2023-2024学年初中数学湘教版九年级下学期 第1章 二次函数 单元测试B卷
一、选择题
1．（2024八上·杭州月考）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．且
【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，
y=tx+2t+2=（x+2）t+2（t＞0），
当x+2=0时即x=-2时，y=2
此直线一定经过点（-2，2），
当此直线经过点（0，3）时，此直线与两坐标轴围成的三角形的区域（不含边界）中有且只有四个整数点，
∴3=2t+2，
解之：；
当此直线经过点（0，6）时，此直线与两坐标轴围成的三角形的区域（不含边界）中有且只有四个整数点，
∴6=2t+2，
解之：；
当此直线经过点（0，4）时，此直线与两坐标轴围成的三角形的区域（不含边界）中有且只有三个整数点，
∴4=2t+2，
解之：；
∴ 直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则的取值范围是 且.
故答案为：D.
【分析】将函数解析式转化为y=（x+2）t+2，当x+2=0时即x=-2时，y=2，可得到此直线一定经过点（-2，2）；当此直线经过点（0，3）时，此直线与两坐标轴围成的三角形的区域（不含边界）中有且只有四个整数点，将此点坐标代入，可求出t的值；当此直线经过点（0，6）时，此直线与两坐标轴围成的三角形的区域（不含边界）中有且只有四个整数点，将此点坐标代入，可求出t的值；当此直线经过点（0，4）时，此直线与两坐标轴围成的三角形的区域（不含边界）中有且只有三个整数点，将此点坐标代入，可求出t的值；综上所述可得到符合题意的t的取值范围.
2．（2024九下·阎良开学考）已知抛物线经过和，则抛物线的最低点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵抛物线y=x2-2ax-9经过（-3，m）和（5，m），
∴，
解得：a=1，m=7，
∴y=x2-2x-8=(x-1)2-9，
∵二次函数的二次项系数为1＞0，
∴函数有最低点，且最低点的坐标为 （1，-9）.
故答案为：D.
【分析】根据抛物线经过两个点（-3，m）和（5，m），可得关于m、a的方程组，解方程组求出a及m的值，然后将二次函数的解析式配成顶点式，再根据二次函数的性质即可求解.
3．（2024九上·嘉兴期末）已知二次函数，当时，函数有最小值，则b的值为（ ）
A．或 B．或 C． D．或
【答案】A
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解： ，
对称轴为，顶点坐标为，开口向上.
当，即-3
故，故.
当，即b<－3时，最小值在处取得，
故，故(不符合题意，舍去).
当，即b>1时，最小值在处取得，
故，故.
故答案为：A.
【分析】根据二次函数表达式求出对称轴和顶点坐标.然后分情况讨论，当时，最小值在顶点处取得；当时，最小值在处取得；当时，最小值在处取得；把x的值代入，得到关于b的方程，求解即可。
4．（2022·毕节模拟） 已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意，反比例函数的图象在二、四象限可知k<0，
∴2k<0，
∴抛物线的开口向下，
∵对称轴为：直线，
∴抛物线的对称轴在y轴的左侧，
抛物线与y轴的交点为（0，），在y轴的正半轴上；
观察各选项，只有D符合题意.
故答案为：D
【分析】根据反比例函数的图象性质可知k<0，再利用二次函数的图象和性质进行判断即可求解。
5．（2024九上·永年期末）如图所示的是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（ ）
A． B．
C．且 D．或
【答案】D
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由图可得：
图象关于直线x=2对称，与x轴一交点横坐标为5
∴图象关于x轴另一交点横坐标为x=-1
∴当不等式是，对应的函数图象在x轴下方，即x<-1或x>5
故答案为：D
【分析】根据二次函数的对称性可求出图象与x轴另一交点的横坐标，再根据当不等式是，对应的函数图象在x轴下方，结合图象即可求出答案.
6．（2020九上·潮州期末）将抛物线 通过一次平移可得到抛物线 ．对这一平移过程描述正确的是（ ）
A．向右平移3个单位长度 B．向上平移3个单位长度
C．向左平移3个单位长度 D．向下平移3个单位长度
【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y＝（x 3）2的顶点坐标为（3，0），
∵点（0，0）向右平移3个单位可得到（3，0），
∴将抛物线y＝x2向右平移3个单位得到抛物线 ．
故答案为：A．
【分析】根据平移的性质，再结合抛物线的解析式求解即可。
7．（2022九上·长清期末）如图，已知开口向上的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③若关于的方程一定有两个不相等的实数根；④.其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线与y轴交点在负半轴，
∴，
∵对称轴为，
∴，
∴，
故①符合题意；
∵抛物线的对称轴为，
∴，
∴，
故②符合题意；
∵函数与直线有两个交点．
∴关于的方程一定有两个不相等的实数根，
故③符合题意；
∵时，即，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
故④符合题意，
故答案为：D
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得a、b、c的正负，再利用二次函数的性质逐项判断即可。
8．（2024九上·黔东南期末）已知二次函数的对称轴为，当时，y的取值范围是．则的值为（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数的对称轴为，
∴，即，
∴，
当时，有最大值，
∴，
∴，
∴当时，随的增大而增大，
∴，，
解得：或；或；
经检验时，不符合题意；
∴，，
∴．
故答案为：D
【分析】先根据题意求出二次函数的解析式，进而得到当时，有最大值，从而得到，再结合题意即可求解。
9．（2024九上·常德期末）定义：在平面直角坐标系中，若点A满足横、纵坐标都为整数，则把点A叫做“整点”．如：B（3，0）、C（﹣1，3）都是“整点”．抛物线y＝ax2﹣2ax+a+2（a＜0）与x轴交于点M，N两点，若该抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点，则a的取值范围是（ ）
A．﹣1≤a＜0 B．﹣2≤a＜﹣1
C．﹣1≤a＜ D．﹣2≤a＜0
【答案】B
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：抛物线y＝ax2﹣2ax+a+2（a＜0）化为顶点式为y＝a（x﹣1）2+2，故函数的对称轴：x＝1，M和N两点关于x＝1对称，根据题意，抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点，这些整点是（0，0），（1，0），（（1，1），（1，2），（2，0），
如图所示：
∵当x＝0时，y＝a+2
∴0≤a+2＜1
当x＝﹣1时，y＝4a+2＜0
即：，
解得﹣2≤a＜﹣1
故选B．
【分析】先将抛物线y＝ax2﹣2ax+a+2（a＜0）化为顶点式，可得抛物线的顶点为（1，2），再根据抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点，可推出这些整点分别是（0，0），（1，0），（（1，1），（1，2），（2，0），画出抛物线的大致图像，利用与y轴交点的位置建立不等式组，即可求得m的取值范围.
10．如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线.图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米.当喷射出的水流距离喷水头20米时，达到最大高度11米，现将喷灌架置于坡度为1∶10的坡地底部点O处，草坡上距离О的水平距离为30米处有一棵高度约为2.3米的石榴树AB，因为刚刚被喷洒了农药，近期不能被喷灌.下列说法正确的是（ ）
A．水流运行轨迹满足函数
B．水流喷射的最远水平距离是40米
C．喷射出的水流与坡面OA之间的最大铅直高度是9.1米
D．若将喷灌架向后移动7米，可以避开对这棵石榴树的喷灌
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：由题意可设y=a（x-20）2+k，
把（0，1），（20，11）代入得，解得a=，k=11，
∴y=（x-20）2+11= ，故A错误；
∵坡度为1∶10 ，
∴直线OA：y=0.1x，
当x=40时，y=4，
令y=4时，得y=4，
解得x=，故B错误；
设喷射出的水流与坡面OA之间的铅直高度为h米，
则h=-0.1x=，
∴当x==18时，h最大值=9.1，故C正确；
将喷灌架向后移动7米，则图2中x=30时抛物线上的点的纵坐标等于x=37时的函数值，
当x=37时，y=3.775，
图2中，当x=30时，点B的纵坐标y=0.1×30+2.3=5.3，
则点A的纵坐标为5.3-2.3=3＜3.775，故D错误.
故答案为：C.
