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专题19 数形结合之一次函数与一元一次方程综合（三大题型，40题）
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一、题型一：已知直线与坐标轴交点求方程的解，15题，难度三星 1
二、题型二：由一元一次方程的解判断直线与X轴的交点，15题，难度三星 6
三、题型三：利用图象法解一元一次方程 11
一、题型一：已知直线与坐标轴交点求方程的解，15题，难度三星
1．（22-23八年级下·河北廊坊·阶段练习）一次函数和的图象相交于点，则关于的方程的解是（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23八年级下·江西新余·期末）一次函数与的图象如图，则下列结论：
①；
②；
③关于x的方程的解是；
④当时，中．则正确的序号有（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
3．（22-23八年级下·四川成都·期末）在直角坐标平面内，一次函数的图象如图所示，那么下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．方程的解是
C．当时，
D．不等式的解集是
4．（22-23八年级下·四川南充·期末）如果直线经过点，那么关于x的方程的解是 ．
5．（22-23八年级·山东济南·期中）直线过点，，则关于x的方程的解为 ．
6．（22-23八年级下·天津滨海新·期末）平面直角坐标系中，直线与相交于点，有下列结论：
①关于x，y的方程组的解是；
②关于x的不等式的解集是；
③关于x的方程的解是；
④．
其中，正确的是 （填写序号）．
7．（22-23八年级下·辽宁阜新·期末）在数学学习中，及时对知识进行归纳和整理是完善知识结构的重要方法．小刚在学习了一次方程（组）、一元一次不等式和一次函数后，结合图示对相关知识作如下归纳整理：
(1)小刚学习笔记中的①②③④分别指什么呢？请你根据以上的复习阅读，在下面横线上将他们所指的内容写出来：
①____________________；
②____________________；
③____________________；
④____________________；
(2)如果点的坐标为，那么不等式的解集是______．
8．（22-23八年级下·四川广安·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点C为中点．
(1)求直线的解析式；
(2)点D在x轴正半轴上，直线与交于点E，若，求；
(3)若点M在直线上，当时，求点M坐标.
9．（23-24九年级·北京海淀·开学考试）在平面直角坐标系中，点是直线上一点，点A向右平移4个单位长度得到点B
(1)求B点的坐标；
(2)若直线l：与线段有公共点，直接写出k的取值范围．
10．（23-24八年级·安徽合肥·期中）画出函数的图象，结合图象：
（1）求方程的解；
（2）求不等式的解集；
（3）若，直接写出的取值范围．
11．（23-24八年级·山东青岛·期中）五子棋的比赛规则是：只要同色5子连成一条直线为胜利．如图是两人玩的一盘棋，若白棋①的位置是，黑棋②的位置是．解答下列问题：
(1)白棋③的位置是 ；
(2)如果现在轮到黑棋走，黑棋放在 位置就获得胜利了；
(3)如果现在轮到白棋走，白棋放在 位置就获得胜利了．
(4)在（2）的条件下，黑棋获胜了．
①设此时黑色5子连成直线的表达式是，则方程的解是 ．
②若黑色5子连成直线的表达式中，则x的取值范围是 ．
12．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：与坐标轴交于，两点，点为的中点，动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向终点运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿射线方向运动，当点到达点时，点也停止运动以，为邻边构造，设点运动的时间为秒．
(1)直接写出点的坐标为 ．
(2)如图，过点作轴于，过点作轴于证明：≌．
(3)如图，连接，当点恰好落在的边所在的直线上时，求所有满足要求的的值．
13．（22-23八年级下·山东枣庄·期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们理解数学问题．如图1，已知一次函数（k、b为常数，且）的图象．
(1)方程的解为______，不等式的解集为______；
(2)若正比例函数（m为常数，且）与一次函数相交于点P（如图2），则不等式组的解集为______；
(3)比较与的大小（根据图象直接写出结果）．
14．（22-23八年级下·陕西延安·阶段练习）已知一次函数的图象经过点．
(1)求k的值，并在如图的平面直角坐标系中，画出函数的图象；
(2)直接写出关于x的方程的解__________．
15．（22-23八年级下·湖南怀化·期末）如图，已知一次函数（k，b为常数，）的图像经过点，．
(1)由图可知，关于x的一元一次方程的解是___________；
(2)求该一次函数的表达式．
二、题型二：由一元一次方程的解判断直线与X轴的交点，15题，难度三星
16．（23-24八年级·山东济南·期末）在平面直角坐标系中，第一象限内的点和在第四象限内的，若满足：，那么称点Q为点P的“影像点”，例如：点的影像点为点，点的影像点为点，如图，若点在直线上，当时，存在点P的影像点Q，则的最大值为（ ）
A．4 B． C．5 D．
17．（23-24八年级·江苏泰州·阶段练习）如图，两个一次函数与的图像交于点，则下列结论错误的是（ ）
A．方程的解是 B．不等式和不等式的解集相同
C．方程组的解是 D．不等式组的解集是
18．（22-23八年级下·山西忻州·期中）如图所示，正方形的顶点B，C在x轴的正半轴上，反比例函数在第一象限的图．象经过顶点和上的点E，且，过点E的直线l交x轴于点F，交y轴于点，则的长为（ ）
A． B．5 C． D．6
19．（21-22八年级·江西景德镇·期末）如图，点A的坐标为，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，点B在直线上运动．当线段最短时，求点B的坐标（ ）
A． B． C． D．
20．（20-21八年级下·江苏南京·期中）如图，在平面直角坐标系中，的边落在x轴的正半轴上，且点，点，直线以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，经过 秒该直线可将分成面积相等的两部分．
21．（22-23八年级下·广东汕尾·期末）如图，已知平面直角坐标系中有一点，且一次函数与x轴相交于点B，与y轴相交于点C，在直线上存在一动点M，连接，，当点M运动到最短时，的长度是 ．
