2023-2024学年广东省东莞第二高级中学高一（下）月考数学试卷（4月份）（含解析）

2023-2024学年广东省东莞第二高级中学高一（下）月考数学试卷（4月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则( )
A. B. C. D.
2.已知单位向量，满足，则( )
A. B. C. D.
3.如图，在太极图中，，分别为太极图中的最低点和最高点，经过大圆和小圆的圆心，且两个小圆的圆心是线段的两个四等分点异于中点，过作黑色小圆的切线，切点为，则向量在向量上的投影向量为( )
A.
B.
C.
D.
4.已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，用基底表示，则( )
A. B. C. D.
5.设的内角，，所对的边分别为，，，若，则的形状为( )
A. 锐角三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形
6.在中，，，分别为内角，，的对边，且，若，，则的外接圆直径为( )
A. B. C. D.
7.如图，已知与有一个公共顶点，且与的交点平分，若，，则的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
8.在扇形中，，，是中点，点在弧上，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则的值为
B. 若，则的值为
C. 若，则与的夹角为锐角
D. 若，则
10.在中，，，若解此三角形仅有一解，则边长度的可能取值为( )
A. B. C. D.
11.已知的外心是，其外接圆半径为，设，则下列正确的是( )
A. 若，，则为直角三角形
B. 若，则为正三角形
C. 若，，则
D. 若，，则为顶角为的等腰三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设为虚数单位，则 ， ．
13.易线性表示设，是两个不共线的非零向量，若向量与的方向相反，则 ______．
14.神舟十三号三位航天英雄在太空出差余天后，顺利返回地面．如图，返回舱达到一定高度时，近似垂直落地，在下落过程中的某时刻位于点，预计垂直落在地面点处，在地面同一水平线上的、两个观测点，分别观测到点的仰角为，，若千米，则点距离地面的高度约为______千米参考数据：
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数，是实数，是虚数单位．
求复数；
若复数所表示的点在第一象限，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知向量，的夹角为，且．
若，求的坐标；
若，求的值．
17.本小题分
在三角形中，内角，，的对边分别为，，，已知．
求；
若，求边上的高的最大值．
18.本小题分
如图所示，为了测量河对岸地面上，两点间的距离，某人在河岸边上选取了，两点，使得，且米现测得，，，其中，求：
的值；
，两点间的距离精确到米参考数据
19.本小题分
阅读材料：
材料一：我国南宋的数学家秦九韶在数书九章中提出了“三斜求积术”：若把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，记小斜为，中斜为，大斜为，则三角形的面积为这个公式称之为秦九韶公式．
材料二：古希腊数学家海伦在其所著的度量论或称测地术；中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，即已知三角形的三条边长分别为，，，则它的面积为，其中，这个公式称之为海伦公式．
材料三：秦九韶公式和海伦公式都解决了由三角形的三边直接求三角形面积的问题海伦公式形式优美，容易记忆，体现了数学的对称美秦九韶公式虽然与海伦公式形式不一样，但与海伦公式完全等价，且由秦九韶在不借助余弦定理的情况下独立推出，充分说明了我国古代学者具有很高的数学水平．
材料四：印度数学家婆罗摩笈多将海伦公式推广到凸四边形凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧中，即设凸四边形的四条边长分别为，，，，，凸四边形的一对对角和的半为，则凸四边形的面积为这个公式称之为婆罗摩笈多公式．
请你结合阅读材料解答下面的问题：
在下面两个问题中选择一个作答：如果多做，按所做的第一个问题给分
证明秦九韶公式与海伦公式的等价性；
已知圆内接四边形中，，，，，求的面积：
中，，，的对边分别为，，，已知的面积为，其内切圆半径为，，，求，．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
则，
故．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为单位向量，满足，则．
故选：．
直接把已知代入数量积求解即可．
本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．
3.【答案】
【解析】解：如图，记下方小圆圆心为，由题意，
有，由与圆相切，可得，
故在上的投影向量为，
所以向量在向量上的投影向量为．
故选：．
根据投影向量的概念以及图形关系直接求解即可．
本题考查投影向量概念，切线的性质，属基础题．
4.【答案】
【解析】解：建立如图直角坐标系，则，，，
设，
则，
得，，
故，
故选：．
建立如图直角坐标系，则，，，设，联立解方程组，求出，得出结论．
考查向量的混合运算，向量的坐标运算，中档题．
5.【答案】
【解析】解：若，
则，
所以，
因为，
所以，即，
所以的形状为直角三角形．
故选：．
由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求，进而可求．
本题主要考查了正弦定理，和差角公式在求解三角形中的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由得
，
即：，可得．
又因为，可得．
又已知，，
由余弦定理得
，
解得．
则外接圆直径．
