2023-2024学年福建省三明市四校联考高一（下）联考数学试卷（含解析）

2023-2024学年福建省三明市四校联考高一（下）联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知，，向量与的夹角为，若与垂直，则的值为( )
A. B. C. D.
3.的内角，，的对边分别为，，若的面积为，则( )
A. B. C. D.
4.在梯形中，已知，，点在线段上，且，则( )
A.
B.
C.
D.
5.某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为 如图，则旗杆的高度为( )
A. B. C. D.
6.在等腰三角形中，，，若为边上的动点，则( )
A. B. C. D.
7.已知平面向量与的夹角为，若恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.某中学开展结合学科知识的动手能力大赛，参赛学生甲需要加工一个外轮廓为三角形的模具，原材料为如图所示的是边上一点，，要求分别把，的内切圆，裁去，则裁去的圆，的面积之和为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知为虚数单位，则以下四个说法中正确的是( )
A. B. 复数的虚部为
C. 若复数为纯虚数，则 D.
10.已知，，分别是三个内角，，的对边，则下列命题中错误的是( )
A. 若是锐角三角形，则
B. 若是边长为的正三角形，则
C. 若，，，则有一解
D. 若，则是等腰直角三角形
11.“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆的半径，点是圆内的定点，且，弦，均过点，则下列说法正确的是( )
A. 为定值
B. 当时，为定值
C. 当时，面积的最大值为
D. 的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，若与反向共线，则的值为______．
13.已知平面向量，则向量在向量上的投影向量是______．
14.在锐角三角形中，内角，，所对的边，，满足，若存在最大值，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数，，，为虚数单位．
Ⅰ若是纯虚数，求实数的值；
Ⅱ若，求的值．
16.本小题分
在中，内角，，所对的边分别是，，，已知．
求角；
设边的中点为，若，且的面积为，求的长．
17.本小题分
年湖南省油菜花节，益阳市南县罗文村湖南省首个涂鸦艺术村通过层层遴选，最终在全省个申办村庄中脱颖而出，取得了此次活动的会场承办权，主办方为了让油菜花种植区与观赏路线布局最优化、合理，设计者们首先规划了一个平面图如图．
已知：，，，四点共圆，，，，，其中，不计宽度是观赏路线，与是油菜花区域．
求观赏路线的长度；
因为场地原因，只能使，求区域面积的最大值．
18.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，，，且．
求角的值；
若为锐角三角形，且，求的取值范围．
19.本小题分
定义非零向量的相伴函数为，向量称为函数的“相伴向量”其中为坐标原点
求的相伴向量；
求中函数的“相伴向量”模的取值范围；
已知点，其中，为锐角中角，的对边若角为，且向量的“相伴函数”在处取得最大值求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为，
所以在复平面内对应的点位于第四象限．
故选：．
根据复数的运算求出，再由此求出共轭复数，即可得解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：根据题意，，，向量与的夹角为，则，
若与垂直，则有，
解可得，
故选：．
根据题意，求出的值，由向量垂直与数量积的关系可得，解可得的值，即可得答案．
本题考查向量数量积的计算，涉及向量的夹角，属于基础题．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用余弦定理解三角形、三角形面积公式等知识，考查学生运算能力，是基础题．
由，得，由此能求出结果．
【解答】
的内角，，的对边分别为，，，的面积为，
，
，
，．
故选C．
4.【答案】
【解析】解：
故选：．
可以通过向量加法和减法化简，并用和表示，找出它们之间的等量关系即可．
本题主要考察了向量的线性运算，属于常考易错点，对学生的思维能力要求相对较高，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：如图，
依题意知，，
，
由正弦定理知，
，
在中，
即旗杆的高度为．
故选：．
作图，分别求得，和，然后利用正弦定理求得，最后在直角三角形中求得．
本题主要考查了解三角形的实际应用．结合了正弦定理等基础知识，考查了学生分析和推理的能力．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了平面向量的线性运算及数量积的综合应用，属于中档题．
作图，并取边上的中点，从而利用向量的线性运算及数量积求解．
【解答】
解：如图，设是边上的中点，
在等腰三角形中，，，
，且，
，
，
故选：．
7.【答案】
【解析】解：设，，如图平行四边形，
，，
恒成立，
恒成立，
在中，，
，，
恒成立，
，
．
故选：．
由题画出满足题意的图形，再通过正弦定理将的最值问题转化为三角函数的最值问题，求解即可．
本题考查平面向量的应用及正弦定理和三角函数的值域等，还考查了转化思想，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：在，设，
则，，
所以，
在中，，由正弦定理得，
即，即，
化简得或，因为，所以负值舍去，，
故为等边三角形，为等腰三角形，，