22．（22-23八年级下·重庆九龙坡·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴交于点，点在轴上，平分，则线段 ．
23．（22-23八年级下·安徽芜湖·期末）将函数的图象以直线为对称轴进行翻折，则所得函数图象的解析式为 ．
24．（22-23八年级下·江苏无锡·阶段练面直角坐标系中，的边落在x轴的正半轴上，点，，当直线向下平移 个单位，此直线可将的面积平分．
25．（22-23八年级·贵州毕节·期末）如图，直线l：与x轴、y轴分别交于点E，F，点A的坐标为，是第二象限内的直线l上的一个动点．
(1)求点E，F的坐标．
(2)当点P运动到什么位置时，的面积为12？并求出此时点P的坐标．
(3)在点P运动过程中，试写出的面积S与点P的横坐标x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
26．（23-24八年级·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交、两点，与直线相交于点．
(1)求和的值；
(2)若直线与轴相交于点，动点从点开始，以每秒1个单位的速度向轴负方向运动，设点的运动时间为秒．
①若点在线段上，且的面积为10，求的值；
②是否存在的值，使为等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
27．（22-23八年级下·宁夏银川·期中）如图，函数和的图象相交于点．
(1)求m，a的值；
(2)根据图象，直接写出不等式的解集．
(3)求的面积．
28．（22-23八年级下·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别交于点A，B，直线与y轴交于点，与交于点，过点C作轴于E．
(1)求的长；
(2)点P是x轴上一动点，过点P作x轴的垂线，分别与直线，交于点M，N，设点P的横坐标为t，线段的长为m，的面积为S，请先画出图形，再求S关于t的函数关系式；
(3)在（2）的条件下，
①当时，m的最大值是________；
②当t的值为________时，以M、N、C、E为顶点的四边形为平行四边形．（直接写出答案）
29．（22-23八年级·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，点C是x轴上一动点（不与点O，A重合），连结BC，作，且，过点D作轴，垂足为点E．
(1)求点A，B的坐标．
(2)若点C在线段上，连结，猜想的形状，并证明结论．
(3)若点C在x轴上，点D在x轴下方，是以为底边的等腰三角形，求点D的坐标．
30．（22-23八年级·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，它与坐标轴分别交于、两点，已知点的纵坐标为．
(1)求出A点的坐标．
(2)在第一象限的角平分线上是否存在点使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)点P为y轴上一点，连结AP，若，求点P的坐标．
三、题型三：利用图象法解一元一次方程
31．（22-23八年级下·河南商丘·期末）如图，直线和直线相交于点，根据图像可知，关于的方程的解是（ ）
A．或 B． C． D．
32．（22-23八年级下·湖北武汉·期末）观察下列表格的对应值，则关于的方程（为常数）解的取值范围是（ ）．
2.13 2.14 2.15 2.16
0.04 0.01
A． B． C． D．
33．（22-23八年级下·江苏南通·期中）若一次函数与的图象交于点，则关于的方程的解为 ．
34．（22-23八年级下·福建厦门·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线，分别是函数和的图象．
（1）关于x的方程的解为 ．
（2）若，分别为方程和的解，则m，n的大小关系是m n．
35．（23-24八年级·江苏盐城·阶段练习）小航结合学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了研究，下面是小航的探索过程，请补充完整：
(1)列表：
x … 0 1 2 4 …
y … m 2 3 4 3 1 …
表格中________；
(2)根据列表，在给出的平面直角坐标系中描点，画出的函数图象，则的最大值是_________
(3)如图，已知直线l的表达式为，根据图像直接写出解集____________
36．（23-24八年级·广东深圳·期中）学习函数的时候我们通过列表、描点和连线的步骤画出函数的图象，进而研究函数的性质．请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题．
(1)若，则函数与x轴交点坐标为，与y轴交点坐标为；
(2)若，根据解析式，写出表格中m，n的值；
x … 0 1 2 3 4 …
y … 11 8 m 2 5 n 11 …
， ；
(3)在直角坐标系中画出（2）中函数图象；
(4)观察图象，若关于x的方程无解，则a的取值范围是 ．
37．（22-23八年级下·河南南阳·期中）小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：
(1)化简函数解析式：当时， ；当时， ；
(2)如表是与的几组对应值，表中 ；
0 1 2 3 4
1 1 1 1 3 7
(3)在图1的平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象；
(4)结合函数的图象，解决问题：
①写出该函数的一条性质： ；
②若关于的方程有两个实数根，直接写出的取值范围．
38．（22-23八年级·河南平顶山·期末）请你用学习“一次函数”时积累的经验和方法解决下列问题：
(1)在平面直角坐标系中，画出函数的图象：
①列表填空：
… －3 －2 －1 0 1 2 3 …
… —— —— —— 0 1 2 3 …
②描点、连线，画出的图象；
(2)结合所画函数图象，写出两条性质；
(3)结合所画函数图象，请直接写出方程的解．
39．（22-23八年级下·湖南郴州·期末）小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．
小明的探究过程如下：
列表：
x … m 0 1 2 3 4 …
y … 4 3 2 1 2 3 4 5 n …
(1)补全表格：______，______；
(2)以自变量x的值为横坐标，相应的函数值y为纵坐标，建立平面直角坐标系，请描出表格中的点，并连线．
(3)根据表格及函数图象探究函数性质：
①该函数的最小值为______；
②当时，函数值y随自变量x的增大而_______（填“增大”或“减小”）；
③若关于x的方程有两个不同的解，求b的取值范围．
40．（22-23八年级·河南郑州·期中）请你用学习“一次函数和二次根式”时积累的经验和方法解决下列问题：
