沪教版七年级数学下册试题 第十四章 三角形单元综合提优练习-沪教版（含答案）

第十四章 三角形单元综合提优练习
一、单选题
1．在下列命题中：①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一边上的高也是这边上的中线的三角形是等边三角形；④三个外角都相等的三角形是等边三角形．正确的命题有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．直线与两坐标轴交于、两点，点在坐标轴上，若为等腰三角形，则满足条件的点最多有（ ）个
A．8 B．4 C．5 D．7
3．如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，给出下列结论：①∠ABC=45°；②AD∥BE；③∠CAD=∠BCE；④△CEB≌△ADC；⑤．那么其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．如图所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上的两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A按顺时针方向旋转90°后得到△AFB，连接EF，有下列结论：①BE＝DC；②∠BAF＝∠DAC；③∠FAE＝∠DAE；④BF＝DC．其中正确的有（　　）
A．①②③④ B．②③ C．②③④ D．③④
5．如图，，点B和点C是对应顶点，，记，，将绕点A顺时针旋转，当时，与之间的数量关系为（ ）
A． B． C． D．
6．已知在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，AC＝A′C′，下列条件中，不一定能得到△ABC≌△A′B′C′的是（　　）
A．BC＝B'C' B．∠A＝∠A′
C．∠C＝∠C′ D．∠B＝∠B′＝90°
7．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，BE与CD相交于点O，如果已知∠ABC=∠ACB，补充下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是（ ）
A．AD＝AE B．BE＝CD C．OB＝OC D．∠BDC＝∠CEB
8．如图，已知点B、C、E在一直线上，、都是等边三角形，联结和，与相交于点F，与相交于点G，下列说法不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD、BE交于点H且HD＝DC，那么下列结论中，正确的是（　　）
A．△AHE≌△BHD B．HE＝EC
C．AH＝BD D．△ABD是等腰直角三角形
10．.如图所示，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，下列结论：①AE=CD；②BF=BG；③BH平分∠AHD；④∠AHC=60°；⑤△BFG是等边三角形；⑥FG∥AD，其中正确的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
二、填空题
11．在△ABC中，∠ABC＝48°，点D在BC边上，且满足∠BAD＝18°，DC＝AB，则∠CAD＝_____度．
12．如图，已知直线，含角的三角板的直角顶点在上，角的顶点在上，如果边与的交点是的中点，那么__度．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CE，CD＝BF，若∠A＝50°，则∠EDF的度数为____．
14．在等腰△ABC中，如果过顶角顶点A的一条直线AD将△ABC分割成两个等腰三角形，那么∠BAC＝___．
15．如图，在△ABC中，高AD、BE交于H点，若BH=AC，求∠ABC等于___度．
16．如图，，，，给出下列结论：①；②；③；④；
其中正确的结论是__________________________________．（注：将你认为正确的结论填上）
17．在△ABC中，中线AD、BE相交于点O，若△BOD的面积等于6，则△ABC的面积等于____．
18．如图，ABC的周长为26，点D、E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝10，则DE的长是____．
19．已知：如图所示，等边三角形ABC，点P和Q分别从A和C两点同时出发，它们的速度相同．点P沿射线AB运动，点Q沿边BC的延长线运动，设PQ与直线AC相交于点D，作PE⊥AC于E,当点P在边AB上时，DE:AC=_________
20．如图，在中，，点在内，将以点为旋转中心进行旋转，使点B与点C重合，点M 落在点N处，若,且 B、M、N三点恰共线，则=_______．
三、解答题
21．如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝3厘米，DA＝DC＝4厘米，∠DAB＝∠DCB＝90°，点P从A点开始沿射线AB方向运动，点Q从点C开始沿射线BC方向运动，P、Q两点运动速度均为1厘米/秒，两点同时运动．
