2023-2024学年四川省遂宁市射洪中学高二(下)第一次质检数学试卷(4月份)(含解析)

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名称 2023-2024学年四川省遂宁市射洪中学高二(下)第一次质检数学试卷(4月份)(含解析)
格式 docx
文件大小 196.5KB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2024-04-28 16:30:20

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文档简介

2023-2024学年四川省遂宁市射洪中学高二(下)第一次质检数学试卷(4月份)
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.下列结论不正确的是( )
A. 若,则 B. 若,则
C. 若,则 D. 若,则
2.已知函数,则等于( )
A. B. C. D.
3.设是函数的导函数,则的图象可能是( )
A. B.
C. D.
4.函数的图象如图所示,下列数值排序正确的是( )
A. B.
C. D.
5.已知函数在处有极小值,则实数的值为( )
A. B. C. D. 或
6.已知函数与其导函数的图象如图,则满足的的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.已知,则( )
A. B. C. D.
8.若存在唯一的正整数,便得不等式恒成立,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题:本题共4小题,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.下列导数运算错误的有( )
A. B.
C. D.
10.已知,函数有两个极值点,,则( )
A.
B. 时,函数的图象在处的切线方程为
C. 为定值
D. 时,函数在上的值域是
11.已知为函数的导函数,当时,有恒成立,则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
12.已知函数,若直线与曲线和分别相交于点,,,,且,,则( )
A. B.
C. D.
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知,,且,则 ______.
14.函数在其定义域内可导,其图象如图所示,记的导函数为,则不等式的解集是______.
15.若函数在区间上有单调递增区间,则实数的取值范围是______.
16.已知函数,,,,都有,则的取值范围为______.
四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.本小题分
利用导数求下列函数的单调区间.

,.
18.本小题分
已知函数.
求的导数;
求函数的图象在处的切线方程.
19.本小题分
已知函数.
求证:当时,曲线与直线只有一个交点;
若既存在极大值,又存在极小值,求实数的取值范围.
20.本小题分
已知函数.
若函数在处取得极值,求的值;
若函数在定义域内存在两个零点,求的取值范围.
21.本小题分
南京玄武湖号称“金陵明珠”,是我国仅存的皇家园林湖泊在玄武湖的一角有大片的荷花,每到夏季,荷花飘香,令人陶醉夏天的一个傍晚,小胡和朋友游玄武湖,发现观赏荷花只能在岸边,无法深入其中,影响观赏荷花的乐趣,于是他便有了一个愿景:若在玄武湖一个盛开荷花的一角该处岸边近似半圆形,如图所示设计一些栈道和一个观景台,观景台在半圆形的中轴线上图中与直径垂直,与,不重合,通过栈道把,,,连接起来,使人行在其中,犹如置身花海之感已知,,栈道总长度为函数.
求;
若栈道的造价为每米万元,试确定观景台的位置,使实现该愿景的建造费用最小观景台的建造费用忽略不计,并求出实现该愿景的建造费用的最小值.
22.本小题分
已知函数的图象在处的切线经过点.
求的值及函数的单调区间;
若关于的不等式在区间上恒成立,求正实数的取值范围.
答案和解析
1.【答案】
【解析】解:对于,常数的导数为,正确;
在中,,根据导数的公式得,所以B错误.
对于,,C正确;
对于,,D正确
故选B.
利用导数的运算公式分别进行判断即可.
本题主要考查导数的基本运算,要求熟练掌握常见函数的导数公式,比较基础.
2.【答案】
【解析】解:,
则,
故.
故选:.
根据已知条件,结合导数的几何意义,即可求解.
本题主要考查导数的几何意义,属于基础题.
3.【答案】
【解析】解:因为,所以令,得或;令,得,
所以在,上单调递增,在上单调递减,
由图可知,只有选项的图象符合.
故选:.
利用导数求出原函数的单调性,选择图像即可.
本题考查利用导数研究函数的单调性,考查学生的逻辑思维能力,属中档题.
4.【答案】
【解析】解:观察图象可知,该函数在上为连续可导的增函数,且增长的越来越慢.
所以各点处的导数在上处处为正,且逐渐减小,所以故,
而,表示的连接点与点割线的斜率,根据导数的几何意义,一定可以在之间找到一点,该点处的切线与割线平行,则割线的斜率就是该点处的切线的斜率,即该点处的导数,则根据刚才的分析,必有:.
故选:.
观察图象及导数的几何意义得:,即函数在上增长得越来越慢,所以导数值为正,且绝对值越来越小,故,同时根据割线的性质,一定可以在之间找到一点其切线的斜率等于割线斜率,即其导数值等于割线的斜率,由此可得结论.
本题考查了函数的导数与函数单调性的关系,以及割线与切线间的关系,要注意数形结合来解题.
5.【答案】
【解析】解:因为,
所以,
因为在处有极小值,
所以,
即,解得或,
当时,,
当或时,,当时,,
所以当时,取得极小值,符合题意;
当时,,
当或时,,当时,,
所以当时,取得极大值,不符合题意,
所以实数的值为,
故选:.
求导,根据在处有极小值,由,求得,再检验即可.
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值,考查了方程思想,属中档题.
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的单调性与导函数的关系,属于简单题.
利用导函数的图象以及原函数的图象的关系,判断推出结果即可.
【解答】
解:如图,记两个函数分别为和,
若为导函数,则应在单调递减,明显与图象不符;
所以,,
由图象可知,则满足的的取值范围为:.
故选:.
7.【答案】
【解析】解:,
设,,则,
所以在上为减函数,
所以,即,
所以,
所以.
故选:.
利用正弦函数的单调性可得,利用导数可证不等式成立,故可判断,故可得三者大小关系.
本题考查导数的综合应用,解题中注意转化思想的应用,属于中档题.
8.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查导数在研究函数中的应用.因为存在唯一的正整数,使得不等式成立,所以只考虑的情况,则原不等式等价于,即有唯一的正整数解,本题是函数中分离参数,应用导数讨论函数的单调性,然后数形结合找条件列出参数满足的不等式;要抓住唯一的正整数解这个条件,属于较难题.
【解答】
解:存在唯一的正整数,使得不等式成立;
即有唯一的正整数解;

