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专题13 平行四边形之存在性问题（压轴题，20题）（原卷版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．（22-23八年级下·湖北咸宁·期中）如图，点为坐标原点，四边形为矩形，边、分别在轴、轴上，，，且、满足．
(1)求，两点的坐标；
(2)把沿翻折，点落在处，线段与轴交于点，求的长；
(3)在平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
2．（22-23八年级下·黑龙江双鸭山·期中）如图，将边长为8的等边三角形置于平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴上，过点O作于点C，过点B作轴于点D．若动点E从原点O出发，沿线段向点A运动，动点F从点A出发，沿线段向终点C运动，两点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，点E的运动时间为t秒，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．
(1)求点A、点D的坐标；
(2)若的面积为S，请用含t的代数式表示S；
(3)在坐标平面内是否存在一点M，使以A，B，D，M为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．
3．（22-23八年级下·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边，，．点P、Q分别是边、上的动点，点P以每秒2个单位的速度从点C向点B运动，同时点Q以每秒个单位的速度从点O向点C运动．当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为t．
(1)求出点B、C的坐标；
(2)当时，求的面积；
(3)在（2）的条件下，在平面内是否存在点M，使得以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（22-23八年级下·福建莆田·期中）如图，在平行四边形中，，是的角平分线，点M从点E出发，沿方向以的速度向点D运动，点N从点C出发，沿射线方向运动，以的运动速度，当点M运动到点D时，点N随之停止运动，设运动时间为t秒．
(1)求的长；
(2)是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
(3)当 时，线段将平行四边形面积二等分，并说明理由．
5．（22-23八年级下·江苏徐州·期末）在平面直角坐标系中，正方形OBCD的顶点D的坐标为，点M为线段OB上一动点（不包括点O、B），为等腰直角三角形，，DN与边BC交于点E，连接ME．
(1) °；
(2)求证：MN平分∠EMB；
(3)设点M的坐标为，在边OD上是否存在点P，使得四边形MNCP为平行四边形？若存在，请用含m的代数式表示点P的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（22-23八年级下·山东青岛·期末）已知，平行四边形中，，，，点，分别是线段和上的动点，点以的速度从点出发沿向点运动，同时点以的速度从点出发，在上沿方向往返运动，当点到达点时，点，同时停止运动．连接，．设运动时间为，请回答下列问题：
(1)当为何值时，平分？
(2)在运动过程中，是否存在某一时刻，使得以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
(3)连接并延长，交的延长线与点，连接．设的面积为，求与之间的关系式．
7．（22-23八年级下·湖南常德·期中）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点运动．当点到达点时，点停止运动，设点运动时间为秒．
(1)当运动停止时，求线段的长；
(2)当t为何值时，四边形为矩形，求出t的值和矩形的面积；
(3)在运动的过程中，是否存在某一时刻，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．
8．（22-23八年级下·山东青岛·期末）如图，在平行四边形中，，，，点E，F分别是线段和上的动点，点E以的速度从点D出发沿向点C运动，同时点F以的速度从点B出发，在上沿B→A→B方向往返运动，当点E到达点C时，点E，F同时停止运动．连接，．设运动时间为t（s）（），请解答下列问题：
(1)当t为何值时，平分？
(2)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得以E，C，F，A四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
(3)连接并延长，交的延长线与点P，连接．设的面积为，求S与t之间的关系式．
9．（22-23八年级下·安徽铜陵·期末）如图，点为正方形内一动点，．过点作，且，连接，．
(1)求证：；
(2)延长交于点，求证：；
(3)在（2）的条件下，若点在运动过程中，存在四边形为平行四边形，试探究此时、满足的数量关系．
10．（22-23八年级下·河北沧州·期中）如图，在中，，，连接，恰有，过点作于点．动点从点出发沿以的速度向终点运动，同时点从点出发，以的速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点运动的时间为．
(1)分别求和的长度；
(2)连接，当时，判断与是否垂直，并说明理由；
(3)试判断是否存在t的值，使得以P，Q，C，D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
(4)若点关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出点，之间的距离．
11．（22-23八年级下·广东广州·期末）如图，在中，，，点P，Q分别是射线，射线上的动点，点E在线段上，且，，设为x．
(1)当点Q运动到中点时，恰好，求的长度；
(2)在（1）的条件下，在点P和点Q运动过程中，是否存在x的值，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．
(3)连接，当点P在运动时，有最小值为，求此时的长．
