北京市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（pdf版，含答案）

北京师大附中 2023—2024 学年(下)高二期中考试
数学试卷
班级：___________姓名：___________学号：__________
考 1．本试卷有三道大题，共 5 页。考试时长 120 分钟，满分 150 分。
生 2．考生务必将答案填写在答题卡上，在试卷上作答无效。
须
知 3．考试结束后，考生应将答题卡交回。
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，
选出符合题目要求的一项。
1. 已知 a a a an 为等差数列，且a1 1， 3 4 5 15，则a7 （ ）
（A）12 （B）9
（C）6 （D）3
2.函数 y x 在 x 1处的瞬时变化率为（ ）
1 1
（A） 2 （B） （C） （D）1
2 2
3. (1 x)4 的展开式中 x3的系数是（ ）
（A） 6 （B） 6 （C） 4 （D） 4
2
4.曲线 y 在点Q(1,2)处的切线方程为（ ）
x
（A） 2x y 4 0 （B） 2x y 4 0
（C） x y 1 0 （D） x y 1 0
5.从0,1,2,3中选取三个不同的数字组成一个三位数，则不同的三位数有（ ）个
（A）24 （B）20 （C）18 （D）15
北京师大附中 2023—2024 学年(下)高二期中数学试卷第 1 页(共 5 页)
{#{QQABYYKQogioQJAAARgCQQGiCgOQkBAAAKoGwAAAoAAByRFABAA=}#}
6.已知某一离散型随机变量 X 的分布列,且 E(X ) 6.2 ,则 a的值为（ ）
X 4 a 9
P 0.5 0.1 b
（A）5 （B） 6 （C） 7 （D）8
x2 y2 5
7.若双曲线C : 1的一条渐近线方程为 y x ，则双曲线C 的离心率为（ ）
a2 b2 2
（A） 1 （B） 2 （C） 3 （D） 2
2 3 2
8.已知数列 an 为等比数列，则“a 0 ，q 11 ”是“ an 为递减数列”的（ ）
（A） 充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
9.把一枚骰子连续抛掷两次，记事件M 为“两次所得点数均为奇数”， N 为“至少有一
次点数是 5”，则已知事件M 发生的条件下事件 N 发生的概率 P(N | M ) ( )
2 1 1 5
（A） （B） （C） （D）
3 3 2 9
10.在数列 2 {a }中， a 1， an 1 kan 1 (n N ) ，若存在常数 c ，对任意的 n
，都
n 1 N
有 a c 成立，则正数 k 的最大值为（ ） n
1 1 1 1
（A） （B） （C） （D）
5 4 3 2
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
11.在3名男生和3名女生中任选 2人参加一项活动，其中恰好有1名男生的不同的选法种
数是_______.（用数字作答）
5 4 5
12.设 (1 2x) a0 a1x a4x a5x ，则 a0 a1 a2 a3 a4 a5 ____；
a0 a2 a4 ____.
北京师大附中 2023—2024 学年(下)高二期中数学试卷第 2 页(共 5 页)
{#{QQABYYKQogioQJAAARgCQQGiCgOQkBAAAKoGwAAAoAAByRFABAA=}#}
13．假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如下表所示：
品牌 甲 乙 其他
市场占有率 50% 30% 20%
优质率 90% 80% 70%
在该市场中任意买一部智能手机，则买到的是优质品的概率是_______.
14.对于数列 a ，令T a a a a ( 1)n 1n n 1 2 3 4 a .若n a n，则n T ； 2024 ___
若Tn n ，则 a2024 _______ .
