中小学教育资源及组卷应用平台
专题12 四边形中的线段最值问题（压轴题，20题）（原卷版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）如图，在正方形中，点E、F、G分别在、、上，，，，，与交于点P．连接，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23八年级下·湖南湘西·期中）如上图所示，矩形，，，点是边上的一个动点，点是对角线上一个动点，连接，，则的最小值是（ ）
A．6 B． C．12 D．
3．（22-23八年级下·江苏徐州·阶段练习）如图，菱形中，，，点、、分别为线段、、上的任意一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·山东淄博·一模）如图，在正方形ABCD中，AB=8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM=6．P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
二、填空题
5．（22-23八年级·陕西咸阳·期中）如图，正方形 的边长是12，分别是上的点，已知，，求周长的最小值 ．
6．（22-23八年级·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）正方形中，点在上，，，点在上，的最小值 ．
7．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，，，对角线与交于点，将直线绕点按顺时针方向旋转，分别交、于点、，则四边形周长的最小值是 ．
8．（2023八年级·福建·专题练习）如图，，平分，平分，和交于点，，分别是线段和线段上的动点，且，若，，则的最小值为 ．
9．（21-22八年级下·安徽芜湖·期末）如图，正方形ABCD的边长为8，点E在AB上，BE＝2，点M，N为AC上动点，且，连接BN，EM，则四边形BEMN周长的最小值为 ．
10．（21-22八年级下·广东东莞·期中）如图，菱形ABCD周长为16，∠DAC＝30°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是 ．
11．（21-22八年级·四川成都·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD边的中点，若P、Q为BC边上的两个动点，且PQ＝2，四边形APQE的周长最小值为 ．
12．（22-23八年级下·四川绵阳·期中）如图，在平行四边形中，，，连接，且，平分交与于点．点在边上，，若线段（点在点的左侧）在线段上运动，，连接，，则的最小值为 ．
三、解答题
13．（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）已知，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为点，点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接．
(1)若，
①如图1，若，直接写出点的坐标 ；
②如图1，若点为中点，点在轴负半轴上一点，连接，求证：平分；
(2)如图2，若为边上一点，为延长线上一点，，连接，将线段绕点顺时针旋转得到．
①连接，判断的形状，并证明．
②连接，当 ，线段最短．
14．（22-23八年级下·江苏连云港·期末）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题：
(1)如图1，以菱形的一边为边向外作正方形，、分别是菱形和正方形的对角线交点，连接．
求证：四边形是“直等补”四边形．
②若，求四边形的面积．
(2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，其中，，过点作于点且，连接，若点是线段上的动点，请你直接写出周长的最小值．
15．（22-23八年级下·山东菏泽·期末）如图1，已知为等腰直角三角形，，点D是的中点，作正方形，使点，分别在边和上，连接，．
(1)探索线段与的数量关系，直接写出你的结论______；
(2)将正方形绕点D按逆时针方向旋转一定角度（旋转角大于，小于或等于）时（如图2），（1）的结论是否仍然成立？说明理由；
(3)已知，，在（2）的旋转过程中，当为最大值时，求的值．
16．（2023八年级下·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，，P是射线上一点，连接，沿将折叠，得．
(1)如图1所示，当时，=_____度；
(2)如图2所示，当时，求线段的长度；
(3)当点P为中点时，点F是边上不与点A，B重合的一个动点，将沿折叠，得到，连接，求周长的最小值．
17．（21-22八年级·山东济南·期末）问题发现
(1)如图①，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外分别作等边△ABD和等边△ACE，连接CD，BE．试猜想CD与BE的数量关系是________；
