2023-2024学年江西省抚州市金溪一中高一（下）第一次月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年江西省抚州市金溪一中高一（下）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.等于( )
A. B. C. D.
3.将函数的图象向左平移个单位长度得到曲线，然后再使曲线上各点的横坐标变为原来的得到曲线，最后再把曲线上各点的纵坐标变为原来的倍得到曲线，则曲线对应的函数是( )
A. B.
C. D.
4.下列函数是偶函数且在区间上为减函数的是( )
A. B. C. D.
5.已知，则等于( )
A. B. C. D.
6.已知非零向量，满足，且，则与的夹角为
( )
A. B. C. D.
7.已知函数满足，则( )
A. B. C. D.
8.设函数的最小正周期为，且在内恰有个零点，则的取值范围是
( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则下列选项正确的是( )
A. 函数的最小正周期为
B. 点是函数图象的一个对称中心
C. 将函数图象向左平移个单位长度，所得到的函数为偶函数
D. 函数在区间上单调递增
10.如图，在四边形中，，点满足，是的中点设，，则下列等式正确的是( )
A. B.
C. D.
11.设函数，集合，则下列命题正确的是( )
A. 当时，
B. 当时，
C. 若，则的取值范围为
D. 若其中，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设，则______．
13.将函数的图象向左平移个单位长度后，所得函数在内不是单调函数，则的取值范围是______．
14.将函数图像与直线的所有交点从左到右依次记为，，，若点坐标为，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在平面直角坐标系中，、是位于不同象限的任意角，它们的终边交单位圆圆心在坐标原点于、两点已知点，将绕原点顺时针旋转到，
求点的坐标；
求的值．
16.本小题分
学校为了鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分与当天锻炼时间单位：分钟，的函数关系式，要求如下：
函数的图象接近图示；
每天锻炼时间为分钟时，当天得分为分；
每天锻炼时间为分钟时，当天得分为分；
每天得分最多不超过分．
现有以下三个函数模型供选择：
；
；
．
请根据函数图像性质，结合题设条件，从中选择一个最合适的函数模型并求出解析式；
若学校要求每天的得分不少于分，求每天至少锻炼多少分钟？
参考值：
17.本小题分
函数的部分图像如图所示，
求函数的解析式和单调递增区间；
将函数的图像上的各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍，得到函数的图像，若时，的图像与直线恰有三个公共点，记三个公共点的横坐标分别为，，，且，求的值．
18.本小题分
已知函数与，其中是偶函数．
Ⅰ求实数的值；
Ⅱ求函数的定义域；
Ⅲ若函数只有一个零点，求实数的取值范围．
19.本小题分
如图，在海岸线一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段，该曲线段是函数，的图像，图像的最高点为边界的中间部分为长千米的直线段，且游乐场的后一部分边界是以为圆心的一段圆弧．
求曲线段的函数表达式；
曲线段上的入口距海岸线最近距离为千米，现准备从入口修一条笔直的景观路到，求景观路长；
如图，在扇形区域内建一个平行四边形休闲区，平行四边形的一边在海岸线上，一边在半径上，另外一个顶点在圆弧上，且，用表示平行四边形休闲区面积，并求的面积值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识，属于简单题．
利用三角函数的诱导公式，将角的三角函数化成锐角三角函数求值．
【解答】
解：．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：根据平面向量的加法运算，得；
．
故选：．
根据平面向量的加法运算法则，进行化简即可．
本题考查了平面向量的加法运算法则问题，解题时应利用平面向量的加法运算法则进行化简，是容易题．
3.【答案】
【解析】解：将函数的图象向左平移个单位长度得到曲线：，
然后再使曲线上各点的横坐标变为原来的得到曲线：，
最后再把曲线上各点的纵坐标变为原来的倍得到曲线，
则曲线对应的函数是
故选：．
利用函数的图象变换规律，可得结论．
本题主要考查三角函数的图象变换规律，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：对于，是奇函数，不符合题意；
对于，是奇函数，不符合题意；
对于，是偶函数，且函数在上是减函数，符合题意；
对于，是二次函数，是偶函数，且上是增函数，不符合题意．
故选：．
判断各个选项的单调性及奇偶性即可得出正确选项．
本题考查的知识点是函数的性质，熟练掌握各种基本初等函数的性质是解答的关键．
5.【答案】
【解析】解：．
故选：．
通过，利用诱导公式变形计算．
本题主要考查了诱导公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查平面向量的数量积运算，关键是向量垂直的条件．属于基础题．
可先由向量垂直得到数量积等于零，再结合夹角计算公式求解即可．
【解答】
解：设向量与的夹角为，则由，
得，
所以，
因为，
所以，
故选B．
7.【答案】
【解析】解：由可知函数关于对称，
根据正弦函数对称轴处取得函数的最值可知，，，
故，．
故选：．
由可知函数关于对称，根据正弦函数对称轴处取得函数的最值可求，然后代入即可求解．
本题主要考查了正弦函数的对称性的简单应用，属于基础试题．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查由周期求出，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
由题意利用周期求出，可得函数的解析式，结合题意可得 在内恰有个解，根据正弦函数的图象和性质，求得的范围．
【解答】
解：函数 的最小正周期为，，
在内恰有个零点，即 在内恰有个解．
又，的最大值为，
则 且 ，或者且．
