2023-2024学年宁夏石嘴山一中高二（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2023-2024学年宁夏石嘴山一中高二（下）月考数学试卷（3月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则( )
A. B. C. D.
2.曲线在处的切线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
3.的展开式中，的系数为( )
A. B. C. D.
4.若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5.把个相同的红球、个黄球、个蓝球放到，，三个盒子里，每个盒子中至少放个球，则不同的放法种数为( )
A. B. C. D.
6.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法中不正确的是( )
A. 一定存在极小值点
B. 一定有最小值
C. 不等式不一定有解
D. 在上一定单调递增
7.若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若对任意的，，当时，都有，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的有( )
A. 已知函数在上可导，若，则
B.
C. 已知函数，若，则
D. 设函数的导函数为，且，则
10.下列说法正确的有( )
A. 某小组有名男生，名女生，要从中选取一名当组长，不同的选法有种
B. 某小组有名男生，名女生，要从中选取两名同学，不同的选法有种
C. 两位同学同时去乘坐地铁，一列地铁有节车厢，两人乘坐车厢的方法共有种
D. 甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，甲乙不相邻的排法有种
11.已知函数在上可导且，其导函数满足，对于函数，下列结论正确的是( )
A. 函数在上为增函数 B. 是函数的极小值点
C. 函数必有个零点 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.把个相同的小球分给个小朋友，使每个小朋友都能分到小球的分法有______种
13.若函数在上的最小值为，则 ______．
14.函数在点处的切线斜率为，则的最小值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
由四个不同的数字，，，组成无重复数字的三位数．
若，则可以组成多少个能被整除的三位数？
若，则可以组成多少个不同的三位数？
已知的展开式中的第二项和第三项的系数相等，求的值．
16.本小题分
已知函数，．
当时，求函数的极值；
当时，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，是棱上一点．
求证：平面平面；
若是的中点，求平面和平面的夹角的余弦值．
18.本小题分
已知曲线在处的切线过点．
试求，满足的关系式；用表示
讨论的单调性；
证明：当时，．
19.本小题分
已知函数，其中实数，，．
时，求函数的极值点；
时，在上恒成立，求的取值范围；
证明：，且时，经过点作曲线的切线，则切线有三条．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为若，
则，
解得．
故选：．
根据组合数公式可解．
本题考查组合数公式的计算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：曲线，，
故，
即对应切线斜率为，故曲线在处的切线的倾斜角是．
故选D．
根据导数的几何意义，求出对应切线斜率，进而求出倾斜角即可．
本题考查导数的几何意义，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由题意二项式的展开式的通项公式为，，，，，
令，解得，
所以的系数为．
故选：．
求出展开式的通项公式，然后令的指数为，进而可以求解．
本题查了二项式定理的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：依题意知， 有两个不相等的零点，
故，
解得且．
故选：．
由题意得 有两个不相等的零点，列出不等式组求解即可．
本题考查函数的单调性，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：根据题意，分种步进行分析：
先把个球分成堆，分法有种：红红，黄，蓝、红黄，红，蓝、红蓝，红，黄、红，红，蓝黄，
前种分法，把堆球放入个盒子中，各有种放法，
最后一种分法，把堆球放入个盒子中，由于红球是相同的，有种放法，
所以共有种放法．
故选：．
根据题意，先将先把个球分成组，进而将组放进个盒子中，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由，可得，可能为的极值点，
当时，，为减函数，当时，，为增函数，故为极小值点；
当时，，为减函数，当时，，为增函数，故为极小值点，
所以一定存在极小值点，故A说法正确；
由上分析知极小值分别为，，则与中最小值为的最小值，故B说法正确；
若，，则恒成立，不等式无解，故C说法正确；
在，上一定单调递增，在上不一定单调递增，故D说法错误．
故选：．
根据图象可得的符号，从而可得的单调区间及极值点，再对选项进行逐一分析判断正误得出答案．
本题主要考查了导数与单调性及极值关系的应用，属于中档题．
7.【答案】
【解析】：因为函数在上存在单调递增区间，
所以存在，使成立，即存在，使成立，
令，，变形得，
因为，
所以，
所以当，即时，，
所以．
故选：．
根据条件得出存在，使成立，即存在，使成立，构造函数，，求出的最值即可解决问题．
本题主要考查导数知识的综合应用，考查计算能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：不等式等价于，
令，，
根据题意对任意的，，当时，，
所以函数在上单调递减，
所以在上恒成立，
即在上恒成立．
令，，则，
所以当时，单调递增，当时，，单调递减，
所以，所以．
故选：．
构造函数，求导，分离参数求最值即可．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，，故A错误．
对于，，故B错误．
对于，，若，则即，故C正确．
对于，，故，故，故D正确．
故选：．
根据导数的定义可判断的正误，根据导数的四则运算可判断的正误，根据复合函数的导数的运算规则可判断的正误．
