福建省福州市延安学校2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题
一、选择题．（本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题纸的相应位置填涂）
1．（2019·温州模拟）-5的相反数是（ ）
A．5 B．-5 C． D．
【答案】A
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：-5的相反数是5
故答案为：A
【分析】根据求一个数的相反数就是在这个数的前面添上“-”号，再化简就可求出结果。
2．（2024九下·福州开学考）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、该图形不是中心对称图形，则本项不符合题意；
B、该图形为轴对称图形，不是中心对称图形，则本项不符合题意；
C、该图形不是中心对称图形，则本项不符合题意；
D、该图形是中心对称图形，则本项符合题意.
故答案为：D.
【分析】把一个平面图形，绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐项判断得出答案.
3．（2024九下·福州开学考）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：该几何体的左视图为：，
故答案为：B.
【分析】左视图，就是从左面看得到的图形，该几何体组合的左视图有两层，底层两个小正方形，上层左侧有一个小正方形，据此判断得出答案.
4．（2024九下·福州开学考）中国信息通信研究院测算，2020－2025年，中国5G商用直接带动经济总产出达10.6万亿元．其中数据10.6万亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：10.6万亿用科学记数法表示为：
故答案为：B.
【分析】根据用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成的形式，其中1≤|a|<10 ， n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.
5．（2024九下·福州开学考）下列事件中，不是随机事件的是（ ）
A．射击运动员射击一次，命中靶心
B．打开电视机，它正在播广告
C．购买一张彩票，中奖
D．从只装有红球的布袋中，任意摸出一个球，恰是白球
【答案】D
【知识点】随机事件
【解析】【解答】解：A、射击运动员射击一次，命中靶心为随机事件，则本项不符合题意；
B、打开电视机，它正在播广告为随机事件，则本项不符合题意；
C、购买一张彩票，中奖为随机事件，则本项不符合题意；
D、从只装有红球的布袋中，任意摸出一个球，恰是白球为不可能事件，则本项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据随机事件的定义：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，据此逐项判断即可.
6．（2024九下·福州开学考）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】解：A、 则本项不符合题意；
B、 则本项不符合题意；
C、，则本项符合题意；
D、不是同类项，无法被合并，则本项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断A选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断B选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断C选项；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断D选项.
7．（2024九下·福州开学考）某校九年级有11名同学参加知识竞赛，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛．小兰已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这11名同学成绩的（ ）
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差
【答案】A
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：∵有11名同学参加知识竞赛，预赛成绩各不相同，
∴11个人的中位数为第6名的成绩，
∴想知道自己能否进入决赛，还需要知道这11名同学成绩的中位数.
故答案为：A.
【分析】根据中位数的定义可知：11个人的中位数为第6名的成绩，参赛选手要想知道自己是否进入决赛，只需要把自己的成绩和中位数相比即可.
8．（2024九下·福州开学考）已知反比例函数，当时，y随x增大而增大，则a的值可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数为，且当时，y随x增大而增大，
∴
∴
故答案为：A.
【分析】根据反比例函数中，当k＞0时，图象的两支分布在第一、三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小，当k＜0时，图象的两支分布在第二、四象限，在每一个象限内y随x的增大而而，据此列出不等式，即可求出a的取值范围.
9．（2024九下·福州开学考）如图，AB是半圆的直径，点C在直径上，以C为圆心、CA为半径向内作直角扇形，再以D为圆心、DC为半径向内作扇形，使点E刚好落到半圆上，且三点共线，若，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；圆周角定理；扇形面积的计算；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接AD、OE，
由题意知：
∴
∴
∵
∴
∴
∴
设则
∴
∴S阴影=S扇形ACD+S扇形CDE
故答案为：B.
【分析】连接AD、OE，则由此得到：根据圆周角定理得到：根据勾股定理算出AE的长度，设则根据据此求出x的值，进而根据S阴影=S扇形ACD+S扇形CDE并结合扇形的面积计算公式计算即可.
10．（2024九下·福州开学考）点和点在二次函数的图象上，且，，则的值为（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点和点在二次函数的图象上，
∴将y=3代入得x2+2x-4=3，
解得：
∴
∴
则原式=
故答案为：C.
【分析】根据二次函数上点的坐标特征得到：进而根据平面内两点间的距离公式可求出a的值，然后代入计算即可.
