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专题14 特殊平行四边形之菱形存在性问题（压轴题，20题）（原卷版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．（21-22八年级下·江苏无锡·阶段练习）已知，如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（20，0），C（0，8），点D是OA的中点，动点P在线段BC上以每秒2个单位长的速度由点C向B 运动．设动点P的运动时间为t秒．
(1)当t为何值时，四边形PODB是平行四边形？
(2)在直线CB上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在线段PB上有一点M，且PM=10，当P运动 秒时，四边形OAMP的周长最小, 并在图②画出点M的位置．
2．（21-22八年级下·河北保定·期末）如图，在平行四边形中，，，点在边上，以每秒的速度从点向点运动，点在边上，以每秒的速度从点出发，在之间做往返运动．两个动点同时出发，当点到达点时两点同时停止运动．设运动时间为秒．
(1)用含的代数式表示线段及的长度；
(2)在点，的运动过程中，为何值时，四边形为平行四边形？
(3)在点，的运动过程中，是否存在的值，使四边形为菱形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
3．（21-22八年级下·贵州黔东南·期中）如图，在四边形ABCD中，ADBC，∠B=90°，AD=9cm，BC=13cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度向终点D运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向终点B运动，当其中一个动点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为ts．
（1）若AB=3cm，求CD的长；
（2）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？
探究：
（3）若AB=3cm，在整个运动过程中是否存在一个时间，使得四边形PQCD是菱形？若存在，请求出运动时间；若不存在，请说明理由．
能力提升：
（4）探究：如果要使第（2）小题中的四边形PDCQ是菱形，则线段AB的长又要等于多少？
4．（22-23九年级·广东佛山·阶段练习）如图，在中，，，，点从点出发沿方向以每秒2个单位长的速度向A点匀速运动，同时点从点A出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点，运动的时间是秒（），过点作于点，连接，．
(1)填空：的长是________；
(2)在，的运动过程中，线段与有什么关系？请证明．
(3)在，的运动过程中，是否存在四边形为菱形？若存在，求出的值，若不存在，说明理由．
5．（2022·广东惠州·一模）在正方形中，，、分别是、边上的动点，以、为边作平行四边形．
(1)如图1，连接，若，试说明与的关系；
(2)如图2，若为的中点，在边上是否存在某个位置，使得四边形为菱形？若存在，求出的长；若不存在，说明理由．
6．（21-22八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）综合与探究
在平面直角坐标系中，矩形的顶点、、的坐标分别为，，，且、满足．
(1)矩形的顶点的坐标是_________．
(2)若是中点，沿折叠矩形，使点落在点处，折痕为，连接并延长交轴于点．求证：四边形是平行四边形．
(3)若点在轴上，则在坐标平面内，是否存在这样的点，使得、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
7．（21-22八年级下·广东中山·期末）如图，直线分别与x轴、y轴相交于点A、B，，点C从点A出发以每秒2个单位长度的速度向点B匀速运动，点D同时从点B出发以每秒1个单位长度的速度向点O匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设点C、D运动的时间为t秒，过点C作轴于点E，连接、．
(1)是否存在某个时间t，使得四边形成为菱形？请说明理由；
(2)当t为何值时，为直角三角形？请说明理由．
8．（21-22八年级下·山东聊城·期末）已知，如图O为坐标原点，四边形OABC为矩形，B（10，4），点D是OA的中点，动点P在线段BC上以每秒3个单位长的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒．
(1)当t为何值时，△BDP的面积为10？
(2)在直线CB上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
9．（21-22八年级下·河北衡水·期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6cm，AD=10cm，点P在边AD上，以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在边CB上，以每秒2cm的速度从点C出发，在CB之间做往返运动．两个动点同时出发，当点P到达点D时两点同时停止运动．设运动时间为t秒（t＞0）．
(1)用含t的代数式表示线段AP及BQ的长度；
(2)在点P，Q的运动过程中，t为何值时，四边形APQB为平行四边形？
(3)在点P，Q的运动过程中，是否存在t的值，使四边形APQB为菱形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
10．（21-22八年级下·江苏无锡·期中）如图①，将正方形ABOD放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点D的坐标为（2，4），
(1)若点P为对角线BD上的动点，作等腰直角三角形APE，使∠PAE＝90°，如图，连接DE，试说明DE与BP的关系；
(2)在的条件下，再作等边三角形APF，连接EF、FD，如图，在P点运动过程中当EF取最小值时，此时∠DFE= °；
(3)点M在x轴上，在平面内是否存在点N，使以B、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
11．（22-23八年级下·江苏无锡·阶段练习）已知，如图，O为坐标原点，四边形为矩形，A(10，0)，C(0，4)，点D是的中点，动点P在线段上以每秒2个单位长的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒
(1)当t为何值时，四边形是平行四边形？
(2)在直线上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在线段上有一点M，且，当P运动 秒时，四边形的周长最小，并画图标出点M的位置．
12．（21-22八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线y= x+b分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为(8，0)，四边形ABCD是正方形．
