2023-2024学年湖北省宜荆荆随恩高一（下）联考数学试卷（3月份）（C卷）（含解析）

2023-2024学年湖北省宜荆荆随恩高一（下）联考数学试卷（3月份）（C卷）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知命题：，，则为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.已知单位向量满足，若向量，则( )
A. B. C. D.
3.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的( )
A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
4.“”是“，”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知函数，其图象与直线相邻两个交点的距离为，若，恒成立，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.若向量满足，，且，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
7.把某种物体放在空气中冷却，若该物体原来的温度是，空气的温度是，则后该物体的温度可由公式求得若将温度分别为和的两块物体放入温度是的空气中冷却，要使得这两块物体的温度之差不超过，至少要经过取：，( )
A. B. C. D.
8.著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用黄金分割比，现给出三倍角公式，则与的关系式正确的为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的有( )
A.
B.
C. 图象的对称中心为，
D. 直线是图象的一条对称轴
10.函数的定义域为，满足，且当时，，下列说法正确的有( )
A. B.
C. D. 在上单调递增
11.已知边长为的正边形若集合，则下列结论正确的有( )
A. 当时， B. 当时，
C. 当时， D. 当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设全集，集合，，则 ______．
13.已知是奇函数，则 ______是自然对数的底数
14.已知，，且，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知平面向量，的夹角为，且，，．
当时，求；
当时，求的值．
16.本小题分
已知函数．
求函数的解析式，并求其图象的对称轴方程；
求函数在上的单调递增区间．
17.本小题分
如图，有一块半径为，圆心角为的扇形木块，现要分割出一块矩形，其中点，在弧上，且线段平行于线段．
若点，分别为弧的两个三等分点，求矩形的面积；
设，当为何值时，矩形的面积最大？最大值为多少？
18.本小题分
已知函数．
若为奇函数，
求的值；
解关于的方程；
若在上有解，求的取值范围．
19.本小题分
若函数在时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“倒域区间”定义在上的奇函数，当时，．
求的解析式；
求函数在内的“倒域区间”；
若函数在定义域内所有“倒域区间”上的图像作为函数的图像，是否存在实数，使集合恰含有个元素？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：将原命题的任意量词换成存在量词，结论中的“”换成“”，
就得到原命题的否定为：，，
从而A正确．
故选：．
在给命题取否定时，需要将任意量词和存在量词互相转换，并对结论取否定．
本题主要考查命题的否定，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为是单位向量，所以，
又因为，
所以，
，
所以，又，
所以，
故．
故选：．
由已知，求得向量与的夹角余弦值，进而求得正弦，即可得出结论．
本题考查平面向量数量积的性质及运算，属中档题．
3.【答案】
【解析】解：由，
即把函数的图象向右平移个单位长度可得到函数的图象，
故选：．
由三角函数图象的平移可得：把函数的图象向右平移个单位长度可得到函数的图象，得解．
本题考查了三角函数图象的平移，属简单题．
4.【答案】
【解析】解：由可得：，或，，
所以“”是“，”的必要不充分条件，
故选：．
利用正弦函数的性质得出，或，，由此即可判断．
本题考查了四个条件的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由题意可知，的最大值为，
函数，其图象与直线相邻两个交点的距离为，
，，即，
，恒成立，
，
，
，
，
，，
，解得．
故选：．
由是函数的最大值，结合已知条件，求出周期，即可求得，即可推得，再根据的取值范围，即可求解．
本题主要考查三角函数的性质，考查计算能力，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：由，，
可得
，解得，
则在上的投影向量为．
故选：．
由已知，求得，再根据数量积的运算及投影向量的概念求得结论．
本题考查平面向量数量积的运算及投影向量概念，属基础题．
7.【答案】
【解析】解：的物体放入的空气中冷却，后的温度是，
的物体放入的空气中冷却，后的温度是，
要使得这两块物体的温度之差不超过，则，
解得，
所以至少要经过．
故选：．
根据给定信息，列出不等式，再利用指数函数单调性求解即得．
本题考查了函数在生活中的实际运用，考查了指数的基本运算，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
又，
所以，
化简得，
可得，即，
解得负值舍去，
所以．
故选：．
由题意利用诱导公式，同角三角函数基本关系式，二倍角公式可求，进而解方程即可得解．
本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了转化思想，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：对于，由图象可知，，
又图象过，则，又，则，A错误；
对于，又图象过，则，故A，B正确；
对于，所以的解析式为，
