7.6 锐角三角函数的简单应用（1）
教学目标:
1．知识与技能：能把实际问题转化为数学问题，能借助计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明；21世纪教育网版权所有
2．过程与方法：经历探索实际问题的求解过程，进一步体会三角函数在解决实际过程中的作用；
3．情感态度与价值观：通过对问题情境的讨论，培养学生的问题意识，体验经历运用数学知识解决一些简单的实际问题，渗透“数学建模”的思想．
教学重点:
利用三角函数解决实际问题．
教学难点:
利用三角函数解决实际问题．
情境创设
“五一”节，小明和同学一起到游乐场游玩．游乐场的大型摩天轮的半径为20m，旋转1周需要12min．小明乘坐最底部的车厢（离地面约0.5m）开始1周的观光，经过2min后，小明离地面的高度是多少（如图）？
探索活动
活动一：根据问题情境，完成下面的问题．
（1）摩天轮启动多长时间后，小明离地面的高度将首次达到10m？
（2）小明将有多长时间连续保持在离地面10m以上的空中？
活动二：单摆的摆长AB为90cm，当它摆动到AB′的位置时，∠BAB′＝11°，问这时摆球B′较最低点B升高了多少？（精确到1cm）www.21-cn-jy.com
例题讲解
例1:如图，秋千链子的长度为3m，当秋千向两边摆动时，两边的摆动角度均为30o．求它摆动至最高位置与最低位置的高度之差（结果保留根号）．
例2:某商场门前的台阶截面如图所示．已知每级台阶的宽度（如CD）均为30cm，高度（如BE）均为20cm．为了方便残疾人行走，商场决定将其中一个门的门前台阶改造成供轮椅行走的斜坡，并且设计斜坡的倾斜角为9°．请计算从斜坡起点A到台阶前的点B的水平距离（参考数据：sin9°≈0.16，cos9°≈0.99，tan9°≈0.16）．21·cn·jy·com
小结与作业
通过这节课的学习，你有什么感受呢？你对自已这节课的表现有什么评价？你对同学这节课的表现有什么评价？说出来告诉大家．21cnjy.com
九年级数学课时练习 班级： 姓名
7.6 锐角三角函数的简单应用（1）
1、如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，AC=，BC=1，
那么的值是________
2、（2014?邵阳）一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到大事故船C处所需的大约时间．（温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）
3、（ 2014?广东）如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°（A、B、D三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：≈1.414，≈1.732）2·1·c·n·j·y
4、（ 2014?广西贺州）如图，一艘海轮在A点时测得灯塔C在它的北偏东42°方向上，它沿正东方向航行80海里后到达B处，此时灯塔C在它的北偏西55°方向上．
（1）求海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离（结果精确到0.1）；
（2）求海轮在B处时与灯塔C的距离（结果保留整数）．
（参考数据：sin55°≈0.819，cos55°≈0.574，tan55°≈1.428，tan42°≈0.900，tan35°≈0.700，tan48°≈1.111）21教育网
5. （2015·湖南省衡阳市）如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，求这个电视塔的高度AB（单位：米）。【来源：21·世纪·教育·网】
6. （2015?绵阳）如图，要在宽为22米的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，求此时路灯的灯柱BC高度。
7. ★★★(2015?江苏南京)如图，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO,P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°,则当△PAB为直角三角形时，求AP的长。21·世纪*教育网
7.6(1)
1.;2.解：如图，过点C作CD⊥AB交AB延长线于D．
在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，AC=80海里，
∴CD=AC=40海里．
在Rt△CBD中，∵∠CDB=90°，∠CBD=90°﹣37°=53°，
∴BC=≈=50（海里），
∴海警船到大事故船C处所需的时间大约为：50÷40=（小时）．
3. 解：∵∠CBD=∠A+∠ACB，∴∠ACB=∠CBD﹣∠A=60°﹣30°=30°，∴∠A=∠ACB，
∴BC=AB=10（米）．在直角△BCD中，CD=BC?sin∠CBD=10×=5≈5×1.732=8.7（米）．
答：这棵树CD的高度为8.7米．
4.解：（1）C作AB的垂线，设垂足为D，根据题意可得：∠1=∠2=42°，∠3=∠4=55°，
设CD的长为x海里，在Rt△ACD中，tan42°=，则AD=x?tan42°，
在Rt△BCD中，tan55°=，则BD=x?tan55°，∵AB=80，∴AD+BD=80，
∴x?tan42°+x?tan55°=80，解得：x≈34.4，
答：海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离是34.4海里；
（2）在Rt△BCD中，cos55°=，∴BC=≈60海里，
答：海轮在B处时与灯塔C的距离是60海里．
5.