15.数列 *{an}满足 a 1， a ， (n≥3,n N ) ．给出下列四个结论： 1 2 1 an an 1 an 2
① 存在m *N ，使得 a ， a ， 成等差数列； m m 1 am 2
② 存在m *N ，使得 a ，m a ，m 1 a 成等比数列； m 2
③ 存在常数 t ，使得对任意 n *N ，都有 a ， ta ， a 成等差数列； n n 2 n 4
④ 存在正整数 i1 ,i , ,i ，且 ，使得 . 2 m i1 i2 im ai a1 i ai 1002 m
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．(本小题 13 分)
已知无穷等比数列 an 的各项均为整数， a2 2 ，a1 a3 5．
（Ⅰ）求 an 的通项公式；
（Ⅱ）令bn an 1 2n，求数列 bn 的前n 项和 Sn ，并求出 Sn 的最小值．
北京师大附中 2023—2024 学年(下)高二期中数学试卷第 3 页(共 5 页)
{#{QQABYYKQogioQJAAARgCQQGiCgOQkBAAAKoGwAAAoAAByRFABAA=}#}
17．(本小题 14 分)
某超市销售5种不同品牌的牙膏，它们的包装规格均相同，销售价格（元/管）和市场份
额（指该品牌牙膏的销售量在超市同类产品中所占比重）如下：
牙膏品牌 A B C D E
销售价格 15 25 5 20 35
市场份额 15% 10% 25% 20% 30%
（Ⅰ）从这5种不同品牌的牙膏中随机抽取1管，估计其销售价格低于25元的概率；
（Ⅱ）依市场份额进行分层抽样，随机抽取 20管牙膏进行质检，其中 A 和B 共抽取了 n
管．
（ⅰ）求 n 的值；
（ⅱ）从这 n 管牙膏中随机抽取 3管进行氟含量检测．记 X 为抽到品牌 B 的牙膏数
量，求 X 的分布列和数学期望．
（Ⅲ）品牌F 的牙膏下月进入该超市销售，定价 25元/管，并占有一定市场份额．原有5
个品牌的牙膏销售价格不变，所占市场份额之比不变．设本月牙膏的平均销售价为每管
1元，下月牙膏的平均销售价为每管 2 元，比较 1, 2 的大小．（只需写出结论）
18．(本小题 13 分)
在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，动点 P 与两个定点 M (1,0)， N (4,0)的距离之比
1
为 ．
2
（Ⅰ）求动点P 的轨迹W 的方程；
（Ⅱ）若直线 l ： y kx 3与曲线W 交于 A ， B 两点，在曲线W 上是否存在一点Q ，
使得OQ OA OB，若存在，求出此时直线 l 的斜率；若不存在，说明理由．
北京师大附中 2023—2024 学年(下)高二期中数学试卷第 4 页(共 5 页)
{#{QQABYYKQogioQJAAARgCQQGiCgOQkBAAAKoGwAAAoAAByRFABAA=}#}
19．(本小题 15 分)
已知函数 f (x) x ln x 2.
（Ⅰ）求曲线 y f (x)在点 (1, f (1)) 处的切线方程；
（Ⅱ）求曲线 y f (x) x 的单调增区间；
（Ⅲ）若函数 y f (x) ax在区间 (e, )上为单调递增函数，求实数 a 的取值范围；
20．(本小题 15 分)
x2 y2
已知椭圆 E : 1(a b 0) 的长轴长为 4，且经过点 ( 2, 1) ．
a2 b2
（Ⅰ）求椭圆 E 的方程及离心率；
（Ⅱ）设椭圆 E 的左顶点为 A，斜率不为零的直线 l 经过点 (1,0) ，且与椭圆 E 相交于M ，
N 两点，直线 AM 与直线 x 4 相交于点Q．问：直线 NQ是否经过 x 轴上的定点？若过
定点，求出该点坐标；若不过定点，说明理由．
21．(本小题 15 分)
已知有穷数列 A : a1,a2 , ,aN (N

N , N ≥ 3) 满足 ai { 1,0,1} (i 1,2, , N) .给定正整数
m ，若存在正整数 s,t (s t)，使得对任意的 k {0,1,2, ,m 1}，都有 as k at k ，则称
数列 A是m 连续等项数列．
（Ⅰ）判断数列 A : 1,1,0,1,0,1, 1是否为 3 连续等项数列？是否为 4 连续等项数列？
说明理由；
（Ⅱ）若项数为 N 的任意数列 A都是 2 连续等项数列，求 N 的最小值；
（Ⅲ）若数列 A : a1,a2 , ,aN 不是 4 连续等项数列，而数列 A1 : a1,a2 , ,aN , 1，数列
A2 : a1,a2 , ,aN ,0 与数列 A3 : a1,a2 , ,aN ,1都是 4 连续等项数列，且 a3 0 ，求 aN 的值．
北京师大附中 2023—2024 学年(下)高二期中数学试卷第 5 页(共 5 页)
{#{QQABYYKQogioQJAAARgCQQGiCgOQkBAAAKoGwAAAoAAByRFABAA=}#}
北京师大附中 2023—2024 学年(下)高二期中考试
数学答案
一、选择题 共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，
选出符合题目要求的一项。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D A C B C A D B
二、填空题 共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
题号 11 12 13 14 15
答案 9 1 121 0.83 1012 1 ①③④
三、解答题 共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过
程。
16．(本小题满分 13 分)
a2
解：（Ⅰ）设公比为q，由题意有a1 a3 a2q 5
q
1
代入a2 2 得 2q
2 5q 2 0，故q 或2
2
n 2 n 1
又各项均为整数，故q 2，于是an a2 2 2 .
