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专题18 数形结合之求一次函数解析式（压轴题，20题）（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．（23-24八年级·江苏盐城·期中）某数学兴趣小组遇到这样一个问题：探究函数的图象与性质．组员小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，结合绝对值的性质以及函数图象，解决问题：若一次函数的图象与函数的图象只有一个交点，则实数a的取值范围是 ．
【答案】或或
【分析】本题考查一次函数的综合应用，先去绝对值，画出的图象，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴当，即：时，，
当时，，
∴，
当时，，
∴图象过点；
∵，
∴当时，，
∴过定点，
∴当过点时，，解得：，
当与平行时，，
当与平行时，，
如图：直线绕点旋转，
由图可知：当或或时，的图象与函数的图象只有一个交点，
故答案为：或或．
2．（23-24八年级·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴、轴分别交于点、，将直线绕点顺时针旋转，交轴于点，则直线的函数表达式是 ．
【答案】
【分析】首先确定点的坐标，易得，，过点作，交于点，过作轴于点，结合题意，证明为等腰直角三角形，进而证明，由全等三角形的性质可得，，即可确定点，然后根据待定系数法解直线的解析式即可．
【详解】解：对于一次函数，
令，可有，即，
令，可有，解得，即，
∴，，
如下图，过点作，交于点，过作轴于点，
∵将直线绕点顺时针旋转，即，
∴，
∴，
∵，轴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将点，代入，
可得，解得，
∴直线的解析式为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形等知识，正确作出辅助线是解题关键．
3．（23-24八年级·江苏扬州·阶段练习）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的“变换点”的坐标定义如下：当时，点坐标为；当时，点坐标为，线段上所有点按上述“变换点”组成一个新的图形，若直线与组成的新的图形有两个交点，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查新定义“变换点”，根据新定义确定分段函数，利用图像找出满足条件的点坐标，求函数值，列不等式，根据题意画出图形，确定变换分界点，根据条件，从直线的变动范围确定的取值范围，掌握新定义“变换点”，根据新定义确定分段函数，利用图像找出满足条件的点坐标，求函数值，列不等式是解题关键．
【详解】解：当时，，解得，分界点为，
如图，
∴线段：上点变为，
线段：上点用过平移变为，
∵若直线与组成的新的图形有两个交点，且经过定点，
∴经过点，时，，，
∴与组成的新的图形有两个交点，则的取值范围是，
故答案为．
二、解答题
4．（23-24八年级·四川成都·阶段练习）如图，一次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，直线 交 轴于点 ，且过 中点 ．
(1)求 两点的坐标及直线 的函数表达式；
(2)点为直线 上一动点，当 的面积为6时，求点的坐标；
(3)在坐标平面内找一点 ，使得以点 为顶点的三角形与 全等，请直接写出点 的坐标．
【答案】(1)，，
(2)或
(3)或或
【分析】（1）根据，求出的坐标，进而求出点坐标，待定系数法求出直线 的函数表达式即可；
（2）分点在点的下方和上方，两种情况，进行讨论求解即可；
（3）分和，两种情况进行讨论求解即可；
【详解】（1）解：∵，
∴当时，，当时，，
∴，，
∵为的中点，
∴，
把代入，得：，解得：，
∴；
（2）∵，
∴当时，，
∴，
∵，，
∴，
∵点为直线 上一动点，的面积为6，
∴当与点重合时，满足题意；
当点在点上方时，设，
由题意，得：，
解得：，
∴，
综上：或；
（3）当时，则：，，
∴当与点重合时，满足题意，此时：，
由对称性可知，当点与点关于轴对称时，即：时，满足题意；
当时：则：，，
过点作轴，过点作轴，
则：，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴与原点重合，
∴，
综上：或或．
【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及到一次函数与坐标轴的交点问题，待定系数法求函数解析式，三角形的面积问题，以及全等三角形的判定和性质，掌握数形结合和分类讨论的思想，是解题的关键．
5．（23-24八年级·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点，且．C为线段上一点，轴于点的平分线交x轴于点E．
(1)直线的函数表达式为___________；
(2)若，求出点C的坐标；
(3)在（2）的条件下，在线段上有一动点M，在y轴上有一动点N，连接，那么的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先求解，再利用30度角的直角三角形的性质与勾股定理求解，可得，可得直线的解析式；
（2）设，证明，，由，可得，可得，再求解即可；
（3）如图，取的中点，连接，，作关于轴的对称点，连接，证明，可得，当，，，四点共线时，取最小值，即的长，再利用勾股定理可得答案．
【详解】（1）解：∵直线与x轴、y轴分别交于点，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
解得：，
∴直线为．
（2）∵直线为．轴，设，
∴，，，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴；
（3）如图，取的中点，连接，，作关于轴的对称点，连接，