(1)求b的值和点D的坐标；
(2)点M是线段AB上的一个动点(点A、B除外)
①如图2，将△BMC沿CM折叠，点B的对应点是点E，连接ME并延长交AD边于点F，问△AMF的周长是否发生变化 若不变，求出其值；若变化，请说明理由；
②探索在x轴上方是否存在另一个点N，使得以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形 若不存在，请说明理由；若存在，请求出点N的坐标．
13．（22-23九年级·福建厦门·期中）如图，正方形的边分别在x轴和y轴上，顶点B在第一象限，，点E、F分别在边和射线上运动（E、F不与正方形的顶点重合），，设，
(1)当时，则_________，___________；
(2)当点F在线段上运动时，若的面积为，求t的值．
(3)在整个运动过程中，平面上是否存在一点P，使得以P、O、E、F为顶点，且以为边的四边形是菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
14．（22-23八年级下·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，．
(1)如图1，点P为射线上的动点，连接，若是等腰三角形，求的长度；
(2)如图2，是否在x轴上存在点E，在直线上存在点F，以O，B，E，F为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点E，F的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图3，点M是边上的动点，过点M作的垂线交直线于点N，求的最小值．
15．（22-23八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知矩形中，，．点E、F、G、H分别在、、、上，且，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当时，是否存在四边形是菱形？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由；
(3)对于上的任意一点E，是否存在一个四边形是菱形？若都存在，请加以证明；若上只有一部分点存在，请求出存在四边形是菱形时，长的取值范围．
16．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，点为上一个动点，连接，以，为邻边作，连接交于点，
(1)求当长为何值时，为矩形？
(2)求当长为何值时，菱形？
(3)在点的运动过程中，线段是否存在最小值，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
17．（21-22八年级下·福建龙岩·期中）已知，如图为坐标原点，四边形为矩形，，点是的中点，动点在线段上以每秒3个单位长的速度由点向运动．设动点的运动时间为秒．
(1)当为何值时，的面积为10？
(2)在直线上是否存在一点，使得、、、四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求的值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
18．（21-22八年级下·江苏宿迁·期中）如图1，在矩形中，对角线相交于点O，，，点P从点A出发沿以每秒的速度向点B运动，同时点Q从点C出发沿方向以每秒的速度向点A运动，设运动的时间为t秒，当点P运动到点B时，点Q停止运动．过点Q作于点H．
(1)填空：_____________，________（用含有t的式子表示）；
(2)是否存在某一时刻t，使四边形为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
(3)若在某一时刻t，平面内存在一点G，使四点构成的四边形是矩形，求出t的值．
19．（21-22八年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，中，，，．对角线、相交于点O，将直线绕点O顺时针旋转α°，分别交直线、于点E、F．
(1)当α＝ 时，四边形是平行四边形；
(2)在旋转的过程中，四边形可能是菱形吗？如果能，求出此时α的值；如果不能，说明理由；
(3)在旋转过程中，是否存在以A、B、C、D、E、F中的4个点为顶点的四边形是矩形？如果存在，直接写出矩形的名称及对角线的长度；如果不存在，说明理由．
20．（21-22八年级下·河南洛阳·期末）已知，如图，为坐标原点，在四边形中，，，，，点D是的中点，动点P在线段上以每秒2个单位长度的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒．
(1)当P运动_______秒，四边形是平行四边形；
(2)在直线上是否存在一点Q，使得以O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在线段上有一点M，且，四边形的最小周长是_______．
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专题14 特殊平行四边形之菱形存在性问题（压轴题，20题）（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．（21-22八年级下·江苏无锡·阶段练习）已知，如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（20，0），C（0，8），点D是OA的中点，动点P在线段BC上以每秒2个单位长的速度由点C向B 运动．设动点P的运动时间为t秒．
(1)当t为何值时，四边形PODB是平行四边形？
(2)在直线CB上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在线段PB上有一点M，且PM=10，当P运动 秒时，四边形OAMP的周长最小, 并在图②画出点M的位置．
【答案】(1)当t的值为5时，四边形PODB是平行四边形；
(2)存在，当t=3时，Q（16,8），t=8时，Q（6,8），t=2时，Q（﹣6,8）；
(3)2.5
【分析】（1）由四边形OABC为矩形，A（20,0），C（0,8），可知BC=OA=20，AB=OC=8，由点D是OA的中点，可得，由运动可知，PC=2t，则BP=BC－PC=20－2t，由于四边形PODB是平行四边形，则PB=OD=10，解得t＝5，故当t的值为5时，四边形PODB是平行四边形；
（2）分三种情况讨论①当Q点在P点右边时，当Q在P左侧，且在BC上时，当Q在P的左侧，且在BC的延长线上时，分别计算即可；
（3）由（1）知，OD=10，由于PM=10，则OD=PM，由于BCOA，则四边形OPMD是平行四边形，则OP=DM，根据四边形OAMP的周长为OA+AM+PM+OP=20+AM+10+DM=30+AM+DM，可知AM+DM最小时，四边形OAMP的周长最小，则作点A关于BC的对称点E，连接DE交BC于点M，则AB=EB，由BCOA，可知，进而可知PC=BC－BM－PM=20－10－5=5，求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形OABC为矩形，A（20,0），C（0,8），
