2023-2024学年福建省厦门二中高一（下）第一次段考数学试卷（含解析）

2023-2024学年福建省厦门二中高一（下）第一次段考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知是虚数单位，则( )
A. B. C. D.
2.已知平面向量满足且，则( )
A. B. C. D.
3.记的内角，的对边分别为，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.如图，是底部不可到达的一座建筑物，为建筑物的最高点，为了测量建筑物高度，我们选择一条水平基线，使，，三点在同一直线上，经测量，在，两点用测角仪器测得的仰角分别是，，米，测角仪器的高是米，则该建筑物的高约为参考数据：( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
5.数学家欧拉于年在他的著作三角形的几何学中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点，，分别为任意的外心、重心、垂心，则下列各式一定正确的是( )
A. B.
C. D.
6.我国油纸伞的制作工艺非常巧妙如图，伞不管是张开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈能够沿着伞柄滑动如图，伞完全收拢时，伞圈已滑到的位置，且，，三点共线，，为的中点，当伞从完全张开到完全收拢，半圈沿着伞柄向下滑动的距离为，则当伞完全张开时，的余弦值是( )
A. B. C. D.
7.已知的内角，，的对边分别为，，，若，，且为边上的高，为边上的中线，则的值为( )
A. B. C. D.
8.已知是边长为的正的边上的动点，为的中点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复平面内表示复数：的点为，则下列结论中正确的为( )
A. 若，则
B. 若在复平面所在直线上，则
C. 若为纯虚数，则
D. 若在第四象限，则
10.如图，某八角镂空窗的边框呈正八边形已知正八边形的边长为，，为正八边形内的点含边界，在上的投影向量为，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. 的最大值为 D.
11.东汉末年的数学家赵爽在周骳算经中利用一副“弦图”，根据面积关系给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”如图，它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．我们通过类比得到图，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，对于图，下列结论正确的是( )
A. 这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形
B. 若，，则
C. 若，则
D. 若是的中点，则三角形的面积是三角形面积的倍
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.请写出与向量反向的单位向量：______用坐标表示
13.已知平面向量，，若与共线，则实数 ______．
14.在中，为上一点，，，则 ______；若，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，，且与的夹角为．
求及；
求在上的投影向量的坐标．
16.本小题分
中，已知，，，、分别是、的中点，设，，
分别用、表示和；
设与交于点，求的余弦值．
17.本小题分
记内角，，的对边分别为，，已知，点在边上，C.
证明：
若，求．
18.本小题分
如图所示，在中，是边的中点，是线段的中点．过点的直线与边，分别交于点，设，，，．
Ⅰ化简：；
Ⅱ求证：为定值；
Ⅲ设的面积为，的面积为，求的取值范围．
19.本小题分
中，内角，，所对的边分别为，，已知．
求的值；
若是的角平分线．
证明：；
(ⅱ)若，求的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：
故选：．
利用复数的四则运算法则即可得出结论．
本题考查了复数的四则运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，
，
，即，
又，则，即，
，解得．
故选：．
利用平面向量数量积的性质和坐标运算，即可得出答案．
本题考查平面向量数量积的性质和坐标运算，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
3.【答案】
【解析】解：若，则，
故“”是“”的充分条件，
若，则，所以，
当时，不成立，
故“”是“”的不必要条件，
综上：“”是“”的充分不必要条件．
故选：．
利用二倍角公式与正弦定理，由，可得，反之不成立，可得结论．
本题考查正弦定理与充分必要条件的判断，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：，，，
在中，由正弦定理得，
所以这座建筑物的高度为
米．
故选：．
利用正弦定理求得正确答案．
本题主要考查正弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：根据欧拉定理可知，点，，三点共线，且，
对于，，，故A错误，
对于，，，故B错误，
对于，，故C错误，
对于，，故D正确，
故选：．
根据欧拉定理、外心、垂心和重心的性质及平面向量的线性运算对四个选项逐个分析可得答案．
本题考查欧拉定理，三角形的外心、垂心和重心的性质，平面向量的线性运算，考查逻辑推理能力，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：当伞完全张开时，，
因为为的中点，所以，
当伞完全收拢时，，所以，
在中，，
所以．
故选：．
先通过题意求出，，，再通过余弦定理求出，进而通过倍角公式可得的值．