（1）在P、Q两点运动过程中，请问∠PDQ的大小是否发生变化？请说明理由；
（2）当点P在线段AB上运动时（如图1），请求出四边形PDQB的而积；
（3）如图2，P点运动到AB延长线上，设DP与线段BC的交点为E．
①当P、Q运动了多少秒时，S△CDE=S△BPE．
②当P、Q运动了多少秒时，第①小问中两个三角形的面积差为（3﹣）平方厘米．
22．△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是边BC上的一点，BE⊥AD交AD的延长线于点E，联结CE．
（1）如图，AD平分∠CAB，CF⊥CE交AD于点F，
①求证：AF=BE；
②直接写出∠BCE的度数，∠BCE=______°；
（2）如图，CM//BE交AD于点M，探究AM、ME与BE之间的数量关系：__________，并证明．
23．如图，在等边ABC中，AB＝AC＝BC＝6cm，现有两点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次回到点B时，点M、N同时停止运动，设运动时间为t（s）．
（1）当t＝ 时，M、N两点重合；
（2）当点M、N分别在AC、BA边上运动，AMN的形状会不断发生变化，当t＝ 时，AMN是等边三角形；
（3）当点M、N运动到BC边上时，若存在以MN为底边的等腰AMN，则t＝ ．
24．△ABC中，AB＝AC，点D为射线BC上一个动点（不与B、C重合），以AD为一边向AD的左侧作△ADE，使AD＝AE，∠EAD＝∠BAC，过点E作BC的平行线，交直线AB于点F，连接BE．
（1）如图1，若∠EAD＝∠BAC＝60°，则△BEF是 　 　三角形；
（2）若∠EAD＝∠BAC≠60°：
①如图，当点D在线段BC上移动，判断△BEF的形状并证明；
②当点D在线段BC的延长线上移动，△BEF是什么三角形，请直接写出结论并画出相应的图形．
25．已知：如图，在四边形中，，点是边上一点，且平分，平分．
求证：（1）；
（2）是线段的中点．
26．已知：如图所示，中，，D是AB上一点，DE⊥CD于D，交BC于E，且有．求证：
27．在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上的一点（不与点B、C重合），以AD为腰右侧作等腰三角形△ADE，且AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，联接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝　 　度．
（2）设∠BAC＝α，∠BCE＝β．
①点D是在线段BC上移动时，如图2，则α、β之间有怎样的数量关系？试说明理由．
②点D是在射线CB上移动时，则α、β之间有怎样的数量关系？试直接写出结论．
28．如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D在射线AC上（点D不与点A重合）
（1）若点D在边AC时，延长AC至点G，CG=AD，过点D作DE⊥BD，交BC于点E，过G作HG⊥AG交DE延长线于点H．求证：BD=DH．
（2）过点A作AF⊥BD，垂足为F，射线AF交BC于点N，点Q在射线CA上，且∠QNC=∠ANB．求证：AQ=CD．
29．已知：如图，，AC平分∠MAB，BC平分∠NBA．过点C作直线DE，分别交AM、BN于D、E．
（1）求证：△ABC是直角三角形．
（2）求证：CD=CE．
30．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠GDF＝∠ADF．
（1）求证：△ADE≌△BFE；
（2）连接EG，判断EG与DF的位置关系，并说明理由．
答案
一、单选题
1．C
【思路指引】
根据等边三角形的性质和定义，可得：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；三个内角都相等的三角形为等边三角形；再由中线的性质和三角形内角和的定义可解答本题．
【详解详析】
解：①因为外角和与其对应的内角的和是180°，已知有一个外角是120°，即是有一个内角是60°，有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形．该结论正确；
②两个外角相等说明该三角形中两个内角相等，而等腰三角形的两个底角是相等的，故不能确定该三角形是等边三角形．该结论错误；
③等腰三角形的底边上的高和中线本来就是重合的，“有一边”可能是底边，故不能保证该三角形是等边三角形．该结论错误；
④三个外角都相等的三角形是等边三角形，说法正确，
正确的命题有2个，
故选：C．
2．D
【思路指引】
运用分类讨论的数学思想，分AB为腰或底两种情况来分类解析，逐一判断，即可解决问题．
【详解详析】
解：如图，对于直线y＝x 1，
当x＝0时，y＝ 1；
当y＝0时，x＝1，
∴直线y＝x 1与两个坐标轴的交点分别为A（0， 1），B（1，0）；