6. 解：如图，延长OD，BC交于点P．
∵∠ODC=∠B=90°，∠P=30°，OB=11米，CD=2米，
∴在直角△CPD中，DP=DC?cot30°=2m，PC=CD÷（sin30°）=4米，
∵∠P=∠P，∠PDC=∠B=90°，∴△PDC∽△PBO，∴=，
∴PB===11米，∴BC=PB﹣PC=（11﹣4）米．
7. 解析：如图，分三种情况讨论：图(1)中，∠APB=90°，
∵AO=BO, ∠APB=90°，∴PO=AO=BO=2,
又∠AOC=60°, ∴△APO是等边三角形，∴AP=2；
图(2)中，∠APB=90°， ∵AO=BO, ∠APB=90°，∴PO=AO=BO=2,
又∠AOC=60°, ∴∠BAP=30°,在Rt△ABP中，AP=cos30°×4=
图(3)中，∠ABP=90°, ∵BO=AO=2 , ∠BOP=∠AOC=60°, ∴PB=, ∴AP= ∴AP的长为2，或。
7.6 锐角三角函数的简单应用（2）
教学目标:
1．知识与技能：
（1）认清俯角、仰角和方位角；
（2）能把实际问题转化为数学问题，能借助计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明；
2．过程与方法：经历探索实际问题的求解过程，进一步体会三角函数在解决实际问题中的作用；
3．情感态度与价值观：通过对问题情境的讨论，培养学生的问题意识，体验经历运用数学知识解决一些简单的实际问题，渗透“数学建模”的思想．
教学重点：
利用俯角、仰角和方位角相关知识解决实际问题．
教学难点：
三角函数在解决问题中的灵活运用．
情境创设
热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B处的仰角为30o，看这栋高楼底部C处的俯角为60o，若热气球与高楼的水平距离为90m，则这栋高楼有多高？（结果保留整数，≈1.414，≈1.732）（下图）
探索活动
活动一：如图，飞机在距地面9km高空上飞行，先在A处测得正前方某小岛C的俯角为30°，飞行一段距离后，在B处测得该小岛的俯角为60°．求飞机的飞行距离．21世纪教育网版权所有
活动二：海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A处看见灯塔B在海船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C处，发现此时灯塔B在海船的北偏西45°方向，求此时灯塔B到C处的距离．21教育网
思考：（1）如何做辅助线？（2）设哪条线段为未知数计算最简单？
例题讲解
怎样测量停留在空中的气球高度呢？明明设计了这样一个方案：
先站在地面上某点处观测气球，测得仰角为27°，然后他向气球方向前进了50m，此时观测气球，测得仰角为40°．若明明的眼睛离地面1.6m， 如何计算气球的高度呢？（下图）21cnjy.com
拓展提高
东方山是鄂东南地区的佛教圣地，月亮山是黄荆山脉第二高峰，山顶上有黄石电视塔．据黄石地理资料记载：东方山海拔DE＝453.20米，月亮山海拔CF＝442.00米，一飞机从东方山到月亮山方向水平飞行，在东方山山顶D的正上方A处测得月亮山山顶 C的俯角为α，在月亮山山顶C的正上方B处测得东方山山顶D处的俯角为β，如图，已知tanα＝0.15987，tanβ＝0.15847，若飞机的飞行速度为180米/秒，则该飞机从A到B处需多少时间？（精确到0．1秒）
思考：（1）如何利用“tanα＝0.15987，tanβ＝0.15847”这个条件？
（2）如何做辅助线？
小结与作业