12．（22-23八年级下·天津滨海新·期中）如图1，在正方形中，边、分别在x轴、y轴上，点B的坐标为，点D在线段上，以点D为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形，交y轴于点F．
(1)当时，
①求出点E的坐标；
②在坐标平面内存在点M，若以E，B，D，M为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有满足条件的点M的坐标______；
(2)如图2，连接，当点D在线段上运动时，的周长是否改变，若改变，请说明理由；若不变，求出其周长．
13．（22-23八年级下·四川宜宾·期末）已知，如图，O为坐标原点，四边形为矩形，，，点D是的中点，动点P在线段上以每秒2个单位长的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒．
(1)当t为何值时，四边形是平行四边形？
(2)在直线上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
14．（21-22八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在平面直角坐标系中，是以为底边的等腰三角形，点B在x轴正半轴上，，，是沿翻折得到的，点A在y轴正半轴上，连接，线段的长为x使代数式成立．
(1)求点C的坐标；
(2)求出四边形是怎样特殊的四边形？并且计算四边形的面积；
(3)平面内是否存在点P，使以点C、O、B、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
15．（22-23八年级下·广东汕头·期末）如图，平面直角坐标系中，，．F为矩形对角线的中点，过点F的直线分别与交于点D、E．
(1)求证：；
(2)设，的面积为S，
①求S与m的函数关系式；
②当时，求S的值；
(3)若点P在坐标轴上，平面内存在点Q，使以P、Q、A、C为顶点的四边形是矩形，请直接写出点Q的坐标．
16．（22-23八年级下·山西运城·期末）【综合探究】
已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中边在轴上且，边在轴上且，平分交于点．
(1)请直接写出、两点的坐标： ， ．
(2)如图1，求点的坐标．
(3)过点作交于点．如图2，求面积．
(4)在平面内是否存在一点，使得、、、四点组成的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由．
17．（22-23八年级下·广西南宁·阶段练习）四边形是正方形，点在直线上，，且交正方形外角平分线于点．
(1)如图1，若点是边的中点，则与的数量关系是______；
(2)若是延长线上一点，
①如图2，（1）中的线段与的数量关系是否还成立？并说明理由：
②如图3，正方形的边长为2，且，在直线上是否存在一点，使得四边形是平行四边形？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
18．（21-22八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，的顶点A在y轴正半轴上，BC边在x轴上，已知，，且点B点C关于关于y轴对称
(1)如图1，求点A的坐标．
(2)如图2，点E是y轴负半轴上一点，连接BE，若，求OE的长．
(3)如图3，在（2）的条件下，点Q是外一点，连接AQ、BQ、CQ，并且CQ交AO于F，交AB于G，且，请问是否存在点P使得四边形为平行四边形？若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
19．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）将一矩形纸片放在直角坐标系中，O为原点，点C在x轴正半轴上，点，点．
(1)如图1，在上取一点E，将沿折叠，使O点落至边上的D点，求、的长度；
(2)如图2，在、边上选取适当的点M、F，将沿折叠，使O点落在边上的点，过作于点G，交于点T，求证：；
(3)在（2）的条件下，设，当时，Q为坐标轴上一点，在直线上是否存在点P，使得以M、、Q、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．
20．（20-21八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图1，平行四边形的顶点A、D在轴上，点B在y轴，．
(1)若实数a、b满足，直接写出点C的坐标为 ，点D坐标为 ；
(2)如图2，在（1）的条件下，连接，将绕点O顺时针旋转m（），旋转得，y轴正半轴上是否存在一点E，能使以点O、、、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图3，，，P为内一点，连接、、，直接写出的最小值为
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专题13 平行四边形之存在性问题（压轴题，20题）（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．（22-23八年级下·湖北咸宁·期中）如图，点为坐标原点，四边形为矩形，边、分别在轴、轴上，，，且、满足．
(1)求，两点的坐标；
(2)把沿翻折，点落在处，线段与轴交于点，求的长；
(3)在平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)或或
【分析】（1）根据非负数的性质求得，得出，，根据矩形的性质即可求得点的坐标；
（2）根据折叠的性质得出，进而设，在中，勾股定理即可求解；
（3）分为对角线时，根据中点坐标公式即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
解得：，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴；
（2）∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵折叠
∴，，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
即，
解得：，即，，
（3）∵，，，设，
当为对角线时，，解得：，
∴；
当为对角线时，，解得：，