∴，，
∵，轴，
∴，
∵，，
∴，
∴，关于直线对称，
∴，
∴，
当，，，四点共线时，取最小值，即的长，
∵，
∴，
∵，，为的中点，
∴，
∴，
∴的周长最小值为．
【点睛】本题考查的是含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，化为最简二次根式，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
6．（23-24八年级·广东梅州·期中）如图：直线与轴、轴分别交于、两点，，点是直线上与、不重合的动点．
(1)求直线的解析式；
(2)作直线，当点运动到什么位置时，的面积被直线分成的两部分；
(3)过点的另一直线与轴相交于点，是否存在点使与全等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)直线的解析式为；
(2)当点C运动到或的位置时，的面积被直线分成1：2的两部分
(3)存在，点的坐标为或或．
【分析】（1）由得，根据，得，利用待定系数法即得直线的解析式为；
（2）可得的面积，当时，，可得，，即得，当时，同理可得；
（3）在中，，，，分两种情况①若，②若时，分别求解即可．
【详解】（1）解：在中，令得，
，，
，
，
，
把代入得：
，解得，
直线的解析式为；
（2）解：，，
的面积，
当时，如图：
此时，
，即，
，
在中令，得，
∴，
当时，如图：
此时，
，即，
，
在中令，得，
∴，
综上所述，当点C运动到或的位置时，的面积被直线分成1：2的两部分；
（3）解：存在点，使与全等，
在中，，，
，
①若，过作交轴于，过作于，如图：
，，
，，
设，则，，，
而，
，
解得或，
当时，，此时，符合题意，
当时，，此时，不符合题意，舍去，
∴，
同理可知，时，
，，，
，
同理可得，
②若时，如图：
，，
，
在中，令得，
，
此时，，符合题意，
，
综上所述，点的坐标为或或．
【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是分别画出图形，分类讨论，利用数形结合解决问题．
7．（23-24八年级·广东梅州·期中）已知坐标平面上的三个点，，，，且满足．
(1)求点A，B，C的坐标；
(2)求的面积，如图1，若直线以每秒2个单位的速度向左移，经过多长时间，该直线经过点C．
(3)如图2，，的角平分线与的补角的角平分线交于点E，求的度数．
【答案】(1)，，
(2)；若直线以每秒2个单位的速度向左移，经过秒，该直线经过点C
(3)
【分析】（1）根据非负数的性质，求出a、b的值，即可求出三个点的坐标；
（2）求出直线的解析式：，求出直线与x轴的交点坐标，得出，再求出；
（3）延长交的延长线于H，点P为y轴上A点上方的一点，设，，交x轴于F，根据平行线的性质得出，，根据，求出，根据求出结果即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴，．
∴，，．
（2）解：设的关系式：，
把，，代入得
，
解得：．
∴直线的解析式：，
令，则，
解得：，
∴直线与x轴的交点坐标，
，
直线以每秒2个单位的速度向左移的时间：（秒）．
．
（3）解：延长交的延长线于H，点P为y轴上A点上方的一点，
设，，交x轴于F，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了一次函数的几何应用，非负数的性质，求一次函数解析式，平行线的性质，三角形外角的性质，平移的性质，三角形的面积计算，解题的关键是数形结合，作出相应的辅助线．
8．（23-24八年级·浙江金华·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，，，．
(1)求直线的解析式：并求出O到直线的距离；
(2)E为直线上一点，若，求满足条件的点E的坐标；
(3)当D的坐标为时，在的边上是否存在点P、Q（Q不与D重合）使与全等？若存在，求出P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，O到直线的距离为；
(2)满足条件的点E的坐标为，；
(3)存在，点 P的坐标为或或．
【分析】（1）本题设直线的解析式为，将将代入解析式求解，即可得到直线的解析式，记O到直线的距离为，利用勾股定理算出，再利用等面积法建立等式求解，即可解题．
（2）本题设直线的解析式为，由（1）类似的求出直线的解析式，根据E为直线上一点，设的坐标为，分以下两种情况讨论，①当在轴左侧，②当在轴右侧，结合列出等式求解，即可解题．
（3）本题根据点P、Q在的边上使得与全等，利用全等三角形的性质和判定，以长和一次函数上点的坐标特征为突破点，构造三角形全等，要使与全等，可以分为以下三种情况，①在边上，，则，②当，时， ③当于点，交于点时，根据以上三种情况画出图形，结合全等三角形性质进行分析，即可解题．
【详解】（1）解：直线的解析式过点，，
设直线的解析式为，
将代入中，
有，解得，
直线的解析式为，
记O到直线的距离为，
，，
，
，即，解得，
O到直线的距离为；
（2）解：设直线的解析式为，
将代入中，
有，解得，
直线的解析式为，
E为直线上一点，
设的坐标为，
①当在轴左侧，
有，
，
，即，
，
，解得，
的坐标为，
②当在轴右侧，
过点作轴于点，
有，
，
，
，
，解得，
的坐标为；
综上所述，满足条件的点的坐标为或．
（3）解：存在，
要使与全等，则不在边上，
① O到直线的距离为，
过点作于点，
同理可得，，
D的坐标为，
，
设，
，
整理得，解得，
，
与全等，
，
设的坐标为，
解得，
点 P的坐标为，
②当，时， 与全等，
设的坐标为，则的坐标为，
，解得，
点 P的坐标为，
③当于点，交于点时，与全等，
由（1）可知，
，
，，
与全等，
点 P的横坐标为，
点 P在直线上，
点 P的纵坐标为，
点 P的坐标为，
综上所述，点 P的坐标为或或．
【点睛】本题考查一次函数与几何综合、待定系数法求一次函数解析式、勾股定理、全等三角形性质和判定、一次函数图象上点的坐标特征、解题的关键在于根据题意构造三角形全等，并根据全等的性质建立等式求解．
