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专题15 特殊平行四边形之矩形存在性问题（压轴题，20题）（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．（22-23八年级下·四川绵阳·期中）如图，在四边形中， ，， ，，．点从点出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C出发，以3cm/s的速度向点B同时运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设P，Q运动的时间为ts．
(1)若点P和点Q同时运动了6秒，与有什么数量关系？并说明理由；
(2)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形是矩形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由；
(3)在整个运动过程中，是否存在一个时间，使得四边形是菱形？如果存在，求出时间t的值，如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)，理由见解析
(2)存在，当时，四边形是矩形，理由见解析
(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）可求，可证，从而得证；
（2）四边形是矩形，从而可得，可求解；
（3）可求，，从而可求解．
【详解】（1）解： ，理由如下：
由题意得： ，，
，，，
，
当时，，，
，
，
四边形是平行四边形，
；
（2）解：存在，
在四边形ABCD中：，，
当时，四边形是矩形，
解得：，
当时，四边形是矩形；
（3）解：不存在，
如图，过点D作，垂足为E，
则四边形为矩形，
，，
由（1）知：
当时，四边形为平行四边形，
，
，
四边形不可能为菱形．
【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形的判定方法及性质，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键．
2．（22-23八年级下·广西防城港·期中）在四边形中，，，，，．点P从点A出发，以的速度向点D运动，点Q从点C出发，以的速度向点B同时运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设P运动的时间为ts．
(1)若点P和点Q同时运动了7秒，与有什么数量关系？并说明理由；
(2)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形是矩形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，理由见解析
(2)存在，
【分析】（1）根据点P、点Q的运动时间和运动速度，证明四边形是平行四边形，即可求解；
（2）当时，四边形是矩形，即．
【详解】（1）解：，
由题意得：，，
∵，，，
∴，，
当时，，，
∴，
∵即
∴四边形是平行四边形，
∴；
（2）解：存在
理由：∵在四边形中，，，
∴当时，四边形是矩形，
∴，解得：，
∴当时，四边形是矩形．
【点睛】本题考查了动点问题，涉及到矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、解一元一次方程，灵活运用学知识是解题关键．
3．（20-21八年级下·广东广州·期中）如图，梯形中 ，，，，点E为上一点，且；点F为上一动点，以为边作菱形，且点H落在边上，点G在梯形的内部或边上，设．
(1)直接写出的长与的度数．
(2)在点F运动过程中，是否存在某个x的值，使得四边形为正方形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
(3)若菱形的顶点G恰好在边上，则求出点G在上的位置和此时x的值．
【答案】(1)的长为，的度数为
(2)存在，x的值为4
(3)，点G在上靠近点C的三等分点上．
【分析】（1）如图1，过作于，证明四边形是矩形，则，，，可证是等腰直角三角形，则，，计算求解即可；
（2）由四边形为正方形，可得，，证明，则；
（3）由题意知，四边形是菱形，过作于点，的延长线于，可得，由，可得，由，可得，证明，则，，再利用勾股定理求出，由，可得，，，由勾股定理得，，，由，可得，计算求解即可．
【详解】（1）解：如图1，过作于，
∵ ，，
∴则四边形是矩形，
∴，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴的长为，的度数为；
（2）解：∵四边形为正方形，
∴，，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴存在，当x的值为4时，四边形为正方形；
（3）解：由题意知，四边形是菱形，如图2，过作于点，的延长线于，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∴,,
∴点G在上靠近点C的三等分点上；
∵，
∴，，，
由勾股定理得，，，
∵，
∴，解得，
∴的值为．
∴点G在上靠近点C的三等分点上．
【点睛】本题考查了梯形，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
4．（22-23八年级下·黑龙江双鸭山·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，点A的坐标为，点B，C在x轴上，点D在y轴上．
