2023-2024学年四川省遂宁市射洪中学高二（下）第一次质检数学试卷（4月份）（含解析）

2023-2024学年四川省遂宁市射洪中学高二（下）第一次质检数学试卷（4月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列结论不正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
2.已知函数，则等于( )
A. B. C. D.
3.设是函数的导函数，则的图象可能是( )
A. B.
C. D.
4.函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是( )
A. B.
C. D.
5.已知函数在处有极小值，则实数的值为( )
A. B. C. D. 或
6.已知函数与其导函数的图象如图，则满足的的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.已知，则( )
A. B. C. D.
8.若存在唯一的正整数，便得不等式恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列导数运算错误的有( )
A. B.
C. D.
10.已知，函数有两个极值点，，则( )
A.
B. 时，函数的图象在处的切线方程为
C. 为定值
D. 时，函数在上的值域是
11.已知为函数的导函数，当时，有恒成立，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
12.已知函数，若直线与曲线和分别相交于点，，，，且，，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知，，且，则 ______．
14.函数在其定义域内可导，其图象如图所示，记的导函数为，则不等式的解集是______．
15.若函数在区间上有单调递增区间，则实数的取值范围是______．
16.已知函数，，，，都有，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
利用导数求下列函数的单调区间．
；
，．
18.本小题分
已知函数．
求的导数；
求函数的图象在处的切线方程．
19.本小题分
已知函数．
求证：当时，曲线与直线只有一个交点；
若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围．
20.本小题分
已知函数．
若函数在处取得极值，求的值；
若函数在定义域内存在两个零点，求的取值范围．
21.本小题分
南京玄武湖号称“金陵明珠”，是我国仅存的皇家园林湖泊在玄武湖的一角有大片的荷花，每到夏季，荷花飘香，令人陶醉夏天的一个傍晚，小胡和朋友游玄武湖，发现观赏荷花只能在岸边，无法深入其中，影响观赏荷花的乐趣，于是他便有了一个愿景：若在玄武湖一个盛开荷花的一角该处岸边近似半圆形，如图所示设计一些栈道和一个观景台，观景台在半圆形的中轴线上图中与直径垂直，与，不重合，通过栈道把，，，连接起来，使人行在其中，犹如置身花海之感已知，，栈道总长度为函数．
求；
若栈道的造价为每米万元，试确定观景台的位置，使实现该愿景的建造费用最小观景台的建造费用忽略不计，并求出实现该愿景的建造费用的最小值．
22.本小题分
已知函数的图象在处的切线经过点．
求的值及函数的单调区间；
若关于的不等式在区间上恒成立，求正实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：对于，常数的导数为，正确；
在中，，根据导数的公式得，所以B错误．
对于，，C正确；
对于，，D正确
故选B．
利用导数的运算公式分别进行判断即可．
本题主要考查导数的基本运算，要求熟练掌握常见函数的导数公式，比较基础．
2.【答案】
【解析】解：，
则，
故．
故选：．
根据已知条件，结合导数的几何意义，即可求解．
本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为，所以令，得或；令，得，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
由图可知，只有选项的图象符合．
故选：．
利用导数求出原函数的单调性，选择图像即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查学生的逻辑思维能力，属中档题．
4.【答案】
【解析】解：观察图象可知，该函数在上为连续可导的增函数，且增长的越来越慢．
所以各点处的导数在上处处为正，且逐渐减小，所以故，
而，表示的连接点与点割线的斜率，根据导数的几何意义，一定可以在之间找到一点，该点处的切线与割线平行，则割线的斜率就是该点处的切线的斜率，即该点处的导数，则根据刚才的分析，必有：．
故选：．
观察图象及导数的几何意义得：，即函数在上增长得越来越慢，所以导数值为正，且绝对值越来越小，故，同时根据割线的性质，一定可以在之间找到一点其切线的斜率等于割线斜率，即其导数值等于割线的斜率，由此可得结论．