由解得，由解得，
综上可得．
故本题选D．
9.【答案】
【解析】解：对于项，函数的最小正周期为，故A项正确；
对于项，当时，，而，故点是函数图象的一个对称中心，即项正确；
对于项，函数图象向左平移个单位长度，得到，
由不恒为零，故该函数不是偶函数，即项错误；
对于项，当时，，函数在区间上没有单调性，故D项错误．
故选：．
利用余弦型函数的周期公式即得项，运用代入检验法将看成整体角，结合余弦函数图象对称性易得项，运用平移变换得到函数后，利用偶函数定义即可判断项，将看成整体角，结合余弦函数图象单调性即可判断项．
本题主要考查了余弦型函数的性质以及函数的图象变换，考查了函数思想，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：由已知：
选项A，，故A错误；
选项B，，故B正确；
选项C，，故C正确；
选项D，，故D错误．
故选：．
根据题设条件，结合向量的线性运算即可判定各选项．
本题考查平面向量的线性运算，属基础题．
11.【答案】
【解析】解：令，则方程，即，
对于，当时，方程的两个根为，，
则或，
解得或或，
所以，
故选项A正确；
对于，当时，方程的判别式，
故方程无解，
所以，
故选项B正确；
对于，若方程有两个相等的实数根，设为，
结合图象可知，仅有一解，不符合；
若，则方程有两个不相等的实数根，设其为，且，
则，
从而，不可能均为正数，且恒有，
若有三个元素，则还需或，
令，
则，解得或，
故选项C错误；
对于，若，即方程的两个根且且，，
所以，，
故，
又，
所以，
则，
故选项D正确．
故选：．
令，则方程转化为，求出方程的两个根，从而求出或，求解即可判断选项A，当时，方程的判别式，即可判断选项B，分类讨论，分别研究方程根的情况，结合二次方程根的分布以及函数的图象分析求解，即可判断选项C，由题意，得到方程的两个根且且，，所以，，求解即可判断选项D．
本题以命题的真假判断为载体，考查了函数与方程的综合应用，分段函数的理解与应用，集合的表示方法的应用，对于分段函数问题，一般运用分类讨论或是数形结合法进行研究，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：，
．
故答案为：．
由题设条件先求出，再求的值．
本题考查对数函数的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用．
13.【答案】
【解析】解：由题设可得平移后图象对应的函数解析式为，
因为，故，
因为在不单调，故或，
即或，
所以或，故．
故答案为：
先求出平移后图象对应的解析式，根据单调性可求参数的取值范围．
本题考查的知识点：正弦型函数的性质，函数的图象的平移变换，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：作函数与直线的图象如下，
故函数图像与直线的图象共有个交点，
与的图象都关于点对称，
与，与都关于点对称，
故，，
故，
，
，
故答案为：．
作函数与直线的图象，可知共有个交点，且与，与都关于点对称；结合向量的线性运算化简得，从而求得．
本题考查了平面向量的线性运算的应用及数形结合的思想方法的应用，属于中档题．
15.【答案】解：已知点在单位圆上，，，
，，，
点在单位圆上，
所以；
，，
则，
所以．
【解析】根据三角函数的定义以及、两角之间的关系，利用诱导公式求点的坐标；
利用三角函数的定义和诱导公式化简求值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
16.【答案】解：模型，图象过点，，
则，解得，，所以，
当时，，不符合题意；
模型的函数图象与题目中的图象不相符，所以不符合题意；
模型，过点，，
则，解得；
所以，；
所以模型较为符合．
模型中，令，得，即，
所以，解得，
即每天至少锻炼分钟．
【解析】求出模型的解析式，验证不符合题意；
模型的函数图象与题目中的图象不相符；
求出模型的函数图象，判断函数模型较为适合，求出函数解析式．
令，求出不等式的解集即可．
本题考查了函数模型应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．
17.【答案】解：由图像可知，，，
则，则，令，可得，
所以的解析式为，
令，，
解得，，，
则函数的单调递增区间为；
由题意得，，
由题意，，
令，
由，，
令，
则，，，其中，
对称性可知，，
两式相加可得，
所以．
所以
又，
所以．
【解析】由最值求，由周期求，结合特殊函数值求，进而可求函数解析式，结合正弦函数的性质即可求解函数的单调递增区间；
先求出，结合函数的对称性及诱导公式即可求解．
本题主要考查了由部分函数的性质求解函数的解析式，还考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题．
18.【答案】解：Ⅰ是偶函数，，
，
，
即对一切恒成立，
．
Ⅱ要使函数有意义，需，
当时，，解得，
当时，，解得，
综上可知，当时，的定义域为，
当时，的定义域为．
Ⅲ只有一个零点，
方程有且只有一个实根，
即方程有且只有一个实根，
亦即方程有且只有一个实根，
令，则方程有且只有一个正根，
当时，，不合题意；
当时，因为不是方程的根，所以方程的两根异号或有两相等正根．
由有或
若，则不合题意，舍去；
若，则满足条件，
若方程有两根异号，则，，
综上所述，实数的取值范围是．
【解析】Ⅰ利用，得到对一切恒成立，即可求出．
Ⅱ要使函数有意义，需，通过与的大小讨论求解函数的定义域．
Ⅲ通过只有一个零点，说明方程有且只有一个实根，
令，则方程有且只有一个正根，通过的讨论，转化求解实数的取值范围是．
本题考查函数与方程的应用，函数的零点与方程根的关系，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
19.【答案】解：由已知条件，得，
又，，
，
又当时，有，
，
曲线段的解析式为，；
由，得 ，
又，
，，
，
，
景观路长为千米；
如图，，，
，，
作轴于点，在中，，
在中，，
，
，，
当时，平行四边形面积的值为．
【解析】由题意可得，，代入点求，从而求解析式；
令由求解，从而求景观路的长；
作图求，从而求最值．
本题考查了三角函数在实际问题中的应用，考查了学生的作图能力，属于中档题．
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