2024北京北师大二附中高二（下）期中数学（pdf版，含答案）

2024北京北师大二附中高二（下）期中
数 学
一、单选题
1. 在等差数列 { } 中，若 4 + 5 + 6 = 15，则 2 + 8 = ( )
A. 6 B. 10 C. 7 D. 5
2. 已知数列 { } 的一个通项公式为 =
2 50，则 8 是该数列的 ( )
A. 第 5 项 B. 第 6 项
C. 第 7 项 D. 不是数列中的任何一项
3. 《九章算术》之后，人们进一步地用等差数列求和公式来解决更多的问题，如《张邱建算经》卷上第
22 题为利用等差数列求和公式解决织布问题．若有一女善织布，从第 2 天起每天比前一天多织相同
量的布，第一天织 5 尺布，一个月（按 30 天计）共织 420 尺布，则第 2 天织布的尺数为 ( )
163 161 81
A. B. C.
29 29 15
80
D.
15
4. 如图，函数 = ( ) 在 ， 两点间的平均变化率是 ( )
A. 1 B. 1
C. 2 D. 2
5. 已知等比数列 { } 的各项均为正数，其前 项和为 ，若 2 = 2， 5 + 6 = 6 4，则 5 = ( )
A. 4 B. 10
C. 16 D. 32
6. 李明自主创业种植有机蔬菜，并且为甲、乙、丙、丁四家超市提供配送服务，甲、乙、丙、丁四家超
市分别需要每隔 2 天、 3 天、 5 天、 6 天去配送一次．已知 5 月 1 日李明分别去了这四家超市配送，
那么整个 5 月他不用去配送的天数是 ( )
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15
7. “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做
出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，
12
每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 √2．若第一个单音的频率为 ，则第八个单
音的频率为 ( )
3 3 12 12
A. √2 B. √22 C. √25 D. √27
8. 已知等比数列 { } 公比为 ，其前 项和为 ，若
3
3， 9， 6 成等差数列，则 等于 ( )
1 1 1
A. B. 1 C. 或 1 D. 1 或
2 2 2
9. 在等比数列 { } 中， 1 = 2, 8 = 4，若函数 ( ) = ( 1)( 2) ( 8)，则 (0) = ( )
A. 26 B. 29 C. 212 D. 215
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10. 设 ( ) 是定义在 上的恒不为零的函数，对任意实数 , ∈ ，都有 ( ) ( ) = ( + )，若
1
1 = ， = ( )( ∈
)，则数列 { } 的前 项和 2
的取值范围是 ( )
1 1 1 1
A. [ , 2) B. [ , 2] C. [ , 1) D. [ , 1]
2 2 2 2
二、填空题（共 5 小题；共 10 分）
11. 已知 { } 是等差数列，若 1 = 1， 7 = 13，则 4 = ．
12. 已知函数 ( ) = 2 4 + 2，且 ( 0) = 2，那么 0 的值为 ．
13. 是正项等比数列 { } 的前 和， 3 = 18， 3 = 26，则 1 = ．公比 = ．
14. 将一个边长为 6 的正方形铁片的四角截去四个边长为 的小正方形，做成一个无盖方盒．当方盒的
容积 取得最大值时， 的值为 ．
15. 小明用数列 { } 记录某地区 2019 年 12 月份 31 天中每天是否下过雨，方法为：当第 天下过雨时，
记 = 1，当第 天没下过雨时，记 = 1(1 ≤ ≤ 31)；他用数列 { } 记录该地区该月每天气
象台预报是否有雨，方法为：当预报第 天有雨时，记 = 1，当预报第 天没有雨时，记 =
1(1 ≤ ≤ 31)；记录完毕后，小明计算出 1 1 + 2 2 + + 31 31 = 25，那么该月气象台预报
准确的总天数为 ；若 1 1 + 2 2 + + = ，则气象台预报准确的天数为 （用
， 表示）．
三、解答题
16. 已知等差数列 { } 的前 项和为 ，且 3 = 5， 4 = 24．
（1）求数列 { } 的通项公式；
（2）求 的最小值．
17. 已知在直三棱柱 1 1 1 中，∠ = 90 ， = 1 = 1，直线
1 与平面 成 30 的角．
（1）求三棱锥 1 1 的体积；
（2）求二面角 1 的余弦值．