二、填空题．（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（2013·嘉兴）二次根式 中，x的取值范围是 ．
【答案】x≥3
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得：x﹣3≥0，
解得：x≥3．
故答案是：x≥3．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．
12．（2024九下·福州开学考）分解因式： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】利用提公因式法对原式分解因式即可.
13．（2024九下·福州开学考）有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻有1到6的点数．将它投掷两次，则两次掷得骰子朝上一面的点数之和为3的概率是 ．
【答案】
【知识点】列表法与树状图法；复合事件概率的计算
【解析】【解答】解：列表如下，
∴共有36种情况，两次掷得骰子朝上一面的点数之和为3的情况有2种，
∴两次掷得骰子朝上一面的点数之和为3的概率是：
故答案为：.
【分析】利用列表法将所有可能的情况都列出来，由表可知共有36种情况，两次掷得骰子朝上一面的点数之和为3的情况有2种，进而根据概率计算公式计算即可.
14．（2024九下·福州开学考）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是边AB的中点，若OE＝6，则菱形ABCD的周长是 ．
【答案】48
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴
∵点E是边AB的中点，
∴
∴菱形ABCD的周长是：
故答案为：48.
【分析】根据菱形的性质得到：然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到AB的长度，进而即可求解.
15．（2024九下·福州开学考）已知非零实数x，y满足，则的值是 ．
【答案】1
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：∵
∴y(x+1)=x，
∴xy=x-y
∴ =1
故答案为：1.
【分析】由已知等式可得xy=x-y，再根据等式的性质两边同时除以xy即可得出答案.
16．（2024九下·福州开学考）如图，在中，，BC＝1，，将线段AB绕点A顺时针旋转150°得到AD，连接BD交AC于点E．过点C作于点F，CF交AB于点G．给出下列四个结论：
①，②，③，④．
其中正确的结论是 ．（请写出所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【知识点】三角形的面积；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∵线段AB绕点A顺时针旋转150°得到AD，
∴
∴
∵
∴
∴则①正确；
∵线段AB绕点A顺时针旋转150°得到AD，
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴为等边三角形，
∴
∴则②正确，
∵
∴
∴
∵线段AB绕点A顺时针旋转150°得到AD，
∴
∴则③错误，
过点B作BH⊥DF，过点A作AM⊥BD，
∵
∴
∵
∴
∴
∵线段AB绕点A顺时针旋转150°得到AD，
∴
∵
∴
∵
则
解得：
则
∴
则
∴则④正确，
综上所述，正确的结论有：①②④，
故答案为：①②④.
【分析】由∠BAC得正切函数定义及特殊锐角三角函数值得，结合旋转的性质得到进而由∠FAC的正弦函数可求出CF的长度，即可判断①；根据旋转的性质和等边三角形的性质即可判断②；易知：进而即可判断③；通过等面积法即可求出AM的长度，再根据等角对等边即可判断④.
三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2024九下·福州开学考）先化简，再求值：，其中
【答案】解：原式
当时，原式
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】通分计算异分母分式的减法对待求式进行化简，最后将x的值代入后再分母有理化即可得出答案.
18．（2024九下·福州开学考）如图，在中，E，F是对角线AC上的两点，且．求证：AE＝CF．
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在△AEB和△CFD中，
∴；
∴．
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】根据平行四边形的性质得AB=CD，AB∥CD，由平行线的性质得到：，，然后利用"AAS"证明，最后根据全等三角形的对应边相等即可求解.
19．（2024九下·福州开学考）在中，∠ACB＝90°，．
（1）在AC上求作点D，使得∠DBA＝∠A．
（2）在（1）的条件下，若∠BDC＝∠ABC，求的值．
【答案】（1）解：点D即为所求，如图所示
.
（2）解：设，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
解得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）以A为圆心AN为半径画弧交AB于点P，以点B为圆心AN为半径画弧交AB、BC于点M，Q，以M为圆心PN为半径交弧MQ于Z，连接BZ并延长交AC于点D，点D即为所求；
（2）设，根据三角形外角的性质得到：根据""，据此得到关于的方程：即可求出∠BDC的度数，然后根据余弦的定义得到：，进而即可求解.