∴BC=OA=20，AB=OC=8，
∵点D是OA的中点，
∴，
由运动知，PC=2t，
∴BP=BC－PC=20－2t，
∵四边形PODB是平行四边形，
∴PB=OD=10，
解得t＝5，
∴当t的值为5时，四边形PODB是平行四边形；
（2）解：分为三种情况：
当Q点在P点右边时，如下图，
∵四边形ODQP是菱形，
∴OD=OP=PQ=10，
∴在Rt△OPC中，由勾股定理可得：，
∴2t=6，
解得t=3，
∴Q（16,8）；
当Q在P左侧，且在BC上时，如图所示，
同理①得PC=16，
即2t=6，
解得t=8，
∴Q（6,8）；
当Q在P的左侧，且在BC的延长线上时，如图，
同理①求出QC=6，
PC=10-6=4，
即2t=4，
解得：t=2，
∴Q（﹣6,8），
综上所述，t=3时，Q（16,8），t=8时，Q（6,8），t=2时，Q（﹣6,8）；
（3）如下图所示：
由（1）知，OD=10，
∵PM=10，
∴OD=PM，
∵BCOA，
∴四边形OPMD是平行四边形，
∴OP=DM，
∵四边形OAMP的周长为OA+AM+PM+OP=20+AM+10+DM=30+AM+DM，
∴AM+DM最小时，四边形OAMP的周长最小，
∴作点A关于BC的对称点E，连接DE交BC于点M，
∴AB=EB，
∵BCOA，
∴，
∴PC=BC－BM－PM=20－10－5=5，
即2t=5，
解得：t=2.5，
故答案为2.5．
【点睛】本题考查平行四边形的动点问题，菱形的判判定，勾股定理，能够分析出实际的运动情况是解决本题的关键．
2．（21-22八年级下·河北保定·期末）如图，在平行四边形中，，，点在边上，以每秒的速度从点向点运动，点在边上，以每秒的速度从点出发，在之间做往返运动．两个动点同时出发，当点到达点时两点同时停止运动．设运动时间为秒．
(1)用含的代数式表示线段及的长度；
(2)在点，的运动过程中，为何值时，四边形为平行四边形？
(3)在点，的运动过程中，是否存在的值，使四边形为菱形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)或
(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）根据的速度为每秒，可得，是速度为每秒，可得，从而得到；
（2）由四边形为平行四边形可得出，结合平行四边形的判定定理可得出当时，由此构建方程，可得结论；
（3）先算出的时间为秒，再算出秒运动了，此时，，由此即可判断．
【详解】（1）解：的速度为每秒，
，
是速度为每秒，
，
；
（2）解：四边形为平行四边形，
，
当时，四边形是平行四边形，
或，解得或，
综上所述：满足条件的的值为或；
（3）解：不存在．
理由：若以、、、为顶点的四边形为菱形，则必有，
，此时运动了，
，
，
不存在的值，使四边形为菱形．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，一元一次方程的应用，弄清在上往返运动情况是解决此题的关键．
3．（21-22八年级下·贵州黔东南·期中）如图，在四边形ABCD中，ADBC，∠B=90°，AD=9cm，BC=13cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度向终点D运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向终点B运动，当其中一个动点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为ts．
（1）若AB=3cm，求CD的长；
（2）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？
探究：
（3）若AB=3cm，在整个运动过程中是否存在一个时间，使得四边形PQCD是菱形？若存在，请求出运动时间；若不存在，请说明理由．
能力提升：
（4）探究：如果要使第（2）小题中的四边形PDCQ是菱形，则线段AB的长又要等于多少？
【答案】（1）cm；（2）当t为3s时，四边形PDCQ是平行四边形；（3）不存在；理由见解析；（4）当AB=cm时，第（2）小题中的四边形PDCQ是菱形．
【分析】（1）过点D作DE⊥BC于点E，则∠DEB=90°，根据矩形的判定和性质得出AB=DE=3，BE=13-9=4，再由勾股定理求解即可；
（2）根据题意得出，，再由平行四边形的性质得出方程求解即可；
（3）根据（2）中过程及菱形的性质求解即可；
（4）根据菱形的性质及勾股定理求解即可得出结果．
【详解】解：（1）过点D作DE⊥BC于点E．则∠DEB=90°，
∵ ADBC，∠B=90°，
∴∠A=∠B=90°，即∠A=∠B=∠DEB=90°，
∴四边形ABED是矩形，
∴AB=DE=3，CE=13-9=4，
在Rt△DEC中，
（cm）
（2）由题意得，，，
∵ADBC，
∴当PD=CQ时，四边形PDCQ是平行四边形，
即，
解得．
∴当t为3s时，四边形PDCQ是平行四边形．
（3）解：不存在：理由：
要使四边形PDCQ是菱形，则四边形PDCQ一定是平行四边形
由（2）可知t=3s时，四边形PDCQ是平行四边形，此时PD=9-t=6，
又∵CD=，
∴PDCD，
∴四边形只能是平行四边形，不可能是菱形
（4）当时，PD=9-3=6，
当DP=DC=6时，平行四边形PDCQ是菱形，
∴DE=AB=
即当AB=cm时，第（2）小题中的四边形PDCQ是菱形．
【点睛】题目主要考查矩形的判定和性质，菱形的判定和性质及勾股定理解三角形，一元一次方程的应用等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
4．（22-23九年级·广东佛山·阶段练习）如图，在中，，，，点从点出发沿方向以每秒2个单位长的速度向A点匀速运动，同时点从点A出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点，运动的时间是秒（），过点作于点，连接，．
(1)填空：的长是________；
(2)在，的运动过程中，线段与有什么关系？请证明．
(3)在，的运动过程中，是否存在四边形为菱形？若存在，求出的值，若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)线段与平行且相等．证明见解析
(3)存在；，
【分析】（1）在中，，，，则，由勾股定理求得的长．
（2）先证四边形是平行四边形，从而证得线段与平行且相等．
（3）由四边形为平行四边形．根据使四边形为菱形则需要满足的条件即可求得答案．
【详解】（1）在中，，，，
∴，
∴，
故答案为：
（2）线段与平行且相等．
证明：∵于点，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形．
∴线段与平行且相等．．
（3）存在；，求解过程如下：
由（2）得四边形为平行四边形．
∵，，
∴，
若使四边形为菱形，则需，
即，
解得，
即当时，四边形为菱形．
