2020浙江7月选考，3分]如图所示，固定在水平面上的半径为 的金属圆环内存在方向竖直向上、磁感应强度大小为 的匀强磁场.长为 的金属棒，一端与圆环接触良好，另一端固定在竖直导电转轴 上，随轴以角速度 匀速转动，在圆环的 点和电刷间接有阻值为 的电阻和电容为 、板间距为 的平行板电容器，有一带电微粒在电容器极板间处于静止状态.已知重力加速度为 ，不计其他电阻和摩擦，下列说法正确的是( )
A. 棒产生的电动势为 B. 微粒的电荷量与质量之比为
C. 电阻消耗的电功率为 D. 电容器所带的电荷量为
二、非选择题
5. [2023全国甲，20分]如图，水平桌面上固定一光滑 型金属导轨，其平行部分的间距为 ，导轨的最右端与桌子右边缘对齐，导轨的电阻忽略不计.导轨所在区域有方向竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为 .一质量为 、电阻为 、长度也为 的金属棒 静止在导轨上.导轨上质量为 的绝缘棒 位于 的左侧，以大小为 的速度向 运动并与 发生弹性碰撞，碰撞时间极短.碰撞一次后， 和 先后从导轨的最右端滑出导轨，并落在地面上同一地点. 在导轨上运动时，两端与导轨接触良好， 与 始终平行.不计空气阻力.求
（1）金属棒 滑出导轨时的速度大小；
（2）金属棒 在导轨上运动过程中产生的热量；
（3）与 碰撞后，绝缘棒 在导轨上运动的时间.
6. [2022上海，16分]如图甲，间距为 的两导轨固定，导轨间存在着垂直于纸面且磁感应强度 的匀强磁场，虚线框Ⅰ、Ⅱ中有定值电阻 和最大阻值为 的滑动变阻器 （均未画出）.一根与导轨间距相等的金属杆以恒定速率向右运动，图乙和图丙分别为滑动变阻器全部接入和一半接入时沿 方向电势变化的图像.
图甲
图乙
图丙
（1）判断匀强磁场的方向;
（2）分析并说明定值电阻 是在Ⅰ中还是Ⅱ中，并求 的大小;
（3）求金属杆运动时的速率;
（4）滑动变阻器阻值为多少时消耗的功率最大 求出该最大功率 .
题组六
一、选择题
1. [2022全国甲，6分，多选]如图，两根相互平行的光滑长直金属导轨固定在水平绝缘桌面上，在导轨的左端接入电容为 的电容器和阻值为 的电阻.质量为 、阻值也为 的导体棒 静止于导轨上，与导轨垂直，且接触良好，导轨电阻忽略不计，整个系统处于方向竖直向下的匀强磁场中.开始时，电容器所带的电荷量为 ,合上开关 后，( )
A. 通过导体棒 电流的最大值为
B. 导体棒 向右先加速、后匀速运动
C. 导体棒 速度最大时所受的安培力也最大
D. 电阻 上产生的焦耳热大于导体棒 上产生的焦耳热
2. [2021福建，6分，多选]如图， 、 是两根固定在水平面内的光滑平行金属导轨，间距为 ，导轨足够长且电阻可忽略不计.图中 矩形区域内有方向垂直导轨平面向上、磁感应强度大小为 的匀强磁场.在 时刻，两均匀金属棒 、 分别从磁场边界 、 进入磁场，速度大小均为 ；一段时间后，流经 棒的电流为0，此时 ， 棒仍位于磁场区域内.已知金属棒 、 由相同材料制成，长度均为 ，电阻分别为 和 ， 棒的质量为 .在运动过程中两金属棒始终与导轨垂直且接触良好， 、 棒没有相碰，则( )
A. 时刻 棒的加速度大小为
B. 时刻 棒的速度为0
C. 时间内，通过 棒横截面的电荷量是 棒的2倍
D. 时间内， 棒产生的焦耳热为
3. [2021辽宁，6分，多选]如图（a）所示，两根间距为 、足够长的光滑平行金属导轨竖直放置并固定，顶端接有阻值为 的电阻.垂直导轨平面存在变化规律如图（b）所示的匀强磁场， 时磁场方向垂直纸面向里.在 到 的时间内，金属棒水平固定在距导轨顶端 处； 时，释放金属棒.整个过程中金属棒与导轨接触良好，导轨与金属棒的电阻不计，则( )
图（a）
图（b）
A. 在 时，金属棒受到安培力的大小为
B. 在 时，金属棒中电流的大小为
C. 在 时，金属棒受到安培力的方向竖直向上
D. 在 时，金属棒中电流的方向向右
4. [2020山东，4分，多选]如图所示，平面直角坐标系的第一和第二象限分别存在磁感应强度大小相等、方向相反且垂直于坐标平面的匀强磁场，图中虚线方格为等大正方形.一位于 平面内的刚性导体框 在外力作用下以恒定速度沿 轴正方向运动（不发生转动）.从图示位置开始计时， 末 边刚好进入磁场.在此过程中，导体框内感应电流的大小为 ， 边所受安培力的大小为 ，二者与时间 的关系图像可能正确的是( )
A. B. C. D.
二、非选择题
5. [2023湖南，14分]如图，两根足够长的光滑金属直导轨平行放置，导轨间距为 ，两导轨及其所构成的平面均与水平面成 角，整个装置处于垂直于导轨平面斜向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为 .现将质量均为 的金属棒 、 垂直导轨放置，每根金属棒接入导轨之间的电阻均为 .运动过程中金属棒与导轨始终垂直且接触良好，金属棒始终未滑出导轨，导轨电阻忽略不计，重力加速度为 .
（1）先保持棒 静止，将棒 由静止释放，求棒 匀速运动时的速度大小 ;
（2）在（1）问中，当棒 匀速运动时，再将棒 由静止释放，求释放瞬间棒 的加速度大小 ；
（3）在（2）问中，从棒 释放瞬间开始计时，经过时间 ，两棒恰好达到相同的速度 ，求速度 的大小，以及时间 内棒 相对于棒 运动的距离 .
6. [2022湖北，15分]如图所示，高度足够的匀强磁场区域下边界水平、左右边界竖直，磁场方向垂直于纸面向里.正方形单匝线框 的边长 、回路电阻 、质量 .线框平面与磁场方向垂直，线框的 边与磁场左边界平齐， 边与磁场下边界的距离也为 .现对线框施加与水平向右方向成 角、大小为 的恒力 ，使其在图示竖直平面内由静止开始运动.从 边进入磁场开始，在竖直方向线框做匀速运动； 边进入磁场时， 边恰好到达磁场右边界.重力加速度大小取 ，求：
（1） 边进入磁场前，线框在水平方向和竖直方向的加速度大小；
（2）磁场的磁感应强度大小和线框进入磁场的整个过程中回路产生的焦耳热；
（3）磁场区域的水平宽度.
题组七
一、选择题
1. [2022河北，6分，多选]如图,两光滑导轨水平放置在竖直向下的匀强磁场中,一根导轨位于 轴上,另一根由 、 、 三段直导轨组成,其中 段与 轴平行,导轨左端接入一电阻 .导轨上一金属棒 沿 轴正向以速度 保持匀速运动, 时刻通过坐标原点 ,金属棒始终与 轴垂直.设运动过程中通过电阻的电流强度为 ,金属棒受到安培力的大小为 ,金属棒克服安培力做功的功率为 ,电阻两端的电压为 ,导轨与金属棒接触良好,忽略导轨与金属棒的电阻.下列图像可能正确的是( )
A. B.
C. D.
2. [2022湖南，5分，多选]如图，间距 的 形金属导轨，一端接有 的定值电阻 ，固定在高 的绝缘水平桌面上.质量均为 的匀质导体棒 和 静止在导轨上，两导体棒与导轨接触良好且始终与导轨垂直，接入电路的阻值均为 ，与导轨间的动摩擦因数均为 （设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），导体棒 距离导轨最右端 .整个空间存在竖直向下的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度大小为 .用 沿导轨水平向右的恒力拉导体棒 ，当导体棒 运动到导轨最右端时，导体棒 刚要滑动，撤去 ，导体棒 离开导轨后落到水平地面上.重力加速度取 ，不计空气阻力，不计其他电阻，下列说法正确的是( )
A. 导体棒 离开导轨至落地过程中，水平位移为
B. 导体棒 离开导轨至落地前，其感应电动势不变
C. 导体棒 在导轨上运动的过程中，导体棒 有向右运动的趋势
D. 导体棒 在导轨上运动的过程中，通过电阻 的电荷量为
3. [2021北京，3分]如图所示，在竖直向下的匀强磁场中，水平 形导体框左端连接一阻值为 的电阻，质量为 、电阻为 的导体棒 置于导体框上.不计导体框的电阻、导体棒与框间的摩擦. 以水平向右的初速度 开始运动，最终停在导体框上.在此过程中 ( )
A. 导体棒做匀减速直线运动
B. 导体棒中感应电流的方向为
C. 电阻 消耗的总电能为
D. 导体棒克服安培力做的总功小于
4. [2021湖南，5分，多选]两个完全相同的正方形匀质金属框,边长为 ，通过长为 的绝缘轻质杆相连，构成如图所示的组合体.距离组合体下底边 处有一方向水平、垂直纸面向里的匀强磁场.磁场区域上下边界水平，高度为 ，左右宽度足够大.把该组合体在垂直磁场的平面内以初速度 水平无旋转抛出，设置合适的磁感应强度大小 使其匀速通过磁场，不计空气阻力.下列说法正确的是( )
A. 与 无关，与 成反比
B. 通过磁场的过程中，金属框中电流的大小和方向保持不变
C. 通过磁场的过程中，组合体克服安培力做功的功率与重力做功的功率相等
D. 调节 、 和 ,只要组合体仍能匀速通过磁场，则其通过磁场的过程中产生的热量不变
二、非选择题
5. （2023新课标理综，20分）一边长为 、质量为 的正方形金属细框，每边电阻为 ，置于光滑的绝缘水平桌面（纸面）上.宽度为 的区域内存在方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度大小为 ，两虚线为磁场边界，如图（a）所示.