∴；
当为对角线时，，解得：，
∴；
综上所述，或或．
【点睛】本题考查了非负数的性质，坐标与图形，矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
2．（22-23八年级下·黑龙江双鸭山·期中）如图，将边长为8的等边三角形置于平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴上，过点O作于点C，过点B作轴于点D．若动点E从原点O出发，沿线段向点A运动，动点F从点A出发，沿线段向终点C运动，两点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，点E的运动时间为t秒，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．
(1)求点A、点D的坐标；
(2)若的面积为S，请用含t的代数式表示S；
(3)在坐标平面内是否存在一点M，使以A，B，D，M为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)或或
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，，则，得出，根据勾股定理得出，即可得出点A和点D的坐标；
（2）过点F作于点G，得出，则，再根据勾股定理得出，最后根据三角形的面积公式，即可列出代数式；
（3）根据题意进行分类讨论即可．
【详解】（1）解：∵为等边三角形，
∴，，
∴，，
∵轴，
∴，
根据勾股定理可得：，
∴，
综上：，；
（2）解：过点F作于点G，
∵两点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，运动时间为t秒，
∴，则，
∵为等边三角形，，，
∴，，
∴，，
在中，根据勾股定理可得：，
∴．
∴．
（3）解：①当为平行四边形的边时，如图：
由（1）可得，
∴，
∵，
∴或；
②当为平行四边形的对角线时，
∵，，
∴可经过平移得到，
∵，，
∴点A向上平移个单位长度，向左平移8个单位长度得到点D，
∴点B向上平移个单位长度，向左平移8个单位长度得到点M，
∵，，
∴，
∴．
综上：点M的坐标为或或．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理，以及平行四边形的性质，解题的关键是掌握含的直角三角形，角所对的边是斜边的一半；平行四边形对边平行且相等．
3．（22-23八年级下·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边，，．点P、Q分别是边、上的动点，点P以每秒2个单位的速度从点C向点B运动，同时点Q以每秒个单位的速度从点O向点C运动．当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为t．
(1)求出点B、C的坐标；
(2)当时，求的面积；
(3)在（2）的条件下，在平面内是否存在点M，使得以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)存在，分别为，，
【分析】（1）根据题干条件和平行四边形的性质直接求解即可；
（2）求出当时，点P、Q的具体坐标，然后利用“割补法”求出面积即可；
（3）结合（2）中求出的点P、Q的具体坐标，然后根据平行四边形的存在性求解方法分类计算即可．
【详解】（1）解：如图1所示，作于点，
∵，，
∴，即：，
∴点C坐标为，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴点C坐标和点B坐标的纵坐标相等，，
∴点B坐标为，
∴点B、C的坐标为，；
（2）解：由题意，当时，，，
∴点的坐标为，点的坐标为，
如图2所示，过点作，交延长线于点，则，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：存在点M，使得以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
由（2）可知，点的坐标为，点的坐标为，
由题意，点的坐标为，则设点的坐标为，
①若为对角线，
则，
解得：，
∴；
②若为对角线，
则，
解得：，
∴；
③若为对角线，
则，
解得：，
∴；
综上，存在点M，使得以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形，分别为，，．
【点睛】本题考查坐标与图形，平行四边形的性质等，理解平面直角坐标系中点坐标的特征，熟练运用平行四边形的性质是解题关键．
4．（22-23八年级下·福建莆田·期中）如图，在平行四边形中，，是的角平分线，点M从点E出发，沿方向以的速度向点D运动，点N从点C出发，沿射线方向运动，以的运动速度，当点M运动到点D时，点N随之停止运动，设运动时间为t秒．
(1)求的长；
(2)是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
(3)当 时，线段将平行四边形面积二等分，并说明理由．
【答案】(1)
(2)或时，以M、E、B、N为顶点的四边形是平行四边形；
(3)1
【分析】（1）利用平行四边形的性质得出，再利用角平分线的定义得出即可得出结论；
（2）利用平行四边形的性质即可得出，再分两种情况讨论计算即可得出结论；
（3）利用平行四边形的性质经过平行四边形的中心的直线将平行四边形的面积二等分，再建立方程即可得出结论．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）由（1）知，，
∵， ∴，
由运动知，，，
∵，要使以M、E、B、N为顶点的四边形是平行四边形，
只要， 当点N在边上时，，
∴，
∴，
当点N在边的延长线上时，，
∴， ∴，
∴或时，以M、E、B、N为顶点的四边形是平行四边形；
（3）如图， 连接交于O，
∵线段将平行四边形面积二等分，
∴必过的中点，
∴，
∵，
∴，
在和中， ，
∴，
∴，
由运动知，，，
∴，，
∴， ∴，
∴时，线段将平行四边形面积二等分．
【点睛】此题是四边形的综合题，主要考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义；解（1）的关键是得出，解（2）的关键是分类讨论的思想建立方程求解，解（3）的关键是判断出．
