福建省福州市延安学校2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题
一、选择题.(本题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请在答题纸的相应位置填涂)
1.(2019·温州模拟)-5的相反数是( )
A.5 B.-5 C. D.
【答案】A
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解:-5的相反数是5
故答案为:A
【分析】根据求一个数的相反数就是在这个数的前面添上“-”号,再化简就可求出结果。
2.(2024九下·福州开学考)下列图形中,是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解:A、该图形不是中心对称图形,则本项不符合题意;
B、该图形为轴对称图形,不是中心对称图形,则本项不符合题意;
C、该图形不是中心对称图形,则本项不符合题意;
D、该图形是中心对称图形,则本项符合题意.
故答案为:D.
【分析】把一个平面图形,绕着某一点旋转180°后,能与自身重合的图形就是中心对称图形,根据定义即可逐项判断得出答案.
3.(2024九下·福州开学考)如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形,它的左视图是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解:该几何体的左视图为:,
故答案为:B.
【分析】左视图,就是从左面看得到的图形,该几何体组合的左视图有两层,底层两个小正方形,上层左侧有一个小正方形,据此判断得出答案.
4.(2024九下·福州开学考)中国信息通信研究院测算,2020-2025年,中国5G商用直接带动经济总产出达10.6万亿元.其中数据10.6万亿用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解:10.6万亿用科学记数法表示为:
故答案为:B.
【分析】根据用科学记数法表示绝对值较大的数,一般表示成的形式,其中1≤|a|<10 , n等于原数的整数位数减去1,据此可得答案.
5.(2024九下·福州开学考)下列事件中,不是随机事件的是( )
A.射击运动员射击一次,命中靶心
B.打开电视机,它正在播广告
C.购买一张彩票,中奖
D.从只装有红球的布袋中,任意摸出一个球,恰是白球
【答案】D
【知识点】随机事件
【解析】【解答】解:A、射击运动员射击一次,命中靶心为随机事件,则本项不符合题意;
B、打开电视机,它正在播广告为随机事件,则本项不符合题意;
C、购买一张彩票,中奖为随机事件,则本项不符合题意;
D、从只装有红球的布袋中,任意摸出一个球,恰是白球为不可能事件,则本项符合题意.
故答案为:D.
【分析】根据随机事件的定义:在一定条件下可能发生也可能不发生的事件,据此逐项判断即可.
6.(2024九下·福州开学考)下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法;同底数幂的除法;合并同类项法则及应用;积的乘方
【解析】【解答】解:A、 则本项不符合题意;
B、 则本项不符合题意;
C、,则本项符合题意;
D、不是同类项,无法被合并,则本项不符合题意.
故答案为:C.
【分析】根据同底数幂的乘法,底数不变,指数相加即可判断A选项;根据同底数幂的除法,底数不变,指数相减即可判断B选项;由积的乘方,等于把积中的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘即可判断C选项;整式加法的实质就是合并同类项,所谓同类项就是所含字母相同,而且相同字母的指数也分别相同的项,同类项与字母的顺序没有关系,与系数也没有关系,合并同类项的时候,只需要将系数相加减,字母和字母的指数不变,但不是同类项的一定就不能合并,从而即可判断D选项.
7.(2024九下·福州开学考)某校九年级有11名同学参加知识竞赛,预赛成绩各不相同,要取前6名参加决赛.小兰已经知道了自己的成绩,她想知道自己能否进入决赛,还需要知道这11名同学成绩的( )
A.中位数 B.众数 C.平均数 D.方差
【答案】A
【知识点】中位数
【解析】【解答】解:∵有11名同学参加知识竞赛,预赛成绩各不相同,
∴11个人的中位数为第6名的成绩,
∴想知道自己能否进入决赛,还需要知道这11名同学成绩的中位数.
故答案为:A.
【分析】根据中位数的定义可知:11个人的中位数为第6名的成绩,参赛选手要想知道自己是否进入决赛,只需要把自己的成绩和中位数相比即可.
8.(2024九下·福州开学考)已知反比例函数,当时,y随x增大而增大,则a的值可能是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解:∵反比例函数为,且当时,y随x增大而增大,
∴
∴
故答案为:A.
【分析】根据反比例函数中,当k>0时,图象的两支分布在第一、三象限,在每一个象限内y随x的增大而减小,当k<0时,图象的两支分布在第二、四象限,在每一个象限内y随x的增大而而,据此列出不等式,即可求出a的取值范围.
9.(2024九下·福州开学考)如图,AB是半圆的直径,点C在直径上,以C为圆心、CA为半径向内作直角扇形,再以D为圆心、DC为半径向内作扇形,使点E刚好落到半圆上,且三点共线,若,则阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【知识点】勾股定理;圆周角定理;扇形面积的计算;等腰直角三角形
【解析】【解答】解:连接AD、OE,
由题意知:
∴
∴
∵
∴
∴
∴
设则
∴
∴S阴影=S扇形ACD+S扇形CDE
故答案为:B.
【分析】连接AD、OE,则由此得到:根据圆周角定理得到:根据勾股定理算出AE的长度,设则根据据此求出x的值,进而根据S阴影=S扇形ACD+S扇形CDE并结合扇形的面积计算公式计算即可.