若以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，
则与x轴有两个交点，与y轴有一个交点（点A除外）；
若以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，
则与x轴有一个交点（点B除外），与y轴有两个交点；
∴以AB为腰的等腰△ABC有6个；
若以AB为底，作AB的垂直平分线，与坐标轴交于原点O，
综上所述，满足条件的点C最多有7个，
故选D．
3．D
【思路指引】
根据△ABC是等腰直角三角形可判断①正确；根据“内错角相等，两直线平行”可判断②正确；利用等腰三角形的性质及其它条件，证明△CEB≌△ADC，则其他结论易求．
【详解详析】
解：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，故①正确；
∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴AD∥BE，故②正确；
∵∠BCE+∠ACD=90°∠ACD+∠CAD=90°
∴∠BCE=∠CAD，故③正确；
又∠E=∠ADC=90°，AC=BC
∴△CEB≌△ADC，故④正确
∴CE=AD，BE=CD
∴，故⑤正确．
因此，正确的结论有5个，
故选：D．
4．C
【思路指引】
利用旋转性质可得△ABF≌△ACD，根据全等三角形的性质一一判断即可．
【详解详析】
解：∵△ADC绕A顺时针旋转90°后得到△AFB，
∴△ABF≌△ACD，
∴∠BAF＝∠CAD，AF＝AD，BF＝CD，故②④正确，
∴∠EAF＝∠BAF+∠BAE＝∠CAD+∠BAE＝∠BAC﹣∠DAE＝90°﹣45°＝45°＝∠DAE故③正确
无法判断BE＝CD，故①错误，
故选：C．
5．C
【思路指引】
根据全等三角形对应边相等可得AB=AC，全等三角形对应角相等可得∠BAO=∠CAD，然后求出∠BAC=α，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，然后根据两直线平行，同旁内角互补表示出∠OBC，整理即可．
【详解详析】
解：∵△AOB≌△ADC，
∴AB=AC，∠BAO=∠CAD，
∴∠BAC=∠OAD=α，
在△ABC中，∠ABC=（180°-α），
∵BC∥OA，
∴∠OBC=180°-∠O=180°-90°=90°，
∴β+（180°-α）=90°，
整理得，α=2β．
故选：C．
6．C
【思路指引】
根据全等三角形的判定定理进行推理．
【详解详析】
解：A、由AB＝A′B′，AC＝A′C′，BC＝B'C'可以判定△ABC≌△A′B′C′（SSS），不符合题意．
B、由AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠A＝∠A′可以判定△ABC≌△A′B′C′（SAS），不符合题意．
C、由AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠C＝∠C′不可以判定△ABC≌△A′B′C′（SSA），符合题意．
D、由AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠B＝∠B′＝90°可以判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL），不符合题意．
故选：C．
7．B
【思路指引】
根据题目中的条件和各个选项中的条件，利用全等三角形的判定方法，可以得到哪个选项中的条件，不能判定△ABE≌△ACD，从而可以解答本题．
【详解详析】
解：∵∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∵∠BAE=∠CAD，
∴补充条件AD=AE时，△ABE≌△ACD（SAS），故选项A不符合题意；
补充条件BE=CD，无法判断△ABE≌△ACD，故选项B符合题意；
补充条件OB=OC时，则∠OBC=∠OCB，故∠ABE=∠ACD，则△ABE≌△ACD（ASA），故选项C不符合题意；
补充条件∠BDC=∠CEB时，则∠AEB=∠ADC，则△ABE≌△ACD（AAS），故选项D不符合题意；
故选：B．
8．B
【思路指引】
利用等边三角形的性质和“SAS”证明可得A选项；可利用“ASA”证明可得C、D选项，利用排除法求解即可．
【详解详析】
解：∵、都是等边三角形，
∴，=60°，，
∴∠ACB+∠ACD=∠ECD+∠ACD，即∠ACE=∠BCD，
∴（SAS），
∴BD=AE，（故A正确）；
∴∠AEC=∠BDC，又，，
∴（ASA），
∴EG=FD，（故C正确），
FC=GC，（故D正确）
由于B项不能由已知条件得到，故B错误，
故选：B．
9．D
【思路指引】
首先根据垂直可得∠ADB＝∠ADC＝90°，然后再证明∠HAE＝∠HBD，然后再利用AAS证明△ADC≌△BDH．
【详解详析】
解：∵AD⊥BC于D，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠DAE+∠AHE＝90°，