【点睛】此题是四边形的综合题，考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定，直角三角形30度角的性质、勾股定理、动点问题，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．
5．（2022·广东惠州·一模）在正方形中，，、分别是、边上的动点，以、为边作平行四边形．
(1)如图1，连接，若，试说明与的关系；
(2)如图2，若为的中点，在边上是否存在某个位置，使得四边形为菱形？若存在，求出的长；若不存在，说明理由．
【答案】(1)，且，理由见解析
(2)F在AB边上存在时，使得四边形EFDG为菱形
【分析】（1）根据正方形的性质，得出，，再判断和全等，再根据平行四边形的性质即可得出答案；
（2）先判断存在，设，再根据点E为中点、菱形的性质，通过勾股定理即可得出答案．
【详解】（1）解：，且．
∵四边形为正方形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，且， ．
（2）解：存在，理由如下：
设，
∵，
∴，
∴，
∵点E为中点，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
由勾股定理可得，即
解得
∴F在边上存在时，使得四边形为菱形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质、菱形的性质、勾股定理，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定、平行四边形和菱形的性质、勾股定理．
6．（21-22八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）综合与探究
在平面直角坐标系中，矩形的顶点、、的坐标分别为，，，且、满足．
(1)矩形的顶点的坐标是_________．
(2)若是中点，沿折叠矩形，使点落在点处，折痕为，连接并延长交轴于点．求证：四边形是平行四边形．
(3)若点在轴上，则在坐标平面内，是否存在这样的点，使得、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由题意可求得和的值，再将其代入的坐标即可求得；
（2）由折叠的性质可得，，由三角形外角性质可得，可得，即可证明四边形是平行四边形；
（3）分别以，为圆心，长为半径画圆和的线段垂直平分线与轴交点得出点的可能性，进而得出点的坐标．
【详解】（1）解：且，
，
，
点，点，
点，
故答案为：；
（2）证明：是中点，
，
折叠，
，，
，
，
，
，
，且
四边形是平行四边形；
（3）解：、、、为顶点的四边形是菱形，
分别以，为圆心，长为半径画圆和的线段垂直平分线与轴交点得出点，如图所示：
，，
【点睛】本题是四边形的综合题，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆的有关知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
7．（21-22八年级下·广东中山·期末）如图，直线分别与x轴、y轴相交于点A、B，，点C从点A出发以每秒2个单位长度的速度向点B匀速运动，点D同时从点B出发以每秒1个单位长度的速度向点O匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设点C、D运动的时间为t秒，过点C作轴于点E，连接、．
(1)是否存在某个时间t，使得四边形成为菱形？请说明理由；
(2)当t为何值时，为直角三角形？请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）首先证明，再证明四边形为平行四边形，进而利用菱形的性质得出，求出的值，进而得出答案；
（2）分三种情况讨论：①当时；②当时；③当时，分别求解即可得出答案．
【详解】（1）解：在中， ，，，
，
，
，
当时，，
,
，
，
，，
，
，
四边形为平行四边形，
要使四边形为菱形，只需，
解得：；
（2）解：当或时，为直角三角形，理由如下：
①当时，四边形为矩形，在中，， ，即 解得；
②当时， 由（1）知，
，
，
，
在中，
，
，解得；
③当时， 此种情况不存在；
故当或时，为直角三角形．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定，菱形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，灵活的应用性质与定理是解题的关键．
8．（21-22八年级下·山东聊城·期末）已知，如图O为坐标原点，四边形OABC为矩形，B（10，4），点D是OA的中点，动点P在线段BC上以每秒3个单位长的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒．
(1)当t为何值时，△BDP的面积为10？
(2)在直线CB上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)当时，△BDP的面积为10
(2)t＝，点Q的坐标为（3，4）或t＝，点Q的坐标为（ 3，4）或t＝1，点Q（8，4）
【分析】（1）根据点的坐标以及由三角形的面积公式可求解；
（2）分两种情况讨论，利用菱形的性质和勾股定理即可得出结论．
【详解】（1）解：∵B（10，4），点D是OA的中点，
∴BC＝10，OC＝4，OD＝DB＝5，
∵△BDP的面积为10，
∴×BP×4＝10，
∴BP＝5，
∴CP＝5，
∴t＝；
∴当时，△BDP的面积为10
（2）①当点Q在线段BC上时，如图1，
若四边形ODPQ是菱形，
∴OQ＝OD＝5，
在Rt△OCQ中，CQ＝＝3，
∴CP＝3＋5＝8，
∴t＝，点Q的坐标为（3，4）；
若四边形ODQP是菱形，
同理可得点P（3，4），PQ＝5，
∴t＝＝1，点Q（8，4）；
②当点Q在射线BC上时，如图2，
∵四边形ODPQ是菱形，
∴OQ＝OD＝5，
在Rt△OCQ中，CQ＝＝3，
∴CP＝5 3＝2，
∴t＝，点Q的坐标为（ 3，4）．
综上所述：t＝，点Q的坐标为（3，4）或t＝，点Q的坐标为（ 3，4）或t＝1，点Q（8，4）．
【点睛】本题考查了坐标与图形，菱形的性质，矩形的性质，勾股定理，三角形的面积公式，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
9．（21-22八年级下·河北衡水·期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6cm，AD=10cm，点P在边AD上，以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在边CB上，以每秒2cm的速度从点C出发，在CB之间做往返运动．两个动点同时出发，当点P到达点D时两点同时停止运动．设运动时间为t秒（t＞0）．
(1)用含t的代数式表示线段AP及BQ的长度；
(2)在点P，Q的运动过程中，t为何值时，四边形APQB为平行四边形？
(3)在点P，Q的运动过程中，是否存在t的值，使四边形APQB为菱形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)AP=t(cm)；当0(2)t=秒或10秒；
