2023-2024学年上海市崇明区扬子中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年上海市崇明区扬子中学高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
2.已知曲线：，则“”是“曲线的焦点在轴上”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知动圆和圆：内切，并和圆：外切，则动圆圆心的轨迹是( )
A. 直线 B. 圆
C. 焦点在轴上的椭圆 D. 焦点在轴上的椭圆
4.画法几何学的创始人法国数学家加斯帕尔蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆已知椭圆的蒙日圆方程为若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.两条直线与平行，则实数 ______．
6.直线：与直线：之间的距离为______．
7.余弦函数在处的导数是______．
8.函数的驻点使得导数为零的自变量的值为______．
9.过点作圆的切线，则切线方程为______．
10.方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是______．
11.已知直线与圆：相交于，两点，且，则实数 ______．
12.已知点在焦点为、的椭圆上，若，则的值为______．
13.已知双曲线与双曲线具有相同的渐近线，且经过点，则双曲线的方程为______．
14.已知抛物线：的焦点为，若是该抛物线上一点，点，则的最小值为______．
15.在平面直角坐标系中，若的坐标，满足方程，则点的轨迹是______填曲线的类型，填方程不给分．
16.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆：上任意一点，则的最小值为______．
三、解答题：本题共5小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
求下列函数的导数．
；
．
18.本小题分
已知直线经过点，分别求满足下列条件的直线的方程：
与直线垂直；
与圆：相切．
19.本小题分
已知椭圆的方程为分别是的左、右焦点，是的上顶点．
设直线与椭圆的另一个交点为，求的周长；
给定点，直线，分别与椭圆交于另一点，，求的面积．
20.本小题分
已知抛物线．
若该抛物线的焦点到准线的距离为，求抛物线的标准方程；
若，为坐标原点，斜率为且过焦点的直线交此抛物线于、两点，求的面积．
21.本小题分
已知双曲线：．
求上焦点的坐标；
若动点在双曲线的上支上运动，求点到的距离的最小值，并求此时的坐标；
若为双曲线的上顶点，直线：与双曲线交于、两点异于点，，求实数的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：抛物线的标准方程为 ，，开口向上，焦点在轴的正半轴上，
故焦点坐标为，
故选：．
把抛物线的方程化为标准形式，确定开口方向和值，即可得到焦点坐标．
本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用；把抛物线的方程化为标准形式，是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：对于曲线：，
当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，充分性成立；
若曲线的焦点在轴上，则且，不能推出，必要性不成立．
因此，“”是“曲线的焦点在轴上”的充分不必要条件．
故选：．
根据圆锥曲线的标准方程，对两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答案．
本题主要考查圆锥曲线的标准方程、充要条件的定义与判断等知识，考查逻辑推理能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：设动圆的圆心的坐标为，半径为，
因为动圆与圆：内切，且与圆：外切，
所以，，可得，
根据椭圆的定义，可知动点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且，，
可得，，则，所以动点的轨迹方程为．
综上所述，动圆的圆心的轨迹为焦点在轴上的椭圆．
故选：．
设动圆的圆心的坐标为，半径为，由两圆相切的性质得到，，从而推导出，结合椭圆的定义得到正确答案．
本题主要考查圆与圆的位置关系、椭圆的定义、动点轨迹方程的求法等知识，属于中档题．
4.【答案】
【解析】解：由题意可知的蒙日圆方程为，
因为圆与圆仅有一个公共点，
所以两圆内切或外切，故圆心距等于半径之和或者圆心距等于半径差的绝对值，
所以或，
由此解得．
故选：．
根据题意先写出椭圆的蒙日圆方程，然后根据条件判断出两圆内切或外切，由此列出方程求解出结果．
本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了两圆的位置关系，考查计算能力，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：若直线与平行，
则且，解得．
故答案为：．
根据两条直线平行与方程的关系，建立关于的方程，解之即可得到本题的答案．
本题主要考查直线的方程、两条直线平行与方程的关系等知识，考查了计算能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：易知：与直线：平行，
这两条直线间的距离为．
故答案为：．
由平行线间的距离公式可求得结果．