(1)在平面直角坐标系中，画出函数的图象；
①列表填空：
x … 0 1 2 3 4 …
y … ____ 2 1 0 1 ____ 3 …
②描点、连线，画出的图象；
(2)结合所画函数图象，写出两条不同类型的性质；
(3)结合所画函数图象，写出方程的近似解．
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专题19 数形结合之一次函数与一元一次方程综合（三大题型，40题）
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一、题型一：已知直线与坐标轴交点求方程的解，15题，难度三星 1
二、题型二：由一元一次方程的解判断直线与X轴的交点，15题，难度三星 18
三、题型三：利用图象法解一元一次方程 41
一、题型一：已知直线与坐标轴交点求方程的解，15题，难度三星
1．（22-23八年级下·河北廊坊·阶段练习）一次函数和的图象相交于点，则关于的方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一次函数图象的交点坐标进行判断即可求解．
【详解】解：∵一次函数和的图象相交于点，
∴关于的方程的解为，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程．理解方程的解就是两个相应的一次函数图象的交点的横坐标是解决问题的关键．
2．（22-23八年级下·江西新余·期末）一次函数与的图象如图，则下列结论：
①；
②；
③关于x的方程的解是；
④当时，中．则正确的序号有（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【答案】B
【分析】根据一次函数的性质对①②进行判断；利用一次函数与一元一次方程的关系对③进行判断；利用函数图象，当时，一次函数在直线的上方，则可对④进行判断．
【详解】解：∵一次函数经过第一、二、四象限，
∴，所以①正确；
∵直线的图象与y轴的交点在x轴下方，
∴，所以②错误；
∵一次函数与的图象的交点的横坐标为3，
∴时，，整理得，则关于x的方程的解是，所以③正确；
当时，图像在图像的上方，
∴，所以④错误．
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式、一次函数图象与系数的关系，掌握一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式、一次函数图象与系数的关系是解题关键．
3．（22-23八年级下·四川成都·期末）在直角坐标平面内，一次函数的图象如图所示，那么下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．方程的解是
C．当时，
D．不等式的解集是
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的图象，根据函数的图象直接进行解答即可判断求解，利用数形结合求解是解题的关键．
【详解】解：一次函数的图象与轴，轴的交点为，，
当时，，故错误，不符合题意；
方程的解是，故正确，符合题意；
当时，，故错误，不符合题意；
不等式的解集是，故错误，不符合题意；
故选：．
4．（22-23八年级下·四川南充·期末）如果直线经过点，那么关于x的方程的解是 ．
【答案】
【分析】一次函数与x轴交点的横坐标即为一元一次方程的解．
【详解】解：∵直线经过点，
∴，解得，
∴关于x的方程的解是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系：一次函数与x轴交点的横坐标即为一元一次方程的解．
5．（22-23八年级·山东济南·期中）直线过点，，则关于x的方程的解为 ．
【答案】
【分析】所求方程的解，即函数图像与轴的交点横坐标，确定出解即可．
【详解】解：关于x的方程的解，即为函数图像与轴的交点横坐标，
直线过点，
方程的解为，
故答案为：．
【点睛】此题考查了一次函数与一元一次方程，掌握任何一元一次方程都可以转化为(，为常数，)的形式，所以解一元一次方程可以转化为，当某个一次函数的值为时，求相应的自变量的值.从图像上看，相当于已知直线确定它与轴的交点的横坐标的值，是解答本题的关键．
6．（22-23八年级下·天津滨海新·期末）平面直角坐标系中，直线与相交于点，有下列结论：
①关于x，y的方程组的解是；
②关于x的不等式的解集是；
③关于x的方程的解是；
④．
其中，正确的是 （填写序号）．
【答案】①②③
【分析】根据图像的交点同时满足函数的解析式，可以判定①③；利用数形结合思想可以判定②，④．
【详解】∵直线与相交于点，
∴关于x，y的方程组的解是，关于x的方程的解是，关于x的不等式的解集是，
当时，，
∵，
∴y随x的增大而减小，
∵
∴
故，
故①②③正确；④错误，
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了图像交点的意义，一次函数与方程组的关系，一次函数与不等式的关系，数形结合思想，熟练掌握一次函数与方程组的关系，一次函数与不等式的关系是解题的关键．
7．（22-23八年级下·辽宁阜新·期末）在数学学习中，及时对知识进行归纳和整理是完善知识结构的重要方法．小刚在学习了一次方程（组）、一元一次不等式和一次函数后，结合图示对相关知识作如下归纳整理：
(1)小刚学习笔记中的①②③④分别指什么呢？请你根据以上的复习阅读，在下面横线上将他们所指的内容写出来：
①____________________；
②____________________；
③____________________；
④____________________；
(2)如果点的坐标为，那么不等式的解集是______．
【答案】(1)；；；
(2)
【分析】（1）①写出对应的一元一次方程；②两个函数的解析式组成的方程组的解中，的值作为横坐标，的值作为纵坐标．③④可以写出两个对应的不等式．
（2）不等式的解集是，就是函数和的图象中，的图象位于上边的部分对应的自变量的范围．
【详解】（1）解：根据题意知：①；
②；
③；
④．
故答案为：；；；；
（2）如果点的坐标为，
那么不等式的解集是：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数与一元一次不等式，要求利用图象求解各问题，先画函数图象，根据图象观察，得出结论．认真体会一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的内在联系．
8．（22-23八年级下·四川广安·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点C为中点．
(1)求直线的解析式；
(2)点D在x轴正半轴上，直线与交于点E，若，求；
(3)若点M在直线上，当时，求点M坐标.