(1)求点B的坐标；
(2)动点P以每秒1个单位长度的速度从点O出发，沿射线方向运动，设点P运动的时间为t秒，连接，，设的面积为，求S与t的函数关系式（请直接写出自变量t的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，平面内是否存在点Q，使以A，C，P，Q为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)；
(3)存在，点Q的坐标为或．
【分析】（1）利用菱形的性质和点A的坐标求出菱形的边长，在中，由勾股定理得的长，求得的长即可；
（2）分Р在线段上或Р在延长线上两种情况分别列出S与t的函数关系式即可；
（3）分和两种情况讨论，当时，利用勾股定理和全等三角形的判定和性质求解即可；当时，画出图形，直接写出点Q的坐标．
【详解】（1）解：∵四边形是菱形，点A的坐标为，
∴，．
在中，由勾股定理，得
．
∴．
∴；
（2）解：．
①当点P在上时，，
∴；
②当点P在OB的延长线上时，，
∴．
综上，；
（3）解：当时，设，
则点A到x轴的距离等于点Q到x轴的距离，即为4，
作于点F，于点E，
，，，
由勾股定理得，即，
解得，
即，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，又，
∴，
∴，
∴；
当时，如图，
∴；
综上，点Q的坐标为或．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
5．（20-21八年级下·重庆酉阳·期末）如图，在四边形ABCD中，ABCD，∠BCD=90°，AB=AD=10cm，BC=8cm．点P从点A出发，以每秒3cm的速度沿线段AB方向向B运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动．已知动点P、Q同时发，当点Q运动到点C时，P、Q同时运动停止，设运动时间为t秒．
（1）求CD的长；
（2）当t为何值时，四边形PBQD为平行四边形？
（3）在运动过程中，是否存在四边形BCQP是矩形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）16；（2）2；（3）不存在，理由见解析
【分析】（1）过点A作AM上CD于M，根据勾股定理，可以求出DM=6所以DC=16
（2）当四边形PBQD为平行四边形时，点P在AB上，点Q在DC上，如图示，由题可得：BP=10-3t，DQ=2t，所以可以列出方程10-3t=2t，解得t=2，
（3）在运动过程中，不存在四边形BCQP是矩形，根据矩形的判定方法可知当BP=CQ即四边形QCBP是平行四边形时．
【详解】（1）过作于，
ABCD，∠BCD=90°，
则，
根据勾股定理，，，
,，
，
（2）如图，当四边形PBQD为平行四边形时，
点在上，点在上，
由题意可知，，
，
解得，
时，四边形PBQD为平行四边形；
（3）不存在，理由如下：
,，
，
若四边形是矩形，则，
由题意可知，，
即，
解得，
不存在．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，动点问题，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
6．（21-22八年级下·湖北咸宁·期中）在平面直角坐标系中，有点、、．已知点从点出发沿着路线向点运动，点从点出发沿路线向点运动，运动速度都是每秒2个单位长度，运动时间为秒．
(1)当秒时，判断四边形的形状，并说明理由．
(2)当四边形是矩形时，求的值．
(3)是否存在某一时刻，使四边形是菱形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)四边形AQCB是平行四边形，证明见解析；
(2)t＝1.5s；
(3)不存在，理由见解析．
【分析】（1）结论：四边形AQCB是平行四边形．只要证明AB＝CQ即可解决问题；
（2）当四边形AOQB是矩形时，有AB＝OQ，即9＝12﹣2t，解方程即可解决问题；
（3）当PB＝CQ时，四边形PQCB是平行四边形，即9﹣2t＝2t，可得t，此时CQ＝2t＝4.5，如图作BD⊥OC，垂足为D，由BC5，推出BC≠CQ，由此即可判断，四边形PQCB不是菱形，即不存在某一时刻，使四边形PQCB是菱形．
【详解】（1）结论：四边形AQCB是平行四边形，证明如下：
理由：∵A（0，4），B（9，4），
∴AB∥OC，AB＝9，
当t＝4.5秒时，CQ＝2t＝9，
∴AB＝CQ，
∴四边形AQCB是平行四边形．
（2）当四边形AOQB是矩形时，有AB＝OQ，
即9＝12﹣2t，
∴t＝1.5．
∴t＝1.5s时，四边形AOQB是矩形．
（3）当PB＝CQ时，四边形PQCB是平行四边形，
即9﹣2t＝2t，
∴t，
此时CQ＝2t＝4.5，如图作BD⊥OC，垂足为D，
∵B（9，4），C（12，0），
，
∴BC，
∴BC≠CQ，
∴四边形PQCB不是菱形，
即不存在某一时刻，使四边形PQCB是菱形．
【点睛】本题考查四边形综合题、平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用构建方程的思想思考问题，属于中考常考题型．
7．（21-22八年级下·广西南宁·期中）在四边形ABCD中，，，，，．点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C出发，以3cm/s的速度向点B同时运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设P，Q运动的时间为t s．
