2023-2024学年海南省海口市海南中学高三（下）第五次月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年海南省海口市海南中学高三（下）第五次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设复数，则( )
A. B. C. D.
3.为了研究某班学生的脚长单位：厘米和身高单位：厘米的关系，从该班随机抽取名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为，已知，，该班某学生的脚长为，据此估计其身高为( )
A. B. C. D.
4.等比数列中，，则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点若，则( )
A. B. C. D.
6.若正三棱台的上、下底面的边长分别为和，侧棱长为，则其体积为( )
A. B. C. D.
7.设，且，则( )
A. B. C. D.
8.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的两条渐近线分别交于、两点若，，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.有一组样本数据，，，，，，，其中是最小值，是最大值，则( )
A. ，，，，的众数等于，，，，，，的众数
B. ，，，，的中位数等于，，，，，，的中位数
C. ，，，，的方差不大于，，，，，，的方差
D. ，，，，的极差不小于，，，，，，的极差
10.已知函数，将图象上所有点的横坐标都缩短到原来的，再把所得图象向右平移个单位后得到函数的图象，则( )
A. 是奇函数 B. 在区间上的值域为
C. 在区间上单调递增 D. 点是的图象的一个对称中心
11.设数列的前项和为，已知，且，则下列结论正确的是( )
A. 数列是等比数列 B. 数列是等比数列
C. D.
12.已知函数的定义域为，为奇函数，且，则( )
A.
B.
C.
D. 在区间上至少有个零点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数是奇函数，则实数 ______．
14.在的展开式中，的系数为______．
15.已知是边长为的正三角形，是边上的中线现将沿折起，使二面角等于，则四面体外接球的表面积为______．
16.在平面直角坐标系中，已知，，是圆：上的两个动点，满足，则面积的最大值是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知数列的前项和为，，，，其中为常数．
证明：；
是否存在，使得为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
18.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，已知．
求角的大小；
设，的面积为，周长为，求的最大值．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，，，，．
证明：平面；
若，，求直线与平面所成角的正弦值．
20.本小题分
某健身馆为预估年月份客户投入的健身消费金额，随机抽样统计了年月份名客户的消费金额，分组如下：，，，，单位：元，得到如图所示的频率分布直方图：
请用抽样的数据预估年月份健身客户人均消费的金额同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；
若消费金额不少于元的客户称为健身卫士，不少于元的客户称为健身达人现利用分层随机抽样的方法从健身卫士中抽取人，再从这人中抽取人做进一步调查，求抽到的人中至少人为健身达人的概率；
为吸引顾客，在健身项目之外，该健身馆特推出健身配套营养品的销售，现有两种促销方案．
方案一：每满元可立减元；
方案二：金额超过元可抽奖三次，每次中奖的概率为，且每次抽奖互不影响，中奖次打折，中奖次打折，中奖次打折．
若某人打算购买元的营养品，请您帮他分析应该选择哪种促销方案．
21.本小题分
已知椭圆：过点，离心率为．
求椭圆的方程；
若直线与椭圆相交于、两点、不是椭圆的左、右顶点，且以线段为直径的圆过椭圆的右顶点求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
22.本小题分
已知函数，．
当为何值时，轴为曲线的切线；
用表示，中的最小值，设函数，讨论零点的个数．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了交集及其运算，是基础题．
直接利用交集运算求解．
【解答】
解：集合，，则，
故选：．
2.【答案】
【解析】解：因为，
则．
故选：．
利用复数的运算性质求出，再根据共轭复数的定义即可求解．
本题考查了复数的运算性质以及共轭复数的求解，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，，
由，且，得，
关于的线性回归方程为，
取，得，
据此估计其身高为．
故选：．
由已知求得与，代入线性回归方程求得，得到线性回归方程，取求得值即可．
本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了等比数列的性质和必要条件，充分条件与充要条件的判断．属于基础题．
先用等比数列的通项公式，表示出，进而可判断不一定成立；同时根据成立可知，进而推断出，判断出必要条件．最后综合可得答案．
【解答】
解：如果，
，
若，则，
，
“”不是“”的充分条件；
如果成立，则，又，

，
，
故可判断，“”是“”的必要条件．
综合可知，“”是“”必要而不充分条件．
