第二章相交线与平行线 作业设计方案（含答案）2023-2024学年北师大版七年级数学下册

北师大版数学 七年级下册 第二章 相交线与平行线
2.1两条直线的位置关系（第1课时）
（新授课作业）
【作业目标】
了解平面上两条直线的相交与平行的位置关系，理解对顶角、余角、补角的概念，掌握对顶角相等、同角（等角）的余角相等、同角（等角）的补角相等的性质，并能运用它们的性质进行角的运算及一些实际问题的求解。
【作业内容】
※基础训练※
1.下列说法中，正确的是（ ）
A.在同一平面内，不相交的两条线段平行
B.在同一平面内，不平行的两条线段相交
C.在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线
D.不相交的两条直线是平行线
设计意图：学生在小学阶段已经对相交线、平行线有了直观的认识。本题侧重从文字语言方面加深学生对相交线、平行线的认识，区分出相交线与平行线的特点。
2.如图，直线与，相交得到如图所示的5个角，
（1）5个角中是对顶角的是 ；
（2）若∠1=70°，则∠1的补角的度数是 ；
（3）若∠2=23°，则∠4的余角的度数是 .
设计意图：第（1）问通过识别并判断5个角的特殊位置关系，考查学生对对顶角定义的理解，帮助学生准确理解定义；第（2）问加深补角概念的理解，强调补角只是指两个角之间的数量关系，与位置无关，加深理解定义的本质；第（3）问考查对顶角、余角的性质，需要学生观察分析发现∠2与∠4的位置关系，再由同角（等角）的余角相等才能求，既加深对顶角概念的理解，又强化了对顶角、余角的性质的掌握。
※能力提升※
3.(七下教材第40页习题2.1第3题）如图，在长方形的台球桌面上，
∠1+∠3=90°，∠2=∠3，若∠2=58°，则∠1= 度。
设计意图：以现实情境为背景，由实景图抽象出几何问题，考查等角的余角相等的性质，让学生体会数学来源于生活，又应用于生活。
4.如图，已知∠AOB在∠AOC内部，∠BOC=90°,OM、ON分别是∠AOB,∠AOC的平分线，∠AOB与∠COM互补，求∠BON的度数.
设计意图：以求角的问题，可以体现学生求角所运用策略的不同层次，考查学生对互补、角平分线定义，直角等知识的掌握，学生在求角过程中，需要结合直观图形，对角进行转化，发展学生的空间观念，有助于培养学生分析条件和结论的联系，提高认知和提取关键图形的能力，提高学生的逻辑推理能力。
※思维拓展※
5.观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）的对数。
（1）图①中共有 对对顶角；
（2）图②中共有 对对顶角；
（3）图③中共有 对对顶角；
（4）研究（1）-（3）小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系。若有n条直线相交于一点，则可形成 对对顶角。
设计意图：本题考查对顶角的对数，几何问题与探索规律相结合，考查学生的观察、分析、归纳能力，由特殊到一般，既强化了对顶角的图形认识，发展学生的空间观念，又注重发展学生的数感，数据分析观念及推理能力，有效评价诊断学生知识掌握与应用能力。
【设计说明】
本案例是教师在完成北师大版七年级下册教材第二章“2.1 两条直线的位置关系（第一课时）”新授课内容后，针对平面内两条直线的位置关系、对顶角、余角与补角的概念及其性质而设计的配套作业题，目的是检测学生是否从三种语言上理解对顶角、余角与补角的概念，是否熟练应用对顶角、余角及补角的性质进行解决相关的问题。另外，本设计结合七年级学生认知的特点，侧重利用几何直观图进行设计题目，借助几何直观加深学生对对顶角、余角及补角概念的理解，发展空间观念和推理能力。题目由易到难，由简到繁，使学生的思维层层递进，揭示概念的本质，提高学生的解题能力。
【反馈分析】
第4题已知条件较多，需要利用转化与化归的数学思想，结合直观图形，将所求角转化为已知角，学生在运用几何符号语言转化过程中较乱，缺乏严密性，教师可通过课上点评展示，让学生及时更正。另外，也可以引导学生采用方程的思想进行解决几何问题，把几何问题代数化。第5题拓展题对学生的观察能力提出更高的要求，同时需要具备更强的数感、数据分析观念、运算能力和推理能力。
北师大版数学 七年级下册 第二章 相交线与平行线
2.1两条直线的位置关系（第2课时）
（新授课作业）
【作业目标】
会用符号表示两直线垂直，并能借助三角板、直尺和方格纸画垂线。初步尝试进行简单的推理。进一步发展学生的空间观念、推理能力和有条理表达的能力。善于举一反三，学会运用类比、数形结合等思想方法解决新知识。激发学生学习数学的兴趣，体会“数学来源于生活反之又服务于生活”的道理，在解决实际问题的过程中了解数学的价值，通过“简单说理”体会数学的抽象性、严谨性。
【作业内容】
※基础训练※
1.下列说法中，正确的个数有（ ）
①有且只有一条直线与已知直线垂直
②两条直线相交，一定垂直
③若两条直线相交所形成的四个角相等，则这两条直线垂直
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
设计意图：学生在小学阶段已经对垂直有了直观的认识。本题侧重从文字语言方面加深学生对垂直的认识。
2.下列作图能表示点A到BC的距离的是( )
设计意图：考察学生在钝角三角形中学会正确做垂线，加深学生对垂直概念的理解及掌握对垂直的性质的运用。
※能力提升※
3.如图,直线AB,CD相交于点O,∠AOC=40°,过点O作EO⊥AB,则∠DOE的度数为 .