本题主要考查两条平行直线间的距离公式，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：，
则，
故余弦函数在处的导数是．
故答案为：．
根据已知条件，结合导数的运算，即可求解．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
8.【答案】或
【解析】解：因为，则，令，即，解得或，
所以驻点为或．
故答案为：或．
利用驻点的定义即可求出结果．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：根据题意，设点的坐标为，圆的圆心为，则，
由于，则在圆上，
，则切线的斜率，
故切线的方程为，变形可得，
则切线的方程为．
故答案为：．
根据题意，设点的坐标为，分析可得在圆上，进而求出切线的斜率，由直线的点斜式方程计算可得答案．
本题考查圆的切线方程，涉及点与圆的位置关系，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：方程表示焦点在轴上的椭圆，
则，
即．
故答案为：．
方程表示焦点在轴上的椭圆，则，然后求解．
本题考查了椭圆的性质，属基础题．
11.【答案】
【解析】解：根据题意，圆，
即，其圆心为，半径，
若，则圆心到直线即的距离，
又由圆心到直线的距离，
则有，
解可得：．
故答案为：．
利用垂径定理列方程求解即可．
本题考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：由椭圆方程得：，，
，
，
，
由椭圆定义知：，
，
解得：．
故答案为：．
利用勾股定理构造方程，结合椭圆定义即可求解．
本题考查椭圆的定义及性质，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：双曲线的渐近线方程为，即，
设所求双曲线方程为，又其过，
，
所求双曲线方程为，即．
故答案为：．
根据共渐近线的双曲线的特点即可求解．
本题考查双曲线的几何性质，属基础题．
14.【答案】
【解析】解：抛物线的方程为：，
，，准线方程为，
到准线的距离，
，当且仅当垂直准线时，等号成立，
的最小值为．
故答案为：．
利用抛物线的定义转化为点到线的距离问题求解．
本题考查抛物线的几何性质，属基础题．
15.【答案】直线
【解析】解：由得，
所以等式左边表示点到点的距离，右边表示点到直线的距离，两距离相等，
而点在直线上，
所以点的轨迹是垂直直线于点的直线．
故答案为：直线．
利用两点间的距离公式及点到直线间的距离公式，即可求解．
本题主要考查了求动点轨迹方程，考查了两点间距离公式和点到直线的距离公式，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：如图，
为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，
则，当且仅当、、共线时取等号，
，
，，则，
的最小值为：．
故答案为：．
由题意画出图形，利用三角形两边之差小于第三边及椭圆定义转化，再由两点间的距离公式求解．
本题考查椭圆的几何性质，考查化归与转化、数形结合思想，考查运算求解能力，是中档题．
17.【答案】解：因为，所以．
因为，
所以．
【解析】利用基本函数的导数及求导法则，即可求出结果；
利用基本函数的导数及复合函数的求导法则，即可求出结果．
本题主要考查了函数的求导公式及求导法则的应用，属于基础题．
18.【答案】解：因为两直线互相垂直，所以所求直线的斜率为，
故所求直线的方程，即；
因为，所以点在圆外．
当直线的斜率存在时，设其方程为，即．
由题意知圆的圆心坐标为，半径为．
因为圆心到切线的距离等于半径，所以，解得，故直线的方程为．
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，也满足条件．
故直线的方程为或．
故答案为：或．
【解析】根据已知直线的解析式可以求得直线的斜率为，利用点斜式即可；
分类讨论，利用点到直线的距离公式可得切线斜率，确定切线方程．
本题考查利用两直线位置关系，直线与圆相切求直线方程，属于基础题．
19.【答案】解：易知，，
所以
则的周长为；
易知，在椭圆上，
因为，
所以，
因为直线的方程为，
联立，
解得或，
即，
所以到直线的距离为，
因为，
所以的面积．
【解析】由题意，根据椭圆的定义分析求解即可；
由题意可得，进而可求直线的方程，再求，的坐标，即可得解；
本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．
20.【答案】解：因为抛物线的焦点到准线的距离为，所以，
故抛物线的标准方程为；
因为，所以抛物线方程为，焦点坐标为，
又因为直线过焦点且斜率为，所以直线的方程为：，
如图，设两交点坐标为，，
联立方程得，消去化简得：，
则，所以，，
所以，
又因为到直线的距离，
所以．
【解析】根据焦点到准线的定义可知，则方程可得；
先写出过焦点的直线的方程，联立抛物线求出弦长，再根据点到直线的距离求原点到直线的距离，代入面积公式即可．
本题考查了根据定义求抛物线的标准方程，抛物线中的三角形或四边形面积问题，属于中档题．
21.【答案】解：双曲线：，即，
可得，解得，即有；
设，，则，即有，
，
当时，取得最小值，此时；
，联立，与双曲线的方程，可得，
设，，则，解得，
，，
由，可得，
即，
即为，解得，或．
【解析】由双曲线的方程求得，可得所求焦点；
设的坐标，由两点的距离公式，结合二次函数的最值求法，可得所求；
联立直线方程与双曲线的方程，运用韦达定理，结合两直线垂直的条件，化简整理，可得所求值．
本题考查双曲线的方程和性质，以及直线和双曲线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
第1页，共1页