故选B．
5.【答案】
【解析】解：如图，
由抛物线：，得．
过作准线的垂线，垂足为，根据已知条件，
结合抛物线的定义得，
，则．
故选：．
过作准线的垂线，垂足为，根据已知条件，结合抛物线的定义得，从而可得结论．
本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、向量的共线，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：正三棱台上下底面的中心为，，连接，，，
过作交于点，
，，，，
垂直于上下底面，且，，
四边形为矩形，
，
又，
，，
又，，
三棱台的体积为．
故选：．
根据条件先计算出正三棱台的高，然后根据棱台的体积公式求解出结果．
本题考查正三棱台的体积的求解，属中档题．
7.【答案】
【解析】解：，．
，即，即，，即，
故选：．
由题意利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得，可得，从而得出结论．
本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：，，，
∽，
又，
，
，即，
直线的方程为，
联立直线与渐近线，即，解得，
，
，化简可得，
由双曲线的性质，可得，即，
，
．
故选：．
结合已知条件，可得，联立直线与渐近线，可推得点的坐标，并由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可推得，再结合双曲线的性质和离心率的公式，即可求解．
本题主要考查双曲线的性质，以及离心率的求解，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对：设样本数据为：，，，，，，，则数据，，，，，，的众数为，而数据，，，，的众数为，，
所以，，，，的众数不等于，，，，，，的众数，
故A错误；
对：把数据，，，，，，按从小到大顺序排好，则数据，，，，，，的中位数为；数据，，，，的中位数也是，故B正确；
对：一组数据是常数时，去掉两个值可以理解为最大、最小值，数据的波动性不变；当数据不是常数时，去掉最大、最小值，数据的波动性一定变小，也就是方差变小．所以，，，，的方差不大于，，，，，，的方差．故C正确；
对：把数据，，，，，，按从小到大的顺序排好，则，，，，，，的极差为，数据，，，，的极差为，因为，，故，即，，，，的极差不大于，，，，，，的极差．故D错误．
故选：．
根据众数、中位数、方差、极差的概念以及计算公式逐项判断即可．
本题主要考查众数、中位数、方差、极差的概念以及计算公式，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：将图象上所有点的横坐标都缩短到原来的，得到，
再把所得图象向右平移个单位后，得到，
对于选项A：显然的定义域为，且，
可知是偶函数，故A错误；
对于选项B：若，则，可得，
所以，故B错误；
对于选项C：若，则，且在内单调递减，
所以在区间上单调递增，故C正确；
对于选项D：，所以点是的图象的一个对称中心，故D正确．
故选：．
根据图象变换结合诱导公式可得，再根据余弦函数性质逐项分析判断．
本题主要考查了函数的图象变换，诱导公式以及余弦函数的性质的综合应用，考查了函数思想，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：由，且，
可得，
则数列是首项为，公比为的等比数列，
可得，即，，故A错误，BC正确；
由，，
作差可得，
化简可得，故D正确．
故选：．
由等比数列的定义和通项公式，可怕的；由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．
本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式和求和公式，以及数列的错位相减法求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，因为函数的定义域为，为奇函数，
所以，即，
令，则，即，故A正确；
对于，因为，
所以，即，
所以，所以，
所以是函数的一个周期，故B正确；
对于，假设，则，
因为，且的定义域为，
所以既是奇函数又是偶函数，
所以恒成立，与题干矛盾，故C不正确；
对于选项D，因为，，
所以，
所以在上至少有两个零点，
因为，所以为周期为的偶函数，
而，
所以在上至少有个零点，故D正确．
故选：．
根据题意，利用特殊值法求得，进而判断的正误；利用函数的对称性与奇偶性即可判断、的正误；利用该函数的周期性即可判断的正误，综合可得答案．
本题考查函数奇偶性和对称性的应用，涉及函数的周期性，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：根据题意，函数是奇函数，
则有，即，
变形可得：，则有．
故答案为：．
根据题意，由奇函数的定义可得，变形可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质以及应用，注意函数奇偶性的定义，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由题意可得多项式表示个因式相乘，
由计数原理可得，所求的含的项为，
则的系数为．
故答案为：．
由题意可得多项式表示个因式相乘，然后根据二项式定理求出含的项，由此即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：是正三角形，且是边上的中线，
，，且，，平面，
平面，
记的中点为，的外接圆圆心为，
过作平面的垂线，则球心在该垂线上，连接，
，，
为二面角的平面角，
，
由正弦定理可知，，
