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专题11 特殊平行四边形的动点问题（压轴题，20题）（原卷版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．（23-24八年级·吉林白山·阶段练习）如图，在正方形中，，．动点以每秒1个单位长度的速度从点山发，沿线段方向运动，动点同时以每秒4个单位长度的速度从点出发，沿正方形的边运动，当点与点相遇时停止运动，设点的运动时间为秒．
(1)运动时间为 秒时，点与点相遇；
(2)求为何值时，是等腰三角形？
(3)用含的式子表示的面积，并写出相应的取值范围；
(4)连接，当以点及正方形的某两个顶点为顶点组成的三角形和全等时，直接写出的值（点与点重合时除外）．
2．（22-23八年级下·吉林·期中）如图，在中，，，，动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒（）．
(1)的长为______；
(2)用含的代数式表示线段的长；
(3)连接，
①是否存在t的值，使得与互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
②是否存在的值，使得与互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
(4)若点P关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出的值．
3．（22-23八年级·广东深圳·开学考试）漂洋同学在暑假自学探究过程中发现有一种特殊的四边形，它的四边都相等，且四个角都是直角，在正方形中，边长，点P以的速度自点A向终点B运动，点Q同时以同样的速度自点B向终点C运动，连接、
(1)当 cm时，点P到达点B；
(2)在点P、Q运动过程中，试判断、有什么样的位置和数量关系；
(3)如图2，作，作的角平分线交于M点，与的数量关系是否发生改变，若不改变请说明理由．
4．（21-22八年级·江苏泰州·阶段练习）如图，长方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝6cm，现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度，沿矩形的边A—B—C—D—A返回到点A停止，点P的运动时间为t秒．
（1）当t＝3秒时，BP＝ cm；
（2）当t为何值时，连结CP，DP，△CDP为等腰三角形；
（3）Q为AD边上的点，且DQ＝5，当t为何值时，以长方形的两个顶点及点P为顶点的三角形与△DCQ全等．
5．（20-21八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图①，在矩形中，点从边的中点出发，沿着匀速运动，速度为每秒1个单位长度，到达点后停止运动，点是上的点，，设的面积为，点运动的时间为秒，与的函数关系如图②所示．
（1）图①中______，______，图②中______．
（2）点在运动过程中，将矩形沿所在直线折叠，则为何值时，折叠后顶点的对应点落在矩形的一边上．
6．（21-22八年级下·江苏泰州·期中）如图，四边形ABCD中，AD//BC，∠ADC=90°，AD=8，BC=CD=6，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP⊥AD于点P，连接AC交NP于点Q，连接MQ，设运动时间为t秒（）．
(1)求点B到线段AC的距离；
(2)当NP经过线段AC中点时，求t的值并直接写出此时线段MQ、NQ的关系；
(3)连接AN、CP，在点M、N运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形ANCP的面积与四边形ABNP的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
(4)将△AQM沿AD翻折，得到△AKM．在点M、N运动过程中，
①是否存在某时刻t，使四边形AQMK为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
②是否存在某时刻t，使四边形AQMK为正方形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
7．（21-22八年级下·广西桂林·期中）如图，Rt中，，，．点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是秒 ．过点作于点，连接，，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当为何值时， ；
(3)当为何值时， 为直角三角形？请说明理由．
8．（21-22八年级·吉林长春·期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB与CD不平行，AB＝CD＝5，AD＝6，动点P从点A出发沿AD方向以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，过点P作PM⊥BC于点M，且PM＝4；同时动点Q从点C出发沿CB方向以每秒2个单位的速度向终点B运动．设点P运动的时间为t秒．
(1)BC＝ ；
(2)用含t的代数式表示QM的长；
(3)当以点A、Q、M、P为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值；
(4)连接PQ．当0≤t＜3时，∠PQM的大小等于四边形ABCD某内角的一半时，直接写出t的值．
9．（21-22八年级下·吉林长春·期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，延长BC到点E，使CE＝3，连接DE．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿折线BC－CD向终点D运动，设点P运动的时间为t秒．（t>0）
(1)DE＝______；
(2)连接AP，当四边形APED是菱形时，求菱形APED的周长；
(3)连接BP、PD，设四边形ABPD的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
(4)直接写出点P到四边形ABED相邻两边距离相等时t的值．
10．（21-22八年级下·吉林白城·期末）如图，在四边形ABCD中，，cm，cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以2cm/s的速度由C向B运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒．
(1)AP= ，CQ= ，(分别用含有t的式子表示)；
(2)当点P、Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，求t的值；
(3)当四边形PQCD的面积为四边形ABCD面积的一半时，直接写出t的值．
11．（21-22八年级下·浙江金华·期末）如图，在直角坐标系中，点，点D为射线上一动点，过D作垂直射线于点E，点C为y轴上一动点，连接，以为边作，设．
(1)如图1，当D在线段上运动时，的顶点F恰好也落在线段上，
①用含t的代数式表示______，_______．