10.(2024九下·福州开学考)点和点在二次函数的图象上,且,,则的值为( )
A.6 B.4 C.3 D.2
【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解:∵点和点在二次函数的图象上,
∴将y=3代入得x2+2x-4=3,
解得:
∴
∴
则原式=
故答案为:C.
【分析】根据二次函数上点的坐标特征得到:进而根据平面内两点间的距离公式可求出a的值,然后代入计算即可.
二、填空题.(本题共6小题,每小题4分,共24分)
11.(2013·嘉兴)二次根式 中,x的取值范围是 .
【答案】x≥3
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解:根据题意得:x﹣3≥0,
解得:x≥3.
故答案是:x≥3.
【分析】根据二次根式的性质,被开方数大于或等于0,可以求出x的范围.
12.(2024九下·福州开学考)分解因式: .
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解:
故答案为:.
【分析】利用提公因式法对原式分解因式即可.
13.(2024九下·福州开学考)有一枚质地均匀的正方体骰子,六个面上分别刻有1到6的点数.将它投掷两次,则两次掷得骰子朝上一面的点数之和为3的概率是 .
【答案】
【知识点】列表法与树状图法;复合事件概率的计算
【解析】【解答】解:列表如下,
∴共有36种情况,两次掷得骰子朝上一面的点数之和为3的情况有2种,
∴两次掷得骰子朝上一面的点数之和为3的概率是:
故答案为:.
【分析】利用列表法将所有可能的情况都列出来,由表可知共有36种情况,两次掷得骰子朝上一面的点数之和为3的情况有2种,进而根据概率计算公式计算即可.
14.(2024九下·福州开学考)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E是边AB的中点,若OE=6,则菱形ABCD的周长是 .
【答案】48
【知识点】菱形的性质;直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解:∵四边形ABCD为菱形,
∴
∵点E是边AB的中点,
∴
∴菱形ABCD的周长是:
故答案为:48.
【分析】根据菱形的性质得到:然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,即可得到AB的长度,进而即可求解.
15.(2024九下·福州开学考)已知非零实数x,y满足,则的值是 .
【答案】1
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解:∵
∴y(x+1)=x,
∴xy=x-y
∴ =1
故答案为:1.
【分析】由已知等式可得xy=x-y,再根据等式的性质两边同时除以xy即可得出答案.
16.(2024九下·福州开学考)如图,在中,,BC=1,,将线段AB绕点A顺时针旋转150°得到AD,连接BD交AC于点E.过点C作于点F,CF交AB于点G.给出下列四个结论:
①,②,③,④.
其中正确的结论是 .(请写出所有正确结论的序号)
【答案】①②④
【知识点】三角形的面积;解直角三角形;旋转的性质
【解析】【解答】解:∵
∴
∴
∵线段AB绕点A顺时针旋转150°得到AD,
∴
∴
∵
∴
∴则①正确;
∵线段AB绕点A顺时针旋转150°得到AD,
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴为等边三角形,
∴
∴则②正确,
∵
∴
∴
∵线段AB绕点A顺时针旋转150°得到AD,
∴
∴则③错误,
过点B作BH⊥DF,过点A作AM⊥BD,
∵
∴
∵
∴
∴
∵线段AB绕点A顺时针旋转150°得到AD,
∴
∵
∴
∵
则
解得:
则
∴
则
∴则④正确,
综上所述,正确的结论有:①②④,
故答案为:①②④.
【分析】由∠BAC得正切函数定义及特殊锐角三角函数值得,结合旋转的性质得到进而由∠FAC的正弦函数可求出CF的长度,即可判断①;根据旋转的性质和等边三角形的性质即可判断②;易知:进而即可判断③;通过等面积法即可求出AM的长度,再根据等角对等边即可判断④.
三、解答题(本题共9小题,共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(2024九下·福州开学考)先化简,再求值:,其中
【答案】解:原式
当时,原式
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】通分计算异分母分式的减法对待求式进行化简,最后将x的值代入后再分母有理化即可得出答案.
18.(2024九下·福州开学考)如图,在中,E,F是对角线AC上的两点,且.求证:AE=CF.
【答案】证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,,
∴,
∵,
∴,
∴,
在△AEB和△CFD中,
∴;
∴.
【知识点】平行线的性质;平行四边形的性质;三角形全等的判定(AAS)
【解析】【分析】根据平行四边形的性质得AB=CD,AB∥CD,由平行线的性质得到:,,然后利用"AAS"证明,最后根据全等三角形的对应边相等即可求解.
19.(2024九下·福州开学考)在中,∠ACB=90°,.
(1)在AC上求作点D,使得∠DBA=∠A.
(2)在(1)的条件下,若∠BDC=∠ABC,求的值.
【答案】(1)解:点D即为所求,如图所示
.
(2)解:设,
∵,
∴,,
∵,
∴,
∵,
∴,
即,
解得,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴.