∵BE⊥AC，
∴∠HBD+∠BHD＝90°，
∵∠AHE＝∠BHD，
∴∠HAE＝∠HBD，
在△BDH和△ADC中，
，
∴△BDH≌△ADC（AAS），
∴BD＝AD，
∵∠BDA＝90°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
故选：D．
10．D
【详解详析】
∵△ABC与△BDE为等边三角形，
∴AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=60°，
∴∠ABE=∠CBD，
即AB=BC，BD=BE，∠ABE=∠CBD
∴△ABE≌△CBD，
∴AE=CD，∠BDC=∠AEB，
又∵∠DBG=∠FBE=60°，
∴△BGD≌△BFE，
∴BG=BF，∠BFG=∠BGF=60°，
∴△BFG是等边三角形，
∴FG∥AD，
∵BF=BG，AB=BC，∠ABF=∠CBG=60°，
∴△ABF≌△CGB，
∴∠BAF=∠BCG，
∴∠CAF+∠ACB+∠BCD=∠CAF+∠ACB+∠BAF=60°+60°=120°，
∴∠AHC=60°，
∵∠FHG+∠FBG=120°+60°=180°，
∴B、G、H、F四点共圆，
∵FB=GB，
∴∠FHB=∠GHB，
∴BH平分∠GHF，
∴题中①②③④⑤⑥都正确．
故选D．
二、填空题
11．66
【思路指引】
作辅助线，构建等腰三角形ABE，证明AB=BE，再证明△ABD≌△ACE，得∠CAE=∠BAD=18°，根据角的和可得结论．
【详解详析】
解：如图，在线段CD上取一点E，使CE＝BD，连接AE，
∴CE+DE＝BD+DE，
即CD＝BE，
∵CD＝AB，
∴AB＝BE，
∴∠BAE＝∠BEA，
∵∠B＝48°，
∴∠BAE＝∠BEA＝66°，
∵∠B＝48°，∠BAD＝18°，
∴∠ADE＝66°＝∠AED，
∴AD＝AE，∠ADB＝∠AEC，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠EAC＝∠BAD＝18°，
∴∠CAD＝∠CAE+∠DAE＝∠BAD+∠DAE＝66°．
故答案为：66．
12．120
【思路指引】
根据直角三角形斜边上的中线性质得到，则，再利用三角形外角性质得到，然后根据平行线的性质求的度数．
【详解详析】
解：是斜边的中点，
，
，
，
，
，
．
故答案为120．
13．65°
【思路指引】
根据等腰三角形的性质可得出∠B＝∠C及∠B的度数，结合BD＝CE、BF＝CD，即可证出△BDF≌△CED（SAS），由全等三角形的性质可得出∠CDE＝∠BFD，再根据三角形内角和定理及平角等于180°，即可得出∠EDF＝∠B，此题得解．
【详解详析】
解：∵AB＝AC,∠A＝50°，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠A）＝65°．
在△BDF和△CED中，，
∴△BDF≌△CED（SAS），
∴∠CDE＝∠BFD．
∵∠BDF+∠BFD+∠B＝180°，∠BDF+∠EDF+∠CDE＝180°，
∴∠EDF＝∠B＝65°．
故答案为：65°
14．90°或108°．
【思路指引】
根据题意画出图形，分类讨论，利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质可得结论．
【详解详析】
解：①当BD=AD，CD=AD时，如图①所示，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
设∠B=∠C=x，
∵BD=AD，CD=AD，
∴∠BAD=∠B=x，∠CAD=∠C=x，
∴4x=180°，
∴x=45°，
∴∠BAC=2x=45°×2=90°；
②当AD=BD，AC=CD时，如图②所示，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C
设∠B=∠C=x，
∵AD=BD，AC=CD，
∴∠BAD=∠B=x，∠CAD=，
∴+x=180°-2x，
解得：x=36°，
∴∠BAC=180°-2x=180°-2×36°=108°，
故答案为：90°或108°．
15．45
【思路指引】
根据同角的余角相等求出∠CAD=∠HBD，再利用“角角边”证明△ACD和△BHD全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=BD，然后判断出△ABD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质解答即可．
【详解详析】
解：∵AD、BE是△ABC的高，
∴∠CAD+∠C=∠HBD+∠C，
∴∠CAD=∠HBD，
在△ACD和△BHD中，
，
∴△ACD≌△BHD(AAS)，
∴AD=BD，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45．
故答案为：45．
16．①②③
【思路指引】
利用三角形的内角和定理可判断①，证明可判断②，证明可判断③，最后证明可得 但是不能得到 从而可判断④.