②是否存在t的值，使为菱形？若存在，求出t的值和点C的坐标；若不存在，说明理由．
(2)如图2，点D在整个运动过程中，使得为正方形，请求出所有满足条件的t的值和相应点C的坐标．
12．（22-23八年级·吉林长春·期末）如图，在长方形中，，，点为延长线上一点，且，点从点出发，沿———向终点运动．同时点从点出发，沿———向终点运动，它们的速度均为每秒1个单位长度．设的面积为，点运动的时间为秒．
(1)当时， ；当时， ．
(2)当时，用含的代数式表示．直接写出结果并化简．
(3)当点在边上，且为等腰三角形时，直接写出的取值或者范围．
13．（22-23八年级·吉林长春·期末）如图，长方形中，，，，动点P从点B出发，以每秒的速度沿的方向，向终点D运动；动点Q从点B出发以每秒的速度沿的方向向终点C运动．以为边向右上方作正方形，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设点同时出发，运动时间为t秒．
(1)当时，＝______（用含t的代数式表示）；
(2)当点N落在边上时，求t的值；
(3)当正方形与长方形的重叠部分为四边形时，求重叠部分的面积S（用含t的代数式表示）；
(4)请直接写出当t满足什么条件时，正方形与长方形的重叠部分为三角形．
14．（21-22八年级下·广东江门·期中）如图，在四边形ABCD中，，，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为．
(1)CD边的长度为______cm，t的取值范围为______．
(2)从运动开始，当t取何值时，？
(3)从运动开始，当t取何值时，？
15．（22-23八年级·江苏苏州·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点A，B的坐标分别为，，，动点P从O点出发，以每秒1个单位长度的速度，沿着O→A→B→C运动，设点P运动的时间为t秒（）．
(1)点D的坐标是 ；点E的坐标是 ；
(2)当点P在OA上运动时，连接PE，ED，当为直角时，求点P的坐标；
(3)在整个运动过程中，当是以PE为腰的等腰三角形时，求t的值．
16．（2022八年级·江苏·专题练习）如图，长方形中，cm，cm，现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度，沿矩形的边A—B—C—D—A返回到点A停止，点P的运动时间为t秒．
(1)当秒时， cm；
(2)Q为边上的点，且，当t为何值时，以长方形的两个顶点及点P为顶点的三角形与全等．
17．（22-23九年级·广东梅州·开学考试）如图，平行四边形中，，，平分交于，且，
(1)求证：；
(2)求平行四边形的面积；
(3)取中点，动点以每秒个单位的速度从点向点运动，动点以每秒个单位的速度从点向点运动，两点同时出发，当，中有一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动时间为，是否存在，使得以，，，为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由．
18．（21-22八年级下·吉林长春·期末）如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，沿射线以每秒个单位的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒个单位的速度向终点运动，当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为(秒)．
(1)线段的长为 ．
(2)用含的代数式表示线段的长．
(3)求当为何值时，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？
(4)直接写出以线段为腰，为等腰三角形时的值．
19．（11-12九年级·江苏盐城·期中）已知，矩形中，，，的垂直平分线分别交、于点、，垂足为．
(1)如图1－1，连接、．求证四边形为菱形，并求的长；
(2)如图1－2，动点、分别从、两点同时出发，沿和各边匀速运动一周．即点自→→→停止，点自→→→停止．在运动过程中，
①已知点的速度为每秒5，点的速度为每秒4，运动时间为秒，当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值；
②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．
20．（21-22八年级下·江苏无锡·期中）如图1．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点E从B出发，以每秒1个单位的速度，沿射线BC方向运动，连接AE，以AE为边向上作正方形AEFG．设点E的运动时间为t秒．
图1 图2
(1)当点F恰好落在DC边上时，求t的值；
(2)如图2，EF与CD边交于点M，当DM＝EM时，求t的值；
(3)当点E从点B运动到点C时，求点F的运动路径长．
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专题11 特殊平行四边形的动点问题（压轴题，20题）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．（23-24八年级·吉林白山·阶段练习）如图，在正方形中，，．动点以每秒1个单位长度的速度从点山发，沿线段方向运动，动点同时以每秒4个单位长度的速度从点出发，沿正方形的边运动，当点与点相遇时停止运动，设点的运动时间为秒．
(1)运动时间为 秒时，点与点相遇；
(2)求为何值时，是等腰三角形？
(3)用含的式子表示的面积，并写出相应的取值范围；
(4)连接，当以点及正方形的某两个顶点为顶点组成的三角形和全等时，直接写出的值（点与点重合时除外）．
【答案】(1)
(2)或或2
(3)当时，；当时，；当时，
(4)的值为或或
【分析】（1）设秒后、相遇．列出方程即可解决问题；
（2）根据，，分类讨论即可解决问题；
（3）分三种情形①如图2中，当，点在上时．②如图3中，当，点在上时，．③如图4中，当，点在上时．分别求解即可；
（4）分四种情形求解①当时，．②当时，．③当时，．④当时，，此时与重合．
【详解】（1）设秒后、相遇．
由题意，
秒，
秒后、相遇．
故答案为；
（2）∵正方形
∴，
当时，此时与重合，；
当时，此时与重合，；
当时，在的垂直平分线上，即为中点，此时；
综上所述，当或或2时，是等腰三角形；
（3）①如图2中，当，点在上时，．
②如图3中，当，点在上时，．
③如图4中，当，点在上时，．
综上所述，．
（4）如图5中，
①当时，，此时，；
②当时，，此时，；
③当时，，此时，；
④当时，，此时与重合，；
综上所述，为或或或时，当以点及正方形的某两个顶点组成的三角形和全等．
【点睛】本题考查四边形综合题、正方形的性质、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会分类讨论，注意不能漏解，属于中考压轴题．
2．（22-23八年级下·吉林·期中）如图，在中，，，，动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒（）．
(1)的长为______；
(2)用含的代数式表示线段的长；
(3)连接，
①是否存在t的值，使得与互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