【答案】(1)；
(2)；
(3)或．
【分析】（1）先求得A、B的坐标，进而求得C的坐标，根据待定系数法即可求得；
（2）根据求得，得到D的坐标，利用待定系数法求得直线的解析式，与直线联立方程求得E的坐标，然后根据，求得即可；
（3）分两种情况：当M在第一象限时；当M在第三象限时，分别讨论即可求得．
【详解】（1）解：∵直线交x轴于点A，交y轴于点B，
当时，；当，，即，
∴，，
∵点C为中点．
，
设直线的解析式为，
则，解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：∵，
，
，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴线的解析式为，
∵直线与交于点E，
∴联立方程组，解得，
∴，
∴，
．
（3）解：∵，点C为中点，
，，
∵，
当M在第一象限时，
∴，
∴，
∴，
代入得，
，
当M在第三象限时，，
即，
∴，
∴，
代入得，
∴，
综上，M点的坐标为或．
【点睛】本题是一次函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形全等的性质，直线的交点以及三角形的面积等，分类讨论思想的运用是解题的关键．
9．（23-24九年级·北京海淀·开学考试）在平面直角坐标系中，点是直线上一点，点A向右平移4个单位长度得到点B
(1)求B点的坐标；
(2)若直线l：与线段有公共点，直接写出k的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）将点代入，求出m，得到点A的坐标，再根据向右平移，横坐标相加纵坐标不变求出点B的坐标；
（2）分别求出直线l：过点、点时k的值，再结合函数图象即可求出b的取值范围．
【详解】（1）解：∵点是直线上一点，
∴．
∴点A的坐标为．
∴点向右平移4个单位长度得到点B的坐标为．
（2）当直线l：过点时，
得，解得．
当直线l：过点时，
得，解得．
如图，若直线l：与线段AB有公共点，则或．
【点睛】此题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，求出点B的坐标是解题的关键．
10．（23-24八年级·安徽合肥·期中）画出函数的图象，结合图象：
（1）求方程的解；
（2）求不等式的解集；
（3）若，直接写出的取值范围．
【答案】图见解析；（1）；（2）；（3）
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数与一元一次不等式；利用两点法作图即可作出函数的图象，（1）图象与x轴的交点坐标的横坐标就是该方程的解；（2）就是函数的图象位于x轴的下方的部分对应的自变量的取值范围；（3）结合图象根据函数值的取值范围得到自变量的取值范围即可．
【详解】解：当时，，
当时，，
函数的图象如图所示：
（1）观察图象知：该函数图象经过点，
故方程的解为；
（2）观察图象知：当时，，
故不等式的解集为；
（3）解：当时，，解得：
当时，，解得：；
如图所示，
观察图象知：当时，．
11．（23-24八年级·山东青岛·期中）五子棋的比赛规则是：只要同色5子连成一条直线为胜利．如图是两人玩的一盘棋，若白棋①的位置是，黑棋②的位置是．解答下列问题：
(1)白棋③的位置是 ；
(2)如果现在轮到黑棋走，黑棋放在 位置就获得胜利了；
(3)如果现在轮到白棋走，白棋放在 位置就获得胜利了．
(4)在（2）的条件下，黑棋获胜了．
①设此时黑色5子连成直线的表达式是，则方程的解是 ．
②若黑色5子连成直线的表达式中，则x的取值范围是 ．
【答案】(1)
(2)或
(3)
(4)①或或或或或；②且x为正整数
【分析】本题考查了平面直角坐标系的建立，一次函数的应用，前三问中，先确定坐标轴的位置，再找坐标；第四问中，一次函数与坐标轴交点问题、与不等式的关系是解题的关键．
（1）根据已知①②的坐标，建立平面直角坐标系，然后确定③的位置；
（2）根据获胜原则和坐标系确定黑子位置；
（3）根据获胜原则和坐标系确定白子位置；
（4）①根据图形和方程解的意义得出结论；②根据图形确定自变量的取值范围．
【详解】（1）解：根据题意，建立直角坐标系，坐标原点如图所示：
∴白棋③的位置是，
故答案为：；
（2）解：根据图形，如果现在轮到黑棋走，黑棋放在或位置就获得胜利了，
故答案为：或；
（3）解：根据图形，如果现在轮到白棋走，白棋放在位置就获得胜利了，
故答案为：；
（4）①由题意知，方程的解是或或或或或．
故答案为：或或或或或；
②有图形可知，x的取值范围是且x为正整数．
故答案为：且x为正整数．
12．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：与坐标轴交于，两点，点为的中点，动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向终点运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿射线方向运动，当点到达点时，点也停止运动以，为邻边构造，设点运动的时间为秒．
(1)直接写出点的坐标为 ．
(2)如图，过点作轴于，过点作轴于证明：≌．
(3)如图，连接，当点恰好落在的边所在的直线上时，求所有满足要求的的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)或或
【分析】（1）根据直线解析式求得的坐标，进而根据中点坐标公式即可求解；
（2）根据平行四边形的性质，得出，，进而得出，，可得，进而即可得证；
（3）根据全等三角形的性质得出点的坐标，分点在直线，上，根据平行四边形的性质，分别讨论即可求解．
【详解】（1）解：直线：与坐标轴交于，两点，
当时，，当时，，
点的坐标是，点的坐标是，
点为的中点，
点，
故答案为：，
（2）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
又，
≌；
（3）解：≌，
，，
点，点，点，
，，
，
点，
当点落在直线上时，则，即，
当点落在直线上时，
点，
直线解析式为：，
，
，
当点落在上时，
四边形是平行四边形，
与互相平分，
线段的中点在上，
，
；
综上所述：或或．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，坐标与图形，平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．
13．（22-23八年级下·山东枣庄·期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们理解数学问题．如图1，已知一次函数（k、b为常数，且）的图象．
(1)方程的解为______，不等式的解集为______；
(2)若正比例函数（m为常数，且）与一次函数相交于点P（如图2），则不等式组的解集为______；
(3)比较与的大小（根据图象直接写出结果）．
【答案】(1)，
(2)
(3)当时，；当时，；当时，
【分析】（1）根据点A的坐标即可方程的解，再根据点B的坐标即可得不等式的解集；
（2）根据函数图象分别求出不等式和不等式的解集，再找出它们的公共部分即可得不等式组的解集；
（3）根据点P的横坐标，分、、三种情况，结合函数图象即可．
【详解】（1）解：由函数图象可知，方程的解为，不等式的解集为，
故答案为：，；