(2)问题探究：如图②，四边形ABCD中，∠ABC＝45°，∠CAD＝90°，AC＝AD，AB＝2BC＝6．求BD的长．
(3)问题解决：如图③，△ABC中，AC＝2，BC＝3，∠ACB是一个变化的角，以AB为边向△ABC外作等边△ABD，连接CD，求CD的长度最大值．
18．（21-22八年级下·山东济宁·期中）【问题情境】如图1，已知点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得的值最小．
小军的思路是：如图2，作点A关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点P即为所求．
【启发应用】请参考小军同学的思路，探究并解答下列问题：
(1)如图3，在图2的基础上，设与直线l的交点为点C，过点B作，垂足为点D．若，，，求出此时的最小值；
(2)如图3，若，，，则此时的最小值为______；
(3)【解决问题】根据以上解决问题的思路，直接写出的最小值．
19．（21-22八年级下·湖北咸宁·期末）如图1，正方形的对角线，相交于，为边上一动点（不与，重合），交于．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)如图2，若正方形边长为，为中点，点在运动过程中，长的最小值为___________．
20．（21-22八年级·广东广州·期末）在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P、Q为BC边上的两个动点（点P位于点Q的左侧，P、Q均不与顶点重合），PQ＝2
(1)如图①，若点E为CD边上的中点，当Q移动到BC边上的中点时，求证：AP＝QE；
(2)如图②，若点E为CD边上的中点，在PQ的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时，求BP的长；
(3)如图③，若M、N分别为AD边和CD边上的两个动点（M、N均不与顶点重合），当BP＝3，且四边形PQNM的周长最小时，求此时四边形PQNM的面积．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题12 四边形中的线段最值问题（压轴题，20题）（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）如图，在正方形中，点E、F、G分别在、、上，，，，，与交于点P．连接，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点作于点，取的中点，连接、，根据正方形的性质证明≌，然后根据直角三角形性质可得，当、、共线时，有最小值，根据勾股定理即可解决问题．
【详解】解：如图，过点作于点，取的中点，连接、，
四边形是正方形，
，，，
四边形是矩形，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
是直角三角形，是的中点，
，
，，
，
，
，
当、、共线时，有最小值，
，，
，
，
的最小值为．
故选A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的三边关系，在几何证明中常利用三角形的三边关系解决线段的最值问题，解题的关键是得到≌．
2．（22-23八年级下·湖南湘西·期中）如上图所示，矩形，，，点是边上的一个动点，点是对角线上一个动点，连接，，则的最小值是（ ）
A．6 B． C．12 D．
【答案】B
【分析】作点关于的对称点，过点作于点，交于点，即可得到的最小值为，再解直角三角形即可解答．
【详解】解：作点关于的对称点，过点作于点，交于点，如图：
由对称性可得，
，
当，，三点共线，且时，即点在点处，点在点处时，的值最小．
，，
，，
，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查矩形的性质和线段和最小值问题，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，解题的关键在于作出适当的辅助线．
3．（22-23八年级下·江苏徐州·阶段练习）如图，菱形中，，，点、、分别为线段、、上的任意一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据轴对称确定最短路线问题作图，再利用直线外一点到直线的距离垂线段最短确定最短距离并计算即可．
【详解】解：作点关于的对称点，根据菱形的性质，点落在线段上，
连接
∴当在同一直线并且时，最小，
过点作交于点
∴最小为
故选D．
【点睛】本题主要考查轴对称求最短距离以及直线外一点到直线的距离垂线段最短的性质，菱形的性质，熟练掌握轴对称确定最短路线以及菱形的性质是解决本题的关键．
4．（2021·山东淄博·一模）如图，在正方形ABCD中，AB=8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM=6．P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】A