【知识点】三角形的外角性质;等腰三角形的判定与性质;锐角三角函数的定义;直角三角形的性质
【解析】【分析】(1)以A为圆心AN为半径画弧交AB于点P,以点B为圆心AN为半径画弧交AB、BC于点M,Q,以M为圆心PN为半径交弧MQ于Z,连接BZ并延长交AC于点D,点D即为所求;
(2)设,根据三角形外角的性质得到:根据"",据此得到关于的方程:即可求出∠BDC的度数,然后根据余弦的定义得到:,进而即可求解.
20.(2024九下·福州开学考))某校开展了“文明城市”活动周,活动周设置了“A:文明礼仪,B:生态环境,C:交通安全,D:卫生保洁”四个主题活动,每个学生限选一个主题参与.为了解活动开展情况,学校随机抽取了部分学生进行调查,并根据调查结果绘制了如图所示不完整的条形统计图和扇形统计图.
根据以上信息,解答下列问题:
(1)补全条形统计图;
(2)在扇形统计图中,“D”主题对应扇形的圆心角为 度;
(3)若该校共有3600名学生,试估计该校参与“生态环境”主题的学生人数.
【答案】(1)解:参加本次调查的学生总人数为:(人)
∴选择C的学生人数为:(人),
∴补全条形统计图如下,
(2)54
(3)解:(人) , (人).
答:该校参与“生态环境”主题的学生人数1080人.
【知识点】用样本估计总体;扇形统计图;条形统计图
【解析】【解答】解:(2)“D”主题对应扇形的圆心角为:
故答案为:54;
【分析】(1)先用选择A的学生人数除以其所占的比例得到参加本次调查的学生总人数,进而用总人数减去选择A、B、D的学生人数即可得到选择C的学生人数,进而即可补全条形统计图;
(2)用选择D的学生人数除以总人数再乘以360°,即可求解;
(3)用3600乘以本次调查中参与“生态环境”主题的学生人数所占的比例即可求解.
21.(2024九下·福州开学考)某校为改善办学条件,计划购进A,B两种规格的书架,经市场调查发现有线下和线上两种购买方式,具体情况如下表:
规格 线下 线上
单价(元/个) 运费(元/个) 单价(元/个) 运费(元/个)
A 300 0 260 20
B 360 0 300 30
(1)如果在线下购买A,B两种书架共20个,花费6540元,求A,B两种书架各购买了多少个;
(2)如果在线上购买A,B两种书架共20个,且购买B种书架的数量不少于A种书架的3倍,请设计出花费最少的购买方案.
【答案】(1)解:设购买A种书架个,则购买B种书架(20-x)个,
根据题意,得,
解得:x=11,20-11=9(个)
答:购买A种书架11个,B种书架9个.
(2)解:设购买A种书架m个,所需总费用为w元,
根据题意得,
又由,得,
∵,∴w的值随着m值的增大而减小,
又∵m为整数,∴m=5.
∴w有最小值:,
答:花费最少的购买方案是A种规格书架5个,B种规格书架15个,花费为6350元.
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题;一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设购买A种书架个,则购买B种书架(20-x)个,根据"购买A、B两种书架共花费6540元",据此列出方程,解此方程即可求解;
(2)设购买A种书架m个,所需总费用为w元,根据总花费=线上购买m个A种书架的花费+线上购买(20-m)个B种书架的花费列出w关于m的函数解析式;根据"购买B种书架的数量不少于A种书架的3倍",据此得到m的取值范围,进而根据所得函数解析式的性质可解此题.
22.(2024九下·福州开学考)如图,已知AB是⊙O的直径,C为⊙O上一点,∠OCB的角平分线交⊙O于点D,F在直线AB上,且,垂足为E,连接AD,BD.
(1)求证:DF是⊙O的切线;
(2)若,⊙O的半径为4,求BF的长.
【答案】(1)证明:如图所示,连接OD,
∵,
∴
∵,
∴,
∵CD平分∠OCB,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵OD是半径,
∴DF是⊙O的切线;
(2)解:∵AB是⊙O的直径,
∴
∵⊙O的半径为4,
∴AB=8
∵,
∴,
∴,
∵,
∴△OBD为等边三角形,
∴,
∴,
∴,
∴.
【知识点】等边三角形的判定与性质;含30°角的直角三角形;圆周角定理;切线的判定;锐角三角函数的定义
【解析】【分析】(1)连接OD,由等边对等角得,根据角平分线的定义得到:进而可证明即可得到进而即可求证;
(2)根据圆周角定理得到,然后特殊锐角三角函数值可求出∠A=30°,即可得到,进而证明△OBD为等边三角形,即可得到进而即可求解.
23.(2024九下·福州开学考)根据以下素材,探索解决问题.
测量旗杆的高度
素材1 可以利用影子测量旗杆的高度.如图1,光线,DN,BM分别是旗杆和小陈同学在同一时刻的影子.
素材2 可以利用镜子测量旗杆的高度.如图2,小陈同学从镜子E中刚好可以看见旗杆的顶端C,测得.
