2023-2024学年广东省四会中学、广信中学高二（下）第一次月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年广东省四会中学、广信中学高二（下）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列求导正确的是( )
A. B. C. D.
2.已知函数，其导函数的图像如图所示，则下列对函数表述不正确的是( )
A. 在处取极小值 B. 在处取极小值
C. 在上为减函数 D. 在上为增函数
3.某班个同学分别从处风景点中选择一处进行旅游观光，则不同的选择方案是( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
4.春节档电影热辣滚烫通过讲述主人公的成长与蜕变，展示了热情与坚韧如何成为人生道路上最强大的动力它鼓励观众保持对生活的热爱和坚持，相信只要不放弃，就能够找到属于自己的光芒，实现梦想甲、乙、丙等七人相约到电影院看电影热辣滚烫，恰好买到了七张连号的电影票若甲、乙两人必须相邻，且丙坐在七人的正中间，则不同的坐法的种数为( )
A. B. C. D.
5.用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率若，则曲线在处的曲率是( )
A. B. C. D.
6.函数的图象可能是( )
A. B.
C. D.
7.已知关于的不等式在恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.若函数在区间无零点但有个极值点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，则( )
A.
B.
C.
D.
10.身高各不相同的六位同学、、、、、站成一排照相，则说法正确的是( )
A. A、、三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有种站法
B. 与同学不相邻，共有种站法
C. A、、三位同学必须站在一起，且只能在与的中间，共有种站法
D. 不在排头，不在排尾，共有种站法
11.已知函数，其导函数为，且，记，则下列说法正确的是( )
A. 恒成立
B. 函数的极小值为
C. 若函数在其定义域内有两个不同的零点，则实数的取值范围是
D. 对任意的，，都有
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.计算 ______用数字作答
13.的展开式中，的系数为______．
14.已知偶函数的定义域是，其导函数为，对任意，都有成立，则不等式的解集为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在的展开式中，第项的二项式系数是第项的二项式系数的倍．
求的值．
求的展开式中的常数项．
求展开式中所有系数的和．
16.本小题分
男运动员名，女运动员名，其中男、女队长各名．现选派人外出参加比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？
男运动员名，女运动员名；
队长中至少有人参加；
既要有队长，又要有女运动员．
17.本小题分
已知，在处取得极小值．
求的解析式；
求在处的切线方程；
若方程有且只有一个实数根，求的取值范围．
18.本小题分
在暑假期间，小明同学到某乡镇参加社会调查活动小明利用所学知识帮一苹果农户解决年利润最大问题经小明调查，对苹果精包装需要投入年固定成本万元，每加工万斤苹果，需要流动成本万元当苹果年加工量不足万斤时，；当苹果年加工量不低于万斤时，通过市场分析，加工后的苹果每斤售价元，当年加工的苹果能全部售完．
求年利润关于年加工量的解析式；年利润年销售收入流动成本年固定成本
当年加工量为多少万斤时，该苹果农户获得年利润最大，最大年利润是多少？参考数据：
19.本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性；
若函数在处取得极值，不等式对恒成立，求实数的取值范围；
当时，证明不等式．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，，A错误；
对于，，B错误；
对于，，C错误；
对于，，D正确；
故选：．
根据题意，依次分析选项中函数导数的计算，综合可得答案．
本题考查导数的计算，注意导数的计算公式，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由图像可知，当，时，，函数单调递增，
当，时，，函数单调递减，
所以，当，时，取极大值，当时，取极小值，
所以不正确，BCD正确，
故选：．
根据导函数图像，利用导数与函数单调性和极值的关系，即可求得答案．