【分析】由题意可设y=a（x-20）2+k，利用待定系数法求出解析式，即可判断A；求出抛物线y=4时x值，再与40比较即可判断B；求出喷射出的水流与坡面OA之间的铅直高度h=-0.1x，求出其最值即可判断C；求出点ADE纵坐标，再与x=37时抛物线的y值，两种比较即可判断D.
二、填空题
11．（2023九上·凉州月考）已知二次函数的图像经过原点，那么m的值为 ．
【答案】8
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】 二次函数
二次函数图像经过原点，
-8+m=0，
解得m=8.
【分析】现将二次函数表达式化为一般式，再根据图象经过原点得到-8+m=0，从而求解.
12．（2023九上·吉林月考）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝x2﹣3上，且0＜x1＜x2，则y1 y2.（填“＜”或“＞”或“＝”）
【答案】＜
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线的解析式为y＝x2﹣3，
∴抛物线的开口向上，且在y轴的右侧y随x的增大而增大，
∵0＜x1＜x2，
∴y1故答案为：<.
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得抛物线的开口向上，且在y轴的右侧y随x的增大而增大，再结合0＜x1＜x2，可得y113．（2023九上·温岭期末） 关于的二次函数，在时有最大值6，则 ．
【答案】2或
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：y=ax2+a2，
①当a＞0时，二次函数的对称轴为x=0，
∴x=-1时，ymax=a+a2=6，
解得：a=2或a=-3（舍去）；
②当a＜0时，二次函数的对称轴为x=0，
∴x=0时，ymax=a2=6，
解得：a=或a=（舍去），
综上所述，a=2或.
故答案为：2或.
【分析】分两种情况：当a＞0时，二次函数的对称轴为x=0，因此x=-1时，ymax=a+a2=6；②当a＜0时，二次函数的对称轴为x=0，因此x=0时，ymax=a2=6，分别解之即可.
14．（2024九上·绵阳期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，P为抛物线对称轴上动点，则取最小值时，点P坐标是 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图所示：连接BC，交抛物线对称轴于点P，根据的对称性可知，此时取得最小值，
令x=0，则y=2，
点C坐标为（0，2），
令y=0，则，
解得：
点B坐标为，
设直线BC的表达式为y=kx+b，
将点C坐标（0，2），点B坐标代入y=kx+b，
得：，
解得：，
直线BC的表达式为，
抛物线的对称轴，
点P的横坐标为，
把x=代入，
解得y=，
点P的坐标为 .
故答案为： .
【分析】先连接BC，交抛物线对称轴于点P，根据的对称性可知，此时取得最小值，利用抛物线的表达式求出点B、点C的坐标，然后利用待定系数法求得直线BC的表达式，在利用抛物线的嘴唇再求出点P的横坐标，进而求得答案.
15．（2023九上·赤坎期末）如图，函数经过点，对称轴为直线：①；②；③；④；⑤若点、在抛物线上，则；⑥（为任意实数），其中结论正确的有 ．
【答案】①④⑥
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：①∵由图象可得抛物线与x轴有两个交点，
∴△>0，∴b2-4ac>0，故①正确；
②∵抛物线开口向上，∴a>0，
∵抛物线对称轴在y轴右侧，
∴b与a异号，即b<0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c<0，∴abc>0，故②错误；
③∵抛物线对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点为(3，0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点为(-1，0)，
∵抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x增大而减小，
∴当x=-3时，y>0，
∴9a-3b+c>0，故③错误；
④∵抛物线与x轴的一个交点为(3，0)，
∴9a+3b+C=0，
∵抛物线对称轴为直线x=1，
∴
∴b=-2a，∴5a+b+c=0，故④正确；
⑤∵a>0，
∴1∵抛物线对称轴为直线x=1，抛物线开口向上，在对称轴右侧y随x增大而增大，
∴y1＜⑥当x=1时，y=a+b+c，当x=m时，y= am2+bm +C，
∵抛物线的对称轴为直线x=1，开口向上，
∴当x=1时，y取最小值，
∴am2+bm+c≥a+b+c，
∴am2+bm≥a+b，故⑥正确，
综上所述，①④⑥正确.
故答案为：①④⑥.
【分析】①根据图象与×轴有两个交点，△>0即可判断；②根据图象的开口方向、对称轴位置、图象与y轴的交点即可判断；③根据图象可得对称轴为x=1，与x轴的一个交点为(3，0)，则另一个交点为(-1，0)，再根据拋物线增减性即可判断；④根据图象抛物线与x轴的一个交点为(3，0)，可得9a+3b+C=0，对称轴为x=1，可得b=-2a，将2b=-4a代入9a+3b+c=0，即可判断；⑤根据图象可得a>0，即可得出1三、解答题
16．（2024九上·鄞州期末）已知二次函数的解析式为．
（1）求证：该二次函数图象与x轴一定有2个交点；
（2）若，点，都在该二次函数的图象上，且，求n的取值范围；
（3）当时，函数最大值与最小值的差为8，求m的值．
【答案】（1）证明：∵，
∴的函数图象与x轴一定有2个交点．
（2）解：∵，
∴．
函数图象如下：
∵点，都在该二次函数的图象上，且，
∴有y1<0，y2>0或者y1>0，y2<0
∴①当y1<0，y2>0时，
，即，
②y1>0，y2<0时，
，即．
综上所述，或
（3）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，开口向下．
令y=0，即，
解得：x1=m-2，x2=m+2，
所以抛物线与x轴的两个交点坐标为（m-2，0）和(m+2，0).
∴m-3对应的点在（m－2，0）左侧，
①，
则x=m－3时，，当x=5时，，
∴，
∴m1=4（舍去），m2=6
②，即2≤m≤5时，
则当时，，当x=m－3时，，
4－（－5）=9≠8，不符合题意，舍去.
③，即m<2时，
则当时，，当时，，
∴，
∴，．
∵m1>m2>2，都舍去.
综上所述，．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【分析】（1）根据根的判别式大于0即可得到与x轴有两个交点；
（2）把m=2代入求出函数表达式，画出函数图象，由 ， 得到有y1<0，y2>0或者y1>0，y2<0，对应n的取值也有两种情况.逐一分析即可；
（3）根据二次函数与x轴的交点坐标知道m-3对应的点在交点（m-2，0）左侧，5和m的大小关系不定，且m-3和5对应的点到对称轴的距离远近也不定，所以分m>5，和三种情况分别求出最大值和最小值，根据最大值和最小值的差为8分别讨论求出m即可.
17．（2024九上·凤山期末）某智能机器人生产厂家准备对甲、乙两款机器人进行投资生产，根据前期市场调研情况发现，投资甲机器人一年后的收益（万元）与投入成本x（）（万元）的函数表达式为：，投资乙机器人一年后的收益（万元）与投入成本x（）（万元）的函数表达式为：.
（1）若将2万元资金投给乙机器人，一年后获得的收益是多少？
（2）请在平面直角坐标系中画出两函数图象的简图，并结合图象分析怎样选择投资对象使获得的收益更多？
（3）若该生产厂家共有活动资金32万元，计划全部投入到甲、乙两款机器人生产中，当甲、乙两款机器人分别投入多少万元时，一年后获得的收益之和最大？最大值是多少万元？
【答案】（1）解：当时，
（万元），
答：一年后获得的收益是4万元；
（2）解：过点，，
画出简图如图，
抛物线的对称轴为：直线，顶点为，
当时，，
当时，，
解得，，
∴抛物线与x轴的交点坐标为，，
画出简图如图，
直线与抛物线的两个交点为，，
由图象可知：当投入成本万元时，选择投资生产甲、乙两款机器人获得的收益一样；
当投入成本万元时，选择投资生产乙款机器人获得的收益更多；
当投入成本万元时，选择投资生产甲款机器人获得的收益更多.
（3）解：设一年后获得的收益之和为w，投入乙款机器人生产n万元，则投入甲款机器人生产万元，
∴
，
∴当时，w有最大值，最大值为20.
.