9．（23-24八年级·广东深圳·期末）如图，直线与坐标轴分别交于点，，以为边在轴的右侧作正方形．
(1)求点A，B的坐标；
(2)如图，点D是x轴上一动点，点在的右侧，，．
①探究发现，点E在一条定直线上，请直接写出该直线的解析式 ；
②若点是线段的中点，另一动点在直线上，且，请求出点H的坐标．
【答案】(1)点A的坐标为，点B的坐标为；
(2)①；②或．
【分析】（1）分别把，代入，求得点和点的坐标；
（2）①过点轴，设点的坐标为，证明，得，，从而得到与之间的关系式；
②连接，可得点与点重合，作点关于直线的对称点，得到点的坐标，求出直线的解析式，从而得到点的坐标．
【详解】（1）把代入，得，
点的坐标为，
把代入，得，
点的坐标为；
（2）①过点作轴，垂足为点，
设点的坐标为，则，，
，
，，
，
，，
，
，，
，
，整理得，
点所在的直线的解析式为；
②连接，由题意可知为等腰直角三角形，则，
四边形为正方形，
，
，此时点与点重合，
点是线段的中点，
，
点的坐标为，
设直线的解析式为，把，代入，
得，解得，
直线的解析式为，
当时，，
点的坐标为，
作点关于直线的对称点，可得，
此时，所以点为直线与的交点，
直线的解析式为，
联立，解得，
点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】本题考查了一次函数与几何的综合应用，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
10．（23-24八年级·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点，分别在轴和轴上，为坐标原点，，为上一点，且，为长方形边上一动点（不与点，重合），作关于直线的对称点．
(1)当在轴上时，点的坐标为__________；
(2)当时，请求出直线的表达式；
(3)当为以为直角边的直角三角形时，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)；
(2)或；
(3)或或．
【分析】（1）依题意可得点与点重合，，即可求解；
（2）当在轴上方时和当在轴下方时，进而待定系数法求解析式即可求解；
（3）分三种情况讨论；当与重合时，点在轴的正半轴，当时，点在的延长线上，当平分时，点在轴的负半轴，如图所示，过点作于点，根据角平分线的性质，等面积法，即可求解．
【详解】（1）解：∵，四边形是长方形，
∴，
∵关于直线的对称点．在轴上，则点与点重合，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：当在轴上方时，如图所示，过点作轴于点，连接，
∵，四边形是长方形，
∴，
又∵，
∴，
在中，，
∵关于直线的对称点，
∴，
∵，则，
又∵
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
解得：，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的表达式：，
当在轴下方时，如图所示，设交于，过作轴, 交轴于，交延长线于，
∵，
又，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
设，
∴，,
∴, ，
∴ ，，
∴
设直线解析式为，
，
解得：，
∴直线的表达式为：，
综上可知，直线的表达式或；
（3）解：依题意，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴平分，
∴当与重合时，点在轴的正半轴，此时；
当时，点在的延长线上，此时，
当平分时，点在轴的负半轴，如图所示，过点作于点，
设，则，
∴，
即，
解得：，
∴，
综上所述，或或．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，勾股定理，坐标与图形，待定系数法求一次函数解析式，角平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
11．（23-24八年级·山东济南·期末）【建立模型】
（1）如图1．等腰中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证∶；
【模型应用】
（2）如图2．已知直线与轴交于点A，与轴交于点B，将直线绕点A逆时针旋转至直线，求直线的函数表达式∶
（3）如图3，平面直角坐标系内有一点，过点B作轴于点A，轴于点C，点Q是线段上的动点，点是y轴右侧一动点．试探究能否成为以P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，直接写出所有符合要求的点P的坐标，若不能，请说明理由．
【答案】（1）见解析（2）（3）或
【分析】（1）根据垂直定义得到，根据结合的余角性质得到 ，根据，得到；
（2）过点B作交于点C，轴于点D， 得到，推出，根据，推出，得到，得到，，根据直线推出，，得到，，得到，得到，设的函数表达式为，得到，解得：，即得直线的函数表达式；
（3）过点P作轴于点G，交直线于点H，得到，根据等腰直角三角形性质得到，，推出，得到，得到，根据， ，当点P在上方时，，，得到，解得，推出；当点P在下方时，，，得到，解得，推出．
【详解】（1）∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）过点B作交于点C，过点C作轴于点D，如图2所示，
：
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
又∵直线中， 时，，时，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
设的函数表达式为，
∴，
解得：，
∴直线的函数表达式为；
（3）能成为以P为直角顶点的等腰直角三角形，理由：
过点P作轴于点G，交直线于点H，
则，
∴，