素材3 可以利用标杆测量旗杆的高度.如图3,点G,P,C在同一直线上,标杆,测得,.(说明:小陈同学、旗杆CD与标杆PQ均垂直于地面,小陈同学的眼睛G离地面的距离)
(1)任务1 利用素材1证明△ABM△CDN;
(2)任务2 在素材2中,小陈同学还要测量图中哪条线段的长度(旗杆无法直接测量),才能求出旗杆的高度?若把该线段的长度记为a,请你用含a的式子表示出旗杆的高度;
(3)任务3 利用素材3求出旗杆的高度.
【答案】(1)证明:由题意知:,,
即,
∵,
∴,
∴.
(2)解:小陈同学还要测量图中线段DE的长度,记为a.
由题意知:,
∵,,
∴,
∴.
∴,
∵,,,
∴.
(3)解:过点G作于点H,交PQ于点F.
由题意知:,,,
即,
,,
∵,,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】(1)由题意得到:,然后根据平行线的性质得到:,进而即可求证;
(2)把线段DE的长度记为a,由题意得到:,进而证明,得到:,进而可得到CD的长;
(3)过点G作于点H,交PQ于点F,由题意得到:,,,进而求出PF的长度,然后根据垂直的定义和平行线的性质即可证明,得到:,进而即可求出CD的长.
24.(2024九下·福州开学考)抛物线与x轴交于点A,B(A在B左边),与轴交于点C,且OB=2OC.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P在第四象限的抛物线上,且∠PAB=∠CBO,求点P的坐标;
(3)若点D在x轴正半轴上且,经过点D的直线MN交抛物线于点M,N(M在第一象限,N在第三象限),且满足,求MN的解析式.
【答案】(1)解:∵抛物线与y轴交于点C,
∴当x=0时,y=2.即点C(0,2),
∵抛物线与x轴交于点A,B(A在B左边),且,
∴,即B(4,0),
∴,解得,
∴
(2)解:连接BC,AP,过点P作于点E.
∵抛物线与x轴交于点A,B(A在B左边)
∴当y=0时,.
解得,即点A(-1,0),
在中,
∵,
∴
设,
∴,,
∴,
解得,
∴当时,,
即点P(5,-3).
(3)解:过点M、N分别作x轴的垂线,垂足分别为S,T,
∵A(-1,0),B(4,0),
∴,
∵,
∴,
∴点D(1,0),
∴,
∵,
∴,,
∴,
∴,
∵点M、N分别作x轴的垂线,垂足分别为S,T,
∴,
∵,
∴,
∴,,
∵A(-1,0),
∴可设直线AM的表达式为).
∴联立
得
∴,
∴,
同理可得:,
∴,解得,
∴,
∴,
∴点M(3,2),
∵D(1,0),
可设直线NM的表达式为,
∴,
解得,
∴直线MN表达式为.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系;待定系数法求二次函数解析式;相似三角形的判定与性质;二次函数与一次函数的综合应用;二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】(1)根据题意求出点B的坐标,再利用待定系数法即可求出抛物线的解析式;
(2)连接BC,AP,过点P作于点E,先求出点A的坐标,设,根据列出方程:,解此方程即可求解;
(3)过点M、N分别作x轴的垂线,垂足分别为S,T,证明,得到:,设直线AM的表达式为,即可求出点M的坐标,再设直线NM的表达式为,进而利用待定系数法即可求解.
25.(2024九下·福州开学考)如图,在中,∠BAC=90°,∠C=30°,AB=2,点D是线段BC上一动点,连接DA,将DA绕点D逆时针旋转90°,得到DE.
(1)如图1,若B,E,C三点共线时,求CE的长;
(2)如图2,若∠ADB=45°,DE交AC于点F,求;
(3)如图3,连接CE,请直接写出CE的最小值.
【答案】(1)解:∵DA绕点D逆时针旋转90,得到DE.
∴∠ADE=90°,DE=DA,
∵B,E,C三点共线,
∴,
∵∠BAC-90°,∠C=30°,AB=2,
∴BC=2AB=4,∠B=60°,
∴,,
∴,
∴.
(2)解:当∠ADB=45°时,同(1)做法可得:,
∵,
∴△ADE为等腰直角三角形,
∴,,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴.
(3)解:CE的最小值是
【知识点】相似三角形的判定与性质;锐角三角函数的定义;旋转的性质;三角形的综合
【解析】【解答】解:(3)作AD'⊥BC,在BC上取点E'使D'E'=AD',连接EE',过点C作CM⊥EE'于M,如图,
由(1)得:
由题意得:△ADE和△AD'E'均为等腰直角三角形,
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴点E在过点E'与BC夹角为45°的直线上运动,
∴CE的最小值为CM,
∴,
∴CE的最小值是.
【分析】(1)根据旋转的性质得到:由题意得:,即可得到:根据,计算即可;
(2)同理(1)得到:,即可证明△ADE为等腰直角三角形,得到:,,然后证明,得到:进而根据三角形面积计算公式即可求解;
(3)作AD'⊥BC,在BC上取点E'使D'E'=AD',连接EE',过点C作CM⊥EE'于M,证明则点E在过点E'与BC夹角为45°的直线上运动,则CE的最小值为CM,然后计算即可求解.
1 / 1福建省福州市延安学校2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题
一、选择题.(本题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请在答题纸的相应位置填涂)
1.(2019·温州模拟)-5的相反数是( )
A.5 B.-5 C. D.
