2023-2024学年辽宁省鞍山市高二（下）月考数学试卷（A卷）（含解析）

2023-2024学年辽宁省鞍山市高二（下）月考数学试卷（A卷）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若某项试验的成功率是失败率的倍，用离散型随机变量描述次试验成功的次数，则等于( )
A. B. C. D.
2.名学生和位老师站成一排合影，位老师不相邻的排法种数为( )
A. B. C. D.
3.已知数列是等差数列，若，则( )
A. B. C. D.
4.在的展开式中，只有第项的二项式系数最大，则( )
A. B. C. D.
5.已知为数列的前项和，，，那么( )
A. B. C. D.
6.在三次独立重复试验中，事件在每次试验中发生的概率相同，若事件至少发生一次的概率为，则事件发生次数的期望和方差分别为( )
A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
7.明代程大位算法统宗卷中有题：“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增，共灯三百八一，请问尖头几盏灯？“你的答案是( )
A. 盏 B. 盏 C. 盏 D. 盏
8.为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼某校一篮球运动员进行投篮练习，若他第球投进，则第球投进的概率为，若他第球投不进，则第球投进的概率为，若他第球投进的概率为，则他第球投进的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若随机变量服从两点分布，其中分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
10.已知，下列命题中，正确的是( )
A. 展开式中所有项的二项式系数的和为
B. 展开式中所有奇次项系数的和为
C. 展开式中所有偶次项系数的和为
D.
11.已知等差数列的公差，前项和为，若，则下列结论中正确的有( )
A. ：： B.
C. 当时， D. 当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.有一批灯泡寿命超过小时的概率为，寿命超过小时的概率为，在寿命超过小时的灯泡中寿命能超过小时的概率为______．
13.的展开式中，常数项为______．
14.设是数列的前项和，，，则______．
四、解答题：本题共4小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列满足，．
Ⅰ证明：是等比数列，并求的通项公式；
Ⅱ记，设为数列的前项和，证明：．
16.本小题分
为了强调考前仔细研究教材内容称“回归教材”对高考数学成绩的重要性，年高考结束后，某班级规定高考数学成绩分以上含分为优秀，制作下表：
高考数学成绩
是否回归教材 非优秀人数 优秀人数 合计
未回归教材人数
回归教材人数
合计
Ⅰ能否有的把握认为高考数学成绩优秀与回归教材有关？
Ⅱ以该班数据为样本来估计全市总体数据，从全市年参加高考的考生中任取人，设人中高考数学成绩优秀且回归教材的人数为，求的分布列及数学期望．
附：，
17.本小题分
是数列的前项和，已知，．
Ⅰ求的通项公式；
Ⅱ求数列的前项和．
18.本小题分
现有、两个部门进行投篮比赛，部门有人参加，部门有人参加，已知这人投篮水平相当，每人投中的概率都是比赛之前每人都进行投篮练习，投中则停止投篮练习，最多进行三次投篮练习若甲投篮练习次，统计得知的数学期望是．
Ⅰ求；
Ⅱ现从这人中选出人，每人投篮两次，设人中能够投中的人数为，求的数学期望；
Ⅲ现从这人中选出人参加投篮练习，设部门被选中的人数为，求的数学期望．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：某项试验的成功率是失败率的倍，
用离散型随机变量描述次试验成功的次数，
设失败率为，则成功率为．
的分布列为：


则“”表示试验失败，“”表示试验成功，
，解得，
．
故选：．
本题符合两点分布，先求出分布列，再根据分布列的性质求出概率．
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意两点分布的性质的合理运用．
2.【答案】
【解析】解：用插空法解决，
先将所有学生排列，有种排法，
然后将两位老师插入个空中，
共有种排法，
一共有种排法．
故选A．
要求两个教师不相邻，用插空法来解决问题，将所有学生先排列，有种排法，再将两位老师插入个空中，共有种排法，根据分步计数原理得到结果．
本题考查考查分步乘法计数原理，排列数公式，对于不相邻的问题，一般采用插空法来解．
3.【答案】
【解析】解：数列是等差数列，，
，可得．
则．
故选：．
利用等差数列的性质即可得出．
本题考查了等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4.【答案】
【解析】解：的展开式中，只有第项的二项式系数最大，
，．
故选：．
根据二项式系数的性质，方程思想，即可求解．
本题考查二项式系数的性质，方程思想，属基础题．
5.【答案】
【解析】解：，
时，，
相减可得：．
时，，
数列从第二项开始为等比数列，
．
故选：．
利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出．