【分析】以BD为对称轴作N的对称点N′，连接PN′，MN′，依据PM PN=PM PN′ MN′，可得当P，M，N′三点共线时，取“=”，再求得，即可得出，∠CMN′=90°，再根据△N′CM为等腰直角三角形，即可得到CM=MN′=2，即可求得．
【详解】解：如图所示，以BD为对称轴作N的对称点N’，连接MN′并延长交BD于P，连NP，
根据轴对称性质可知，PN=PN'，
∴PM﹣PN=PM﹣PN'≤MN'，
当P，M，N'三点共线时，取“=”，
∵正方形边长为8，
∴，
∵O为AC中点，
∴，
∵N为OA中点，
∴，
∴，
∴，
∵BM=6，
∴CM=AB-BM=8-6=2，
∴，
∴，∠CMN’=90°，
∵∠N'CM=45°，
∴△N'CM为等腰直角三角形，
∴CM=MN'=2，
即PM-PN的最大值为2，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
二、填空题
5．（22-23八年级·陕西咸阳·期中）如图，正方形 的边长是12，分别是上的点，已知，，求周长的最小值 ．
【答案】
【分析】作点E关于的对称点N，连接，交于点G，根据两点之间线段最短，所以为的最小值，过点F作于点M，在直角中，求得的最小值为13，即可求出周长的最小值．
【详解】解：如图，
作点E关于的对称点N，
因为正方形是轴对称图形，且为对称轴，
所以点N在上，
连接，交于点G，根据两点之间线段最短，
所以为的最小值，
过点F作于点M，
则，，
根据轴对称性质可知：，
所以，
在直角中，由勾股定理，得：
，
所以，
即的最小值为13，
在中，，
所以，
所以周长的最小值是．
【点睛】本题考查轴对称﹣最短路径问题，正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
6．（22-23八年级·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）正方形中，点在上，，，点在上，的最小值 ．
【答案】
【分析】此题考查了正方形的性质，轴对称，两点之间线段最短和勾股定理，连接交于点O，连接与交于点P，连接，结合两点之间线段最短，即可求解．
【详解】如图，连接交于点，连接与交于点P，连接，
∵四边形是正方形，
∴，且，
∴，则，此时最短，
∵，，
∴根据勾股定理得，
∴，
即的最小值为：，
故答案为：．
7．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，，，对角线与交于点，将直线绕点按顺时针方向旋转，分别交、于点、，则四边形周长的最小值是 ．
【答案】/
【分析】如图所示，过点作，垂足为，根据“直角三角形中角所对直角边等于斜边一半”，求出的值，进而求出的值，证明，得到，即可推出四边形周长，当的值最小时，即可得到四边形周长的最小值，利用垂线段最短即时，求出最小值，即可得出答案．
【详解】解：如图所示，过点作，垂足为，
，，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
，
，
，，
四边形周长，
当的值最小时，四边形的周长最小，此时，即为最小值，
四边形的周长最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，特殊直角三角形的性质，线段的最值问题，全等三角形的判定与性质，解题关键是利用三角形全等的性质转换线段之间的关系表达出周长．
8．（2023八年级·福建·专题练习）如图，，平分，平分，和交于点，，分别是线段和线段上的动点，且，若，，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】先根据平分，平分，证明四边形是菱形．在上取点，使，连接，作点关于的对称点，连接、．
作于点，作于点，则，得出，所以，当、、三点在同一直线上时，取最小值为．再根据勾股定理求出即可．
【详解】解：平分，平分，
∴，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
如图．在上取点，使，连接，作点关于的对称点，连接、．
作于点，作于点．
，
，，，
，
，
，
当、、三点在同一直线上时，取最小值为．
，，
，，
，，
，，
，
，
，
．
即的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了线段之和最小值问题，作辅助线推出是解题的关键．
9．（21-22八年级下·安徽芜湖·期末）如图，正方形ABCD的边长为8，点E在AB上，BE＝2，点M，N为AC上动点，且，连接BN，EM，则四边形BEMN周长的最小值为 ．
【答案】
【分析】连接BD、DN，作点E关于BD的对称点F，连接NF、DF，根据正方形的性质和平行四边形的判定可证明四边形MEFN是平行四边形得到ME=NF，BN=DN，利用三角形三边关系可得ME+BN=NF+DN≥DF（当D、N、F共线时取等号），利用勾股定理求得DF即可求解．
【详解】解：连接BD、DN，作点E关于BD的对称点F，则BE=BF=2，
连接NF、DF，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠BCD=90°，DB⊥AC，BN=DN，点F在BC上，
∴EF∥AC，EF= =MN，