5．（22-23八年级下·江苏徐州·期末）在平面直角坐标系中，正方形OBCD的顶点D的坐标为，点M为线段OB上一动点（不包括点O、B），为等腰直角三角形，，DN与边BC交于点E，连接ME．
(1) °；
(2)求证：MN平分∠EMB；
(3)设点M的坐标为，在边OD上是否存在点P，使得四边形MNCP为平行四边形？若存在，请用含m的代数式表示点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)45
(2)见解析
(3)存在，
【分析】（1）根据等腰三角的性质得出，在根据等边对等角即可得出答案；
（2）如图1，在x轴负半轴上取一点F，使，连接．利用证明，根据全等三角形的性质及角的和差，即可得出，再利用证明，最后根据全等三角形的性质及等角的余角相等即可得出答案；
（3）如图2，连接，设与交于点T．根据正方形的性质利用证明，再根据全等三角形的性质即可得出，然后根据得出，最后根据同角的余角相等及平行四边形的判定即可证明．
【详解】（1）为等腰直角三角形，，
，
，
（2）如图1，在x轴负半轴上取一点F，使，连接．
在与中，
，
，
∴，．
∵，
∴，
∴，
即，
∴．
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，．
∴，
∴平分．
（3）存在点，使四边形为平行四边形，此时．
如图2，连接，设与交于点T．
∵四边形是正方形，
∴，．
∴．
∴．
∵，
∴．
∵（已证），
∴．
∵，
∴，
即．
又∵，
∴，
∴．
∴四边形为平行四边形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、平行四边形的判定、正方形的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
6．（22-23八年级下·山东青岛·期末）已知，平行四边形中，，，，点，分别是线段和上的动点，点以的速度从点出发沿向点运动，同时点以的速度从点出发，在上沿方向往返运动，当点到达点时，点，同时停止运动．连接，．设运动时间为，请回答下列问题：
(1)当为何值时，平分？
(2)在运动过程中，是否存在某一时刻，使得以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
(3)连接并延长，交的延长线与点，连接．设的面积为，求与之间的关系式．
【答案】(1)
(2)当时，以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形
(3)
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，当平分，可得是等腰三角形，即，由此即可求解；
（2）以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形，则，分别用含的式子表示的长度，根据题意，分类讨论，即可求解；
（3）如图所示，过点作交于点，作交于点，根据平行四边形的性质，可得是等腰直角三角形，由此可求出，，再根据，由此即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，即，
∵点以的速度从点出发沿向点运动，
∴，
∴．
（2）解：假设存在合题意的，便得以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形，则，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点的速度为，点的速度为，
∴点从点运动到点的时间为，点从点运动到点的时间为，点从点返回运动到点的时间为，
∴①当时，，，
∵，
∴，解得（不符合题意，舍去），
②当时，，，
∵，
∴，解得，
综上所述，当时，以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形．
（3）解：如图所示，过点作交于点，作交于点，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
在中，，同理可得，，
∵点的速度为，
∴，
∴，，
∴．
【点睛】本题主要考查动点与几何图形的综合，掌握动点运动的规律，平行四边形的性质及判定，等腰三角形的性质，勾股定理，不规则图形面积的计算方法等知识是解题的关键．
7．（22-23八年级下·湖南常德·期中）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点运动．当点到达点时，点停止运动，设点运动时间为秒．
(1)当运动停止时，求线段的长；
(2)当t为何值时，四边形为矩形，求出t的值和矩形的面积；
(3)在运动的过程中，是否存在某一时刻，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)运动停止时，的长为
(2)，
(3)存在，当或
【分析】（1）求出点的运动时间，从而计算出点的运动距离，即可求出答案；
（2）过点D作于点E，则四边形是矩形，得出，，由勾股定理可求出，由矩形可知进而求出，从而求出矩形的面积；
（3）分两种情况：当为平行四边形的边时，由，求出，当为平行四边形的对角线，由，求出．
【详解】（1）由题意知，运动停止时，P点运动时间为秒，
∴，
∴，
∴运动停止时，的长为；
（2）如图，过D作于E，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，
由题可得，，若四边形为矩形，
则，即，
解得：，则，
∴；
（3）由题意知，分两种情况求解：
①当为平行四边形的边，则在点左侧，，，
∵，
∴，
解得；
②当为平行四边形的对角线，在点右侧，，，
∵，
∴，
解得 ，
综上所述，存在，当或时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形．
【点睛】本题是四边形综合题目，矩形的判定和性质、平行四边形的性质，勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定和性质以及平行四边形的性质是解题的关键．
8．（22-23八年级下·山东青岛·期末）如图，在平行四边形中，，，，点E，F分别是线段和上的动点，点E以的速度从点D出发沿向点C运动，同时点F以的速度从点B出发，在上沿B→A→B方向往返运动，当点E到达点C时，点E，F同时停止运动．连接，．设运动时间为t（s）（），请解答下列问题：
(1)当t为何值时，平分？