(1)若点P和点Q同时运动了6秒，PQ与CD有什么数量关系？并说明理由；
(2)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQBA是矩形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由；
(3)在整个运动过程中，是否存在一个时间，使得四边形PQBA的面积是四边形ABCD面积的一半，若存在，请直接写出值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，理由见解析
(2)t＝6.5，
(3)存在，
【分析】（1）根据题意分别求得AP＝tcm，CQ＝3tcm，DP＝AD AP＝24 t（cm），BQ＝26 3t（cm），代入，即可得四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可求解；
（2）由在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，可得当AP＝BQ时，四边形ABQP是矩形，即可得方程：t＝26 2t，解此方程即可求得答案．
（3）根据题意分别求得四边形PQBA、ABCD的面积，根据题意建立方程，解方程求解即可．
【详解】（1），理由如下，
根据题意得：AP＝tcm，CQ＝3tcm，
∵AB＝8cm，AD＝24cm，BC＝26cm，
∴DP＝AD AP＝24 t（cm），BQ＝26 3t（cm），
当时，DP＝18，CQ=18
四边形是平行四边形
（2）∵在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，
∴当AP＝BQ时，四边形ABQP是矩形，
∴t＝26 3t，
解得：t＝6.5，
∴当t＝6.5时，四边形ABQP是矩形；
（3）存在，t值使得四边形PQBA的面积是四边形ABCD面积的一半．
四边形的面积
四边形PQBA的面积为
四边形PQBA的面积是四边形ABCD面积的一半，
解得
【点睛】本题考查了四边形动点问题，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，一元一次方程的应用，根据题意表示出各边边长是解题的关键．
8．（21-22八年级下·云南昆明·期末）如图，在四边形中，//，，，，、是线段、上两动点，点从点出发，以每秒的速度沿方向运动，点从点出发，以每秒的速度沿方向运动，、同时出发，同时停止，当运动到点时，、同时停止运动，设运动时间为秒．
(1)求的长；
(2)当为何值时，四边形为平行四边形？
(3)在、运动的过程中，是否存在四边形是矩形，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)当秒时，四边形是平行四边形
(3)在、运动的过程中，存在四边形是矩形，．
【分析】（1）过点作的平行线交于点，证明四边形是平行四边形，可得，，再利用勾股定理求解，从而可得答案；
（2）如图，由，可得时，四边形是平行四边形．再建立方程，再解方程即可；
（3）利用，建立方程求解时间t，再证明四边形是矩形，可得答案．
【详解】（1）解：过点作的平行线交于点，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
在直角三角形中，
，
∴．
（2）如图，∵，当时，四边形是平行四边形．
即：，
∴（秒）
当秒时，四边形是平行四边形．
（3）在、运动的过程中，存在四边形是矩形，理由如下：
当时，四边形是矩形，
∴，
∴（秒）
当秒时，
，
∴，∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形．
【点睛】本题是动态几何问题，考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，熟练的利用平行四边形与矩形的性质建立方程求解是解本题的关键．
9．（22-23八年级下·吉林松原·期中）如图，在矩形中，，动点P，Q分别从A，C同时出发，点P以每秒的速度向B移动，到B停止移动，点Q以每秒的速度向D移动．
(1)P，Q两点出发多少秒时，四边形PBCQ的面积为；
(2)是否存在某一时刻，使为正方形．若存在，求出该时刻；若不存在，说明理由．
【答案】(1)4秒
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）设t秒后四边形的面积为，根据梯形的面积公式可列方程，然后解方程即可求解；
（2）根据正方形的性质进行判断即可．
【详解】（1）设t秒后四边形的面积为，根据题意，得：，
由梯形的面积公式得，，
即
解得：（秒），
答：P、Q两点出发后4秒时，四边形的面积为；
（2）不存在．
因为要使四边形为正方形，则需要满足，
此时Q点运动的时间是秒，
但同时P点运动3秒，，
∵，
∴不存在该时刻．使四边形成为正方形．
【点睛】本题考查矩形的判定与性质、正方形的性质、解一元一次方程，熟练掌握矩形的性质和正方形的性质，学变“动”为“静”的解题思路是解答的关键．
10．（22-23八年级下·湖北荆门·期中）如图，在四边形中，，，，，．点P从点A出发，以的速度沿线段向点D运动；同时点Q从点C出发，以的速度沿向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设P、Q运动时间为t秒，回答下列问题：