则,
在 上单调递增,在 上单调递减;
又 ,
所以要满足有唯一的正整数解;
则需要 ,
,;
实数的取值范围是
故选:.
9.【答案】
【解析】解:,,A错误,
,,B正确,
,,C错误,
,,D错误,
故选:.
根据导数的公式即可得到结论.
本题主要考查导数的基本运算,比较基础.
10.【答案】
【解析】解:对于,由题意,当时,,无极值点,
当时,,
时,,函数单调递减,无极值点,
当时,令,得,解得,
当,解得或,在,上单调递增,
当,解得,在上单调递减,
所以是的极大值点,是的极小值点,
所以当时,函数有两个极值点,故A正确;
对于,若,则,则,则,,
所以函数在处的切线方程为,即,故B正确;
对于,因为,
当时,由,得,则,
所以为定值,故C正确;
对于,当时,则,则,
令,解得或,
所以当时,,
,,
所以在上的值域是,故D错误.
故选:.
选项A:由函数的导数等于的方程有两个根可得;选项B:由导函数的几何意义得到切线的斜率,再由点斜式写出方程即可;选项C:由函数的极值点互为相反数代入计算可得;选项D:由导数求出极值,再求出区间端点的值,即可得到函数在闭区间上的值域.
本题主要考查利用导数研究函数的极值,属于中档题.
11.【答案】
【解析】解:令,
所以,
因为当时,有恒成立,
所以当时,,单调递减,
所以,,
所以,,
所以,,
故选:.
令,求导,结合当时,有恒成立,可得当时,的单调性,即可得出答案.
本题考查导数的综合应用,函数的单调性,解题中需要理清思路,属于中档题.
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用导数研究函数的零点,属于较难题.
求导分析的符号,的单调性和极值,同理可得的单调性和极值,作出与的大致图象,设函数与的交点为,分两种情况:当时,当时,分析,,,之间的关系,即可得出答案.
【解答】
解:,
令得,
所以在上,,单调递增,
在上,,单调递减,
所以当时,取得极大值即最大值,

令得,
所以在上,单调递增,
在上,单调递减,
所以当时,取得极大值即最大值,
作出与的大致图象如下:
设函数与的交点为,
当时,,且,
所以,
所以,
又,
所以,,
代入得,
所以,
由得,
所以,故AD正确;
当时,
,且,
所以,
所以,
又,
同上,可知AD正确,
故选:.
13.【答案】
【解析】解:由,求导得,则,
由,求导得,
所以.
故答案为:.
对给定函数求导,再求出在处的导数值即得.
本题主要考查了函数的求导公式的应用,属于基础题.
14.【答案】
【解析】解:由图象可知在区间和上单调递减,
的解集为.
故答案为:.
不等式的解集为函数的减区间.
本题考查了导数与函数单调性的关系,属于中档题.
15.【答案】
【解析】解:已知,函数定义域为,
可得,
因为在上有解,
即在上有解,
由对勾函数的性质可知函数在上单调递增,
所以在时取得最大值,
此时,
则实数的取值范围为.
故答案为:.
由题意,将问题转化成在上有解,分离参数后求函数最值即可得解.
本题考查利用导数研究函数的单调性,考查了逻辑推理、转化思想和运算能力.
16.【答案】
【解析】解:,,,
不妨设,,