图（a）
（1）使金属框以一定的初速度向右运动，进入磁场.运动过程中金属框的左、右边框始终与磁场边界平行，金属框完全穿过磁场区域后，速度大小降为它初速度的一半，求金属框的初速度大小.
（2）在桌面上固定两条光滑长直金属导轨，导轨与磁场边界垂直，左端连接电阻 ，导轨电阻可忽略，金属框置于导轨上，如图（b）所示.让金属框以与（1）中相同的初速度向右运动，进入磁场.运动过程中金属框的上、下边框处处与导轨始终接触良好.求在金属框整个运动过程中，电阻 产生的热量.
图（b）
6. [2022辽宁，18分]如图所示，两平行光滑长直金属导轨水平放置，间距为 区域有匀强磁场，磁感应强度大小为 ，方向竖直向上.初始时刻，磁场外的细金属杆 以初速度 向右运动，磁场内的细金属杆 处于静止状态.两金属杆与导轨接触良好且运动过程中始终与导轨垂直.两杆的质量均为 ，在导轨间的电阻均为 ，感应电流产生的磁场及导轨的电阻忽略不计.
（1）求 刚进入磁场时受到的安培力 的大小和方向；
（2）若两杆在磁场内未相撞且 出磁场时的速度为 ，求: 在磁场内运动过程中通过回路的电荷量 ；②初始时刻 到 的最小距离 ；
（3）初始时刻，若 到 的距离与第（2）问初始时刻的相同、到 的距离为 ，求 出磁场后不与 相撞条件下 的取值范围.
专题十二 电磁感应
楞次定律和法拉第电磁感应定律的基本应用
题组一
一、选择题
1. [2023全国乙，6分]一学生小组在探究电磁感应现象时，进行了如下比较实验.用图（a）所示的缠绕方式，将漆包线分别绕在几何尺寸相同的有机玻璃管和金属铝管上，漆包线的两端与电流传感器接通.两管皆竖直放置，将一很小的强磁体分别从管的上端由静止释放，
图（a）
在管内下落至管的下端.实验中电流传感器测得的两管上流过漆包线的电流 随时间 的变化分别如图（b）和 图（c）所示，分析可知( A )
图（b） 图（c）
A. 图（c）是用玻璃管获得的图像
B. 在铝管中下落，小磁体做匀变速运动
C. 在玻璃管中下落，小磁体受到的电磁阻力始终保持不变
D. 用铝管时测得的电流第一个峰到最后一个峰的时间间隔比用玻璃管时的短
[解析]
2. [2023海南，3分]汽车测速利用了电磁感应现象，汽车可简化为一个矩形线圈 ，埋在地下的线圈分别为1、2，通上顺时针（俯视）方向电流，当汽车经过线圈时( C )
A. 线圈1、2产生的磁场方向竖直向上
B. 汽车进入线圈1过程产生感应电流方向为
C. 汽车离开线圈1过程产生感应电流方向为
D. 汽车进入线圈2过程受到的安培力方向与速度方向相同
[解析] 由右手螺旋定则可知，线圈1、2形成的磁场方向都是竖直向下的， 错；汽车进入线圈1时，线圈 中向下的磁通量增大，由楞次定律可判断，线圈 中的感应电流方向与线圈1反向，是逆时针，即感应电流方向为 ，同理，汽车离开线圈1时，线圈 中向下的磁通量减小，线圈 中的感应电流方向是顺时针，即感应电流方向为 ，故 错， 对；安培力为阻力，与速度方向相反， 错.
3. [2022江苏，4分]如图所示，半径为 的圆形区域内有垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度 随时间 的变化规律为 ， 、 为常量，则图中半径为 的单匝圆形线圈中产生的感应电动势大小为( A )
A. B. C. D.
[解析]
4. [2021北京，3分]某同学搬运如图所示的磁电式电流表时，发现表针晃动剧烈且不易停止.按照老师建议，该同学在两接线柱间接一根导线后再次搬运，发现表针晃动明显减弱且能很快停止.下列说法正确的是( D )
A. 未接导线时，表针晃动过程中表内线圈不产生感应电动势
B. 未接导线时，表针晃动剧烈是因为表内线圈受到安培力的作用
C. 接上导线后，表针晃动过程中表内线圈不产生感应电动势
D. 接上导线后，表针晃动减弱是因为表内线圈受到安培力的作用
[解析] 未接导线时，表针晃动过程中表内线圈产生感应电动势，但不构成闭合回路，故不产生感应电流，不受安培力作用， 、 错误；接上导线后，表针晃动过程中表内线圈产生感应电动势，在闭合回路中产生感应电流，受到安培力的作用，是电磁阻尼的表现， 错误， 正确.
二、非选择题
5. [2022上海，4分]如图，半径为 的金属圆环里，有一个垂直于纸面向里且半径为 的圆形区域匀强磁场，磁感应强度的大小为 .若增大该区域内的磁感应强度，则金属圆环的感应电流方向为逆时针（2分）（选填“顺时针”或“逆时针”）;若保持圆形区域内磁场的磁感应强度大小不变，方向变化 ，则金属圆环的磁通量变化的大小为 （2分）.
[解析] 半径为 的圆形区域内，匀强磁场的磁场方向垂直纸面向里，若增大该区域的磁感应强度，由磁通量公式 可知，金属圆环内磁通量增大，由楞次定律可知，金属圆环中产生的感应电流方向为逆时针方向.若保持圆形区域内磁场的磁感应强度大小不变，方向变化 ，则金属圆环的磁通量变化的大小为 .
6. [2022全国乙，12分]如图，一不可伸长的细绳的上端固定，下端系在边长为 的正方形金属框的一个顶点上.金属框的一条对角线水平，其下方有方向垂直于金属框所在平面的匀强磁场.已知构成金属框的导线单位长度的阻值为 ；在 到 时间内,磁感应强度大小随时间 的变化关系为 .求
（1） 时金属框所受安培力的大小；
[答案] 安培力 ①（1分）
时， ②（1分）
又 ， ③（2分）
④（1分）
L为等效长度，大小等于正方形对角线的长度 ⑤（1分）
将②③④⑤代入①得 .（2分）
（2）在 到 时间内金属框产生的焦耳热.
[答案] 时间内金属框产生的焦耳热 ⑥（2分）
解得 .（2分）
7. [2019江苏，15分]如图所示,匀强磁场中有一个用软导线制成的单匝闭合线圈,线圈平面与磁场垂直.已知线圈的面积 、电阻 ,磁场的磁感应强度 .现同时向两侧拉动线圈,线圈的两边在 时间内合到一起.求线圈在上述过程中
（1）感应电动势的平均值 ;
[答案] 感应电动势的平均值 （2分）
磁通量的变化量 （2分）
解得 ，代入数据得
（2分）
（2）感应电流的平均值 ,并在图中标出电流方向;
[答案] 平均电流 （2分）
代入数据得 （电流方向见图）（3分）
（3）通过导线横截面的电荷量 .