(1)求t为何值时，四边形是矩形？
(2)求t为何值时，？
(3)是否存在t的值，使得是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或时，
(3)存在t的值，使得是等腰三角形，t的值为：或或
【分析】（1）由，，可得：四边形是矩形，只需，即得，解得：；
（2）根据，有两种情况：①若四边形为平行四边形，由可得方程；②若四边形为等腰梯形，作于M，于N，则有，由得，解此方程即可求得答案；
（3）①若，过D作于H，由，得，即可得，②若，即，即得，③若，过D作于H，在中，由勾股定理得：，即解得．
【详解】（1）解：如图：
∵，，
∴要使四边形是矩形，只需，即，
解得；
（2）解：若，分两种情况：
①当四边形是平行四边形时，．如图：
由得，解得：，
即当时，四边形是平行四边形，；
②当四边形是等腰梯形时，．如图：
设运动时间为t秒，则有，，
∴，
作作于M，于N，则有，
∵梯形为等腰梯形，
∴，
∴，
由得，
解得，
∴时，四边形为等腰梯形，．
综上，当或时，．
（3）解：存在，理由如下：
①若，过D作于H，如图：
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，，
，
∵，，
∴，
∴，
∴；
②若，如图：
在中，，，
∴，
由得：，
∴；
③若，过D作于H，如图：
在中，，，，
由勾股定理得：，
解得：；
综上所述，存在t的值，使得是等腰三角形，t的值为：或或．
【点睛】本题主要考查动点问题，涉及平行四边形、矩形、等腰三角形、勾股定理定理等知识，解题的关键是熟悉平行四边形、矩形、等腰三角形的判定定理，灵活运用勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
11．（22-23八年级下·广东惠州·期中）如图，梯形中，，，，，，点E为上一点，且，点F为上一动点，以为边作菱形，且点H落在边上，点G在梯形的内部或边上，设．
(1)直接写出的长与的度数．
(2)在点F运动过程中，是否存在某个x的值，使得四边形为正方形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
(3)若菱形的顶点G恰好在边上，则求出此时x的值．
【答案】(1)，
(2)存在，cm；理由见解析
(3)
【分析】（1）过点作于，可得四边形是矩形，根据矩形的对边相等求出，，然后求出，判断出的等腰直角三角形，然后等腰直角三角形的性质求解即可；
（2）根据正方形的四条边都相等可得，根据同角的余角相等求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据代入数据进行计算即可得解；
（3）过点作于，根据两边分别互相平行的两个角相等（或互补）可得，根据菱形的四条边都相等可得，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，然后表示出、，在和中，利用勾股定理列式表示出和，然后列出方程求解即可．
【详解】（1）解：（1）如图，过点作于，
，，
四边形是矩形，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，；
（2）解：如图，
四边形为正方形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
（），
，
，
，
解得（cm）；
（3）解：如图，过点作于，
在菱形中，，，
，
，
在和中，
，
（），
，，
，
，，，
在中，，
在中，，
，
，
解得．
．
【点睛】本题考查了四边形综合题型，主要涉及梯形的求解，关键在于作出合适的辅助线，掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，（3）作辅助线构造出全等三角形，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键．
12．（22-23八年级下·广东汕头·期末）如图，平面直角坐标系中，，．F为矩形对角线的中点，过点F的直线分别与交于点D、E．
(1)求证：；
(2)设，的面积为S，
①求S与m的函数关系式；
②当时，求S的值；
(3)若点P在坐标轴上，平面内存在点Q，使以P、Q、A、C为顶点的四边形是矩形，请直接写出点Q的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)①；②5．
(3)点Q坐标为或或．
【分析】（1）根据证明，再运用全等三角形的性质即可证明结论；
（2）①先证四边形是平行四边形，所以的面积是平行四边形AECD面积的，而，从而可求的面积，可得到S与m的函数关系式；②当时，四边形是菱形，所以，从而可列方程解出m的值，再代入S与m的关系式即可解答；
（3）点P在x轴或y轴或原点时三种情况讨论，可设点P坐标为或，根据勾股定理列方程求出p的值，得到点P坐标，再根据点平移坐标变化规律得到点Q的坐标．
【详解】（1）解：如图：
∵四边形是矩形，
∴ ，
∴，
∵F是中点，
∴，
在和中，
∴，
∴．
（2）解：①∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴S与m的函数关系式为；
②当时，则四边形是菱形
∴，
∵
∴，解得：，
∴．
（3）解：①如图：点P在x轴上，
设点P标为，则
∵四边形是矩形
∴
∴
∴ ，解得：
∴
∵平移得到
∴平移规律是横坐标减10，纵坐标减4，
∴点平移得到；
②如图：点P在y轴上，设点P标为，则
∵
∴ ，解得：
∵平移后得到
∴平移规律是横坐标减8，纵坐标减16.