【详解详析】
解： ，，
故①正确，符合题意；
，，，
故②正确，符合题意；
故③正确，符合题意；
但是不一定成立，故④错误，不符合题意；
故答案为：①②③
17．12
【思路指引】
先根据点O是△ABC的重心得出OD=AD，再由△BOD的面积等于6，得出S△ABD =S△BCE=18，即可求出SΔCEOD．
【详解详析】
解：∵△ABC中，中线AD、BE相交于点O，
∴点O是△ABC的重心，
∴OD=AD．
∵S△BOD=6，
∴S△ABD=18=S△ABC= S△BCE
∴S四边形CEOD= S△BCE - S△BOD =18 6=12．
故答案为：12．
18．6
【思路指引】
证明△BQA≌△BQE，得到BA=BE，同理证明△CAP≌△CDP，得到AC=CD，根据三角形的周长公式出去BE+CD，求出DE，
【详解详析】
解：∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE，
在△BQA和△BQE中，
，
∴△BQA≌△BQE，
∴BA=BE，
同理可证△CAP≌△CDP，得到AC=CD，
∵BE+CD=AB+AC=26-BC=26-10=16，
∴DE=BE+CD-BC=6，
故答案为：6
19．1:2
【思路指引】
延长AC，过点Q作垂直于AC的延长线于点F，证明，得到，又由，得到；证明，得到，即，从而得到结果．
【详解详析】
解：延长AC，过点Q作垂直于AC的延长线于点F，如下图:
∵
∴
又∵
∴
∴
∵点P和Q分别从A和C两点同时出发且速度相同
∴
∵△ABC是等边三角形
∴
又∵
∴
在和中，
∴
∴
∴
即：
在和中，
∴
∴
∴
∴
故答案为：
20．40°
【思路指引】
由全等可推理得到，由可得到，又由，结合三角形内角和定理即可求得答案．
【详解详析】
解：由旋转可知：
∴，
∴
即：
又∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
故答案为：
三、解答题
21．
解：（1）∠PDQ的大小不发生变化，
理由是：∵∠A=∠DCB=∠DCQ=90°，由已知得出AP=CQ，
∴在△DAP和△DCQ中，
，
∴△DAP≌△DCQ（SAS），
∴∠ADP=∠CDQ，
∴∠PDQ=∠PDC+∠CDQ=∠PDC+∠ADP=∠ADC，
即∠PDQ的大小不发生变化，总等于∠ADC；
（2）∵△ADP≌△DCQ，
∴S△ADP=S△DCQ，
∴四边形PDQB的面积是：
S四边形PDQB=S四边形PDCB+S△CDQ
=S四边形PDCB+S△ADP
=S四边形ABCD
=×3×4+×3×4
=12(平方厘米)；
（2）①连接BD，
设P、Q运动了t秒时，S△CDE=S△BPE，
∵S△CDE=S△DCB-S△DEB，S△BPE=S△PDB-S△DEB，
∴S△CDE-S△BPE=S△DCB-S△PDB=0，
∵AB=BC=3，AP=t，DA=DC=4，
×3×4-×（t-3）×4=0，
解得t=6，
即P、Q运动了6秒时，S△CDE=S△BPE；
②连接BD，
设P、Q运动了t秒时，S△CDE-S△BPE=3-(平方厘米)，
∴AP=CQ=t，
∴S△CDE=S△DCB-S△DEB，S△BPE=S△PDB-S△DEB，
∴S△CDE-S△BPE=S△DCB-S△PDB，或S△BPE-S△CDE=S△PDB-S△DCB，
∵AB=BC=3，AP=t，DA=DC=4，
∴S△DCB=×3×4=6，S△PDB=×（t-3）×4=2（t-3），
∴S△CDE-S△BPE=S△DCB-S△PDB=6-2（t-3）=3-．
解得(秒)，
或S△BPE-S△CDE=S△PDB-S△DCB=2（t-3）-6=3-．
解得(秒)，
综上，当秒或秒时，S△BPE与S△CDE的差为（3﹣）平方厘米．
22．
（1）①证明：∵BE⊥AD，
∴∠ACB=∠BED=90°，
又∵∠ADC=∠BDE，
∴∠CAF=∠CBE，