2.(2024九下·福州开学考)下列图形中,是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3.(2024九下·福州开学考)如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形,它的左视图是( )
A. B.
C. D.
4.(2024九下·福州开学考)中国信息通信研究院测算,2020-2025年,中国5G商用直接带动经济总产出达10.6万亿元.其中数据10.6万亿用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
5.(2024九下·福州开学考)下列事件中,不是随机事件的是( )
A.射击运动员射击一次,命中靶心
B.打开电视机,它正在播广告
C.购买一张彩票,中奖
D.从只装有红球的布袋中,任意摸出一个球,恰是白球
6.(2024九下·福州开学考)下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
7.(2024九下·福州开学考)某校九年级有11名同学参加知识竞赛,预赛成绩各不相同,要取前6名参加决赛.小兰已经知道了自己的成绩,她想知道自己能否进入决赛,还需要知道这11名同学成绩的( )
A.中位数 B.众数 C.平均数 D.方差
8.(2024九下·福州开学考)已知反比例函数,当时,y随x增大而增大,则a的值可能是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
9.(2024九下·福州开学考)如图,AB是半圆的直径,点C在直径上,以C为圆心、CA为半径向内作直角扇形,再以D为圆心、DC为半径向内作扇形,使点E刚好落到半圆上,且三点共线,若,则阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
10.(2024九下·福州开学考)点和点在二次函数的图象上,且,,则的值为( )
A.6 B.4 C.3 D.2
二、填空题.(本题共6小题,每小题4分,共24分)
11.(2013·嘉兴)二次根式 中,x的取值范围是 .
12.(2024九下·福州开学考)分解因式: .
13.(2024九下·福州开学考)有一枚质地均匀的正方体骰子,六个面上分别刻有1到6的点数.将它投掷两次,则两次掷得骰子朝上一面的点数之和为3的概率是 .
14.(2024九下·福州开学考)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E是边AB的中点,若OE=6,则菱形ABCD的周长是 .
15.(2024九下·福州开学考)已知非零实数x,y满足,则的值是 .
16.(2024九下·福州开学考)如图,在中,,BC=1,,将线段AB绕点A顺时针旋转150°得到AD,连接BD交AC于点E.过点C作于点F,CF交AB于点G.给出下列四个结论:
①,②,③,④.
其中正确的结论是 .(请写出所有正确结论的序号)
三、解答题(本题共9小题,共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(2024九下·福州开学考)先化简,再求值:,其中
18.(2024九下·福州开学考)如图,在中,E,F是对角线AC上的两点,且.求证:AE=CF.
19.(2024九下·福州开学考)在中,∠ACB=90°,.
(1)在AC上求作点D,使得∠DBA=∠A.
(2)在(1)的条件下,若∠BDC=∠ABC,求的值.
20.(2024九下·福州开学考))某校开展了“文明城市”活动周,活动周设置了“A:文明礼仪,B:生态环境,C:交通安全,D:卫生保洁”四个主题活动,每个学生限选一个主题参与.为了解活动开展情况,学校随机抽取了部分学生进行调查,并根据调查结果绘制了如图所示不完整的条形统计图和扇形统计图.
根据以上信息,解答下列问题:
(1)补全条形统计图;
(2)在扇形统计图中,“D”主题对应扇形的圆心角为 度;
(3)若该校共有3600名学生,试估计该校参与“生态环境”主题的学生人数.
21.(2024九下·福州开学考)某校为改善办学条件,计划购进A,B两种规格的书架,经市场调查发现有线下和线上两种购买方式,具体情况如下表:
规格 线下 线上
单价(元/个) 运费(元/个) 单价(元/个) 运费(元/个)
A 300 0 260 20
B 360 0 300 30
(1)如果在线下购买A,B两种书架共20个,花费6540元,求A,B两种书架各购买了多少个;
(2)如果在线上购买A,B两种书架共20个,且购买B种书架的数量不少于A种书架的3倍,请设计出花费最少的购买方案.
22.(2024九下·福州开学考)如图,已知AB是⊙O的直径,C为⊙O上一点,∠OCB的角平分线交⊙O于点D,F在直线AB上,且,垂足为E,连接AD,BD.
(1)求证:DF是⊙O的切线;
(2)若,⊙O的半径为4,求BF的长.
23.(2024九下·福州开学考)根据以下素材,探索解决问题.
测量旗杆的高度
素材1 可以利用影子测量旗杆的高度.如图1,光线,DN,BM分别是旗杆和小陈同学在同一时刻的影子.
素材2 可以利用镜子测量旗杆的高度.如图2,小陈同学从镜子E中刚好可以看见旗杆的顶端C,测得.
素材3 可以利用标杆测量旗杆的高度.如图3,点G,P,C在同一直线上,标杆,测得,.(说明:小陈同学、旗杆CD与标杆PQ均垂直于地面,小陈同学的眼睛G离地面的距离)
(1)任务1 利用素材1证明△ABM△CDN;
(2)任务2 在素材2中,小陈同学还要测量图中哪条线段的长度(旗杆无法直接测量),才能求出旗杆的高度?若把该线段的长度记为a,请你用含a的式子表示出旗杆的高度;
(3)任务3 利用素材3求出旗杆的高度.