∴平移后得到；
③当点P原点重合时，则点Q点B重合，此时点Q坐标为．
综上所述，点Q坐标为或或．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、矩形的判定等知识点，熟练应用所学知识成为解答本题的关键．
13．（20-21八年级下·广东惠州·期中）如图，梯形中，，，，，，点为上一点，且；点为上一动点，以为边作菱形，且点落在边上，点在梯形的内部或边上，设.
（1）直接写出的长与的度数：______，______；
（2）在点运动过程中，是否存在某个的值，使得四边形为正方形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由；
（3）若菱形的顶点恰好在边上，则求出点在上的位置和此时的值．
【答案】（1）cm，45°；（2）存在，x=4cm；（3）在CG=的位置，x=6.5
【分析】（1）过点D作DM⊥BC于M，可得四边形ABMD是矩形，根据矩形的对边相等求出DM=AB，BM=AD，然后求出CM，判断出△CDM的等腰直角三角形，然后等腰直角三角形的性质求解即可；
（2）根据正方形的四条边都相等可得EF=EH，根据同角的余角相等求出∠AEF=∠BHE，然后利用“角角边”证明△AEF和△BHE全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=AF，再根据AB=AE+BE代入数据进行计算即可得解；
（3）过点G作GP⊥BC于P，根据两边分别互相平行的两个角相等（或互补）可得∠AEF=∠PGH，根据菱形的四条边都相等可得EF=GH，然后利用“角角边”证明△AEF和△PGH全等，根据全等三角形对应边相等可得PG=AE，HP=AF，然后表示出CP、BH，在Rt△AEF和Rt△BEH中，利用勾股定理列式表示出EF2和EH2，然后列出方程求解即可．
【详解】解：（1）如图，过点D作DM⊥BC于M，
∵AD∥BC，AB⊥CB，
∴四边形ABMD是矩形，
∴DM=AB=6cm，BM=AD=8cm，
∴CM=BC-BM=14-8=6cm，
∴DM=CM，
∴△CDM是等腰直角三角形，
CD=CM=cm，∠DCB=45°；
（2）∵四边形EFGH为正方形，
∴EF=EH，∠FEH=90°，
∴∠AEF+∠BEH=90°，
∵AB⊥CB，
∴∠BEH+∠BHE=90°，
∴∠AEF=∠BHE，
在△AEF和△BHE中，
，
∴△AEF≌△BHE（AAS），
∴BE=AF=x，
∵AB=AE+BE=6cm，
∴2+x=6，
解得x=4cm；
（3）如图，过点G作GP⊥BC于P，
则AB∥GP，
∴∠AEG=∠PGE，
在菱形EFGH中，EF∥GH，EF=EH=GH，
∴∠FEG=∠HGE，
∴∠AEF=∠PGH，
在△AEF和△PGH中，
，
∴△AEF≌△PGH（AAS），
∴PG=AE=2，HP=AF=x，
∵∠C=45°，
∴CP=PG=2，BH=14-x-2=12-x，CG=PG=，
在Rt△AEF中，EF2=AE2+AF2=22+x2，
在Rt△BEH中，EH2=BE2+BH2=（6-2）2+（12-x）2，
∵EF=EH，
∴22+x2=（6-2）2+（12-x）2，
解得x=6.5．
∴CG=，x=6.5．
【点睛】本题考查了四边形综合题型，主要涉及梯形的求解，解题的关键在于作出合适的辅助线，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，（3）作辅助线构造出全等三角形，然后利用勾股定理列出方程．
14．（21-22八年级·山东淄博·期末）如图，在直角梯形中，，，，，，动点P从点A开始沿AD边向点D以速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以的速度运动．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒．求：
(1)t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？
(2)t为何值时，四边形ABQP为矩形？
(3)是否存在，使梯形ABQP的面积为？若存在请求出，若不存在请说明理由．
【答案】(1)6
(2)
(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形列出方程，解方程得到答案；
（2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形解答即可；
（3）用时间t表示出梯形ABQP的面积，列方程计算即可．
【详解】（1）解：由题意得：AP=t cm，CQ=3t cm，
则PD=（24-t）cm，
∵PD∥CQ，
∴PD=CQ时，四边形PQCD为平行四边形，
此时，24-t=3t，
解得：t=6，
∴t=6时，四边形PQCD为平行四边形；
（2）由题意得：AP=t，BQ=26-3t，
∵AP∥BQ，∠B=90°，
∴当AP=BQ时，四边形ABQP为矩形，
∴t=26-3t，
解得：t=，
∴当t=时，四边形ABQP为矩形．
（3）∵由题意得：AP=t，BQ=26-3t，
，
解得，
此时BQ=26-3t=-4，
∴不存在，使梯形的面积为．
【点睛】本题考查的是梯形的性质、平行四边形的判定以及矩形的判定，掌握它们的判定定理是解题的关键．
15．（22-23八年级下·湖南长沙·期中）如图，平面直角坐标系中，矩形的对角线，，
(1)求B点的坐标；