∵CE⊥CF，
∴∠ECF=∠ACB=90°，
∴∠ACF=∠BCE，
又∵AC=BC，
∴△CAF≌△CBE（ASA），
∴AF=BE；
②∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠ABC=45°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAF=∠BAD==22.5，
∵△CAF≌△CBE，
∴∠CBE=∠CAF=22.5，CE=CF，
∵CF⊥CE，
∴∠CFE=∠CEF=45°，
∴∠CEB=135°，
∴∠BCE=180°-135°-22.5=22.5，
故答案为：22.5；
（2）AM=BE+ME．理由如下：
作CG⊥CE交AD于点G，
∵BE⊥AD，
∴∠ACB=∠BED=90°，
又∵∠ADC=∠BDE，
∴∠CAG=∠CBE，
∵CE⊥CG，
∴∠ECG=∠ACB=90°，
∴∠ACG=∠BCE，
又∵AC=BC，
∴△CAG≌△CBE（ASA），
∴AG=BE，CG=CE，
∴△CGE是等腰直角三角形，
∵CM//BE，BE⊥AD，
∴CM⊥AD，
∴GM=ME，
∴AM=AG+GM=BE+ME．
23．
解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，
x+6=2x，
解得：x=6，
即当M、N运动6秒时，点N追上点M；
（2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图1，
AM=t，AN=6-2t，
∵∠A=60°，当AM=AN时，△AMN是等边三角形，
∴t=6-2t，
解得t=2，
∴点M、N运动2秒后，可得到等边三角形△AMN；
（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，
由（1）知6秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图4，假设△AMN是等腰三角形，
∴AN=AM，
∴∠AMN=∠ANM，
∴∠AMC=∠ANB，
∵AB=BC=AC，
∴△ACB是等边三角形，
∴∠C=∠B，
在△ACM和△ABN中，
，
∴△ACM≌△ABN（AAS），
∴CM=BN，
∴t-6=18-2t，
解得t=8，符合题意．
所以假设成立，当M、N运动8秒时，能得到以MN为底的等腰三角形．
24．
解：（1）∵AB＝AC，AD＝AE，∠EAD＝∠BAC＝60°，
∴△AED和△ABC为等边三角形，∠C＝∠ABC＝60°，∠EAB＝∠DAC，
在△EAB和△DAC中，
∴△EAB≌△DAC（SAS），
∴∠EBA＝∠C＝60°
∵EF∥BC，
∴∠EFB＝∠ABC＝60°
在△EFB中，∠EFB＝∠EBA＝60°，
∴△EFB为等边三角形．
故答案为：等边；
（2）①结论：△EFB为等腰三角形．
理由：∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，
∴△AED和△ABC为等腰三角形，
∴∠C＝∠ABC，∠EAB＝∠DAC．
同法可证△EAB≌△DAC（SAS），
∴∠EBA＝∠C
∵EF∥BC，
∴∠EFB＝∠ABC
∴∠EFB＝∠EBA，
∴△EFB为等腰三角形；
②图形如图3所示，结论：△BEF是等腰三角形．
理由：∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，
∴△AED和△ABC为等腰三角形，
∴∠ACB＝∠ABC，
∴∠EAB＝∠DAC，
同法可证△EAB≌△DAC（SAS），
∴∠EBA＝∠ACD，
∴∠EBF＝∠ACB，
∵EF∥BC，
∴∠AFE＝∠ABC，
∵∠ABC＝∠ACB，
∴∠AFE＝∠ACB，
在△EFB中，∠EBF＝∠AFE，
∴△EFB为等腰三角形．