答：当投入甲款机器人生产28万元，投入乙款机器人生产4万元，一年后获得的收益之和最大，最大值是20万元.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）将x=2代入乙的表达式求解即可；
（2）通过特殊点描法画出两个函数图象的简图，通过数形结合思想判断投入成本跟甲乙收益的关系；
（3）列出收益之和与乙款机器人生产资金的关系式，配成顶点式，二次函数在对称点时取到最值．
18．（2024九下·武汉开学考）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜3），过点E作直线ME⊥x轴，交抛物线于点M．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当m＝1时，点D是直线ME上的点且在第一象限内，若△ACD是以CA为斜边的直角三角形，求点D的坐标；
（3）如图2，连接BC，BC与ME交于点F，连接AF，△ACF和△BFM的面积分别为S1和S2，当S1＝4S2时，求点E坐标．
【答案】（1）解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），点B（3，0），
解：，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）解：令x＝0，得y＝3，
∴C（0，3），
当m＝1时，设D（1，y），
∵△ACD是以CA为斜边的直角三角形，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴22+y2+12+（3﹣y）2＝12+32，
解得：y1＝1，y2＝2，
∴点D的坐标为（1，1）或（1，2）；
（3）解：设直线BC的解析式为y＝kx+d，则，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∵E（m，0），ME⊥x轴，0＜m＜3，
∴M（m，﹣m2+2m+3），F（m，﹣m+3），
又A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），
∴AB＝3﹣（﹣1）＝4，OC＝3，EF＝﹣m+3，MF＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，BE＝3﹣m，
∴S1＝S△ACF＝S△ABC﹣S△ABF＝AB （OC﹣EF）＝×4[3﹣（﹣m+3）]＝2m，
S2＝S△BFM＝MF BE＝（﹣m2+3m）（3﹣m），
∵S1＝4S2，
∴2m＝（﹣m2+3m）（3﹣m），
化简得：m（m2﹣6m+8）＝0，
∵0＜m＜3，
∴m2﹣6m+8＝0，
解得：m1＝2，m2＝4（不符合题意，舍去），
∴点E的坐标为（2，0）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；勾股定理的应用；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）将A和点B的坐标代入抛物线解析式即可求解；
（2）根据题意可求出点C的坐标，当m＝1时，设D（1，y），根据"△ACD是以CA为斜边的直角三角形"，据此得到：即进而即可求解；
（3）设直线BC的解析式为y＝kx+d，进而可求出直线BC的解析式为，根据题意得到：分别求出S1和S2，进而根据""即可得到关于m的方程，解此方程即可求解.
四、实践探究题
19．（2023九上·金华月考）根据以下素材，探究完成任务
素材1 图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体DEC呈抛物线状(碗体厚度不计)，碗高GF=7cm，碗底宽AB=3cm，当瓷碗中装满面汤时，液面宽CD= 12cm，
此时面汤最大深度EG= 6cm，
素材2 如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当点A离MN距离为1.8cm时停止.
问题解决
任务1 确定碗体形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式。
任务2 拟定设计方案1 根据图2位置，把碗中面汤喝掉一部分，当碗中液面高度(离桌面MN距离)为5cm时，求此时碗中液面宽度。
任务3 拟定设计方案2 如图3，当碗停止倾斜时，求此时碗中液面宽度CH。
【答案】解：（1）如图，以CD所在的直线为x轴，EG所在的直线为y轴建立直角坐标系，
则点E（0，-6），C（6，0），
设所求的函数解析式为y=ax2-6，
将点（6，0）代入，
得36a-6=0，
解得a=
∴抛物线解析式为；
（2） 把碗中面汤喝掉一部分，当碗中液面高度(离桌面MN距离)为5cm时，y=-2，
把y=-2代入，
得，
解得x=，
∴ 此时碗中液面宽度为：cm；
（3）如图，仍以CD所在的直线为x轴，EG所在的直线为y轴建立直角坐标系，
此时A点离MN的距离为1.8cm，而AB=3cm，
∴sin∠ABM=，
∴tan∠ABM=，
∵CH∥MN，
∴此时坐标系中，CH与x轴的夹角∠DCH=∠ABM，
设直线CH为
将点C（6，0）代入，
得，
解得a=，
∴直线CH的解析式为，
联立直线CH与抛物线的解析式得，
解得，，
∴H（）
∴.
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）如图，以CD所在的直线为x轴，EG所在的直线为y轴建立直角坐标系，则点E（0，-6），C（6，0），从而利用待定系数法可求出函数解析式；
（2）将y=-2代入（1）所求的函数解析式算出对应的自变量的值为x=，从而即可求出答案；
（3）如图，仍以CD所在的直线为x轴，EG所在的直线为y轴建立直角坐标系，由题意易得sin∠ABM=，则tan∠ABM=，由CH∥MN，可得此时坐标系中，CH与x轴的夹角∠DCH=∠ABM，设直线CH为将点C（6，0）代入，可算出a的值，从而求出直线CH的解析式，解联立直线CH与抛物线的解析式组成的方程组可得点H（），从而根据坐标平面内两点间的距离公式可算出CH的长.
20．（2024九上·杭州月考）
（1）【问题初探】
综合与实践数学活动课上，张老师给出了一个问题：
已知二次函数y＝x2+2x－3，当－2≤x≤2时，y的取值范围为；
①小伟同学经过分析后，将原二次函数配方成y＝a(x－h)2+k
形式，确定抛物线对称轴为直线x＝h，通过－2、h和2的大小
关系，分别确定了最大值和最小值，进而求出y的取值范围；
②小军同学画出如图的函数图象，通过观察图象确定了y的取值范围；请你根据上述两名同学的分析写出y的取值范围是 ；
（2）【类比分析】
张老师发现两名同学分别从“数”和“形”的角度分析、解决问题，为了让同学们更好感悟“数形结合”思想，张老师将前面问题变式为下面问题，请你解答：已知二次函数y＝－x2+2x－3，当－2≤x≤2时，求y的取值范围；
（3）【学以致用】
已知二次函数y＝－x2+6x－5，当a≤x≤a+3时，二次函数的最大值为y1，最小值为y2，若y1－y2＝3，求a的值．
【答案】（1）－4≤y≤5
（2）解：对称轴为x=-1，
①当时，即
时，
②当即
时，
③当即
Ⅰ即
∴y有最大值，
Ⅱ即
∴y有最大值，
综上所述，，
（3）解：对称轴为x=3，
①当a≥3时，
∵
∴
∴
②当时，即
∵
∴
∴
③时，
Ⅰ即
∴
∵
∴
∴
Ⅱ即
∴
∵
∴
∴
综上所述，a=3或.
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）根据小伟的做法：
∴对称轴为：x=-1，
∵且
∴当x=-1时，y有最小值为-4，
当x=2时，y有最大值为5，
∴y的取值范围是：－4≤y≤5，
故答案为：－4≤y≤5.
【分析】（1）根据小伟的做法进行求解即可；
（2）根据题意知需对a-1，-1，a+1之间的关系进行讨论，即可求解；
（3）把函数化为顶点式，比较a，3和a+3的大小，分成三种情况讨论，①当a≥3时，②当时，③时，分别列式计算即可.
21．（2024九上·嘉兴期末）根据以下素材，探索完成任务．
素材1 某学校一块劳动实践基地大棚的横截面如图所示，上部分的顶棚是抛物线形状，下部分是由两根立柱和组成，立柱高为，顶棚最高点距离地面是，的长为．
素材2 为提高灌溉效率，学校在的中点处安装了一款可垂直升降的自动喷灌器，从喷水口喷出的水流可以看成抛物线，其形状与的图象相同，，此时水流刚好喷到立柱的端点处．
问题解决
任务1 确定顶棚的形状 以顶棚最高点为坐标原点建立平面直角坐标系，求出顶棚部分抛物线的表达式．
任务2 探索喷水的高度 问处喷出的水流在距离点水平距离为多少米时达到最高．
任务3 调整喷头的高度 如何调整喷水口的高度（形状不变），使水流喷灌时恰好落在边缘处．
【答案】解：任务1：以顶棚最高点为坐标原点，过原点的水平线为轴建立平面直角坐标系．
由题意可知，顶点是，
设，
把点代入得：
解得：，
．
任务2：以顶棚最高点为坐标原点，过原点的水平线为轴建立平面直角坐标系，如图：
∵OA=1.45m，OO'=4m，CE=DF=1m，EF=20m，
∴点A坐标（0，-2.55），D点坐标（10，-3）
抛物线的形状与相同，
∴设
把代入得：，
解得：
处喷出的水流在距离点水平距离4.55米时达到最高．
任务3：调整喷水口的高度时，抛物线的形状不变，且，即原本经过点D（10，-3），平移后经过点F（10，-4）
抛物线往下移动1米时，水流喷灌时恰好落在边缘处．
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】（1）建立直角坐标系后，可得顶点坐标（0，0），经过点D(10，-3)，故可设表达式为y=ax2，并把D点坐标带入求出a值，可得函数表达式；
（2）在坐标系中表示点A和点D的坐标，根据抛物线形状与相同，设新的表达式为，把D点坐标带入求出b值，利用可得到取最大值x的取值，即距离点的水平距离；
（3）根据抛物线原经过点D（10，-3），平移后经过点F（10，-4），可知向下平移1米.
