沪教版六年级数学下册试题 第五章 有理数 单元综合提优练习 （含解析）

第五章 有理数单元综合提优练习
一、单选题
1．若＞0，则必有（ ）
A．＞0，＞0 B．0，
C．， D．、同号
2．有理数，，, ，中，其中等于1的个数是（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
3．如图，数轴上，点A、B、C、D表示的数分别a、b、c、d．若，且，则下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列说法正确的是（ ）
①一个数的绝对值一定是正数；②若ab＜0，a＋b＞0，则a，b异号且正数的绝对值大于负数的绝对值；③当时，a一定是负数；④；⑤任何有理数都有倒数．
A．①②⑤ B．①③④ C．②④⑤ D．②
5．已知有理数a，b在数轴上表示的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）
A．ab>0 B．a-b<0 C．a+b<0 D．a+b>0
6．下列对数中，数值相等的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
7．倒数等于它本身的数是（　　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．0或±1
8．观察下列图形，依此规律，则第2021个图形中所有三角形的个数是（　　）
A．8081 B．8083 C．8085 D．8087
9．有理数a，b在数轴上表示如图所示，则下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．下列各组算式中，其值最小的是（　　）
A．﹣3﹣2 B．﹣|﹣3|×（﹣2）
C．﹣（﹣3）﹣2 D．﹣（﹣3）×（﹣2）
二、填空题
11．善于反思的小聪在学习了有理数及其运算后，进行了如下总结与反思请你仔细阅读并补全小聪的探究过程．
[典例再现]|3|＝3，|﹣3|＝3，22＝4，（﹣2）2＝4；
[总结归纳]
（1）观察上述例题，发现结论：
①互为相反数的两个数的绝对值 ；
② ；
[知识应用]
（2）已知|x|＝7，y2＝9，则x＝ ，y＝ ，若x＜y，则x﹣y＝ ．
12．已知a、b为有理数，下列说法：①若a、b互为相反数，则“＝﹣1；②若|a﹣b|+a﹣b＝0，则b＞a；③若a+b＜0，ab＞0，则|3a+4b|＝﹣3a﹣4b；④若|a|＞|b|，则（a+b） （a﹣b）是正数，其中正确的序号是 _____．
13．比较大小－______ － ； －（－3.2）______－．
14．已知|m＋3|与(n－2)2互为相反数，那么mn等于_______．
15．有理数在a、b、c在数轴上的位置如图所示，再下列结论中：①；②；③；④；⑤．正确的结论有_____________（填序号）
16．在－5，－3，－2，1，2，7这五个数中任取两数相乘，所得乘积中的最小数与最大数之差的绝对值为________．
17．如图，数轴上A、B两点之间的距离AB＝12，有一根木棒PQ，PQ在数轴上移动，当Q移动到与A、B其中一个端点重合时，点P所对应的数为5，且点P始终在点Q的左侧，当Q移动到线段AB的中点时，点P所对应的数为__________．
18．A是数轴上的一点，将点A沿着数轴移动3个单位长度至点B，再将点B沿着数轴移动4个单位长度至点C．若点C表示原点，用字母a，b分别表示点A，B在数轴上所对应的数．
（1）点A表示的数可能有_________个；
（2）若，则的值为_________．
19．三个整数a，b，c满足，且．若，则的最大值为_____．
20．已知[x]表示不超过x的最大整数．如：[3.2]＝3，[﹣0.7]＝﹣1．现定义：{x}＝[x]﹣x，如{1.5}＝[1.5]﹣1.5＝﹣0.5，则{3.9}+{﹣}＝_______．
三、解答题
