湖南省衡阳市衡阳县第四中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题(含解析)

衡阳县四中2023-2024学年下学期高一第一次月考卷
数 学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．已知，集合，，若，且的所有元素和为，则（ ）
A． B． C． D．
2．“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．关于实数，下列结论正确的有（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
4．若实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．函数的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
6．已知二次函数在区间内是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
9．函数满足：对任意实数都有，且当时，，则（ ）
A． B．关于对称
C． D．为减函数
10．已知函数的部分图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．
B．
C．点是函数图象的一个对称中心
D．直线是函数图象的一条对称轴
11．已知函数则下列结论正确的有（ ）
A．，
B．函数有且仅有个零点
C．方程有唯一解
D．直线与的图象有个交点
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．一个扇形的弧长为，面积为，则此扇形的圆心角为 ．（用弧度制表示）
13．已知函数的图象关于直线对称，则实数 ．
14．已知，则的大小关系是 .（用＞号连接）
四、解答题（本题共5小题，共77分）
15．（13分）已知：实数满足：实数满足.
(1)若，且和至少有一个为真命题，求实数的取值范围；
(2)若，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
16．（15分）已知函数，函数.
(1)求函数的解析式；
(2)试判断函数在区间上的单调性，并证明；
(3)求函数的值域.
17．（15分）已知函数．
(1)求函数的最小正周期和图象的对称轴方程；
(2)求函数在区间上的最值．
18.(17如图，在四边形ABCD中，AD＝4，AB＝2.
（1）若△ABC为等边三角形，且AD∥BC，E是CD的中点，求·；
（2）若AC＝AB，cos∠CAB＝，·＝，求｜｜.
19．（17分）为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务.该工程队有两种型号的挖掘机，已知台型和台型挖掘机同时施工一小时挖土立方米；台型和台型挖掘机同时施工一小时挖土立方米.每台型挖掘机一小时的施工费用为元，每台型挖掘机一小时的施工费用为元.
(1)分别求每台型，型挖掘机一小时挖土多少立方米？
(2)若不同数量的型和前型挖掘机共台同时施工小时，至少完成立方米的挖土量，且总费用不超过元.问施工时有哪几种调配方案，并指出哪种调配方案的施工费用最低，最低费用是多少元？
答案及解析
1．【答案】A
【解析】
先确定集合中可能的元素，根据两集合中元素的和求出的值，再根据集合中元素的互异性取值.
集合中的元素可能为：，因为，.
若，则，，则，元素和不为；
若，则，，则，元素和不为；
当时，，因为中所有的元素和为，
所以，解得或（舍去）.
综上：.
故选：A.
2．【答案】A
解一元一次不等式结合必要不充分条件的定义即可得解.
由题意，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：A.
3．【答案】B
结合不等式的基本性质逐项判断即可得.
对A：当时，有，故A错误；
对B：如果，那么，故B正确；
对C：当时，有，故C错误；
对D：如果，则，故，即，故D错误.
故选：B.
4．【答案】D
通过求出，代入所求式消元，运用基本不等式求解即得.
由可知，则，代入得：，
当时等号成立，即当时，取得最小值.
故选：D.
5．【答案】D
根据函数的单调性，结合零点存在性定理，即可判断选项.
在上单调递增，也是单调递增函数，所以在上单调递增，
当时，，，所以，则在上无零点.
因为，，，，
所以，则根据零点存在性定理可知，在上有零点.
故选：D.
6．【答案】A
根据二次函数的性质求解.
二次函数的对称轴为，欲使得时是单调的，
则对称轴必须在区间之外，即或者.
故选：A.
7．【答案】A
由正切二倍角公式及，求出，结合二倍角公式和齐次化化弦为切，代入求值即可.
，
故，解得或，
因为，所以，故，
.
故选：A.
8．【答案】A
要使函数在上单调递减，则需时函数单调递减，时函数单调递减，且，然后求解即可.
因为函数在上单调递减，
所以在上单调递减，
在上单调递减，且，
所以，解得.
故选：A.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
9．【答案】A、B、C
利用赋值法，结合函数单调性的定义、对称性的性质逐一判断即可.
【详解】
由对于任意实数，
令，则，即,故A正确；
令，则，即，故B正确；
令，，则，
即，故C正确；
对于任意，则设，当时，，
则，即，所以单调递增，故D错误．
故选：ABC.
10．【答案】A、B、D
结合图象即可求出三角函数的解析式，则AB可解；将代入函数的解析式即可验证C选项；将代入函数的解析式即可验证D选项.
根据图象和题目条件可知，，
所以，解得，A正确；
将代入，可得，解得，B正确；
所以，
令得，， C错误，
令得，，故是函数 的一条对称轴，D正确，
故选：ABD．
11．【答案】A、B、D
A项，作出函数图象即可得出结论；B项，将零点问题转化为与的交点，作出函数即可得出零点个数；C项，根据函数得出函数的表达式，作出两函数图象即可得出方程的解的个数；D项，作出直线与两函数图象即可得出交点个数.
由题意，
A项，在中，作出函数图象如下图所示，

