福建省福州第三中学2023-2024学年下学期高二期中考数学试卷（PDF版无答案）

福州三中 2023-2024 学年第二学期期中考试卷
高 二 数 学
第Ⅰ卷
一、单选题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．将 5 封不同的电子邮件发送到 4 个电子信箱中，则不同的发送方法共有( )
A． 9 种 B．20 种 C．54 种 D． 45 种
2．设 x、 y R，向量a = (x,1,1)，b = (1, y,1)， c = (3, 6,3)且a ⊥ c ，b//c ，则 a + b = ( )
A．3 B． 4 C． 2 2 D．2 3
3．随机变量 的分布列如下：
X 2 1 2
1
P a b
2
若E(X ) =1，则 D(X ) = ( )
A．0 B．2 C．3 D．4
4．某大学的 2 名男生和 3 名女生利用周末到社区进行志愿服务，当天活动结束后，这 5 名同学排成
一排合影留念，则下列说法正确的是( )
A．若要求 3 名女生排在一起，则这 5 名同学共有 48 种排法
B．若要求 2 名男生不相邻，则这 5 名同学共有 36 种排法
C．若要求女生从左到右是从高到矮排列，则这 5 名同学共有 20 种排法
D．若要求男生甲不站在最左边，女生乙不站最右边，则这 5 名同学共有 72 种方法
y2 x2
5．已知双曲线C ： =1（a 0，b 0）的上、下顶点分别为 A1，A2 ，点 P 在双曲线C 上（异
a2 b2
3
于顶点），直线 PA1，PA2 的斜率乘积为 ，则双曲线C 的渐近线方程为( )
4
1 3 2 3
A． y = x B． y = x C． y = x D． y = 2x
2 2 3
6．现有语文 数学 英语 物理各 1 本书，把这 4 本书分别放入 3 个不同的抽屉里，要求每个抽屉至少
放一本书且语文和数学不在同一个抽屉里，则放法数为( )
A．18 B． 24 C．30 D．36
第1页，共 4 页
{#{QQABKYKUggCIQJJAABgCQQVgCgOQkBEAAIoGQBAAoAAByBFABAA=}#}
6 2 6
7．设 (2 x) = a + a (1 x)+ a (1 x) + + a (1 x) ，则a1 +a2 +a3 +a4 +a0 1 2 6 5 +a6 等于( )
A．1 B． 63 C．63 D．64
8．已知 f ( x)是定义在R上的偶函数，且当 x 0时， f ( x) f (x)，则( )
A． f (4) ef (3) 2 B． f (4) e f (2)
f ( 4) e2 C． f ( 3) D． f ( 4) ef ( 2)
二、多选题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，
把它们都选出来．
9．下列说法中正确的是( )
A．“A与 B是互斥事件”是“A与 B互为对立事件”的必要不充分条件
B．已知随机变量 X的方差为 D (X )，则 D (2X 3) = 2D (X ) 3
1 8
C．已知随机变量 X服从二项分布 B 4, ，则 E (X ) =
3 9
2
D．已知随机变量 X服从正态分布 N (4, )且 P (X 6) = 0.85，则 P (2 X 4) = 0.35
10．等差数列 an 的前n项和为 Sn ，若a1 0，公差d 0，则( )
A．若 S4 S8，则 S12 0 B．若 S4 = S8，则 S6 是 Sn 中最大的项
C．若 S4 S5，则 S5 S6 D．若 S4 S5，则 S3 S4
π
11．已知函数 f ( x) = sin x a cos x (a R )的图象关于直线 x = 对称，则( )
6
A． f ( x)的最小正周期为 2π
( )
π π
B． f x 在 , 上单调递增 3 3
π
C． f ( x)的图象关于点 , 0 对称
3
2π
D．若 f ( x1 )+ f (x2 ) = 0 ,且 f ( x)在 (x1, x2 )上无极值点，则 x1 + x2 的最小值为
3
12．对于定义在区间D上的函数 f ( x)，若满足： x1， x2 D且 x1 x2，都有 f ( x1 ) f (x2 )，则
称函数 f ( x)为区间D上的“非减函数”，若 f ( x)为区间 0, 2 上的“非减函数”，且 f (2) = 2，
3
f ( x)+ f (2 x) = 2 ，又当 x , 2 时， f ( x) 2 (x 1)恒成立，下列命题中正确的有( )
2
3
A． f (1) =1 B． x0 , 2 ， f ( x0 ) 1