[答案] 电荷量 （2分）
代入数据得 （2分）
题组二
一、选择题
1. [2023全国甲，6分，多选]一有机玻璃管竖直放在水平地面上，管上有漆包线绕成的线圈，线圈的两端与电流传感器相连，线圈在玻璃管上部的5匝均匀分布，下部的3匝也均匀分布，下部相邻两匝间的距离大于上部相邻两匝间的距离,如图（a）所示.现让一个很小的强磁体在玻璃管内沿轴线从上端口由静止下落，电流传感器测得线圈中电流 随时间 的变化如图（b）所示.则( AD )
图（a）
图（b）
A. 小磁体在玻璃管内下降速度越来越快
B. 下落过程中，小磁体的 极、 极上下颠倒了8次
C. 下落过程中，小磁体受到的电磁阻力始终保持不变
D. 与上部相比，小磁体通过线圈下部的过程中，磁通量变化率的最大值更大
[解析] 对于小磁体，可以忽略其与较远线圈的电磁感应现象，只考虑与最近一匝线圈的电磁感应，则由图（b）可知，小磁体依次通过每匝线圈时产生的感应电流最大值逐渐增大，结合法拉第电磁感应定律和闭合电路欧姆定律可知，小磁体通过每匝线圈时的磁通量变化率越来越大，即小磁体在玻璃管内下降的速度越来越快， 正确；下落过程中，小磁体在水平方向受的合力为零，故小磁体的的 极、 极上下没有颠倒， 错误；小磁体下落过程中受到的电磁阻力实质就是安培力，根据安培力公式可知，下落过程中，小磁体受到的电磁阻力并不是始终保持不变的， 错误；由图（b）可知，与上部相比，小磁体通过线圈下部的过程中，感应电流的最大值更大，故磁通量变化率的最大值更大， 正确.
【易错警示】 本题B项容易误选.电流方向的改变不是因为小磁体 极、 极颠倒，而是因为小磁体穿过每个线圈过程中，线圈中磁通量先增后减.
2. [2023辽宁，4分]如图，空间中存在水平向右的匀强磁场，一导体棒绕固定的竖直轴 在磁场中匀速转动，且始终平行于 .导体棒两端的电势差 随时间 变化的图像可能正确的是( C )
图（a） 图（b）俯视图
A.
B.
C.
D.
[解析] 设导体棒的长度为 ，做匀速圆周运动的线速度大小为 ，经过一段时间 导体棒的速度方向与初始速度方向的夹角为 ，则 ，如图所示，此时导体棒的有效切割速度为 ，则导体棒在匀速转动的过程中，导体棒两端的电势差为 ， 正确， 错误.
【考情速递】 本题看似复杂，但如果能够把空间中导体棒的旋转切割转化为平面内的运动，问题就变得简单.有些试题往往看似复杂，但仔细分析，会发现并不难，考生容易被试题表象所蒙蔽.
3. [2022河北，4分]将一根绝缘硬质细导线顺次绕成如图所示的线圈,其中大圆面积为 ,小圆面积均为 ,垂直线圈平面方向有随时间 变化的磁场,磁感应强度大小 , 和 均为常量,则线圈中总的感应电动势大小为( D )
A. B. C. D.
[解析] 由法拉第电磁感应定律得 ，由题意可知 ，可得 ， 正确.
4. [2021山东，3分]迷你系绳卫星在地球赤道正上方的电离层中，沿圆形轨道绕地飞行.系绳卫星由两子卫星组成，它们之间的导体绳沿地球半径方向，如图所示.在电池和感应电动势的共同作用下，导体绳中形成指向地心的电流，等效总电阻为 .导体绳所受的安培力克服大小为 的环境阻力，可使卫星保持在原轨道上.已知卫星离地平均高度为 ，导体绳长为 ，地球半径为 ，质量为 ，轨道处磁感应强度大小为 ，方向垂直于赤道平面.忽略地球自转的影响.据此可得，电池电动势为( A )
A. B. C. D.
[解析] 由 可得卫星做圆周运动的线速度 ，根据右手定则可知，导体绳产生的感应电动势方向与图中电源电动势相反，其大小为 ，由导体绳受力平衡有 ，导体绳中的电流方向向下，回路中的电流 ，解得 ， 项正确.
5. [2021河北，4分]如图，两光滑导轨水平放置在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为 .导轨间距最窄处为一狭缝，取狭缝所在处 点为坐标原点.狭缝右侧两导轨与 轴夹角均为 ，一电容为 的电容器与导轨左端相连.导轨上的金属棒与 轴垂直，在外力 作用下从 点开始以速度 向右匀速运动，忽略所有电阻.下列说法正确的是( A )
A. 通过金属棒的电流为
B. 金属棒到达 时，电容器极板上的电荷量为
C. 金属棒运动过程中，电容器的上极板带负电
D. 金属棒运动过程中，外力 做功的功率恒定
[解析] 金属棒向右运动时间 时,位移 ，此时产生的感应电动势 ，又根据电容器的带电荷量 ，可知电流 ，选项 正确；根据上述分析可知，金属棒到达 时电动势 ，此时电容器的带电荷量 ，选项 错误； 根据右手定则可知电容器上极板带正电，选项 错误；根据上述分析可知，金属棒中电流 恒定，磁感应强度 和 都恒定，又外力 与安培力等大反向，则外力做功的功率 ,可知外力 做功的功率随时间增加，选项 错误.
二、非选择题
6. [2021天津，16分]如图所示，两根足够长的平行光滑金属导轨 、 间距 ，其电阻不计，两导轨及其构成的平面均与水平面成 角， 、 两端接有 的电阻.一金属棒 垂直导轨放置， 两端与导轨始终有良好接触，已知 的质量 ，电阻 ，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度大小 . 在平行于导轨向上的拉力作用下，以初速度 沿导轨向上开始运动，可达到最大速度 .运动过程中拉力的功率恒定不变，重力加速度 .
（1）求拉力的功率 ；
[答案] 在 运动过程中，由于拉力功率恒定， 做加速度逐渐减小的加速运动，速度达到最大时，加速度为零，设此时拉力的大小为 ，安培力大小为 ，有 （2分）
设此时回路中的感应电动势为 ，由法拉第电磁感应定律，有
（2分）
设回路中的感应电流为 ，由闭合电路欧姆定律，有 （2分）
受到的安培力 （2分）
由功率表达式，有 （2分）
联立上述各式，代入数据解得 （2分）
（2） 开始运动后，经 速度达到 ，此过程中 克服安培力做功 ，求该过程中 沿导轨的位移大小 .
[答案] 从速度 到 的过程中，由动能定理，有
（2分）
代入数据解得 （2分）
7. [2020全国Ⅲ，12分]如图，一边长为 的正方形金属框 固定在水平面内，空间存在方向垂直于水平面、磁感应强度大小为 的匀强磁场.一长度大于 的均匀导体棒以速率 自左向右在金属框上匀速滑过，滑动过程中导体棒始终与 垂直且中点位于 上，导体棒与金属框接触良好.已知导体棒单位长度的电阻为 ,金属框电阻可忽略.将导体棒与 点之间的距离记为 ，求导体棒所受安培力的大小随 变化的关系式.
[答案] 当导体棒与金属框接触的两点间棒的长度为 时，由法拉第电磁感应定律知，导体棒上感应电动势的大小为 ①（2分）
由欧姆定律知，流过导体棒的感应电流为 ②（2分）
式中， 为这一段导体棒的电阻.按题意有 ③（2分）
此时导体棒所受安培力大小为 ④（2分）
由题设和几何关系有
⑤（2分）
联立①②③④⑤式得
（2分）
题组三
一、选择题
1. [2023江苏，4分]如图所示，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场, 导体棒的 端位于圆心,棒的中点 位于磁场区域的边缘.现使导体棒绕 点在纸面内逆时针转动, 、 、 点电势分别为 、 、 ，则( A )
A. B.
C. D.
[解析] 导体棒 段旋转切割磁感线，根据右手定则可知 ； 段不切割磁感线，属于等势体，则 ，故 , 对， 错.
2. [2022重庆，4分]如图1所示，光滑的平行导电轨道水平固定在桌面上，轨道间连接一可变电阻，导体杆与轨道垂直并接触良好（不计杆和轨道的电阻），整个装置处在垂直于轨道平面向上的匀强磁场中.杆在水平向右的拉力作用下先后两次都由静止开始做匀加速直线运动，两次运动中拉力大小与速率的关系如图2所示.其中，第一次对应直线①，初始拉力大小为 ，改变电阻阻值和磁感应强度大小后，第二次对应直线②，初始拉力大小为 ，两直线交点的纵坐标为 .若第一次和第二次运动中的磁感应强度大小之比为 、电阻的阻值之比为 、杆从静止开始运动相同位移的时间之比为 ，则 、 、 可能为( C )
图1 图2
A. 、 、 B. 、 、
C. 、 、 D. 、 、
[解析]
3. [2022全国甲，6分]三个用同样的细导线做成的刚性闭合线框，正方形线框的边长与圆线框的直径相等，圆线框的半径与正六边形线框的边长相等，如图所示.把它们放入磁感应强度随时间线性变化的同一匀强磁场中，线框所在平面均与磁场方向垂直，正方形、圆形和正六边形线框中感应电流的大小分别为 、 和 .则 ( C )
A. B. C. D.
[解析] 设线框的面积为 ，周长为 ，导线的横截面积为 ，由法拉第电磁感应定律可知，线框中感应电动势 ，而线框的总电阻 ，所以线框中感应电流 ，由于三个线框处于同一线性变化的磁场中，且绕制三个线框的导线相同，设正方形线框的边长为 ，则三个线框的面积分别为 , , ，三个线框的周长分别为 ， ， ，则 ， 项正确.
