3.1.1 函数的概念 课件（共61张PPT）

(共61张PPT)
集合与常用逻辑用语
第三章 函数的概念与性质
3.1.1　函数的概念
3.1　函数的概念及其表示
通过丰富实例，学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用．
了解构成函数的三要素，会求简单函数的定义域、值域．
能够正确使用“区间”的符号表示某些集合．
理解同一个函数的概念．，并能判断两个函数是否是同一个函数．
学习目标
请同学们阅读课本75页《阅读与思考》(大约3分钟)，大家通过阅读函数概念的发展历程可以发现：函数概念的发展与生产、生活以及科学技术的实际需要紧密相关，而且随着研究的深入，函数概念不断得到严谨化、精确化的表达，这与我们学习函数的过程是一样的.也就是说函数并不是很神秘、很可怕的东西，它只是一个名称，它就在我们身边，比如路程随时间的变化而变化；一天中温度随时间的变化而变化；“夸父一号”在发射过程中，上升的高度随时间的变化而变化，可以说这种变量关系无处不在，而我们要做的就是用心去体验、去感受它的美.
导语
复习回顾
1.初中学习的函数概念是什么？
2.请问：我们在初中学过哪些函数？
设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值,y都有唯一的值与它对应,则称x是自变量,y是x的函数.
问题1 某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速
运行半小时. 这段时间内，列车行进的路程 S（单位：km）
与运行时间 t（单位：h）的关系可以表示为 .
S=350t
这里，t 和 S 是两个变量是两个变量，而且对于 t 的每一个确定的值，S都有唯一确定的值与之对应，所以 S 是 t 的函数.
思考 有人说：“根据对应关系S=350t，这趟列车加速到350km/h后，运行1h就前进了350km”，你认为这个说法正确吗？
新知探究
问题2 某电器维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天. 如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w(单位：元)是他工作天数d的函数吗？
显然，工资w是一周工作天数d的函数，其对应关系是 .
w=350 d
其中，d的变化范围是数集：
w的变化范围是数集 ：
对于数集 中的任一个工作天数d，按照对应关系②，在数集 中都有唯一确定的工资w与它对应.
问题1和问题2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？
问题3 图3.1-1是北京市2016年11月23日的空气质量指数（简称AQI）变化图，如何根据该图确定这一天内任一时刻 t h 的空气质量指数（AQI）的值 I ？你认为这里的 I 是 t 的函数吗？你能根据图3.1-1找到中午12时的 AQI 的值吗？
从图3.1-1中的曲线可知，t 的变化范围是数集 AQI 的值 I 都在数集 中. 对于数集 中的任一时刻t，按照图3.1-1中曲线所给定的对应关系，在数集 中唯一确定的 AQI 的值 I 与之对应，因此这里的 I 是 t 的函数.
问题4 国际上常用恩格尔系数 反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高. 表3.1-1是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高.
你认为按表3.1-1给出的对应关系，恩格尔系数 r 是年份 y 的函数吗？如果是，你会用怎样的语言来刻画这个函数？
这里，y的取值范围是数集
r的取值范围是数集 对于数集 中的任意一个年份y，根据表3.1-1的对应关系，在数集 中都有唯一确定的恩格尔系数r与之对应. 所以r是y的函数.
问题1　阅读课本本节的问题1和问题2，并思考它们有什么异同点？
提示　它们有相同的解析式，也就是对应关系.但它们有不同的实际背景，变量的取值范围也不同.
问题2　请同学们继续阅读课本上的问题3和问题4，它们分别是函数吗？如果是，请指出它们与问题1和问题2中的函数的区别.
提示　是函数，由图象和表格呈现出来的变量间的对应关系比解析式更直观、形象.
问题5　通过上面4个问题的分析，你能说出它们有什么不同点和共同点吗？
提示　不同点：课本中的问题1,2是用解析式刻画两个变量之间的对应关系，问题3是用图象刻画两个变量之间的对应关系，问题4是用表格刻画两个变量之间的对应关系.