由上图可知，，故正确；
B项，在中，当时，，
即与的交点，
作出函数图象如下，

可知函数有且仅有个零点，B正确；
C项，在中，
作出两函数的图象如下图所示，

∴两函数有个交点，方程有解，
∴方程不止有唯一解，故C错误；
D项，

由图可知，直线与的图象有个交点，D正确；
故选：ABD.
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．【答案】
利用扇形弧长公式，面积公式列方程求解即可.
【详解】
设圆心角为，扇形半径为，依题可得，，解得，.
故答案为：.
13．【答案】
由于函数的图象关于直线对称，由特殊值，即可求值.
由于函数的图象关于直线对称，
且，得：，
其中，，
得：．
故答案为：．
14．【答案】
根据指数函数的单调性，即可比较的大小关系，即得答案.
由题意知，
而在上单调递减，故，
故.
故答案为：.
四、解答题（本题共5小题，共77分）
15．【解析】
（1）根据题意解一元二次不等式得命题，结合命题真假确定取值范围；
（2）利用充分条件、必要条件的定义解不等式即可.
【详解】
（1）：实数满足，解得.
当时，，解得，
∵和至少有一个为真命题，∴，
∴实数的取值范围为.
（2）∵，∴由，解得，即，
∵是的充分不必要条件，∴（等号不同时取），∴，
又，
故实数的取值范围为.
16．【分析】
（1）用换元法先求出，再代入已知求出的解析式即可.
（2）用函数单调性的定义证明即可，设，作差通分计算即可.
（3）分和时用基本不等式求出结果即可，注意取等号的条件.
（1）令，则，
∴，
∴，即，
∴.
（2）函数在区间上单调递增.
证明：任取，
则，
又，
∴，即，
∴函数在区间上是增函数.
（3）当时，，
当且仅当时，等号成立.
当时，，
当且仅当时，等号成立.
∴的值域为.
17．【解析】
（1）利用三角恒等变换得到，利用求出最小正周期，整体法求出函数的对称轴方程；
（2）整体法求出函数的最值.
（1）因为
，
所以函数的最小正周期，
令，解得
故图象的对称轴方程为．
（2）因为，所以，
所以当，即时，取最大值，
当，即时，取最小值．
18.解：（1）因为△ABC为等边三角形，且AD∥BC，所以∠DAB＝120°.
又AD＝2AB，所以AD＝2BC，所以＝2.
因为E是CD的中点，所以＝（＋）＝（＋＋）＝＋，
又＝－，所以·＝（＋）·（－）＝－－·＝×16－×4－×4×2×（－）＝11.
（2）因为AC＝AB，AB＝2，所以AC＝2.
因为·＝，所以·（－）＝·－·＝，
又·＝｜｜｜｜cos∠CAB＝2×2×＝，
所以·＝＋·＝，
所以｜｜2＝｜－｜2＝4＋16－2×＝，
故｜｜＝.
19．【解析】
（1）设每台型，型挖据机一小时分别挖土立方米和立方米，根据题意列出方程组，解答即可；（2）利用总费用不超过元求出方案数量，再利用一次函数增减性求出最低费用．
（1）设每台型，型挖掘机一小时分别挖土立方米和立方米，根据题意，得
，解得.
所以，每台型挖掘机一小时挖土立方米，
每台型挖据机一小时挖土立方米.
（2）设型挖掘机有台，总费用为元，则型挖据机有台.根据题意，
得，
因为，解得，
又因为，解得，所以.
所以，共有三种调配方案.
方案一：当时，，即型挖据机台，型挖掘机台；
案二：当时，，即型挖掘机台，型挖掘机台；
方案三：当时，，即型挖掘机台，型挖掘机台.
∵，由一次函数的性质可知，随的减小而减小，
当时，，
此时型挖掘机台，型挖掘机台的施工费用最低，最低费用为元.