【快解秘诀】 线框中的感应电动势 ，设单位长度的导线的电阻为 ，则 ，联立上式知 ,则 ： ： ，C项正确.
4. [2021广东，6分，多选]如图所示，水平放置足够长光滑金属导轨 和 , 与 平行, 是以 为圆心的圆弧导轨.圆弧 左侧和扇形 内有方向如图的匀强磁场.金属杆 的 端与 点用导线相接, 端与圆弧 接触良好.初始时,可滑动的金属杆 静止在平行导轨上.若杆 绕 点在匀强磁场区内从 到 匀速转动时,回路中始终有电流,则此过程中,下列说法正确的有( AD )
A. 杆 产生的感应电动势恒定 B. 杆 受到的安培力不变
C. 杆 做匀加速直线运动 D. 杆 中的电流逐渐减小
[解析] 杆 绕 点在匀强磁场区域内从 到 以角速度 匀速转动时，旋转切割产生的感应电动势为 ，其大小恒定，选项 正确；由右手定则可知，回路中产生逆时针方向的感应电流，对 杆由左手定则可知，其受到向左的安培力，向左做加速运动，切割磁感线产生反电动势，故电路中的电流逐渐减小，杆 所受的安培力减小、加速度减小，杆 受到的安培力也减小，故 、 错误， 正确.
【快解秘诀】 杆 匀速转动，则安培力方向随时发生改变，B项错误.
二、非选择题
5. [2022北京，12分]指南针是利用地磁场指示方向的装置，它的广泛使用促进了人们对地磁场的认识.现代科技可以实现对地磁场的精确测量.
（1）如图1所示，两同学把一根长约 的电线两端用其他导线连接一个电压表，迅速摇动这根电线.若电线中间位置的速度约 ，电压表的最大示数约 .粗略估算该处地磁场磁感应强度的大小 .
图1
[答案] 电线中间位置速度约 ，则整体平均速度
由 可估算出该处地磁场磁感应强度 的大小为 （3分）
（2）如图2所示，一矩形金属薄片，其长为 ，宽为 ，厚为 .大小为 的恒定电流从电极 流入、从电极 流出,当外加与薄片垂直的匀强磁场时， 、 两电极间产生的电压为 .已知薄片单位体积中导电的电子数为 ,电子的电荷量为 .求磁感应强度的大小 .
图2
[答案] 设导电电子定向移动的速率为 ， 时间内通过横截面的电荷量为 ，有 （2分）
导电电子定向移动过程中，在 方向受到的电场力与洛伦兹力平衡，有 （2分）
得 （1分）
（3）假定（2）中的装置足够灵敏，可用来测量北京地区地磁场磁感应强度的大小和方向,请说明测量的思路.
[答案] 如图，建立三维直角坐标系
设地磁场磁感应强度在三个坐标轴方向的分量分别为 、 、 .把金属薄片置于 平面内， 、 两极间产生电压 仅取决于 .由（2）得 （1分）
由 的正负（ 、 两极电势的高低）和电流 的方向可以确定 的方向.（1分）
同理，把金属薄片置于 平面内，可得 的大小和方向；把金属薄片置于 平面内，可得 的大小和方向，则地磁场的磁感应强度的大小为 （1分）
根据 、 、 的大小和方向可确定北京地区地磁场的磁感应强度的方向.（1分）
6. [2020浙江7月选考，10分]如图1所示，在绝缘光滑水平桌面上，以 为原点、水平向右为正方向建立 轴，在 区域内存在方向竖直向上的匀强磁场.桌面上有一边长 、电阻 的正方形线框 ,当平行于磁场边界的 边进入磁场时，在沿 方向的外力 作用下以 的速度做匀速运动，直到 边进入磁场时撤去外力.若以 边进入磁场时作为计时起点，在 内磁感应强度 的大小与时间 的关系如图2所示，在 内线框始终做匀速运动.
图1
图2
（1）求外力 的大小；
[答案] ,
回路电流 （1分）
安培力 （1分）
外力 （1分）
（2）在 内存在连续变化的磁场，求磁感应强度 的大小与时间 的关系；
[答案] 匀速出磁场，电流为0,磁通量不变
时， ,磁通量 （1分）
时刻，磁通量 （1分）
得 （1分）
（3）求在 内流过导线横截面的电荷量 .
[答案] 时电荷量 （1分）
时电荷量 （1分）
1. 时电荷量 （1分）
总电荷量 （1分）
电磁感应的综合应用
题组四
一、选择题
1. [2023辽宁，6分，多选]如图，两根光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，左、右两侧导轨间距分别为 和 ,处于竖直向上的磁场中，磁感应强度大小分别为 和 .已知导体棒 的电阻为 、长度为 ,导体棒 的电阻为 、长度为 , 的质量是 的2倍.初始时刻两棒静止，两棒中点之间连接一压缩量为 的轻质绝缘弹簧.释放弹簧，两棒在各自磁场中运动直至停止，弹簧始终在弹性限度内.整个过程中两棒保持与导轨垂直并接触良好，导轨足够长且电阻不计.下列说法正确的是( AC )
A. 弹簧伸展过程中，回路中产生顺时针方向的电流
B. 速率为 时， 所受安培力大小为
C. 整个运动过程中， 与 的路程之比为
D. 整个运动过程中，通过 的电荷量为
[解析] 弹簧伸展的过程中，穿过闭合回路的磁通量向上增加，由楞次定律可判断回路中的电流方向为顺时针， 正确；设 的质量为 ，则 的质量为 ，对 由动量定理得 ，对 由动量定理得 ，解得导体棒 与 的速度关系为 ， 速率为 时，回路中的感应电动势大小为 ，回路中的感应电流大小为 ，则 所受的安培力大小为 ， 错误；整个运动过程中， 的加速度为 ， 的加速度为 ，则 ，由 选项分析可知 与 的速率之比为 ，则由公式 可知 与 的路程之比为 ， 正确；由 选项分析可知两导体棒静止时， 的位移大小为 ， 的位移大小为 ，由法拉第电磁感应定律得 ，又 ，通过 的电荷量为 ，整理得 ，代入数据解得 ， 错误.
2. [2023浙江6月选考，3分]如图所示，质量为 、电阻为 、长为 的导体棒，通过两根长均为 、质量不计的导电细杆连在等高的两固定点上，固定点间距也为 .细杆通过开关 可与直流电源 或理想二极管串接.在导体棒所在空间存在磁感应强度方向竖直向上、大小为 的匀强磁场，不计空气阻力和其他电阻.开关 接1，当导体棒静止时，细杆与竖直方向的夹角 ；然后开关 接2,棒从右侧开始运动完成一次振动的过程中( C )
A. 电源电动势
B. 棒消耗的焦耳热
C. 从左向右运动时,最大摆角小于
D. 棒两次过最低点时感应电动势大小相等
[解析] 作出静止时导体棒的受力图如图所示，由于 ,故安培力 ，又 ，电流 ，解得 ， 错；开关 接2，导体棒先向左运动，回路中有电流，棒会产生焦耳热，然后由于重力的作用，棒向右运动，由于二极管的作用，此过程回路中无电流，棒不会产生焦耳热，故导体棒完成一次全振动，在最低点时速度不为0，即 ，由能量守恒定律可知棒完成一次振动的过程消耗的焦耳热满足 ,所以 ， 错；导体棒从右向左摆动，会产生焦耳热，故由能量守恒定律可知，其从右向左运动的最大摆角小于 ，由对称性可知导体棒从左向右摆动时，最大摆角也小于 ， 对；导体棒第二次通过最低点的速度小于第一次通过最低点的速度，故两次通过最低点的速度大小不等，由 可知，产生的感应电动势大小也不相等， 错.
【考情速递】 通过开关、导体棒与电源和二极管相连，是本题最大的创新点，本题通过一个背景考查了多个物理模型.（1）考查安培力作用下导体棒的平衡；（2）判断动生电动势方向，考查电磁感应电流方向能否通过二极管，从而判断电路的通与断.