∴四边形MEFN是平行四边形，
∴ME=NF，
∴ME+BN=NF+DN≥DF（当D、N、F共线时取等号），
在Rt△DCF中，CD=8，CF=8-2=6，则DF= =10，
∴ME+BN≥10，
∴MN+BE+ME+BN≥+2+10=12+ ，
即则四边形BEMN的周长的最小值为12+ ，
故答案为：12+ ．
【点睛】本题考查最短路径问题，涉及正方形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、轴对称性质、三角形的三边关系，熟练掌握正方形的对称性质，会利用三角形的三边关系找的DF为最小是解答的关键．
10．（21-22八年级下·广东东莞·期中）如图，菱形ABCD周长为16，∠DAC＝30°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是 ．
【答案】
【分析】连接BD交AC于点O，连接PD，DE．由四边形ABCD是菱形，可得：，．可知AC垂直平分BD，所以．可得，即．由四边形ABCD是菱形，,可得．由四边形ABCD是菱形且周长是16，可得．结合，可得是等边三角形．由于点E是AB的中点，可得．所以．由，可得．在中，由直角三角形性质，可求出．由勾股定理可得，可求出．所以的最小值为．
【详解】解：连接BD交AC于点O，连接PD，DE
四边形ABCD是菱形
，，，
，
AC垂直平分BD
即
，
菱形ABCD的周长为16
是等边三角形
点E是AB的中点
在中，
在中，由勾股定理得
的最小值为
故答案为：
【点睛】本题主要考查知识点为：菱形的性质、垂直平分线的性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质，勾股定理．若要最小，应让PE、PB，在同一直线上，所以需将其中一条线段进行转移．掌握上述知识点和求最值的思路，是解决本题的关键．
11．（21-22八年级·四川成都·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD边的中点，若P、Q为BC边上的两个动点，且PQ＝2，四边形APQE的周长最小值为 ．
【答案】
【分析】要使四边形APQE的周长最小，由于AE与PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．为此，先在BC边上确定点P、Q的位置，可在AD上截取线段AF=DE=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，则此时AP+EQ=EG最小，即四边形APQE的周长最小．
【详解】在AD上截取线段AF=PQ=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点．则四边形APQF是平行四边形
∴PA=FQ=GQ
∵E为CD边的中点
∴DE=EC=2
∴
∵GH=DF=6，EH=EC+CH=2+4=6，∠H=90°，
∴∠GEH=45°，
∴，
∴四边形APQE的周长的最小值=QE+EA+PQ+AP
=+EQ+2+AP
=+EQ+2+QG
=+EG+2
=．
故答案为．
【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称-最短路线问题的应用，题目具有一定的代表性，是一道难度较大的题目，对学生提出了较高的要求．
12．（22-23八年级下·四川绵阳·期中）如图，在平行四边形中，，，连接，且，平分交与于点．点在边上，，若线段（点在点的左侧）在线段上运动，，连接，，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】在上截取，连接，过点作，使，连接交于点，连接，过点作于点，过点作于点，连接，由平行四边形的性质和含直角三角形三边关系可得：，利用勾股定理可得，再利用含直角三角形三边关系可得：，，进而可得，求得：，再证四边形是平行四边形，得出，再证明，得出，根据，可得出：当点在线段上时，的最小值为，即的最小值为，即可求得的最小值．
【详解】解：在上截取，连接，过点作，使，连接交于点，连接，过点作于点，过点作于点，连接，
∵四边形是平行四边形，，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵线段（点在点的左侧）在线段上运动，
∴，
∴当点在线段上时，的最小值为，
∴的最小值为，
∵，，
∴最小值为：，
即最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，全等三角形的判定和性质，添加辅助线构造平行四边形和全等三角形是解题的关键．
三、解答题
13．（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）已知，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为点，点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接．
(1)若，
①如图1，若，直接写出点的坐标 ；
②如图1，若点为中点，点在轴负半轴上一点，连接，求证：平分；
(2)如图2，若为边上一点，为延长线上一点，，连接，将线段绕点顺时针旋转得到．