18. 已知函数 ( ) = 3 + + 的图象是曲线 ，直线 = + 1 与曲线 相切于点 (1,3)．
（1）求函数 ( ) 的解析式；
（2）求函数 ( ) 的递增区间；
（3）求函数 ( ) = ( ) 2 3 在区间 [0,2] 上的最大值和最小值．
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19. 已知函数 ( ) = ln ．
（1）若 ( ) ≥ 0，求 的取值范围；
（2）证明：若 ( ) 有两个零点 1， 2，则 1 2 < 1．
2 2
20. 已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0) 过点 ( 2,0)，且 = 2 ．
（1）求椭圆 的方程．
（2）设 为原点，过点 (1,0) 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，且直线 与 轴不重合，直线
， 分别与 轴交于 ， 两点．求证：∣ ∣ ∣ ∣ 为定值．
21. 约数，又称因数．它的定义如下：若整数 除以整数 ( ≠ 0) 得到的商正好是整数而没有余数，
我们就称 为 的倍数，称 为 的约数．设正整数 共有 个正约数，即为 1， 2， ， 1，
( 1 < 2 < < )．
（1）当 = 4 时，若正整数 的 个正约数构成等比数列，请写出一个 的值；
（2）当 ≥ 4 时，若 2 1， 3 2， ， 1 构成等比数列，求正整数 的所有可能值；
（3）记 = 1 2 + 2 3 + +
2
1 ，求证： < ．
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参考答案
1. B 2. C 3. A 4. B 5. C
6. B 7. D 8. A 9. C 10. C
11. 7 12. 3
+
13. 2，3 14. 1 15. 28，
2
16. （1） 设等差数列 { } 的公差为 ，
1 + 2 = 5,则由条件得 {
4 1 + 6 = 24,
= 9,
解得 { 1
= 2,
所以 = 9 + 2( 1) = 2 11． …… …… 5 分
（2） 由（1）知 = 2 11，
令 = 2 11 ≤ 0，得 ≤ 5.5，
所以数列 { } 的前 5 项和 5 是 的最小值，
即 ( )min = 5 = 5 1 + 10 = 5 × ( 9) + 2 × 10 = 25． …… …… 13 分
17. （1） 因为 1 ⊥ 平面 ，
所以 ∠ 1 = 30
．
又 = 1 = 1，
所以 = √3， = √2．
因为 ⊥ ， ⊥ 1，
所以 ⊥ 平面 1．
所以 1 1 ⊥ 平面 1．
1 √2
所以 1 1 = 1 = △ 1 1 = ． …… …… 5 分 1 3 1 6
（2） 建立如图所示空间直角坐标系．
由题意，得： = (√2, 1,0)， 1 = (0,0,1)，
设平面 1 的一个法向量为 1 = ( , , )，
1 = 0,则 {
1 1 = 0,
即 {√2 = 0,
= 0,
令 = 1, 则 1 = (√2, 1,0)．
同理，可得：平面 1 的一个法向量为 2 = (0,1, 1)．
√3
设 1 ， 2 的夹角为 ，则 cos =
1 2 = ，
∣ 1 ∣ ∣ 2 ∣ 3
又观察知二面角 1 为锐角，
√3
所以二面角 1 的余弦值是 ． …… …… 14 分 3
18. （1） 因为切点为 (1,3)，所以 + 1 = 3，得 = 2．
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因为 ( ) = 3 2 + ，所以 (1) = 3 + = 2，得 = 1．
则 ( ) = 3 + ．
由 (1) = 3 得 = 3．所以 ( ) = 3 + 3． …… …… 5 分
（2） 由 ( ) = 3 + 3 得 ( ) = 3 2 1．
令 ( ) = 3 2
√3 √3
1 > 0，解得 < 或 > ．
3 3
√3 √3
所以函数 ( ) 的递增区间为 ( ∞, )，( , +∞)． …… …… 9 分
3 3
（3） ( ) = 3 3 , ( ) = 3 2 3．
令 ( ) = 3 2 3 = 0，得 1 = 1, 2 = 1．
列出 ， ( )， ( ) 关系如下：
0 (0,1) 1 (1,2) 2
( ) 0 +
( ) 0 递减 极小值 2 递增 2
所以当 ∈ [0,2] 时， ( ) 的最大值为 2，最小值为 2． …… …… 13 分
19. （1）由题意知函数 ( ) 的定义域为 (0,+∞)，
1
由 ′( ) = ，