由，得，
所以图象的对称中心为，，C正确，
对于，，
所以直线不是图象的一条对称轴，D错误．
故选：．
利用部分图象，求出的解析式，结合三角函数的性质即可求解．
本题考查函数的图象变换，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：对于，函数的定义域为，满足，令，
则，A正确；
对于、、，再令，则，
即，B正确；
当时，，
则，
所以，
即，又因为也符合上式，
联立，解得，C错误；D正确．
故选：．
利用赋值法，求解判断，函数的奇偶性判断，求解函数的解析式判断，函数的单调性判断即可．
本题考查抽象函数的应用，函数的解析式以及函数的奇偶性的判断，是中档题．
11.【答案】
【解析】解：根据题意，集合，正边形的边长为，
对于，当时，如下图所示：
则，，，
同理可得，，，
综上所述，时，，故A项错误；
对于选项，当时，如图所示：
，，，
此时，集合，故B项正确；
对于选项，当时，取的中点，连接，则，如图所示：
由正五边形的每个内角都为，可得，，
则，可知，
故当时，，由二倍角的三角函数公式，可得，
综上所述，当时，，可知项正确；
对于选项，当时，设正六边形的中心为，如图下所示：
因为正六边形的每个内角都为，所以，
故，可得，，且，
由正六边形的几何性质可得，则，则，
由此可得，故，即当时，，项正确．
故选：．
根据正多边形的性质，利用平面向量的线性运算法则、二倍角的三角函数公式以及平面向量数量积的运算性质，对各项逐一判断，即可得到本题的答案．
本题主要考查了平面向量数量积的定义与运算法则、二倍角的三角函数公式、正多边形的定义与性质等知识，属中档题．
12.【答案】
【解析】解：集合或，
，
所以，所以．
故答案为：．
化简集合、，根据补集和并集的定义，求解即可．
本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．
13.【答案】
【解析】解：若函数有意义，则自变量满足且，
而奇函数的定义域关于原点对称，可知是的解，所以，解得，
由，得，所以．
故答案为：．
根据对数的真数大于，得到的定义域满足且，结合为奇函数，列式推算出，结合算出，进而可得所求式子的值．
本题主要考查函数的奇偶性及其应用、指数与对数的运算法则等知识，考查了计算能力、概念的理解能力，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：由得，即，
，
由于，则，
，当且仅当，即时，等号成立，
故．
故答案为：．
由两角和的正弦公式化简得，然后转化正切可得，进而将用来表示，从而利用基本不等式可得最大值．
本题主要考查了同角基本关系，和差角公式，基本不等式的应用，属于中档题．
15.【答案】解：时，
，
所以．
当时，，
所以，
解得．
【解析】先得到，然后展开计算即可；
由条件知，使用向量内积的坐标表示即可得到关于的方程，进而求出．
本题考查了平面向量的数量积运算问题，是基础题．
16.【答案】解：由于，
由，解得，
所以，函数图象的对称轴方程为；
当时，则，要使单调递增，
则或，
解得或；
故函数在上的单调递增区间为和．
【解析】首先利用三角函数的关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用整体思想求出函数的对称轴方程；
利用整体思想求出函数的单调递增区间．
本题考查的知识点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：作，垂足为，交于，连接，，
因为四边形为矩形，其中点，在弧上，且线段平行于线段，
可得，关于直线对称，
又扇形木块的半径为，圆心角为，点，分别为弧的两个三等分点，
所以，，
可得，，
又因为，
所以为等腰直角三角形，
所以，
所以，
所以；
由于，
可得，，
所以，，，
所以，
所以，
又，
可得，
所以时，取最大值，可得当时，矩形的面积最大，．
【解析】作，垂足为，交于，连接，，由题意可求，，利用三角形的面积公式即可求解；
由题意可求，，，利用三角形的面积公式以及三角函数恒等变换的应用可求，可求范围，进而利用正弦函数的性质即可求解．
本题考查了三角形的面积公式，三角函数恒等变换以及正弦函数的性质的综合应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．
18.【答案】解：的定义域为，
因为为奇函数，则，
解得，
故，
经检验，即，
所以函数为奇函数，
故；
由可知，，
又因为，
所以，
解得，
所以；
由于是奇函数，
则，
所以，可转化为，
即，
所以，
即其中，
故，
由三角函数的有界性知，，
解得，
即的取值范围为
【解析】由题意可知的定义域为，再利用求出的值，检验即可；
由可得，再结合正切函数的性质求解；
根据奇函数的性质可转化为，即，再利用三角函数的有界性求解．
本题主要考查了函数的奇偶性，考查了三角函数的性质，属于中档题．
19.【答案】解：设时，则，
又是上的奇函数，
所以，
故；
设，因为在上递减，
则，整理得，解得，
故在内的“倒域区间”为；
因为在时，函数值的取值区间恰为，其中，，，
则，故、同号，
所以只考虑或，
，根据的图象可知，最大值为，，，
故，由可知在内的“倒域区间”为；
当时，最小值为，，，
故，同理可知在内的“倒域区间”为．
所以，
由题意，集合恰含有个元素，
即抛物线与函数的图象有两个交点，此时一个交点在第一象限，一个交点在第三象限，
因此应当使方程在内恰有一个实数根，
并且使方程在内恰有一个实数根，
由方程在内恰有一根可知；
由方程在内恰有一根可知．
综上所述，存在实数，使得集合恰含有个元素．
【解析】设时，则，利用为奇函数以及已知的解析式，即可得到答案；
利用的单调性结合“倒域区间”的定理，列出方程组，化简求解即可；
由题意可知，，故、同号，只考虑或，当 时，在内的“倒域区间”为；当时，在内的“倒域区间”为从而得到，将问题转化为抛物线与函数的图象有两个交点，此时一个交点在第一象限，一个交点在第三象限，则应当使方程在内恰有一个实数根，并且使方程在内恰有一个实数根，分别求解即可．
本题考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可，属于较难题．
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