设计意图：引导学生对与垂直相关的定义的角度的计算，检查学生对垂直定义的掌握程度。
4.已知,如图,直线AB和CD相交于点O,∠COE是直角,OF平分∠AOE,∠COF=34°,求∠AOC和∠BOD的度数.
设计意图：检查学生做与垂直相关的计算题目中，要仔细思考题目所应用的知识点，如何灵活运用已学知识点一起解题。
※思维拓展※
5.如图所示，AB是一条河流，要铺设管道将河水引到C，D两个用水点，现有两种铺设管道的方案：
方案一：分别过C，D作AB的垂线，垂足为E，F，沿CE，DF 铺设管道。
方案二：连接CD交AB于点P，沿PC，PD铺设管道。
按哪一种方案铺设管道更节省材料？为什么？
设计意图：以现实情境为背景，由实景图抽象出几何问题，引导学生注意两点：一是两点之间，线段最短；二是点到直线之间，垂线段最短。掌握“垂线段最短”与“两点之间线段最短”的区别。让学生体会数学来源于生活，又应用于生活。
【设计说明】
本案例是在七年级上册教材第2章第2节“两条直线的位置关系（第2课时）”新授课后的一个作业题组，目标是检测学生是否掌握两条直线垂直及其性质，并能用于解决相关问题。在解答的过程中，学生进一步巩固用符号表示两直线垂直，并能借助三角板、直尺和方格纸画垂线，发展空间想象、推理能力和有条理表达的能力。
本题组是为了检验学生对本节课的掌握程度。在测试题的选择上，体现了分层次的原则。题目由易到难，由简到繁，争取能让每一位学生都能领略到成功的喜悦！通过变式练习，步步递进，不断完善了新的知识结构，同时让学生体验了知识的形成过程和发现的快乐，继而转化为进一步探索的内驱力。问题串的提出,可以满足不同层次学生学习的需要，提出的问题能激发学生认知上的冲突，从而促使他们去探索，去对自身的认知结构进行调整和变革。
【反馈分析】
两道基础题的完成情况有明显的不同，第一题大部分同学都能正确完成，但第二题的完成情况非常不理想，主要原因在于同学们对点到直线的距离这个概念理解得不透彻，因此我们老师在教学的过程要注意引导学生在学习垂线性质的基础上引出点到直线的距离的概念。第三题提升题是一道填空题，同学们完成的不错，但是第四题提升题效果不理想，主要在于几何语言的书写一直是同学们比较薄弱的地方，引出在平时的教学中应该多注重培养同学们几何语言的表达。
北师大版数学 七年级下册 第二章 相交线与平行线
2.2探索直线平行线的条件（第1课时）
（新授课作业）
【作业目标】
会识别由“三线八角”所成的同位角，掌握直线平行的条件，并能解决一些问题；会用三角尺过已知直线外一点画这条直线的平行线；经过观察、操作、想象、推理等的活动，进一步发展空间观念、合情推理能力和有条理的表达能力。
【作业内容】
※基础训练※
如图1，已知∠2=100°，要使 AB//CD，则须具备另一个条件（ ）
A.∠1=100° B.∠3=80° C.∠4=80° D.∠4=100°
设计意图：会识别由“三线八角”所成的同位角，掌握同位角相等，两直线平行，考查学生对两直线平行条件的掌握程度。
2.下列说法中，不正确的是（ ）
A.如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
B.过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线相交
C.同一平面内的两条不相交直线平行
D.过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
设计意图：考察学生对平行线两条性质的熟记程度。
※能力提升※
3.如图2，AB//CD,EF//AB,AE//MN,BF//MN,由图中字母标出的互相平行的直线共有（ ）
A.4组 B.5组 C.6组 D.7组
设计意图：此题主要想考查“平行于同一条直线的两条直线平行”的性质。锻炼了学生的思维，提升了学生分析问题和解决问题的能力。
4.如图3，若∠1=∠4，∠1+∠2=180°，则AB、CD、EF的位置关系如何？
解：∵∠1+∠2=180°，（ ）
∠2+∠3=180°，
∴∠1=∠3，（ ）
∴ ∥ . （ ）
又∵∠1=∠4，（ ）
∴AB∥EF，（ ）
∴AB∥CD∥EF.（ ）
设计意图：此题运用“同位角相等，两直线平行”的条件以及“平行于同一条直线的两条直线平行”的性质进行解题。锻炼学生解决问题得结合多个知识点去解答。同时，大部分学生还不能规范写出推理过程，这里以填空的形式让学生体会推理的每一步都是有根有据的，为后面书写规范的推理过程做好铺垫。
※思维拓展※
教材P49习题24T1变式题，如图4，一辆货车在仓库装满货物准备运往超市，
驶出仓库门口后开始向东行驶，途中向右拐了50°角接着向前行驶了一段路程后，又向左拐了50°角.
(1)汽车此时的行驶方向和原来的行驶方向相同吗 请说明理由.
(2)如果汽车第二次向左拐的角度是40°或70°，汽车此时的行驶方向和原来的行驶方向相同吗 请说明理由.