24.(2024九下·福州开学考)抛物线与x轴交于点A,B(A在B左边),与轴交于点C,且OB=2OC.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P在第四象限的抛物线上,且∠PAB=∠CBO,求点P的坐标;
(3)若点D在x轴正半轴上且,经过点D的直线MN交抛物线于点M,N(M在第一象限,N在第三象限),且满足,求MN的解析式.
25.(2024九下·福州开学考)如图,在中,∠BAC=90°,∠C=30°,AB=2,点D是线段BC上一动点,连接DA,将DA绕点D逆时针旋转90°,得到DE.
(1)如图1,若B,E,C三点共线时,求CE的长;
(2)如图2,若∠ADB=45°,DE交AC于点F,求;
(3)如图3,连接CE,请直接写出CE的最小值.
答案解析部分
1.【答案】A
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解:-5的相反数是5
故答案为:A
【分析】根据求一个数的相反数就是在这个数的前面添上“-”号,再化简就可求出结果。
2.【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解:A、该图形不是中心对称图形,则本项不符合题意;
B、该图形为轴对称图形,不是中心对称图形,则本项不符合题意;
C、该图形不是中心对称图形,则本项不符合题意;
D、该图形是中心对称图形,则本项符合题意.
故答案为:D.
【分析】把一个平面图形,绕着某一点旋转180°后,能与自身重合的图形就是中心对称图形,根据定义即可逐项判断得出答案.
3.【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解:该几何体的左视图为:,
故答案为:B.
【分析】左视图,就是从左面看得到的图形,该几何体组合的左视图有两层,底层两个小正方形,上层左侧有一个小正方形,据此判断得出答案.
4.【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解:10.6万亿用科学记数法表示为:
故答案为:B.
【分析】根据用科学记数法表示绝对值较大的数,一般表示成的形式,其中1≤|a|<10 , n等于原数的整数位数减去1,据此可得答案.
5.【答案】D
【知识点】随机事件
【解析】【解答】解:A、射击运动员射击一次,命中靶心为随机事件,则本项不符合题意;
B、打开电视机,它正在播广告为随机事件,则本项不符合题意;
C、购买一张彩票,中奖为随机事件,则本项不符合题意;
D、从只装有红球的布袋中,任意摸出一个球,恰是白球为不可能事件,则本项符合题意.
故答案为:D.
【分析】根据随机事件的定义:在一定条件下可能发生也可能不发生的事件,据此逐项判断即可.
6.【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法;同底数幂的除法;合并同类项法则及应用;积的乘方
【解析】【解答】解:A、 则本项不符合题意;
B、 则本项不符合题意;
C、,则本项符合题意;
D、不是同类项,无法被合并,则本项不符合题意.
故答案为:C.
【分析】根据同底数幂的乘法,底数不变,指数相加即可判断A选项;根据同底数幂的除法,底数不变,指数相减即可判断B选项;由积的乘方,等于把积中的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘即可判断C选项;整式加法的实质就是合并同类项,所谓同类项就是所含字母相同,而且相同字母的指数也分别相同的项,同类项与字母的顺序没有关系,与系数也没有关系,合并同类项的时候,只需要将系数相加减,字母和字母的指数不变,但不是同类项的一定就不能合并,从而即可判断D选项.
7.【答案】A
【知识点】中位数
【解析】【解答】解:∵有11名同学参加知识竞赛,预赛成绩各不相同,
∴11个人的中位数为第6名的成绩,
∴想知道自己能否进入决赛,还需要知道这11名同学成绩的中位数.
故答案为:A.
【分析】根据中位数的定义可知:11个人的中位数为第6名的成绩,参赛选手要想知道自己是否进入决赛,只需要把自己的成绩和中位数相比即可.
8.【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解:∵反比例函数为,且当时,y随x增大而增大,
∴
∴
故答案为:A.
【分析】根据反比例函数中,当k>0时,图象的两支分布在第一、三象限,在每一个象限内y随x的增大而减小,当k<0时,图象的两支分布在第二、四象限,在每一个象限内y随x的增大而而,据此列出不等式,即可求出a的取值范围.
9.【答案】B
【知识点】勾股定理;圆周角定理;扇形面积的计算;等腰直角三角形
【解析】【解答】解:连接AD、OE,
由题意知:
∴
∴
∵
∴
∴
∴
设则
∴
∴S阴影=S扇形ACD+S扇形CDE
故答案为:B.
【分析】连接AD、OE,则由此得到:根据圆周角定理得到:根据勾股定理算出AE的长度,设则根据据此求出x的值,进而根据S阴影=S扇形ACD+S扇形CDE并结合扇形的面积计算公式计算即可.
10.【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解:∵点和点在二次函数的图象上,
∴将y=3代入得x2+2x-4=3,
解得:
∴
∴
则原式=
故答案为:C.
【分析】根据二次函数上点的坐标特征得到:进而根据平面内两点间的距离公式可求出a的值,然后代入计算即可.