①连接，判断的形状，并证明．
②连接，当 ，线段最短．
【答案】(1)①②见解析
(2)①等腰三角形②
【分析】（1）①如图1中，过点作轴于点．证明，可得结论；
②如图2中，过点作于点，于点．利用全等三角形的性质证明，可得结论；
（2）作交于点，连接，，，过点作交的延长线于点．证明，推出，再证明，推出，推出，推出点在直线上运动，根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，由此即可解决问题．
【详解】（1）解；①解：如图1中，过点作轴于点．
，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，，
，，，
；
故答案为：
②证明：如图2中，过点作于点，于点．
，，，
，，，
，
，
∴，
在和中，
，
，
，
，，
平分；
（2）①为等腰三角形
证明：作交于点，连接，，过点作交的延长线于点．
，，
，
是等边三角形，
，
，
，，
是等边三角形，
，
，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
故为等腰三角形．
②，
，，
，
，
，
，
，
点在直线上运动，
根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，此时．
故答案为：
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
14．（22-23八年级下·江苏连云港·期末）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题：
(1)如图1，以菱形的一边为边向外作正方形，、分别是菱形和正方形的对角线交点，连接．
求证：四边形是“直等补”四边形．
②若，求四边形的面积．
(2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，其中，，过点作于点且，连接，若点是线段上的动点，请你直接写出周长的最小值．
【答案】(1)①详见解析；②1
(2)周长的最小值：
【分析】（1）①由正方形的性质和菱形的性质可得，，，即可解答；
②过点作于点，交的延长线于点，“”可证，所以，即，由正方形的面积公式，即可解答；
（2）先证四边形是正方形，利用勾股定理求出，，即可解答．
【详解】（1）证明：①如图1中，
四边形是菱形，
，，
四边形是正方形，
，，
，，
又，
四边形是“直等补”四边形；
②如图1中，过点作于点，交的延长线于点，
，
四边形是矩形，
，
即，
，
在和中，，
，
，，
四边形是正方形，
；
（2）周长的最小值：；
延长到点，过作于点，
四边形是“直等补”四边形，，，
，
，即，
，，
，，
四边形是矩形，
，
又，，
，
在和中，，
，
，
矩形是正方形，
，；
∵，
即当点C、P、三点共线时，的最小值是，
在中，，，
，；
在中，，，
，
周长的最小值为：；
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
15．（22-23八年级下·山东菏泽·期末）如图1，已知为等腰直角三角形，，点D是的中点，作正方形，使点，分别在边和上，连接，．
(1)探索线段与的数量关系，直接写出你的结论______；
(2)将正方形绕点D按逆时针方向旋转一定角度（旋转角大于，小于或等于）时（如图2），（1）的结论是否仍然成立？说明理由；
(3)已知，，在（2）的旋转过程中，当为最大值时，求的值．
【答案】(1)
(2)成立，理由见解析
(3)5
【分析】（1）根据等腰直角三角形和正方形的性质推出条件判定，根据全等三角形的性质即可推出线段与的数量关系；
（2）连接，判定，根据全等三角形的性质即可推出（1）中的结论仍然成立；
（3）当旋转角是时，、、三点共线，取得最大值，根据的最大值，用勾股定理即可求出的值．
【详解】（1）解：是等腰直角三角形，点是的中点，
∴，，
是等腰直角三角形，，
，
四边形是正方形，
，
，
．
故答案为：；
（2）如图2，连接，
由（1）得：，
根据旋转可得：，
，
又，，
，
．
即（1）中的结论仍然成立；
（3）如图3，
当、、三点共线，，取得最大值，
，
，
又，
，
在中，，，
，
当为最大值时，的值为5．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质和全等三角形的判定和性质等知识点，深入理解题意是解决问题的关键．
16．（2023八年级下·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，，P是射线上一点，连接，沿将折叠，得．
(1)如图1所示，当时，=_____度；
(2)如图2所示，当时，求线段的长度；
(3)当点P为中点时，点F是边上不与点A，B重合的一个动点，将沿折叠，得到，连接，求周长的最小值．
【答案】(1)85；
(2)；
(3)
【分析】（1）根据平角的定义，翻折的性质求解即可；
（2）作于H．勾股定理解Rt，由四边形是平行四边形，，可得，根据即可求解；
（3）作于H，连接．勾股定理求得，当的长度最小时，的周长最小，由，求得，然后即可求得的周长的最小值．