本题主要考查了导数的定义及函数的求导公式的应用，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：对于，某小组有名男生，名女生，要从中选取一名当组长，
不同的选法有种，故A正确；
对于，某小组有名男生，名女生，要从中选取两名同学，
不同的选法有种，故B错误；
对于，两位同学同时去乘坐地铁，一列地铁有节车厢，
两人乘坐车厢的方法共有种，故C正确；
对于，先排列丙、丁、戊有种排法，再让甲、乙去插空位，
有种排法，则甲乙不相邻的排法有种，故D错误．
故选：．
根据排列组合的知识逐项判断可得答案．
本题考查了排列组合的综合应用，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：因为，所以，
因为导函数满足，
当时，，则 ，所以 是增函数；
当时，，则 ，所以 是减函数；
故A错误，B正确；
又，则，
当时，没有零点；
当时，有一个零点；
当时，可能有个或个零点，故C错误；
因为函数在上为增函数，
所以，即，整理得，故D正确．
故选：．
求导，根据导函数满足判断选项AB，再结合，分，，判断选项C；再由函数在上为增函数判断选项D．
本题主要考查导数知识的综合应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：利用隔板法：由题可知使每个小朋友都能分到小球的分法有种．
故答案为：．
本题考查组合问题．元素相同问题用隔板法，属基础题．
本题考查排列组合相关知识，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：，，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以为在上的极小值，也是最小值，
故，解得．
故答案为：．
求导，得到函数单调性，得到为在上的极小值和最小值，列出方程，求出答案．
本题主要考查了导数与单调性及最值关系的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由，
得，由题意可知，
，
当且仅当，又，即，时取等号，
的最小值是．
故答案为：．
由导数的几何意义可知，再利用乘“”法及基本不等式求最值．
本题考查导数的几何意义及应用，训练了利用基本不等式求最值，考查运算求解能力，是中档题．
15.【答案】解：若，则这四个数字为，，，；
要求被整除，所以这三个数字为、、或、、；
若三个数字为、、，有种情况；
若三个数字为、、，有种情况；
根据分类加法计数原理，一共有个能被整除的三位数．
若，则这四个数字为，，，；
百位不能是，则可以是、、，有种情况；
因为要求无重复数字，
所以十位可以是除了百位之外的三个数字，有种情况；
个位可以是除了百位和十位之外的两个数字，有种情况．
根据分步乘法计数原理，一共有个三位数．
二项式展开式的通项公式，
因为展开式中第二项和第三项系数相等，得，即，解得．
【解析】利用两个计数原理：分类加法计数原理和分步乘法计数原理即可求解；
根据二项式定理中二项式的通项公式即可求．
本题考查的知识点：组合数，二项式的展开式，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
16.【答案】解：当时，，则，列表

函数的极大值为，无极小值；
首先讨论函数的单调性，，
当时，对，是增函数，
对，是减函数，
即：当时，在是增函数，在是减函数．
因为恒成立，则的最大值为，
，即，故．
实数的取值范围为．
【解析】将代入，求导列表，根据极值定义即可得解；
研究函数的单调性，求出最大值，则最大值小于等于即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式恒成立求参数的取值范围，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于基础题．
17.【答案】解：因为，，，，
取中点，连接，则，
，，
所以，即，
又平面，平面，
所以，
又，，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面．
以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系：
因为是的中点，则，
所以，
设平面的法向量为，
则，
令，则，，
所以平面的法向量为，
显然，平面的法向量为，
设平面和平面的夹角为，为锐角，
则，
所以平面和平面的夹角的余弦值为．
【解析】利用面面垂直的判定定理证明．
利用空间向量的坐标运算，求平面与平面夹角的余弦值．
本题考查直线与平面的位置关系，二面角，解题关键是空间向量法的应用，属于中档题．
18.【答案】解：由，得，则，，
故曲线在处的切线方程为，即，
由题意得，即，
即，满足的关系式为；
由知，定义域为，，
当时，，在上单调递减；
当时，由，得，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
证明：由得，
要证明，即证，即证，
令，则，
令，则，令，则，
故在上单调递减，在上单调递增，
故，
即恒成立，
即当时，．
【解析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出曲线的切线方程，即可求得答案；
分类讨论的取值范围，根据导数与函数单调性的关系，即可得答案；
结合得，故要证明，即证，由此构造函数，求出其最小值，说明最小值大于恒成立，即可证明结论．
本题考查了导数的几何意义的应用、函数单调性的讨论以及不等式的证明，解答的关键是将不等式的证明问题转化为构造新函数，求解函数的最值问题，即可解决，属于中档题．
19.【答案】解：因为，所以，定义域为：．
则，
因为，所以或，，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
所以是的极大值点，是的极小值点．
当时，，
所以，又因为，
所以，，
令，，
，
所以在上单调递增，
所以，
所以．
证明：因为，所以，则，
设切点为，则，，
则切线方程为，
即：，
将点代入切线方程得：，
即：，
令，则，
或，，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
当时，有极大值为，
当时，有极小值为，
又因为，，所以，
所以与有三个不同的交点．
即：方程有三个不同的根．
所以且时，经过点作曲线的切线，则切线有三条．
【解析】运用导数研究单调性进而求得极值点；
分离参数得，，运用导数求最值即可；
设出切点坐标及切线方程，根据已知条件可得，进而将问题转化为研究与交点个数即可．
本题考查了函数的单调性，极值点，最值问题，考查导数的应用以及切线方程问题，考查转化思想，是难题．
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