本题考查导致的应用，考查导数与单调性和极值的关系，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由题意每位同学都有种选择，共有种选择方法．
故选：．
利用分步计数乘法定理即可求解．
本题考查了排列组合的简单计数，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：甲、乙、丙等七人恰好买到了七张连号的电影票，
若甲、乙两人必须相邻，且丙坐在七人的正中间，
若丙在正中间号位，甲、乙两人只能坐，或，号位，有种情况，
考虑到甲、乙的顺序有种情况，剩下的个位置其余人坐，有种情况，
故不同的坐法的种数为．
故选：．
丙坐在七人的正中间，则需列举出甲、乙两人相邻的情况，安排甲乙的顺序，再用排列法计算其他人即可．
本题考查了相邻问题的排列计算，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：根据题意，可得，，得，．
因此，曲线在处的曲率．
故选：．
根据题意，先利用导数的公式算出，然后将代入曲率的公式，即可算出答案．
本题主要考查了导数的概念与运算、函数值的求法等知识，考查了计算能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：设，则，
则是奇函数，图象关于原点对称，排除选项，
又，排除选项，
当时，，，与比较，
，变化的快，则，且，排除选项．
故选：．
结合函数解析式的特点和选项中各个图象的不同，利用排除法判断即可．
本题考查函数的图象，函数的性质，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：，
令，则，
于是得在上单调递增，，则，
所以实数的取值范围为．
故选：．
将给定不等式分离参数，构造函数并借助导数探讨其最值即可得解．
本题主要考查导数知识的应用，考查计算能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：由题在区间无解，
即在区间无解，
设，则，
所以当时，，单调减，
当时，，单调增，
又；当时，；当时，，
所以；
又函数在区间有个极值点，
所以在区间有两个不同解，
即在区间有两个不同解，
设，则，
所以当时，，单调减，
当时，，单调增，
又，当时，；当时，，
所以，
故实数的取值范围是．
故选：．
由题得在区间无解，在区间有两个不同解，然后参变分离，转换成图像交点问题即可．
本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值及零点，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：根据，
当时，，故A正确；
根据二项展开式，；
当时，，故B错误；
对于：当时，，解得，故C正确；
对于：当时，，故，所以，故D正确．
故选：．
直接利用二项式的展开式和赋值法的应用求出结果．
本题考查：二项式的展开式，赋值法，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，个人全排列有种方法，、、全排列有种方法，
则、、从左到右按高到矮的排列有种方法，A正确；
对于，先排列除与外的个人，有种方法，个人排列共有个空，
利用插空法将和插入个空，有种方法，则共有种方法，B正确；
对于，、、必须排在一起且在、中间的排法有种，
将这人捆绑在一起，与其余人全排列，有种方法，则共有种方法，C错误；
对于，个人全排列有种方法，当在排头时，有种方法，当在排尾时，有种方法，
当在排头且在排尾时，有种方法，则不在排头，不在排尾的情况共有种，D正确．
故选：．
根据全排列和定序即可判断；利用插空法即可判断；利用捆绑法即可判断；利用间接法即可判断．
本题考查了实际问题中的排列组合计数问题，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：由函数，因为，可得，所以，
对于中，由，因为，
所以不恒成立，所以不正确；
对于中，由，，可得，，
其中的值不能确定，所以的极小值不一定为，所以B错误；
对于中，由，，
当时，可得；当时，可得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
且当时，，当时，，当时，，
函数的图象，如图所示，
结合图象得，当时，函数与的图象有两个不同的交点，
所以函数在其定义域内有两个不同的零点，则实数的取值范围是，
所以C正确；
对于中，由，
设，可得，
所以，单调递增，即单调递增，
所以为单调递增函数，且单调递增函数，且，
所以函数的图像，如图所示，函数图象为凸函数，
所以，当且仅当时，等号成立，所以D正确．
故选：．
根据题意求得，由，可得判定不正确；