(2)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得以E，C，F，A四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
(3)连接并延长，交的延长线与点P，连接．设的面积为，求S与t之间的关系式．
【答案】(1)8
(2)存在，8
(3)
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，进而得出，再根据角平分线的定义得出，可得出，进而得出答案；
（2）假设存在合题意的t，使得以E，C，F，A四点为顶点的四边形是平行四边形，则，①当时，，②当时，，由①②可得当时，以E，C，F，A四点为顶点的四边形是平行四边形；
（3）过点B作交于点M，作交于点N，在中，，得出，，进而得出，同理可得，，再求出，，根据可得出答案．
【详解】（1）∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）假设存在合题意的t，使得以E，C，F，A四点为顶点的四边形是平行四边形，则，
①当时，，
，
解得（舍）
②当时，，
，
解得
由①②可得当时，以E，C，F，A四点为顶点的四边形是平行四边形．
（3）过点B作交于点M，作交于点N．
在中，，
∴，，
∴，
同理可得，，
，
，
∴．
【点睛】本题考查平行四边形的动点问题，勾股定理，三角形的面积，平行线的性质，角平分线的定义，掌握平形四边的性质是解题的关键．
9．（22-23八年级下·安徽铜陵·期末）如图，点为正方形内一动点，．过点作，且，连接，．
(1)求证：；
(2)延长交于点，求证：；
(3)在（2）的条件下，若点在运动过程中，存在四边形为平行四边形，试探究此时、满足的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据正方形的性质得到，，判定后根据全等三角形的对应边相等即可证明结论；
（2）根据全等三角形的对应角相等和邻补角定义推出，判定四边形是矩形，再用一组邻边相等的矩形是正方形判定其为正方形，即可证明结论；
（3）先根据条件判定，根据全等的性质推出，再根据正方形和平行四边形的性质推出相等的边，再判定，根据全等三角形的对应边相等即可推出、满足的数量关系．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，，
，，
，
又，
，
；
（2）证明：如图，延长交于点，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
又，
矩形是正方形，
；
（3）解：．理由如下：
如图，过点作交于，
，
，
，
，
，
，
又，，
，
，
，，
四边形是正方形，四边形为平行四边形，
，
又，
，
，
，
．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查正方形的判定与性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，深入理解题意是解决问题的关键．
10．（22-23八年级下·河北沧州·期中）如图，在中，，，连接，恰有，过点作于点．动点从点出发沿以的速度向终点运动，同时点从点出发，以的速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点运动的时间为．
(1)分别求和的长度；
(2)连接，当时，判断与是否垂直，并说明理由；
(3)试判断是否存在t的值，使得以P，Q，C，D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
(4)若点关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出点，之间的距离．
【答案】(1)，
(2)，理由见详解
(3)存在，的值为或4
(4)或
【分析】（1）可求出，根据含的直角三角形的性质可得，，根据平行四边形的性质可得，则，即可得，，即可求解；
（2）先证四边形是平行四边形，可得四边形是矩形，即可得出结论；
（3）分两种情况讨论，由平行四边形的性质可得，列出方程可求解；
（4）分两种情况讨论，由轴对称的性质和等边三角形的性质以及勾股定理可求解．
【详解】（1）四边形是平行四边形，，，，
，，
，，，
，
，，
；
（2），理由如下：
如图1，
动点从点出发沿以的速度向终点运动，同时点从点出发，以的速度沿射线运动，
当时，，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
；
（3）存在，
当为边时，
四边形是平行四边形，
，
，
；
当为对角线时，
四边形是平行四边形，
，
，
，
综上所述：的值为或4；
（4）如图，当点的对称点在线段上时，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
过点作于，则，，
，，，
，
，
在中，
；
如图，当点的对称点在线段的延长线上时，
，
，
点的对称点在线段的延长线上，
，
，
，
，
，
，
，
过点作于，则，，
，，，
，
，
在中，
；
综上所述：点，之间的距离为或．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
11．（22-23八年级下·广东广州·期末）如图，在中，，，点P，Q分别是射线，射线上的动点，点E在线段上，且，，设为x．
(1)当点Q运动到中点时，恰好，求的长度；
(2)在（1）的条件下，在点P和点Q运动过程中，是否存在x的值，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．
(3)连接，当点P在运动时，有最小值为，求此时的长．
【答案】(1)
(2)存在，或
(3)
【分析】（1）如图，连接，交于K，证明，结合为的中点，可得，证明都为等腰直角三角形，而，，可得，，，从而可得答案；
（2）当在上，在上，由题意可得：，，而，求出，根据平行四边形的判定得出，进而可得x的值；当在上，在的延长线上时，同理建立方程求解即可；
（3）如图，作，过作于，则，，当，，三点共线时，，此时最短，此时，，在上取点K，使，则，，再建立方程，从而可得答案．
【详解】（1）解：如图，连接，交于K，
∵，，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵，，
∴，，
∴都为等腰直角三角形，而，，
∴，，
∴，
解得：，
∴．
（2）存在；
如图，当在上，在上，由题意可得：，，而，
