数学： 1.1.1 《正弦定理》教案（新人教必修5）

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1.1 正弦定理和余弦定理
课标导读:
1.在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系—正弦定理。
2.掌握正弦定理，能初步运用正弦定理解一些斜三角形；
3.能够运用正弦定理解决某些与测量和几何有关的实际问题。
情境导入：
2008年青岛奥帆赛成功举办，在比赛中千百艘帆船如离弦之“箭”射向终点，我们知道帆船航行的动力来源于风力，风对帆船的动力与帆船上成三角形的帆布有直接关系， 那我们怎样借助于数学知识设计出比较好的帆船呢？
新知导学：
1.正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的_______的比相等，即_______。
2.一般地，把三角形的三个角和它们所对的边叫做三角形的 ，已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做 。
3.用正弦定理可解决下列那种问题
1 已知三角形三边；②已知三角形两边与其中一边的对角；③已知三角形两边与第三边的对角；④已知三角形三个内角；⑤已知三角形两角与任一边；⑥已知三角形一个内角与它所对边之外的两边。
诱思探究：
1. 正弦定理除了课本上用几何的方法证明外，和可以用向量的方法进行证明，下面我们以钝角三角形为例进行说明.
解析：在钝角三级形ABC中，如图一中，过A做单位向量j 垂直于，则向量j与为向量j与的夹角为，向量j与的夹角为设ＡＢ=c,BC=a,AC＝ｂ．因为++=0，所以j（++）=j+ j+ j0。
即 + +0.
所以
当为锐角三角形（图二），直角三角形（图三）时，利用同样的方法证得结论。
2. 正弦定理与三角形的外接圆紧密联系，它们之间的具体关系是怎样的？
解析：设三角形ＡＢＣ的外接圆的半径为R，外接圆圆心为O，则有：具体的证明如下：
在下图中，连接CO延长后交圆O于A，则AC=2R，连接AB，则
。在中，BC=a,所以
a=2Rsina=2RsinA .同理可得：b=2RsinB,c=2RsinC.即： 。
3.利用正弦定理体现了三角形中边角之间的关系，那么能否利用正弦定理与三角形的面积有何关系呢？
解析：①
如右图，，所以
所以
即三角形面积公式为：
（R为三角形外接圆半径）
疑难导析：
1.已知两边及其中一边的对角解三角形时，其余的一边两角是否唯一确定呢？情况怎样呢？
解析：在中，已知a,b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线ＡＢ的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表：
（1） A为锐角时：
(2)A为直角或钝角时：
由上可见，已知两边及其中一边的对角解三角形时，其余的一边两角不是唯一确定，可以用下表标：
A为钝角 A为直角 A为锐角
a>b 一解 一解 一解
a=b 无解 无解 一解
absinA 两解
a=bsinA 一解
A1. 在问题1.中我们已经知道已知两边及其中一边的对角解三角形时，其余的一边两角不是唯一确定，那如果已知三角形的任意两角与一边，求其它两边和一角的情况怎样呢？这种情况下会有几解呢？
解析：在三角形ABC中，如果已知A，B和b,那C是唯一确定的，利用正弦定理可以发现a,c只有一解，因此如果已知三角形的任意两角与一边，求其它两边和一角只有一种情况，只有一解。
典例导思:
考查目标一:已知三角形两角及其中一角的对边求解三角形。
典例1.已知：在中，，，，解此三角形。
导拨：在该题中，已知C及c,可以利用正弦定理列出方程进行求解。
解析：由，可得
由，可依次计算出，。
规律总结：已知三角形两角及其中一角的对边求解三角形这种情况只有一种，处理方法主要借助于正弦定理解方程，在求方程的过程中我们要分清角及其角的对边，搞清楚各个量之间的关系。
考查目标二：已知三角形两边及其中一边的对角求解三角形。
典例2.已知下列三角形的两边及其一边的对角，判断三角形的情况，有解的作出解答。
（1）a=7,b=9,A=100 (2)a=10,b=20,A=75
(3)a=10,c=5,C=60 (4)a=2
导拨：已知三角形两边及其中一边的对角求解三角形的有可能有两种情况，具体有几解可以借助于《疑难导析》1中的方法解决。
解析：（1）本题无解。
（2）本题无解。
（3）本题有一个解。
利用正弦定理，可得：
（4）本题有两解。
由正弦定理得：
当
综上所述：
规律总结：已知三角形两边及其中一边的对角求解三角形的有可能有两种情况，具体方法可以借助于下了表格：
A为钝角 A为直角 A为锐角
a>b 一解 一解 一解
a=b 无解 无解 一解
absinA 两解
a=bsinA 一解
A在线拓展：已知：在中，，，，解此三角形。
解析：由
∴当时, ∴
∴当时, ∴。
考察目标三：求三角形面积。
典例3：在的面积。
导拨：已知三角形两边及其一边的对角，由正弦定理来解题。
解析：根据正弦定理有
则C有两解。
（1）当C为锐角时，
（2）当C为钝角时，
所以，的面积为
规律总结：（R为三角形外接圆半径）