②是否存在的值，使得与互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
(4)若点P关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出的值．
【答案】(1)10
(2)或
(3)①不存在，理由见解析；②存在，
(4)或2
【分析】（1）由平行四边形的性质得，再由勾股定理求出的长即可；
（2）当点在线段上时，；当点在线段延长线上时，；
（3）①连接、，若与互相平分，则四边形是平行四边形，得，则，解得，不符合题意舍去；②连接、，若与互相平分，则四边形是平行四边形，得，则，解得即可；
（4）分两种情况，①当点关于直线对称的点恰好落在点下方时，②当点关于直线对称的点恰好落在点上方时，证，求出的长，即可解决问题．
【详解】（1）解：四边形是平行四边形，
，，
，
故答案为：10；
（2）由题意得：，
当点在线段上时，；
当点在线段延长线上时，；
综上所述，线段的长为或；
（3）①不存在，理由如下：
如图1，连接、，
若与互相平分，则四边形是平行四边形，
，
，，
，
解得：，不符合题意舍去；
②存在，理由如下：
如图2，连接、，
若与互相平分，则四边形是平行四边形，
，
，
解得：，
存在的值，使得与互相平分，的值为；
（4）分两种情况：
①当点关于直线对称的点恰好落在点下方时，如图3，
由对称的性质得：，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
即，
解得：；
②当点关于直线对称的点恰好落在点上方时，如图4，
由对称的性质得：，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
即，
解得：；
综上所述，的值为或2．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理、轴对称的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握平行四边形的判定与性质和轴对称的性质是解题的关键，属于中考常考题型．
3．（22-23八年级·广东深圳·开学考试）漂洋同学在暑假自学探究过程中发现有一种特殊的四边形，它的四边都相等，且四个角都是直角，在正方形中，边长，点P以的速度自点A向终点B运动，点Q同时以同样的速度自点B向终点C运动，连接、
(1)当 cm时，点P到达点B；
(2)在点P、Q运动过程中，试判断、有什么样的位置和数量关系；
(3)如图2，作，作的角平分线交于M点，与的数量关系是否发生改变，若不改变请说明理由．
【答案】(1)4
(2)且
(3)与的数量关系不发生改变，理由见解析
【分析】（1）用路程除以速度即可得到答案；
（2）由四边形是正方形，得，，而点P，点Q以同样的速度运动，有，即可证明，故，，从而可得，；
（3）在上取T，使，连接，由四边形是正方形，，可得，，，又平分，可得，根据，可得，从而可证，，故与的数量关系不发生改变．
【详解】（1）解：∵（s），
∴当时，点P到达点B，
故答案为：4；
（2）且；理由如下：
证明：如图，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵点P，点Q以同样的速度运动，
∴，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
；
（3）与的数量关系不发生改变，理由如下：
在上取T，使，如图：
∵四边形是正方形，
，，
，
，即，
，
平分，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
∴与的数量关系不发生改变．
【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰直角三角形的性质及应用等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．
4．（21-22八年级·江苏泰州·阶段练习）如图，长方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝6cm，现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度，沿矩形的边A—B—C—D—A返回到点A停止，点P的运动时间为t秒．
（1）当t＝3秒时，BP＝ cm；
（2）当t为何值时，连结CP，DP，△CDP为等腰三角形；
（3）Q为AD边上的点，且DQ＝5，当t为何值时，以长方形的两个顶点及点P为顶点的三角形与△DCQ全等．
【答案】（1）2；（2）或或；（3）2.5或4.5或7.5或9.5
【分析】（1）当t＝3秒时，点P运动到线段BC上，即可得到BP的长度；
（2）根据题意，点P分别在AB、BC、 CD和AD 上运动，当P在CD上时，不存在三角形，所以要使△CDP为等腰三角形，则点P的位置可以有三个，以此为前提可确定点P位置，根据点P运动的位置，即可计算出时间．
（3）根据题意，要使一个三角形与△DCQ全等，则点P的位置可以有四个，根据点P运动的位置，即可计算出时间．
【详解】解：（1）当t＝3秒时，点P走过的路程为：2×3＝6，
∵AB＝4，
∴点P运动到线段BC上，
∴BP＝6 4＝2cm，
故答案是：2；
（2）①当P在AB上时，△PCD为等腰三角形，
∴ ，
在矩形ABCD中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
②当P在BC上时，△DCP为等腰三角形，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
③当P在AD上时，△DCP为等腰三角形，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
综上所述或或时，△CDP为等腰三角形．
（3）根据题意，如图，连接CQ，则AB＝CD＝4，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝，DQ＝5，
∴要使一个三角形与△DCQ全等，则另一条直角边必须等于DQ，
①当点P运动到时，C＝DQ＝5，此时△DCQ≌△CD，
∴点P的路程为：AB＋B＝4＋1＝5，
∴t＝5÷2＝2.5s，
②当点P运动到时，B＝DQ＝5，此时△CDQ≌△AB，
∴点P的路程为：AB＋B＝4＋5＝9，
∴t＝9÷2＝4.5s，
③当点P运动到时，A＝DQ＝5，此时△CDQ≌△AB，
∴点P的路程为：AB＋BC＋CD＋D＝4＋6＋4＋1＝15，
∴t＝15÷2＝7.5s，
④当点P运动到时，即P与Q重合时，D＝DQ＝5，此时△CDQ≌△CD，
∴点P的路程为：AB＋BC＋CD＋D＝4＋6＋4＋5＝19，
∴t＝19÷2＝9.5s，
综上所述，时间的值可以是：t＝2.5s，4.5s，7.5s或9.5s．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，线段的动点问题，等腰三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质及动点的运动状态，从而进行分类讨论．
5．（20-21八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图①，在矩形中，点从边的中点出发，沿着匀速运动，速度为每秒1个单位长度，到达点后停止运动，点是上的点，，设的面积为，点运动的时间为秒，与的函数关系如图②所示．