11.【答案】x≥3
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解:根据题意得:x﹣3≥0,
解得:x≥3.
故答案是:x≥3.
【分析】根据二次根式的性质,被开方数大于或等于0,可以求出x的范围.
12.【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解:
故答案为:.
【分析】利用提公因式法对原式分解因式即可.
13.【答案】
【知识点】列表法与树状图法;复合事件概率的计算
【解析】【解答】解:列表如下,
∴共有36种情况,两次掷得骰子朝上一面的点数之和为3的情况有2种,
∴两次掷得骰子朝上一面的点数之和为3的概率是:
故答案为:.
【分析】利用列表法将所有可能的情况都列出来,由表可知共有36种情况,两次掷得骰子朝上一面的点数之和为3的情况有2种,进而根据概率计算公式计算即可.
14.【答案】48
【知识点】菱形的性质;直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解:∵四边形ABCD为菱形,
∴
∵点E是边AB的中点,
∴
∴菱形ABCD的周长是:
故答案为:48.
【分析】根据菱形的性质得到:然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,即可得到AB的长度,进而即可求解.
15.【答案】1
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解:∵
∴y(x+1)=x,
∴xy=x-y
∴ =1
故答案为:1.
【分析】由已知等式可得xy=x-y,再根据等式的性质两边同时除以xy即可得出答案.
16.【答案】①②④
【知识点】三角形的面积;解直角三角形;旋转的性质
【解析】【解答】解:∵
∴
∴
∵线段AB绕点A顺时针旋转150°得到AD,
∴
∴
∵
∴
∴则①正确;
∵线段AB绕点A顺时针旋转150°得到AD,
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴为等边三角形,
∴
∴则②正确,
∵
∴
∴
∵线段AB绕点A顺时针旋转150°得到AD,
∴
∴则③错误,
过点B作BH⊥DF,过点A作AM⊥BD,
∵
∴
∵
∴
∴
∵线段AB绕点A顺时针旋转150°得到AD,
∴
∵
∴
∵
则
解得:
则
∴
则
∴则④正确,
综上所述,正确的结论有:①②④,
故答案为:①②④.
【分析】由∠BAC得正切函数定义及特殊锐角三角函数值得,结合旋转的性质得到进而由∠FAC的正弦函数可求出CF的长度,即可判断①;根据旋转的性质和等边三角形的性质即可判断②;易知:进而即可判断③;通过等面积法即可求出AM的长度,再根据等角对等边即可判断④.
17.【答案】解:原式
当时,原式
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】通分计算异分母分式的减法对待求式进行化简,最后将x的值代入后再分母有理化即可得出答案.
18.【答案】证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,,
∴,
∵,
∴,
∴,
在△AEB和△CFD中,
∴;
∴.
【知识点】平行线的性质;平行四边形的性质;三角形全等的判定(AAS)
【解析】【分析】根据平行四边形的性质得AB=CD,AB∥CD,由平行线的性质得到:,,然后利用"AAS"证明,最后根据全等三角形的对应边相等即可求解.
19.【答案】(1)解:点D即为所求,如图所示
.
(2)解:设,
∵,
∴,,
∵,
∴,
∵,
∴,
即,
解得,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴.
【知识点】三角形的外角性质;等腰三角形的判定与性质;锐角三角函数的定义;直角三角形的性质
【解析】【分析】(1)以A为圆心AN为半径画弧交AB于点P,以点B为圆心AN为半径画弧交AB、BC于点M,Q,以M为圆心PN为半径交弧MQ于Z,连接BZ并延长交AC于点D,点D即为所求;
(2)设,根据三角形外角的性质得到:根据"",据此得到关于的方程:即可求出∠BDC的度数,然后根据余弦的定义得到:,进而即可求解.
20.【答案】(1)解:参加本次调查的学生总人数为:(人)
∴选择C的学生人数为:(人),
∴补全条形统计图如下,
(2)54
(3)解:(人) , (人).
答:该校参与“生态环境”主题的学生人数1080人.
【知识点】用样本估计总体;扇形统计图;条形统计图
【解析】【解答】解:(2)“D”主题对应扇形的圆心角为:
故答案为:54;
【分析】(1)先用选择A的学生人数除以其所占的比例得到参加本次调查的学生总人数,进而用总人数减去选择A、B、D的学生人数即可得到选择C的学生人数,进而即可补全条形统计图;
(2)用选择D的学生人数除以总人数再乘以360°,即可求解;
(3)用3600乘以本次调查中参与“生态环境”主题的学生人数所占的比例即可求解.
21.【答案】(1)解:设购买A种书架个,则购买B种书架(20-x)个,
根据题意,得,
解得:x=11,20-11=9(个)
答:购买A种书架11个,B种书架9个.
(2)解:设购买A种书架m个,所需总费用为w元,
根据题意得,
又由,得,
∵,∴w的值随着m值的增大而减小,
又∵m为整数,∴m=5.
∴w有最小值:,
答:花费最少的购买方案是A种规格书架5个,B种规格书架15个,花费为6350元.