【详解】（1）如图1中，
∵，
∴，
由翻折的性质可知：．
故答案为85．
（2）如图2中，作于H．
在Rt中，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）如图3中，作于H，连接．
∵，
∴，
∵，
∴＝＝，
由翻折可知：，
∴的周长＝，
∴当的长度最小时，的周长最小，
∵，
∴，
∴的最小值为，
∴的周长的最小值为．
【点睛】本题考查了勾股定理解直角三角形，平行四边形的性质，折叠的性质，轴对称求线段和最值问题，综合运用以上知识是解题的关键．
17．（21-22八年级·山东济南·期末）问题发现
(1)如图①，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外分别作等边△ABD和等边△ACE，连接CD，BE．试猜想CD与BE的数量关系是________；
(2)问题探究：如图②，四边形ABCD中，∠ABC＝45°，∠CAD＝90°，AC＝AD，AB＝2BC＝6．求BD的长．
(3)问题解决：如图③，△ABC中，AC＝2，BC＝3，∠ACB是一个变化的角，以AB为边向△ABC外作等边△ABD，连接CD，求CD的长度最大值．
【答案】(1)CD=BE
(2)9
(3)5
【分析】（1）结论：CD=BE．证明△DAC≌△BAE（SAS），可得结论．
（2）如图②中，以AB为边向外作等腰直角△ABT，证明△TAC≌△BAD（SAS），推出CT=BD，利用勾股定理求出CT即可．
（3）存在．如图③中，以BC为边向外作等边△BCF，连接AF．证明△DBC≌△ABF（SAS），推出DC=AF，可得结论．
【详解】（1）解：CD=BE．
理由：如图①中，∵△ABD，△ACE都是等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE=60°，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴CD=BE．
故答案为：CD=BE．
（2）如图②中，以AB为边向外作等腰直角△ABT，连接CT．
∵∠BAT=∠CAD=90°，
∴∠BAD=∠TAC，
在△TAC和△BAD中，
∴△TAC≌△BAD（SAS），
∴CT=BD，
∵∠ABT=∠ABC=45°，
∴∠TBC=90°，
∵AB=2BC=6，
∴，
∴，
∴BD=TC=9；
（3）存在．如图③中，以BC为边向外作等边△BCF，连接AF．
∵△ABD，△BCF都是等边三角形，
∴BA=BA，BC=BF，∠DBA=∠CBF=60°，
∴∠DBC=∠ABF，
在△DBC和△ABF中，
∴△DBC≌△ABF（SAS），
∴DC=AF，
∵AC=2，CF=BC=3，
∴AF≤AC+CF，
∴AF≤5，
∴当A，C，F共线时，AF的值最大，最大值为5，
∴CD的最大值为5．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
18．（21-22八年级下·山东济宁·期中）【问题情境】如图1，已知点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得的值最小．
小军的思路是：如图2，作点A关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点P即为所求．
【启发应用】请参考小军同学的思路，探究并解答下列问题：
(1)如图3，在图2的基础上，设与直线l的交点为点C，过点B作，垂足为点D．若，，，求出此时的最小值；
(2)如图3，若，，，则此时的最小值为______；
(3)【解决问题】根据以上解决问题的思路，直接写出的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据等腰三角形的判定证得△ACP和△BDP为等腰直角三角形，利用勾股定理求得PA和PB，从而求得PA+PB；
（2）作A′E∥l，交BD的延长线于E，根据已知条件求得BE、A′E，然后根据勾股定理即可求得A′B，从而求得AP+BP的值；
（3）设AC=5m-3，PC=1，可得PA，设BD=8-5m，PD=3，可得PB，结合（2）即可求解．
【详解】（1）解：∵AA′⊥l，AC=1，PC=1，
∴AC=CP，∠ACP=90°，
∴∠CAP=∠CPA=45°，
∴PA=，
∵点A关于直线l的对称点为A'，
∴PA′=PA=，
∴∠CPA′=∠CPA=45°，
∵BD⊥l，∠BPD=∠CPA′=45°，
∴∠PBD=90°-45°=45°=∠BPD，
∴BD=PD=2，
∴PB=，
∴AP+PB的最小值为=；
（2）作A′E∥l，交BD的延长线于E，如图3，则四边形A′EDC是矩形，
∴A′E=DC=6，DE=A′C=AC=1，
∵BD=2，
∴BD+AC=BD+DE=3，
即BE=3，
在Rt△A′BE中，A′B=，
∴AP+BP=A′P+BP=A′B=；
（3）如图3，设AC=5m-3，PC=1，则PA=，
设BD=8-5m，PD=3，则PB=，
∵DE=AC=5m-3，
∴BE=BD+DE=5，A′E=CD=PC+PD=4，
∴PA+PB=A′B=，