21．网约汽车司机小杨某天上午在东西走向的大街上接送网约乘客，若规定向东为正，向西为负，且他这天上午所接六位乘客的行车里程如下（单位：千米）：
－2，＋5，－1，＋1，－6，－2，＋8，－3，－4，＋6，通过计算回答下列问题：
（1）将最后一位乘客送到目的地时，小杨在什么位置？
（2）若汽车耗油量为0.15升/千米，这天上午小杨接送乘客，汽车共耗油多少升？
22．阅读下面一段文字：在数轴上点A，B分别表示数a，b．A，B两点间的距离可以用符号表示，利用有理数减法和绝对值可以计算A，B两点之间的距离．
例如：当a＝2，b＝5时，＝5－2＝3；当a＝2，b＝－5时，＝＝7；当a＝－2，b＝－5时，＝＝3，综合上述过程，发现点A、B之间的距离＝（也可以表示为）．
请你根据上述材料，探究回答下列问题：
（1）表示数a和－2的两点间距离是6，则a＝ ；
（2）如果数轴上表示数a的点位于－4和3之间，则＝
（3）代数式的最小值是 ．
（4）如图，若点A，B，C，D在数轴上表示的有理数分别为a，b，c，d，则式子的最小值为 （用含有a，b，c，d的式子表示结果）
23．计算：
（1） （2）
（3） （4）
24．一年一度的“双十一”全球购物节完美收官，来自全国各地的包裹陆续发到本地快递公司．一快递小哥骑三轮摩托车从公司P出发，在一条东西走向的大街上来回投递包裹，现在他一天中七次连续行驶的记录如表（我们约定向东为正，向西为负，单位：千米）
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次
﹣2 +7 ﹣9 +10 +4 ﹣5 ﹣8
（1）快递小哥最后一次投递包裹结束时他在公司P的哪个方向上？距离公司P多少千米？
（2）在第 　 　次记录时快递小哥距公司P地最远．
（3）如果每千米耗油0.08升，每升汽油需7.2元，那么快递小哥投递完所有包裹需要花汽油费多少元？
（4）如果快递小哥从公司P出发投递包裹时摩托车有汽油5升，那么快递小哥在投递完最后一个包裹后能把摩托车送回到公司P吗，试计算说明．
25．计算：
（1）﹣8+4÷（﹣2）； （2）﹣23+（﹣3）×[（﹣4）2+2）]﹣（﹣2）2÷（﹣2）．
26．已知：是最大的负整数，，，且，请回答问题．
（1）请直接写出、、的值：________，________，________；
（2）在数轴上，、、所对应的点分别为、、，点为一动点，其对应的数为，点在到之间运动时（即时），请化简式子：（请写出化简过程）；
（3）在（1）（2）的条件下，点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变 若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
答案
一、单选题
1．D
【思路指引】
根据有理数的乘法法则求解即可．
【详解详析】
解：∵ab>0，
∴a与b同号，
故选：D．
2．A
【思路指引】
分别根据有理数的乘方、绝对值的性质及去括号的法则计算出各数即可．
【详解详析】
解：∵（-1）2=1；
（-1）3=-1；
-12=-1；
|-1|=1；
=1，
∴这一组数中等于1的有3个．
故选：A．
3．D
【思路指引】
先根据可得原点在点中间，且靠近点，再根据有理数的加减法与乘法运算、绝对值的意义逐项判断即可得．
【详解详析】
解：，
原点在点中间，且靠近点，
，且．
A、，此项错误；
B、，此项错误；
C、由得：，所以，此项错误；
D、由得：，由得：，所以，此项正确；
故选：D．
4．D
【思路指引】
根据绝对值的性质、倒数及加法法则分别进行判断可得．
【详解详析】
解：①一个数的绝对值一定是正数，也可能是0，此结论错误
②若ab＜0，a+b＞0，则a，b异号且正数的绝对值大，正确；
③当|a|=-a时，a不一定是负数，也可能是0，此结论错误；
④当a＜0时，|-a3|=-a3，此结论错误；
⑤0没有倒数，此结论错误；
∴正确的只有②；
故选：D．
5．C
【思路指引】
先根据数轴的性质可得，且，再根据有理数的乘法与加减法逐项判断即可得．