（2）解：由函数图象可知，不等式的解集为，不等式的解集为，则这个不等式组的解集为，
故答案为：；
（3）解：由函数图像可知，
当时，，
当时，，
当时，．
【点睛】本题考查一次函数与方程、不等式，熟练掌握函数图象是解题的关键．
14．（22-23八年级下·陕西延安·阶段练习）已知一次函数的图象经过点．
(1)求k的值，并在如图的平面直角坐标系中，画出函数的图象；
(2)直接写出关于x的方程的解__________．
【答案】(1)，函数图象见解析
(2)
【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式，再列表，描点画出对应的函数图象即可；
（2）求出当时，x的值即可得到答案．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点，
∴，
∴，
∴一次函数解析式为，
列表如下：
… 0 1 …
… 3 1 …
函数图象如下所示：
（2）解：由题意得，方程即为，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，画一次函数图象，一次函数与一元一次方程之间的关系，灵活运用所学知识是解题的关键．
15．（22-23八年级下·湖南怀化·期末）如图，已知一次函数（k，b为常数，）的图像经过点，．
(1)由图可知，关于x的一元一次方程的解是___________；
(2)求该一次函数的表达式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据一元一次方程与一次函数图像的关系即可解答；
（2）将，代入一次函数解关于k、b的二元一次方程组即可解答．
【详解】（1）解：∵由图可知一次函数的图像与x轴的交点，
∴一元一次方程的解是．
（2）解：将、代入一次函数得：
，解得：．
∴该一次函数的表达式：．
【点睛】本题主要考查了一次函数图像与一元一次方程的关系、求一次函数解析式等知识点，理解一次函数图像与一元一次方程的关系是解答本题的关键．
二、题型二：由一元一次方程的解判断直线与X轴的交点，15题，难度三星
16．（23-24八年级·山东济南·期末）在平面直角坐标系中，第一象限内的点和在第四象限内的，若满足：，那么称点Q为点P的“影像点”，例如：点的影像点为点，点的影像点为点，如图，若点在直线上，当时，存在点P的影像点Q，则的最大值为（ ）
A．4 B． C．5 D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，点坐标的平移，关于轴对称的点坐标的特征．熟练掌握一次函数与坐标轴的交点，点坐标的平移，关于轴对称的点坐标的特征是解题的关键．
由“影像点”可知，当时，、关于轴对称，当时，向下平移8个单位得到，然后根据在第四象限求得当时，存在点P的影像点Q，然后求解作答即可．
【详解】解：由“影像点”可知，当时，、关于轴对称，当时，向下平移8个单位得到，
当时，，
解得，，
当时，，
解得，，
∴当时，存在点P的影像点Q，
∵，
∴的最大值为，
故选：A．
17．（23-24八年级·江苏泰州·阶段练习）如图，两个一次函数与的图像交于点，则下列结论错误的是（ ）
A．方程的解是 B．不等式和不等式的解集相同
C．方程组的解是 D．不等式组的解集是
【答案】C
【分析】根据图象可直接判断A，B，C，求出与x轴的交点可判断D．
【详解】A．由图象可得直线与的图像交于点，
∴方程的解是，故正确；
B．由图象可知，不等式和不等式的解集相同，都是，故B正确；
C．方程组的解是，故错误；
D．将代入得，
解得，
∴，
将代入得，
解得，
∴时，直线在x轴下方且在直线上方，
∴的解集是，故正确；
故选C．
【点睛】本题考查求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，一次函数图像的交点坐标与二元一次方程组的关系，利用函数图象解不等式，数形结合是解题的关键．
18．（22-23八年级下·山西忻州·期中）如图所示，正方形的顶点B，C在x轴的正半轴上，反比例函数在第一象限的图．象经过顶点和上的点E，且，过点E的直线l交x轴于点F，交y轴于点，则的长为（ ）
A． B．5 C． D．6
【答案】C
【分析】表示出点E的坐标，然后根据点A和点E都在反比例函数图象上列出关于m的方程，解方程求出m的值，再用待定系数法求出直线的解析式，然后可求出的长．
【详解】解：∵，四边形是正方形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵点A和点E都在反比例函数图象上，
∴，
解得，（舍去），
∴．
设直线的解析式为，
则，
∴，
∴，
当时，，
解得，
∴的长为5.4．
故选C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，数形结合是解答本题的关键．
19．（21-22八年级·江西景德镇·期末）如图，点A的坐标为，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，点B在直线上运动．当线段最短时，求点B的坐标（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】当线段最短时，，判定出是等腰直角三角形，得出，作于点H，根据三线合一的性质和直角三角形斜边的中线的性质，得出，进而得出，即点的横坐标，然后把点的横坐标代入，即可得出点B的坐标．
【详解】解：当线段最短时，，
∵直线为，
∴当时，；当时，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴．
作于点H，
则，
∴，
即点的横坐标为，
把点的横坐标代入，可得：，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线，正确作出辅助线是解答本题的关键．
20．（20-21八年级下·江苏南京·期中）如图，在平面直角坐标系中，的边落在x轴的正半轴上，且点，点，直线以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，经过 秒该直线可将分成面积相等的两部分．
【答案】6
【分析】
此题考查了平行四边形的性质，以及一次函数的知识，关键是正确掌握经过平行四边形对角线交点的直线平分平行四边形的面积．先连接，交于点D，当经过D点时，该直线可将的面积平分，然后计算出过D且平行直线的直线解析式，从而可得直线要向下平移6个单位，进而可得答案．
【详解】解：连接，交于点D，当经过D点时，该直线可将的面积平分；
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
设的解析式为，
∵平行于，
∴，
∵过，
∴，
∴，
∴的解析式为，
∴直线于y轴交于点，
∴直线要向下平移6个单位，
∴时间为6秒，
故答案为：6．
21．（22-23八年级下·广东汕尾·期末）如图，已知平面直角坐标系中有一点，且一次函数与x轴相交于点B，与y轴相交于点C，在直线上存在一动点M，连接，，当点M运动到最短时，的长度是 ．
【答案】
【分析】连接，由可知，当O，M，A三点共线时最短，即此时最短，然后分别求出和的长即可．
【详解】解：连接，交于点．
∵，
∴当O，M，A三点共线时最短，即此时最短．
当时，，
当时，，即，
∴，
∴．
∴，
∴点A在的角平分线上，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，三角形三条边的关系，勾股定理，坐标与图形的性质，判断出当O，M，A三点共线时最短，即此时最短是解答本题的关键．