∵为以P为直角顶点的等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
当点P在上方时，
，，
∴，
解得，，
∴,
∴；
当点P在下方时，
，，
∴，
解得，，
∴，
∴
故能成为以P为直角顶点的等腰直角三角形，所有符合要求的点P的坐标为：或．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形，旋转，全等三角形，一次函数．熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，旋转性质，全等三角形的判定和性质，待定系数法求函数解析式，一次函数图象和性质，分类讨论，是解决问题的关键．
12．（23-24八年级·山东济南·期末）如图，直线与坐标轴分别交于点，．
(1)求直线l的解析式；
(2)如图，过线段的中点作一条直线与x轴交于点F，当为直角三角形时，请求出点F的坐标．
(3)如图，点C是x轴上一动点，连接，在右侧作等腰直角，，连接，直接写出周长的最小值．
【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）利用待定系数法将点A和点B代入即可求得解析式；
（2）分情况讨论：①当时，连接，得到直线是线段的垂直平分线，则，在中利用勾股定理解得；②当时，点在直线上，可求得点E，即可得到点F；
（3）过点D作轴于点M，可证得，有和，设点，则点，可得点D在运动轨迹，设直线与x轴交于点P，与y轴交于点Q，连接并延长至点，使得，过点作轴交于点N，连接和，则点，，则线段垂直平分，得到，利用勾股定理得，则，结合、B和D共线时最小，进一步证得，有和，求得和，即可求得．
【详解】（1）解：将点和点代入
得：，解得：，
∴直线l的表达式为：；
（2）①当时，连接，如图，
∵点E是线段的中点，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴，
在中，，
∴，解得，
∴，
②当时，如图，
∵点在直线上，
∴，
∵轴且点F在x轴上，
∴．
综上所述，F的坐标，；
（3）过点D作轴于点M，如图，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设点，则，，故点，
，得，
∴点D在直线上运动，
设直线与x轴交于点P，与y轴交于点Q，连接并延长至点，使得，过点作轴交于点N，连接和，如图，
则点，，
∵，
∴，
∵，
∴，
则线段垂直平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
当、B和D共线时可以取到最小值，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵
∴，
∴周长的最小值．
【点睛】本题主要考查待定系数法求解析式、垂直平分线的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是全等三角形的判定和得到三点共线时取最小值．
13．（23-24八年级·浙江绍兴·阶段练习）如图（1），点为平面直角坐标系中两点，过点作交于，交轴于点．且．
(1)求直线解析式；
(2)如图2，点是线段上一动点（不与点、重合），交于点，连接．
①点移动过程中，线段与数量关系是否不变，并证明；
②当面积最小时，求点的坐标和面积．
【答案】(1)直线的解析式为
(2)①线段与数量关系是保持不变，证明见解析；②点，面积是
【分析】（1）根据求出点E的坐标，然后用待定系数法求解即可；
（2）①先证明，根据全等三角形的判定和性质得出；②根据三角形的面积公式可得面积=，从而得到当最小时，的面积最小，则当时，最小，此时的面积最小，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴．
设解析式为，
把，代入得：
，解得：，
∴解析式为；
（2）解：①线段与数量关系不变，，证明如下：
∵，
，
∴，
，
∴，
，
∴，
在与中，
，
∴，
∴；
②由①得：，
∵，
∴的面积，
∴当最小时，的面积最小，
∴当时，最小，此时的面积最小，
∵，
，
∵，
∴，
，
∵，
∴，
联立得：，解得，
∴；
∴，
∴的面积．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求一次函数解析式，一次函数图像的交点与二元一次方程组解的关系，以及全等三角形的判定与性质，勾股定理，坐标与图形，熟练掌握一次函数图像的交点与二元一次方程组解的关系是解答本题的关键．
14．（22-23八年级下·湖北武汉·阶段练习）在平面直角坐标系中，点．
(1)经过点A且与直线平行的直线交x轴于点B，试求B点坐标，并直接写出的度数；
(2)如图1，若，过的直线与直线所夹锐角为，求该直线与直线交点的横坐标；
(3)如图2，在（1）的条件下，现有点在线段上运动，点在x轴上，M为线段的中点．直接写出当C从点A开始运动，到点B停止运动，M点的运动路径长为 ．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）由题意得到直线的解析式，令可求解B点坐标，取的中点P，连接，再利用直角三角形的特征得到，进而可求解的度数；
（2）设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，设这样两条直线与直线交点为E、F（其中点E在点F上方），作轴于G，轴于H，证明，令，从而得到点F的坐标，代入直线的解析式，即可得到结果．
（3）根据C、D坐标得到点M坐标，由C从点A开始运动，到点B停止运动，得到点M的运动轨迹，再用两点之间距离的求法求解即可．
【详解】（1）解：设直线的解析式为，
将代入关系式，得，
∴直线的解析式为：，
令时，解得：，
∴，
，
，
取的中点，连接，
，
，
∴；
（2）解：设直线的解析式为，
将，代入关系式，得，
解得：，
∴直线的解析式为：，
过的直线与直线所夹锐角为，
这样两条直线与直线交点为E、F（其中点E在点F上方），作轴于G，轴于H，
则为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