∴，
∵A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，，
∴，
∴，
解得：，
如图，当在上，在的延长线上，
同理可得：，
解得：，
综上：当A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，或．
（3）如图，作，过作于，则，
∴，
∴，
当，，三点共线时，，此时最短，
此时，，
在上取点K，使，则，，
∴，
∴，
而，
∴，
解得：，
∴．
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，平行四边形的判定与性质，二次根式的混合运算，勾股定理，作出合适的辅助线是解本题的关键．
12．（22-23八年级下·天津滨海新·期中）如图1，在正方形中，边、分别在x轴、y轴上，点B的坐标为，点D在线段上，以点D为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形，交y轴于点F．
(1)当时，
①求出点E的坐标；
②在坐标平面内存在点M，若以E，B，D，M为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有满足条件的点M的坐标______；
(2)如图2，连接，当点D在线段上运动时，的周长是否改变，若改变，请说明理由；若不变，求出其周长．
【答案】(1)①；②点M的坐标为：或或．
(2)的周长不变，且周长为12
【分析】（1）①根据四边形为正方形，点B的坐标为，得出，，证明，得出，，求出，即可得出答案；
②设点的坐标为，分三种情况进行讨论，当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，分别画出图形求出结果即可；
（2）在x轴上取一点H，使，连接，证明，得出，，证明，得出，根据求出结果即可．
【详解】（1）解：①过点E作轴于点G，如图所示：
则，
∵四边形为正方形，点B的坐标为，
∴，，
∵为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
②∵，
∴，
∴，
设点的坐标为，
当为对角线时，如图所示：
∴根据中点坐标公式可知：，，
解得：，，
∴点M的坐标为；
当为对角线时，如图所示：
∴根据中点坐标公式可得：，，
解得：，，
∴点M的坐标为；
当为对角线时，如图所示：
∴根据中点坐标公式可得：，，
解得：，，
∴点M的坐标为；
综上分析可知，点M的坐标为：或或．
（2）解：的周长不变，且周长为12．
在x轴上取一点H，使，连接，如图所示：
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，平行四边形的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形．
13．（22-23八年级下·四川宜宾·期末）已知，如图，O为坐标原点，四边形为矩形，，，点D是的中点，动点P在线段上以每秒2个单位长的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒．
(1)当t为何值时，四边形是平行四边形？
(2)在直线上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)2.5
(2)存在，，；，；，
【分析】（1），四边形是平行四边形时，列一元一次方程即可求解；
（2）分Q点在P的右边，Q点在P的左边且在线段上，Q点在P的左边且在的延长线上三种情况，根据菱形的性质、勾股定理分别求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形为矩形，，，
∴，，
∵点D是的中点，
∴，
由运动知，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①当Q点在P的右边时，如图1，
∵四边形为菱形，
∴，
∴在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
∵，，
∴；
②当Q点在P的左边且在线段上时，如图2，
∵四边形为菱形，
∴，
∴在中，由勾股定理得：，
∴，
∵，
∴，
∴；
③当Q点在P的左边且在的延长线上时，如图，
∵四边形为菱形，
∴，
∴在中，由勾股定理得：，
∴，
∵，
∴，
∴；
综上可知，O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形时，有三种情况：，；，；，．
【点睛】本题考查矩形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，菱形的存在性问题等，解题的关键是掌握特殊平行四边形的性质，注意分类讨论．
14．（21-22八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在平面直角坐标系中，是以为底边的等腰三角形，点B在x轴正半轴上，，，是沿翻折得到的，点A在y轴正半轴上，连接，线段的长为x使代数式成立．
(1)求点C的坐标；
(2)求出四边形是怎样特殊的四边形？并且计算四边形的面积；
(3)平面内是否存在点P，使以点C、O、B、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)点C的坐标为；
(2)四边形是菱形，面积为；
(3)点P的坐标为或或．
【分析】（1）依据二次根式的性质，求得的长，再过点C作轴，根据中的边角关系，求得点D的坐标；
（2）先运用判定，得出，进而判定四边形是菱形，并计算菱形的面积；
（3）根据平行四边形的不同位置，分三种情况，得出点P的坐标．
【详解】（1）解：过点C作轴于点E，
是以为底边的等腰三角形，，
∴；
又，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴点C的坐标为；
（2）解：依据二次根式的性质可知：
，，
解得；
∵，
∴，
由题意得，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∴菱形的面积；
（3）解：存在．连接，过O作的平行线，过B作的平行线，过D作的平行线，分别交于三点，则四边形、四边形、四边形均为平行四边形．
由可知，是等边三角形，
∴四边形、四边形、四边形均为菱形，
∴三点离x轴的距离，
在中，，
∴，
又∵，，
∴，，
又∵与D关于x轴对称，，