22．（22-23八年级下·重庆九龙坡·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴交于点，点在轴上，平分，则线段 ．
【答案】
【分析】先求解一次函数与坐标轴的交点坐标，求解，再结合角平分线的性质可得答案．
【详解】解：∵一次函数，
∴当，则，当，则，
∴，
∴，，
∴，
记到的距离为，而平分，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是一次函数的性质，角平分线的性质，勾股定理的应用，证明是解本题的关键．
23．（22-23八年级下·安徽芜湖·期末）将函数的图象以直线为对称轴进行翻折，则所得函数图象的解析式为 ．
【答案】
【分析】先求出与坐标轴的交点，再求出关于直线的对称点，然后用待定系数法求解即可．
【详解】当时，，
∴的图象与y轴的交点坐标为．
当时，，，
∴的图象与x轴的交点坐标为．
∴，关于直线的对称点分别是，，
设所得函数图象的解析式为，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-轴对称，一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键．
24．（22-23八年级下·江苏无锡·阶段练面直角坐标系中，的边落在x轴的正半轴上，点，，当直线向下平移 个单位，此直线可将的面积平分．
【答案】6
【分析】先求出的对称中心，设平移后的解析式为，求出b的值即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，且点，
∴平行四边形的对称中心的坐标为，
∵直线的表达式为，
设直线平移后将平分时的直线方程为，
将代入得
解得，即平分时的直线解析式为，
当时，，，
∵，
∴直线向下平移了6个单位．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，一次函数的平移，以及直线和坐标轴的交点坐标的求法，解题的关键是掌握直线将的面积平分，则需经过此平行四边形的对称中心．
25．（22-23八年级·贵州毕节·期末）如图，直线l：与x轴、y轴分别交于点E，F，点A的坐标为，是第二象限内的直线l上的一个动点．
(1)求点E，F的坐标．
(2)当点P运动到什么位置时，的面积为12？并求出此时点P的坐标．
(3)在点P运动过程中，试写出的面积S与点P的横坐标x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
【答案】(1)，
(2)第二象限，
(3)
【分析】（1）把，，分别代入中，即可求解；
（2）根据点A的坐标可得，再根据，求得点P的纵坐标，再把纵坐标代入函数即可求解；
（3）利用三角形的面积公式可得，即可求解．
【详解】（1）解：在中，
令，则，
解得，
∴，
令，则，
∴；
（2）解：∵，
∴．
∴，
∴，
∴，
当时，，
解得，
∴当点P运动到第二象限，的面积为12，此时点P的坐标为；
（3）解：∵点在第二象限内的直线上，
∴．
【点睛】此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质、一次函数与一元一次方程、三角形的面积，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
26．（23-24八年级·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交、两点，与直线相交于点．
(1)求和的值；
(2)若直线与轴相交于点，动点从点开始，以每秒1个单位的速度向轴负方向运动，设点的运动时间为秒．
①若点在线段上，且的面积为10，求的值；
②是否存在的值，使为等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)①；②存在的值，使为等腰三角形，的值为8或或或12
【分析】（1）把代入求出m，再把代入即可求出b；
（2）求出；①设，则，过C作于E，由三角形面积得出方程，解方程即可；
②过C作于E，则，由勾股定理求出，然后分三种情况：当时；当时；当时；分别求出t的值即可．
【详解】（1）∵点在直线上，
，
又∵点也在直线上，
∴，
解得：；
（2）在中，当时，，
∴，
∴，
在中，当时，，
∴，
∴，
∴；
①设，则，过作于，如图所示：
则，
∵的面积为10，
∴，
解得：；
②存在，理由如下：
过作于，如图所示：
则，，
∴，
∴；
a． 当时，，
，
；
b． 当时，如图所示：
则，
∴，
∴，或；
c． 当时，如图所示：
设，则，，
∴，
解得：，
∴与重合，，
∴，
∴；
综上所述，存在的值，使为等腰三角形，的值为8或或或12．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，坐标与图形性质，三角形面积，等腰三角形的性质、勾股定理以及分类讨论等知识，熟练掌握一次函数的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
27．（22-23八年级下·宁夏银川·期中）如图，函数和的图象相交于点．
(1)求m，a的值；
(2)根据图象，直接写出不等式的解集．
(3)求的面积．
【答案】(1)，
(2)
(3)5
【分析】（1）首先把代入，求得m的值，然后利用待定系数法求出a的值；
（2）以交点为分界，结合图象写出不等式的解集即可；
（3）分别求得A，B 坐标，即可得答案．
【详解】（1）把代入得，，
解得，
∴点P的坐标为，
∵函数的图象经过点P，
∴，
解得；
（2）由图象得，不等式的解集为；
（3）对于直线，当时，，
对于直线，当时，，
∴，
∴的面积．
【点睛】此题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图像上点的坐标特征，一次函数与一元一次不等式，以及坐标与图形的性质，数形结合是解答本题的关键．
28．（22-23八年级下·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别交于点A，B，直线与y轴交于点，与交于点，过点C作轴于E．
(1)求的长；
(2)点P是x轴上一动点，过点P作x轴的垂线，分别与直线，交于点M，N，设点P的横坐标为t，线段的长为m，的面积为S，请先画出图形，再求S关于t的函数关系式；
(3)在（2）的条件下，
①当时，m的最大值是________；
②当t的值为________时，以M、N、C、E为顶点的四边形为平行四边形．（直接写出答案）
【答案】(1)
(2)
(3)①6，②或
【分析】（1）将点代入求得的解析式，再求出点A的坐标根据两点间距离公式求得的长；
（2）根据已知条件分别求，的解析式，由P点的坐标表示出M、N的坐标，得到的长度为底，根据C点到的距离作为三角形的高，注意有两种情况，根据三角形的面积公式求出关系式；
（3）①根据t的范围即可求出最大值；
②根据和之间的位置关系和数量关系，建立方程即可求得t的值．
【详解】（1）∵过，
∴，
解得：，
∴，
∵交x轴于A点，
令，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）∵点P是x轴上一动点，
设，
∵与y轴交于点，
∴设且点在上，
∴，
解得：，
∴，