五、综合题
22．（2024·清城模拟）抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．连结BC，以BC为边，点O为中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，交BD于点M．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）x轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点P在线段OB上运动时，试探究：当m为何值时，四边形CQMD是平行四边形？请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，
∴设抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），
即﹣4a＝﹣2，解得：a＝，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣2；
（2）解：设点P的坐标为（m，0），
则PB2＝（m﹣4）2，PC2＝m2+4，BC2＝20，
①当PB＝PC时，（m﹣4）2＝m2+4，解得：m＝；
②当PB＝BC时，同理可得：m＝4±；
③当PC＝BC时，同理可得：m＝±4（舍去4），
故点P的坐标为：（，0）或（4+，0）或（4﹣2，0）或（﹣4，0）；
（3）解：∵C（0，﹣2）
∴由菱形的对称性可知，点D的坐标为（0，2），
设直线BD的解析式为y＝kx+2，又B（4，0）
解得k＝﹣，
∴直线BD的解析式为y＝﹣x+2；
则点M的坐标为（m，﹣m+2），
点Q的坐标为（m，m2﹣m﹣2），
如图，当MQ＝DC时，四边形CQMD是平行四边形
∴（﹣m+2）﹣（m2﹣m﹣2）＝2﹣（﹣2），
解得m1＝0（不合题意舍去），m2＝2，
∴当m＝2时，四边形CQMD是平行四边形．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式即可；
（2）设点P的坐标为（m，0），则PB2＝（m﹣4）2，PC2＝m2+4，BC2＝20，分三种情况：①当PB＝PC时，②当PB＝BC时，③当PC＝BC时，据此分别列出等式并解之即可；
（3）求出直线BD解析式为y＝﹣x+2，当MQ＝DC时，四边形CQMD是平行四边形，则（﹣m+2）﹣（m2﹣m﹣2）＝2﹣（﹣2），据此即可求解.
23．（2018·松桃模拟）如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴相交于A（－1，0），B（5，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限内取一点C，作CD垂直x轴于点D，链接AC，且AD＝5，CD＝8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；
（3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，
∴ ，解得 ，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+4x+5
（2）解：∵AD=5，且OA=1，∴OD=6，且CD=8，
∴C（﹣6，8），
设平移后的点C的对应点为C′，则C′点的纵坐标为8，
代入抛物线解析式可得8=﹣x2+4x+5，解得x=1或x=3，
∴C′点的坐标为（1，8）或（3，8），∵C（﹣6，8），
∴当点C落在抛物线上时，向右平移了7或9个单位，
∴m的值为7或9
（3）解：∵y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9，∴抛物线对称轴为x=2，
∴可设P（2，t），
由（2）可知E点坐标为（1，8），
①当BE为平行四边形的边时，连接BE交对称轴于点M，过E作EF⊥x轴于点F，当BE为平行四边形的边时，过Q作对称轴的垂线，垂足为N，如图，
则∠BEF=∠BMP=∠QPN，
在△PQN和△EFB中
∴△PQN≌△EFB（AAS），
∴NQ=BF=OB﹣OF=5﹣1=4，
设Q（x，y），则QN=|x﹣2|，
∴|x﹣2|=4，解得x=﹣2或x=6，
当x=﹣2或x=6时，代入抛物线解析式可求得y=﹣7，
∴Q点坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）；
②当BE为对角线时，
∵B（5，0），E（1，8），
∴线段BE的中点坐标为（3，4），则线段PQ的中点坐标为（3，4），
设Q（x，y），且P（2，t），
∴x+2=3×2，解得x=4，把x=4代入抛物线解析式可求得y=5，
∴Q（4，5）；
综上可知Q点的坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）或（4，5）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平移的性质；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）因为抛物线经过点A（﹣1，0），B（5，0），所以把A、B两点的坐标代入解析式可得关于b、c的方程组，解得b=4，c=5，所以抛物线解析式为y=﹣x2+4x+5；
（2）已知AD=5，且OA=1，所以OD=6，且CD=8，而点C在第二象限内，所以C（﹣6，8），设平移后的点C的对应点为C′，则根据平移的性质可得C′点的纵坐标为8，因为点C′在抛物线上，所以把y=8代入解析式得，8=﹣x2+4x+5，解得x=1或x=3，所以当点C落在抛物线上时，向右平移了7或9个单位，即m的值为7或9；
（3）将抛物线的解析式化为顶点式得，y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9，所以抛物线对称轴为x=2，因为点P是抛物线对称轴上一点，所以可设P（2，t），由（2）可知E点坐标为（1，8），BE既可以为平行四边形的一边，也可以为平行四边形的对角线，所以分两种情况：①当BE为平行四边形的边时，连接BE交对称轴于点M，过E作EF⊥x轴于点F，当BE为平行四边形的边时，过Q作对称轴的垂线，垂足为N，如图，由平行线的性质可得∠BEF=∠BMP=∠QPN，用角角边可证得△PQN≌△EFB，所以NQ=BF=OB﹣OF=5﹣1=4，设Q（x，y），则QN=|x﹣2|，可得方程|x﹣2|=4，解得x=﹣2或x=6，当x=﹣2或x=6时，代入抛物线解析式可求得y=﹣7，所以可得Q点坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）；
②当BE为对角线时，根据B、E的坐标可求得线段BE的中点坐标为（3，4），则线段PQ的中点坐标为（3，4），设Q（x，y），且P（2，t），则x+2=3×2，解得x=4，而Q在抛物线上，所以把x=4代入抛物线解析式可求得y=5，所以Q（4，5）。
24．（2018九上·云南期末）如图，抛物线y=﹣ x2+ x+2与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．
（1）试求A，B，C的坐标；
（2）将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD．
①求点D的坐标；
②判断四边形ADBC的形状，并说明理由；
（3）在该抛物线对称轴上是否存在点P，使△BMP与△BAD相似？若存在，请直接写出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：当y=0时，0=﹣ x2+ x+2， 解得：x1=﹣1，x2=4， 则A（﹣1，0），B（4，0）， 当x=0时，y=2， 故C（0，2）
（2）解：①过点D作DE⊥x轴于点E， ∵将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD， ∴DE=2，AO=BE=1，OM=ME=1.5， ∴D（3，﹣2）； ②∵将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD， ∴AC=BD，AD=BC， ∴四边形ADBC是平行四边形， ∵AC= ，BC= ，AB=5， ∴AC2+BC2=AB2， ∴△ACB是直角三角形， ∴∠ACB=90°， ∴四边形ADBC是矩形
（3）解：由题意可得：BD= ，AD=2 ， 则 ， 当△BMP∽△ADB时， ， 可得：BM=2.5， 则PM=1.25， 故P（1.5，1.25）， 当△BMP1∽△ABD时， P1（1.5，﹣1.25）， 当△BMP2∽△BDA时， 可得：P2（1.5，5）， 当△BMP3∽△BDA时， 可得：P3（1.5，﹣5）， 综上所述：点P的坐标为：（1.5，1.25），（1.5，﹣1.25），（1.5，5），（1.5，﹣5）．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数-动态几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】
（1）利用y=0，x=0分别得出方程，解方程得出A，B，C的坐标；
（2）①利用旋转的性质结合三角形各边长得出D点坐标；
②利用平行四边形的判定方法结合勾股定理的逆定理得出四边形ADBC的形状；
（3）直接利用相似三角形的判定与性质结合三角形各边长进而得出答案．
1 / 12023-2024学年初中数学湘教版九年级下学期 第1章 二次函数 单元测试B卷
一、选择题
1．（2024八上·杭州月考）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．且
2．（2024九下·阎良开学考）已知抛物线经过和，则抛物线的最低点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九上·嘉兴期末）已知二次函数，当时，函数有最小值，则b的值为（ ）