20．（2024九下·福州开学考））某校开展了“文明城市”活动周，活动周设置了“A：文明礼仪，B：生态环境，C：交通安全，D：卫生保洁”四个主题活动，每个学生限选一个主题参与．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如图所示不完整的条形统计图和扇形统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，“D”主题对应扇形的圆心角为 度；
（3）若该校共有3600名学生，试估计该校参与“生态环境”主题的学生人数．
【答案】（1）解：参加本次调查的学生总人数为：(人)
∴选择C的学生人数为：(人)，
∴补全条形统计图如下，
（2）54
（3）解：（人） ， （人）．
答：该校参与“生态环境”主题的学生人数1080人．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：（2）“D”主题对应扇形的圆心角为：
故答案为：54；
【分析】（1）先用选择A的学生人数除以其所占的比例得到参加本次调查的学生总人数，进而用总人数减去选择A、B、D的学生人数即可得到选择C的学生人数，进而即可补全条形统计图；
（2）用选择D的学生人数除以总人数再乘以360°，即可求解；
（3）用3600乘以本次调查中参与“生态环境”主题的学生人数所占的比例即可求解.
21．（2024九下·福州开学考）某校为改善办学条件，计划购进A，B两种规格的书架，经市场调查发现有线下和线上两种购买方式，具体情况如下表：
规格 线下 线上
单价（元/个） 运费（元/个） 单价（元/个） 运费（元/个）
A 300 0 260 20
B 360 0 300 30
（1）如果在线下购买A，B两种书架共20个，花费6540元，求A，B两种书架各购买了多少个；
（2）如果在线上购买A，B两种书架共20个，且购买B种书架的数量不少于A种书架的3倍，请设计出花费最少的购买方案．
【答案】（1）解：设购买A种书架个，则购买B种书架(20-x)个，
根据题意，得，
解得：x＝11，20－11＝9（个）
答：购买A种书架11个，B种书架9个．
（2）解：设购买A种书架m个，所需总费用为w元，
根据题意得，
又由，得，
∵，∴w的值随着m值的增大而减小，
又∵m为整数，∴m＝5．
∴w有最小值：，
答：花费最少的购买方案是A种规格书架5个，B种规格书架15个，花费为6350元．
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设购买A种书架个，则购买B种书架(20-x)个，根据"购买A、B两种书架共花费6540元"，据此列出方程，解此方程即可求解；
（2）设购买A种书架m个，所需总费用为w元，根据总花费=线上购买m个A种书架的花费+线上购买(20-m)个B种书架的花费列出w关于m的函数解析式；根据"购买B种书架的数量不少于A种书架的3倍"，据此得到m的取值范围，进而根据所得函数解析式的性质可解此题.
22．（2024九下·福州开学考）如图，已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠OCB的角平分线交⊙O于点D，F在直线AB上，且，垂足为E，连接AD，BD．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若，⊙O的半径为4，求BF的长．
【答案】（1）证明：如图所示，连接OD，
∵，
∴
∵，
∴，
∵CD平分∠OCB，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵OD是半径，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴
∵⊙O的半径为4，
∴AB＝8
∵，
∴，
∴，
∵，
∴△OBD为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；圆周角定理；切线的判定；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接OD，由等边对等角得，根据角平分线的定义得到：进而可证明即可得到进而即可求证；
（2）根据圆周角定理得到，然后特殊锐角三角函数值可求出∠A=30°，即可得到，进而证明△OBD为等边三角形，即可得到进而即可求解.
23．（2024九下·福州开学考）根据以下素材，探索解决问题．
测量旗杆的高度
素材1 可以利用影子测量旗杆的高度．如图1，光线，DN，BM分别是旗杆和小陈同学在同一时刻的影子．
素材2 可以利用镜子测量旗杆的高度．如图2，小陈同学从镜子E中刚好可以看见旗杆的顶端C，测得．
素材3 可以利用标杆测量旗杆的高度．如图3，点G，P，C在同一直线上，标杆，测得，．（说明：小陈同学、旗杆CD与标杆PQ均垂直于地面，小陈同学的眼睛G离地面的距离）
（1）任务1 利用素材1证明△ABM△CDN；
（2）任务2 在素材2中，小陈同学还要测量图中哪条线段的长度（旗杆无法直接测量），才能求出旗杆的高度？若把该线段的长度记为a，请你用含a的式子表示出旗杆的高度；
（3）任务3 利用素材3求出旗杆的高度．
【答案】（1）证明：由题意知：，，
即，
∵，
∴，
∴．
（2）解：小陈同学还要测量图中线段DE的长度，记为a．
由题意知：，
∵，，
∴，
∴．
∴，
∵，，，
∴．
（3）解：过点G作于点H，交PQ于点F．
由题意知：，，，
即，
，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）由题意得到：，然后根据平行线的性质得到：，进而即可求证；
（2）把线段DE的长度记为a，由题意得到：，进而证明，得到：，进而可得到CD的长；
（3）过点G作于点H，交PQ于点F，由题意得到：，，，进而求出PF的长度，然后根据垂直的定义和平行线的性质即可证明，得到：，进而即可求出CD的长.