∵过点P作x轴的垂线，分别与直线，交于点M，N，
∴，，
，
分两种情况：
∵，
①M、N在C点左侧时即时，
∵，
∴，
②M、N在C点右侧时即时，
∵，
∴，
∴综上所述；
（3）①由（2）知，
∴当时，时S有最大值9，
故答案为：9；
②由（2）知，
∵轴，且，
，
∵轴，
∴，
当以M、N、C、E为顶点的四边形为平行四边形时，只需即可，
∴，
∴或，
解得：或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，平行四边形的判定和性质，三角形的面积公式数形结合是解答本题的关键．
29．（22-23八年级·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，点C是x轴上一动点（不与点O，A重合），连结BC，作，且，过点D作轴，垂足为点E．
(1)求点A，B的坐标．
(2)若点C在线段上，连结，猜想的形状，并证明结论．
(3)若点C在x轴上，点D在x轴下方，是以为底边的等腰三角形，求点D的坐标．
【答案】(1)，
(2)猜想：是等腰直角三角形，证明见解析
(3)点的坐标为：或．
【分析】（1）令，求点A的坐标，令，求点B的坐标；
（2）证明：由题意可知，利用互余可得，进而可证，利用其性质可证得，，由，可得，又由可知是等腰直角三角形；
（3）分两种情况：①当点在点左侧时；②当点在点右侧时；利用的性质求得，即可得点的坐标．
【详解】（1）解：当时，，
∴，
当时，，
∴；
（2）猜想：是等腰直角三角形．
证明：∵轴，，
∴，
∵ ，
∴，
又 ，
∴，
在和中，，
∴．
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
又，
∴是等腰直角三角形．
（3）①当点在点左侧时，
由（2）同理可得：，
又∵是以为底边的等腰三角形，则，
∴，
∵轴，
∴，
又∵，
∴点与点重合，
则，
∴点坐标为：，
②当点在点右侧时，
由（2）同理可得：，
又∵是以为底边的等腰三角形，则，
∴，
∵轴，
∴，
又∵，
则，
∴点坐标为：，
综上，点的坐标为：或
【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点坐标，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的定义，证明，利用其性质转换线段长度是解决问题的关键．
30．（22-23八年级·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，它与坐标轴分别交于、两点，已知点的纵坐标为．
(1)求出A点的坐标．
(2)在第一象限的角平分线上是否存在点使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)点P为y轴上一点，连结AP，若，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）利用点代入直线，求出直线解析式，然后求直线与x轴交点坐标；
（2）点Q在第一象限角平分线上，设，已知给出了指定角，利用勾股定理列方程，即可求出点的标；
（3）根据已知条件画出图形，由，，得出，设，又，，根据勾股定理表示出，进而即可求解，根据轴对称的性质求得负半轴的另一个交点．
【详解】（1）∵点的纵坐标为，且点在轴上，
将点代入直线的解析式得：，
∴直线的解析式为：
令得：，
∴．
（2）存在．
∵在第一象限的角平分线上，
设且，
根据勾股定理：
，
，
解得，
故．
（3）解：当点在正半轴时，如图所示，
∵，
∴，
∴，
设，又，
∴
解得：
∴
根据对称性可得另一个点的坐标为，
综上所述，或
【点睛】本题考查了坐标与图形，一次函数与坐标轴交点问题，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
三、题型三：利用图象法解一元一次方程
31．（22-23八年级下·河南商丘·期末）如图，直线和直线相交于点，根据图像可知，关于的方程的解是（ ）
A．或 B． C． D．
【答案】C
【分析】两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解．
【详解】∵直线和直线相交于点，
∴的解是：，
故选：．
【点睛】此题考查了一次函数与一元一次方程，解题的关键是掌握一元一次方程与一次函数的关系，从图象上看，一元一次方程的解就是已知两条直线交点的横坐标的值．
32．（22-23八年级下·湖北武汉·期末）观察下列表格的对应值，则关于的方程（为常数）解的取值范围是（ ）．
2.13 2.14 2.15 2.16
0.04 0.01
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据表中数据得出的值0，在与之间，找出对应的x值即可．
【详解】解：关于的方程，
由表中数据可知：的值0在与之间，
∴对应的x的值在与之间，
即．
故选：C．
【点睛】此题主要考查方程的近似解，解题的关键是熟知方程近似解的判定方法．
33．（22-23八年级下·江苏南通·期中）若一次函数与的图象交于点，则关于的方程的解为 ．
【答案】1
【分析】由一次函数与的图象交于点得到，代入方程即可求出方程的解．
【详解】解：一次函数与的图象交于点，
当时，，，
，
由得，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，解题的关键是根据图象的交点得到．
34．（22-23八年级下·福建厦门·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线，分别是函数和的图象．
（1）关于x的方程的解为 ．
（2）若，分别为方程和的解，则m，n的大小关系是m n．
【答案】
【分析】（1）由函数和的图象的交点横坐标为，从而可得答案；
（2）如图，画直线，与直线，的交点分别为A，B，由图象可得：A的横坐标为，B的横坐标为，从而可得答案．
【详解】解：（1）∵函数和的图象的交点横坐标为，
∴关于x的方程的解为为；
故答案为：；
（2）如图，画直线，与直线，的交点分别为A，B，
由图象可得：
A的横坐标为，B的横坐标为，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象与一元一次方程的联系，坐标与图形，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
35．（23-24八年级·江苏盐城·阶段练习）小航结合学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了研究，下面是小航的探索过程，请补充完整：
(1)列表：
x … 0 1 2 4 …
y … m 2 3 4 3 1 …
表格中________；
(2)根据列表，在给出的平面直角坐标系中描点，画出的函数图象，则的最大值是_________
(3)如图，已知直线l的表达式为，根据图像直接写出解集____________
【答案】(1)1；
(2)见解析，4；
(3)或
【分析】本题考查了一次函数的额图象和性质，画函数图象，图像法解方程，利用数形结合的思想解决问题是解题关键．
（1）将代入函数，即可求出的值；
（2）根据表格中的数据描点连线，画出函数的图象，再有函数图象，即可得到最大值；
（3）利用函数图象，得到交点坐标，即可得出解集．
【详解】（1）解：当时，，
故答案为：1；