由，结合的值不能确定，可判定B错误；
结合的单调性，结合图象，可判定C正确；
结合递增，且递增，结合图象，可判定D正确．
本题主要考查利用导函数研究函数的单调性，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
根据排列数、组合数公式展开计算，即可得出答案．
本题主要考查排列数、组合数公式，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：，
展开式通项，
展开式中的系数为，展开式中的系数为，
则，
故答案为：．
已知式变形为，根据二项式的展开式的通项公式可得答案．
本题考查二项式定理相关知识，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：当时，由，
得，即．
令，则在上也为偶函数，
且当时，总成立，在上是增函数．
不等式可化为，
则，又，解得．
故答案为：．
根据不等式构造函数，利用导数判断函数为增函数，将不等式化为，利用单调性即可求解．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题．
15.【答案】解：因为在的展开式中，第项的二项式系数是第项的二项式系数的倍，
所以，即，结合为正整数，可得；
二项式展开式的第项为，其中，，，．
令，解得，可得展开式中的常数项为；
由令，可得，所以展开式中所有系数的和为．
【解析】根据二项式展开式的通项公式，建立关于的方程，解之即可得到本题的答案；
根据题意求出的展开式的通项并化简，再令指数等于，即可得出常数项；
取，即可求得展开式中所有系数的和．
本题主要考查二项定理及其应用、多项式乘法的原理、赋值法求系数和等知识，属于中档题．
16.【答案】解：分两步完成：
第一步，选名男运动员，有种选法；
第二步，选名女运动员，有种选法．
由分步乘法计数原理可得，共有种选法．
从人中任选人有种选法，
其中不选队长的方法有种．
所以“至少有名队长”的选法有种．
当有女队长时，其他人任意选，共有种选法；
当不选女队长时，必选男队长，共有种选法，
其中不含女运动员的选法有种，
所以不选女队长时的选法共有种．
所以既要有队长又要有女运动员的选法共有种．
【解析】本题是一个分步计数问题，首先选名男运动员，再选名女运动员，利用乘法原理得到结果；
求得人中任选人的选派方法，以及没有队长的选派方法，利用对立事件的性质求解即可；
当有女队长时，其他人选法任意，不选女队长时，必选男队长，其中不含女运动员的选法，得到结果．
本题考查了组合数公式的应用，属于中档题．
17.【答案】解：由题意知，
因为在处取得极小值，
则，解得，，经检验，满足题意，
所以，，
所以；
由题意知，，
所以，，
所以切点坐标为，斜率，
所以切线方程为，即；
令解得或，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，单调递增，
则，，
时，，时，，
方程有且只有一个实数根等价于有且只有一个实数根，
等价于函数与有且只有一个交点，即或，
解得或，
所以的范围为．
【解析】求出，由题意可得，由此即可求出答案；
分别求出，的值，再利用点斜式写出直线；
将问题转化为函数与有且只有一个交点，求出函数的单调性与极值，即可求出的取值范围．
本题主要考查了导数与单调性及极值关系的应用，还考查了导数几何意义的应用，还考查了由零点个数求解参数范围，属于中档题．
18.【答案】解：根据题意知，当时，；
当时，，
所以；
当时，，
当时，；当时，；
所以在内单调递增，在内单调递减，
此时．
当时，，
当且仅当，即时取得等号．
因为，所以当年加工量为万斤时，该苹果农户获得最大年利润为万元．
【解析】根据题意，利用年利润年销售收入流动成本年固定成本，计算利润函数；
根据是分段函数，利用分类讨论法求出取最大值时对应自变量的值以及函数的最大值．
本题考查了分段函数模型的应用问题，也考查了分类讨论思想，是中档题．
19.【答案】解：．
当时，，从而，函数在单调递减；
当时，若，则，从而，
若，则，从而，
函数在单调递减，在单调递增． 分
根据函数的极值点是，若，则，
，即，
，即，
令，则，
得：是函数在内的唯一极小值点，也是最小值点，
故，
故；
由即，
构造函数，则，，，
即在递增，
，
，
．
【解析】求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；
求出的值，问题转化为，令，根据函数的单调性求出的范围即可；
问题转化为，构造函数，根据函数的单调性证明即可．
本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道综合题．
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