24．（2024九下·福州开学考）抛物线与x轴交于点A，B（A在B左边），与轴交于点C，且OB＝2OC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在第四象限的抛物线上，且∠PAB＝∠CBO，求点P的坐标；
（3）若点D在x轴正半轴上且，经过点D的直线MN交抛物线于点M，N（M在第一象限，N在第三象限），且满足，求MN的解析式．
【答案】（1）解：∵抛物线与y轴交于点C，
∴当x＝0时，y＝2．即点C（0，2），
∵抛物线与x轴交于点A，B（A在B左边），且，
∴，即B（4，0），
∴，解得，
∴
（2）解：连接BC，AP，过点P作于点E．
∵抛物线与x轴交于点A，B（A在B左边）
∴当y＝0时，．
解得，即点A（－1，0），
在中，
∵，
∴
设，
∴，，
∴，
解得，
∴当时，，
即点P（5，－3）．
（3）解：过点M、N分别作x轴的垂线，垂足分别为S，T，
∵A（－1，0），B（4，0），
∴，
∵，
∴，
∴点D（1，0），
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵点M、N分别作x轴的垂线，垂足分别为S，T，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵A（－1，0），
∴可设直线AM的表达式为）．
∴联立
得
∴，
∴，
同理可得：，
∴，解得，
∴，
∴，
∴点M（3，2），
∵D（1，0），
可设直线NM的表达式为，
∴，
解得，
∴直线MN表达式为．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）根据题意求出点B的坐标，再利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）连接BC，AP，过点P作于点E，先求出点A的坐标，设，根据列出方程：，解此方程即可求解；
（3）过点M、N分别作x轴的垂线，垂足分别为S，T，证明，得到：，设直线AM的表达式为，即可求出点M的坐标，再设直线NM的表达式为，进而利用待定系数法即可求解.
25．（2024九下·福州开学考）如图，在中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AB＝2，点D是线段BC上一动点，连接DA，将DA绕点D逆时针旋转90°，得到DE．
（1）如图1，若B，E，C三点共线时，求CE的长；
（2）如图2，若∠ADB＝45°，DE交AC于点F，求；
（3）如图3，连接CE，请直接写出CE的最小值．
【答案】（1）解：∵DA绕点D逆时针旋转90，得到DE．
∴∠ADE＝90°，DE＝DA，
∵B，E，C三点共线，
∴，
∵∠BAC－90°，∠C＝30°，AB＝2，
∴BC＝2AB＝4，∠B＝60°，
∴，，
∴，
∴．
（2）解：当∠ADB＝45°时，同（1）做法可得：，
∵，
∴△ADE为等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：CE的最小值是
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；旋转的性质；三角形的综合
【解析】【解答】解：（3）作AD'⊥BC，在BC上取点E'使D'E'=AD'，连接EE'，过点C作CM⊥EE'于M，如图，
由（1）得：
由题意得：△ADE和△AD'E'均为等腰直角三角形，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴点E在过点E'与BC夹角为45°的直线上运动，
∴CE的最小值为CM，
∴，
∴CE的最小值是.
【分析】（1）根据旋转的性质得到：由题意得：，即可得到：根据，计算即可；
（2）同理（1）得到：，即可证明△ADE为等腰直角三角形，得到：，，然后证明，得到：进而根据三角形面积计算公式即可求解；
（3）作AD'⊥BC，在BC上取点E'使D'E'=AD'，连接EE'，过点C作CM⊥EE'于M，证明则点E在过点E'与BC夹角为45°的直线上运动，则CE的最小值为CM，然后计算即可求解.