本题考查了函数的导数与函数单调性的关系，以及割线与切线间的关系，要注意数形结合来解题．
5.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
因为在处有极小值，
所以，
即，解得或，
当时，，
当或时，，当时，，
所以当时，取得极小值，符合题意；
当时，，
当或时，，当时，，
所以当时，取得极大值，不符合题意，
所以实数的值为，
故选：．
求导，根据在处有极小值，由，求得，再检验即可．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，考查了方程思想，属中档题．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的单调性与导函数的关系，属于简单题．
利用导函数的图象以及原函数的图象的关系，判断推出结果即可．
【解答】
解：如图，记两个函数分别为和，
若为导函数，则应在单调递减，明显与图象不符；
所以，，
由图象可知，则满足的的取值范围为：．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：，
设，，则，
所以在上为减函数，
所以，即，
所以，
所以．
故选：．
利用正弦函数的单调性可得，利用导数可证不等式成立，故可判断，故可得三者大小关系．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查导数在研究函数中的应用．因为存在唯一的正整数，使得不等式成立，所以只考虑的情况，则原不等式等价于，即有唯一的正整数解，本题是函数中分离参数，应用导数讨论函数的单调性，然后数形结合找条件列出参数满足的不等式；要抓住唯一的正整数解这个条件，属于较难题．
【解答】
解：存在唯一的正整数，使得不等式成立；
即有唯一的正整数解；
设
则，
在 上单调递增，在 上单调递减；
又 ，
所以要满足有唯一的正整数解；
则需要 ，
，；
实数的取值范围是
故选：．
9.【答案】
【解析】解：，，A错误，
，，B正确，
，，C错误，
，，D错误，
故选：．
根据导数的公式即可得到结论．
本题主要考查导数的基本运算，比较基础．
10.【答案】
【解析】解：对于，由题意，当时，，无极值点，
当时，，
时，，函数单调递减，无极值点，
当时，令，得，解得，
当，解得或，在，上单调递增，
当，解得，在上单调递减，
所以是的极大值点，是的极小值点，
所以当时，函数有两个极值点，故A正确；
对于，若，则，则，则，，
所以函数在处的切线方程为，即，故B正确；
对于，因为，
当时，由，得，则，
所以为定值，故C正确；
对于，当时，则，则，
令，解得或，
所以当时，，
，，
所以在上的值域是，故D错误．
故选：．
选项A：由函数的导数等于的方程有两个根可得；选项B：由导函数的几何意义得到切线的斜率，再由点斜式写出方程即可；选项C：由函数的极值点互为相反数代入计算可得；选项D：由导数求出极值，再求出区间端点的值，即可得到函数在闭区间上的值域．
本题主要考查利用导数研究函数的极值，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：令，
所以，
因为当时，有恒成立，
所以当时，，单调递减，
所以，，
所以，，
所以，，
故选：．
令，求导，结合当时，有恒成立，可得当时，的单调性，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，函数的单调性，解题中需要理清思路，属于中档题．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用导数研究函数的零点，属于较难题．
求导分析的符号，的单调性和极值，同理可得的单调性和极值，作出与的大致图象，设函数与的交点为，分两种情况：当时，当时，分析，，，之间的关系，即可得出答案．
【解答】
解：，
令得，
所以在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
所以当时，取得极大值即最大值，
，
令得，
所以在上，单调递增，
在上，单调递减，
所以当时，取得极大值即最大值，
作出与的大致图象如下：
设函数与的交点为，
当时，，且，
所以，
所以，
又，
所以，，
代入得，
所以，
由得，
所以，故AD正确；
当时，
，且，
所以，
所以，
又，
同上，可知AD正确，
故选：．
13.【答案】
【解析】解：由，求导得，则，
由，求导得，
所以．
故答案为：．
对给定函数求导，再求出在处的导数值即得．
本题主要考查了函数的求导公式的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由图象可知在区间和上单调递减，
的解集为．
故答案为：．
不等式的解集为函数的减区间．
本题考查了导数与函数单调性的关系，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：已知，函数定义域为，
可得，
因为在上有解，
即在上有解，
由对勾函数的性质可知函数在上单调递增，