【详解详析】
解：由数轴得：，且．
A、，此项错误；
B、，此项错误；
C、，且，
，
，此项正确；
D、由选项C可知，，此项错误；
故选：C．
6．B
【思路指引】
根据各个选项中的式子可以求得正确的结果，从而可以解答本题．
【详解详析】
A. =-9，=9，A选项不符合题意；
B. =，B选项符合题意；
C. =-24，=-18，C选项不符合题意；
D. =-9，=8，D选项不符合题意；
故选：B
7．C
【思路指引】
根据乘积为1的两个数互为倒数，可得答案．
【详解详析】
解：倒数等于它本身的数是±1，
故选：C．
8．A
【思路指引】
根据图形特点找出规律，第一个图形有1个三角形，以后每个图形比前面的图形多4个三角形，计算即可．
【详解详析】
解：由题意可知：第一个图形有1个三角形，第2个图形有5个三角形，第3个图形有9个三角形，……
得到的规律是以后每个图形比前面的图形多4个三角形，
∴第n个图形有：1+4（n-1）个三角形，
∴第2021个图形有 ：1+4×（2021-1）=8081个三角形，
故选：A．
9．B
【思路指引】
根据数轴上点的位置确定出a与b的正负，以及绝对值的大小，再利用加法、乘法运算法则判断即可．
【详解详析】
解：由数轴上的位置得：a＜0＜b，且|a|＞|b|，
∴ab＜0，a+b＜0，
∴
故选：B．
10．D
【思路指引】
先根据有理数的相关计算法则求出每个选项的结果，然后根据有理数比较大小的方法：正数大于0，0大于负数，两个负数，绝对值越大其值越小，进行求解即可．
【详解详析】
解：，，，，
∵，
∴，
∴，
故选D．
二、填空题
11．（1）①相等；②互为相反数的两个数的平方相等；（2）±7，±3，或
【思路指引】
（1）①根据绝对值的运算性质即可判断；
②根据运算的规律，观察得出相应结论；
（2）根据（1）中的总结归纳及分类讨论的思想即可求解．
【详解详析】
解：（1）①相等；
理由：正数的绝对值是本身，负数的绝对值是其相反数，0的绝对值是本身；
②互为相反数的两个数的平方相等；
理由：根据平方的非负性即可得出结论；
故答案为：相等，互为相反数的两个数的平方相等；
（2），
由（1）知：，
；
，
由（1）知：，
，
若，
当，
，
当，
，
故答案为：，，或．
12．③④
【思路指引】
根据相反数的性质和绝对值的性质判断即可；
【详解详析】
∵若a、b互为相反数，
∴，
∴当a，b不为0时，＝﹣1，故①不正确；
∵，
∴，
∴，
∴，故②错误；
∵a+b＜0，ab＞0，
∴a＜0，b＜0，＜0 ，
∴|3a+4b|＝﹣3a﹣4b，
故③正确；
∵|a|＞|b|，
∴，
∴，
∴（a+b） （a﹣b），故④正确；
∴正确的是③④．
故答案是③④．
13．＜ ＞
【思路指引】
根据两个负数比较，绝对值大的反而小，正数大于负数，即可判断．
【详解详析】
解：∵=；=，
∴>，
∴－＜－；
∵－（－3.2）=3.2，=-3.2，
∴－（－3.2）＞－，
故答案为：＜，＞．
14．9
【思路指引】
根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程，再根据非负数的性质列方程求出m、n的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解详析】
解：∵|m+3|与（n-2）2互为相反数，
∴|m+3|+（n-2）2=0，
∴m+3=0，n-2=0，
解得m=-3，n=2，
所以，mn=（-3）2=9．
故答案为：9．
15．①②⑤
【思路指引】
先根据数轴的性质可得，且，再根据有理数的乘方、加减法与乘法、绝对值的性质逐个判断即可得．
【详解详析】
解：由数轴得：，且，
，结论①正确；
，
，
，即，结论②正确；
，
，即，结论③错误；
，
，结论④错误；
，且，
，
，即，结论⑤正确；
综上，正确的结论有①②⑤，
故答案为：①②⑤．
16．50
【思路指引】
根据有理数的乘法计算法则分别求出任取两个数所得乘积的最大值与最小值，由此求解即可．