可得函数 ( ) 在 (0,1) 上单调递减，在 (1,+∞) 上单调递增，
所以 ( )min = (1) = 1 ，
又 ( ) ≥ 0，
所以 1 ≥ 0，解得 ≤ 1，
所以 的取值范围为 ( ∞, 1]． …… …… 5 分
1
（2） 不妨设 1 < 2，则由（1）知 0 < 1 < 1 < 2，0 < < 1， 2
1 1
构造函数 ( ) = ( ) ( ) = 2ln ，

1 2 ( 1)2
则 ′( ) = 1 +
2
= ≥ 0，
2
所以函数 ( ) 在 (0, +∞) 上单调递增，
1
所以当 > 1 时， ( ) > (1) = 0，即当 > 1 时， ( ) > ( )，

1
所以 ( 1) = ( 2) > ( )， 2
又 ( ) 在 (0,1) 上单调递减，
1
所以 0 < 1 < < 1，即 1 2 < 1． …… …… 15 分 2
20. （1） 因为椭圆过 ( 2,0)，
所以 = 2，
因为 = 2 ，所以 = 1，
2
所以椭圆方程为 + 2 = 1． …… …… 3 分
4
（2）①若直线 斜率不存在，直线 的方程为 = 1，
= 1,
3
则联立 { 2 2 得
2 = ，
+ = 1, 4
4
√3 √3
故不妨取 (1, )， (1, )，
2 2
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√3
√3
则直线 方程为 = 2 ( + 2) = ( + 2)，
1+2 6
√3
所以 (0, )，
3
√3
√3
直线 方程为 = 2 ( + 2) = ( + 2)，
1+2 6
√3
所以 (0, )，
3
√3
所以 ∣ ∣ = ∣ ∣ = ，
3
√3 √3 1
所以 ∣ ∣ ∣ ∣ = = ．
3 3 3
②若直线 斜率存在，则直线 的方程为 = ( 1)，
= ( 1),
联立 { 2 2 得 (4
2 + 1) 2 8 2 + 4 2 4 = 0，
+ = 1,
4
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
8 2 4 2 4
则 1 + 2 = 2 ， 4 +1 1
2 = 2 ， 4 +1

则直线 方程为 = 1 ( + 2)，
1+2
2
所以 (0, 1 )，
1+2

直线 方程为 = 2 ( + 2)，
2+2
2
所以 (0, 2 )，
2+2
2 2
所以 ∣ ∣= ∣∣ 1 ∣∣ ∣∣，∣ ∣= ∣
∣ 2 ∣∣，
1+2 ∣ 2+2∣
所以
∣ 2 1 2 ∣ ∣ ∣ ∣ = ∣ 2 ∣∣ ∣ 1+2 2+2∣
∣ 4 1 = ∣ 2 ∣∣ ∣ 1 2+2( 1+ 2)+4∣
∣ 4 2( = ∣ 1
1)( 2 1) ∣
∣ ∣ 1 2+2( 1+ 2)+4∣
∣4 2[ 1 = ∣ 2
( 1+ 2)+1]
∣ ∣
∣
1 2+2( 1+ 2)+4 ∣
∣4 2(4 2 4 8 2+4 2+1)= ∣∣
∣
4 2
∣
4+16 2+4(4 2+1) ∣
= ∣
12 2∣
∣∣ 2 ∣36 ∣
1
= .
3
1
即 ∣ ∣ ∣ ∣= ． …… …… 5 分
3
21. （1） 当 = 4 时正整数 的 4 个正约数构成等比数列，
比如 1，2，4，8 为 8 的所有正约数，即 = 8． …… …… 4 分

（2） 由题意可知 1 = 1， = ， 1 = ， 2 = ， 2 3

因为 ≥ 4，依题意可知 3 2 = 1 ，
2 1 1 2

3


所以 2 = 2 ，
2 1 2 3
化简可得 ( 3 2)
2 = ( 22 1) 3，
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2
所以 3 = (
3 2) ，
2 1
因为 3 ∈
，

所以 3 2 ∈ ，
2 1
因此可知 3 是完全平方数．
由于 2 是整数 的最小质因数， 3 是 的因子，且 3 > 2，
所以 23 = 2，
所以 2 1 22 1, 3 2， ， 1 为 2 1， 2 2， ， 2 2 ，
所以 = 12 ，其中 2为质数． …… …… 9 分
（3） 由题意知 +1 = （1 ≤ ≤ ），
2 2 2
所以 = + + + ，
1 2 1 1 2
1 2 1 1 1 1 因为 ≤ = ， ， ≤ 1
1 1
= ，
1 2 1 2 1 2 1 1 1
所以
2 2 2
= + + +
1 2 1 1 2
1 1 1
= 2 ( + + + )
1 2 1
1 2
2 1 1 1 1 1 1≤ ( + + + )
1 2 2 3 1
1 1
= 2 ( ) ,
1
因为 1 = 1， = ，
1 1
所以 < 1，
1
2 1 1所以 ≤ ( ) < 2，
1
即 < 2． …… …… 15 分
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