2024北京北大附中高二（下）期中数学（行知、未名学院）（PDF版无答案）

2023—2024 学年第二学期北大附中行知/未名学院高二期中考试
数 学 试 卷
考 1．本试卷共 4 页，分为两部分：第一部分为选择题，共 40 分；第二部分为非选
择题，共 60 分。
生
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须
须 用 2B 铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
知 3．考试结束后，考生应将答题卡放在桌面上，待监考员收回。
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项。
（1）已知等差数列 { } 的通项公式为 = 3 + 2，则公差为
（A）5 （B）4
（C）2 （D）3
（2）下列函数中，既是奇函数又在区间 (0, +∞) 上单调递增的函数是
（A） = + ln （B） = + 3
1
（C） = + （D） = + 2 sin

（3）已知函数 ( ) = sin2 , 下面说法正确的是

（A） ( ) 在 [0, ]上的平均变化率为 1
4
（B） ′( ) = cos2

（C） = 是 ( ) 的一个极大值点
3
（D） ( ) 在 = 0 处的瞬时变化率为 2
（4）在数列 { } 中， 1 = 1，且 + +1 = 2 ( ∈ )，则其前 41 项的和为
（A）841 （B）421
（C）840 （D）420
数学试卷 第1页（共4页）
（5）已知函数 = ( ) 的定义域为 ，其导函数 = ( ) 的图象如图所示，则下列结论中
错误的是
（A）2 是 ( ) 的极大值点
（B） ( ) 在 (0, (0)) 处的切线斜率大于 0
（C） (3) < (4)
（D） ( ) 在 ( 3,5) 上一定存在最小值
（6）设等比数列 { } 的前 项和为 ，则“ 3 > 2 > 1 ”是“数列 { } 为递增数列”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（7）已知 { } 为等差数列， 是其前 项和，若 8 > 3，且 13 < 0，则当 取得最大值
时， =
（A）3 （B）6
（C）7 （D）8
2
（8）若函数 ( ) = ln 在 ( , +∞) 上单调，则实数 的取值范围是
2
（A）[1, +∞) （B）(1, +∞)
（C）(0,1) （D）(0,1]
1
（9）给出以下 值：① = ，② = ，③ = 0，④ = 1，其中使得函数 ( ) =

有且仅有一个零点的是
（A）①④ （B）②④
（C）①②③ （D）①②④
（10）李华学了“斐波那契数列”后对它十分感兴趣，于是模仿构造了一个数列 { }：
1 = 1， 2 = 2， 3 = 3， +3 = + +1 +2 . 给出下列结论：
① 2023 = 2023；
② 2024 = 2020；
③ 设 = 1 + 2 + 3 + + ，则 2023 = 5056；
④ 设 = 1 2 3 ，则 有最大值，但没有最小值.
其中所有正确结论的个数是
（A）1 （B）2
（C）3 （D）4
数学试卷 第2页（共4页）
第二部分（非选择题 共 60 分）
二、填空题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分。
（11）已知等比数列 { } 中， 2 = 8， 3 = 4，则该数列的前 4 项和为 .
（12）设 ( ) = 3 + 2 + 3 + 1，使 ( ) 存在极值的一个 的值可以是 .
（13）设 ( ) = 2 + + ln ，若 ( ) 的单调减区间为 (1,2)，则 = ________ , = ________.
（14）函数 ( )的定义如下表：
1 2 3 4 5
( ) 5 1 2 3 4
已知 0 = 4，且数列 { } 满足对任意的 ∈
，均有 = ( 1) .
若 +1 + +2 + +3 + + 180 = 105 ，则正整数 的值为 .
（15）牛顿和拉弗森在 17 世纪提出了“牛顿迭代法”，相比二分法可以更快速的给出近似
值，至今仍在计算机等学科中被广泛应用. 如图，设
r 是方程 ( ) = 0 的根，选取 x0 作为 r 初始近似值.
过点 ( 0, ( 0)) 作曲线 = ( ) 在 ( 0, ( 0)) 处的切
线，切线方程为 1，当 ( 0) ≠ 0 时，称 1 与 轴的
交点的横坐标 1 是 r 的 1 次近似值；
过点 ( 1, ( 1)) 作曲线 = ( ) 在 ( 1, ( 1)) 处的切
线，切线方程为 2，当 ( 1) ≠ 0 时，称 2与 轴的交点的横坐标 2 是 r 的 2 次近似
值；重复以上过程，得到 r 的近似值序列 { } . 这就是所谓的“牛顿迭代法”.
（1）当 ( ) ≠ 0, ∈
时， 的 + 1 次近似值 +1 与 次近似值 可建立等式关
系： +1 = ；
（2）若取 0 = 2 作为 的初始近似值，根据牛顿迭代法，计算 √3 的 2 次近似值为
（用分数表示）.
数学试卷 第3页（共4页）
三、解答题共 4 小题，共 40 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题 10 分）
1
已知函数 ( ) = 3 2 2 + 3 + 1.
3
（Ⅰ）求曲线 = ( ) 在 = 0 处的切线方程；
（Ⅱ）求函数 ( ) 的单调区间；
（Ⅲ）求函数 ( ) 在区间 [ 1,4] 上的最小值.
（17）（本小题 10 分）
已知数列{ }为等差数列， 1 = 1, 2 + 4 = 10，数列 { } 满足 1 = 1， +1 = 2 + 1
（Ⅰ）求数列 { } 的通项公式；
（Ⅱ）求证：数列 { + 1} 是等比数列；
（Ⅲ）设 = + ，求数列 { } 的前 项和 .
（18）（本小题 10 分）
设函数 ( ) = 2 .
（Ⅰ）求 ( ) 的单调区间；
（Ⅱ）若 = 1，设 ( ) = ( ) ，求证： ( ) 不存在极大值．
（19）（本小题 10 分）
1， 1 ≥ 0
已知数列 { } 是无穷数列，且 +1 = { .
1 ， 1 < 0
（Ⅰ）若 1 = 1, 2 = 2，写出 4, 5 的值；
（Ⅱ）已知数列 { } 中 = 0，求证：数列 { } 中有无穷项为 0；
（Ⅲ）已知数列 { } 中任何一项都不等于 0，且 1 > 2 > 0，记 = max{ 2 1, 2 }
( ∈ )，其中 max{ , } 为 , 中较大的数. 求证：数列 { } 是递减数列.
数学试卷 第4页（共4页）