,即,
,令,
当时,,即在上单调递增,
在上恒成立,即在上恒成立,
当时,,,
又时,,
则,

,即的取值范围为.
故答案为:.
不妨设,,则,构造函数,可得在上单调递增,即在上恒成立,即在上恒成立,求出的最大值,即可得出答案.
本题考查利用导数研究函数的单调性,考查转化思想和函数思想,考查逻辑推理能力和运输能力,属于中档题.
17.【答案】解:由在定义域上恒成立,
故的递增区间为,无递减区间;
由在上恒成立,
故的递减区间为,无递增区间.
【解析】对函数求导,根据定义域或区间内导数的符号判断单调区间即可.
本题主要考查利用导数研究函数的单调性,考查运算求解能力,属于基础题.
18.【答案】解:因为函数,
所以;
因为,
所以函数在处的切线方程为,即.
【解析】利用基本初等函数的导数公式及求导法则直接计算即得;
求出和切点,再利用导数的几何意义求出切线方程.
本题考查导数的运算和曲线在某点处的切线方程,考查方程思想和运算能力,属于基础题.
19.【答案】解:当时,函数,求导得:,
令,得;令,得;
则函数在上递增,在上递减,
故,
所以曲线与直线只有一个交点.
函数的定义域为,
求导得,
设,
令,解得,.
因为既存在极大值,又存在极小值,即在有两个变号零点,
则,解得且,
综上所述:的取值范围为.
【解析】当时,对求导,分析函数单调性,确定图象,可证明曲线与直线只有一个交点.
将既存在极大值,又存在极小值,转换为有两个变号零点问题,讨论零点位置可得实数的取值范围.
本题主要考查利用导数研究函数的极值,属于中档题.
20.【答案】解:因为,则,
因为函数在处取得极值,所以,解得,
当时,可得,
当时,,单调递增;
当时,,单调递减.
综上所述,当时,函数取得极大值,符合题意,故.
由,其中,
当时,可得,单调递增,此时函数至多有一个零点,不符合题意;
当时,令,解得,
当时,,单调递增;当时,,单调递减.
因此,当时,取得极大值,也是最大值,最大值为,
又因为,且当时,,
所以要使函数有两个零点,必须满足,即,解得.
综上所述,,即实数的取值范围是.
【解析】根据题意,利用函数极值点的意义列式,得到,由此求得值,再进行验证即可得到答案;
对的取值进行分类讨论,利用导数判断的单调性与极值,从而得到且,解之即可得到本题的答案.
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值、函数的零点及其应用等知识,考查了计算能力、逻辑推理能力,属于中档题.
21.【答案】解:由题意知,,,
则,,所以,
所以.
建造栈道的费用,
,令,得,又,所以,
当时,,当时,,
所以在上单调递减,在上单调递增,
所以,此时,
故观景台位于离岸边半圆弧中点的距离为米时,建造费用最小,最小费用为万元.
【解析】由已知可得,,进而可得;
由可得,求导可求其最小值.
本题考查根据实际问题选择函数模型,考查运算求解能力,属中档题.
22.【答案】解:因为,所以,
,,
又函数的图象在处的切线经过点,
所以,解得,
所以,函数的定义域为,又,
令,则,
所以当时,,当时,,
所以在上单调递增,在上单调递减,
所以,
所以当时,恒成立,即恒成立,
所以在,上单调递增,
即的单调递增区间为,,无单调递减区间.
因为不等式在区间上恒成立,
因为,则,
即在区间上恒成立,
所以在区间上恒成立,
又,所以,
所以在区间上恒成立,
即在区间上恒成立,
由可知,在上单调递增,
所以在区间上恒成立,即在区间上恒成立,
令,,
则,
所以在上单调递减,
所以,即区间上恒成立,
所以时,在区间上恒成立,
即对任意,关于的不等式在区间上恒成立.
【解析】首先得到,再求出导函数,即可得到切线的斜率,再由两点的斜率公式求出,再利用导数求出的单调区间;
依题意可得在区间上恒成立,即在区间上恒成立,结合中函数的单调性,得到在区间上恒成立,参变分离可得在区间上恒成立,利用导数说明,即可得解.
本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程,利用导数研究函数的单调性与最值,考查运算求解能力,属于难题.
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