2023-2024学年江西省南昌十九中高一（下）第一次月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年江西省南昌十九中高一（下）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在中，，则是( )
A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形
2.已知为第四象限角，则点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则( )
A. B. C. D.
4.设函数，，则函数的最小值是( )
A. B. C. D.
5.数学中处处存在着美，机械学家莱洛沷现的莱洛三角形就给人以对称的美感莱洛三角形的画法：先画等边三角形，再分别以点，，为圆心，线段长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形若线段长为，则莱洛三角形的面积是( )
A. B. C. D.
6.如图所示，函数且的图象是( )
A. B. C. D.
7.已知函数，且，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数，，在区间上单调递增，直线和为函数的两条对称轴，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中均满足下面三个条件的是( )
为偶函数
有最大值
A. B. C. D.
10.函数的部分图象如图所示，下列结论中正确的是( )
A.
B. 函数的图象关于点对称
C. 函数在上单调递增
D. 将函数的图象向由右平移个单位得到函数的图象
11.关于函数，下列说法正确的是( )
A. 函数定义域为 B. 函数是偶函数
C. 函数是周期函数 D. 函数在区间上单调递减
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数在上有两个零点，则的取值范围是______．
13.已知角满足，则 ______．
14.已知函数若存在，，，，满足，且，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知为第三象限角，且．
化简；
若，求的值．
16.本小题分
已知函数的部分图象如图所示．
求的解析式；
方程在上有且仅有两个不同的实数解，求实数的取值范围．
17.本小题分
某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据．
求函数的解析式，并补全表中数据；
将图象上所有点向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的纵坐标不变，得到的图象若图象的一个对称中心为，求的最小值．
18.本小题分
函数．
若函数的值域是的一个子集，求的取值范围；
求在区间的单调区间．
19.本小题分
已知函数，其中．
若，求函数的最小正周期以及函数图象的对称中心．
若函数在上单调递增，求的取值范围．
若函数在，且满足：方程在上至少存在个根且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据三角形法则可得：，，，
在中，
，
即三条边相等，
是等边三角形．
故选：．
根据向量加减法法则及模的定义判断．
本题考查向量的线性运算，属于中档题．
2.【答案】
【解析】解：由为第四象限角，，
所以点位于第一象限．
故选：．
根据给定条件，利用诱导公式，结合三角函数值的符号法则判断即得．
本题主要考查了三角函数的定义在三角函数值符号判断中的应用，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由题知，，，，
所以
．
故选：．
先根据三角函数的定义，求出角的三角函数值，再结合诱导公式求值．
本题主要考查了三角函数的定义及诱导公式的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：，
令，则，可转化为，其对称轴方程为，
当即时，取得最小值，即函数的最小值是．
故选：．
令，则，原函数转化为，，利用二次函数的性质可求得答案．
本题考查函数的最值及其几何意义，考查转化思想及运算求解能力，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：由已知得，
则，故扇形的面积为，
由已知可得，莱洛三角形的面积扇形面积的倍减去三角形面积的倍，
所求面积为．
故选：．
由题意，可先求解出正三角形扇形面积，再利用莱洛三角形与扇形之间的关系转化即可求解．
本题考查了扇形的面积公式和三角形的面积公式的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查正切函数与正弦函数的图象，确定绝对值符号是关键，考查分类讨论思想与识图能力，属于中档题．
根据的取值情况分类讨论，去掉中的绝对值符号，转化为分段函数，再识图即可．
【解答】
解：，
函数且的图象是．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：，且，
则，即，
同理可得，，
又，，则，，
，，解得．
故选：．
根据题意，由条件代入计算可得，，再由，代入计算，即可得到结果．
本题主要考查余弦函数的图象，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：函数，，在区间上单调递增，
，
直线和为函数的两条对称轴，
，，，且．
解得且．
可得，
则．
故选：．
由题意，利用正弦函数的图象和性质，先求出函数的解析式，从而得出结论．