1 / 1福建省福州市延安学校2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题
一、选择题．（本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题纸的相应位置填涂）
1．（2019·温州模拟）-5的相反数是（ ）
A．5 B．-5 C． D．
2．（2024九下·福州开学考）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024九下·福州开学考）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024九下·福州开学考）中国信息通信研究院测算，2020－2025年，中国5G商用直接带动经济总产出达10.6万亿元．其中数据10.6万亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九下·福州开学考）下列事件中，不是随机事件的是（ ）
A．射击运动员射击一次，命中靶心
B．打开电视机，它正在播广告
C．购买一张彩票，中奖
D．从只装有红球的布袋中，任意摸出一个球，恰是白球
6．（2024九下·福州开学考）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024九下·福州开学考）某校九年级有11名同学参加知识竞赛，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛．小兰已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这11名同学成绩的（ ）
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差
8．（2024九下·福州开学考）已知反比例函数，当时，y随x增大而增大，则a的值可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2024九下·福州开学考）如图，AB是半圆的直径，点C在直径上，以C为圆心、CA为半径向内作直角扇形，再以D为圆心、DC为半径向内作扇形，使点E刚好落到半圆上，且三点共线，若，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024九下·福州开学考）点和点在二次函数的图象上，且，，则的值为（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
二、填空题．（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（2013·嘉兴）二次根式 中，x的取值范围是 ．
12．（2024九下·福州开学考）分解因式： ．
13．（2024九下·福州开学考）有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻有1到6的点数．将它投掷两次，则两次掷得骰子朝上一面的点数之和为3的概率是 ．
14．（2024九下·福州开学考）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是边AB的中点，若OE＝6，则菱形ABCD的周长是 ．
15．（2024九下·福州开学考）已知非零实数x，y满足，则的值是 ．
16．（2024九下·福州开学考）如图，在中，，BC＝1，，将线段AB绕点A顺时针旋转150°得到AD，连接BD交AC于点E．过点C作于点F，CF交AB于点G．给出下列四个结论：
①，②，③，④．
其中正确的结论是 ．（请写出所有正确结论的序号）
三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2024九下·福州开学考）先化简，再求值：，其中
18．（2024九下·福州开学考）如图，在中，E，F是对角线AC上的两点，且．求证：AE＝CF．
19．（2024九下·福州开学考）在中，∠ACB＝90°，．
（1）在AC上求作点D，使得∠DBA＝∠A．
（2）在（1）的条件下，若∠BDC＝∠ABC，求的值．
20．（2024九下·福州开学考））某校开展了“文明城市”活动周，活动周设置了“A：文明礼仪，B：生态环境，C：交通安全，D：卫生保洁”四个主题活动，每个学生限选一个主题参与．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如图所示不完整的条形统计图和扇形统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，“D”主题对应扇形的圆心角为 度；
（3）若该校共有3600名学生，试估计该校参与“生态环境”主题的学生人数．
21．（2024九下·福州开学考）某校为改善办学条件，计划购进A，B两种规格的书架，经市场调查发现有线下和线上两种购买方式，具体情况如下表：
规格 线下 线上
单价（元/个） 运费（元/个） 单价（元/个） 运费（元/个）
A 300 0 260 20
B 360 0 300 30
（1）如果在线下购买A，B两种书架共20个，花费6540元，求A，B两种书架各购买了多少个；
（2）如果在线上购买A，B两种书架共20个，且购买B种书架的数量不少于A种书架的3倍，请设计出花费最少的购买方案．
22．（2024九下·福州开学考）如图，已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠OCB的角平分线交⊙O于点D，F在直线AB上，且，垂足为E，连接AD，BD．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若，⊙O的半径为4，求BF的长．
23．（2024九下·福州开学考）根据以下素材，探索解决问题．
测量旗杆的高度
素材1 可以利用影子测量旗杆的高度．如图1，光线，DN，BM分别是旗杆和小陈同学在同一时刻的影子．
素材2 可以利用镜子测量旗杆的高度．如图2，小陈同学从镜子E中刚好可以看见旗杆的顶端C，测得．
素材3 可以利用标杆测量旗杆的高度．如图3，点G，P，C在同一直线上，标杆，测得，．（说明：小陈同学、旗杆CD与标杆PQ均垂直于地面，小陈同学的眼睛G离地面的距离）
（1）任务1 利用素材1证明△ABM△CDN；