在中，设圆的半径为，根据等面积有，
即，化简得，
在中，设圆的半径为，根据等面积有，
即，化简得，
所以圆，的面积之和为．
故选：．
设，根据已知条件在中利用正弦定理及三角公式求出，分别在，内用等面积法求出内切圆半径即可得解．
本题主要考查了正弦定理，和差角公式，三角形面积公式的综合应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：因为，A正确；
复数的虚部为，不正确；
若，则，，不正确；
设，，所以，
，D正确．
故选：．
根据复数的运算可得，，的正误，根据复数虚部的概念可知的正误．
本题主要考查了复数的概念及性质，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于：若是锐角三角形，则，即，
由于，所以，故A正确；
对于：，故B错误；
对于：若，，，
由正弦定理得，，即，故，
因为，所以，故C为锐角或钝角，有两解，故C错误；
对于：若，则，
即，因为，，所以或，
即或，所以为等腰三角形或直角三角形，D错误．
故选：．
借助余弦函数的单调性和诱导公式可判定选项A；由数量积的定义计算可判定选项B；由正弦定理及三角形大边对大角可判断选项C；利用正弦定理边化角，利用二倍角化简可判断．
本题考查三角形中的几何计算，考查向量的数量积的应用，是中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于，如图，过，作直径，
则为定值，
A正确；
对于，若，
则，
则，
又，
则，
同理可得，
故，
B正确；
对于，如图，当时，
若为等边三角形，
则，
下面说明此等边三角形存在的情况：取中点，连接，
则在中，，
则，
又在中，，
则，
所以存在满足题意的点，
C错误；
若为中点，连接，
则，
由题意，
则，
D正确．
故选：．
过，作直径，利用向量加减几何意义得判断；根据垂直关系及、数量积得运算律化简判断；若为等边三角形，可判断；若为中点，连接，应用向量线性运算的几何意义及数量积的运算律、圆的性质得，进而求范围判断．
本题的关键是根据定义及向量线性运算的几何意义，结合数量积的运算律转化各项数量积或乘积关系，再由圆的性质、基本不等式判断各项正误，属中档题．
12.【答案】
【解析】解：向量，，与反向共线，
，
，解得，
，
，
，，
，
．
故答案为：．
根据已知条件，结合向量共线的性质，求出，再结合向量模公式，即可求解．
本题主要考查向量模公式，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：向量，则，．
所以向量在向量上的投影向量为．
故答案为：．
根据向量在向量上的投影向量公式计算即得．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由余弦定理可得，则，
由正弦定理可得，
因为为锐角三角形，则，所以，
又因为函数在内单调递增，所以，可得，
由于为锐角三角形，则，即，解得，
则，
因为，所以，则，
因为存在最大值，则，解得，即实数的取值范围是．
故答案为：．
先利用余弦定理结合可得，再利用正弦定理化边为角，再结合三角形内角和定理，求出，的关系，从而可将，都用表示，再根据三角形为锐角三角形求出的范围，再根据二倍角的余弦公式结合二次函数的性质即可得解．
本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
15.【答案】解：，，
，
是纯虚数，
，解得．
，
，解得，
，，
．
【解析】结合复数的四则运算，以及纯虚数的定义，即可求解．
结合实数的定义，以及复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及纯虚数和实数的定义，属于基础题．
16.【答案】解：在中，因为，
因为，所以，
整理可得：，
在中，由余弦定理得：，
可得，
又因为，
所以；
因为，，
解得，
由，而，
即，所以，
又因为边的中点为，
所以，
所以．
【解析】根据正弦定理和题中所给式子化简计算得到，再结合余弦定理即可求出角；
根据三角形面积公式得到和，再结合中线向量公式计算即可．
本题考查正弦定理，余弦定理的应用，属于中档题．
17.【答案】解：，，，四点共圆，，
，
，
；
在中，由正弦定理得：，
，，，
；
在中，由余弦定理知：，
即，解得：或舍，
．
在中，，；
在中，由余弦定理得：，
当且仅当时取等号，
，
，
即区域面积的最大值为．
【解析】在中，利用正弦定理可求得；在中，利用余弦定理可求得，由此可得结果；
在中，利用余弦定理和基本不等式可求得的最大值，代入三角形面积公式即可求得结果．
本题主要考查函数的实际应用，考查转化能力，属于中档题．
18.【答案】解：因为，，且，
所以，
利用正弦定理化简得：即，
由余弦定理可得，
又因为，所以；
由得，即，
又因为三角形为锐角三角形，所以解得：，
因为，由正弦定理得：，
所以，，
所以，
因为，所以，
所以，则的取值范围为．
【解析】利用等价于，化简后利用余弦定理即可求出角的值；
利用正弦定理用角表示出，根据角的取值范围，即可求出的取值范围．
本题考查向量的运算，考查向量垂直的性质、正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
19.【答案】解：，
函数的相伴向量，
，
，，
的取值范围为；
的相伴函数，
其中，，在处取得最大值，
所以，，即，，
，，
因为，
又因为，所以，
所以，所以，令，，，
又在 上单调递增，所以，
所以．
【解析】结合定义，将原函数化为型即可得；
借助三角恒等变换与正弦函数的值域计算即可得；
借助辅助角公式，可得，结合正弦定理可得与正切函数性质可得的范围，即可得的范围．
本题以新定义为载体，主要考查了三角函数性质的综合应用，属于中档题．
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