2
1 2 25 7 1
C． f + f + f + f = 4 D． x 0, ， f ( f (x)) f (x)+ 2
4 3 18 4 2
第2页，共 4 页
{#{QQABKYKUggCIQJJAABgCQQVgCgOQkBEAAIoGQBAAoAAByBFABAA=}#}
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在相应横线上．
13．从 3 男 4 女共 7 名医生中，抽取 3 名医生参加社区核酸检测工作，则至少有 1 名女医生的选法
有_________种．(用数字作答)
6

14．在 2x3
1
的展开式中，含 x
2 项的系数为_________．
x
15．已知在 8 个电子元件中，有 3 个次品，5 个合格品，每次任取一个测试，测试完后不再放回，直
到 3 个次品都找到为止，则经过 4 次测试恰好将 3 个次品全部找出的概率为_________．
16．若过点 P (1,m)(m R )有 3 条直线与函数 f (x) = xex的图象相切，则m的取值范围是_____ ．
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分 10 分）
袋子中有 9 个大小、材质都相同的小球，其中 6 个白球，3 个红球．每次从袋子中随机摸出 1 个球，
摸出的球不再放回，求：
（1）在第一次摸到红球的条件下，第二次也摸到红球的概率；
（2）第二次摸到白球的概率．
18．（本小题满分 12 分）
c cosC
在 ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，且 = .
2b a cos A
（1）求角 的大小；
（2）若 c = 2， ABC 的面积 3 ，求 ABC 的周长．
19．（本小题满分 12 分）
如图，三棱锥 A BCD中， DA = DB = DC ， BD ⊥ CD ， ADB = ADC = 60 ， E 为 BC 中点．
（1）证明 BC ⊥ DA；
（2）点 F 满足 EF = DA，求二面角 D AB F 的正弦值．
第3页，共 4 页
{#{QQABKYKUggCIQJJAABgCQQVgCgOQkBEAAIoGQBAAoAAByBFABAA=}#}
20．（本小题满分 12 分）
为评估设备M 生产某种零件的性能，从设备M 生产零件的流水线上随机抽取 100 个零件作为样
本，测量其直径后，整理得到下表：
直径/mm 58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 合计
件数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 100
经计算，样本的平均值 = 65，标准差 = 2.2，以频率值作为概率的估计值.
（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为 X ，并根据以下不
等式进行评判（ P 表示相应事件的频率）；
①P( X ) 0.6827；②P( 2 X 2 ) 0.9545；
③P( 3 X 3 ) 0.9973 .
评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅
满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备 M 的性能等级.
（2）将直径小于或等于 2 或直径大于 2 的零件认为是次品.
（ⅰ）从设备M 的生产流水线上随意抽取 2 个零件，计算其中次品个数Y 的数学期望E(Y )；
（ⅱ）从样本中随意抽取 2 个零件，计算其中次品个数 Z 的分布列．(答案用分数表示，要画表格)
21．（本小题满分 12 分）
x
已知函数 f (x) = a (e + a) x．
（1）讨论 f ( x)的单调性；
3
（2）证明：当 a 0时， f (x) 2lna + ．
2
22．（本小题满分 12 分）
设圆 x2 + y2 +2x 15= 0的圆心为A ，直线 l过点 B(1,0)且与 轴不重合，l交圆A 于C, D两点，过
B 作 AD 的平行线交 AC 于点 E ．
（1）写出点 E 的轨迹方程；
（2）设点 E 的轨迹为曲线C1，过A 且与 l平行的直线与曲线C1交于P,Q两点，求 AD PQ 的取值范
围．
第4页，共 4 页
{#{QQABKYKUggCIQJJAABgCQQVgCgOQkBEAAIoGQBAAoAAByBFABAA=}#}