设计意图：本题考查了直线平行的条件，培养学生添加辅助线来解决问题的能力，对思维的要求比较高，且此题贴合生活实际，让学生感受数学在生活中的运用。所以非常适合作为本节课的拓展题。同时锻炼学生用符号语言来说理的能力。
【设计说明】
本案例是在教师完成七年级下册教材2.2探索直线平行的条件第一课时后的新授课作业，目标是检测学生是否掌握了用“同位角”判定两直线平行及平行线的两条性质。在解答过程中，学生进一步巩固了对“同位角”的识别、“同位角相等，两直线平行”的判定定理及平行线的两条性质，体验了演绎推理和转化思想，还体验到了利用反证法来解决几何证明问题。另外，由于七年级学生初学几何，对几何的推理能力比较差，所以题目设计由浅入深，由一般到特殊，让学生体会转化思想，提升学生逻辑思维能力；拓展题着重培养学生合情推理及表达能力。同时让学生体会数学来源于生活，又应用于生活。
【反馈分析】
基础题都是直接运用直线平行的条件和平行线的两条性质来解题，学生完成的很好；第3题提升题，同位角的识别及同位角个数的计算是本节课的易错点，优生也有部分做错的，中下层的学生掌握不好，后续应多加强练习，在不断纠错中提高。第4题，学生对证明的书写过程不熟悉，做题时会论述不清楚，但本题通过填空的形式呈现，所有同学都完成的不错。拓展题需要学生识别同位角来解题，第二个问题需要通过第一问来反证，学生对于反证法都比较陌生。且论述过程也存在很大问题，后续可多锻炼学生的推理及论述的能力，让学生掌握此种题型的基本方法和基本模型。
北师大版数学 七年级下册 第二章 相交线与平行线
2.2探索直线平行的条件（第2课时）
（新授课作业）
【作业目标】
会识别由“三线八角”构成的内错角和同旁内角。掌握利用内错角相等、同旁内角互补判别直线平行的结论，并能解决一些问题。进一步发展空间想象、推理能力和有条理表达的能力。
【作业内容】
※基础训练※
1.如图,直线AB,CD被直线EF所截,则∠3的同旁内角是(　　)
A.∠1 B.∠2 C.∠4 D.∠5
设计意图：本题主要考查了同旁内角的定义。
2.如图,两只手的食指和大拇指在同一个平面内,它们构成的一对角可看成是____________.
设计意图：本题主要考查了内错角的定义。图中两只手的食指和拇指构成“Z”形，根据内错角是在截线两旁，被截线之内的两角，内错角的边构成“Z”形来作答。通过展示比较新颖的“内错角”来加强对内错角定义的掌握，立足于学生的生活经验和已有的数学活动经验，充分挖掘和利用现实生活中与相交线、平行线密切相关的现实背景，尽可能从学生感兴趣的话题出发，创设有利于发展学生空间观念的题目背景。
※能力提升※
3．如图，填空：
(1)若∠1＝ 70 ，∠2＝70 ，则______∥______；
(2)若∠2＝72 ，则当∠3＝______ 时，EF∥GH；
(3)若∠4＝109 ，则当∠3＝______ 时，AB∥CD．
设计意图：这道题主要综合考查同学们对“内错角相等，两直线平行”及“同旁内角互补，两直线平行”这两个两条直线平行的条件。在复杂的图形中识别同位角、内错角、同旁内角时，应从角的两边入手，同位角、内错角、同旁内角必有边在同一直线上，此直线即为截线；另外不在同一直线上的边，它们所在的直线即为被截直线。最后观察角的边构成的是“F”型，“Z”型，还是“U”型，从而确定角的类别。
4.如图，直线DE，BC被直线AB所截．
（1）∠1和∠2，∠1和∠3，∠1和∠4各是什么角？
（2）如果∠1＝∠4，那么∠1和∠2相等吗？∠1和∠3互补吗？为什么？
设计意图：一方面让学生复习同位角、内错角、同旁内角的概念，另一方面也要求学生进行说理，为后面学习平行线做好铺垫。判断同位角、内错角、同旁内角时，要弄清这两个角是由哪两条直线被第三条直线所截而成的，最简单的方法是：两个角的公共边所在的直线是截线，其余两边就是被截的两条直线。
※思维拓展※
5.如图,已知∠A+∠ACD+∠D=360°,试说明:AB∥DE.