A．或 B．或 C． D．或
4．（2022·毕节模拟） 已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024九上·永年期末）如图所示的是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（ ）
A． B．
C．且 D．或
6．（2020九上·潮州期末）将抛物线 通过一次平移可得到抛物线 ．对这一平移过程描述正确的是（ ）
A．向右平移3个单位长度 B．向上平移3个单位长度
C．向左平移3个单位长度 D．向下平移3个单位长度
7．（2022九上·长清期末）如图，已知开口向上的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③若关于的方程一定有两个不相等的实数根；④.其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2024九上·黔东南期末）已知二次函数的对称轴为，当时，y的取值范围是．则的值为（ ）
A．或 B．或 C． D．
9．（2024九上·常德期末）定义：在平面直角坐标系中，若点A满足横、纵坐标都为整数，则把点A叫做“整点”．如：B（3，0）、C（﹣1，3）都是“整点”．抛物线y＝ax2﹣2ax+a+2（a＜0）与x轴交于点M，N两点，若该抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点，则a的取值范围是（ ）
A．﹣1≤a＜0 B．﹣2≤a＜﹣1
C．﹣1≤a＜ D．﹣2≤a＜0
10．如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线.图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米.当喷射出的水流距离喷水头20米时，达到最大高度11米，现将喷灌架置于坡度为1∶10的坡地底部点O处，草坡上距离О的水平距离为30米处有一棵高度约为2.3米的石榴树AB，因为刚刚被喷洒了农药，近期不能被喷灌.下列说法正确的是（ ）
A．水流运行轨迹满足函数
B．水流喷射的最远水平距离是40米
C．喷射出的水流与坡面OA之间的最大铅直高度是9.1米
D．若将喷灌架向后移动7米，可以避开对这棵石榴树的喷灌
二、填空题
11．（2023九上·凉州月考）已知二次函数的图像经过原点，那么m的值为 ．
12．（2023九上·吉林月考）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝x2﹣3上，且0＜x1＜x2，则y1 y2.（填“＜”或“＞”或“＝”）
13．（2023九上·温岭期末） 关于的二次函数，在时有最大值6，则 ．
14．（2024九上·绵阳期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，P为抛物线对称轴上动点，则取最小值时，点P坐标是 ．
15．（2023九上·赤坎期末）如图，函数经过点，对称轴为直线：①；②；③；④；⑤若点、在抛物线上，则；⑥（为任意实数），其中结论正确的有 ．
三、解答题
16．（2024九上·鄞州期末）已知二次函数的解析式为．
（1）求证：该二次函数图象与x轴一定有2个交点；
（2）若，点，都在该二次函数的图象上，且，求n的取值范围；
（3）当时，函数最大值与最小值的差为8，求m的值．
17．（2024九上·凤山期末）某智能机器人生产厂家准备对甲、乙两款机器人进行投资生产，根据前期市场调研情况发现，投资甲机器人一年后的收益（万元）与投入成本x（）（万元）的函数表达式为：，投资乙机器人一年后的收益（万元）与投入成本x（）（万元）的函数表达式为：.
（1）若将2万元资金投给乙机器人，一年后获得的收益是多少？
（2）请在平面直角坐标系中画出两函数图象的简图，并结合图象分析怎样选择投资对象使获得的收益更多？
（3）若该生产厂家共有活动资金32万元，计划全部投入到甲、乙两款机器人生产中，当甲、乙两款机器人分别投入多少万元时，一年后获得的收益之和最大？最大值是多少万元？
18．（2024九下·武汉开学考）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜3），过点E作直线ME⊥x轴，交抛物线于点M．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当m＝1时，点D是直线ME上的点且在第一象限内，若△ACD是以CA为斜边的直角三角形，求点D的坐标；
（3）如图2，连接BC，BC与ME交于点F，连接AF，△ACF和△BFM的面积分别为S1和S2，当S1＝4S2时，求点E坐标．
四、实践探究题
19．（2023九上·金华月考）根据以下素材，探究完成任务
素材1 图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体DEC呈抛物线状(碗体厚度不计)，碗高GF=7cm，碗底宽AB=3cm，当瓷碗中装满面汤时，液面宽CD= 12cm，
此时面汤最大深度EG= 6cm，
素材2 如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当点A离MN距离为1.8cm时停止.
问题解决
任务1 确定碗体形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式。
任务2 拟定设计方案1 根据图2位置，把碗中面汤喝掉一部分，当碗中液面高度(离桌面MN距离)为5cm时，求此时碗中液面宽度。
任务3 拟定设计方案2 如图3，当碗停止倾斜时，求此时碗中液面宽度CH。
20．（2024九上·杭州月考）
（1）【问题初探】
综合与实践数学活动课上，张老师给出了一个问题：
已知二次函数y＝x2+2x－3，当－2≤x≤2时，y的取值范围为；
①小伟同学经过分析后，将原二次函数配方成y＝a(x－h)2+k
形式，确定抛物线对称轴为直线x＝h，通过－2、h和2的大小
关系，分别确定了最大值和最小值，进而求出y的取值范围；
②小军同学画出如图的函数图象，通过观察图象确定了y的取值范围；请你根据上述两名同学的分析写出y的取值范围是 ；
（2）【类比分析】
张老师发现两名同学分别从“数”和“形”的角度分析、解决问题，为了让同学们更好感悟“数形结合”思想，张老师将前面问题变式为下面问题，请你解答：已知二次函数y＝－x2+2x－3，当－2≤x≤2时，求y的取值范围；
（3）【学以致用】
已知二次函数y＝－x2+6x－5，当a≤x≤a+3时，二次函数的最大值为y1，最小值为y2，若y1－y2＝3，求a的值．
21．（2024九上·嘉兴期末）根据以下素材，探索完成任务．
素材1 某学校一块劳动实践基地大棚的横截面如图所示，上部分的顶棚是抛物线形状，下部分是由两根立柱和组成，立柱高为，顶棚最高点距离地面是，的长为．
素材2 为提高灌溉效率，学校在的中点处安装了一款可垂直升降的自动喷灌器，从喷水口喷出的水流可以看成抛物线，其形状与的图象相同，，此时水流刚好喷到立柱的端点处．
问题解决
任务1 确定顶棚的形状 以顶棚最高点为坐标原点建立平面直角坐标系，求出顶棚部分抛物线的表达式．
任务2 探索喷水的高度 问处喷出的水流在距离点水平距离为多少米时达到最高．
任务3 调整喷头的高度 如何调整喷水口的高度（形状不变），使水流喷灌时恰好落在边缘处．
五、综合题
22．（2024·清城模拟）抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．连结BC，以BC为边，点O为中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，交BD于点M．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）x轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点P在线段OB上运动时，试探究：当m为何值时，四边形CQMD是平行四边形？请说明理由．
23．（2018·松桃模拟）如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴相交于A（－1，0），B（5，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限内取一点C，作CD垂直x轴于点D，链接AC，且AD＝5，CD＝8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；
（3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（2018九上·云南期末）如图，抛物线y=﹣ x2+ x+2与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．
（1）试求A，B，C的坐标；
（2）将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD．
①求点D的坐标；
②判断四边形ADBC的形状，并说明理由；
（3）在该抛物线对称轴上是否存在点P，使△BMP与△BAD相似？若存在，请直接写出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，
y=tx+2t+2=（x+2）t+2（t＞0），
当x+2=0时即x=-2时，y=2
此直线一定经过点（-2，2），
当此直线经过点（0，3）时，此直线与两坐标轴围成的三角形的区域（不含边界）中有且只有四个整数点，
∴3=2t+2，
解之：；
当此直线经过点（0，6）时，此直线与两坐标轴围成的三角形的区域（不含边界）中有且只有四个整数点，
∴6=2t+2，
解之：；
当此直线经过点（0，4）时，此直线与两坐标轴围成的三角形的区域（不含边界）中有且只有三个整数点，
∴4=2t+2，
解之：；
∴ 直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则的取值范围是 且.
故答案为：D.