由垂径定理以及线面垂直的性质易知四边形是矩形，
，
，即外接球的半径，
外接球的表面积为，
故答案为：．
画出图形，由二面角等于可得，利用正弦定理求出的长，再结合勾股定理求解．
本题主要考查了二面角的定义，考查了三棱锥外接球问题，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：设中点为，因为，所以，
由垂径定理可知，且，有公共点，所以，，共线，
所以，
设到的距离为，所以，，
所以到的距离为位于和之间或位于和之间，且，
所以且，
设
所以，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，所以的最大值为．
故答案为：．
根据条件先确定出，的位置关系，然后利用到的距离表示出，由此构造函数利用导数求解出的最大值．
本题考查直线与圆的综合运用，涉及到几何法表示弦长、利用导数求最值，对学生的计算能力要求较高，难度较大，是难题．
17.【答案】解：证明：由，，，
可得时，，
上面两式相减可得，
化为，
即为；
假设存在，使得为等差数列．
由，可得，
由，可得，
由，，成等差数列，可得，
即，解得，
可得的公差为，，
则成立．
所以，存在，且．
【解析】由数列的递推式，结合时，，可得证明；
假设存在，使得为等差数列，由等差数列的性质和通项公式，可得结论．
本题考查数列的递推式和等差数列的定义和通项公式、性质，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
18.【答案】解：因为，所以，
又因为，所以，
所以，
所以，
又因为，
所以；
因为，
所以，，
则，，
所以，
因为，
所以
，
因为，
所以，，
故当时，上式取得最大值．
【解析】先根据正弦定理进行边化角，然后再根据弦化切求解出的值，则可知；先根据正弦定理将，表示为角的正弦形式，然后表示出三角形面积和周长，利用二倍角公式及辅助角公式进行化简，结合正弦型函数的性质可求的最大值．
本题主要考查了正弦定理，和差角公式，二倍角公式在三角化简中的应用，还考查了正弦函数性质在最值求解中的应用，属于难题．
19.【答案】解：因为，，
所以，
所以，
又，且，平面，平面，
所以平面．
因为，，
则，且，可知，
在平面内过点作轴垂直于，又由知平面，
分别以，所在直线为，轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
因为，则，
可得，，，
设平面的一个法向量为，
则，
取得，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
【解析】根据，，利用勾股定理得到，再由，利用线面垂直的判定定理证明．
由，，易得，在平面内过点作轴垂直于，再结合以，所在直线为，轴建立空间直角坐标系，求得的坐标，平面的一个法向量，利用空间向量求线面夹角．
本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．
20.【答案】解：因为样本数据的平均数为：
，
所以预估年月份健身客户人均消费的金额为元；
健身卫士中健身达人所占比例为，
所以抽取的人中健身达人有人，
记“抽到的人中至少人为健身达人”为事件，
所以；
若选方案一，只需付款元，
若选方案二，设付款金额为元，则可取，，，，
所以，
，
，
，
所以元，
因为，
所以应选择第二种促销方案．
【解析】将组中值乘以对应频率并将所得结果相加即可求得健身客户人均消费的金额；
先分析出抽取的人中健身达人的人数，然后利用组合数求解出对应事件的概率；
直接分析出方案一的付款金额；设方案二的付款金额为元，先求解出的概率分布，然后可求，比较与方案一的付款金额可知结果．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了古典概型的概率公式，以及离散型随机变量的期望，属于中档题．
21.【答案】解：设椭圆的焦距为，
由题意知，，解得，，，
所以椭圆的方程为．
证明：由题意知，直线的斜率不可能为，设其方程为，，，
联立，得，
所以，，
因为以线段为直径的圆过椭圆的右顶点，
所以
，
化简得，
解得或舍，
所以，即，
所以直线过定点，且该定点的坐标为．
【解析】根据椭圆的方程与几何性质，列方程组求解即可；
设直线的方程为，将其与椭圆方程联立，利用，结合韦达定理，求出的值，即可得解．
本题考查直线与椭圆的位置关系，熟练掌握椭圆的几何性质，平面向量数量积的坐标运算，灵活运用韦达定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：设曲线与轴相切于点，则，，
，则，
所以，解得，
因此当时，轴是曲线的切线．
当时，，从而，
在无零点，
当时，若，则，，
故是的零点；若，则，，
故不是的零点，
当时，，所以只需考虑在的零点个数，
(ⅰ)若或，则在无零点，
故在单调，而，，
所以当时，在有一个零点；当时，在无零点；
(ⅱ)若，则在单调递减，在单调递增，
故当时，取的最小值，最小值为，
若，即，在无零点，
若，即，则在有唯一零点，
若，即，由于，，所以当时，在有两个零点；当时，在有一个零点．
综上，当或时，由一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点．
【解析】先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组，解出切点坐标与对应的值；
根据对数函数的图像与性质将分为，，研究的零点个数，若零点不容易求解，则对再分类讨论．
本题主要考查了利用导数研究曲线的切线，考查了利用导数研究函数的零点个数问题，属于中档题．
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