(3)不存在，见解析
【分析】（1）根据P的速度为每秒1cm，可得AP=t cm，Q是速度为每秒2cm，可得CQ=2t cm，从而得到BQ=（10-2t）cm；
（2）由四边形ABCD为平行四边形可得出PD∥BQ，结合平行四边形的判定定理可得出当PD=BQ时，由此构建方程，可得结论；
（3）先算出AP=AB的时间为6秒，再算出6秒Q运动了12cm，此时BQ=2cm，AP=6cm，由此即可判断．
【详解】（1）解：∵P的速度为每秒1cm，
∴AP=t(cm)；
∵Q是速度为每秒2cm，
∴当0（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AP∥BQ，
当AP=BQ时，四边形APQB是平行四边形，
∴t=10-2t或t=2t-10，
解得t=或10，
综上所述：满足条件的t的值为t=秒或10秒；
（3）解：不存在．
理由：若以A、P、Q、B为顶点的四边形为菱形，
则必有AP=AB=6cm，
∴t=6÷1=6，
此时Q运动了2×6=12cm，
此时BQ=2cm，
∵2≠6，
∴不存在t的值，使四边形APQB为菱形．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，一元一次方程的应用，分弄清Q在BC上往返运动情况是解决此题的关键．
10．（21-22八年级下·江苏无锡·期中）如图①，将正方形ABOD放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点D的坐标为（2，4），
(1)若点P为对角线BD上的动点，作等腰直角三角形APE，使∠PAE＝90°，如图，连接DE，试说明DE与BP的关系；
(2)在的条件下，再作等边三角形APF，连接EF、FD，如图，在P点运动过程中当EF取最小值时，此时∠DFE= °；
(3)点M在x轴上，在平面内是否存在点N，使以B、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)BP⊥DE，BP=DE，理由见解析
(2)150
(3)点N坐标为（-4，-2）或（--4，-2）或（8，2）或（-2，6）．
【分析】（1）由“SAS”可证△BOE≌△ODF，可得∠ABP=∠ADE=45°，BP=DE，可证BP⊥DE；
（2）由△APF为等边三角形，△PAE是等腰直角三角形，可得△AEF是等腰三角形，且EF为底边，当EF取最小值时，AE为最小值，即AP应当取最小值，由等腰直角三角形的性质和等腰三角形的性质可得∠AFE=∠PFD=75°，由周角的性质可求解；
（3）分两种情况讨论，当BD为边时，分MD=BD=或MB=BD=，利用两点距离公式可求点M坐标，由平移的性质可求点N坐标，当BD为对角线时，点N与点A重合，即可求解．
【详解】（1）解：BP⊥DE，BP=DE，
理由如下：如图②，
∵四边形ABOD是正方形，△PAE是等腰直角三角形，
∴∠BAD=90°=∠PAE，AB=AD，PA=AE，∠ABD=∠ADB=45°，
∴∠BAP=∠DAE，
∴△ABP≌△ADE（SAS），
∴∠ABP=∠ADE=45°，BP=DE，
∴∠BDA=∠ADB+∠ADE=90°，
即BP⊥DE；
（2）∵△APF为等边三角形，△PAE是等腰直角三角形，∠PAE=90°，
∴AP=AF=AE，∠FAE=30°，
∴△AEF是等腰三角形，且EF为底边，
∴当EF取最小值时，AE为最小值，即AP应当取最小值，
∴AP⊥BD时，EF有最小值，
如图，
∵AB=AD，∠BAD=90°，AP⊥BD，
∴AP=BP=PD，
∵△APF是等边三角形，
∴AP=PD=PF=AF=AE，∠AFP=∠FAP=∠APF=60°，
∴∠EAF=30°，∠DPF=30°，
∴∠AFE==75°，∠PFD==75°，
∴∠DFE=360°-60°-75°-75°=150°，
故答案为：150；
（3）解：如图①，过点B作BE⊥x轴于E，过点D作DF⊥x轴于F，
∵四边形ABCD是正方形，O是坐标原点，点D的坐标为（2，4），
∴OF=2，DF=4，OB=OD，∠BOD=∠BEO=∠DFO=90°，
∴∠BOE+∠DOF=90°，∠BOE+∠OBE=90°，
∴∠OBE=∠DOF，
∴△BOE≌△ODF（AAS），
∴BE=OF=2，OE=DF=4，
∴点B坐标（-4，2），
∵D（2，4），
∴BD=，
设点M（a，0）
①当BD为菱形的边时，
如图，若MD=BD=，
∴，
∴a=2±，
可得M1（+2，0）或M2（-+2，0），
∵D向左平移6个单位再向下平移2个单位得到B，
∴N1（-4，-2）、N2（--4，-2）；
若MB=BD=，
∴，
∴a=2或-10，
可得M3（2，0）或M4（-10，0），此时M4与B、D三点共线，无法形成菱形，舍去，
∵B向右平移6个单位再向上平移2个单位得到D，
∴N3（8，2）；
②当BD为菱形的对角线时，
则M与O重合，此时N与A重合，即N5（-2，6），
综上所述，点N坐标为（-4，-2）或（--4，-2）或（8，2）或（-2，6）．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，两点距离公式等知识，利用分类讨论思想解决是本题的关键．
11．（22-23八年级下·江苏无锡·阶段练习）已知，如图，O为坐标原点，四边形为矩形，A(10，0)，C(0，4)，点D是的中点，动点P在线段上以每秒2个单位长的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒
(1)当t为何值时，四边形是平行四边形？
(2)在直线上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在线段上有一点M，且，当P运动 秒时，四边形的周长最小，并画图标出点M的位置．
【答案】(1)
(2)存在，时，，；时，，时，，；
(3)，图见解析
【分析】（1）先求出，进而求出，再由运动知进而由平行四边形的性质建立方程即可得出结论；
（2）分三种情况讨论，利用菱形的性质和勾股定理即可得出结论；
（3）先判断出四边形周长最小，得出最小，即可确定出点的位置，再用三角形的中位线得出，进而求出，即可得出结论．
【详解】（1）解：四边形为矩形，，，，，
，，
点是的中点，
，
由运动知，
，
四边形是平行四边形，
，
，
；
（2）①当点在的右边时，如图1，
四边形为菱形，
，
在中，由勾股定理得：，
；
，
，
②当点在的左边且在线段上时，如图2，
；
同①得出，
，，
③当点在的左边且在的延长线上时，如图3，
同①得出， ，
，，
综上所述，时，，；时，，时，，；
（3）如图，由知，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形的周长为
，
最小时，四边形的周长最小，
作点关于的对称点，连接交于，
，
，
，
，
，
，．
【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的性质，三角形中位线的性质，坐标与图形，勾股定理，分类讨论是解题的关键．