【详解详析】
解：在－5，－3，－2，1，2，7这五个数中任取两数相乘，所得乘积中的最小数为，所得乘积中的最大数为，
∴所得乘积中的最小数与最大数之差的绝对值为，
故答案为：50．
17．11或-1
【思路指引】
设PQ的长度为m，当点Q与点A重合时，此时点P对应的数为5，则点A对应的数为m+5，点B对应的数为m+17，由此即可求解；当点Q与点B重合时，同理可得，点B对应的数为m+5，点A对应的数为m-7，由此即可求解．
【详解详析】
解：设PQ的长度为m，
当点Q与点A重合时，此时点P对应的数为5，则点A对应的数为m+5，点B对应的数为m+17
∴当点Q到AB中点时，点P此时对应的数为：，
当点Q与点B重合时，同理可得，点B对应的数为m+5，点A对应的数为m-7，
∴点Q到AB中点时，点P此时对应的数为：，
故答案为：11或-1．
18．4 3
【思路指引】
（1）根据题意分四种情况进行讨论，列式计算即可得解；
（2）根据（1）的结论，代入数据计算即可．
【详解详析】
解：（1）b为-4，a为-4-3=-7；
b为-4，a为-4+3=-1；
b为4，a为4-3=1；
b为4，a为4+3=7．
故点A表示的数可能有4个；
故答案为：4；
（2）∵，
∴a=-7，b=-4，
则；
a=7，b=4，
则；
∴|a-b|的值为3．
故答案为：3．
19．34
【思路指引】
根据，，可得，，，则，再由，a，b，c都是整数，得到则，根据，，即可得到，由此求解即可．
【详解详析】
解：∵，，
∴，，，
∴，
∵，a，b，c都是整数，
∴
∴，
∵，，
∴，
∴的值最大为9+8+17=34，
故答案为：34．
20．-1.4
【思路指引】
根据题目中的定义，将式子转化为有理数的运算，再进行计算即可求解．
【详解详析】
解：{3.9}+{﹣}=（3-3.9）+[-2-（-1.5）]=-0.9+(-0.5)=-1.4．
故答案为：-1.4
三、解答题
21．
解：（1），
答：将最后一位乘客送到目的地时，小杨在距他家正东2千米处；
（2）
（升）
答：这天上午小杨接送乘客，汽车共耗油5.7升．
22．
解：（1）根据题意得： ，
∴ 或 ，解得： 或-8；
（2）∵表示数a的点位于－4和3之间，
∴ ，
∴ ，
∴＝a＋4，＝3－a，
∴＝ a＋4＋3－a＝7；
（3） 当a＝2时，代数式存在最小值，
∴＝1＋0＋1＝2.
所以，最小值是2；
（4）根据题意得：
，
∴原式表示 对应点到 对应的点的距离之和，
如图所示，
∴当 时，有最小值，
∴原式
．
23．
解：（1），
=，
=，
=-19；
（2），
=，
=，
=3；
（3），
=，
=，
=，
=-3；
（4），
=，
=，
=．
24．
解：（1） 2＋7 9＋10＋4 5 8＝ 3（千米），
答：最后一次投递包裹结束时快递小哥在公司P的西边，距离公司3千米；
（2）| 2|＝2（千米）
| 2＋7|＝5（千米），
| 2＋7 9|＝4（千米），
| 2＋7 9＋10|＝6（千米），
| 2＋7 9＋10＋4|＝10（千米），
| 2＋7 9＋10＋4 5|＝5（千米），
| 2＋7 9＋10＋4 5 8|＝3（千米），
∴第五次快递小哥距公司P最远．
故答案为：五；
（3）| 2|＋|＋7|＋| 9|＋|＋10|＋|＋4|＋| 5|＋| 8|＝45（千米），
0.08×45＝3.6（升），
7.2×3.6＝25.92（元），
答：快递小哥工作一天需要花汽油费25.92元．
（4）0.08×（45＋3）＝3.84（升），
3.84＜5，
答：快递小哥在投递完最后一次包裹后能把摩托车送回到公司P．
25．
解：（1）
；
（2）
．
26．
解：（1）∵是最大的负整数
∴
∵，
∴，
又∵，
∴
故答案为：；；
（2）当时，，，，
则：原式；
（3）不变．理由如下：
秒时，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为
，
，即：值的不随着时间的变化而改变．