【分析】将函数解析式转化为y=（x+2）t+2，当x+2=0时即x=-2时，y=2，可得到此直线一定经过点（-2，2）；当此直线经过点（0，3）时，此直线与两坐标轴围成的三角形的区域（不含边界）中有且只有四个整数点，将此点坐标代入，可求出t的值；当此直线经过点（0，6）时，此直线与两坐标轴围成的三角形的区域（不含边界）中有且只有四个整数点，将此点坐标代入，可求出t的值；当此直线经过点（0，4）时，此直线与两坐标轴围成的三角形的区域（不含边界）中有且只有三个整数点，将此点坐标代入，可求出t的值；综上所述可得到符合题意的t的取值范围.
2．【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵抛物线y=x2-2ax-9经过（-3，m）和（5，m），
∴，
解得：a=1，m=7，
∴y=x2-2x-8=(x-1)2-9，
∵二次函数的二次项系数为1＞0，
∴函数有最低点，且最低点的坐标为 （1，-9）.
故答案为：D.
【分析】根据抛物线经过两个点（-3，m）和（5，m），可得关于m、a的方程组，解方程组求出a及m的值，然后将二次函数的解析式配成顶点式，再根据二次函数的性质即可求解.
3．【答案】A
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解： ，
对称轴为，顶点坐标为，开口向上.
当，即-3故，故.
当，即b<－3时，最小值在处取得，
故，故(不符合题意，舍去).
当，即b>1时，最小值在处取得，
故，故.
故答案为：A.
【分析】根据二次函数表达式求出对称轴和顶点坐标.然后分情况讨论，当时，最小值在顶点处取得；当时，最小值在处取得；当时，最小值在处取得；把x的值代入，得到关于b的方程，求解即可。
4．【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意，反比例函数的图象在二、四象限可知k<0，
∴2k<0，
∴抛物线的开口向下，
∵对称轴为：直线，
∴抛物线的对称轴在y轴的左侧，
抛物线与y轴的交点为（0，），在y轴的正半轴上；
观察各选项，只有D符合题意.
故答案为：D
【分析】根据反比例函数的图象性质可知k<0，再利用二次函数的图象和性质进行判断即可求解。
5．【答案】D
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由图可得：
图象关于直线x=2对称，与x轴一交点横坐标为5
∴图象关于x轴另一交点横坐标为x=-1
∴当不等式是，对应的函数图象在x轴下方，即x<-1或x>5
故答案为：D
【分析】根据二次函数的对称性可求出图象与x轴另一交点的横坐标，再根据当不等式是，对应的函数图象在x轴下方，结合图象即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y＝（x 3）2的顶点坐标为（3，0），
∵点（0，0）向右平移3个单位可得到（3，0），
∴将抛物线y＝x2向右平移3个单位得到抛物线 ．
故答案为：A．
【分析】根据平移的性质，再结合抛物线的解析式求解即可。
7．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线与y轴交点在负半轴，
∴，
∵对称轴为，
∴，
∴，
故①符合题意；
∵抛物线的对称轴为，
∴，
∴，
故②符合题意；
∵函数与直线有两个交点．
∴关于的方程一定有两个不相等的实数根，
故③符合题意；
∵时，即，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
故④符合题意，
故答案为：D
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得a、b、c的正负，再利用二次函数的性质逐项判断即可。
8．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数的对称轴为，
∴，即，
∴，
当时，有最大值，
∴，
∴，
∴当时，随的增大而增大，
∴，，
解得：或；或；
经检验时，不符合题意；
∴，，
∴．
故答案为：D
【分析】先根据题意求出二次函数的解析式，进而得到当时，有最大值，从而得到，再结合题意即可求解。
9．【答案】B
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：抛物线y＝ax2﹣2ax+a+2（a＜0）化为顶点式为y＝a（x﹣1）2+2，故函数的对称轴：x＝1，M和N两点关于x＝1对称，根据题意，抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点，这些整点是（0，0），（1，0），（（1，1），（1，2），（2，0），
如图所示：
∵当x＝0时，y＝a+2
∴0≤a+2＜1
当x＝﹣1时，y＝4a+2＜0
即：，
解得﹣2≤a＜﹣1
故选B．
【分析】先将抛物线y＝ax2﹣2ax+a+2（a＜0）化为顶点式，可得抛物线的顶点为（1，2），再根据抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点，可推出这些整点分别是（0，0），（1，0），（（1，1），（1，2），（2，0），画出抛物线的大致图像，利用与y轴交点的位置建立不等式组，即可求得m的取值范围.
10．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：由题意可设y=a（x-20）2+k，
把（0，1），（20，11）代入得，解得a=，k=11，
∴y=（x-20）2+11= ，故A错误；
∵坡度为1∶10 ，
∴直线OA：y=0.1x，
当x=40时，y=4，
令y=4时，得y=4，
解得x=，故B错误；
设喷射出的水流与坡面OA之间的铅直高度为h米，
则h=-0.1x=，
∴当x==18时，h最大值=9.1，故C正确；
将喷灌架向后移动7米，则图2中x=30时抛物线上的点的纵坐标等于x=37时的函数值，
当x=37时，y=3.775，
图2中，当x=30时，点B的纵坐标y=0.1×30+2.3=5.3，
则点A的纵坐标为5.3-2.3=3＜3.775，故D错误.
故答案为：C.
【分析】由题意可设y=a（x-20）2+k，利用待定系数法求出解析式，即可判断A；求出抛物线y=4时x值，再与40比较即可判断B；求出喷射出的水流与坡面OA之间的铅直高度h=-0.1x，求出其最值即可判断C；求出点ADE纵坐标，再与x=37时抛物线的y值，两种比较即可判断D.
11．【答案】8
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】 二次函数
二次函数图像经过原点，
-8+m=0，
解得m=8.
【分析】现将二次函数表达式化为一般式，再根据图象经过原点得到-8+m=0，从而求解.
12．【答案】＜
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线的解析式为y＝x2﹣3，
∴抛物线的开口向上，且在y轴的右侧y随x的增大而增大，
∵0＜x1＜x2，
∴y1故答案为：<.
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得抛物线的开口向上，且在y轴的右侧y随x的增大而增大，再结合0＜x1＜x2，可得y113．【答案】2或
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：y=ax2+a2，
①当a＞0时，二次函数的对称轴为x=0，
∴x=-1时，ymax=a+a2=6，
解得：a=2或a=-3（舍去）；
②当a＜0时，二次函数的对称轴为x=0，
∴x=0时，ymax=a2=6，
解得：a=或a=（舍去），
综上所述，a=2或.
故答案为：2或.
【分析】分两种情况：当a＞0时，二次函数的对称轴为x=0，因此x=-1时，ymax=a+a2=6；②当a＜0时，二次函数的对称轴为x=0，因此x=0时，ymax=a2=6，分别解之即可.
14．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图所示：连接BC，交抛物线对称轴于点P，根据的对称性可知，此时取得最小值，
令x=0，则y=2，
点C坐标为（0，2），
令y=0，则，
解得：
点B坐标为，
设直线BC的表达式为y=kx+b，
将点C坐标（0，2），点B坐标代入y=kx+b，
得：，
解得：，
直线BC的表达式为，
抛物线的对称轴，
点P的横坐标为，
把x=代入，
解得y=，
点P的坐标为 .
故答案为： .
【分析】先连接BC，交抛物线对称轴于点P，根据的对称性可知，此时取得最小值，利用抛物线的表达式求出点B、点C的坐标，然后利用待定系数法求得直线BC的表达式，在利用抛物线的嘴唇再求出点P的横坐标，进而求得答案.
15．【答案】①④⑥
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：①∵由图象可得抛物线与x轴有两个交点，
∴△>0，∴b2-4ac>0，故①正确；
②∵抛物线开口向上，∴a>0，
∵抛物线对称轴在y轴右侧，
∴b与a异号，即b<0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c<0，∴abc>0，故②错误；
③∵抛物线对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点为(3，0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点为(-1，0)，
∵抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x增大而减小，
∴当x=-3时，y>0，
∴9a-3b+c>0，故③错误；
④∵抛物线与x轴的一个交点为(3，0)，
∴9a+3b+C=0，
∵抛物线对称轴为直线x=1，
∴
∴b=-2a，∴5a+b+c=0，故④正确；
⑤∵a>0，
∴1∵抛物线对称轴为直线x=1，抛物线开口向上，在对称轴右侧y随x增大而增大，
∴y1＜⑥当x=1时，y=a+b+c，当x=m时，y= am2+bm +C，
∵抛物线的对称轴为直线x=1，开口向上，
∴当x=1时，y取最小值，
∴am2+bm+c≥a+b+c，
∴am2+bm≥a+b，故⑥正确，
综上所述，①④⑥正确.
