2024北京市大峪中学高一（下）期中数学（PDF版，含答案）

北京市大峪中学 2023—2024 学年度第二学期期中考试
高一数学答案及评分参考 2024.4
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.
1.B 2. C 3. A 4. A 5. D
6. C 7. C 8. C 9. A 10. C
二、填空题：本大题共 5 题，每小题 5 分，共 25 分.
5
11. 10 12. 2 13. 6 3 12 9 3 14. 15. ②③④
10 4
注：第 13 题第一个空 2分，第二个空 3 分.
第 15 题全部选对得 5 分，不选或有错选得 0 分，选对 1 个得 2 分，选对 2 个得 3
分.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 85 分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.
16．（本小题 13分）
f ( ) sin cos ( tan )解：（1） cos …………7 分
sin tan
（每个诱导公式化简 1 分，最后结果 2 分）
（2） cos(

) sin 1 …………9 分
2 5
sin2 cos2 1 …………10 分
且α为锐角
cos 2 6 …………12 分
5
f ( ) 2 6 cos …………13 分
5
17．（本小题 13分）
cos 0 2sin cos 解：（1）当 时， 5不成立， cos 0 …………1 分
3cos sin
2sin cos 2 ta n 1
5 …………3分
3cos sin 3 tan
所以 tan 2 …………5 分
tan 2 2 tan 2 2 4 2 2 …………7 分1 tan 1 2 3
（公式 1 分，答案 1 分）
1
2 sin
2 1 sin cos 1 cos2 1 tan 2 1 tan 1
（ ）原式 4 3 2 4 3 2 13 …………13 分
sin 2 cos2 tan 2 1 30
（原式除以 sin2 cos2 2 分，上下同除 cos2 2 分，答案 2 分）
18．（本小题 15分）
（1）列表如下：
5 4 11 7
x
3 6 3 6 3
x 3 0 2
3 2 2
f (x) 0 2 0 -2 0
…………5 分
图象如下：
…………7 分
（取点正确 1 分，闭区间 1 分）
π
（2）因为 g x f ( x) 2sin x …………9 分
3
T 2 2 因为 ，所以 3，
3
即 g x 2sin 3x π

…………11 分
3

因为 2k 3x 2k …………12分
2 3 2
2k 5 2k
解得 x …………14分
18 3 18 3
2k
所以 g(x)的单调递增区间为 ,
5 2k
k Z . …………15 分
18 3 18 3
19．（本小题 14分）
3 4
（1）由点 A(1,0)，点 B , 在单位圆上， AOB 0 π ，
5 5
4
4
则 tan 53 ， …………2 分
3
5
4
tan 1 1
则 tan
π
3 1
4
＝
1 tan 4

＝ ； …………4 分1 7
3
（公式 1 分，答案 1 分）
（2）四边形 OADB是平行四边形，

则 AD OB，则OD OA OB， …………5 分

OD OA OB 2 , 4 即 ， …………7 分
5 5
2 4
所以点 D的坐标为 ,5 5
； …………8 分


（3） AB 2AP

OB OA 2(OP OA) …………10 分
1
OP (OB OA) (1 , 2)
2 5 5

AB OB OA ( 8 4 , ) …………12 分
5 5
1
则OP AB＝ ,
2 8 , 4 0 …………14 分
5 5 5 5
20．（本小题 16分）
（1） f x cos2 x 3 sin x cos x m
1 cos 2 x 3
sin 2 x m …………2分
2 2
sin(2 x ) 1 m …………3 分
6 2
方法一：选择条件①②
因为T
2
2 1，所以 ， …………4 分
2 2
f (0) 1 m 1 1 1又因为 ，所以m .
2 2 2 2
所以 f (x) sin(x ) . …………5分
6
x 当 2k ,k
2
Z ，即 x 2k ,k Z 时， f (x) 取得最小值，
6 2 3
所以函数 f x 2 的最小值点为 x 2k ,k Z . …………6分
3
方法二：选择条件②③
T 2 因为 2
1
，所以 ， …………4 分
2 2
又因为 f (x)
1
max 1 m 1
1
，所以m .
2 2
所以 f (x) sin(x ) . …………5分
6
当 x

2k ,k 2 Z ，即 x 2k ,k Z 时， f (x) 取得最小值，
6 2 3
所以函数 f x x 2 的最小值点为 2k ,k Z . …………6分
3
π
（2）∵函数 y f x a在区间 0, 上恰好有两个零点， 2
π
∴函数 y f (x)的图象与函数 y a 的图象在区间 0, 上恰好有两个交点， 2
t x 设 ，则 g t 2sin t，
6
π t x x [0, ]， [
, 2 ] …………7 分
2 6 6 3
a [ 3 ,1)． …………11 分
2
（3）方法一：
因为 x 0,t ，所以 x [ , t ]， …………12 分
6 6 6
又因为 f x 在区间上 0,t 上有且仅有 2 条对称轴，
3
所以 t
5 4 7
，所以 t . …………15 分
2 6 2 3 3
方法二：

因为 x k ,k Z
6 2
所以 f x 对称轴方程为 x k ,k Z …………12 分
3
又因为 f x 在区间上 0,t 上有且仅有 2 条对称轴，
4 7
所以 t . …………15 分
3 3
21.（本小题 15分）

（1）解：当集合 ,

， 0 0时，集合 相对 0的“余弦方差”：
3 4
cos2 ( 0) cos2 ( 0)
3 4 3 ； …………4 分
2 8
, 2 （2）证明：当集合 ,

时，集合 相对于常数 0的“余弦方差”：
3 3
cos2 ( ) cos2 (2 ) cos2 ( ) (1 cos 3 sin ) 2 ( 1 cos 3 sin ) 20 0 0 0 0 0 0 cos
2 0
3 3 2 2 2 2
3 3
1 cos2 3 sin20 0 cos
2 0 1
2 2 ，
3 2
1此时“余弦方差”是一个常数，且常数为 2 ； …………9分

, , （3）解：当集合 ， 0, ， , 2 时，
4


cos
2 ( 0 ) cos
2 ( 0 ) cos
2 ( )
集合 相对于任何常数 0的“余弦方差” 4
0
3
1 1
[( cos2 cos2 )cos2 0 (1 sin 2 sin 2 )sin 0 cos (
1
0 sin
2 sin2 )sin2 ]
3 2 2 0
，
要使上式对任何常数 0是一个常数，则1 sin 2 sin 2 0 且
1
cos2 cos2 1 sin2 sin2 ，
2 2
cos 2 cos 2 0
所以 ，故1 cos2 2 1
2
sin 2
sin 2
，
sin 2 1
sin 2 1 2 0,2 2 7 2 11 整理得到 ，而 ，故 或 ，
2 6 6
7π 11
所以 或 ，
12 12
3
7π
cos2
当 时，有 2 ，而 2 2 , 4 ，故 2 23 23 即 ，12 1 6 12
sin 2 2
3
11
cos2 2 2 2 , 4 2 19 19 当 时，有 ，而 ，故 即 ，
12 6 12
sin 2
1

2


11 7

12

12
故 或 15
19 23
． ………… 分


12 12