令，可得，
∵，
∴，
∴，
将F点坐标代入直线解析式得可求得，
解得：，此时F点横坐标为，
综上所述，所求横坐标为或；
（3）解：将代入直线解析式可得，
，
点M是的中点，，
，
点C在直线上运动，点C从点A开始运动，到点B停止运动，
当时，此时的中点坐标为，
当时，此时的中点坐标为，
设过这两个中点坐标的直线解析式为，代入这两点，得：，
解得：
∴过这两个中点坐标的直线解析式为，
将点代入直线解析式，
即，点M满足直线解析式，
∴点M的运动轨迹是一条从点运动到的线段，
，
∴M点的运动轨迹长度为；
故答案为：．
【点睛】本题是一次函数的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，求函数解析式，等腰直角三角形的判定和性质，知识点较多，难度较大，解题的关键是根据题意得到相应点的坐标，以及根据坐标与图形的性质得到相应线段的长度．
15．（22-23八年级·安徽亳州·期末）如图，已知函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象经过点，与x轴以及的图象分别交于点C、D，且点D的横坐标为1．
(1)点D的坐标是 （ ），直线的解析式是 ；
(2)连接，求的面积．
(3)点P是直线上一点（不与点D重合），设点P的横坐标为m，的面积为S，请直接写出S与m之间的关系式．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）根据D点横坐标及得出纵坐标进而得出D点坐标；最后通过两点坐标得出一次函数解析式；
（2）根据各点坐标即三角形面积公式即可求出；
（3）分情况讨论，利用图形面积的和差以及三角形的面积公式列式求解即可．
【详解】（1）解：将代入函数得D点纵坐标为2，
将点；，代入得：
解得，
故解析式为：，
故答案为：；；
（2）解：如图：
易知，点A的坐标为，，点C的坐标为，
；
（3）解：①如图，点P在之间：
；
②点P在B点下方，如图：
；
③点P在D点的上面
；
综上所述：．
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴围成的图形的面积的求解，会分割图形面积是解题的关键．
16．（23-24八年级·山东枣庄·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，点是线段上一点（不与点重合）．
(1)求点的坐标．
(2)连接，将沿直线翻折得到，点为点的对应点，点在第一象限，且．
①求点的坐标．
②若直线与交于点，在轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)点，点；
(2)①；②存在，或或
【分析】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法求解析式，轴对称的性质，等腰三角形的判定等知识，求出直线解析式和分类讨论是解题的关键．
（1）将点代入先求出b的值，即可得点A，点B坐标；
（2）①过点P作于F，由折叠的性质可得 ，，可得则，即可求解；②求出点E的坐标，利用勾股定理得，再分三种情况求解即可．
【详解】（1）解：∵点在直线上，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：，
当时，有，解得：，
∴点，点
（2）解：①过点P作于F，
∵将沿直线翻折得到，
∴,
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
②如图：
∵，
∵，直线与交于点E，
∴，解得，
∴点E的坐标,
∴，
当是以为腰的等腰三角形时，，
∴,
∴点Q的坐标为
当是以为腰的等腰三角形时，，
∴，
∴点Q的坐标为，
当是以为腰的等腰三角形时，，
∵，
∴
∴
∴，
∴点Q的坐标为；
综上，存在点Q，使是以为腰的等腰三角形，点Q的坐标为或或．
17．（23-24八年级·江苏扬州·阶段练习）在平面直角坐标系中有两点，．
(1)如图1，点是轴上的点，当最小时，点坐标为________；（直接写出答案）
(2)如图2，点，在轴上，且，当最小时，点的坐标________（直接写出答案，请用含的式子表示）．
(3)如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是直线上的一个动点，以为边，在的右侧作等腰直角，使得，点落在第一象限，连接，当的最小值时，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则有最小值，继而求出答案；
（2）将向右平移个单位得，作关于轴的对称点，连接交轴于，点在左侧个单位，由平行四边形性质和对称轴性质可得此时最小，求出直线解析式为，即可得点的坐标；
（3）过点作轴的垂线，分别交轴于两点，证明，设，则，再设点关于直线对称点是，与对称点连线与交点是使为最小值的点，继而求出答案．
【详解】（1）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，
，
∵，
∴最小，
设直线的解析式为，
将，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为：，
令，则，
∴点坐标为：，
故答案为：；
（2）解：将向右平移个单位得，作关于轴的对称点，连接交轴于，点在左侧个单位，如下图：
，
由作图可知，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
由关于轴对称可得，
∴，
∴，即最小，
设直线解析式为，
将，代入得：
，解得：，
∴直线解析式为：，
令，则，
∴点的坐标为：，
故答案为：；
（3）解：设点，过点作轴的垂线，分别交轴于两点，
，
∵等腰直角，
∴，，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵点在直线上，
∴，
∴，
∴，
∴点在直线：上运动，
设点且点关于的对称点是，
∴三点共线时使为最小值的点，此时点为直线与直线的交点，