(2)把矩形沿直线对折使点C落在点A处，与相交于点F，求四边形的周长；
(3)若点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以O、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或或或
【分析】（1）利用30度的所对的直角边是斜边的一半，以及勾股定理求出的长，即可得解；
（2）证明，推出四边形是菱形，设，则，
勾股定理求出的长，即可得解；
（3）分点在轴和点在轴上，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）∵，
∴
由勾股定理得：，
∴
（2）由折叠的性质得：，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
设，则，
∵在中，，
∴，
解得：，
∴四边形的周长；
（3）解：由（1）可知：，
∵四边形是菱形，
∴为的中点，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
①在轴上时：设，
当为对角线时，设：，
则： ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即：，
∴；
当为边时，点在轴上，轴，
∴；
②在轴上时：设
当为对角线时，设：，
则： ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
∴；
当为边时，点在轴上，轴，
∴；
综上：或或或．
【点睛】本题考查坐标与图形，矩形性质，菱形的判定和性质，含30度的直角三角形．解题的关键是利用数形结合以及分类讨论的思想进行求解．
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专题15 特殊平行四边形之矩形存在性问题（压轴题，20题）（原卷版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．（22-23八年级下·四川绵阳·期中）如图，在四边形中， ，， ，，．点从点出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C出发，以3cm/s的速度向点B同时运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设P，Q运动的时间为ts．
(1)若点P和点Q同时运动了6秒，与有什么数量关系？并说明理由；
(2)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形是矩形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由；
(3)在整个运动过程中，是否存在一个时间，使得四边形是菱形？如果存在，求出时间t的值，如果不存在，请说明理由．
2．（22-23八年级下·广西防城港·期中）在四边形中，，，，，．点P从点A出发，以的速度向点D运动，点Q从点C出发，以的速度向点B同时运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设P运动的时间为ts．
(1)若点P和点Q同时运动了7秒，与有什么数量关系？并说明理由；
(2)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形是矩形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．
3．（20-21八年级下·广东广州·期中）如图，梯形中 ，，，，点E为上一点，且；点F为上一动点，以为边作菱形，且点H落在边上，点G在梯形的内部或边上，设．
(1)直接写出的长与的度数．
(2)在点F运动过程中，是否存在某个x的值，使得四边形为正方形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
(3)若菱形的顶点G恰好在边上，则求出点G在上的位置和此时x的值．
4．（22-23八年级下·黑龙江双鸭山·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，点A的坐标为，点B，C在x轴上，点D在y轴上．
(1)求点B的坐标；
(2)动点P以每秒1个单位长度的速度从点O出发，沿射线方向运动，设点P运动的时间为t秒，连接，，设的面积为，求S与t的函数关系式（请直接写出自变量t的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，平面内是否存在点Q，使以A，C，P，Q为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
5．（20-21八年级下·重庆酉阳·期末）如图，在四边形ABCD中，ABCD，∠BCD=90°，AB=AD=10cm，BC=8cm．点P从点A出发，以每秒3cm的速度沿线段AB方向向B运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动．已知动点P、Q同时发，当点Q运动到点C时，P、Q同时运动停止，设运动时间为t秒．
（1）求CD的长；
（2）当t为何值时，四边形PBQD为平行四边形？
（3）在运动过程中，是否存在四边形BCQP是矩形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