∴，
故点P的坐标为或或．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了几何变换中的旋转，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，解决问题的关键是掌握旋转的性质，解题时需要运用四边相等的四边形是菱形这一判定方法，并且注意菱形的面积等于底乘高，有时需要根据菱形对角线的长度求菱形的面积．此外，在判断平行四边形第四个顶点的位置时，需要进行分类讨论，不能遗漏．
15．（22-23八年级下·广东汕头·期末）如图，平面直角坐标系中，，．F为矩形对角线的中点，过点F的直线分别与交于点D、E．
(1)求证：；
(2)设，的面积为S，
①求S与m的函数关系式；
②当时，求S的值；
(3)若点P在坐标轴上，平面内存在点Q，使以P、Q、A、C为顶点的四边形是矩形，请直接写出点Q的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)①；②5．
(3)点Q坐标为或或．
【分析】（1）根据证明，再运用全等三角形的性质即可证明结论；
（2）①先证四边形是平行四边形，所以的面积是平行四边形AECD面积的，而，从而可求的面积，可得到S与m的函数关系式；②当时，四边形是菱形，所以，从而可列方程解出m的值，再代入S与m的关系式即可解答；
（3）点P在x轴或y轴或原点时三种情况讨论，可设点P坐标为或，根据勾股定理列方程求出p的值，得到点P坐标，再根据点平移坐标变化规律得到点Q的坐标．
【详解】（1）解：如图：
∵四边形是矩形，
∴ ，
∴，
∵F是中点，
∴，
在和中，
∴，
∴．
（2）解：①∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴S与m的函数关系式为；
②当时，则四边形是菱形
∴，
∵
∴，解得：，
∴．
（3）解：①如图：点P在x轴上，
设点P标为，则
∵四边形是矩形
∴
∴
∴ ，解得：
∴
∵平移得到
∴平移规律是横坐标减10，纵坐标减4，
∴点平移得到；
②如图：点P在y轴上，设点P标为，则
∵
∴ ，解得：
∵平移后得到
∴平移规律是横坐标减8，纵坐标减16.
∴平移后得到；
③当点P原点重合时，则点Q点B重合，此时点Q坐标为．
综上所述，点Q坐标为或或．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、矩形的判定等知识点，熟练应用所学知识成为解答本题的关键．
16．（22-23八年级下·山西运城·期末）【综合探究】
已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中边在轴上且，边在轴上且，平分交于点．
(1)请直接写出、两点的坐标： ， ．
(2)如图1，求点的坐标．
(3)过点作交于点．如图2，求面积．
(4)在平面内是否存在一点，使得、、、四点组成的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)
(4)存在，，，
【分析】（1）根据题意可以直接写出，；
（2）过作，垂足为，根据勾股定理求出的长度，可证，从而得到，，设，则，，，根据勾股定理求出，即可得到点坐标；
（3）根据角平分线的性质，平行线的性质，得到，设，则，再利用勾股定理求出的值，进而求出面积；
（4）利用平行四边形的性质，点位置的不同，分三种情况求解即可得到最后结果．
【详解】（1）解：在轴上且，且点在轴的正半轴，
，
在轴上且，且点在轴的上半轴，
；
（2）如图，过作，垂足为，则，
，，，
，
平分，
，
由题可知，，
，
，，
设，则，，，
，
，
解得，
；
（3）平分，
，
，
，
，
，
设，则，
，，，
，
解得，
；
（4）存在，或或理由如下：
、、、四点组成的四边形是平行四边形，如图，当点在第一象限时，
，且，
；
、、、四点组成的四边形是平行四边形，如图，当点在第四象限，
为平行四边形，
轴，，
位于第四象限，
；
、、、四点组成的四边形是平行四边形，如图，当点在第二象限时，过点作轴，
轴，
，，
，
，
，
是平行四边形，
，
，
，，
，
位于第二象限，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质定理，坐标与图形，勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质，分情况求解是解答本题的关键．
17．（22-23八年级下·广西南宁·阶段练习）四边形是正方形，点在直线上，，且交正方形外角平分线于点．
(1)如图1，若点是边的中点，则与的数量关系是______；
(2)若是延长线上一点，
①如图2，（1）中的线段与的数量关系是否还成立？并说明理由：
②如图3，正方形的边长为2，且，在直线上是否存在一点，使得四边形是平行四边形？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①成立，理由见解析；②存在，
【分析】（1）在上截取，连接，证明，得出即可；
（2）①延长，使，连接，证明，得出即可；
②延长，截取，连接，，，此时四边形是平行四边形，证明，得出，，证明，根据平行四边形的判定得出四边形为平行四边形，求出，即可得出．
【详解】（1）解：在上截取，连接，如图所示：
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
（2）解：①（1）中的线段与的数量关系仍然成立，理由如下：
延长，使，连接，如图所示：
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴；
②存在；．
延长，截取，连接，，，如图所示：
∵四边形为正方形，
∴，，
∵，
∴，
即，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质，余角的性质，平行线的判定，等腰三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，熟记三角形全等的判定方法．
18．（21-22八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，的顶点A在y轴正半轴上，BC边在x轴上，已知，，且点B点C关于关于y轴对称
(1)如图1，求点A的坐标．
(2)如图2，点E是y轴负半轴上一点，连接BE，若，求OE的长．