设计意图：可以体现学生证明直线平行所运用策略的不同层次，考查了学生对“同旁内角互补，两直线平行”这一判定的掌握，以及添加辅助线解决问题的能力。培养添加辅助线构造基本图形解决问题的能力，非常适合作为本节课拓展训练的作业素材。
【设计说明】
本案例是在七年级上册教材第2章第4节“探索直线平行的条件（第2课时）”新授课后的一个作业题组，目标是检测学生是否掌握利用内错角相等、同旁内角互补判别直线平行，并能用于解决相关问题。在解答的过程中，学生进一步巩固识别由“三线八角”构成的内错角、同旁内角，发展空间想象、推理能力和有条理表达的能力。
本作业题组充分重视学生对分类思想的感悟和分类方法的体验。对两条相交线所成角之间位置关系的分类，虽有一定的难度，但是在分类的基础上，对顶角概念给人呼之欲出、水到渠成的感觉，概念的引出自然、流畅，使这一题组达到温故而知新的目标。
【反馈分析】
基础训练和能力提升题反映了学生对这节课知识点的掌握情况，大多数学生基础题都完成得很好，但是能力提升题就差强人意。主要原因在于几何语言书写混乱，没有逻辑，能知道大概的证明思路，但无法把解答过程规范书写。另外拓展题难度比较大，需要画辅助线，同学们在画辅助线方面的能力比较薄弱，所以这道题应该在课堂详细分析，着重评讲，培养同学们添加辅助线构造基本图形解决问题的能力。
北师大版数学 七年级下册 第二章 相交线与平行线
2.3平行线的性质（第1课时）
（新授课作业）
【作业目标】
掌握平行线的性质，会运用两条直线的平行关系判断两角相等或互补；能够根据平行线的性质进行简单的推理及计算，体会通过添加已知直线的平行线，或延长线段构造平行线及三角形来解决问题，逐步形成研究几何图形的基本思想和方法，提高学生的逻辑思维推理能力。
【作业内容】
※基础训练※
1.如图1，直线a、b被直线c所截，若a∥b，∠1=60°，那么∠2的度数为（　　）
A．120° B．90° C．60° D．30°
设计意图：直接运用平行线的性质1，两直线平行，同位角相等，考查学生对平行线性质1的了解和识别。
2.如图2，BC⊥AE，垂足为点C，CD∥AB，∠B=55°，则∠1等于（　 ）
A．55° B．45° C．35° D．25°
设计意图：运用平行线的性质2，两直线平行，内错角相等，再求一个角的余角，考查学生是否掌握新知，同时回顾本章第一节课的知识。
※能力提升※
3.如图3，已知AB∥CD，∠CAB与∠ACD的平分线交于点E，则∠AEC的度数为 °．
设计意图：此题主要想考查平行线的性质3：两直线平行，同旁内角互补，但同时要运用角平分线和三角形内角和的旧知识。同时调用几个知识点才能解决问题，锻炼了学生的思维，提升了学生分析问题和解决问题的能力。
4.如图4,若AB∥DE ,AC∥DF，请说出∠A和∠D之间的数量关系，并说明理由.
解: ∠A+∠D=180o.
理由：
∵ AB∥DE( 　)
∴∠A= ______ ( )
∵AC∥DF( )
∴∠D+ _______=180o ( )
∴∠A+∠D=180o（ ）
设计意图：此题运用平行线的性质推理两个角的数量关系，让学生体会“如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补（此题互补）”，大部分学生还不能规范写出推理过程，这里以填空的形式让学生体会推理的每一步都是有依据的，为后面书写规范的推理过程做好铺垫。
※思维拓展※
5.在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG(∠EFG＝90°，∠EGF＝60°)”为主题开展数学活动．
如图5，小明把三角尺的60°角的顶点G放在CD上．若∠2＝2∠1，
求∠1的度数．
如图6，小颖把三角尺的两个锐角的顶点E，G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF与∠FGC之间的数量关系．
设计意图：本题考查平行线的性质，同时考查了辅助线构造法的数学思想，当两条平行线不是被第三条直线所截，而是被一条折线所截时，则不能直接应用平行线的性质，因此需过折线的“转折点”作一条平行线，利用“平行于同一直线的两条直线平行”得出三条直线互相平行，从而多次利用平行线的性质解决问题。培养了学生添加辅助线构造平行线来解决问题的能力，发展了学生的高阶思维。
【设计说明】
本案例是在教师完成七年级下册教材2.3平行线的性质第一课时后的新授课作业，目标在于检测学生是否掌握了平行线的性质，并会运用平行线的性质求解角度的一般问题。在解答过程中，学生进一步巩固了平行线的性质的使用方法，体验了演绎推理和辅助线构造法的数学思想，发现了添加辅助线能快速解决几何问题。另外，本设计根据七年级学生几何推理能力尚浅的特点，题目设计由浅入深，由一般到特殊，让学生体会转化思想，提升学生逻辑思维能力；拓展题通过添加辅助线构造平行线来解决问题，打破学生的固有思维，拓展了学生的空间观念和高阶思维。
【反馈分析】
基础题的设计思想在于学生可以直接运用平行线的性质解题，完成情况很好；第3题提升题是填空题，优生完成情况良好，但中下层学生只是靠猜，理解不到位，第4题完成情况较好。拓展题是三角尺问题和拐点问题，存在两个难点，一是添加辅助线，二是挖掘三角尺的隐含条件；学生比较难分析并作出正确的辅助线，即使做对了，论述过程也存在很大问题，建议后续教学可增加一个拐点专题，讲透彻，让学生掌握此种题型的基本方法和基本模型。
北师大版数学 七年级下册 第二章 相交线与平行线
2.3平行线的性质(第2课时)
(新授课作业)
【作业目标】
复习、巩固前一节判断直线平行的条件和平行线的性质。让学生掌握判断直线平行的条件并做到直接应用，会分析问题的条件，形成解题思路与方法。在平行线的判定与性质运用中，培养学生的数学推理能力。
【作业内容】
※基础训练※
1.下列说法中，不正确的是（ ）
A．同位角相等，两直线平行； B．两直线平行，内错角相等；
C．两直线被第三条直线所截，同旁内角互补； D．同旁内角互补，两直线平行.