（1）图①中______，______，图②中______．
（2）点在运动过程中，将矩形沿所在直线折叠，则为何值时，折叠后顶点的对应点落在矩形的一边上．
【答案】（1）4，9，5；（2）或5或
【分析】（1）由图象得：时，，当时，点在处，的面积，即可求解；
（2）分点在边上、点在边上、点在边上三种情况，分别求解即可．
【详解】解：（1）点从边的中点出发，速度为每秒1个单位长度，
，
由图象得：时，，
，，
时，
，
当时，点在处，的面积；
故答案为：4，9，5；
（2）分三种情况：①当点在边上，落在边上时，作于，如图1所示：
则，，
四边形是矩形，
，，，
由折叠的性质得：，，，
，
，
在△中，，，
由勾股定理得：，
解得：；
②当点在边上，落在边上时，连接，如图2所示：
由折叠的性质得：，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
又，
，解得：；
③当点在边上，落在边上时，连接、，如图3所示：
同理可得：；
综上所述，为或5或时，折叠后顶点的对应点落在矩形的一边上．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠变换的性质、勾股定理、函数图象、等腰三角形的判定、以及分类讨论等知识；本题综合性强，难度较大，注意分类讨论．
6．（21-22八年级下·江苏泰州·期中）如图，四边形ABCD中，AD//BC，∠ADC=90°，AD=8，BC=CD=6，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP⊥AD于点P，连接AC交NP于点Q，连接MQ，设运动时间为t秒（）．
(1)求点B到线段AC的距离；
(2)当NP经过线段AC中点时，求t的值并直接写出此时线段MQ、NQ的关系；
(3)连接AN、CP，在点M、N运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形ANCP的面积与四边形ABNP的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
(4)将△AQM沿AD翻折，得到△AKM．在点M、N运动过程中，
①是否存在某时刻t，使四边形AQMK为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
②是否存在某时刻t，使四边形AQMK为正方形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)秒，MQ=NQ
(3)存在，秒，理由见详解
(4)①存在，秒，理由见详解②不存在，理由见详解
【分析】（1）结合题意，在中由勾股定理计算，由平行线的性质可知CD的长与的边BC上的高长相等，然后借助面积法求点B到线段AC的距离即可；
（2）首先证明四边形DPNC为平行四边形，推导，当NP经过线段AC中点时，即Q为AC中点，由勾股定理计算可计算除，进而易得CN、BN的长，即可求出此时t的值；
（3）当四边形ANCP的面积与四边形ABNP的面积相等时，结合图形可知，由平行线间的距离处处相等，可知的边BN上的高与的边CN上的高相等，易得此时，进而确定，然后计算此时t的值即可；
（4）①由折叠的性质及菱形的判定条件可知当时，四边形AQMK为菱形，根据题意列出关于t的方程并求解即可；②若四边形AQMK为正方形，则，由折叠性质可知，此时为等腰直角三角形，，而由题意可知，故可确定不存在某时刻t，使四边形AQMK为正方形．
【详解】（1）解：∵，，，
∴在中，，
∵，，
∴CD的长与的边BC上的高长相等，
∴，
设点B到AC的距离为h，
∴，
解得，
∴点B到线段AC的距离为；
（2）∵NP⊥AD，，
∴，
又∵AD//BC，
∴四边形DPNC为平行四边形，
∴，
当NP经过线段AC中点时，即Q为AC中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
∴，
∴秒，
此时，
∴，即点M与点P重合，即，
∵四边形DPNC为平行四边形，
∴，
∴，
∴；
（3）存在，当秒时，四边形ANCP的面积与四边形ABNP的面积相等，理由如下：
由题意可知，，
，
若=，则，
∵，
又∵平行线间的距离处处相等，
∴的边BN上的高与的边CN上的高相等，设高均为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴秒，
综上所述，在点M、N运动过程中，当秒时，四边形ANCP的面积与四边形ABNP的面积相等；
（4）①存在，当秒时，四边形AQMK为菱形，理由如下：
由折叠可知， ，
又∵，
∴当时，四边形AQMK为菱形，
∵，，
∴，
∴，，
∴，解得；
②不存在，理由如下：
若四边形AQMK为正方形，则，
由折叠性质可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由题意可知，，
∴不存在某时刻t，使四边形AQMK为正方形．
【点睛】本题主要考查了动点问题、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理以及折叠的性质等知识，综合性较强，解题关键是能够灵活运用所学知识，并利用数形结合的思想分析问题．
7．（21-22八年级下·广西桂林·期中）如图，Rt中，，，．点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是秒 ．过点作于点，连接，，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当为何值时， ；
(3)当为何值时， 为直角三角形？请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)当时，
(3)当t＝或4时，△DEF为直角三角形
【分析】（1）根据平行线的判定与勾股定理即可得出结论；
（2）由（1）知四边形是平行四边形，只要平行四边形为菱形，即可利用菱形对角线垂直得到结论；
（3）要使为直角三角形，需要分三种情况讨论：；；，直接求解即可．
【详解】（1）证明：在 Rt中，，
，
，
，
点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，设点，运动的时间是秒
，
在Rt中，，，，则，
，且，
四边形是平行四边形；
（2）解：由（1）知四边形是平行四边形，
在 Rt中，，，，
，
∴AF＝AB BF＝10 2t．
当平行四边形是菱形时，，则需AE＝AF，
即t＝10 2t，
∴，
即当时，平行四边形AEFD为菱形，；
（3）解：（3）解：当t＝或4时，△DEF为直角三角形．
理由如下：
分情况讨论：
方法①∠BDF＝∠DFE＝90°时，如图所示：
则EFBC，
∴∠AEF＝∠C＝90°，∠AFE＝∠C＝30°，
∴AF＝2AE，
∴10 2t＝2t，
∴t＝；
②∠DEF＝90°时，如图所示：
∵AC⊥BC，DF⊥BC，
∴AEDF，
又∵AE＝DF，
∴四边形AEDF为平行四边形，
∴AFED，
∴，∠BED＝∠A＝60°， 即AF＝AE，
∴10 2t＝t，解得t＝4；
③∠EFD＝90°时，此种情况不存在．
综上所述，当t＝或4时，△DEF为直角三角形．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识，本题综合性强，有一定难度，熟练掌握相关几何性质及判定是解决问题的关键．