3. [2022湖北，4分，多选]如图所示，两平行导轨在同一水平面内.一导体棒垂直放在导轨上，棒与导轨间的动摩擦因数恒定.整个装置置于匀强磁场中，磁感应强度大小恒定，方向与金属棒垂直、与水平向右方向的夹角 可调.导体棒沿导轨向右运动，现给导体棒通以图示方向的恒定电流，适当调整磁场方向，可以使导体棒沿导轨做匀加速运动或匀减速运动.已知导体棒加速时，加速度的最大值为 ；减速时，加速度的最大值为 ，其中 为重力加速度大小.下列说法正确的是( BC )
A. 棒与导轨间的动摩擦因数为
B. 棒与导轨间的动摩擦因数为
C. 加速阶段加速度大小最大时，磁场方向斜向下，
D. 减速阶段加速度大小最大时，磁场方向斜向上，
[解析] 设安培力的大小为 ,当导体棒加速且安培力方向朝右上时，导体棒的加速度才有可能最大，导体棒受力图如图甲所示，根据牛顿第二定律得 ， ，而 ,整理得 ,加速度的最大值为 .当导体棒减速且安培力方向朝左下时，导体棒的加速度才有可能最大，导体棒受力图如图乙所示，根据牛顿第二定律得 ， ，而 ,整理得 ,加速度的最大值为 .联立解得 ，所以选项 正确， 错误.加速阶段加速度大小最大时， ,根据左手定则可知磁场方向斜向下， ，即选项 正确.减速阶段加速度大小最大时， ，根据左手定则可知磁场方向斜向上， ，即选项 错误.
图甲 图乙
4. [2022山东，4分，多选]如图所示， 平面的第一、三象限内以坐标原点 为圆心、半径为 的扇形区域充满方向垂直纸面向外的匀强磁场.边长为 的正方形金属框绕其始终在 点的顶点、在 平面内以角速度 顺时针匀速转动. 时刻，金属框开始进入第一象限.不考虑自感影响，关于金属框中感应电动势 随时间 变化规律的描述正确的是( BC )
A. 在 到 的过程中， 一直增大
B. 在 到 的过程中， 先增大后减小
C. 在 到 的过程中， 的变化率一直增大
D. 在 到 的过程中， 的变化率一直减小
[解析] 如图所示，金属框切割磁感线的有效长度为 ，根据转动切割磁感线产生的感应电动势公式有 ，从图中可以看出在 到 的过程中， 是先增大到 ,再减小到 ，所以电动势 先增大后减小， 项错误, 项正确.在 到 的过程中， ，感应电动势的表达式可写为 ，由表达式可以看出在 到 的过程中， 的变化率一直增大， 项正确， 项错误.
5. [2021全国甲，6分，多选]由相同材料的导线绕成边长相同的甲、乙两个正方形闭合线圈，两线圈的质量相等，但所用导线的横截面积不同，甲线圈的匝数是乙的2倍.现两线圈在竖直平面内从同一高度同时由静止开始下落，一段时间后进入一方向垂直于纸面的匀强磁场区域，磁场的上边界水平，如图所示.不计空气阻力，已知下落过程中线圈始终平行于纸面，上、下边保持水平.在线圈下边进入磁场后且上边进入磁场前，可能出现的是( AB )
A. 甲和乙都加速运动 B. 甲和乙都减速运动
C. 甲加速运动，乙减速运动 D. 甲减速运动，乙加速运动
[解析] 由于甲、乙线圈的材料、边长和质量均相同，故导线的体积相同，而甲线圈的匝数 是乙的匝数 的2倍，因此甲的长度 是乙的长度 的2倍，甲的横截面积 是乙的横截面积 的 ，根据电阻定律 可知，甲的电阻 是乙的电阻 的4倍，则甲进入磁场后所受安培力 ，乙进入磁场后所受安培力 ，由于 、 ，故 ，由于甲、乙的质量和进入磁场时的速度都相同，故其合外力相同，加速度相同，因此甲、乙可能都加速、可能都匀速、还可能都减速，故选项 、 正确，选项 、 错误.
二、非选择题
6. [2022重庆，12分]某同学以金属戒指为研究对象，探究金属物品在变化磁场中的热效应.如图所示，戒指可视为周长为 、横截面积为 、电阻率为 的单匝圆形线圈，放置在匀强磁场中，磁感应强度方向垂直于戒指平面.若磁感应强度大小在 时间内从0均匀增加到 ，求：
（1）戒指中的感应电动势和电流；
[答案] 设戒指的半径为 ，则其周长 ，磁感应强度大小在 时间内从0均匀增加到 ，产生的感应电动势为
（2分）
可得 （2分）
戒指的电阻为 （2分）
则戒指中的感应电流为 （3分）
（2）戒指中电流的热功率.
[答案] 解法一 戒指中电流的热功率为
（3分）
解法二 由于戒指是纯电阻电路，故电流的热功率
解法三 由于戒指是纯电阻电路，故电流的热功率
题组五
一、选择题
1. [2022上海，4分]如图，一个正方形导线框以初速度 向右穿过一个有界的匀强磁场.线框两次速度发生变化所用时间分别为 和 ，这两段时间内克服安培力做的功分别为 和 ，则( B )
A. , B. ，
C. , D. ，
[解析]
2. [2021山东，4分，多选]如图所示，电阻不计的光滑 形金属导轨固定在绝缘斜面上.区域Ⅰ、Ⅱ中磁场方向均垂直斜面向上，Ⅰ区中磁感应强度随时间均匀增加，Ⅱ区中为匀强磁场.阻值恒定的金属棒从无磁场区域中 处由静止释放，进入Ⅱ区后，经 下行至 处反向上行.运动过程中金属棒始终垂直导轨且接触良好.在第一次下行和上行的过程中，以下叙述正确的是( ABD )
A. 金属棒下行过 时的速度大于上行过 时的速度
B. 金属棒下行过 时的加速度大于上行过 时的加速度
C. 金属棒不能回到无磁场区
D. 金属棒能回到无磁场区，但不能回到 处
[解析] 在Ⅰ区域中，磁感应强度为 为常量)，感应电动势为 ，感应电动势恒定，所以金属棒在进入Ⅱ区前，回路中的感应电流恒为 ，根据楞次定律判断出电流方向为顺时针，金属棒进入Ⅱ区后，金属棒切割磁感线产生的感应电动势 ，根据右手定则判断出方向为顺时针，回路中因切割产生的电流为 ，Ⅰ区域产生的电流使金属棒受到的安培力始终沿导轨向上，大小恒定不变，因为金属棒到达 点后又能上行，说明进入Ⅱ区下行时加速度始终沿导轨向上，下行和上行经过 点的受力分析分别如图1、图2所示，下行过程中，由牛顿第二定律有 ，上行过程中，由牛顿第二定律有 ，比较加速度大小可知 ，由于 段距离不变，下行过程中加速度大，上行过程中加速度小，故金属棒下行经过 点时的速度大于上行经过 点时的速度， 、 项正确；Ⅰ区域产生的安培力总是大于沿导轨向下的作用力，故金属棒一定能回到无磁场区域，由于整个过程中电流通过金属棒产生焦耳热，金属棒的机械能减少，故金属棒不能回到 处， 项错误， 项正确.
图1 图2
3. [2020全国Ⅰ，6分，多选]如图， 形光滑金属框 置于水平绝缘平台上， 和 边平行，和 边垂直. 、 足够长，整个金属框电阻可忽略.一根具有一定电阻的导体棒 置于金属框上，用水平恒力 向右拉动金属框，运动过程中，装置始终处于竖直向下的匀强磁场中， 与金属框保持良好接触，且与 边保持平行.经过一段时间后( BC )
A. 金属框的速度大小趋于恒定值
B. 金属框的加速度大小趋于恒定值
C. 导体棒所受安培力的大小趋于恒定值
D. 导体棒到金属框 边的距离趋于恒定值
[解析] 用水平恒力 向右拉动金属框， 边切割磁感线产生感应电动势，回路中有感应电流 ， 边受到水平向左的安培力作用，设金属框的质量为 ，加速度为 ，由牛顿第二定律有 ；导体棒 受到向右的安培力，向右做加速运动，设导体棒的质量为 ，加速度为 ，由牛顿第二定律有 .设金属框 边的速度为 时，导体棒的速度为 ，则回路中产生的感应电动势为 ，由闭合电路欧姆定律 ， ，可得金属框 边所受安培力和导体棒 所受的安培力均为 ,二者加速度之差 ，随着所受安培力的增大，二者加速度之差 减小，当 减小到零时， ，之后金属框和导体棒的速度之差 ,保持不变.由此可知，金属框的速度逐渐增大，金属框所受安培力趋于恒定值，金属框的加速度大小趋于恒定值，导体棒所受的安培力 趋于恒定值，选项 错误， 、 正确；导体棒到金属框 边的距离 ,随时间的增大而增大，选项 错误.
【光速解法】 对金属框， ，对导体棒， ，在闭合电路中： .刚开始金属框的加速度较大，导体棒 的加速度较小，两者速度差增大， 增大，当二者加速度相同时，速度差恒定，电流恒定，所以最终加速度大小趋于恒定值，安培力大小趋于恒定值，两者速度差不变，则导体棒到 边的距离越来越大，B、C正确.