∴，解得：，
∴点，
∵点的坐标为，
∴直线的解析式为：，
∴，解得：，
∴点．
【点睛】本题考查最短路径问题，待定系数法求一次函数解析式，解分式方程，一次函数图象及性质等．
18．（23-24八年级·江苏淮安·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，过的直线与直线交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)若点D是第一象限位于直线上的一动点，过点D作轴交于点H．当时，
①求出点D的坐标；
②试在x轴上找一点E，在直线上找一点F，使得的周长最小，则周长的最小值为______；
(3)如图2，将直线绕点A逆时针旋转得到直线，点P是直线上一点，到y轴的距离为2且位于第一象限．直线与x轴交于点M，与y轴交于点N，将沿射线方向平移个单位，平移后的记为．
①点P的坐标为______，点坐标为______．
②在平面内是否存在一点Q，使得以点，C，P，Q顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②
(3)①点，点；②点的坐标为或或
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）①设点的坐标为，则点，根据列方程，解得，即可求出的坐标；②过点作直线的对称点，过点作轴的对称点，则点，连接交直线于点，交轴于点，则点、为所求点，此时的周长最小，进而求解；
（3）①由“”可证，可得，，可得点，可得求出直线的表达式为，即可求解；②求出直线的表达式为，再分为对角线、为对角线、是对角线三种情况，利用中点坐标公式，分别求解即可．
【详解】（1）解：将点的坐标代入直线得：，解得，故点，
设直线的表达式为，将、代入得，解得，
故直线的表达式为；
（2）解：①设点的坐标为，轴，
则点，，解得，
点、；
②过点作直线的对称点，如图所示：
由直线的表达式知，该直线和坐标轴的夹角为，连接，则为等腰直角三角形，则，故点，
过点作轴的对称点，则点，连接交直线于点，交轴于点，则点、为满足条件的点，此时的周长最小，由图形的对称性知，，，则的周长为最小值，
由两点之间距离公式可得；
（3）解：①如图，点的对应点，，
直线与轴交于点，则点，
同理可得，点、的坐标分别为、，则，
将直线绕点逆时针旋转得到直线，则，，
则点的坐标为，
过点作轴于点，如图所示：
，，
，
，，
，
，，
点；
设直线的表达式为，将、代入得，解得，
直线的表达式为，
点是直线上一点，到轴的距离为2且位于第一象限，
当时，，即点；
由（1）知，直线，
将先向右平移个单位、向上平移个单位，相当于将沿射线方向平移个单位，
将沿射线方向平移个单位，即向右平移了4个单位、向上平移了2个单位，
点；
②点、、，
设点，
当为对角线时，由中点坐标公式得：，且，解得，即；
当为对角线时，由中点坐标公式得：，且，解得，即；
当是对角线时，由中点坐标公式得：，且，解得，即；
点的坐标为或或．
【点睛】本题是一次函数综合运用，考查了待定系数法确定函数关系式，一次函数的性质，两点之间距离公式，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，图形的平移、旋转与对称，中点坐标公式等知识，综合性强，难度较大，熟练掌握一次函数图像与性质及相关几何知识是解决问题的关键．
19．（23-24八年级·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，四边形为正方形，，，为线段上一点，．
(1)求直线的函数解析式；
(2)在正方形的边上有一点，若，求点坐标；
(3)作点关于轴的对称点，点为直线上一动点，在射线上是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)存在，或或或
【分析】（1）首先确定点坐标，然后利用待定系数法求解即可；
（2）分点在上、点在上、点在上和点在上四种情况，分别讨论，即可获得答案；
（3）分、、几种情况，分情况讨论，结合全等三角形的性质分别求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵点在轴正半轴上，且，
∴，
设直线的函数解析式为，
将点，代入，
可得，解得，
∴直线的函数解析式为；
（2）当点在上时，如下图，
设，则，，
∵，，
若，
则有，解得，
即；
当点在上时，如下图，
设，则，，
∴，，
若，
则有，解得，不合题意，舍去；
当点在上时，如下图，
设，则，，
∴，，
若，
则有，解得，
即；
当点在上时，如下图，
此时，而，故不符合题意，舍去．
综上所述，点坐标为或；
（3）存在，点坐标为或或或，
理由如下：
设，分四情况讨论：
①如下图，当时，此时，过点作与点，过点作于点，
则，，，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，解得，
∴，
∴；
②如下图，当时，此时，过点作与点，交轴于点，
则，，，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
∴；
③如下图，当时，此时，过点作与点，过点作于点，
则，，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，解得，
∴，
∴；
④如下图，当时，此时，过点作于点，过点作，交延长线于点，
则，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，解得，
∴，
∴．
综上所述，点坐标为或或或．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、正方形的性质、坐标与图形、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、一次函数综合应用等知识，综合性强，运用数形结合和分类讨论的思想分析问题是解题关键．