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题;一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设购买A种书架个,则购买B种书架(20-x)个,根据"购买A、B两种书架共花费6540元",据此列出方程,解此方程即可求解;
(2)设购买A种书架m个,所需总费用为w元,根据总花费=线上购买m个A种书架的花费+线上购买(20-m)个B种书架的花费列出w关于m的函数解析式;根据"购买B种书架的数量不少于A种书架的3倍",据此得到m的取值范围,进而根据所得函数解析式的性质可解此题.
22.【答案】(1)证明:如图所示,连接OD,
∵,
∴
∵,
∴,
∵CD平分∠OCB,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵OD是半径,
∴DF是⊙O的切线;
(2)解:∵AB是⊙O的直径,
∴
∵⊙O的半径为4,
∴AB=8
∵,
∴,
∴,
∵,
∴△OBD为等边三角形,
∴,
∴,
∴,
∴.
【知识点】等边三角形的判定与性质;含30°角的直角三角形;圆周角定理;切线的判定;锐角三角函数的定义
【解析】【分析】(1)连接OD,由等边对等角得,根据角平分线的定义得到:进而可证明即可得到进而即可求证;
(2)根据圆周角定理得到,然后特殊锐角三角函数值可求出∠A=30°,即可得到,进而证明△OBD为等边三角形,即可得到进而即可求解.
23.【答案】(1)证明:由题意知:,,
即,
∵,
∴,
∴.
(2)解:小陈同学还要测量图中线段DE的长度,记为a.
由题意知:,
∵,,
∴,
∴.
∴,
∵,,,
∴.
(3)解:过点G作于点H,交PQ于点F.
由题意知:,,,
即,
,,
∵,,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】(1)由题意得到:,然后根据平行线的性质得到:,进而即可求证;
(2)把线段DE的长度记为a,由题意得到:,进而证明,得到:,进而可得到CD的长;
(3)过点G作于点H,交PQ于点F,由题意得到:,,,进而求出PF的长度,然后根据垂直的定义和平行线的性质即可证明,得到:,进而即可求出CD的长.
24.【答案】(1)解:∵抛物线与y轴交于点C,
∴当x=0时,y=2.即点C(0,2),
∵抛物线与x轴交于点A,B(A在B左边),且,
∴,即B(4,0),
∴,解得,
∴
(2)解:连接BC,AP,过点P作于点E.
∵抛物线与x轴交于点A,B(A在B左边)
∴当y=0时,.
解得,即点A(-1,0),
在中,
∵,
∴
设,
∴,,
∴,
解得,
∴当时,,
即点P(5,-3).
(3)解:过点M、N分别作x轴的垂线,垂足分别为S,T,
∵A(-1,0),B(4,0),
∴,
∵,
∴,
∴点D(1,0),
∴,
∵,
∴,,
∴,
∴,
∵点M、N分别作x轴的垂线,垂足分别为S,T,
∴,
∵,
∴,
∴,,
∵A(-1,0),
∴可设直线AM的表达式为).
∴联立
得
∴,
∴,
同理可得:,
∴,解得,
∴,
∴,
∴点M(3,2),
∵D(1,0),
可设直线NM的表达式为,
∴,
解得,
∴直线MN表达式为.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系;待定系数法求二次函数解析式;相似三角形的判定与性质;二次函数与一次函数的综合应用;二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】(1)根据题意求出点B的坐标,再利用待定系数法即可求出抛物线的解析式;
(2)连接BC,AP,过点P作于点E,先求出点A的坐标,设,根据列出方程:,解此方程即可求解;
(3)过点M、N分别作x轴的垂线,垂足分别为S,T,证明,得到:,设直线AM的表达式为,即可求出点M的坐标,再设直线NM的表达式为,进而利用待定系数法即可求解.
25.【答案】(1)解:∵DA绕点D逆时针旋转90,得到DE.
∴∠ADE=90°,DE=DA,
∵B,E,C三点共线,
∴,
∵∠BAC-90°,∠C=30°,AB=2,
∴BC=2AB=4,∠B=60°,
∴,,
∴,
∴.
(2)解:当∠ADB=45°时,同(1)做法可得:,
∵,
∴△ADE为等腰直角三角形,
∴,,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴.
(3)解:CE的最小值是
【知识点】相似三角形的判定与性质;锐角三角函数的定义;旋转的性质;三角形的综合
【解析】【解答】解:(3)作AD'⊥BC,在BC上取点E'使D'E'=AD',连接EE',过点C作CM⊥EE'于M,如图,
由(1)得:
由题意得:△ADE和△AD'E'均为等腰直角三角形,
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴点E在过点E'与BC夹角为45°的直线上运动,
∴CE的最小值为CM,
∴,
∴CE的最小值是.
【分析】(1)根据旋转的性质得到:由题意得:,即可得到:根据,计算即可;
(2)同理(1)得到:,即可证明△ADE为等腰直角三角形,得到:,,然后证明,得到:进而根据三角形面积计算公式即可求解;
(3)作AD'⊥BC,在BC上取点E'使D'E'=AD',连接EE',过点C作CM⊥EE'于M,证明则点E在过点E'与BC夹角为45°的直线上运动,则CE的最小值为CM,然后计算即可求解.
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