4. [2020浙江7月选考，3分]如图所示，固定在水平面上的半径为 的金属圆环内存在方向竖直向上、磁感应强度大小为 的匀强磁场.长为 的金属棒，一端与圆环接触良好，另一端固定在竖直导电转轴 上，随轴以角速度 匀速转动，在圆环的 点和电刷间接有阻值为 的电阻和电容为 、板间距为 的平行板电容器，有一带电微粒在电容器极板间处于静止状态.已知重力加速度为 ，不计其他电阻和摩擦，下列说法正确的是( B )
A. 棒产生的电动势为 B. 微粒的电荷量与质量之比为
C. 电阻消耗的电功率为 D. 电容器所带的电荷量为
[解析] 棒产生的电动势为 ，选项 错误.金属棒电阻不计，故电容器两极板间的电压等于棒产生的电动势，微粒的重力与其受到的电场力大小相等，有 ，可得 ，选项 正确.电阻消耗的电功率 ，选项 错误.电容器所带的电荷量 ，选项 错误.
二、非选择题
5. [2023全国甲，20分]如图，水平桌面上固定一光滑 型金属导轨，其平行部分的间距为 ，导轨的最右端与桌子右边缘对齐，导轨的电阻忽略不计.导轨所在区域有方向竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为 .一质量为 、电阻为 、长度也为 的金属棒 静止在导轨上.导轨上质量为 的绝缘棒 位于 的左侧，以大小为 的速度向 运动并与 发生弹性碰撞，碰撞时间极短.碰撞一次后， 和 先后从导轨的最右端滑出导轨，并落在地面上同一地点. 在导轨上运动时，两端与导轨接触良好， 与 始终平行.不计空气阻力.求
（1）金属棒 滑出导轨时的速度大小；
[答案] 与 发生弹性碰撞，由动量守恒定律有
（1分）
由能量守恒定律有
（1分）
联立解得 ， （2分）
根据题述， 、 落到地面上同一地点，结合平抛运动规律可知，金属棒 滑出导轨时的速度大小为 （1分）
（2）金属棒 在导轨上运动过程中产生的热量；
[答案] 由能量守恒定律可得，金属棒 在导轨上运动过程中产生的热量为
（2分）
（3）与 碰撞后，绝缘棒 在导轨上运动的时间.
[答案] 在导轨上做变速运动，设速度大小为 时金属棒中产生的感应电动势大小为 ，电流大小为 ，在 时间内速度变化 ，则由法拉第电磁感应定律有 （1分）
由闭合电路欧姆定律有 （1分）
金属棒 所受的安培力 （1分）
由动量定理有 （2分）
即 （1分）
方程两侧求和得 （1分）
即 （1分）
注意到 ， （2分）
联立解得 （1分）
对绝缘棒 有 （1分）
解得与 碰撞后，绝缘棒 在导轨上运动的时间为 （1分）
6. [2022上海，16分]如图甲，间距为 的两导轨固定，导轨间存在着垂直于纸面且磁感应强度 的匀强磁场，虚线框Ⅰ、Ⅱ中有定值电阻 和最大阻值为 的滑动变阻器 （均未画出）.一根与导轨间距相等的金属杆以恒定速率向右运动，图乙和图丙分别为滑动变阻器全部接入和一半接入时沿 方向电势变化的图像.
图甲
图乙
图丙
（1）判断匀强磁场的方向;
[答案] 由电势变化图像可以看出， 点电势最高，则金属杆上端相当于电源的正极，根据右手定则可判断出匀强磁场方向为垂直纸面向里.（2分）
（2）分析并说明定值电阻 是在Ⅰ中还是Ⅱ中，并求 的大小;
[答案] 滑动变阻器接入电路的阻值减小时，回路中电流变大，定值电阻 两端电势差增大，结合题图乙、图丙可知， 、 间接定值电阻 ，即定值电阻 是在Ⅰ中.（2分）
由于两次过程， 点电势不变，所以金属杆没有电阻
对图乙过程，有
（1分）
对图丙过程，有
（1分）
联立解得 , （2分）
（3）求金属杆运动时的速率;
[答案] 金属杆切割磁感线产生的电动势
（2分）
代入数据解得 （2分）
（4）滑动变阻器阻值为多少时消耗的功率最大 求出该最大功率 .
[答案] 将定值电阻与金属杆等效为一个电源，当外电路电阻和等效电源的内阻相等时，外电路消耗功率最大，则此时滑动变阻器接入电路的电阻为 （2分）
消耗的功率 （2分）
题组六
一、选择题
1. [2022全国甲，6分，多选]如图，两根相互平行的光滑长直金属导轨固定在水平绝缘桌面上，在导轨的左端接入电容为 的电容器和阻值为 的电阻.质量为 、阻值也为 的导体棒 静止于导轨上，与导轨垂直，且接触良好，导轨电阻忽略不计，整个系统处于方向竖直向下的匀强磁场中.开始时，电容器所带的电荷量为 ,合上开关 后，( AD )
A. 通过导体棒 电流的最大值为
B. 导体棒 向右先加速、后匀速运动
C. 导体棒 速度最大时所受的安培力也最大
D. 电阻 上产生的焦耳热大于导体棒 上产生的焦耳热
[解析] 开始时电容器两极板间的电压 ，合上开关瞬间，通过导体棒的电流 ，随着电容器放电，通过电阻、导体棒的电流不断减小，所以在开关闭合瞬间，导体棒所受安培力最大， 项正确， 项错误；由于回路中有电阻与导体棒，最终电能完全转化为焦耳热，故导体棒最终必定静止， 项错误；由于导体棒切割磁感线，产生感应电动势，所以通过导体棒的电流始终小于通过电阻的电流，由焦耳定律可知，电阻 上产生的焦耳热大于导体棒 上产生的焦耳热， 项正确.
2. [2021福建，6分，多选]如图， 、 是两根固定在水平面内的光滑平行金属导轨，间距为 ，导轨足够长且电阻可忽略不计.图中 矩形区域内有方向垂直导轨平面向上、磁感应强度大小为 的匀强磁场.在 时刻，两均匀金属棒 、 分别从磁场边界 、 进入磁场，速度大小均为 ；一段时间后，流经 棒的电流为0，此时 ， 棒仍位于磁场区域内.已知金属棒 、 由相同材料制成，长度均为 ，电阻分别为 和 ， 棒的质量为 .在运动过程中两金属棒始终与导轨垂直且接触良好， 、 棒没有相碰，则( AD )
A. 时刻 棒的加速度大小为
B. 时刻 棒的速度为0
C. 时间内，通过 棒横截面的电荷量是 棒的2倍
D. 时间内， 棒产生的焦耳热为
[解析] 在 时刻，两均匀金属棒 、 分别从磁场边界 、 进入磁场，速度大小均为 ，由右手定则可判断出两金属棒产生的感应电流方向都是逆时针方向，产生的感应电动势都是 ，由闭合电路欧姆定律可得， 时刻 金属棒中的感应电流 ，受到的安培力 ，由牛顿第二定律 可得， 时刻 棒的加速度大小为 ，选项 正确；由于金属棒 、 串联构成回路，所以在 时间内，通过 棒横截面的电荷量与 棒的相同，选项 错误；由于金属棒 、 电阻分别为 和 ，金属棒 、 串联构成回路，二者电流相等，由焦耳定律可知金属棒 、 产生的焦耳热之比为 ，设 时间内， 棒产生的焦耳热为 ，则 棒产生的焦耳热为 ，又两者材料相同，由电阻定律可知，金属棒 的横截面积为 的2倍，故体积为 的2倍，质量为 的2倍，即 的质量为 ， 时刻流经 棒的电流为0，且 棒仍位于磁场区域内，说明金属棒 、 具有共同速度，由动量守恒定律有 ，解得 ，由能量守恒定律有 ，解得 ，选项 错误， 正确.
3. [2021辽宁，6分，多选]如图（a）所示，两根间距为 、足够长的光滑平行金属导轨竖直放置并固定，顶端接有阻值为 的电阻.垂直导轨平面存在变化规律如图（b）所示的匀强磁场， 时磁场方向垂直纸面向里.在 到 的时间内，金属棒水平固定在距导轨顶端 处； 时，释放金属棒.整个过程中金属棒与导轨接触良好，导轨与金属棒的电阻不计，则( BC )
图（a）
图（b）
A. 在 时，金属棒受到安培力的大小为
B. 在 时，金属棒中电流的大小为
C. 在 时，金属棒受到安培力的方向竖直向上
D. 在 时，金属棒中电流的方向向右
[解析] 在 时间内，回路中磁感应强度的变化率大小恒为 ，由法拉第电磁感应定律可得回路中产生的感应电动势 ，由闭合电路欧姆定律可得金属棒中电流 ，在 时， ，此时金属棒受到的安培力的大小 ，选项 错误, 正确；在 时，磁场方向垂直纸面向外，由楞次定律可判断出产生的感应电流方向为顺时针方向，金属棒中电流从右向左，由左手定则可判断出此时金属棒受到安培力的方向竖直向上，选项 正确； 后，磁场方向垂直纸面向外且恒定，金属棒向下运动，由右手定则可判断出金属棒中电流的方向向左，故选项 错误.