20．（23-24八年级·江苏宿迁·阶段练习）【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点．过作于点，则，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明）
【迁移应用】已知：直线的图象与轴、轴分别交于、两点．
（1）如图2．当时，在第一象限构造等腰直角，；
①直接写出 ， ；
②求点的坐标；
（2）如图3，当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动时，在轴左侧过点作，并且，连接，问的面积是否为定值，请说明理由；
（3）【拓展应用】如图4，在平面直角坐标系内，当时，设直线l与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将直线绕P点沿逆时针方向旋转后，所得的直线交x轴于点R．求点R的坐标．
【答案】（1）①2，3；②；（2）的面积是定值，，理由见解析；
（3）．
【分析】（1）①若，则直线与轴，轴分别交于，两点，即可求解；
②作于，则．由全等三角形的性质得，，即可求解；
（2）由点随之在轴负半轴上运动时，可知，过点作于，则．由全等三角形的性质得，根据三角形的面积公式即可求解；
（3）先求出，由得，进而得出，，再判断出，即可判断出，，进而求出直线的解析式，即可得出结论．
【详解】解：（1）①若，
则直线为直线，
当时，，
，
当时，，
，
，，
故答案为：2，3；
②作于，
，
，
是以为直角顶点的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
点的坐标为；
（2）当变化时，的面积是定值，，
理由如下：
当变化时，点随之在轴负半轴上运动时，
，
过点作于，
，
，
，
，
，
，
，，
．
，
，
变化时，的面积是定值，；
（3）如图4，过点作，交于，过点作轴于，
当时，设直线l函数关系式为，
对于直线，由得
，
由得，
，，
由（1）得，
，
，
设直线为，则，
解得
直线为
由得，
．
【点睛】本题考查一次函数的综合应用，掌握一次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键．
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专题18 数形结合之求一次函数解析式（压轴题，20题）（原卷版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．（23-24八年级·江苏盐城·期中）某数学兴趣小组遇到这样一个问题：探究函数的图象与性质．组员小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，结合绝对值的性质以及函数图象，解决问题：若一次函数的图象与函数的图象只有一个交点，则实数a的取值范围是 ．
2．（23-24八年级·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴、轴分别交于点、，将直线绕点顺时针旋转，交轴于点，则直线的函数表达式是 ．
3．（23-24八年级·江苏扬州·阶段练习）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的“变换点”的坐标定义如下：当时，点坐标为；当时，点坐标为，线段上所有点按上述“变换点”组成一个新的图形，若直线与组成的新的图形有两个交点，则的取值范围是 ．
二、解答题
4．（23-24八年级·四川成都·阶段练习）如图，一次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，直线 交 轴于点 ，且过 中点 ．
(1)求 两点的坐标及直线 的函数表达式；
(2)点为直线 上一动点，当 的面积为6时，求点的坐标；
(3)在坐标平面内找一点 ，使得以点 为顶点的三角形与 全等，请直接写出点 的坐标．
5．（23-24八年级·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点，且．C为线段上一点，轴于点的平分线交x轴于点E．
(1)直线的函数表达式为___________；
(2)若，求出点C的坐标；
(3)在（2）的条件下，在线段上有一动点M，在y轴上有一动点N，连接，那么的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
6．（23-24八年级·广东梅州·期中）如图：直线与轴、轴分别交于、两点，，点是直线上与、不重合的动点．
(1)求直线的解析式；
(2)作直线，当点运动到什么位置时，的面积被直线分成的两部分；
(3)过点的另一直线与轴相交于点，是否存在点使与全等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
7．（23-24八年级·广东梅州·期中）已知坐标平面上的三个点，，，，且满足．
(1)求点A，B，C的坐标；
(2)求的面积，如图1，若直线以每秒2个单位的速度向左移，经过多长时间，该直线经过点C．
(3)如图2，，的角平分线与的补角的角平分线交于点E，求的度数．
8．（23-24八年级·浙江金华·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，，，．
(1)求直线的解析式：并求出O到直线的距离；
(2)E为直线上一点，若，求满足条件的点E的坐标；
(3)当D的坐标为时，在的边上是否存在点P、Q（Q不与D重合）使与全等？若存在，求出P的坐标，若不存在，请说明理由．
9．（23-24八年级·广东深圳·期末）如图，直线与坐标轴分别交于点，，以为边在轴的右侧作正方形．
(1)求点A，B的坐标；
(2)如图，点D是x轴上一动点，点在的右侧，，．
①探究发现，点E在一条定直线上，请直接写出该直线的解析式 ；
②若点是线段的中点，另一动点在直线上，且，请求出点H的坐标．
10．（23-24八年级·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点，分别在轴和轴上，为坐标原点，，为上一点，且，为长方形边上一动点（不与点，重合），作关于直线的对称点．