（2）任务2 在素材2中，小陈同学还要测量图中哪条线段的长度（旗杆无法直接测量），才能求出旗杆的高度？若把该线段的长度记为a，请你用含a的式子表示出旗杆的高度；
（3）任务3 利用素材3求出旗杆的高度．
24．（2024九下·福州开学考）抛物线与x轴交于点A，B（A在B左边），与轴交于点C，且OB＝2OC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在第四象限的抛物线上，且∠PAB＝∠CBO，求点P的坐标；
（3）若点D在x轴正半轴上且，经过点D的直线MN交抛物线于点M，N（M在第一象限，N在第三象限），且满足，求MN的解析式．
25．（2024九下·福州开学考）如图，在中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AB＝2，点D是线段BC上一动点，连接DA，将DA绕点D逆时针旋转90°，得到DE．
（1）如图1，若B，E，C三点共线时，求CE的长；
（2）如图2，若∠ADB＝45°，DE交AC于点F，求；
（3）如图3，连接CE，请直接写出CE的最小值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：-5的相反数是5
故答案为：A
【分析】根据求一个数的相反数就是在这个数的前面添上“-”号，再化简就可求出结果。
2．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、该图形不是中心对称图形，则本项不符合题意；
B、该图形为轴对称图形，不是中心对称图形，则本项不符合题意；
C、该图形不是中心对称图形，则本项不符合题意；
D、该图形是中心对称图形，则本项符合题意.
故答案为：D.
【分析】把一个平面图形，绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐项判断得出答案.
3．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：该几何体的左视图为：，
故答案为：B.
【分析】左视图，就是从左面看得到的图形，该几何体组合的左视图有两层，底层两个小正方形，上层左侧有一个小正方形，据此判断得出答案.
4．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：10.6万亿用科学记数法表示为：
故答案为：B.
【分析】根据用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成的形式，其中1≤|a|<10 ， n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.
5．【答案】D
【知识点】随机事件
【解析】【解答】解：A、射击运动员射击一次，命中靶心为随机事件，则本项不符合题意；
B、打开电视机，它正在播广告为随机事件，则本项不符合题意；
C、购买一张彩票，中奖为随机事件，则本项不符合题意；
D、从只装有红球的布袋中，任意摸出一个球，恰是白球为不可能事件，则本项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据随机事件的定义：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，据此逐项判断即可.
6．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】解：A、 则本项不符合题意；
B、 则本项不符合题意；
C、，则本项符合题意；
D、不是同类项，无法被合并，则本项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断A选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断B选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断C选项；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断D选项.
7．【答案】A
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：∵有11名同学参加知识竞赛，预赛成绩各不相同，
∴11个人的中位数为第6名的成绩，
∴想知道自己能否进入决赛，还需要知道这11名同学成绩的中位数.
故答案为：A.
【分析】根据中位数的定义可知：11个人的中位数为第6名的成绩，参赛选手要想知道自己是否进入决赛，只需要把自己的成绩和中位数相比即可.
8．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数为，且当时，y随x增大而增大，
∴
∴
故答案为：A.
【分析】根据反比例函数中，当k＞0时，图象的两支分布在第一、三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小，当k＜0时，图象的两支分布在第二、四象限，在每一个象限内y随x的增大而而，据此列出不等式，即可求出a的取值范围.
9．【答案】B
【知识点】勾股定理；圆周角定理；扇形面积的计算；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接AD、OE，
由题意知：
∴
∴
∵
∴
∴
∴
设则
∴
∴S阴影=S扇形ACD+S扇形CDE
故答案为：B.
【分析】连接AD、OE，则由此得到：根据圆周角定理得到：根据勾股定理算出AE的长度，设则根据据此求出x的值，进而根据S阴影=S扇形ACD+S扇形CDE并结合扇形的面积计算公式计算即可.
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点和点在二次函数的图象上，
∴将y=3代入得x2+2x-4=3，
解得：
∴
∴
则原式=
故答案为：C.
【分析】根据二次函数上点的坐标特征得到：进而根据平面内两点间的距离公式可求出a的值，然后代入计算即可.
11．【答案】x≥3
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得：x﹣3≥0，
解得：x≥3．
故答案是：x≥3．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】利用提公因式法对原式分解因式即可.