故答案为：①④⑥.
【分析】①根据图象与×轴有两个交点，△>0即可判断；②根据图象的开口方向、对称轴位置、图象与y轴的交点即可判断；③根据图象可得对称轴为x=1，与x轴的一个交点为(3，0)，则另一个交点为(-1，0)，再根据拋物线增减性即可判断；④根据图象抛物线与x轴的一个交点为(3，0)，可得9a+3b+C=0，对称轴为x=1，可得b=-2a，将2b=-4a代入9a+3b+c=0，即可判断；⑤根据图象可得a>0，即可得出116．【答案】（1）证明：∵，
∴的函数图象与x轴一定有2个交点．
（2）解：∵，
∴．
函数图象如下：
∵点，都在该二次函数的图象上，且，
∴有y1<0，y2>0或者y1>0，y2<0
∴①当y1<0，y2>0时，
，即，
②y1>0，y2<0时，
，即．
综上所述，或
（3）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，开口向下．
令y=0，即，
解得：x1=m-2，x2=m+2，
所以抛物线与x轴的两个交点坐标为（m-2，0）和(m+2，0).
∴m-3对应的点在（m－2，0）左侧，
①，
则x=m－3时，，当x=5时，，
∴，
∴m1=4（舍去），m2=6
②，即2≤m≤5时，
则当时，，当x=m－3时，，
4－（－5）=9≠8，不符合题意，舍去.
③，即m<2时，
则当时，，当时，，
∴，
∴，．
∵m1>m2>2，都舍去.
综上所述，．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【分析】（1）根据根的判别式大于0即可得到与x轴有两个交点；
（2）把m=2代入求出函数表达式，画出函数图象，由 ， 得到有y1<0，y2>0或者y1>0，y2<0，对应n的取值也有两种情况.逐一分析即可；
（3）根据二次函数与x轴的交点坐标知道m-3对应的点在交点（m-2，0）左侧，5和m的大小关系不定，且m-3和5对应的点到对称轴的距离远近也不定，所以分m>5，和三种情况分别求出最大值和最小值，根据最大值和最小值的差为8分别讨论求出m即可.
17．【答案】（1）解：当时，
（万元），
答：一年后获得的收益是4万元；
（2）解：过点，，
画出简图如图，
抛物线的对称轴为：直线，顶点为，
当时，，
当时，，
解得，，
∴抛物线与x轴的交点坐标为，，
画出简图如图，
直线与抛物线的两个交点为，，
由图象可知：当投入成本万元时，选择投资生产甲、乙两款机器人获得的收益一样；
当投入成本万元时，选择投资生产乙款机器人获得的收益更多；
当投入成本万元时，选择投资生产甲款机器人获得的收益更多.
（3）解：设一年后获得的收益之和为w，投入乙款机器人生产n万元，则投入甲款机器人生产万元，
∴
，
∴当时，w有最大值，最大值为20.
.
答：当投入甲款机器人生产28万元，投入乙款机器人生产4万元，一年后获得的收益之和最大，最大值是20万元.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）将x=2代入乙的表达式求解即可；
（2）通过特殊点描法画出两个函数图象的简图，通过数形结合思想判断投入成本跟甲乙收益的关系；
（3）列出收益之和与乙款机器人生产资金的关系式，配成顶点式，二次函数在对称点时取到最值．
18．【答案】（1）解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），点B（3，0），
解：，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）解：令x＝0，得y＝3，
∴C（0，3），
当m＝1时，设D（1，y），
∵△ACD是以CA为斜边的直角三角形，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴22+y2+12+（3﹣y）2＝12+32，
解得：y1＝1，y2＝2，
∴点D的坐标为（1，1）或（1，2）；
（3）解：设直线BC的解析式为y＝kx+d，则，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∵E（m，0），ME⊥x轴，0＜m＜3，
∴M（m，﹣m2+2m+3），F（m，﹣m+3），
又A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），
∴AB＝3﹣（﹣1）＝4，OC＝3，EF＝﹣m+3，MF＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，BE＝3﹣m，
∴S1＝S△ACF＝S△ABC﹣S△ABF＝AB （OC﹣EF）＝×4[3﹣（﹣m+3）]＝2m，
S2＝S△BFM＝MF BE＝（﹣m2+3m）（3﹣m），
∵S1＝4S2，
∴2m＝（﹣m2+3m）（3﹣m），
化简得：m（m2﹣6m+8）＝0，
∵0＜m＜3，
∴m2﹣6m+8＝0，
解得：m1＝2，m2＝4（不符合题意，舍去），
∴点E的坐标为（2，0）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；勾股定理的应用；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）将A和点B的坐标代入抛物线解析式即可求解；
（2）根据题意可求出点C的坐标，当m＝1时，设D（1，y），根据"△ACD是以CA为斜边的直角三角形"，据此得到：即进而即可求解；
（3）设直线BC的解析式为y＝kx+d，进而可求出直线BC的解析式为，根据题意得到：分别求出S1和S2，进而根据""即可得到关于m的方程，解此方程即可求解.
19．【答案】解：（1）如图，以CD所在的直线为x轴，EG所在的直线为y轴建立直角坐标系，
则点E（0，-6），C（6，0），
设所求的函数解析式为y=ax2-6，
将点（6，0）代入，
得36a-6=0，
解得a=
∴抛物线解析式为；
（2） 把碗中面汤喝掉一部分，当碗中液面高度(离桌面MN距离)为5cm时，y=-2，
把y=-2代入，
得，
解得x=，
∴ 此时碗中液面宽度为：cm；
（3）如图，仍以CD所在的直线为x轴，EG所在的直线为y轴建立直角坐标系，
此时A点离MN的距离为1.8cm，而AB=3cm，
∴sin∠ABM=，
∴tan∠ABM=，
∵CH∥MN，
∴此时坐标系中，CH与x轴的夹角∠DCH=∠ABM，
设直线CH为
将点C（6，0）代入，
得，
解得a=，
∴直线CH的解析式为，
联立直线CH与抛物线的解析式得，
解得，，
∴H（）
∴.
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）如图，以CD所在的直线为x轴，EG所在的直线为y轴建立直角坐标系，则点E（0，-6），C（6，0），从而利用待定系数法可求出函数解析式；
（2）将y=-2代入（1）所求的函数解析式算出对应的自变量的值为x=，从而即可求出答案；
（3）如图，仍以CD所在的直线为x轴，EG所在的直线为y轴建立直角坐标系，由题意易得sin∠ABM=，则tan∠ABM=，由CH∥MN，可得此时坐标系中，CH与x轴的夹角∠DCH=∠ABM，设直线CH为将点C（6，0）代入，可算出a的值，从而求出直线CH的解析式，解联立直线CH与抛物线的解析式组成的方程组可得点H（），从而根据坐标平面内两点间的距离公式可算出CH的长.
20．【答案】（1）－4≤y≤5
（2）解：对称轴为x=-1，
①当时，即
时，
②当即
时，
③当即
Ⅰ即
∴y有最大值，
Ⅱ即
∴y有最大值，
综上所述，，
（3）解：对称轴为x=3，
①当a≥3时，
∵
∴
∴
②当时，即
∵
∴
∴
③时，
Ⅰ即
∴
∵
∴
∴
Ⅱ即
∴
∵
∴
∴
综上所述，a=3或.
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）根据小伟的做法：
∴对称轴为：x=-1，
∵且
∴当x=-1时，y有最小值为-4，
当x=2时，y有最大值为5，
∴y的取值范围是：－4≤y≤5，
故答案为：－4≤y≤5.