设计意图:直接考查学生对平行线的判定与性质的知识点的了解情况。从而可以判断学生对平行线的判定与性质的熟悉程度。
2.如图：
（1）∵AB//CD
∴∠1=∠2（ ）
（2）∵ ∠3＝∠1
∴ // （同位角相等，两直线平行）
（3）∵∠1＋ ∠ ＝180
∴AB//CD（ ）
设计意图:结合图形，让学生把所学的平行线的判定与性质运用在实际问题中，以填空的形式让学生体会推理的每一步都是有理有据的，为后面书写规范的推理过程做好铺垫。从而培养他们简单的推理能力。
※能力提升※
3.小明在学习平行线的性质后，把含有60°角的直角三角板摆放在自己的文具上，如图，AD∥BC，若∠2＝70°，则∠1＝（　　）
A．22° B．20° C．25° D．30°
设计意图:在解答基础问题后，引入一道比较典型的需要作辅助线构建平行线来完成的关于平行线的判定与性质的实际问题，有利于反馈学生实际运用平行线的判定与性质知识解决实际问题的能力，从而引发学生对这类题目的思考，总结归纳出解题方法。
4.如图，在△ABC中，∠1＝∠2，点E、F、G分别在BC、AB、AC上，且EF⊥AB，DG∥BC，请判断CD与AB的位置关系，并说明理由．
设计意图:这道题目需要灵活运用平行线的判定与性质，让学生完整地写出推理过程，在第3题后，对能力实现了进一步的提升，不仅能考查出学生的说理能力，让学生落实推理的每一步都是有理有据的，为书写规范的推理过程奠定基础。
※思维拓展※
5.如图①，直线∥，直线EF和直线、分别交于C、D两点，点A、B分别在直线、上，点P在直线EF上，连接PA、PB．
猜想：如图①，若点P在线段CD上，∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，则∠APB的大小为　 　度．
探究：如图①，若点P在线段CD上，直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系．
拓展：如图②，若点P在射线CE上或在射线DF上时，直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系．
设计意图:本题主要考查平行线的性质与判定的综合运用，引入这个题目，激发学生的思考积极性，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，利用平行线的性质求解角度的基本思路进行推算。此题还培养了学生分类讨论的数学思想。
【设计说明】
本案例是在完成七年级下册教材2.3平行线的性质第二课时后的新授课作业，目标是检测学生是否掌握了平行线的判定与性质，以及运用它解决实际问题，问题涉及说明两直线平行，求解角的度数等问题，在解答过程中，学生进一步巩固了平行线的判定与性质的使用方法，体验了演绎推理和转化思想，还体验到了添加辅助线后能迅速解决疑难问题，是解决几何问题比较灵活的方法。另外，本设计根据七年级学生几何推理能力尚浅的特点，题目设计由浅入深，由一般到特殊，让学生体会转化思想，提升学生逻辑思维能力；提升题和拓展题都有要通过添加辅助线构造平行线来解决问题，打破学生的固有思维，发展学生的空间观念和高阶思维。
【反馈分析】
基础题都是直接运用平行线的判定或性质，学生完成的很好。第3题提升题虽是选择题，但要考查平行线的性质，角的和差等相关知识，重点掌握平行线的性质，难点是作辅线构建平行线，优生完成的较好，但中下层学生理解的不好。第4题要写出完整的推理过程，对大部分学生来说存在一定的难度，会说但写得不够完善。拓展题是综合运用题，存在两个难点，一是添加辅助线，二是由特殊到一般的转化思想；学生有了前面的题目作参考，会分析并画出适合的辅助线，但是最后一个问题需要分类讨论，学生会有遗漏。建议后续可增加相关的综合专题，让学生掌握此种题型的基本方法和基本模型。
北师大版数学 七年级下册 第二章 相交线与平行线
2.4用尺规作角
（新授课作业）
【作业目标】
落实《义务教育阶段课程标准》中本章节作图知识目标，“能用尺规作图完成基本作图——作一个角等于已知角”，在作图过程中，进一步提高学生对平行线的认识，促进提升线、角的相关知识的融合转化，体会文字语言与图形语言的转换。
【作业内容】
※基础训练※
下列关于尺规的功能说法不正确的是（ ）
直尺的功能是：在两点间连接一条线段，将线段向两方向延长
直尺的功能是：可作平角和直角
圆规的功能是：以任意长为半径，以任意点为圆心作一个圆
圆规的功能是：以任意长为半径，以任意点为圆心作一段弧
设计意图：在几何作图中，只用圆规和没有刻度的直尺来作图，称为尺规作图，学生一定要了解作图工具的功能：直尺——在两点间连接一条线段或过平面上的两点画直线，也可作射线和线段；圆规——以平面上任意一点为圆心，任意长为半径作圆或作弧，也可在直线上截取线段，使它等于已知线段。
尺规作图：如图，作一个角等于已知角。（要求：写出已知、求作，保留作图痕迹，不写作法）
已知：
求作：
设计意图：体会文字语言与图形语言的转换，领会作图要求，能用尺规作图完成作一个角等于已知角，掌握基本作图顺序和选用工具：①直尺画射线，②圆规画等弧，③圆规量取两点距离画弧找点，④直尺画射线。
※能力提升※
已知∠α，∠β，求作一个角，使它等于∠α与∠β的和.