13．【答案】
【知识点】列表法与树状图法；复合事件概率的计算
【解析】【解答】解：列表如下，
∴共有36种情况，两次掷得骰子朝上一面的点数之和为3的情况有2种，
∴两次掷得骰子朝上一面的点数之和为3的概率是：
故答案为：.
【分析】利用列表法将所有可能的情况都列出来，由表可知共有36种情况，两次掷得骰子朝上一面的点数之和为3的情况有2种，进而根据概率计算公式计算即可.
14．【答案】48
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴
∵点E是边AB的中点，
∴
∴菱形ABCD的周长是：
故答案为：48.
【分析】根据菱形的性质得到：然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到AB的长度，进而即可求解.
15．【答案】1
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：∵
∴y(x+1)=x，
∴xy=x-y
∴ =1
故答案为：1.
【分析】由已知等式可得xy=x-y，再根据等式的性质两边同时除以xy即可得出答案.
16．【答案】①②④
【知识点】三角形的面积；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∵线段AB绕点A顺时针旋转150°得到AD，
∴
∴
∵
∴
∴则①正确；
∵线段AB绕点A顺时针旋转150°得到AD，
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴为等边三角形，
∴
∴则②正确，
∵
∴
∴
∵线段AB绕点A顺时针旋转150°得到AD，
∴
∴则③错误，
过点B作BH⊥DF，过点A作AM⊥BD，
∵
∴
∵
∴
∴
∵线段AB绕点A顺时针旋转150°得到AD，
∴
∵
∴
∵
则
解得：
则
∴
则
∴则④正确，
综上所述，正确的结论有：①②④，
故答案为：①②④.
【分析】由∠BAC得正切函数定义及特殊锐角三角函数值得，结合旋转的性质得到进而由∠FAC的正弦函数可求出CF的长度，即可判断①；根据旋转的性质和等边三角形的性质即可判断②；易知：进而即可判断③；通过等面积法即可求出AM的长度，再根据等角对等边即可判断④.
17．【答案】解：原式
当时，原式
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】通分计算异分母分式的减法对待求式进行化简，最后将x的值代入后再分母有理化即可得出答案.
18．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在△AEB和△CFD中，
∴；
∴．
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】根据平行四边形的性质得AB=CD，AB∥CD，由平行线的性质得到：，，然后利用"AAS"证明，最后根据全等三角形的对应边相等即可求解.
19．【答案】（1）解：点D即为所求，如图所示
.
（2）解：设，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
解得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）以A为圆心AN为半径画弧交AB于点P，以点B为圆心AN为半径画弧交AB、BC于点M，Q，以M为圆心PN为半径交弧MQ于Z，连接BZ并延长交AC于点D，点D即为所求；
（2）设，根据三角形外角的性质得到：根据""，据此得到关于的方程：即可求出∠BDC的度数，然后根据余弦的定义得到：，进而即可求解.
20．【答案】（1）解：参加本次调查的学生总人数为：(人)
∴选择C的学生人数为：(人)，
∴补全条形统计图如下，
（2）54
（3）解：（人） ， （人）．
答：该校参与“生态环境”主题的学生人数1080人．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：（2）“D”主题对应扇形的圆心角为：
故答案为：54；
【分析】（1）先用选择A的学生人数除以其所占的比例得到参加本次调查的学生总人数，进而用总人数减去选择A、B、D的学生人数即可得到选择C的学生人数，进而即可补全条形统计图；
（2）用选择D的学生人数除以总人数再乘以360°，即可求解；
（3）用3600乘以本次调查中参与“生态环境”主题的学生人数所占的比例即可求解.
21．【答案】（1）解：设购买A种书架个，则购买B种书架(20-x)个，
根据题意，得，
解得：x＝11，20－11＝9（个）
答：购买A种书架11个，B种书架9个．
（2）解：设购买A种书架m个，所需总费用为w元，
根据题意得，
又由，得，
∵，∴w的值随着m值的增大而减小，
又∵m为整数，∴m＝5．
∴w有最小值：，
答：花费最少的购买方案是A种规格书架5个，B种规格书架15个，花费为6350元．
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设购买A种书架个，则购买B种书架(20-x)个，根据"购买A、B两种书架共花费6540元"，据此列出方程，解此方程即可求解；
（2）设购买A种书架m个，所需总费用为w元，根据总花费=线上购买m个A种书架的花费+线上购买(20-m)个B种书架的花费列出w关于m的函数解析式；根据"购买B种书架的数量不少于A种书架的3倍"，据此得到m的取值范围，进而根据所得函数解析式的性质可解此题.