6．（21-22八年级下·湖北咸宁·期中）在平面直角坐标系中，有点、、．已知点从点出发沿着路线向点运动，点从点出发沿路线向点运动，运动速度都是每秒2个单位长度，运动时间为秒．
(1)当秒时，判断四边形的形状，并说明理由．
(2)当四边形是矩形时，求的值．
(3)是否存在某一时刻，使四边形是菱形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
7．（21-22八年级下·广西南宁·期中）在四边形ABCD中，，，，，．点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C出发，以3cm/s的速度向点B同时运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设P，Q运动的时间为t s．
(1)若点P和点Q同时运动了6秒，PQ与CD有什么数量关系？并说明理由；
(2)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQBA是矩形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由；
(3)在整个运动过程中，是否存在一个时间，使得四边形PQBA的面积是四边形ABCD面积的一半，若存在，请直接写出值；若不存在，请说明理由．
8．（21-22八年级下·云南昆明·期末）如图，在四边形中，//，，，，、是线段、上两动点，点从点出发，以每秒的速度沿方向运动，点从点出发，以每秒的速度沿方向运动，、同时出发，同时停止，当运动到点时，、同时停止运动，设运动时间为秒．
(1)求的长；
(2)当为何值时，四边形为平行四边形？
(3)在、运动的过程中，是否存在四边形是矩形，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
9．（22-23八年级下·吉林松原·期中）如图，在矩形中，，动点P，Q分别从A，C同时出发，点P以每秒的速度向B移动，到B停止移动，点Q以每秒的速度向D移动．
(1)P，Q两点出发多少秒时，四边形PBCQ的面积为；
(2)是否存在某一时刻，使为正方形．若存在，求出该时刻；若不存在，说明理由．
10．（22-23八年级下·湖北荆门·期中）如图，在四边形中，，，，，．点P从点A出发，以的速度沿线段向点D运动；同时点Q从点C出发，以的速度沿向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设P、Q运动时间为t秒，回答下列问题：
(1)求t为何值时，四边形是矩形？
(2)求t为何值时，？
(3)是否存在t的值，使得是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
11．（22-23八年级下·广东惠州·期中）如图，梯形中，，，，，，点E为上一点，且，点F为上一动点，以为边作菱形，且点H落在边上，点G在梯形的内部或边上，设．
(1)直接写出的长与的度数．
(2)在点F运动过程中，是否存在某个x的值，使得四边形为正方形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
(3)若菱形的顶点G恰好在边上，则求出此时x的值．
12．（22-23八年级下·广东汕头·期末）如图，平面直角坐标系中，，．F为矩形对角线的中点，过点F的直线分别与交于点D、E．
(1)求证：；
(2)设，的面积为S，
①求S与m的函数关系式；
②当时，求S的值；
(3)若点P在坐标轴上，平面内存在点Q，使以P、Q、A、C为顶点的四边形是矩形，请直接写出点Q的坐标．
13．（20-21八年级下·广东惠州·期中）如图，梯形中，，，，，，点为上一点，且；点为上一动点，以为边作菱形，且点落在边上，点在梯形的内部或边上，设.
（1）直接写出的长与的度数：______，______；
（2）在点运动过程中，是否存在某个的值，使得四边形为正方形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由；
（3）若菱形的顶点恰好在边上，则求出点在上的位置和此时的值．
14．（21-22八年级·山东淄博·期末）如图，在直角梯形中，，，，，，动点P从点A开始沿AD边向点D以速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以的速度运动．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒．求：
(1)t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？
(2)t为何值时，四边形ABQP为矩形？
(3)是否存在，使梯形ABQP的面积为？若存在请求出，若不存在请说明理由．
15．（22-23八年级下·湖南长沙·期中）如图，平面直角坐标系中，矩形的对角线，，
(1)求B点的坐标；
(2)把矩形沿直线对折使点C落在点A处，与相交于点F，求四边形的周长；
(3)若点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以O、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
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