设计意图：考察两角的和的作图，图形的构造能力及动手操作能力，在作图中，充分利用直尺和圆规，实现“作一个角等于已知角”，这是基本作图，本题既考察了学生的几何直观，又考察逻辑推理能力，规范几何语言的书写，分析题目，灵活运用和角关系作两个角的和，教师应引领学生提升作一个角是已知角的整数倍的作图分析和操作能力。
如图，已知∠ABC，∠DEF，利用直尺和圆规作图比较∠ABC与2∠DEF的大小.（不写作法，保留作图痕迹）
设计意图：利用尺规作图，实现“作一个角等于已知角”的基础作图，构建出倍数角，运用叠合法比较两角大小，打破思维定式，不同开口方向锻炼学生灵活分析、理解角的能力。
※思维拓展※
如图，利用尺规，在△ABC的边AC上方作∠CAE=∠ACB，在射线AE上截取AD=BC,连接CD，若∠B=∠D=85°，∠CAE=60°，试说明：AB∥CD（回归作图要求保留作图痕迹，不写作法）
设计意图：本节课，教科书创设了“作一个角等于已知角”的情景，将平行线的识别与作角的问题比较自然的联系在一起，由此可以看出，作平行线的问题有时会转化为作角的问题。本题旨在衔接线角关系，先要完成尺规作图，之后根据作图进行判断，阐述理由，提升学生在平面几何知识模块中对平行线的理解能力，提升线、角的相关知识的融合转化，体会文字语言与图形语言的转换，拓展综合运用能力。
【设计说明】
本案例是完成北师大版数学七年级下册教材2.4用尺规作角后的新授课作业，目标是检测学生是否领会尺规作角的概念，掌握尺规作角的方法，体会文字语言与图形语言的转换，领会作图要求并能运用工具熟练完成有关已知某个角，形成和角，倍数角，差角的制作，作业布置衔接线角关系，提升学生在平面几何知识模块中对平行线的理解能力，提升学生线、角的相关知识的融合转化能力，题目布置旨在关注学生数学理解、数学问题的发展和创设性解决问题的能力。夯实教学目标要求的同时，拓展综合运用能力。
【反馈分析】
作业中，学生完成第1题的效果较好，能更加领会尺规作图的含义，以及各作图工具的用途；学生完成第2题情况，直接反馈了课上操作落实情况；第3题，是在第2题的基础上整合解决角的合成问题，能力要求上有提升，但对于中层生要求落实理解，操作无误；第4题，创设性的改变了已知角的开口方向，打破了固定思维，学生对问题理解会有些许障碍，但回归基本作图操作步骤，问题会迎刃而解；第5题，要求的能力较高，不仅要完成作题目要求的角，同时还要应用新图形解决问题，题目涉及到平行线的理解，既是瞻前也是顾后，对知识衔接起到承上启下的作用，对于思维较活跃的学生是一次很好的激发性的训练。
北师大版数学 七年级下册 第二章 相交线与平行线
“回顾与思考”
（单元复习作业）
【作业目标】
在复习本章知识的基础上，理清知识脉络，建立起完善的知识结构。重点掌握垂线的概念与平行线的判定和性质。初步养成言之有据的习惯，学会“说理”和“简单推理”。让学生进一步加深对知识的理解，体会本节课所涉及的数学思想和数学规律，体会分析问题，解决问题的一些思想（分类、转换、建模）和方法（分析、综合），发展空间观念和推理能力。
【作业内容】
※基础训练※
1.如右图，OA⊥OB，若∠1＝40°，则∠2的度数是( )
A.20°　 B.40°　 C.50°　 D.60°
设计意图：理解垂直的定义和两个角互为余角的概念，会使用这两个概念解决求角度的问题，考查学生对有关概念的了解情况。
2.如右图，BC⊥AC，CB=8cm，AC=6cm，AB=10cm，
那么点A到BC的距离是 ，
点B到AC的距离是 ，
A、B两点的距离是 ,点C到AB的距离是 .
设计意图：考查学生对点到直线间的距离的了解情况，会用三角形的面积公式求出三角形面积，进而利用等面积法求出点C到AB的距离。此题是常考题型，需要一定的空间想象能力和识图能力，能培养学生添加辅助线的能力。
※能力提升※
3.已知：如右图∠1=∠2，∠C=∠D，问∠A与∠F相等吗？试说明理由.
设计意图：本题是个小综合题型，考查了对顶角相等，交替使用平行线的条件和性质，让学生进一步加深对知识的理解，体会本节课所涉及的数学思想和数学规律。同时，学会归纳概括和总结，积累学习经验，为今后的学习奠定基础。
4.如下图，在∠A中，B是AC边上一点.