所以在时取得最大值，
此时，
则实数的取值范围为．
故答案为：．
由题意，将问题转化成在上有解，分离参数后求函数最值即可得解．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
16.【答案】
【解析】解：，，，
不妨设，，
，
，即，
，令，
当时，，即在上单调递增，
在上恒成立，即在上恒成立，
当时，，，
又时，，
则，
，
，即的取值范围为．
故答案为：．
不妨设，，则，构造函数，可得在上单调递增，即在上恒成立，即在上恒成立，求出的最大值，即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运输能力，属于中档题．
17.【答案】解：由在定义域上恒成立，
故的递增区间为，无递减区间；
由在上恒成立，
故的递减区间为，无递增区间．
【解析】对函数求导，根据定义域或区间内导数的符号判断单调区间即可．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于基础题．
18.【答案】解：因为函数，
所以；
因为，
所以函数在处的切线方程为，即．
【解析】利用基本初等函数的导数公式及求导法则直接计算即得；
求出和切点，再利用导数的几何意义求出切线方程．
本题考查导数的运算和曲线在某点处的切线方程，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
19.【答案】解：当时，函数，求导得：，
令，得；令，得；
则函数在上递增，在上递减，
故，
所以曲线与直线只有一个交点．
函数的定义域为，
求导得，
设，
令，解得，．
因为既存在极大值，又存在极小值，即在有两个变号零点，
则，解得且，
综上所述：的取值范围为．
【解析】当时，对求导，分析函数单调性，确定图象，可证明曲线与直线只有一个交点．
将既存在极大值，又存在极小值，转换为有两个变号零点问题，讨论零点位置可得实数的取值范围．
本题主要考查利用导数研究函数的极值，属于中档题．
20.【答案】解：因为，则，
因为函数在处取得极值，所以，解得，
当时，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
综上所述，当时，函数取得极大值，符合题意，故．
由，其中，
当时，可得，单调递增，此时函数至多有一个零点，不符合题意；
当时，令，解得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减．
因此，当时，取得极大值，也是最大值，最大值为，
又因为，且当时，，
所以要使函数有两个零点，必须满足，即，解得．
综上所述，，即实数的取值范围是．
【解析】根据题意，利用函数极值点的意义列式，得到，由此求得值，再进行验证即可得到答案；
对的取值进行分类讨论，利用导数判断的单调性与极值，从而得到且，解之即可得到本题的答案．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值、函数的零点及其应用等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．
21.【答案】解：由题意知，，，
则，，所以，
所以．
建造栈道的费用，
，令，得，又，所以，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，此时，
故观景台位于离岸边半圆弧中点的距离为米时，建造费用最小，最小费用为万元．
【解析】由已知可得，，进而可得；
由可得，求导可求其最小值．
本题考查根据实际问题选择函数模型，考查运算求解能力，属中档题．
22.【答案】解：因为，所以，
，，
又函数的图象在处的切线经过点，
所以，解得，
所以，函数的定义域为，又，
令，则，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以当时，恒成立，即恒成立，
所以在，上单调递增，
即的单调递增区间为，，无单调递减区间．
因为不等式在区间上恒成立，
因为，则，
即在区间上恒成立，
所以在区间上恒成立，
又，所以，
所以在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
由可知，在上单调递增，
所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立，
令，，
则，
所以在上单调递减，
所以，即区间上恒成立，
所以时，在区间上恒成立，
即对任意，关于的不等式在区间上恒成立．
【解析】首先得到，再求出导函数，即可得到切线的斜率，再由两点的斜率公式求出，再利用导数求出的单调区间；
依题意可得在区间上恒成立，即在区间上恒成立，结合中函数的单调性，得到在区间上恒成立，参变分离可得在区间上恒成立，利用导数说明，即可得解．
本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于难题．
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