(1)当在轴上时，点的坐标为__________；
(2)当时，请求出直线的表达式；
(3)当为以为直角边的直角三角形时，请直接写出点的坐标．
11．（23-24八年级·山东济南·期末）【建立模型】
（1）如图1．等腰中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证∶；
【模型应用】
（2）如图2．已知直线与轴交于点A，与轴交于点B，将直线绕点A逆时针旋转至直线，求直线的函数表达式∶
（3）如图3，平面直角坐标系内有一点，过点B作轴于点A，轴于点C，点Q是线段上的动点，点是y轴右侧一动点．试探究能否成为以P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，直接写出所有符合要求的点P的坐标，若不能，请说明理由．
12．（23-24八年级·山东济南·期末）如图，直线与坐标轴分别交于点，．
(1)求直线l的解析式；
(2)如图，过线段的中点作一条直线与x轴交于点F，当为直角三角形时，请求出点F的坐标．
(3)如图，点C是x轴上一动点，连接，在右侧作等腰直角，，连接，直接写出周长的最小值．
13．（23-24八年级·浙江绍兴·阶段练习）如图（1），点为平面直角坐标系中两点，过点作交于，交轴于点．且．
(1)求直线解析式；
(2)如图2，点是线段上一动点（不与点、重合），交于点，连接．
①点移动过程中，线段与数量关系是否不变，并证明；
②当面积最小时，求点的坐标和面积．
14．（22-23八年级下·湖北武汉·阶段练习）在平面直角坐标系中，点．
(1)经过点A且与直线平行的直线交x轴于点B，试求B点坐标，并直接写出的度数；
(2)如图1，若，过的直线与直线所夹锐角为，求该直线与直线交点的横坐标；
(3)如图2，在（1）的条件下，现有点在线段上运动，点在x轴上，M为线段的中点．直接写出当C从点A开始运动，到点B停止运动，M点的运动路径长为 ．
15．（22-23八年级·安徽亳州·期末）如图，已知函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象经过点，与x轴以及的图象分别交于点C、D，且点D的横坐标为1．
(1)点D的坐标是 （ ），直线的解析式是 ；
(2)连接，求的面积．
(3)点P是直线上一点（不与点D重合），设点P的横坐标为m，的面积为S，请直接写出S与m之间的关系式．
16．（23-24八年级·山东枣庄·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，点是线段上一点（不与点重合）．
(1)求点的坐标．
(2)连接，将沿直线翻折得到，点为点的对应点，点在第一象限，且．
①求点的坐标．
②若直线与交于点，在轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
17．（23-24八年级·江苏扬州·阶段练习）在平面直角坐标系中有两点，．
(1)如图1，点是轴上的点，当最小时，点坐标为________；（直接写出答案）
(2)如图2，点，在轴上，且，当最小时，点的坐标________（直接写出答案，请用含的式子表示）．
(3)如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是直线上的一个动点，以为边，在的右侧作等腰直角，使得，点落在第一象限，连接，当的最小值时，求点的坐标．
18．（23-24八年级·江苏淮安·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，过的直线与直线交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)若点D是第一象限位于直线上的一动点，过点D作轴交于点H．当时，
①求出点D的坐标；
②试在x轴上找一点E，在直线上找一点F，使得的周长最小，则周长的最小值为______；
(3)如图2，将直线绕点A逆时针旋转得到直线，点P是直线上一点，到y轴的距离为2且位于第一象限．直线与x轴交于点M，与y轴交于点N，将沿射线方向平移个单位，平移后的记为．
①点P的坐标为______，点坐标为______．
②在平面内是否存在一点Q，使得以点，C，P，Q顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
19．（23-24八年级·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，四边形为正方形，，，为线段上一点，．
(1)求直线的函数解析式；
(2)在正方形的边上有一点，若，求点坐标；
(3)作点关于轴的对称点，点为直线上一动点，在射线上是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点坐标，若不存在，请说明理由．
20．（23-24八年级·江苏宿迁·阶段练习）【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点．过作于点，则，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明）
【迁移应用】已知：直线的图象与轴、轴分别交于、两点．
（1）如图2．当时，在第一象限构造等腰直角，；
①直接写出 ， ；
②求点的坐标；
（2）如图3，当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动时，在轴左侧过点作，并且，连接，问的面积是否为定值，请说明理由；
（3）【拓展应用】如图4，在平面直角坐标系内，当时，设直线l与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将直线绕P点沿逆时针方向旋转后，所得的直线交x轴于点R．求点R的坐标．
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