共同点：①都包含两个非空数集，分别用A，B来表示； ②都有一个对应关系；
③对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应.
事实上，除解析式、图象、表格外，还有其他表示对应关系的方法. 为了表示方便，我们引进符号f统一表示对应关系.
01　函数的概念
定义 设A、B是非空的__________，如果对于集合A中的_______________，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有____________的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A
三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A
定义域 _____的取值集合
值域 与x的值相对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}.
实数集
任意一个数x
唯一确定
x
知识点1　函数的概念
新知形成
思考1：(1)对应关系f一定是解析式吗？
(2)f(x)与f(a)有何区别与联系？
提示：(1)不一定．对应关系f可以是解析式、图象、表格，或文字描述等形式．
(2)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值．
(2)相关概念：x叫做_______，x的取值范围A叫做函数的_________；与x的值相对应的y值叫做________，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的_______. 显然，值域是集合B的_______.
(3)同一个函数：如果两个函数的________相同，并且_________完全一致，即相同的自变量对应的函数值相同，那么这两个函数是同一个函数．
自变量　
定义域　
函数值　
值域　
子集　
定义域　
对应关系　
练习：判断下列图象能表示函数图象的是（ ）
A． B．
C． D．
C
02　区间及相关概念
(1)一般区间的表示
设a，b是两个实数，而且_______，我们规定：
a[a，b]　
(a，b)　
[a，b)　
(a，b]　
知识点2　函数的概念
(2)实数集R可以用区间表示为_____________，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．
(3)特殊区间的表示
(－∞，＋∞)　
[a，＋∞)　
(a，＋∞)　
(－∞，b]　
(－∞，b)　
[学透活用]
1．区间[5,8)表示的集合是(　　)
A．{x|x≤5或x>8}　　 B．{x|5C．{x|5≤x<8} D．{x|5≤x≤8}
[解析]　区间[5,8)表示的集合是{x|5≤x<8}，故选C．
2．已知f(x)＝2x＋1，则f(5)＝(　　)
A．3 B．7 C．11 D．25
[解析]　f(5)＝2×5＋1＝11，故选C．
答案 C
答案 C
3．下列区间与集合{x|x<－2或x≥0}相对应的是(　　)
A．(－2,0)　　 B．(－∞，－2]∪[0，＋∞)
C．(－∞，－2)∪[0，＋∞)　 D．(－∞，－2]∪(0，＋∞)
答案　C　
解析　集合{ x|x<－2或x≥0}可表示为 (－∞，－2)∪[0，＋∞)．
4．{x|x＞1且x≠2}用区间表示为________．
解析　{x|x＞1且x≠2}用区间表示为(1,2)∪(2，+∞)．
答案　(1,2)∪(2，＋∞)
03　常见函数的定义域和值域
a>0
a<0
知识点3 常见函数的定义域和值域
1. 函数y＝－x2＋1，－1≤x<2的值域是(　　)
A．(－3,0]　　　　　 B．(－3,1]
C．[0,1] D．[1,5)
B
[解析]　由y＝－x2＋1，x∈[－1,2)，
可知当x＝2时，ymin＝－4＋1＝－3；
当x＝0时，ymax＝1，
因为x≠2，所以函数的值域为(－3,1]．
(1)对称轴在限定区间的左边，则函数在限定区间左端点取最小值，右端点取最大值；
(2)对称轴在限定区间的右边，则函数在限定区间左端点取最大值，右端点取最小值；
(3)对称轴在限定区间内，则函数在对称轴处取最小值，限定区间中距离对称轴较远的端点取最大值．
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的值域
04　题型探究
(1)下列对应或关系式中是A到B的函数的是(　　)
A．A∈R，B∈R，x2＋y2＝1
B．A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图：
B
题型1　函数概念的理解
[解析]　(1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是A到B的函数．
(2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2，在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与之对应，故是集合A到集合B的函数．