通过这节课的学习，你有什么感受呢？你对自已这节课的表现有什么评价？你对同学这节课的表现有什么评价？说出来告诉大家．21·cn·jy·com
九年级数学课时练习 班级： 姓名
7.6 锐角三角函数的简单应用(2)
1．（2014年云南省）如图，小明在M处用高1米（DM=1米）的测角仪测得旗杆AB的顶端B的仰角为30°，再向旗杆方向前进10米到F处，又测得旗杆顶端B的仰角为60°，请求出旗杆AB的高度（取≈1.73，结果保留整数）www.21-cn-jy.com
2．（2014?襄阳）如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A的仰角为45°，测得大树AB的底部B的俯角为30°，已知平台CD的高度为5m，则大树的高度为 m（结果保留根号）2·1·c·n·j·y
3．（2014?四川自贡）如图，某学校新建了一座吴玉章雕塑，小林站在距离雕塑2.7米的A处自B点看雕塑头顶D的仰角为45°，看雕塑底部C的仰角为30°，求塑像CD的高度．（最后结果精确到0.1米，参考数据：）【来源：21·世纪·教育·网】
4．（2014年江苏南京）如图，梯子斜靠在与地面垂直（垂足为O）的墙上，当梯子位于AB位置时，它与地面所成的角∠ABO=60°；当梯子底端向右滑动1m（即BD=1m）到达CD位置时，它与地面所成的角∠CDO=51°18′，求梯子的长．（参考数据：sin51°18′≈0.780，cos51°18′≈0.625，tan51°18′≈1.248）www-2-1-cnjy-com
5. （2015山东省德州市）如图，某建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距38m的D处观测旗杆顶部A的仰角为50°，观测旗杆底部B的仰角为45°，求旗杆的高度。（结果精确到0.1m,参考数据：sin50°≈0.77， cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）21·世纪*教育网
参考答案：
1. 解：∵∠BDE=30°，∠BCE=60°，∴∠CBD=60°﹣∠BDE=30°=∠BDE，∴BC=CD=10米，
在Rt△BCE中，sin60°=，即=，∴BE=5，AB=BE+AE=5+1≈10米．
答：旗杆AB的高度大约是10米．
2. 解：作CE⊥AB于点E，在Rt△BCE中，BE=CD=5m，CE==5m，
在Rt△ACE中，AE=CE?tan45°=5m，AB=BE+AE=（5+5）m．故答案为：（5+5）．
3. 解：在Rt△DEB中，DE=BE?tan45°=2.7米，在Rt△CEB中，CE=BE?tan30°=0.9米，
则CD=DE﹣CE=2.7﹣0.9≈1.2米．故塑像CD的高度大约为1.2米．
4. 解：设梯子的长为xm．在Rt△ABO中，cos∠ABO=，∴OB=AB?cos∠ABO=x?cos60°=x．
在Rt△CDO中，cos∠CDO=，∴OD=CD?cos∠CDO=x?cos51°18′≈0.625x．
∵BD=OD﹣OB，∴0.625x﹣x=1，解得x=8．故梯子的长是8米．
5. 解：根据题意得：EF⊥AC，CD∥FE，∴四边形CDEF是矩形，
已知底部B的仰角为45°即∠BEF=45°，∴∠EBF=45°，∴CD=EF=FB=38，
在Rt△AEF中，AF=EF?tan50°=38×1.19≈45.22
∴AB=AF﹣BF=45.22﹣38≈7.2，∴旗杆的高约为7米．
故答案为：7.2．
7.6 锐角三角函数的简单应用（3）
教学目标：
1．知识与技能：?