本题考查运用余弦定理解实际问题，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：由题意，为边上的高，
则由数量积的几何意义可得：
，
，
又为边上的中线，
则有，又，
所以
．
故选：．
由题设，根据数量积的几何意义，得出及的值，进而根据向量数量积运算求解即可．
本题考查三角形中的几何计算，考查平面向量数量积的几何意义，属中档题．
8.【答案】
【解析】解：取的中点，以为原点，直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则：
，设，
，
，且，
时，取最小值；时，取最大值，
的取值范围是．
故选：．
可取的中点为，然后以点为原点，直线为轴，建立平面直角坐标系，从而根据条件可得出，并设，，从而可得出，根据的范围，配方即可求出的最大值和最小值，从而得出取值范围．
本题考查了通过建立平面直角坐标系，利用向量坐标解决向量问题的方法，向量坐标的数量积运算，配方求二次函数值域的方法，考查了计算能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查实数与复数，属于基础题．
根据已知条件，结合实数、纯虚数的定义，以及复数的几何意义逐项判断即可求解．
【解答】
解：，
对于，若，
则，解得，故A错误；
对于，若在复平面所在直线上，
则，解得，故B错误；
对于，若为纯虚数，
则，解得，故C正确；
对于，在第四象限，
则，解得，故D正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】解：对于，，A正确；
对于，，B正确；
对于，由几何关系，当为或向量时，在上的投影最大，投影向量为
，即，C错误；
对于，根据几何关系，当位于点，在上的投影量最小，取得最小值为，
当位于点，在上的投影量最大，取得最大值为，D正确．
故选：．
用八边形的边向量表示其他向量，而后求向量的数量积．
本题主要考查平面向量的数量积，结合几何关系对向量进行转化是解决本题的关键，属中档题．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查正弦定理及余弦定理的应用，三角形的面积公式，考查转化思想，计算能力，属于中档题．
对于选项：由，因此这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形，故A正确；
对于选项：利用正弦定理求得，由，进而求得，故B正确；
对于选项：根据题意，利用余弦定理即可求得，因此即可求得，因此C错误；
对于选项：利用三角形的面积公式，表示出，故D正确．
【解答】
解：对于选项：根据对称性，所以，
所以选项正确；
对于选项：在中，，而，所以，
由正弦定理得，解得，
又因为，所以，
所以B正确；
对于选项：不妨设，，由余弦定理可得，
解得，所以，
故C选项不正确；
对于选项：若是的中点，
所以，
故本题选ABD．
12.【答案】
【解析】解：根据题意，设所求向量为，
由题可知：且，解得：或，
又与反向，所以所求向量坐标为．
故答案为：．
根据题意，设所求向量为，分析、的关系，求出、的值，即可得答案．
本题考查向量的坐标，涉及向量平行的坐标表示，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：，，
则，
若与共线，
则，解得．
故答案为：．
根据已知条件，结合向量共线的性质，即可求解．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：如图所示：在中，由余弦定理可得：
，
在中，由余弦定理可得：
，
消元可得，所以；
在中，由正弦定理可得，
在中，由正弦定理可得，
可得，
，，，
由余弦定理可得．
故答案为：；．
在、中分别利用余弦定理消元可得，即可得出的值；在、中分别利用正弦定理可得出，再利用余弦定理可求得的值．
本题考查解三角形问题，正弦定理与余弦定理的应用，化归转化思想，属中档题．
15.【答案】解：由与的夹角为，得，即，解得，
则，，，
所以；
由知，，在上的投影向量为，
即在上的投影向量的坐标为．
【解析】由向量的夹角坐标公式列出方程，求解得，代入向量坐标计算．
因在上的投影向量为，代入中求得的，，计算和即得．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
16.【答案】解：，，
，
．
，
，
，
．
【解析】本题考查利用向量的数量积求向量的夹角，平面向量基本定理的应用，考查运算求解能力，是中档题．
利用平面向量加法法则能求出结果．
由此能求出的余弦值．
17.【答案】解：证明：由正弦定理知，，
，，
，
，
即，
．
；
由知，
，
，，
在中，由余弦定理知，，
在中，由余弦定理知，，
，
，
即，
得，
，
，
或，
在中，由余弦定理知，，
当时，舍；
当时，；
综上所述，．
【解析】本题主要考查正弦定理和余弦定理，难度不大．
利用正弦定理求解；
要能找到隐含条件：和互补，从而列出等式关系求解．
18.【答案】解：Ⅰ因为为的中点，
所以，
又因为是的中点，所以，
所以；
Ⅱ由已知得，，
所以，
因为，，三点共线，所以，
所以，
即为定值；
Ⅲ因为，，又，所以，
．
当时，函数的值域为，
所以，
即的取值范围是．
【解析】Ⅰ结合图象可得，，从而化简即可；
Ⅱ由平面向量线性运算化简，结合共线定理可证明为定值；
Ⅲ由题意化简，代入化简，结合二次函数求取值范围即可．
本题考查平面向量的运算性质和应用，应用了函数思想，属于中档题．
19.【答案】解：，
由正弦定理得
，
且，，则，，
；
证明：在中，由正弦定理得，
由余弦定理得，
同理在中，得，
，
是的角平分线，则，
，
又，则，，
得，
，
得
，得证；
(ⅱ)由得，则，
由式知或由角平分线定理知，
，
由(ⅰ)知，
，
，当且仅当时等号成立，
，
故BD的最大值．
【解析】本题考查解三角形、三角恒等变换和基本不等式求最值，属于中档题．
根据题意利用正弦定理边化角，分析运算，即可得出答案；
根据正、余弦定理结合角度关系分析，即可证明结论；
(ⅱ)根据题中已知结论可得，利用基本不等式，即可得出答案．
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