12．（21-22八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线y= x+b分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为(8，0)，四边形ABCD是正方形．
(1)求b的值和点D的坐标；
(2)点M是线段AB上的一个动点(点A、B除外)
①如图2，将△BMC沿CM折叠，点B的对应点是点E，连接ME并延长交AD边于点F，问△AMF的周长是否发生变化 若不变，求出其值；若变化，请说明理由；
②探索在x轴上方是否存在另一个点N，使得以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形 若不存在，请说明理由；若存在，请求出点N的坐标．
【答案】(1)b的值为6，D(14，8)
(2)①△AMF的周长不变，且为20；
②存在，N点坐标为或者
【分析】（1）将点A(8，0)代入，即可求出b的值，从而即得出直线AB的解析式为，进而即得出A(0，6)．过点D作轴于点H，由正方形的性质结合题意利用“AAS”证明，即可得解；
（2）①由折叠和正方形的性质可知BM=EM，CD=BC=CE=4，，CF=CF，可证明(HL)，得出．再由△AMF的周长，结合勾股定理即可求出AB，则问题得解；②分类讨论ⅰ当OB为菱形的对角线时，ⅱ当OM为菱形的对角线时和ⅲ当OM为菱形的对角线时，根据菱形的性质、坐标系中两点之间的距离公式以及中点坐标公式列方程组，解方程即可求出答案．
【详解】（1）将点A(8，0)代入，得，
解得：，
∴直线AB的解析式为，
当x=0，时，
∴A(0，6)，
∴OB=6，OA=8．
如图，过点D作轴于点H，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴(AAS)，
∴，，
∴，
∴D(14，8)；
即b的值为6，D(14，8)；
（2）①△AMF的周长不变，理由如下，
由折叠的性质可知BM=EM，BC=CE=4，，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=BC=CE=4，，
又∵CF=CF，
∴(HL)
∴．
∵△AMF的周长，，
∴△AMF的周长．
∵OB=6，OA=8，
∴，
∴△AMF的周长，
故△AMF的周长不变，且为20；
②存在以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形，理由如下：
∵点M在线段AB（不含端点）上，且直线AB的解析式为，
∴设M点坐标为，且，
∵OB=6，
∴B点坐标为，
设，根据N点在x轴上方，即有．
分类讨论：ⅰ当OB为菱形的对角线时，则另一条对角线为MN，
即根据菱形的性质有，对角线OB、MN互相平分，
根据、、、，结合中点坐标公式有：
，即有：，
根据，即，
有：，即：t=3，
将t=3代入，得，
此时N点坐标为：；
ⅱ当OM为菱形的对角线时，则另一条对角线为BN，
即根据菱形的性质有，对角线OM、BN互相平分，
根据、、、，结合中点坐标公式有：
，即有：，
根据，OB=6，即，
有：，
联合：，
根据，解得，
此时N点坐标为：，
此时不满足，故舍去；
ⅲ当ON为菱形的对角线时，则另一条对角线为BM，
即根据菱形的性质有，对角线ON、BM互相平分，
根据、、、，结合中点坐标公式有：
，即有：，
根据，OB=6，即，
有：，即，
联合：，解得，
此时N点坐标为：；
综上所述：N点坐标为或者
【点睛】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，折叠的性质，勾股定理以及菱形的判定和性质、中点坐标公式等知识．正确的作出辅助线并利用数形结合的思想是解题关键．
13．（22-23九年级·福建厦门·期中）如图，正方形的边分别在x轴和y轴上，顶点B在第一象限，，点E、F分别在边和射线上运动（E、F不与正方形的顶点重合），，设，
(1)当时，则_________，___________；
(2)当点F在线段上运动时，若的面积为，求t的值．
(3)在整个运动过程中，平面上是否存在一点P，使得以P、O、E、F为顶点，且以为边的四边形是菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或或，理由见解析
【分析】（1）由题意可直接得出答案；
（2）由题意易得，进而得到，然后求解即可；
（3）根据题意易得OF、EF、EO的长，要使以P，O，E，F为顶点的四边形是菱形，故而有三种情况：一是，二是，三是，然后分别求解即可．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
；
（2）如下图，作，
由题意，得 ，
，
由面积得，
解得：；
（3）由已知得：
，
，
，
如果，如下图，
，
解得：，
如果，如下图，
，
解得：，
如果，如下图，
解得：．
综上所述，或或．
【点睛】本题考查了正方形的性质、菱形的性质，勾股定理，解题的关键是能灵活利用数形结合思想及分类讨论思想进行分析问题．
14．（22-23八年级下·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，．
(1)如图1，点P为射线上的动点，连接，若是等腰三角形，求的长度；
(2)如图2，是否在x轴上存在点E，在直线上存在点F，以O，B，E，F为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点E，F的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图3，点M是边上的动点，过点M作的垂线交直线于点N，求的最小值．
【答案】(1)3或
(2)存在，，或，或，
(3)6
【分析】（1）分为点P在上和在的延长线上：当点P在上，可推出是等边三角形，从而求得结果；当点P在的延长线上时，可推出；
（2）分为三种情形：是边时，当点F在的延长线时，可由求得，从而得出结果；当点在的延长线上时，同样求得，，从而得出，；当OB是对角线时，（菱形）设，则，在中，由勾股定理列出，求得，进一步得出结果；
（3）作点O关于的对称点，作B点关于的对称点，连接，交于点，于点，此时的最小值为的长，即的长，作轴，作于T，根据，求得．
【详解】（1）解：如图1，
当点P在上时，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，，；
∵是等腰三角形，
∴是等边三角形，
∴，
当点P（图中）在的延长线上时，
∵，
∴，
∵是等腰三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述：或3；
（2）如图2，
存在点E和F，使以O，B，E，F为顶点的四边形是菱形，理由如下：
是边时，
当点F在的延长线时，
∵，
∴，，
∴，
当点在的延长线上时，
∵，，
∴，
当是对角线时，（菱形）
设，则，
在中，由勾股定理得，，
∴，
∴，，
综上所述：，或，或，；
（3）如图3，
作点O关于的对称点，作B点关于的对称点，
连接，交于点，于点，
此时的最小值为的长，即的长，
作轴，作于T，
∵，，
∴，
∴的最小值为：6．
【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、等边三角形的判定及性质、坐标与图形、轴对称的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