4. [2020山东，4分，多选]如图所示，平面直角坐标系的第一和第二象限分别存在磁感应强度大小相等、方向相反且垂直于坐标平面的匀强磁场，图中虚线方格为等大正方形.一位于 平面内的刚性导体框 在外力作用下以恒定速度沿 轴正方向运动（不发生转动）.从图示位置开始计时， 末 边刚好进入磁场.在此过程中，导体框内感应电流的大小为 ， 边所受安培力的大小为 ，二者与时间 的关系图像可能正确的是( BC )
A. B. C. D.
[解析] 第 内， 边切割磁感线，由 可知，感应电动势不变，导体框总电阻一定，故感应电流一定，由安培力 可知 边所受安培力与 边进入磁场的长度成正比；第 内，导体框切割磁感线的有效长度均匀增大，感应电动势均匀增大，感应电流均匀增大；第 内，导体框在第二象限内切割磁感线的有效长度保持不变，在第一象限内切割磁感线的有效长度不断增大，但两象限磁场方向相反，导体框的两部分感应电动势方向相反，所以第 末感应电动势达到最大，之后便不断减小，第 末与第 末，导体框切割磁感线的有效长度相同，可知第 末与第 末线框中产生的感应电流大小相等， 项错误， 项正确；但第 末 边进入磁场的长度是第 末的3倍，即 边所受安培力在第 末的大小等于第 末所受安培力大小的3倍， 项正确， 项错误.
二、非选择题
5. [2023湖南，14分]如图，两根足够长的光滑金属直导轨平行放置，导轨间距为 ，两导轨及其所构成的平面均与水平面成 角，整个装置处于垂直于导轨平面斜向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为 .现将质量均为 的金属棒 、 垂直导轨放置，每根金属棒接入导轨之间的电阻均为 .运动过程中金属棒与导轨始终垂直且接触良好，金属棒始终未滑出导轨，导轨电阻忽略不计，重力加速度为 .
（1）先保持棒 静止，将棒 由静止释放，求棒 匀速运动时的速度大小 ;
[答案] 棒 匀速运动时，对棒 分析，由平衡条件有
（1分）
由法拉第电磁感应定律有 （1分）
由欧姆定律有 （1分）
联立解得 （1分）
（2）在（1）问中，当棒 匀速运动时，再将棒 由静止释放，求释放瞬间棒 的加速度大小 ；
[答案] 当棒 匀速运动时，释放棒 ，分析可知，棒 受到沿导轨向下的安培力，则释放棒 的瞬间，对棒 ，由牛顿第二定律有
（1分）
又
解得 （1分）
（3）在（2）问中，从棒 释放瞬间开始计时，经过时间 ，两棒恰好达到相同的速度 ，求速度 的大小，以及时间 内棒 相对于棒 运动的距离 .
[答案] 释放棒 后，由于棒 中产生的感应电动势对于回路来说，与棒 中产生的感应电动势方向相反，所以两棒所受安培力均减小，对棒 ，由动量定理有
（1分）
对棒 ，由动量定理有
（1分）
结合（1）问结果联立解得 （1分）
设棒 速度为 时产生的感应电动势为 ，则 （1分）
同理设棒 速度为 时产生的感应电动势为 ，则
棒中电流为 （1分）
两棒所受安培力的大小均为 （1分）
对棒 ，由动量定理有mgsin θ+ （1分）
对方程两侧求和，即 mgsin θ+
注意 ， ，
解得 （1分）
【考情速递】 本题以双棒在磁场中运动为情境，综合考查法拉第电磁感应定律、受力分析、共点力平衡、牛顿第二定律、动量定理等主干内容，情境和模型对学生来说都比较熟悉，但由于过程复杂，试题还是有一定难度，体现了四层四翼中的综合性，考查学生的分析综合能力.
6. [2022湖北，15分]如图所示，高度足够的匀强磁场区域下边界水平、左右边界竖直，磁场方向垂直于纸面向里.正方形单匝线框 的边长 、回路电阻 、质量 .线框平面与磁场方向垂直，线框的 边与磁场左边界平齐， 边与磁场下边界的距离也为 .现对线框施加与水平向右方向成 角、大小为 的恒力 ，使其在图示竖直平面内由静止开始运动.从 边进入磁场开始，在竖直方向线框做匀速运动； 边进入磁场时， 边恰好到达磁场右边界.重力加速度大小取 ，求：
（1） 边进入磁场前，线框在水平方向和竖直方向的加速度大小；
[答案] 边进入磁场前，对线框进行受力分析，在水平方向有
（1分）
代入数据有 （1分）
在竖直方向有 （1分）
代入数据有 （1分）
（2）磁场的磁感应强度大小和线框进入磁场的整个过程中回路产生的焦耳热；
[答案] 边进入磁场后， 边在竖直方向切割磁感线； 边和 边的上部分也进入磁场，且在水平方向切割磁感线.但 和 边的上部分产生的感应电动势相互抵消，则整个回路的电源为 ，根据右手定则可知回路的电流方向为 ，则从 边进入磁场开始， 边受到的安培力竖直向下， 边的上部分受到的安培力水平向右， 边的上部分受到的安培力水平向左，则 边和 边的上部分受到的安培力相互抵消，故线框 受到的安培力的合力等于 边受到的竖直向下的安培力.又线框从 边进入磁场开始，在竖直方向线框做匀速运动，有
（1分）
（1分）
联立解得 （1分）
由题知，从 边进入磁场开始，在竖直方向线框做匀速运动； 边进入磁场时， 边恰好到达磁场右边界.线框进入磁场的整个过程中，线框受到的安培力为恒力，则有
（1分）
（1分）
联立解得 （1分）
（3）磁场区域的水平宽度.
[答案] 设线框从开始运动到进入磁场的整个过程所用的时间为 ，则有
（1分）
（1分）
联立解得 （1分）
结合（2）中分析可知线框在水平方向一直做匀加速直线运动，则在水平方向有
（1分）
则磁场区域的水平宽度为 （1分）
题组七
一、选择题
1. [2022河北，6分，多选]如图,两光滑导轨水平放置在竖直向下的匀强磁场中,一根导轨位于 轴上,另一根由 、 、 三段直导轨组成,其中 段与 轴平行,导轨左端接入一电阻 .导轨上一金属棒 沿 轴正向以速度 保持匀速运动, 时刻通过坐标原点 ,金属棒始终与 轴垂直.设运动过程中通过电阻的电流强度为 ,金属棒受到安培力的大小为 ,金属棒克服安培力做功的功率为 ,电阻两端的电压为 ,导轨与金属棒接触良好,忽略导轨与金属棒的电阻.下列图像可能正确的是( AC )
A. B.
C. D.
[解析] 设 ， 所在直线与 轴的夹角为 ，则金属棒匀速运动时，在金属棒上产生的感应电动势大小为 ，感应电流为 ， 的过程中 ，整理得 ，则金属棒上的感应电流随时间均匀增加，同理分析可知 的过程中感应电流不变， 的过程中感应电流随时间均匀减小， 正确， 错误；金属棒在 点时所受的安培力大小不为零， 错误；由公式 可知金属棒在 的过程中克服安培力做功的功率与时间的关系为二次函数关系，则功率随时间增加，同理结合以 的过程中功率不变， 的过程中上分析可知功率减小， 正确.
【光速解法】 本题还可以用排除法快速解题！由于 时金属棒中的感应电流不为零，则安培力一定不为零，B错误；金属棒匀速运动，有效切割长度均匀增加，则金属棒中的感应电动势均匀增加，电阻两端的电压均匀增加，D错误.
2. [2022湖南，5分，多选]如图，间距 的 形金属导轨，一端接有 的定值电阻 ，固定在高 的绝缘水平桌面上.质量均为 的匀质导体棒 和 静止在导轨上，两导体棒与导轨接触良好且始终与导轨垂直，接入电路的阻值均为 ，与导轨间的动摩擦因数均为 （设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），导体棒 距离导轨最右端 .整个空间存在竖直向下的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度大小为 .用 沿导轨水平向右的恒力拉导体棒 ，当导体棒 运动到导轨最右端时，导体棒 刚要滑动，撤去 ，导体棒 离开导轨后落到水平地面上.重力加速度取 ，不计空气阻力，不计其他电阻，下列说法正确的是( BD )
A. 导体棒 离开导轨至落地过程中，水平位移为
B. 导体棒 离开导轨至落地前，其感应电动势不变
C. 导体棒 在导轨上运动的过程中，导体棒 有向右运动的趋势
D. 导体棒 在导轨上运动的过程中，通过电阻 的电荷量为
[解析] 导体棒 向右运动时，由楞次定律可知，导体棒 有向左运动的趋势， 项错误；设导体棒 运动到最右端时的速度为 ，此时棒 切割磁感线产生的感应电动势 ,回路中的感应电流 ， ，此时棒 所受安培力为 ，导体棒 刚要滑动，故所受静摩擦力 达到最大值，此时 ，联立以上各式解得 ，导体棒 离开导轨到落地做平抛运动，有 , ，解得 ， 项错误；磁场方向竖直向下，导体棒 离开导轨后在水平方向做匀速直线运动,又 ,可知导体棒 平抛过程中感应电动势不变， 项正确；导体棒 在导轨上运动过程中，感应电动势平均值为 ，回路中平均感应电流 ，通过导体棒 的电荷量 ，联立三式解得 ，导体棒 与定值电阻 并联，所以通过电阻 的电荷量 ， 项正确.