25．
解：（1），
，
又、分别平分、，
，
，
（2）如图，延长，交于，
，，
，
，
，且，
，
．
26．
证明：过A作AF⊥CD于F，如下图：
∵AC=AD，AF⊥CD
∴CF=CD，∠AFC=
∵
∴∠ACF+∠DCE=
又∵DE⊥CD
∴∠CDE=，∠DCE+∠CED=
∴∠ACF=∠CED，
在△ACF与△CED中，
∴△ACF≌△CED，
∴CF=DE
∴DE=CD．
27．
解：（1）如图1，∵∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∠B=∠ACB=∠AED=45°，
∴∠BAD=∠CAE；
在△BAD与△CAE中，，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠B=∠ACE，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，
故答案为：90；
（2）①如图2，α+β=180°；理由如下：
∵∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE；
在△BAD与△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABC=∠ACE，β=∠BCE=∠ACE+∠ACB=∠ABC+∠ACB=180°-α，
∴α+β=180°；
②当D在CB的延长线时，α=β．
∵∠DAE=∠BAC，AB=AC，AD=AE，
∴∠BAC-∠DAE=∠DAE-∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE；
在△BAD与△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
而∠ABD=∠ACB+α，β=∠ACE-∠ACB，
∴β=∠ACB+α-∠ACB，
∴α=β．
28．
（1）证明：∵CG＝AD，
∴CG＋DC＝AD＋DC，
∴DG＝AC＝AB，
∵DE⊥BD，
∴∠BDE＝∠A＝90°，
∴∠ADB＋∠GDH＝∠ADB＋∠ABD＝90°，
∴∠ABD＝∠GDH，
在△ABD和△GDH中，
，
∴△ABD≌△GDH（ASA），
∴BD＝DH；
（2）证明：如图，过C作CE⊥AC交AN延长线于点E，
∴∠ECQ＝90°，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ACB＝45°，
∴∠ECN＝45°，
∴∠QCN＝∠ECN，
∵∠QNC＝∠ANB．∠ENC＝∠ANB．
∴∠QNC＝∠ENC．
在△QNC和ENC中，
，
∴△QNC≌ENC（ASA），
∴CQ＝CE，
∵AF⊥BD，
∴∠AFD＝∠BAC＝90°，
∴∠ADB＋∠FAD＝∠ADB＋∠ABD，
∴∠ABD＝∠FAD，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（ASA），
∴AD＝CE；
∵CQ＝CE，
∴AD＝CQ，
∴AD＋DQ＝CQ＋CQ，
∴AQ＝CD．
29．
证明：（1）∵，
∴∠MAB+∠ABN＝180°，
又∵AC平分∠MAB，BC平分∠NBA，
∴∠ABC+∠CAB＝（∠ABN+∠MAB）＝90°，
∴∠ACB＝180°﹣（∠ABC+∠CAB）＝90°，
∴△ACB是直角三角形；
（2）延长，交AD于P．
∵
∴∠APB＝∠EBC，
∵BC平分∠NBA，
AC平分∠MAB，
30．
证明：（1）如图1，∵E是AB的中点，
∴AE＝BE，
∵ADBC，
∴∠A＝∠ABF，∠ADE＝∠F，
∴△ADE≌△BFE（AAS）；
（2）答：如图2，EG垂直平分DF．
理由是：∵∠ADF＝∠F，∠ADF＝∠GDF，
∴∠F＝∠GDF，
∴DG＝FG，
由（1）得：△ADE≌△BFE，
∴DE＝EF，
∴EG⊥FD；