b a 1 2n 2n 1 1 2n S n 2（Ⅱ） n n ， n 2 1 n ，
S b b b 1 2 2n 1n 1 2 n (1 3 2n 1)，
1 2n n(1 2n 1)
S 2n 1 n2 ， n
1 2 2
所以， Sn 2
n 1 n2．
所以， S1 2 1 1 0， S2 4 1 4 1， S3 8 1 9 2，
北京师大附中 2023—2024 学年(下)高二期中数学试卷答案第 1 页(共 6 页)
{#{QQABYYKQogioQJAAARgCQQGiCgOQkBAAAKoGwAAAoAAByRFABAA=}#}
S4 16 1 16 1，当n 4时， Sn 0，所以， Sn 的最小值是 2．
17．(本小题 14 分)
解：（Ⅰ）记“从该超市销售的牙膏中随机抽取1管，其销售价格低于25元”为事件 K ．
由题设，P(K) 0.15 0.25 0.2 0.6 ．
（Ⅱ）（ⅰ）由题设，品牌A 的牙膏抽取了 20 15% 3管，
品牌B 的牙膏抽取了 20 10% 2管，
所以 n 3 2 5．
（ⅱ）随机变量 X 的可能取值为0,1,2 ．
C3 1
P(X 0) 3 ；
C35 10
C2C1 3
P(X 1) 3 2 ；
C35 5
C1C2 3
P(X 2) 3 2 ．
C35 10
所以 X 的分布列为：
X 0 1 2
1 3 3
P
10 5 10
1 3 3 6
X 的数学期望为 E(X ) 0 1 2 ．
10 5 10 5
（Ⅲ） 1 2 ．
18．(本小题 13 分)
| PM | 1
解：（Ⅰ）设点P 的坐标为P(x, y) ，依题意， ，
| PN | 2
即 2 (x 1)2 y2 (x 4)2 y2 2 2， 化简得 x y 4 ．
2 2
所以动点P 的轨迹W 的方程为 x y 4 ．
（Ⅱ）因为直线 l ： y kx 3与曲线W 相交于 A，B 两点，
北京师大附中 2023—2024 学年(下)高二期中数学试卷答案第 2 页(共 6 页)
{#{QQABYYKQogioQJAAARgCQQGiCgOQkBAAAKoGwAAAoAAByRFABAA=}#}
| 3 | 5 5
所以 dO l 2， 所以 k 或 k ．
1 k 2 2 2
假设存在点Q，使得OQ OA OB ．
因为 A， B 在圆上，且OQ OA OB ，
由向量加法的平行四边形法则可知四边形OAQB 为菱形，
所以OQ与 AB 互相垂直且平分，
1
所以原点O到直线 l ： y kx 3的距离为 d | OQ | 1．
2
| 3 |
即 d 1 2，解得 k 8， k 2 2O l ，经验证满足条件．
1 k 2
所以存在点Q，使得OQ OA OB ．
19．(本小题 15 分)
（Ⅰ）解：求导，得 f (x) ln x 1，
又因为 f (1) 2， f (1) 1，
所以曲线 y f (x)在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x y 1 0 .
（Ⅱ）令 g(x) f (x) x x ln x x 2，
求导，得 g (x) ln x， 由 ln x 0，得 x 1，
所以单调递增区间是 (1, ) .
（Ⅲ）解：设函数F(x) f (x) ax x ln x ax 2，
求导，得 F (x) ln x a 1，
因为函数F(x) f (x) ax在区间 (e, )上为单调递增函数，
所以在区间 (e, )上，F (x)≥0 恒成立，
即 a≥ ln x 1恒成立.
北京师大附中 2023—2024 学年(下)高二期中数学试卷答案第 3 页(共 6 页)
{#{QQABYYKQogioQJAAARgCQQGiCgOQkBAAAKoGwAAAoAAByRFABAA=}#}
又因为函数 h(x) ln x 1在区间 (e, )上单调递减，
所以 h(x) h(e) 2，
所以 a≥ 2 .