(1)以B为顶点，BC为一边，利用尺规作图作∠EBC，使∠EBC＝∠A；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)的条件下，EB与AD平行吗？
设计意图：考查学生尺规作图的基本步骤的了解情况，在运用尺规作图过程中，需要操作规范，保留作图的痕迹，并根据作图过程角的关系，判断两条直线是否平行，体会文字语言与图形语言的转换。
※思维拓展※
5.如图(1)，AB∥CD，猜想∠BPD与∠B、∠D的关系，说明理由．(提示：三角形的内角和等于180°)
①填空或填写理由
解：猜想∠BPD+∠B+∠D=360°
理由：过点P作EF∥AB，
∴∠B+∠BPE=180°（ ）
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴______∥_____，(如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行)
∴∠EPD+______=180°
∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D=360°
∴∠B+∠BPD+∠D=360°
②依照上面的解题方法，观察图(2)，已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、
∠D的关系，并说明理由．
③观察图(3)和(4)，已知AB∥CD，直接写出图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，不说明理由．
【设计意图】通过本例，培养学生的识图能力、推理能力与化归思想的能力，引导学生通过建模，判断单拐点模型，体会本题所涉及的数学思想和数学规律，体会分析问题，解决问题的一些思想（分类、转换、建模）和方法（分析、综合），发展空间观念和推理能力。
【设计说明】
本案例是完成北师大版七年级下册教材“第二章相交线与平行线”整章内容后，并完成了“第二章相交线与平行线”回顾学习后所设置的对应作业，目的是检测学生对“相交线与平行线”的掌握程度，侧重训练学生进行简单的说理，并借助平行解决一些简单的问题，进一步发展学生的空间观念，同时也考查学生是否能够根据具体的已知条件，灵活选取平行线的判断和性质进行解题，让学生体会解决问题的一些思想和方法，也为后续学习几何奠定基础。平行线的判定和性质等相关知识，是积累学生空间与图形的活动经验、掌握平面图形的基础知识、学习简单而初步的说理、推理等内容所必需的，因此，本案例侧重于选取一些应用平行线判定和性质解题的几何问题。
【反馈分析】
平行线的判定和性质的灵活应用，数学说理的不严谨，步骤的不规范，始终还是学生呈现出来的问题。针对以上问题，教师可根据学生的掌握程度，分层分方向对学生进行思路点拨，第一种正向思考：已知条件→层层挖掘信息→解决
问题；第二种逆向思考：问题→层层转换→已知条件；第三种双向思考：已知条件→挖掘信息 层层转换←问题。通过以上三种思考模式的点拨，引导学生抓住问题的本质，提高学生应用知识解决问题的能力。拓展题是拐点问题，培养学生添加辅助线构造平行线解决问题的能力，题中先以凸拐点（已有辅助线）的基本图形为背景，不断对图形生长变化，对思维的要求不断提高，锻炼学生的思维能力，让学生在更开放的探索中，体会研究几何图形的基本思想和方法，非常适合供学有余力的学生去探索。
北师大版数学 七年级下册 第二章 相交线与平行线
2.1两条直线的位置关系（第1课时）参考答案
C
(1)∠2与∠4，∠3与∠5
(2)110°
(3)67°
32
4.解：∵∠AOB与∠COM互补，
∴∠AOB＋∠COM＝180°，
即∠AOB＋∠BOM＋∠COB＝180°.
∵∠COB＝90°，
∴∠AOB＋∠BOM＝90°.
∵OM是∠AOB的平分线，
∴∠BOM＝∠AOB，即∠AOB＋∠AOB＝90°，
解得∠AOB＝60°，
∴∠AOC＝∠BOC＋∠AOB＝90°＋60°＝150°.
∵ON平分∠AOC
∴∠AON＝ ∠AOC＝ ×150°＝75°.
∴∠BON＝∠AON－∠AOB＝75°－60°＝15°.
5.(1) 2 ; (2) 6 ; (3) 12 ; (4) n(n-1) .
2.1两条直线的位置关系（第2课时）参考答案
B
B
50°
∵∠COE=90°,∠COF=34°,
∴∠EOF=∠COE-∠COF=56°,
∵OF是∠AOE的平分线，
∴∠AOE=2∠EOF=112°,
∴∠AOC=112°-90°=22°,∠EOB=180°-112°=68°,
∵∠EOD是直角，
∴∠BOD=22°
方案一更节省材料。
理由：
根据方案一可得：CE⊥AB,DF⊥AB,
∴∠CEP=∠DFP=90°,
∴ΔCEP和ΔDFP是直角三角形，
∵在直角三角形中，斜边大于直角边，
∴在RtΔCEP中，CP>CE,
∴在RtΔDFP中，DP>DF,
∴ CP+DP> CE+DF,
∵CD=CP+DP,
∴CD> CE+DF,
因此按方案一铺设管道更节省材料。
2.2探索直线平行线的条件（第1课时）参考答案
1.D
2.B
3.C
4.∵∠1+∠2=180°，（ 已知 ）
∠2+∠3=180°，
∴∠1=∠3，（ 同角的补角相等 ）
∴ AB ∥ CD . （ 同位角相等，两直线平行 ）
又∵∠1=∠4，（ 已知 ）
∴AB∥EF，（ 同位角相等，两直线平行 ）
∴AB∥CD∥EF.（ 平行于同一条直线的两条直线平行 ）
5.（1)汽车此时的行驶方向和原来的行驶方向相同。
理由如下：因为∠AOO =∠A O B =50°,所以OA//O A .所以汽车此时的行驶方向和原来的行驶方向相同.
（2)汽车此时的行驶方向和原来的行驶方向不相同．理由如下：因为40°和70°不等于50°,所以OA不平行于O A .所以汽车此时的行驶方向和原来的行驶方向不相同.
2.2探索直线平行线的条件（第2课时）参考答案
1.B
2.内错角
3.(1)AB；CD
(2)108
(3)109
4.解：(1)∠1和∠2是内错角，∠1和∠3是同旁内角，∠1和∠4是同位角．
(2)∠1=∠2，理由如下：
如果∠1=∠4,由对顶角相等，得∠2=∠4,那么∠1=∠2；
∠1和∠3互补，理由如下：
因为∠4和∠3互补，即∠4+∠3=180°,
又因为∠1=∠4,所以∠1+∠3=180°,即∠1和∠3互补．
5.解：过点C作CF//AB，如图所示：
因为CF//AB,所以∠A+∠ACF=180°
又因为∠A+ ∠ACD+ ∠D=360°,
所以∠A+ ∠ACF+ ∠FCD+ ∠D=360°
所以∠D+ ∠FCD=180°
那么CF//DE,即AB//DE.