故选：．
由余弦定理与三角形面积公式，利用条件可解出角，再由，，利用余弦定理可求，由可得外接圆直径．
本题主要考查余弦定理的应用，考查转化能力，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：因为为的中点，且，，
所以，
因为，，三点共线，
所以，
由图可知，，，
所以，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为．
故选：．
由平面向量的线性运算计算可得，再由基本不等式即可求得．
本题考查平面向量的线性运算和基本不等式的应用，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，
则，，设，，
于是，
所以
，其中锐角满足，
因此当，即时，．
所以的最小值为．
故选：．
根据给定条件，建立平面直角坐标系，再借助平面向量数量积的坐标表示，结合正弦函数性质求解作答．
本题考查了向量的数量积计算，考查了向量的数量积坐标表示，考查了数形结合思想，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于：若，则，解得，故A正确；
对于：若，则，解得，故B正确；
对于：当时，与同向，此时与的夹角为，故C错误；
对于：若，则，即，即，解得，
当时，，，，，显然，
当时，，，，，此时，故D错误．
故选：．
根据向量的数量积、向量的模的坐标表示及向量共线的坐标表示一一判断即可．
本题考查平面向量平行，垂直，数量积的坐标表示，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：中，，，
由正弦定理得，即，
所以，
当，即时，，此时三角形唯一，
当，即时，需满足时三角形唯一，
从而有，
所以，
综上，或．
故选：．
由已知结合正弦定理及三角形的大边对大角即可直接求解．
本题主要考查了正弦定理及三角形的大边对大角在求解三角形中的应用，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于、若，，则，是的中点，
又是的外心，为直角三角形，故A正确；
对于、若，则，
是的重心，又是的外心，为等边三角形，故B正确；
对于、若，，则，
，得，
则
，故C错误；
对于、若，，则，
取的中点，则，是中线上一点，
又是的外心，，从而是等腰三角形．
将两边平方得，．
，且，
式可化为，，
，即为顶角为的等腰三角形，故D正确．
综上，论述正确的是．
故选：．
对于，利用平面向量的知识得出的位置，结合三角形的性质判断；对于，需要利用向量数量积的公式求出数量积或者夹角判断．
本题主要考查向量数量积运算，考查运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查复数代数形式的混合运算，的幂的运算，是基础题．
利用复数的四则运算，共轭复数的概念，复数的幂的运算逐一化简即可．
【解答】
解：，则；
，
故答案为：；．
13.【答案】
【解析】解：向量与的方向相反，可得，
，，得，
．
故答案为：
向量与的方向相反，直接列出关系式，根据向量相等，求出的值．
本题考查相等向量与相反向量，考查计算能力，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：设，则，
所以，
又，
则，即千米．
故答案为：．
由题设，可得，由差角正切公式求，进而求出高度．
本题考查解三角形，考查学生的运算能力，属于中档题．
15.【答案】解：因为，
所以
又因为是实数，所以，
所以，即．
因为，，
所以，
又因为复数所表示的点在第一象限，
所以解得，
即．
【解析】本题考查了复数的运算法则、复数的性质、复数为实数的充要条件、复数的几何意义，考查了推理能力与计算能力，，代入，再利用复数为实数的充要条件即可得出．
由，，可得，利用复数的几何意义即可得出．
16.【答案】解：根据题意，设，则，
，则，
又由向量，的夹角为，
则，即，则有，
，
故；
根据题意，若，则有，
变形可得，
则，故．
【解析】根据题意，设，由数量积的计算公式可得，变形可得的值，进而由求出的值，即可得答案；
根据题意，由数量积的计算公式可得，变形可得，进而由向量模的计算公式计算可得答案．
本题考查向量数量积的性质以及应用，涉及向量的坐标计算以及向量模的求法，属于基础题．
17.【答案】解：根据正弦定理可得：，
又，
，
；
，
，当且仅为时取等号，
，
，
，
，
的最大值为．
【解析】由已知结合余弦定理可求，进而可求；
由已知结合余弦定理及基本不等式可求的范围，然后结合三角形面积公式可求．
本题主要考查了余弦定理，基本不等式及三角形面积公式的应用，属于中档题．
18.【答案】解：为锐角，
，锐角，分
分
在中，由得分
分
由，，得分
中，由，
得米，
答：、两点间距离约为米．
【解析】由，得，知可求，知，用同角三角函数的基本关系，可求，．
在中，用正弦定理求出，在中求出，再利用正弦定理求．
本题考查解三角形的实际应用，用到两角和的正弦公式，正弦定理等知识，正弦定理在解三角形时，用于下面两种情况：一是知两边一对角，二是知两角和一边．
19.【答案】解：若选择：证明：
由秦九韶公式证明海伦公式：
设，
所以
，
上述每一步均为等价变形，所以秦九韶公式与海伦公式是等价的．
若选择：
因为，且，，，，
所以，
所以，
因为四边形是圆内接四边形，对角和为，
所以，代入可得．
设内切圆半径为，因为，
代入，，，可得，，
又，
由海伦公式，
可得，
整理可得，
代入可得，，
联立，，
又因为，
可得，．
【解析】若选择：设，由秦九韶公式即可证明海伦公式，由每一步均为等价变形，可得秦九韶公式与海伦公式是等价的．
若选择：由题意可求得，可得，由四边形是圆内接四边形，对角和为，可得，进而可求的值．
设内切圆半径为，由，可求得，由海伦公式可得，联立方程，又，即可解得，的值．
本题考查了秦九韶公式，海伦公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
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