本题考查了递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：设事件在每次试验中发生的概率为，则，
，解得，，
，．
故选：．
根据题意可得根据事件至少发生一次的概率为，可得再根据公式可得期望与方差．
本题考查了二项分布得期望与方差，属中档题．
7.【答案】
【解析】解：设这个塔顶层有盏灯，则问题等价于一个首项为，公比为的等比数列的前项和为，
所以，
解得．
故选：．
根据题意，转化为等比数列，利用通项公式和求和公式进行求解．
本题主要考查等比数列的前项和公式，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：某校篮球运动员进行投篮练习，若他前一球投进则后一球投进的概率为，
若他前一球投不进则后一球投进的概率为若他第球投进的概率为，
则他第球投进的概率为：
．
故选：．
利用相互独立事件概率乘法公式能求出他第球投进的概率．
本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9.【答案】
【解析】解：随机变量服从两点分布，其中，
，，
在中，，故A正确；
在中，，故B正确；
在中，，故C正确；
在中，，故D错误．
故选：．
根据随机变量服从两点分布推出，得到，，然后判断各选项即可．
本题考查命题真假的判断，离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
10.【答案】
【解析】解：二项式的展开式的二项式系数和为，故A正确；
令，则，
令，则，
则可得：，故C正确；
可得：，故B错误；
令，则，令，则，
则，故D正确．
故选：．
利用二项式系数和公式即可判断；令，，联立方程即可判断，；令，，联立方程即可判断．
本题考查了二项式定理的应用，涉及到赋值法的应用，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：，
，
，
：：，故A正确；
，故B正确；
当时，，故C正确；
当时，则，故D错误；
故选：．
由可得，然后逐一判断四个结论得答案．
本题考查命题的真假判断与应用，考查了等差数列的函数特性，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：记事件为“灯泡寿命超过小时”，事件为“灯泡寿命超过小时”，
则在寿命超过小时的灯泡中寿命能超过小时的概率为．
故答案为：．
直接根据条件概率公式求解即可．
本题考查条件概率公式的运用，是基础题．
13.【答案】
【解析】解：，
常数项为，
故答案为：．
把按照二项式定理展开，可得的展开式中常数项的值．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
14.【答案】
【解析】【分析】
根据，可得，，再利用等差数列的通项公式即可得出答案．
本题考查数列递推关系、等差数列的定义与通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
【解答】
解：，
，
，
又，
数列是等差数列，首项为，公差为．
，
解得．
故答案为：．
15.【答案】证明：Ⅰ，
，
又，则数列是首项为，公比为的等比数列，
，
数列的通项公式；
Ⅱ由Ⅰ得，则，
，即，．
【解析】Ⅰ由题意得，即，即是首项为，公比为的等比数列．即可证明结论；
Ⅱ由题意得，即可证明结论．
本题考查等比数列的定义和数列的求和，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
16.【答案】解：Ⅰ由题意得，，，，，，，，，
，
，
有的把握认为高考数学成绩优秀与回归教材有关；
Ⅱ由题意得的可能取值有，，，，
设“回归教材”且成绩优秀为事件，且，
则，，，，
故随机变量的分布列为
数学期望为．
【解析】Ⅰ由题意得，，，，，，，，，求出，即可得出答案；
Ⅱ由题意得的可能取值有，，，，设“回归教材”且成绩优秀为事件，，求出对应概率，即可得出答案．
本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：Ⅰ化为，可知，
可得，即，
由于，可得，
又，解得，
是首项是，公差是的等差数列，通项公式是．
Ⅱ设前项和为，由Ⅰ知，
则，，
两式相减得，
即，
所以．
【解析】Ⅰ化为，再利用递推关系、等差数列的通项公式即可得出；
Ⅱ设前项和为，由Ⅰ知，再利用“错位相减法”、等比数列的前项和公式即可得出．
本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前项和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18.【答案】解：Ⅰ根据题意，可取的值为、、，
则的分布列为
又由，则有，解可得或舍，
故；
Ⅱ根据题意，每人投篮两次，则每个人投中的概率，
设人中能够投中的人数为，则，故E；
Ⅲ根据题意，可取的值为、、、，
则，，，，
故E．
【解析】Ⅰ根据题意，分析可取的值，由此用表示各个值的概率，由期望公式可得关于的方程，解可得答案；
Ⅱ根据题意，先求出每个人投篮命中的概率，分析可得，进而计算的期望可得答案；
Ⅲ根据题意，分析可得可取的值，进而求出的各个值的概率，由期望公式计算可得答案．
本题考查随机变量的分布列和期望的计算，涉及二项分布的性质，属于基础题．
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