20．(本小题 15 分)
x2 y2
解：（Ⅰ）因为椭圆 E : 1(a b 0) 的长轴长为 4，且过点 ( 2, 1) ，
a2 b2
则 2a 4 ，得 a 2，
2 1
所以 1，得b2 2．
4 b2
x2 y2
所以椭圆 E 的方程为 1．
4 2
因为 a2 4 ，b2 2，
所以 c a2 b2 2 ．
c 2
所以椭圆 E 的离心率 e ．
a 2
（Ⅱ）直线 NQ过定点 (2,0)．理由如下：
设直线 l 的方程为 x my 1，
x my 1,
由 得 (m2 2)y2 2my 3 0．
x
2 2y2 4
显然， 0．
2m 3
设M (x1, y ) ， N(x , y ) ，则 y y , y y ． 1 2 2 1 2 2 1 2m 2 m2 2
y
直线 1AM 的方程为 y (x 2) ．
x1 2
6y 6y
令 x 4，得 y 1 ，则Q (4, 1 ) ．
x1 2 x1 2
6y1 y2
x 2 6y y (x 2)
所以直线 NQ的斜率为 k 1 1 2 1NQ ，且 kNQ 0 ．
4 x2 (4 x2 )(x1 2)
6y y (x 2)
所以直线 NQ的方程为 y y 1 2 12 (x x2 ) ．
(4 x2 )(x1 2)
北京师大附中 2023—2024 学年(下)高二期中数学试卷答案第 4 页(共 6 页)
{#{QQABYYKQogioQJAAARgCQQGiCgOQkBAAAKoGwAAAoAAByRFABAA=}#}
y (4 x )(x 2)
令 y 0 ，则 x x 2 2 12
6y1 y2 (x1 2)
x2[6y1 y2 (x1 2)] y 2
(4 x2 )(x1 2)
6y1 y2 (x1 2)
6x2 y1 4y 2
(x1 2)
6y1 y2 (x1 2)
6(my2 1)y1 4y2 (my 1
3)
6y1 y2 (my1 3)
2my
1
y2 6y1 12y2
my1 y2 6y1 3y2
3 2m
2m( ) 6( ) 18y
m2
2
2 m
2 2
3 2m
m( ) 6( ) 9y
m2
2
2 m2 2
18m 18(m2 2)y
2 2．
9m 9(m2 2)y2
所以直线 NQ过定点 (2,0)．
21．(本小题 15 分)
解：（Ⅰ）数列 A是3 连续等项数列，不是 4 连续等项数列．理由如下：
因为 a2 k a4 k (k 0,1,2)，所以 A是3 连续等项数列．
因为 a , a , a , a 为 1,1, 0 ,11 2 3 4 ；
a2 , a3 , a4 , a 为1, 0 ,1, 05 ；
a , a , a , a 为 0 ,1, 0 ,13 4 5 6 ；
a4 , a5 , a , a 为1, 0 ,1, 16 7 ，
所以不存在正整数 s ,t (s t) ，使得 as k at k (k 0,1,2,3)．
所以 A不是 4 连续等项数列．
（Ⅱ）设集合 S {(x, y) | x { 1,0,1}, y { 1,0,1}}，则 S 中的元素个数为32 9 ．
因为在数列 A中，ai { 1,0,1} (i 1,2, , N) ，所以 (a ,a ) S (i 1,2, , N 1)i i 1 ．
若 N ≥11，则 N 1≥10 9．
所以在 (a1,a2 ),(a2 ,a3),(a3,a4 ), , (aN 1,aN ) 这 N 1个有序数对中，
至少有两个有序数对相同，
北京师大附中 2023—2024 学年(下)高二期中数学试卷答案第 5 页(共 6 页)
{#{QQABYYKQogioQJAAARgCQQGiCgOQkBAAAKoGwAAAoAAByRFABAA=}#}
即存在正整数 s ,t (s t) ，使得 as at ,as 1 at 1 ．
所以当项数 N ≥11时，数列 A一定是 2 连续等项数列．
若 N 3，数列 0,0,1不是 2 连续等项数列．
若 N 4，数列 0,0,1,1不是 2 连续等项数列．
若 N 5，数列 0,0,1,1,0不是 2 连续等项数列．
若 N 6，数列 0,0,1,1,0, 1不是 2 连续等项数列．
若 N 7，数列 0,0,1,1,0, 1,1不是 2 连续等项数列．
若 N 8，数列 0,0,1,1,0, 1,1, 1不是 2 连续等项数列．
若 N 9，数列 0,0,1,1,0, 1,1, 1, 1不是 2 连续等项数列．
若 N 10，数列0,0,1,1,0, 1,1, 1, 1,0 不是 2 连续等项数列．
所以 N 的最小值为11．
（Ⅲ）因为 A1, A2 与 A3都是 4 连续等项数列，而 A : a1,a2 , ,aN 不是 4 连续等项数
列，
所以存在两两不等的正整数 i, j,k (i, j,k N 2)，使得
ai aN 2 ,ai 1 aN 1,ai 2 aN ,ai 3 1，
a j aN 2 ,a j 1 aN 1,a j 2 aN ,a j 3 0，
ak aN 2 ,ak 1 aN 1,ak 2 aN ,ak 3 1．
下面用反证法证明min{i, j,k} 1．
假设min{i, j,k} 1，
因为 ai 1,a j 1,ak 1,aN 3 { 1,0,1}，
所以 ai 1,a j 1,ak 1,aN 3 中至少有两个数相等．
不妨设 ai 1 a j 1，则 ai 1 a j 1,ai a j ,ai 1 a j 1,ai 2 a j 2 ，
所以 A是 4 连续等项数列，与题设矛盾．
所以min{i, j,k} 1．
所以 aN ai 2 a j 2 ak 2 a3 0．
北京师大附中 2023—2024 学年(下)高二期中数学试卷答案第 6 页(共 6 页)
{#{QQABYYKQogioQJAAARgCQQGiCgOQkBAAAKoGwAAAoAAByRFABAA=}#}