∴=．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质和勾股定理的应用是解题的关键．
19．（21-22八年级下·湖北咸宁·期末）如图1，正方形的对角线，相交于，为边上一动点（不与，重合），交于．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)如图2，若正方形边长为，为中点，点在运动过程中，长的最小值为___________．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）先判断出，，，再判断出，即可得出结论；
（2）先判断出，再利用勾股定理即可得出结论；
（3）先判断出时，长的值最小，即可求出答案．
【详解】（1）证明：∵正方形的对角线，相交于，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）由（1）知：，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴．
（3）解：在中，为中点，
∴，
由（2）知：，
∴，
要长的值最小，则长的值最小，
∵点在上，正方形边长为，，，
∴当时，长的值最小，
此时是的边上的中线，
∴，
∴长的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题是四边形综台题，主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的三线合一，垂线段最短．确定线段的长取得最小值时所在的位置是解题的关键．
20．（21-22八年级·广东广州·期末）在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P、Q为BC边上的两个动点（点P位于点Q的左侧，P、Q均不与顶点重合），PQ＝2
(1)如图①，若点E为CD边上的中点，当Q移动到BC边上的中点时，求证：AP＝QE；
(2)如图②，若点E为CD边上的中点，在PQ的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时，求BP的长；
(3)如图③，若M、N分别为AD边和CD边上的两个动点（M、N均不与顶点重合），当BP＝3，且四边形PQNM的周长最小时，求此时四边形PQNM的面积．
【答案】(1)见解析
(2)4
(3)4
【分析】（1）由“SAS”可证△ABP≌△QCE，可得AP=QE；
（2）要使四边形APQE的周长最小，由于AE与PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．为此，先在BC边上确定点P、Q的位置，可在AD上截取线段AF=DE=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，则此时AP+EQ=EG最小，然后过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点，那么先证明∠GEH=45°，再由CQ=EC即可求出BP的长度；
（3）要使四边形PQNM的周长最小，由于PQ是定值，只需PM+MN+QN的值最小即可，作点P关于AD的对称点F，作点Q关于CD的对称点H，连接FH，交AD于M，交CD于N，连接PM，QN，此时四边形PQNM的周长最小，由面积和差关系可求解．
【详解】（1）解：证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=4，BC=AD=8，
∵点E是CD的中点，点Q是BC的中点，
∴BQ=CQ=4，CE=2，
∴AB=CQ，
∵PQ=2，
∴BP=2，
∴BP=CE，
又∵∠B=∠C=90°，
∴△ABP≌△QCE（SAS），
∴AP=QE；
（2）如图②，在AD上截取线段AF=PQ=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点．
∵GH=DF=6，EH=2+4=6，∠H=90°，
∴∠GEH=45°，
∴∠CEQ=45°，
设BP=x，则CQ=BC-BP-PQ=8-x-2=6-x，
在△CQE中，∵∠QCE=90°，∠CEQ=45°，
∴CQ=EC，
∴6-x=2，
解得x=4，
∴BP=4；
（3）如图③，作点P关于AD的对称点F，作点Q关于CD的对称点H，连接FH，交AD于M，交CD于N，连接PM，QN，此时四边形PQNM的周长最小，连接FP交AD于T，
∴PT=FT=4，QC=BC-BP-PQ=8-3-2=3=CH，
∴PF=8，PH=8，
∴PF=PH，
又∵∠FPH=90°，
∴∠F=∠H=45°，
∵PF⊥AD，CD⊥QH，
∴∠F=∠TMF=45°，∠H=∠CNH=45°，
∴FT=TM=4，CN=CH=3，
∴四边形PQNM的面积=×PF×PH-×PF×TM-×QH×CN=×8×8-×8×4-×6×3=7．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称求最短距离，直角三角形的性质；通过构造平行四边形和轴对称找到点P和点Q位置是解题的关键．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