8．（21-22八年级·吉林长春·期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB与CD不平行，AB＝CD＝5，AD＝6，动点P从点A出发沿AD方向以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，过点P作PM⊥BC于点M，且PM＝4；同时动点Q从点C出发沿CB方向以每秒2个单位的速度向终点B运动．设点P运动的时间为t秒．
(1)BC＝ ；
(2)用含t的代数式表示QM的长；
(3)当以点A、Q、M、P为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值；
(4)连接PQ．当0≤t＜3时，∠PQM的大小等于四边形ABCD某内角的一半时，直接写出t的值．
【答案】(1)12
(2)当0≤t＜3时，QM=9-3t；当3＜t≤6时，QM=3t-9；
(3)或
(4)或
【分析】（1）过点A、点D分别作BC的垂线，根据勾股定理可得结果；
（2）根据线段之间的关系即可得出，注意当t=6时，点P、点Q同时到达各自的终点；
（3）分情况讨论，一是时，二是时，即可得出结果；
（4）同样是分两种情况，一是当时，二是当时，再根据边长之间的关系即可求得．
【详解】（1）解：如图1，作于点E，于点F，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴当t=6时，AP=AD=6，CQ=BC=26=12，
∴当t=6时，点P、点Q同时到达各自的终点，
∵，
∴当点M与点Q重合时，则t+2t=9，解得t=3，
当时，，
当时，；
（3）解：∵，
∴当时，以点A、Q、M、P为顶点的四边形时平行四边形，
当时，如图2，则t=9-3t，解得，
当时，如图3，则t=3t-9，解得，
综上所述，t的值为或；
（4）解：如图4，作CG平分交AD于点G，
当时，，
∵，
∴四边形PQCG是平行四边形，
∴，
∵，
∴GD=CD=5，
∴t+2t+5=6，解得，
如图5，作AH平分交BC于点H，
∵，
∴当时，四边形APQH是平行四边形，
∴，
∵，
∴HB=AB=5，
∵QH=AP=t，
∴5+t+2t=12，解得，
综上所述，t的值为或．
【点睛】本题主要考查了等腰梯形的性质，平行四边形的性质，解题的关键在于做辅助线构造出直角三角形和平行四边形．
9．（21-22八年级下·吉林长春·期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，延长BC到点E，使CE＝3，连接DE．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿折线BC－CD向终点D运动，设点P运动的时间为t秒．（t>0）
(1)DE＝______；
(2)连接AP，当四边形APED是菱形时，求菱形APED的周长；
(3)连接BP、PD，设四边形ABPD的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
(4)直接写出点P到四边形ABED相邻两边距离相等时t的值．
【答案】(1)5；
(2)20；
(3)S＝；
(4)t＝2或或．
【分析】（1）直接利用勾股定理计算即可；
（2）根据菱形的性质：四边相等，可得答案；
（3）分类讨论，当0＜t＜和时，分别计算梯形的面积即可；
（4）当点P在BC上，若点P到AB、AD的距离相等时，则BP＝4；当点P到AD、DE距离相等时，则PH＝CD＝4，利用AAS证明△ECD≌△EHP，得EP＝DE＝5；当点P在CD上时，若P到BE、DE距离相等时，则PH＝PC，利用面积法求出PC，进而解决问题．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝4，∠BCD＝90°，
在Rt△DCE中，由勾股定理得，DE＝＝5，
故答案为：5；
（2）∵四边形APED是菱形，且AD＝5，
∴菱形APED的周长为4×5＝20；
（3）当0＜t＜时，由题意知，BP＝2t，
∴S＝（5+2t）×4＝10+4t，
当时，则PD＝9﹣2t，
∴S＝（4+9﹣2t）×5＝，
综上：S＝；
（4）当点P在BC上，若点P到AB、AD的距离相等时，则BP＝4，
∴t＝2；
当点P到AD、DE距离相等时，则PH＝CD＝4，
∵∠DCE＝∠PHE，∠E＝∠E，PH＝CD．
∴△ECD≌△EHP（AAS），
∴EP＝DE＝5，
∴BP＝3，
∴t＝，
当点P在CD上时，若P到BE、DE距离相等时，则PH＝PC，
∴，
∴PC＝，
∴t＝＝；
综上：t＝2或或．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查矩形的性质，梯形的面积公式，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，运用分类思想是解题本题的关键．
10．（21-22八年级下·吉林白城·期末）如图，在四边形ABCD中，，cm，cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以2cm/s的速度由C向B运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒．
(1)AP= ，CQ= ，(分别用含有t的式子表示)；
(2)当点P、Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，求t的值；
(3)当四边形PQCD的面积为四边形ABCD面积的一半时，直接写出t的值．
【答案】(1)t，2t
(2)2或或4
(3)t=2
【分析】（1）设运动时间为t秒，则AP=t cm，CQ=2t cm，
（2）设t秒后四边形ABQP是平行四边形；分情况讨论，根据平行四边形的性质列出方程解方程即可求解．
（3）AP=t cm，CQ=2t cm，则PD=（6-t）cm，QB=（10-2t）cm，四边形ABQP和PDCQ是同高，因此根据梯形面积公式可得6-t+2t=t+10-2t，再解即可；
【详解】（1）解：∵点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以2cm/s的速度由C向B运动，
∴设运动时间为t秒，则AP=t cm，CQ=2t cm，
故答案为：t cm；2t cm；
（2）当四边形PDCQ是平行四边形时，
PD=CQ
6-t=2t
解得t=2
当四边形PABQ是平行四边形时，
AP=BQ
t=10-2t
解得t=
当四边形PDQB是平行四边形时，
PD=BQ
6-t=10-2t
解得t=4
综上所述，综上所述，t的值为2或或4；
（3）设运动时间为t秒，则AP=t cm，CQ=2t，
∵AD=6cm，BC=10cm，
∴PD=（6-t）cm，QB=（10-2t）cm，
当四边形PDCQ的面积为四边形ABCD面积的一半时，
四边形ABQP和PDCQ的面积相等，
则6-t+2t=t+10-2t，
解得：t=2，
答：当四边形PDCQ的面积为四边形ABCD面积的一半时，则运动时间为2秒．
【点睛】本题考查了四边形动点问题，平行四边形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．
11．（21-22八年级下·浙江金华·期末）如图，在直角坐标系中，点，点D为射线上一动点，过D作垂直射线于点E，点C为y轴上一动点，连接，以为边作，设．