15．（22-23八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知矩形中，，．点E、F、G、H分别在、、、上，且，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当时，是否存在四边形是菱形？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由；
(3)对于上的任意一点E，是否存在一个四边形是菱形？若都存在，请加以证明；若上只有一部分点存在，请求出存在四边形是菱形时，长的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，当时，四边形是菱形，理由见解析
(3)上只有一部分点存在，当 ，四边形是菱形．
【分析】（1）利用全等三角形的性质证明，即可解决问题；
（2）存在．设，根据，可得即可解决问题；
（3）结论：上只有一部分点存在．利用勾股定理可得a、b的关系，列出不等式即可解决问题；
【详解】（1）解：如图1中， ∵四边形是矩形，
∴，，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
同法可证，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）存在．设，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，，．
∴，，，
∴，
∴．
∴当时，四边形是菱形．
（3）结论：上只有一部分点存在．
理由如下： 设，则，，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴， 解得，
∴当 ，四边形是菱形．
【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、勾股定理，一元一次不等式组是解法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程或不等式解决问题，属于中考常考题型．
16．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，点为上一个动点，连接，以，为邻边作，连接交于点，
(1)求当长为何值时，为矩形？
(2)求当长为何值时，菱形？
(3)在点的运动过程中，线段是否存在最小值，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)3；
(2)6；
(3)的最小值．
【分析】（1）当时，平行四边形是矩形，据此求出即可；
（2）当时，，此时平行四边形是菱形；
（3）设与交于点，作于．首先求出，当与重合时，的值最小，的最小值．
【详解】（1）当时，平行四边形是矩形，
，，
，
，，
；
（2）当时，，此时平行四边形是菱形，
，，，
，
；
（3）如图，设与交于点，作于．
在中，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
当与重合时，的值最小，则的值最小，
的最小值．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的判定，没联系的判定，垂线段最短，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
17．（21-22八年级下·福建龙岩·期中）已知，如图为坐标原点，四边形为矩形，，点是的中点，动点在线段上以每秒3个单位长的速度由点向运动．设动点的运动时间为秒．
(1)当为何值时，的面积为10？
(2)在直线上是否存在一点，使得、、、四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求的值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在， t＝，点Q的坐标为（3，4）或t＝，点Q的坐标为（ 3，4）或t＝1，点Q（8，4）．
【分析】（1）根据点的坐标以及由三角形的面积公式可求解；
（2）分①当点Q在射线BC上时和当点Q在射线BC上时两种情况讨论，利用菱形的性质和勾股定理即可得出结论．
【详解】（1）解：依题意得：，，，，
的面积：，
所以，得：，
解得：，
答：当为时，的面积为10．
（2）存在．
①当点Q在线段BC上时，如图1，
若四边形ODPQ是菱形，
∴OQ＝OD＝5，
在Rt△OCQ中，CQ＝＝3，
∴CP＝3＋5＝8，
∴t＝，点Q的坐标为（3，4）；
若四边形ODQP是菱形，如图2：
∵四边形ODQP是菱形，
∴OP＝OD＝5，
在Rt△OCP中，CP＝＝3，
∴点P（3，4），PQ＝5，
∴t＝＝1，点Q（8，4）；
②当点Q在射线BC上时，如图2，
∵四边形ODPQ是菱形，
∴OQ＝OD=PQ=5，
在Rt△OCQ中，CQ＝＝3，
∴CP＝5 3＝2，
∴t＝，点Q的坐标为（ 3，4）．
综上所述：存在一点，使得、、、四点为顶点的四边形是菱形，t＝，点Q的坐标为（3，4）或t＝，点Q的坐标为（ 3，4）或t＝1，点Q（8，4）．
【点睛】本题考查了坐标与图形，菱形的性质，矩形的性质，勾股定理，三角形的面积公式，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
18．（21-22八年级下·江苏宿迁·期中）如图1，在矩形中，对角线相交于点O，，，点P从点A出发沿以每秒的速度向点B运动，同时点Q从点C出发沿方向以每秒的速度向点A运动，设运动的时间为t秒，当点P运动到点B时，点Q停止运动．过点Q作于点H．
(1)填空：_____________，________（用含有t的式子表示）；
(2)是否存在某一时刻t，使四边形为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
(3)若在某一时刻t，平面内存在一点G，使四点构成的四边形是矩形，求出t的值．
【答案】(1)30；tcm；（10 2t）cm
(2)存在；t＝时，四边形APHQ是菱形
(3)t的值为或4
【分析】（1）证明△AOB是等边三角形，推出∠BAC＝60°，可得结论；
（2）存在，当AP＝AQ时，四边形APHQ是菱形，构建方程求解即可；
（3）分两种情形，当∠PQH＝90°时，当∠QPH＝90°时，存在一点G，使P、Q、G、H四点构成的四边形是矩形，分别构建方程求解．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，∠ABO＝90°，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠BAO＝60°，
∴∠ACB＝90° 60°＝30°，
∵AB＝5cm，
∴AC＝2AB＝10（cm），
∵QH⊥CB，
∴∠QHC＝90°，
∵CQ＝2t（cm），
∴AQ＝（10 2t）cm，QH＝CQ＝t（cm），
故答案为：30；tcm；（10 2t）cm．
（2）解：存在．理由如下：
∵，AP＝QH＝t，
∴四边形APHQ是平行四边形，
当AP＝AQ时，四边形APHQ是菱形，
∴t＝10 2t，
解得：t＝，