（2）解：描点连线，函数图象如下：
由图象可知，的最大值是4，
故答案为：4；
（3）解：由图象可知，函数与函数的交点为和，
解集为或，
故答案为：或．
36．（23-24八年级·广东深圳·期中）学习函数的时候我们通过列表、描点和连线的步骤画出函数的图象，进而研究函数的性质．请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题．
(1)若，则函数与x轴交点坐标为，与y轴交点坐标为；
(2)若，根据解析式，写出表格中m，n的值；
x … 0 1 2 3 4 …
y … 11 8 m 2 5 n 11 …
， ；
(3)在直角坐标系中画出（2）中函数图象；
(4)观察图象，若关于x的方程无解，则a的取值范围是 ．
【答案】(1)，；
(2)，
(3)画图见解析
(4)
【分析】（1）先确定函数解析式，再令与，分别求解，的值，从而可得交点坐标；
（2）先确定函数解析式，再求解当与时的函数值，从而可得答案；
（3）根据表格数据，先描点，再画图即可；
（4）根据所画函数图象与直线的交点情况可得关于x的方程无解， a的取值范围．
【详解】（1）解：∵，
∴函数为，
当，则，解得：，
当，则，
∴函数与x轴交点坐标为，与y轴交点坐标为；
（2）∵，
∴函数为，
当时，，
当时，；
（3）描点画图如下：
（4）由图象可得关于x的方程无解，可得．
【点睛】本题考查的是求解函数与坐标轴的交点坐标，求解函数的函数值，利用描点法画函数图象，利用函数图象确定方程的解的情况，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
37．（22-23八年级下·河南南阳·期中）小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：
(1)化简函数解析式：当时， ；当时， ；
(2)如表是与的几组对应值，表中 ；
0 1 2 3 4
1 1 1 1 3 7
(3)在图1的平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象；
(4)结合函数的图象，解决问题：
①写出该函数的一条性质： ；
②若关于的方程有两个实数根，直接写出的取值范围．
【答案】(1)，1
(2)5
(3)见解析
(4)①当时，随的增大而增大；②
【分析】（1）分当时和当时，分别化简即可得到答案；
（2）把代入进行计算即可得到答案；
（3）描点、连线画出函数图象即可；
（4）①根据函数图象写出性质即可；②根据图象即可求得的取值范围．
【详解】（1）解：当时，，
当时，，
故答案为：，1；
（2）解：把代入得，
，
故答案为：5；
（3）解：该函数的图象如图所示，
；
（4）解：①由图象可得：当时，随的增大而增大，
故答案为：当时，随的增大而增大；
②把点代入，
得，
画出图象如图所示：
，
由图象可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，
关于的方程有两个实数根，的取值范围为．
【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，求一次函数的函数值，用描点法画函数图象，利用图象法解一元一次方程，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
38．（22-23八年级·河南平顶山·期末）请你用学习“一次函数”时积累的经验和方法解决下列问题：
(1)在平面直角坐标系中，画出函数的图象：
①列表填空：
… －3 －2 －1 0 1 2 3 …
… —— —— —— 0 1 2 3 …
②描点、连线，画出的图象；
(2)结合所画函数图象，写出两条性质；
(3)结合所画函数图象，请直接写出方程的解．
【答案】(1)见详解
(2)①的图象位于第一、二象限，在第一象限y随x的增大而增大，在第二象限y随x的增大而减小；①函数有最小值，最小值为0
(3)
【分析】（1）将x的值代入解析式即可求解．
（2）根据函数图象所反映的特点即可解答．
（3）结合函数图象解答即可．
【详解】（1）①填表如下
②的图象
（2）①的图象位于第一、二象限，在第一象限y随x的增大而增大，在第二象限y随x的增大而减小；②函数有最小值，最小值为0．
（3），当时，得．当时，得，不符合题意；
∴方程的解为：．
【点睛】本题考查了描点法画一次函数图象的方法，一次函数的图象与性质．
39．（22-23八年级下·湖南郴州·期末）小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．
小明的探究过程如下：
列表：
x … m 0 1 2 3 4 …
y … 4 3 2 1 2 3 4 5 n …
(1)补全表格：______，______；
(2)以自变量x的值为横坐标，相应的函数值y为纵坐标，建立平面直角坐标系，请描出表格中的点，并连线．
(3)根据表格及函数图象探究函数性质：
①该函数的最小值为______；
②当时，函数值y随自变量x的增大而_______（填“增大”或“减小”）；
③若关于x的方程有两个不同的解，求b的取值范围．
【答案】(1)，
(2)见解析
(3)①1；②增大；③
【分析】（1）求出当时x的值，当时y的值即可得到答案；
（2）先描点，然后连线画出对应的函数图象即可；
（3）根据（2）所画函数图象进行求解即可．
【详解】（1）解：在中，当时，则，
∴，即，
在中，当时，，即，
故答案为：，；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：①由函数图象可知，该函数的最小值为1，
故答案为：1；
②由函数图象可知，当时，函数值y随自变量x的增大而增大，
故答案为：增大；
③由函数图象可知，当时，直线与直线有两个不同的交点，即方程有两个不相同的解，
∴．
【点睛】本题主要考查了求一次函数的函数值和自变量，画一次函数图象，一次函数的性质等等，熟知一次函数的相关知识是解题的关键．
40．（22-23八年级·河南郑州·期中）请你用学习“一次函数和二次根式”时积累的经验和方法解决下列问题：
(1)在平面直角坐标系中，画出函数的图象；
①列表填空：
x … 0 1 2 3 4 …
y … ____ 2 1 0 1 ____ 3 …
②描点、连线，画出的图象；
(2)结合所画函数图象，写出两条不同类型的性质；
(3)结合所画函数图象，写出方程的近似解．
【答案】(1)①列表见解析；②图象见解析
(2)①增减性：时，随着的增大而减小，时，随着的增大而增大；②对称性：图象关于轴对称；③函数的最小值为（答案不唯一）
(3)和
【分析】（1）①把x的值代入解析式计算即可；②分别以自变量及函数值为点的横、纵坐标，描出各点，即可绘制函数图象；
（2）可从函数的增减性、对称性、最值等方面分析；
（3）根据函数图象得出方程的解即可.
【详解】（1）解：（1）①填表：
3 2 1 0 1 2 3
②画函数图象如图：
（2）①增减性：时，随着的增大而减小，时，随着的增大而增大；②对称性：图象关于轴对称；③函数的最小值为；
（3）方程，
化简得，
即求两函数，交点的横坐标，
由图象可得：两函数有两个交点，即方程有两个解，
分别为和.
【点睛】此题考查的是描点法绘制函数图象及根据函数的图象描述函数的性质，函数图象交点，掌握描点法绘制函数图象注意自变量及函数的对应关系是解题关键．
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