(1)如图1，当D在线段上运动时，的顶点F恰好也落在线段上，
①用含t的代数式表示______，_______．
②是否存在t的值，使为菱形？若存在，求出t的值和点C的坐标；若不存在，说明理由．
(2)如图2，点D在整个运动过程中，使得为正方形，请求出所有满足条件的t的值和相应点C的坐标．
【答案】(1)①3t，；②存在，t=，
(2)时，；时，
【分析】（1）①如图，过点E作EG⊥OF于点G，根据勾股定理可得，再由，可求出EG，再根据四边形OCEG为矩形，即可求解；②根据题意可得CD=CE=OG，根据勾股定理可得，设OD=x，则，再根据勾股定理可得，然后根据OD=4-5t，即可求解；
（2）分两种情况讨论：当点D在线段OA上时；当点D在x轴负半轴时，即可求解．
【详解】（1）解：①如图，过点E作EG⊥OF于点G，
∵DE⊥AB，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
根据题意得：轴，
∴CE⊥OC，
∴∠OCE=∠COG=∠OGE=90°，
∴四边形OCEG为矩形，
∴；
故答案为：3t，
②存在，
根据题意得：CD=CE=OG，
∵DE=3t，，
∴，
∵，
∴OA=4，OB=3，
∴OD=OA-AD=4-5t，
设OD=x，则，
在中，，
∴，解得：，
即，
∴，解得：，
∴点；
（2）解：如图，当点D在线段OA上时，过点E作ME⊥y轴于点M，作EN⊥x轴于点N，
由（1）②得：，，ME=ON，
∴，
∴，
∵四边形CDFE是正方形，
∴∠DCE=90°，CE=CD，
∴∠OCD+∠ECM=90°，
∵∠ECM+∠CEM=90°，
∴∠CEM=∠OCD，
∵∠CME=∠COD=90°，
∴△COD≌△EMC，
∴CM=OD=4-5t，，
∴，解得：，
∴，
此时点；
如图，当点D在x轴负半轴时，过点E作EP⊥y轴于点P，EQ⊥x轴于点Q，则，，PE=OQ，
根据题意得：OD=5t-4，
∴，
同理得：△COD≌△EPC，
∴PC=OD=5t-4，，
∴，解得：，
∴，
此时点；
综上所述，时，；时，．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，菱形的性质，勾股定理，坐标与图形，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，菱形的性质，勾股定理，坐标与图形，全等三角形的判定和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键．
12．（22-23八年级·吉林长春·期末）如图，在长方形中，，，点为延长线上一点，且，点从点出发，沿———向终点运动．同时点从点出发，沿———向终点运动，它们的速度均为每秒1个单位长度．设的面积为，点运动的时间为秒．
(1)当时， ；当时， ．
(2)当时，用含的代数式表示．直接写出结果并化简．
(3)当点在边上，且为等腰三角形时，直接写出的取值或者范围．
【答案】(1)，
(2)
(3)秒或秒或秒
【分析】（1）分别求出当和时的值，再利用三角形面积公式即可得解；
（2）当时，画出大致图形，分三种情况讨论，利用面积公式即可得答案；
（3）当点在边上时，点在边上，要是为等腰三角形，画出大致图形，分三种情况讨论，利用勾股定理列出含参数的方程即可解出答案．
【详解】（1）解：根据题意，
当时，，，
∴；
当时，，的高为，
∴；
故答案为：，；
（2）解：当时，如图所示，
∵，，
∴；
当时，如图所示，
∵，的高为，
∴；
当时，如图所示，
∵，，，，
∴
；
∴；
（3）解：当点在边上，且为等腰三角形时，分三种情况讨论：
①当时，如图所示，
设，则，，
∴，
∵，
∴，
解得（舍去），
∴；
②当时，如图所示：
设，则，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴；
③当时，如图所示：
∴，，，
∴，
，
∴，
解得或（舍去），
∴；
综上所述，的值为秒或秒或秒．
【点睛】本题考查矩形的动点问题，三角形的面积问题及勾股定理等相关知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
13．（22-23八年级·吉林长春·期末）如图，长方形中，，，，动点P从点B出发，以每秒的速度沿的方向，向终点D运动；动点Q从点B出发以每秒的速度沿的方向向终点C运动．以为边向右上方作正方形，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设点同时出发，运动时间为t秒．
(1)当时，＝______（用含t的代数式表示）；
(2)当点N落在边上时，求t的值；
(3)当正方形与长方形的重叠部分为四边形时，求重叠部分的面积S（用含t的代数式表示）；
(4)请直接写出当t满足什么条件时，正方形与长方形的重叠部分为三角形．
【答案】(1)
(2)
(3)当时，；当时，
(4)当或时，正方形与长方形的重叠部分为三角形
【分析】（1）根据题意可得当时，；
（2）证明，则，即，求t的值即可；
（3）画出图形，当时，正方形在长方形的内部；当P点运动到A点处，，此时正方形与长方形的重叠部分为三角形，当M点运动到D点处时，当时，正方形与长方形的重叠部分为三角形，则可知 时，正方形与长方形的重叠部分为三角形；当Q点运动与C点时，，此时正方形与长方形的重叠部分为三角形；则时，正方形与长方形的重叠部分为四边形；
（4）由（3）的讨论直接求解即可．
【详解】（1）当时，；
故答案为：；
（2）如图1，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∴，
∴；
（3）由（2）知，时，正方形在长方形的内部，
∴，正方形与长方形的重叠部分为四边形，
∴；
如图2，当P点运动到A点处，，此时正方形与长方形的重叠部分为三角形，
如图3，当M点运动到D点处时，
∵，
∴，
解得，
∴当时，正方形与长方形的重叠部分为三角形，
∴时，正方形与长方形的重叠部分为三角形；
如图4，当Q点运动与C点时，，此时正方形与长方形的重叠部分为三角形；
∴时，正方形与长方形的重叠部分为四边形，
如图5，
＝
＝；
综上所述：当时，；当时， ；
（4）由（3）可知当时，正方形与长方形的重叠部分为三角形；
当时，正方形与长方形的重叠部分为三角形；
综上所述：当或时，正方形与长方形的重叠部分为三角形．
【点睛】本题是四边形的综合应用，熟练掌握矩形的性质，正方形的性质，直角三角形的性质，数形结合，分类讨论是解题的关键．
14．（21-22八年级下·广东江门·期中）如图，在四边形ABCD中，，，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为．
(1)CD边的长度为______cm，t的取值范围为______．
(2)从运动开始，当t取何值时，？
(3)从运动开始，当t取何值时，？
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】（1）作辅助线，构建矩形，利用勾股定理可得的长，根据两动点P，Q运动路程和速度可得t的取值范围；
（2）根据列方程可得时，
（3）由，根据，可得，再结合（2）可得出结论；
【详解】（1）如图1，过点D作于E，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
由勾股定理得：；
∵点P从点A出发，以的速度向点D运动，，