（1）掌握斜坡坡度i，了解并学会用三角函数有关知识解决工程中相关实际问题；
（2）能把实际问题转化为数学问题，能借助计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明；
2．过程与方法：经历探索实际问题的求解过程，进一步体会三角函数在解决实际过程中的作用；
3．情感态度与价值观：通过对问题情境的讨论，培养学生的问题意识，体验经历运用数学知识解决一些简单的实际问题，渗透“数学建模”的思想．
教学重点：
利用坡度与坡角之间的关系为解决实际问题．
教学难点：
三角函数在解决问题中的灵活运用．
情境创设
如图是一个拦水大坝的横断面图，AD∥BC．斜坡AB＝10m，大坝高为8m．（下图）
（1）斜坡AB的坡度iAB＝___．
（2）如果坡度iAB＝1∶，则坡角∠B＝___．
（3）如果坡度iAB＝1∶2，AB＝8m，则大坝高度为___
探索活动
活动一：如图，小明从点A处出发，沿着坡度为10°的斜坡向上走了120m到达点B，然后又沿着坡度为15°的斜坡向上走了160m到达点C，问点C相对于起点A升高了多少？（精确到0.1m）（参考：
）（上图）
活动二：学校校园内有一小山坡AB，经测量，坡角∠ABC＝30°，斜坡AB长为12米．为方便学生行走，决定开挖小山坡，使斜坡BD的坡比是1∶3（即为CD与BC的长度之比）．21世纪教育网版权所有
A、D两点处于同一铅垂线上，求开挖后小山坡下降的高度AD．
例题讲解
如图，水坝的横截面是梯形ABCD，迎水坡BC的坡角α为30°，背水坡AD的坡度β为1∶1.2， 坝顶宽DC＝2.5米，坝高4.5米．
求：（1）背水坡AD的坡角β（精确到0.1°）；
（2）坝底宽AB的长（精确到0.1米）．
思考：在上题中，为了提高堤坝的防洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶CD加宽0.5米，背水坡AD的坡度改为1∶1.4，已知堤坝的总长度为5km，求完成该项工程所需的土方（精确到0.1米3） ．21cnjy.com
拓展提高
1．如图，某人在大楼30米高（即PH＝30米）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，已知该山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1∶，点P、H、B、C、A在同一个平面上的点H、B、C在同一条直线上，且PH⊥HC．则A、B两点间的距离是（ ）
A．15 ??? B．20? ? C．20??? D．10
2．如图所示，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面．已知山坡的坡角，量得树干倾斜角，大树被折断部分和坡面所成的角．www.21-cn-jy.com
（1）求的度数；（2）求这棵大树折断前的高度？（结果精确到个位，参考数据：，，）．
引导学生思考：需要做辅助线吗？可以用多种方法求出树的高度吗？
小结与作业
通过这节课的学习，你有什么感受呢？你对自已这节课的表现有什么评价？你对同学这节课的表现有什么评价？说出来告诉大家．21教育网
九年级数学课时练习 班级： 姓名
7.6 锐角三角函数的简单应用(3)
1. (2015·河南)如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D出测得大树顶端B的仰角是48°. 若坡角∠FAE=30°，求大树的高度. （结果保留整数，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，≈1.73）21·cn·jy·com
2. （2015?浙江省绍兴市）如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°。
（1）求∠BPQ的度数；
（2）求该电线杆PQ的高度（结果精确到1m）。备用数据：，
3. （2015?江苏泰州,第23题10分）如图，某仓储中心有一斜坡AB，其坡度为，顶部A处的高AC为4m，B、C在同一水平地面上。2·1·c·n·j·y
（1）求斜坡AB的水平宽度BC；
（2）矩形DEFG为长方形货柜的侧面图，其中DE=2.5m，EF=2m.将该货柜沿斜坡向上运送，当BF=3.5m时，求点D离地面的高。（，结果精确到0.1m）
参考答案：
1.13米。
2. 解：延长PQ交直线AB于点E，（1）∠BPQ=90°﹣60°=30°；
（2）设PE=x米．在直角△APE中，∠A=45°，则AE=PE=x米；
∵∠PBE=60°，∴∠BPE=30°，在直角△BPE中，BE=PE=x米，
∵AB=AE﹣BE=6米，则x﹣x=6，解得：x=9+3．则BE=（3+3）米．
在直角△BEQ中，QE=BE=（3+3）=（3+）米．
∴PQ=PE﹣QE=9+3﹣（3+）=6+2≈9（米）．
答：电线杆PQ的高度约9米．
3. 【答案】(1) 8m．(2) 4.5m．
【解析】（1）根据坡度定义直接解答即可； （2）作DS⊥BC，垂足为S，且与AB相交于H．证出∠GDH=∠SBH，根据，得到GH=1m，利用勾股定理求出DH的长，然后求出BH=5m，进而求出HS，然后得到DS．
解：（1）∵坡度为i=1：2，AC=4m，∴BC=4×2=8m．
（2）作DS⊥BC，垂足为S，且与AB相交于H．
∵∠DGH=∠BSH，∠DHG=∠BHS， ∴∠GDH=∠SBH，
∵DG=EF=2m，∴GH=1m，∴DH=m，BH=BF+FH=3.5+（2.5－1）=5m，
设HS=xm，则BS=2xm， ∴x2+（2x）2=52，∴x=m， ∴DS=+=2m≈4.5m．
考点：解直角三角形的应用－坡度坡角问题．