(3)A中元素负整数没有平方根，故在B中没有对应的元素，故此对应不是A到B的函数．
(4)对于集合A中一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0，在集合B中都有唯一一个确定的数0与之对应故是集合A到集合B的函数．
判断对应关系是否为函数的方法
主要从以下三个方面去判断
(1)A，B必须是非空数集；
(2)A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；
(3)A中任何一个元素在B中的对应元素必须唯一．
题型2　求函数定义域问题
求函数定义域的常用依据
(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零；
(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零；
(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使指数幂运算有意义的实数集合；
(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义；
(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．
题型3　求函数值和函数值域问题
求函数值域的原则及常用方法
(1)原则：①先确定相应的定义域；
②再根据函数的具体形式及运算确定其值域．
(2)常用方法：①逐个求法：当定义域为有限集时，常用此法；
②观察法：如y＝x2，可观察出y≥0；
③配方法：对于求二次函数值域的问题常用此法；
题型4　同一个函数的判定
答案　②③
D
(1)判断函数是否相等的三个步骤．
(2)两个注意点： ①在化简解析式时，必须是等价变形；
②与用哪个字母表示变量无关．
判断同一个函数的三个步骤和两个注意点
题型5　复合函数、抽象函数的定义域
(1)若函数f(x)的定义域为(－1,2)，则函数f(2x＋1)的定义域为___________.
(2)若函数f(2x＋1)的定义域为(－1,2)，则函数f(x)的定义域为___________.
(3)若函数f(2x＋1)的定义域为(－1,2)，则函数f(x－1)的定义域为________.
(－1,5)
(0,6)
[解析]　(1)由－1<2x＋1<2，得－1∴f(2x＋1)的定义域为(－1，12)．
(2)∵－1∴f(x)的定义域为(－1,5)．
(3)由f(2x＋1)的定义域为(－1,2)得f(x)的定义域为(－1,5)，
由－1∴f(x－1)的定义域为(0,6)．
3. (1)已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，求函数f(x－5)的定义域；
(2)已知函数f(x－1)的定义域是[0,3]，求函数f(x)的定义域．
[解析]　(1)由－1≤x－5≤5，得4≤x≤10，所以函数f(x－5)的定义域是[4,10]．
(2)由0≤x≤3，得－1≤x－1≤2，所以函数f(x)的定义域是[－1,2]．
函数y＝f[g(x)]的定义域由y＝f(t)与t＝g(x)的定义域共同决定：
(1)若已知函数f(x)的定义域为数集A，则函数f[g(x)]的定义域由g(x)∈A解出．
(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为数集A，则函数f(x)的定义域为g(x)在A中的值域．
求抽象函数的定义域的方法
05　随堂检测
1.函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的定义域为_____________________，值域为______________.
{x|－2≤x≤4或5≤x≤8}
{y|－4≤y≤3}
随堂检测
答案　ABC
解析　A中的函数定义域不同；
B中y＝x0的x不能取0；
C中两函数的对应关系不同，故选ABC.
3.已知f(x)＝x2＋x＋1，则f[f(1)]的值是(　　)
A.11 B.12 C.13 D.10
答案　C
解析　f[f(1)]＝f(3)＝9＋3＋1＝13.
06　课堂小结
1．对函数概念的五点说明
(1)对数集的要求：集合A，B为非空数集．
(2)任意性和唯一性：集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．
(3)对符号“f”的认识：它表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．
(4)一个区别：f(x)是一个符号，不表示f与x的乘积，而f(a)表示函数f(x)当自变量x取a时的一个函数值．
(5)函数三要素：定义域、对应关系和值域是函数的三要素，三者缺一不可．
课堂小结
2．求函数的定义域就是求使函数解析式有意义的自变量的取值范围，列不等式(组)是求函数定义域的基本方法．
3．求函数的值域常用的方法有：观察法、配方法、换元法、分离常数法、图象法等．
谢谢观看！