∴点P运动到D的时间为：，
同理得：点Q运动到点B的时间为：，
∴；
故答案为：，；
（2）如图2，∵，
∴，
当时，四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
即当时，，此时；
（3）如图3，过点P作于F，过点D作于E，
当时，
∵，
∴，
∴，
∵∠，
∴四边形矩形，
∴，
∴，即，
∴，
综合（2）、（3）所述，当或时，；
【点睛】此题是四边形综合题：动点问题，考查了平行四边形、矩形、勾股定理，直角三角形的性质等知识，综合性较强，难度适中．利用分类讨论和数形结合是解题的关键．
15．（22-23八年级·江苏苏州·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点A，B的坐标分别为，，，动点P从O点出发，以每秒1个单位长度的速度，沿着O→A→B→C运动，设点P运动的时间为t秒（）．
(1)点D的坐标是 ；点E的坐标是 ；
(2)当点P在OA上运动时，连接PE，ED，当为直角时，求点P的坐标；
(3)在整个运动过程中，当是以PE为腰的等腰三角形时，求t的值．
【答案】(1)点D的坐标是，点E的坐标是
(2)点P的坐标是
(3)，或，或
【分析】（1）利用矩形的性质求出点D和点E的坐标
（2）过点P作，根据勾股定理，利用参数构建方程得出答案
（3）分两种情形分别讨论求解即可
【详解】（1）由得：点D的坐标是，点E的坐标是
（2）
设点P的坐标是，过点P作，交于点F，则点F的坐标是
在中，，
在中，，
在中，，
由题意知是以PD为斜边的，
，即，
解得：，
点P的坐标是
（3）当点P在线段OA上时，设点P的坐标是，
1）当以PE和DE为等腰三角形的腰，则：
,
解得：
2）当以PE和PD为等腰三角形的腰，则：,
解得：
2、当点P在线段AB上时，不存在点P使得为等腰三角形；因为当点P在线段AD上时：；当点P在线段BD上时：；这两种情况都不能构成等腰三角形。
3、当点P在线段BC上时，设点P的坐标是
1）当点P在线段BE上时，，则
,
解得：，
2）当点P在线段CE上时，，则：，而
点P与点C重合，
（舍去）
综上1、2、3所述，或，或
【点睛】本题考查四边形的综合题、矩形的性质，利用勾股定理解决问题，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的方法思考问题，学会利用参数构建方程解
16．（2022八年级·江苏·专题练习）如图，长方形中，cm，cm，现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度，沿矩形的边A—B—C—D—A返回到点A停止，点P的运动时间为t秒．
(1)当秒时， cm；
(2)Q为边上的点，且，当t为何值时，以长方形的两个顶点及点P为顶点的三角形与全等．
【答案】(1)2
(2)2.5或4.5或7.5或9.5
【分析】（1）当秒时，点P运动到线段上，即可得到的长度；
（2）根据题意，要使一个三角形与全等，则点P的位置可以有四个，根据点P运动的位置，即可计算出时间．
【详解】（1）解：当t＝3秒时，点P走过的路程为：，
∵，
∴点P运动到线段上，
∴cm，
故答案是：2；
（2）根据题意，如图，连接，则，，，
∴要使一个三角形与全等，则另一条直角边必须等于，
①当点P运动到时，，此时，
∴点P的路程为：，
∴，
②当点P运动到时，，此时，
∴点P的路程为：，
∴，
③当点P运动到时，，此时，
∴点P的路程为：，
∴，
④当点P运动到时，即P与Q重合时，，此时，
∴点P的路程为：，
∴，
综上所述，时间的值可以是：t＝2.5s，4.5s，7.5s或9.5s．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，线段的动点问题，等腰三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质及动点的运动状态，从而进行分类讨论．
17．（22-23九年级·广东梅州·开学考试）如图，平行四边形中，，，平分交于，且，
(1)求证：；
(2)求平行四边形的面积；
(3)取中点，动点以每秒个单位的速度从点向点运动，动点以每秒个单位的速度从点向点运动，两点同时出发，当，中有一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动时间为，是否存在，使得以，，，为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在，
【分析】（1）先证明，即可证明两个三角形全等；
（2）作于，利用已知条件证明是等边三角形，即可求出平行四边形的面积；
（3）存在，设，表示出、关于t的代数式，利用以，，，为顶点的四边形为平行四边形得到，建立方程求解．
【详解】（1）四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
．
（2）如图，作于，
平分，
，
∵，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，，
．
（3）存在．
由题意：，
，或，
以，，，为顶点的四边形为平行四边形，
，
或，
解得 或．
时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形．
【点睛】本题考查了三角形全等判定和性质，等边三角形的判定和性质，以及平行四边形的性质，关键在于利用已知条件进行逐条分析，难度稍大．
18．（21-22八年级下·吉林长春·期末）如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，沿射线以每秒个单位的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒个单位的速度向终点运动，当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为(秒)．
(1)线段的长为 ．
(2)用含的代数式表示线段的长．
(3)求当为何值时，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？
(4)直接写出以线段为腰，为等腰三角形时的值．
【答案】(1)
(2)当时，；当时，
(3)秒或秒
(4)秒或秒或秒
【分析】（1）如图，过点作于点，则四边形是矩形，，，然后由勾股定理可求出答案；
（2）分两种情况当时，；当时，．则可得出答案；
（3）分两种情况，由平行四边形的性质列出方程可得出答案；
（4）分两种情况，由等腰三角形的性质列出方程可得出答案．
【详解】（1）如图，过点作于点，
，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，，，
∴，，
∴，
∴在中，
，
∴．
故答案为：．
（2）∵动点从点出发，沿射线以每秒个单位的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒个单位的速度向终点运动，当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为，
∴，
∴当点到达点时，，
当点到达点时，，
∴当点在线段上，，
∴，
∴当点在线段的延长线上时，，
∴，
∴线段的长：当时，；当时，．