3. [2021北京，3分]如图所示，在竖直向下的匀强磁场中，水平 形导体框左端连接一阻值为 的电阻，质量为 、电阻为 的导体棒 置于导体框上.不计导体框的电阻、导体棒与框间的摩擦. 以水平向右的初速度 开始运动，最终停在导体框上.在此过程中 ( C )
A. 导体棒做匀减速直线运动
B. 导体棒中感应电流的方向为
C. 电阻 消耗的总电能为
D. 导体棒克服安培力做的总功小于
[解析] 由右手定则可知，导体棒中感应电流的方向为 ， 错误；由左手定则可知，安培力方向向左，导体棒的速度逐渐变小，故感应电动势逐渐变小，感应电流逐渐变小，导体棒受到的安培力逐渐变小，加速度逐渐变小，故 错误；由能量守恒定律可知，总电阻消耗的总电能为 ，故电阻 消耗的总电能为 ， 正确；由动能定理可知，导体棒克服安培力做的总功等于 ， 错误.
4. [2021湖南，5分，多选]两个完全相同的正方形匀质金属框,边长为 ，通过长为 的绝缘轻质杆相连，构成如图所示的组合体.距离组合体下底边 处有一方向水平、垂直纸面向里的匀强磁场.磁场区域上下边界水平，高度为 ，左右宽度足够大.把该组合体在垂直磁场的平面内以初速度 水平无旋转抛出，设置合适的磁感应强度大小 使其匀速通过磁场，不计空气阻力.下列说法正确的是( CD )
A. 与 无关，与 成反比
B. 通过磁场的过程中，金属框中电流的大小和方向保持不变
C. 通过磁场的过程中，组合体克服安培力做功的功率与重力做功的功率相等
D. 调节 、 和 ,只要组合体仍能匀速通过磁场，则其通过磁场的过程中产生的热量不变
[解析] 组合体进入磁场前在竖直方向上做自由落体运动，进入磁场后，其在竖直方向上做匀速运动，有 ，而竖直方向上有 ，故 与 无关，但 与 成反比， 项错误；组合体通过磁场的过程中，金属框进入磁场时，根据楞次定律可知，电流沿逆时针方向，出磁场时，电流沿顺时针方向， 项错误；在组合体通过磁场的过程中，克服安培力做的功与重力做的功相等，故克服安培力做功的功率与重力做功的功率相等， 项正确；只要组合体能匀速通过磁场，从下方金属框开始进入磁场到上方金属框离开磁场的过程，组合体下落的高度为 ，由能量守恒定律得，组合体减少的重力势能等于金属框中产生的热量，即 ， 与 、 和 无关， 项正确.
二、非选择题
5. （2023新课标理综，20分）一边长为 、质量为 的正方形金属细框，每边电阻为 ，置于光滑的绝缘水平桌面（纸面）上.宽度为 的区域内存在方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度大小为 ，两虚线为磁场边界，如图（a）所示.
图（a）
（1）使金属框以一定的初速度向右运动，进入磁场.运动过程中金属框的左、右边框始终与磁场边界平行，金属框完全穿过磁场区域后，速度大小降为它初速度的一半，求金属框的初速度大小.
[答案] 设金属框的初速度大小为 ，则金属框完全穿过磁场的过程，由动量定理有
（2分）
通过线框的电流 （1分）
根据法拉第电磁感应定律有 （1分）
联立解得 （1分）
（2）在桌面上固定两条光滑长直金属导轨，导轨与磁场边界垂直，左端连接电阻 ，导轨电阻可忽略，金属框置于导轨上，如图（b）所示.让金属框以与（1）中相同的初速度向右运动，进入磁场.运动过程中金属框的上、下边框处处与导轨始终接触良好.求在金属框整个运动过程中，电阻 产生的热量.
图（b）
[答案] 金属框进入磁场的过程，有
（1分）
闭合电路的总电阻 （1分）
通过线框的电流 （1分）
根据法拉第电磁感应定律有 （1分）
解得 （1分）
金属框完全在磁场中时继续做加速度逐渐减小的减速运动，金属框的右边框和左边框为电源，两电源并联给外电路供电，假设金属框的右边框没有出磁场右边界，则有
（1分）
通过金属框的电流 （1分）
根据法拉第电磁感应定律有 （1分）
解得
故假设成立，金属框的右边框恰好停在磁场右边界处（1分）
对金属框进入磁场过程分析，由能量守恒定律有
（1分）
电阻 产生的热量为 （1分）
金属框完全在磁场中运动过程，有 （1分）
电阻 产生的热量为 （1分）
电阻 产生的总热量为 总 （1分）
解得 总 （1分）
【易错警示】 （1）图（b）情况中，金属框在进磁场时，金属框右边框切割磁感线，金属框在出磁场时，金属框左边框切割磁感线，两种情况上下两边框都被短路，解题时，极易把上下边框的电阻都考虑上，导致运算量很大，耗时很长，模型建构还错误，丢掉大量的分数.（2）金属框完全在磁场中运动时，金属框的右边框和左边框为电源，两电源并联给外电路供电，两边框中电流方向相同、所受安培力均向左减小，故金属框继续做加速度逐渐减小的减速运动，这里容易误认为金属框做匀速运动.
【考情速递】 金属框进出磁场是最常见的电磁感应模型，本题第一问就是经典模型再现.在第二问中，要考虑电路结构的变化，确定电源是第一步，确定电路的变化是第二步，由于金属导轨电阻不计，因此金属框的上下边框被短路，该物理模型在经典模型的基础上，进行了创新，反套路出题，全面考查考生的能力.
6. [2022辽宁，18分]如图所示，两平行光滑长直金属导轨水平放置，间距为 区域有匀强磁场，磁感应强度大小为 ，方向竖直向上.初始时刻，磁场外的细金属杆 以初速度 向右运动，磁场内的细金属杆 处于静止状态.两金属杆与导轨接触良好且运动过程中始终与导轨垂直.两杆的质量均为 ，在导轨间的电阻均为 ，感应电流产生的磁场及导轨的电阻忽略不计.
（1）求 刚进入磁场时受到的安培力 的大小和方向；
[答案] 当细金属杆 刚进入磁场时， 、 及导轨形成闭合回路
设回路中的感应电动势为 ，由法拉第电磁感应定律有
（1分）
根据闭合电路欧姆定律得，回路中的电流 （1分）
M刚进入磁场时受到的安培力 ，方向与 的运动方向相反，水平向左（2分）
（2）若两杆在磁场内未相撞且 出磁场时的速度为 ，求: 在磁场内运动过程中通过回路的电荷量 ；②初始时刻 到 的最小距离 ；
[答案] ①对金属杆 进行分析，设 在磁场内运动过程中回路中的平均电流为
由动量定理有 （2分）
N在磁场内运动过程中通过回路的电荷量 （1分）
②设 、 两杆在磁场内运动时的速度差为
当 、 同在磁场内运动时，回路中的感应电动势
则两杆受到的安培力 （1分）
若初始时刻 到 为最小距离，则当 出磁场时 恰好未与 相撞，有 （1分）
对 由动量定理有 （1分）
解得 （1分）
（3）初始时刻，若 到 的距离与第（2）问初始时刻的相同、到 的距离为 ，求 出磁场后不与 相撞条件下 的取值范围.
[答案] 两杆出磁场后在平行光滑长直金属导轨上运动，若 到 的距离与第（2）问初始时刻的相同、到 的距离为 ，则 到 边时速度大小恒为 ，根据动量守恒定律可知
（1分）
解得 出磁场时， 的速度大小
由题意可知，此时 到 边的距离 （1分）
要保证 出磁场后不与 相撞，则有两种临界情况：① 减速到 时出磁场，速度刚好等于 的速度，一定不与 相撞，对 根据动量定理有
（1分）
联立解得 （1分）
② 运动到 边时，恰好减速到零，则对 根据动量定理有
（1分）
同理可得 （1分）
综上所述， 出磁场后不与 相撞条件下 的取值范围为
（1分）
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