(3)如图3，在（2）的条件下，点Q是外一点，连接AQ、BQ、CQ，并且CQ交AO于F，交AB于G，且，请问是否存在点P使得四边形为平行四边形？若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)3
(3)
【分析】（1）根据对称性得到，由勾股定理得到，则；
（2）如图所示，在上取一点H使得，设，则，由勾股定理建立方程，解方程求出，利用三角形外角的性质得到，进而证明，则；
（3）如图所示，延长到H，使得，连接，证明得到，则，设，则，再由推出，再证明，进而证明，得到，如图所示，过点Q作于M，则四边形是矩形，得到，证明，得到，则，设点P的坐标为，由的中点坐标相同，得到，解得，则．
【详解】（1）解：∵，且点B、点C关于关于y轴对称，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴；
（2）解：如图所示，在上取一点H使得，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点B、点C关于关于y轴对称，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，延长到H，使得，连接，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴设，则，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
如图所示，过点Q作于M，则四边形是矩形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设点P的坐标为，
∵四边形为平行四边形，
∴的中点坐标相同，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，三角形外角的性质，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
19．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）将一矩形纸片放在直角坐标系中，O为原点，点C在x轴正半轴上，点，点．
(1)如图1，在上取一点E，将沿折叠，使O点落至边上的D点，求、的长度；
(2)如图2，在、边上选取适当的点M、F，将沿折叠，使O点落在边上的点，过作于点G，交于点T，求证：；
(3)在（2）的条件下，设，当时，Q为坐标轴上一点，在直线上是否存在点P，使得以M、、Q、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)见解析
(3)存在，或或
【分析】（1）由折叠的性质可得，，由勾股定理可以求出的长，的长；
（2）由折叠的性质可得，，由平行线的性质可得，即可求解；
（3）分为对角线，为边两种情形讨论即可．
【详解】（1）解：∵点，点，
∴，，
∵将沿折叠，使O点落至边上的D点，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵将沿折叠，使O点落在边上的点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图，
当时，则，
∵，
∴，
∴，
由（2）可知：，
∴，
∴点，
①当为对角线时，点P与T重合，，
∴点，
②为边时，设点，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵直线FM的解析式为，
∴，
∴点Q坐标，
③当点在第四象限点时，四边形是平行四边形时，
∵直线FM的解析式为，
∵，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴点，
设点
∵点，点，点，
∴，，
∴点，
综上所述，以M、、Q、P为顶点的四边形是平行四边形时，点P坐标为或或．
【点睛】本题考查了四边形综合题，矩形的性质，翻折变换，勾股定理，平行四边形的判定等知识，灵活应用这些知识解决问题，学会用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．
20．（20-21八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图1，平行四边形的顶点A、D在轴上，点B在y轴，．
(1)若实数a、b满足，直接写出点C的坐标为 ，点D坐标为 ；
(2)如图2，在（1）的条件下，连接，将绕点O顺时针旋转m（），旋转得，y轴正半轴上是否存在一点E，能使以点O、、、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图3，，，P为内一点，连接、、，直接写出的最小值为
【答案】(1)，
(2)存在，
(3)
【分析】（1）根据算术平方根的非负性结合平行四边形的性质，进行求解即可；
（2）点在轴正半轴，利用旋转的性质和等积法，进行求解即可；
（3）将绕点顺时针旋转得到，连接，延长到，使得，延长至点，使得，连接，证明为等边三角形，推出为含30度角的直角三角形，推出，勾股定理求出的长即可．
【详解】（1）解：∵，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵平行四边形，
∴，
∴，
∴；
故答案为：，；
（2）存在，当点在轴正半轴时，如图：
∵，
∴，
∵旋转，
∴，，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴轴，
设交轴于点，则：，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）将绕点顺时针旋转得到，连接，延长到，使得，延长至点，使得，连接，则：，
∴为等边三角形，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，当且仅当四点共线时，，
∵
∴，
∵，
∴，，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查坐标与图形，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，综合性强，难度大，解题的关键是根据题意，画出图形，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解．
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