数学人教A版（2019)必修第二册8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 课件（共19张ppt）

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人教版必修第二册A版
8.3.1《 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 》
第1课时
(1)矩形面积：______；
(2)三角形面积：______________ ;正三角形面积：_____
(3)梯形的面积：_____________
(4)圆的面积：________ 圆的周长：________
(6)扇形面积公式：_____________________
复习引入
基 本 图 形 面 积 公 式
一
（此页不展示）问题：在初中已经学过了正方体和长方体的表面积,正方体和长方体的展开图与其表面积有什么关系
长方体、正方体表面积
展开图
平面图形面积
空间问题
平面问题
在初中已经学过了正方体和长方体的表面积,正方体和长方体的
展开图与其表面积有什么关系
问题：对于一个一般的棱柱或棱锥、棱台，它们的体积及表面积
又如何来计算呢？
侧面积等于侧面各个平行四边形的面积和.
表面积等于底面积与侧面积的和.
探究1：
如果你是一名刷漆工人，面对如下的三棱柱，要求用不同的颜色给三棱柱的每个面都涂上颜料，你将刷几个面？由刷漆的工作，你能从中体会到求解多面体的表面积与侧面积的方法吗？
二
探究新知1—— 棱柱、棱锥、棱台的表面积
侧面积等于侧面各个三角形的面积和；
侧面积等于侧面各个梯形的面积和；
表面积等于底面积与侧面积的和.
表面积等于底面积与侧面积的和.
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和.
例1：四面体P-ABC的各棱长均为a，求它的表面积．
B
C
A
P
解:因为△PBC是正三角形，其边长为a，
所以
因此，四面体P-ABC的表面积
立体几何问题
平面几何问题
2.如果把第一个烙饼看作棱柱的 ，烙饼的个数
看作棱柱的 ， 那么
（一）棱柱的体积
探究2：如图，已知一位卖早点的师傅在用一个三角形厨具烙面饼，烙好的第一个面饼可以看做一个三角形面，那么如果把10个烙好的面饼（这些面饼都是全等的三角形面）堆积在一起，会形成一个什么样的多面体？受这一生活场景的启发，我们是否能从中得出棱柱的体积公式？
= 底面积 × 高
探究新知2：棱柱、棱锥、棱台的体积
三
问题：1.把10个烙好的面饼（这些面饼都是 的三角形面）堆积在一起，会形成一个 ；
全等
三棱柱
底面
高
=S底h
一般地，如果棱柱的底面面积为S，高为h，那么这个棱柱的体积
V棱柱＝Sh
直棱柱的侧棱垂直于底面，故侧棱长即为直棱柱的高.
棱柱的高
注：棱柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离.
仔细观察实验视频，你发现了什么？
分析：由灌注实验可以看出
（1）等底等高的棱柱体积是棱锥体积的3倍；（2）反之，等底等高的棱锥体积是棱柱体积的 .
（二）棱锥的体积
探究3：
一般地，如果棱锥的底面面积为S，高为h，那么这个棱锥的体积
V棱锥＝ Sh
棱锥的高
即：棱锥的体积等于与它等底等高棱柱体积的
注：棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离.
其中S′，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高.
V棱台
阅读教材P115，棱台的体积公式是什么？
棱台的高
（三）棱台的体积
思考：棱台是怎么形成的？棱台体积公式应该如何推导呢？
棱台体积公式推导：如图，设三棱锥与的高分别为与，底面积分别为与,截面与底面之间的距离（即棱台的高）为 ,则有
即 ①
又∵三棱锥 三棱锥
∴ , 即 （注：相似图形的面积比等于相似比的平方）
∴ , 即
整理得 ② , 将②代入①可得
思考：棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间有什么关系？如何用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系？
V棱柱＝Sh
V棱锥＝ Sh
V棱台
上底扩大
S'=S
S'=S
S'=0
上底缩小
S'=0
等底面积且等高的两个同类多面体的体积相等.
例2：一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5 m，公共面ABCD是边长为1 m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米？
分析：漏斗由两个多面体组成，其容积就是两个多面体的体积.
例2：一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5 m，公共面ABCD是边长为1 m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米？
解：由题意知
V棱锥P-ABCD
V长方体ABCD-A'B'C'D'＝1×1×0.5=0.5 (m3)
所以这个漏斗的容积
2.已知正六棱台的上下底面边长分别为和，高为，则其体积为 .
四
巩固练习
1.已知棱长为a，底面为正方形，各侧面均为等边三角形的四棱锥S-ABCD，求它的表面积。
课堂小结
棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
表面积
体积
各个面的面积的和
V棱锥＝ Sh
V棱台
V棱柱＝Sh
S'=S
S'=0