2023-2024学年北京市育才学校高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2023-2024学年北京市育才学校高一（下）月考数学试卷（3月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的值等于( )
A. B. C. D.
2.若，且，则是( )
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
3.下列函数中，既是偶函数又是周期为的函数为( )
A. B. C. D.
4.要得到函数的图象，只需要将函数的图象( )
A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位
5.“”是“函数过坐标原点”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称若，则( )
A. B. C. D.
7.若函数在上单调递增，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数则下列结论正确的是( )
A. ， B. 函数在上单调递增
C. 函数的一条对称轴方程是 D. ，
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
9.设向量，的长度分别为和，夹角为，则的值为______．
10.扇形的半径为，圆心角为，则圆心角的弧度数为______；扇形的弧长为______．
11.已知角的终边过点，则的值为______．
12.已知函数的部分图象如图所示，则 ； ．
13.已知命题：若，为第一象限角，且，则能说明命题为假命题的一组，的值可以是 ______， ______．
14.已知为常数，，关于的方程有以下四个结论：
当时，方程有个实数根；
存在实数，使得方程有个实数根；
使得方程有实数根的的取值范围是；
如果方程共有个实数根，记的取值集合为，那么，．
其中，所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共5小题，共44分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，求，及的值．
16.本小题分
已知函数．
求的值；
求函数的单调递减区间．
17.本小题分
已知函数．
Ⅰ求函数的对称轴方程；
Ⅱ求函数在上的最大值和最小值以及相应的的值．
18.本小题分
已知函数，的部分图像如图所示．
求函数的最小正周期和单调递增区间；
设点是图象上的最高点，点是图象与轴的交点，轴于，
求；
直接写出的值．
19.本小题分
已知函数，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为，再从条件、条件、条件中选择两个作为一组已知条件．
求函数的最小正周期；
求函数的解析式；
若图象的对称轴只有一条落在区间上，求的取值范围．
条件：的最小值为；
条件：图象的一个对称中心为；
条件：的图象经过点．
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
故选：．
原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2.【答案】
【解析】解：根据题意，对于有，，且，
由四个象限三角函数的符号，可得是第四象限角，
故选：．
根据题意，对于有，，且，由四个象限三角函数的符号，可得所在的象限，即可得答案．
本题考查三角函数的符号，记忆口诀为一全正，二正弦，三正切，四余弦．
3.【答案】
【解析】解：对于，函数为奇函数，周期为，故A错误；
对于，函数为偶函数，周期为，故B错误；
对于，函数为奇函数，周期为，故C错误；
对于，函数为偶函数，周期为，故D正确．
故选：．
根据三角函数的奇偶性和周期公式，逐个判断各个选项即可．
本题主要考查了三角函数的奇偶性和周期性，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：要得到函数的图象，只需要将函数的图象向右平移个单位，
即：
故选：．
直接利用三角函数关系式的平移变换的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的平移变换的应用，主要考察学生对函数图象的变换能力，属于基础题型．
5.【答案】
【解析】解：若，则函数，，可知函数图象必定经过坐标原点，
可知“”是“函数过坐标原点”的充分条件；
若函数的图象过坐标原点，将代入，可得，，，
可知“”不是“函数过坐标原点的”必要条件．
综上所述，“”是“函数过坐标原点的充分而不必要条件．
故选：．
根据正弦函数的图象与性质，对两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答案．
本题主要考查正弦函数的图象与性质、充要条件的判断等知识，考查逻辑推理能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由条件可知，，，
所以．
故选：．
根据角，的关系，再结合诱导公式，即可求解．
本题考查了诱导公式，属基础题．
7.【答案】
【解析】【分析】
由函数直接可得单调递增区间，进而可得参数取值范围．
本题主要考查正弦函数的单调性，考查了函数思想，属于基础题．
【解答】
解：由，可得当，时函数单调递增，
即，，
当时，，
又函数在上单调递增，
所以，即的最大值为．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：作出函数的图象，