2.3平行线的性质（第1课时）参考答案
1.C
2.C
3.90
4.（已知）
∠CPD（两直线平行,同位角相等）
（已知）
∠CPD（两直线平行,同旁内角互补）
（等量代换）
5.解：（1）因为AB∥CD，
所以∠1＝∠EGD．
因为∠2＋∠FGE＋∠EGD＝180°，∠2＝2∠1，
所以2∠1＋60°＋∠1＝180°，
解得∠1＝40°.
如图7，过点F作FP∥AB，
因为CD∥AB，
所以FP∥AB∥CD．
所以∠AEF＝∠EFP，∠FGC＝∠GFP.
所以∠AEF＋∠FGC＝∠EFP＋∠GFP＝∠EFG.
因为∠EFG＝90°，
所以∠AEF＋∠FGC＝90°.
2.3平行线的性质（第2课时）参考答案
C
(1)两直线平行,内错角相等
(2)AB//CD
(3)∠4
同旁内角互补，两直线平行
B
4.解：CD⊥AB．理由如下：
∴DG∥BC，
∴∠1＝∠DCB，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠DCB，
∴CD∥EF，
∴∠CDB＝∠EFB，
∵EF⊥AB，
∴∠EFB＝90°，
∴∠CDB＝90°，
∴CD⊥AB．
5.解：猜想：如图①，过点P作PG∥，
∵∥，
∴∥∥PG，
∴∠APG＝∠PAC＝15°，∠BPG＝∠PBD＝40°，
∴∠APB＝∠APG+∠BPG＝∠PAC+∠PBD＝15°+40°＝55°，
∴∠APB的大小为55度，故答案为：55；
探究：如图①，∠PAC＝∠APB﹣∠PBD或∠PAC＝∠APB+∠PBD，理由如下：
∵∥∥PG，
∴∠APG＝∠PAC，∠BPG＝∠PBD，
∴∠APB＝∠APG+∠BPG＝∠PAC+∠PBD，
∴∠PAC＝∠APB﹣∠PBD；
拓展：∠PAC＝∠PBD﹣∠APB或∠PAC＝∠APB+∠PBD，理由如下：
如图，当点P在射线CE上时，
过点P作PG∥，
∴∥∥PG，
∴∠APG＝∠PAC，∠BPG＝∠PBD，
∴∠PAC＝∠APG＝∠BPG﹣∠APB，
∴∠PAC＝∠PBD﹣∠APB；
当点P在射线DF上时，
过点P作PG∥，
∴∥∥PG，
∴∠APG＝∠PAC，∠BPG＝∠PBD，
∴∠PAC＝∠APG＝∠APB+∠BPG，
∴∠PAC＝∠APB+∠PBD，
综上所述：当点P在射线CE上或在射线DF上时，∠PAC＝∠PBD﹣∠APB或∠PAC＝∠APB+∠PBD．
2.4用尺规作角 参考答案
B
尺规作图：如图，做一个角等于已知角。（要求：写出已知、求作，保留作图痕迹，不写作法）
已知：∠AOB，
求作：∠CDE=∠AOB
解：如图所示，∠CDE为所求作的角。
解：如图所示，∠AOC=∠α+∠β为所求作的角。
解：如图，先作∠MON=2∠DEF,再利用叠合法比较角的大小，以同一顶点和始边为角的顶点和角的始边，作出∠ABC和∠MON的等角，∠HGP和∠HGQ,且∠HGP终边在内，∠HGQ终边在外，故∠HGP＜∠HGQ,即∠ABC＜2∠DEF.
解：作图 如图所示：
AB∥CD的理由如下：
因为∠CAD=∠ACB=60°,
所以AD∥BC,
因为两直线平行同旁内角互补，
所以∠BCD+∠ADC=180°
所以∠BCD=180°-∠ADC=180°-85°=95°
所以∠ACD=∠BCD-∠ACB=95°-60°=35°
同理，∠BAC=35°
所以，∠BAC=∠ACD
所以AB∥CD，（内错角相等，两直线平行）
（答案不唯一，也可以考虑三角形内角和推到内错角相等）
第二章相交线与平行线“回顾与思考”参考答案
1.C
2.6cm 8cm 10cm 4.8cm
3.解：∠A＝∠F.
理由如下：
∵∠1＝∠DGF（对顶角相等），
又∠1＝∠2，
∴∠DGF＝∠2，
∴DB∥EC（同位角相等，两直线平行），
∴∠DBA＝∠C（两直线平行，同位角相等）.
又∵∠C＝∠D，
∴∠DBA＝∠D，
∴DF∥AC（内错角相等，两直线平行），
∴∠A＝∠F(两直线平行，内错角相等).
4.解：(1)如图，∠EBC即为所求作．
(2)由图可知，EB与AD不一定平行.
5.解：①两直线平行，同旁内角互补；CD；EF；∠D
②猜想∠BPD＝∠B＋∠D
理由：过点P作EP∥AB，
∴∠B＝∠BPE（两直线平行，同位角相等）
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴CD∥EF，（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）
∴∠EPD＝∠D
∴∠BPD＝∠B＋∠D
③如图（3）∠BPD与∠B、∠D的关系为∠BPD＋∠B＝∠D；
如图（4）∠BPD与∠B、∠D的关系为∠BPD＝∠B ∠D.