本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：根据题意：选项A中，，不满足；
选项B中，满足；
选项C中，满足；
选项D中，有最大值，为偶函数，但，满足；故选项BC正确．
故选：．
结合函数的性质检验各选项即可判断．
本题主要考查了函数性质在函数解析式判断中的应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由题意可得，故，则，
，即，
解得，又，即，故A正确；
即，当时，有，
故的图象关于点对称，故B正确；
当时，，故C正确；
将函数的图象向由右平移个单位得到
，
故D错误．
故选：．
借助图象周期求出、再由定点结合范围求出，得出解析式后结合正弦型函数性质可得、、，结合函数图象的平移可得．
本题考查三角函数的图象和性质，图象变换，属中档题．
11.【答案】
【解析】解：由于，，所以的定义域不是，选项错误．
由得，所以，，
所以的定义域是，的定义域关于原点对称，，所以是偶函数，选项正确；
．，所以是周期函数，选项正确．
当，时，恒成立，在上单调递增，所以在区间上单调递减，选项正确．
故选：．
根据函数的定义域、奇偶性、周期性、单调性对选项进行分析，从而确定正确答案．
本题主要考查了函数奇偶性，周期性及单调性的判断，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：，的零点个数
就是与的交点个数．
作出的图象，
由图象可知或，解得或．
故答案为：．
转化为与的交点个数问题，画出图象，数形结合求出的取值范围．
本题考查三角函数的图象和性质，考查函数与方程根的关系，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：因为，所以为第三或第四象限角，
所以，
所以．
故答案为：．
利用同角三角函数的平方关系可求得的值，利用二倍角的正弦公式可求得的值．
本题考查了三角函数的求值问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：作出函数的图象，如图所示：
因为，，
所以，由图象知，，，，，
所以由得，所以，
又的图象关于直线对称，则，
所以，
由于在上单调递增，所以，所以的取值范围是．
故答案为：．
作出函数的图象，利用进行去绝对值得出的值，由曲线的对称轴得出，从而得，再利用二次函数可得出的范围，从而得出答案．
本题考查了分段函数的图象与性质应用问题，也考查了分类讨论思想，是中档题．
15.【答案】解：由已知得；
由已知得，因为为第三象限角，
故，
故．
【解析】利用诱导公式直接化简即可；
根据平方关系求出，再利用诱导公式求解．
本题考查利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式求值的问题，属于基础题．
16.【答案】解：由图可知，最小正周期，即，则，
则，又图象过，
，，
，又，，
所求的函数解析式为；
，，
，，，
，，，
作出直线与，的图象，如图，
由图可知，当时，直线与，的图象有两个不同的交点，
即方程在上有且仅有两个不同的实数解，
所以的取值范围为．
【解析】由图可知，由最小正周期求得，根据图象过求出；
作出直线与，的图象，利用数形结合求解．
本题考查了三角函数的图象和性质，属于中档题．
17.【答案】解：由表格数据知：，最小正周期，；，，
解得：；
又，，则；
补全表格如下：
由题意得：，是的一个对称中心，，解得：；
又，．
【解析】由表格数据可得和最小正周期，由此可得；利用可求得，从而得到解析式；根据五点作图法可补全表格数据；
根据三角函数平移和伸缩变换原则可得解析式，利用代入检验法，根据对称中心坐标可构造方程求得，进而得到最小值．
本题考查的知识要点：正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
18.【答案】解：由题可得，
令，则，其中，
所以，，
所以，函数的值域为，
因为函数的值域为的一个子集，则，解得，
因此，实数的取值范围是．
因为二次函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，即，由可得，
而又因为函数在上单调递减，在上单调递增，
由复合函数法可知，函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，即，则有，
又因为函数在上单调递减，在上单调递增，
由复合函数法可知，函数在上单调递减，在上单调递增．
综上所述，函数的单调递减区间为、，单调递增区间为、．
【解析】由已知可得，令，则，其中，利用二次函数的基本性质可求得函数的值域，根据题意可得出关于实数的不等式组，解之即可；
利用复合函数法可求得函数在的单调递增区间和递减区间．
本题考查了三角函数的诱导公式，同角三角函数的基本关系，配方求二次函数值域的方法，复合函数的单调区间的求法，子集的定义，考查了计算能力，属于中档题．
19.【答案】解：当时，，
的最小正周期为．
令，得，
故的图象的对称中心为；
，，
若函数在上单调递增，
则，求得，
即的取值范围为；
方程在上至少存在个根，
即当时，至少有个根，
即当时，至少有个根，
即当时，至少有个根，
故至少包含个最小正周期，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于，
即，
解得
．
【解析】由题意利用正切函数的周期性和对称性，得出结论；
由题意利用正切函数的单调性，求得的范围；
由题意利用正切函数的周期性和零点，正切函数的图象，求得的范围．
本题主要考查正切函数的图象和性质，属于中档题．
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