【分析】（1）根据小伟的做法进行求解即可；
（2）根据题意知需对a-1，-1，a+1之间的关系进行讨论，即可求解；
（3）把函数化为顶点式，比较a，3和a+3的大小，分成三种情况讨论，①当a≥3时，②当时，③时，分别列式计算即可.
21．【答案】解：任务1：以顶棚最高点为坐标原点，过原点的水平线为轴建立平面直角坐标系．
由题意可知，顶点是，
设，
把点代入得：
解得：，
．
任务2：以顶棚最高点为坐标原点，过原点的水平线为轴建立平面直角坐标系，如图：
∵OA=1.45m，OO'=4m，CE=DF=1m，EF=20m，
∴点A坐标（0，-2.55），D点坐标（10，-3）
抛物线的形状与相同，
∴设
把代入得：，
解得：
处喷出的水流在距离点水平距离4.55米时达到最高．
任务3：调整喷水口的高度时，抛物线的形状不变，且，即原本经过点D（10，-3），平移后经过点F（10，-4）
抛物线往下移动1米时，水流喷灌时恰好落在边缘处．
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】（1）建立直角坐标系后，可得顶点坐标（0，0），经过点D(10，-3)，故可设表达式为y=ax2，并把D点坐标带入求出a值，可得函数表达式；
（2）在坐标系中表示点A和点D的坐标，根据抛物线形状与相同，设新的表达式为，把D点坐标带入求出b值，利用可得到取最大值x的取值，即距离点的水平距离；
（3）根据抛物线原经过点D（10，-3），平移后经过点F（10，-4），可知向下平移1米.
22．【答案】（1）解：∵抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，
∴设抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），
即﹣4a＝﹣2，解得：a＝，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣2；
（2）解：设点P的坐标为（m，0），
则PB2＝（m﹣4）2，PC2＝m2+4，BC2＝20，
①当PB＝PC时，（m﹣4）2＝m2+4，解得：m＝；
②当PB＝BC时，同理可得：m＝4±；
③当PC＝BC时，同理可得：m＝±4（舍去4），
故点P的坐标为：（，0）或（4+，0）或（4﹣2，0）或（﹣4，0）；
（3）解：∵C（0，﹣2）
∴由菱形的对称性可知，点D的坐标为（0，2），
设直线BD的解析式为y＝kx+2，又B（4，0）
解得k＝﹣，
∴直线BD的解析式为y＝﹣x+2；
则点M的坐标为（m，﹣m+2），
点Q的坐标为（m，m2﹣m﹣2），
如图，当MQ＝DC时，四边形CQMD是平行四边形
∴（﹣m+2）﹣（m2﹣m﹣2）＝2﹣（﹣2），
解得m1＝0（不合题意舍去），m2＝2，
∴当m＝2时，四边形CQMD是平行四边形．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式即可；
（2）设点P的坐标为（m，0），则PB2＝（m﹣4）2，PC2＝m2+4，BC2＝20，分三种情况：①当PB＝PC时，②当PB＝BC时，③当PC＝BC时，据此分别列出等式并解之即可；
（3）求出直线BD解析式为y＝﹣x+2，当MQ＝DC时，四边形CQMD是平行四边形，则（﹣m+2）﹣（m2﹣m﹣2）＝2﹣（﹣2），据此即可求解.
23．【答案】（1）解：∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，
∴ ，解得 ，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+4x+5
（2）解：∵AD=5，且OA=1，∴OD=6，且CD=8，
∴C（﹣6，8），
设平移后的点C的对应点为C′，则C′点的纵坐标为8，
代入抛物线解析式可得8=﹣x2+4x+5，解得x=1或x=3，
∴C′点的坐标为（1，8）或（3，8），∵C（﹣6，8），
∴当点C落在抛物线上时，向右平移了7或9个单位，
∴m的值为7或9
（3）解：∵y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9，∴抛物线对称轴为x=2，
∴可设P（2，t），
由（2）可知E点坐标为（1，8），
①当BE为平行四边形的边时，连接BE交对称轴于点M，过E作EF⊥x轴于点F，当BE为平行四边形的边时，过Q作对称轴的垂线，垂足为N，如图，
则∠BEF=∠BMP=∠QPN，
在△PQN和△EFB中
∴△PQN≌△EFB（AAS），
∴NQ=BF=OB﹣OF=5﹣1=4，
设Q（x，y），则QN=|x﹣2|，
∴|x﹣2|=4，解得x=﹣2或x=6，
当x=﹣2或x=6时，代入抛物线解析式可求得y=﹣7，
∴Q点坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）；
②当BE为对角线时，
∵B（5，0），E（1，8），
∴线段BE的中点坐标为（3，4），则线段PQ的中点坐标为（3，4），
设Q（x，y），且P（2，t），
∴x+2=3×2，解得x=4，把x=4代入抛物线解析式可求得y=5，
∴Q（4，5）；
综上可知Q点的坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）或（4，5）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平移的性质；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）因为抛物线经过点A（﹣1，0），B（5，0），所以把A、B两点的坐标代入解析式可得关于b、c的方程组，解得b=4，c=5，所以抛物线解析式为y=﹣x2+4x+5；
（2）已知AD=5，且OA=1，所以OD=6，且CD=8，而点C在第二象限内，所以C（﹣6，8），设平移后的点C的对应点为C′，则根据平移的性质可得C′点的纵坐标为8，因为点C′在抛物线上，所以把y=8代入解析式得，8=﹣x2+4x+5，解得x=1或x=3，所以当点C落在抛物线上时，向右平移了7或9个单位，即m的值为7或9；
（3）将抛物线的解析式化为顶点式得，y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9，所以抛物线对称轴为x=2，因为点P是抛物线对称轴上一点，所以可设P（2，t），由（2）可知E点坐标为（1，8），BE既可以为平行四边形的一边，也可以为平行四边形的对角线，所以分两种情况：①当BE为平行四边形的边时，连接BE交对称轴于点M，过E作EF⊥x轴于点F，当BE为平行四边形的边时，过Q作对称轴的垂线，垂足为N，如图，由平行线的性质可得∠BEF=∠BMP=∠QPN，用角角边可证得△PQN≌△EFB，所以NQ=BF=OB﹣OF=5﹣1=4，设Q（x，y），则QN=|x﹣2|，可得方程|x﹣2|=4，解得x=﹣2或x=6，当x=﹣2或x=6时，代入抛物线解析式可求得y=﹣7，所以可得Q点坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）；
②当BE为对角线时，根据B、E的坐标可求得线段BE的中点坐标为（3，4），则线段PQ的中点坐标为（3，4），设Q（x，y），且P（2，t），则x+2=3×2，解得x=4，而Q在抛物线上，所以把x=4代入抛物线解析式可求得y=5，所以Q（4，5）。
24．【答案】（1）解：当y=0时，0=﹣ x2+ x+2， 解得：x1=﹣1，x2=4， 则A（﹣1，0），B（4，0）， 当x=0时，y=2， 故C（0，2）
（2）解：①过点D作DE⊥x轴于点E， ∵将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD， ∴DE=2，AO=BE=1，OM=ME=1.5， ∴D（3，﹣2）； ②∵将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD， ∴AC=BD，AD=BC， ∴四边形ADBC是平行四边形， ∵AC= ，BC= ，AB=5， ∴AC2+BC2=AB2， ∴△ACB是直角三角形， ∴∠ACB=90°， ∴四边形ADBC是矩形
（3）解：由题意可得：BD= ，AD=2 ， 则 ， 当△BMP∽△ADB时， ， 可得：BM=2.5， 则PM=1.25， 故P（1.5，1.25）， 当△BMP1∽△ABD时， P1（1.5，﹣1.25）， 当△BMP2∽△BDA时， 可得：P2（1.5，5）， 当△BMP3∽△BDA时， 可得：P3（1.5，﹣5）， 综上所述：点P的坐标为：（1.5，1.25），（1.5，﹣1.25），（1.5，5），（1.5，﹣5）．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数-动态几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】
（1）利用y=0，x=0分别得出方程，解方程得出A，B，C的坐标；
（2）①利用旋转的性质结合三角形各边长得出D点坐标；
②利用平行四边形的判定方法结合勾股定理的逆定理得出四边形ADBC的形状；
（3）直接利用相似三角形的判定与性质结合三角形各边长进而得出答案．
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