（3）∵动点从点出发，沿射线以每秒个单位的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒个单位的速度向终点运动，当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为，且，
∴，，
∵，
∴当时，点、、、为顶点的四边形是平行四边形，
当点在线段上时，
，
解得：；
当点在线段的延长线上时，
，
解得：．
∴为秒或秒时，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形
（4）当点在线段上，且，
∴，
∴，
当点在线段上，且，
如图，过点作于点，连接，
由（1）可知：，
∴，
∴，
即，
∴，
当点在线段的延长上，且，
如图，连接，
∴，
∴．
综上所述，以线段为腰，为等腰三角形时的值为秒或秒或秒．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，本题采用了分类讨论的思想方法．熟练掌握梯形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
19．（11-12九年级·江苏盐城·期中）已知，矩形中，，，的垂直平分线分别交、于点、，垂足为．
(1)如图1－1，连接、．求证四边形为菱形，并求的长；
(2)如图1－2，动点、分别从、两点同时出发，沿和各边匀速运动一周．即点自→→→停止，点自→→→停止．在运动过程中，
①已知点的速度为每秒5，点的速度为每秒4，运动时间为秒，当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值；
②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．
【答案】(1)证明见解析，AF=5cm
(2)①；②a+b=12
【分析】（1）利用SAS证明△AOE≌△COF，得OE=OF，可知四边形AFCE是平行四边形，再说明AC⊥EF即可证明是菱形，设AF=CF=xcm，则BF=（8-x）cm，在Rt△ABF中，利用勾股定理得：42+（8-x）2=x2，解方程即可；
（2）①通过判断可知只有当点P在BF上，Q点在ED上，才能构成平行四边形，根据QA=PC，从而可求解；
②由题意得：四边形APCQ是平行四边形时，点P，Q在互相平行的对应边上，分三种情况分别画出图形，从而解决问题．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴ADBC，
∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE，
∵O为AC中点，
∴OA=OC，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
又∵AC平分∠EAF，
∴AC⊥EF，
∴四边形AFCE为菱形；
设菱形的边长AF=CF=xcm，则BF=（8-x）cm，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：42+（8-x）2=x2，
解得x=5，
∴AF=5cm；
（2）解：①显然当点P在AF上时，Q点在CD上，此时A，C，P，Q的四点不可能构成平行四边形，
同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上也不能构成平行四边形，
因此只有当点P在BF上，Q点在ED上，才能构成平行四边形，
∴以A，C，P，Q的四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA，
∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，
∴PC=5t，QA=CD+AD-4t=12-4t，即QA=12-4t，
∴5t=12-4t，
∴，
∴t的值为；
∴当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为；
②由题意得：四边形APCQ是平行四边形时，点P，Q在互相平行的对应边上，分三种情况：
I：如图，
当P点在AF上，Q点在CE上，AP=CQ=CD+DE+CE-b，
即a=12-b，
∴a+b=12；
Ⅱ：如图，
当P点在BF上，Q点在DE上时，AQ=CP，则PC=AD+DC-b即12-b=a，，
∴a+b=12；
Ⅲ：如图，
当P点在AB上，Q点在CD上时，AP=CQ，
即12-a=b，
∴a+b=12，
综上所述，a与b满足的数量关系为a+b=12（ab0）．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，菱形的判定，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，化动为静，运用分类讨论思想是解题的关键．
20．（21-22八年级下·江苏无锡·期中）如图1．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点E从B出发，以每秒1个单位的速度，沿射线BC方向运动，连接AE，以AE为边向上作正方形AEFG．设点E的运动时间为t秒．
图1 图2
(1)当点F恰好落在DC边上时，求t的值；
(2)如图2，EF与CD边交于点M，当DM＝EM时，求t的值；
(3)当点E从点B运动到点C时，求点F的运动路径长．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由“AAS”可证，可得AB=EC=3，可求BE的长，即可求解；
（2）由“HL”可证，可得AE=AD=4，由勾股定理可求BE的长，即可求解；
（3）由“SAS”可证，可得∠AHE=∠EPF=135°，AH=PF，则点F在∠QPC的角平分线上运动，点F的运动路径长为PF的长，即AH的长，即可求解．
【详解】（1）当点F恰好落在DC边上时，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴
∵四边形AEFG是正方形
∴，，
∴
∴
在和中，
，
∴
∵AB＝3，BC＝4，
∴
∴
∵动点E从B出发，以每秒1个单位的速度，沿射线BC方向运动，
∴；
（2）连接AM，如图，
∵正方形AEFG，矩形ABCD，
∴，，
在和，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∵动点E从B出发，以每秒1个单位的速度，沿射线BC方向运动，
∴；
（3）如图，以AB为边作正方形ABPQ，连接AP，PF，过点E作EH⊥BC，交AP于点H，
∵四边形ABPQ是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵四边形AEFG是正方形，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴PF平分，
∴点F在的角平分线上运动，点F的运动路径长为PF的长，即AH的长，
当点E和点B重合时，点H与点A重合，
当点E与点C重合时，如图，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点F的运动路径长为．
【点睛】本题四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，正方形的性质等知识，确定点F的运动轨迹是解题的关键．
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