∴t＝时，四边形APHQ是菱形．
（3）解：当∠PQH＝90°时，存在一点G，使P、Q、G、H四点构成的四边形是矩形，如图所示：
此时PQ、QH为矩形的两条邻边，
∵，
∴∠QPB=180°-∠PQH=90°，
∴点G一定在AB上，
∵∠PBH=∠BHQ=∠PQH=90°，
∴四边形PBQH为矩形，
∴此时点G在点B上，
∴PB＝QH，
∴5 t＝t，
∴t＝；
当∠QPH＝90°时，存在一点G，使P、Q、G、H四点构成的四边形是矩形，如图所示：
根据解析（2）可知，四边形APHQ为平行四边形，
∴∠QHP=∠BAC=60°，
∵∠QPH＝90°，
∴∠PQH=30°，
∵，
∴∠APQ=∠PQH=30°，
∴AP＝2AQ，
∴t＝2（10 2t），
∴t＝4；
综上所述，满足条件的t的值为或4．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了菱形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
19．（21-22八年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，中，，，．对角线、相交于点O，将直线绕点O顺时针旋转α°，分别交直线、于点E、F．
(1)当α＝ 时，四边形是平行四边形；
(2)在旋转的过程中，四边形可能是菱形吗？如果能，求出此时α的值；如果不能，说明理由；
(3)在旋转过程中，是否存在以A、B、C、D、E、F中的4个点为顶点的四边形是矩形？如果存在，直接写出矩形的名称及对角线的长度；如果不存在，说明理由．
【答案】(1)90°
(2)可能，45°
(3)存在，矩形的对角线长为2；矩形的对角线长为
【分析】（1）由得，在中，根据勾股定理计算出，再根据平行四边形的性质得，于是可判断为等腰直角三角形，则，根据平行四边形的判定当时，四边形是平行四边形，则，根据旋转的性质得．
（2）由于四边形的对称中心为点，则，可判断四边形为平行四边形，根据菱形的判定，当时，四边形为菱形，而，根据对顶角得到，所以此时为45°．
（3）根据平行四边形的性质有，再根据矩形的判定，当时，四边形为矩形，易得此时矩形的对角线长为2，当时，四边形为矩形，由为等腰直角三角形得，则．所以此时矩形的对角线长为．
【详解】（1），
，
在中，，
，
∵四边形为平行四边形，
，
为等腰直角三角形，
，
，
∴当时，四边形是平行四边形，
，
．
（2）在旋转的过程中，四边形可能是菱形．理由如下：
如解图①，
∵四边形为平行四边形，
∴四边形的对称中心为点，
，
∴四边形为平行四边形，
∴当时，四边形为菱形，
，
，
即此时为45°．
（3）在旋转过程中，存在以中的4个点为顶点的四边形是矩形，
，
∴当时，四边形为矩形，如解图②，矩形的对角线长为2，
当时，四边形为矩形，如解图③，
为等腰直角三角形，
，
，
∴矩形的对角线长为．
【点睛】本题考查平行四边形、菱形、矩形的判定，解题的关键是根据题目条件，进行推论，注意分情况讨论．
20．（21-22八年级下·河南洛阳·期末）已知，如图，为坐标原点，在四边形中，，，，，点D是的中点，动点P在线段上以每秒2个单位长度的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒．
(1)当P运动_______秒，四边形是平行四边形；
(2)在直线上是否存在一点Q，使得以O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在线段上有一点M，且，四边形的最小周长是_______．
【答案】(1)5.5
(2)存在，Q点坐标为：，，
(3)
【分析】（1）根据点的坐标先求出AO、OC，再根据BC的长度求出B点坐标，根据条件有，即，只需要AD=PB即可得四边形PDAB是平行四边形，根据D为OA中点，即可求出AD，则PB可得，进而可得PC，则问题得解；
（2）根据Q点在直线BC上，P点在线段BC上，即可知O、D、Q、P四点为顶点的菱形有两条边为PQ和OD，即分类讨论：第一种情况，当OP为菱形的边时，则有OP=OD=13=PQ=QD，在Rt△OPC中，利用勾股定理可得，根据PQ=13，即可确定Q点的横坐标，则此时Q点坐标可求；第二种情况，当OQ为菱形的边时，同理在Rt△OQC中，利用勾股定理可求出，即可确定Q点的横坐标，则此时Q点坐标可求；综上即可作答；
（3）要求四边形OAMP的周长的最小值，即要求PO+AM的最小值，连接OP，过M点作交AO于N点，连接AM，作A点关于CB的对称点G，连接GM，先证明四边形PMNO是平行四边形，即OP=MN，再根据A、G点关于BC对称，有AM=MG，即OP+AM=MN+MG，即当N、M、G三点共线时，MN+MG最小，最小为NG，在Rt△ANG中，，即，则四边形OAMP的周长的最小值即为所求．
【详解】（1）∵A(26,0)，C(0,12)，
∴AO=26，OC=12，
∵，
∴轴，即轴，
∴根据BC=24可知B点坐标为(24,12)，
根据条件有，即，只需要AD=PB即可得四边形PDAB是平行四边形，
∵D为OA中点，
∴，
∴PB=AD=13，
∵BC=24，
∴CP=BC-PB=24-13=11，
∴P点运动的时间为：t=11÷2=5.5（秒），
故答案为：5.5；
（2）存在，
理由如下：
∵Q点在直线BC上，P点在线段BC上，
∴根据（1）可知，且Q点的纵坐标与C点相等，即Q点纵坐标为12，
∴以O、D、Q、P四点为顶点的菱形其中有两条边为PQ和OD，
∵OD=13，OC=12，
即分类讨论：
第一种情况：当OP为菱形的边时，则DQ为另一条边，
则有OP=OD=13=PQ=QD，
∵P点在线段BC上，轴，
∴在Rt△OPC中，，
∵PQ=13，
可知Q点在P点右侧，即Q点的横坐标为，
∴此时Q点坐标为，
第二种情况：当OQ为菱形的边时，
∵OC=12，OQ=OD=13，
∴在Rt△OQC中，，
即当Q点在C点左侧时，Q点的横坐标为，
∴此时Q点坐标为，
即当Q点在C点右侧时，Q点的横坐标为5，
∴此时Q点坐标为，
综上满足条件的Q点坐标为：，，；
（3）四边形OAMP的周长为OA+AM+MP+PO，
∵OA=26，PM=6，
∴四边形OAMP的周长为OA+AM+MP+PO=PO+AM+32，
要求四边形OAMP的周长的最小值，即要求PO+AM的最小值，
连接OP，过M点作交AO于N点，连接AM，作A点关于CB的对称点G，连接GM，如图，
∵，，
∴四边形PMNO是平行四边形，即OP=MN，
∵A、G点关于BC对称，
∴AM=MG，
∴OP+AM=MN+MG，
即当N、M、G三点共线时，MN+MG最小，最小为NG，
N、M、G三点共线，如图：
∵四边形PMNO是平行四边形，
∴ON=PM=6，OP=MN，
∴AN=OA-ON=26-6=20，
∵OC=12，A、G关于BC对称，
∴根据对称的性质有AG=24，AG⊥OA，
∴在Rt△ANG中，，
即，
∴，
∴四边形OAMP的周长的最小值为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的性质、勾股定理、轴对称的性质以及坐标系的相关知识，掌握平行四边形的性质是解答本题的关键．
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