22．【答案】（1）证明：如图所示，连接OD，
∵，
∴
∵，
∴，
∵CD平分∠OCB，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵OD是半径，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴
∵⊙O的半径为4，
∴AB＝8
∵，
∴，
∴，
∵，
∴△OBD为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；圆周角定理；切线的判定；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接OD，由等边对等角得，根据角平分线的定义得到：进而可证明即可得到进而即可求证；
（2）根据圆周角定理得到，然后特殊锐角三角函数值可求出∠A=30°，即可得到，进而证明△OBD为等边三角形，即可得到进而即可求解.
23．【答案】（1）证明：由题意知：，，
即，
∵，
∴，
∴．
（2）解：小陈同学还要测量图中线段DE的长度，记为a．
由题意知：，
∵，，
∴，
∴．
∴，
∵，，，
∴．
（3）解：过点G作于点H，交PQ于点F．
由题意知：，，，
即，
，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）由题意得到：，然后根据平行线的性质得到：，进而即可求证；
（2）把线段DE的长度记为a，由题意得到：，进而证明，得到：，进而可得到CD的长；
（3）过点G作于点H，交PQ于点F，由题意得到：，，，进而求出PF的长度，然后根据垂直的定义和平行线的性质即可证明，得到：，进而即可求出CD的长.
24．【答案】（1）解：∵抛物线与y轴交于点C，
∴当x＝0时，y＝2．即点C（0，2），
∵抛物线与x轴交于点A，B（A在B左边），且，
∴，即B（4，0），
∴，解得，
∴
（2）解：连接BC，AP，过点P作于点E．
∵抛物线与x轴交于点A，B（A在B左边）
∴当y＝0时，．
解得，即点A（－1，0），
在中，
∵，
∴
设，
∴，，
∴，
解得，
∴当时，，
即点P（5，－3）．
（3）解：过点M、N分别作x轴的垂线，垂足分别为S，T，
∵A（－1，0），B（4，0），
∴，
∵，
∴，
∴点D（1，0），
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵点M、N分别作x轴的垂线，垂足分别为S，T，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵A（－1，0），
∴可设直线AM的表达式为）．
∴联立
得
∴，
∴，
同理可得：，
∴，解得，
∴，
∴，
∴点M（3，2），
∵D（1，0），
可设直线NM的表达式为，
∴，
解得，
∴直线MN表达式为．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）根据题意求出点B的坐标，再利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）连接BC，AP，过点P作于点E，先求出点A的坐标，设，根据列出方程：，解此方程即可求解；
（3）过点M、N分别作x轴的垂线，垂足分别为S，T，证明，得到：，设直线AM的表达式为，即可求出点M的坐标，再设直线NM的表达式为，进而利用待定系数法即可求解.
25．【答案】（1）解：∵DA绕点D逆时针旋转90，得到DE．
∴∠ADE＝90°，DE＝DA，
∵B，E，C三点共线，
∴，
∵∠BAC－90°，∠C＝30°，AB＝2，
∴BC＝2AB＝4，∠B＝60°，
∴，，
∴，
∴．
（2）解：当∠ADB＝45°时，同（1）做法可得：，
∵，
∴△ADE为等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：CE的最小值是
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；旋转的性质；三角形的综合
【解析】【解答】解：（3）作AD'⊥BC，在BC上取点E'使D'E'=AD'，连接EE'，过点C作CM⊥EE'于M，如图，
由（1）得：
由题意得：△ADE和△AD'E'均为等腰直角三角形，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴点E在过点E'与BC夹角为45°的直线上运动，
∴CE的最小值为CM，
∴，
∴CE的最小值是.
【分析】（1）根据旋转的性质得到：由题意得：，即可得到：根据，计算即可；
（2）同理（1）得到：，即可证明△ADE为等腰直角三角形，得到：，，然后证明，得到：进而根据三角形面积计算公式即可求解；
（3）作AD'⊥BC，在BC上取点E'使D'E'=AD'，连接EE'，过点C作CM⊥EE'于M，证明则点E在过点E'与BC夹角为45°的直线上运动，则CE的最小值为CM，然后计算即可求解.
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