当时，满足，则，
此时，不成立，故A项错误；
函数在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数，故B项错误；
由图可知，不是函数的一条对称轴方程，故C项错误；
由图可知函数是奇函数，即对，，故D正确．
故选：．
作出函数的图象，再对选项一一判断即可得出答案．
本题考查了一次函数、正弦函数的性质，考查了数形结合思想，作出图象是关键，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：由已知及向量数量积的定义可知，
．
故答案为：．
根据向量数量积的定义，即可求解．
本题考查平面向量数量积定义，属基础题．
10.【答案】
【解析】解：，所以圆心角的弧度数为；扇形的弧长．
故答案为：；．
根据弧度数公式，以及扇形弧长公式，即可求解．
本题主要考查扇形弧长公式，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：角的终边过点，，
利用三角函数的定义，求得，，
所以．
故答案为：．
根据角的终边过点，利用任意角的三角函数的定义，求出，的值，然后求出的值
本题考查三角函数的定义，考查计算能力，掌握三角函数的定义，是本题顺利解答的前提．是基础题．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由周期求出，由五点法作图求出的值，属于基础题．
由周期求出，由五点法作图求出的值，可得结论．
【解答】
解：根据函数的部分图象，
可得，．
再根据五点法作图可得，，
故答案为：；．
13.【答案】答案不唯一 答案不唯一
【解析】解：取，，
则，但，不满足，
命题为假命题，
能说明命题为假命题的一组，的值可以是，．
故答案为：答案不唯一；答案不唯一．
根据题意，举反例，即可得解．
本题考查命题的真假判断，属基础题．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的知识要点：同名三角函数的转化，三角函数与一元二次方程的联系，参数和方程的根的关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题，易错题．
利用同名三角函数将题上方程转化为关于且含有参数的一元二次方程进行求解．
【解答】
解：由于关于的方程且，
化简为，
令，
则，，，且．
对于：当时，，，又，故有个值，故正确．
对于：当时，若，就有两个解，又，可能对应有四个解，故正确．
对于：令，，则要有实数根即：、且；即、、，即，故错．
对于：当时，无实数根；当，可能有一个解，可能有个或个值；当时，可能有两个不同的值，则可能有个或个或个值，故对．
故答案为：．
15.【答案】解：因为，，，
则．
由商数关系可得：，
由诱导公式可得：，
所以，，．
【解析】由题意，根据平方关系可以求出，由商数关系可以求出，由诱导公式可以求出的值．
本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．
16.【答案】解：因为，
所以；
由，
令，，解得，，
所以函数的单调递减区间为，．
【解析】直接代入计算可得；
根据余弦函数的性质计算可得．
本题考查余弦函数的单调性，考查运算求解能力，属于基础题．
17.【答案】解：Ⅰ令，
则，
函数的对称轴方程为；
Ⅱ，
当，即时，函数取得最小值；
当，即时，函数取得最大值．
【解析】Ⅰ令，可求得函数的对称轴方程；
Ⅱ利用正弦函数的性质可求得函数在上的最大值和最小值以及相应的的值．
本题考查三角函数的最值的求法，掌握正弦函数的性质是解决问题的关键，属于基础题．
18.【答案】解：因为，
所以的最小正周期为，
单调递增区间满足：，
解得，
故单调递增区间为；
，两点横坐标的差为，
又的最大值为，
故．
，
设，
则，，
所以，
所以．
【解析】根据公式得到周期，单调增区间满足，解得答案．
，两点横坐标的差为，的最大值为，得到正切值．
设，，得到．
本题考查了平面向量数量积的定义和运算律，重点考查了三角函数的性质，属中档题．
19.【答案】解：因为图象的相邻两条对称轴之间的距离为，
所以，所以．
函数的最小正周期．
由于函数图象上两相邻对称轴之间的距离为，
所以的最小正周期，此时．
选条件；因为，所以．
因为图象的一个对称中心为，所以，
因为，所以，此时，所以；
选条件：因为，所以．
因为函数的图象过点，则，即，，
因为，即，，
所以，解得．
所以；
选条件：因为函数的一个对称中心为，
所以，所以．
因为，所以，此时，所以．
因为函数的图象过点，所以，即，，即，所以．
所以；
因为，所以，
因为图象的对称轴只有一条落在区间上，所以，得，
所以的取值范围为．
【解析】图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以，求出函数的最小正周期．
根据最小正周期确定的值，选择，求出的值，由条件可得出关于的等式结合的取值范围，可求得的值，由此可求得函数的解析式；
选择，求出的值，由已知条件可得出，求出的取值范围，可求得的值，由此可求得函数的解析式；
选择，由条件可得出关于的等式结合的取值范围，可求得的值，将点的坐标代入函数的解析式，求出的值，可得出函数的解析式；
由可求得的取值范围，结合题意可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围．
本题考查三角函数图象与性质，考查转化与化归思想、整体思想及运算求解能力，属于中档题．
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