公式中需要知道两边及其夹角，在此题目中需要求出A，而对于A有两种情况，因此该三角形的面积有两解。
考查目标四：正弦定理的综合应用。
典例4：如右图，D是直角斜边BC上的一点，AB=AD，记
（1） 证明：sin(2)若AC=，求的值。
导拨：结合已知条件，利用诱导公式找出角及角的三角函数间关系。
解析：（1）证明： sin。
（2） 在三角形ＡDＣ中，由正弦定理可得：
sin
在（1）中sin，
解得：sin
规律总结：正弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观关系，是解三角形的重要工具，它经常与三角函数，平面向量知识在三角形中有密切的联系。
分级导练：
基础巩固：
1．已知△ABC中，a＝4，b＝4，∠A＝30°，则∠B等于(　D )
　　A．30° B．30°或150°
C．60° D．60°或120°
1.答案：D。导析：利用正弦定理直接可以求得，要注意解的个数问题。
2．在△ABC中，若，则与的大小关系为（ A）
）
A. B. C. ≥ D. 、的大小关系不能确定
2.答案：A。 导析：利用正弦定理可得：
3.在中，若，则等于 （ ）
A. B. C. 或 D. 或
3.答案：B。导析：由可得，由正弦定理可知，故可得，故或。
4．已知等腰的腰为底的2倍，则顶角的正切值是 （D　 ）
（A） （B） （C） （D）
4.答案：D。
5．不解三角形，确定下列判断中正确的是 （ ）
A. ，有两解 B. ,有一解
C. ，有两解 D. ，无解
5．答案：B。导析：利用三角形中大角对大边，大边对大角定理判定解的个数可知选Ｂ。
6．已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝120°，则△ABC的面积为( 　).
　　A．9 B．18 C．9 D．18
6.答案：C 。
7.在△ABC中，若 sinA＝，则A＝ ．
7.答案：60°导析： 2sin2A＝3cosA，2（1－cos2A）＝3cosA，（2cosA－1）（cosA＋2）＝0，
cosA＝2 （舍）, ∴cosA＝，A＝60°.∴A＝60°．
8.在中，,，则（ ）
A. B. C. D.
8．答案：D导析：由比例性质和正弦定理可知。
9．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边长分别为a，b，c．若sinA:sinB:sinC=5:7:8，则a:b:c= ．
9.答案：5：7：8
10．一船以每小时15km的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔B在北偏东，行驶４h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东，这时船与灯塔的距离为 ______km．
10.答案： 。
11．在中，已知,解此三角形。
11．解析：由正弦定理，即，解得，
因为，所以或，
当时，，为直角三角形，此时；
当时，，，所以。
12.在中，，，，求tanA的值和ΔABC的面积．
12.解析：先解三角方程，求出角A的值．
又,
能力提升：
13．在中，已知，则等于 （ ）
A. B. C. D.
13.答案：B。导析：由正弦定理可得，带入可得，由于，所以，，又由正弦定理带入可得。
14．在中，已知，，则的形状是（ ）
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
14．解析：由可得，所以，即或，
又由及可知，所以为等腰三角形。
15． 若的内角满足，则 （ D ）
A． B C D
15.答案：D
16. △ABC中，若b＝2a，B＝A＋60°，则A＝ ．
16.答案： 30°。导析：由b＝2a得sinB＝2sinA，又B＝A＋60°,∴sin(A＋60°)＝2sinA
∴sinAcos60°＋cosAsin60°＝2sinA,∴sinA＝cosA，∴,
又0°＜A＜180°，∴A＝30°．
17. 在ABC中，设，求A的值。
17. 解析：根据正弦定理：
18.的三个内角为，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值．
18.解析： 由A+B+C=π, 得 = － , 所以有cos =sin .cosA+2cos =cosA+2sin =1－2sin2 + 2sin =－2(sin － )2+ ,当sin = , 即A=时, cosA+2cos取得最大值为.
探究拓展：
19. 在中，角A，B，C的对边分别是a,b,c若a+c=2b,
求证：2cos
解析：证明：由正弦定理可得：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC
20．在△ABC中， A、B、C成等差数列，b＝1，求证：1＜a＋c≤2．
20.解析：证法一:由正弦定理：得
［sinA＋sin(120°－A)］＝2sin(A＋30°)
∵0°＜A＜120°，∴30°＜A＋30°＜150° ∴1＜2sin(A＋30°)≤2．
证法二 ∵B＝60°，b＝1,∴a2＋c2－b2＝2accos60° ∴a2＋c2－1＝ac，∴a2＋c2－ac＝1,∴(a＋c)2＋3(a－c)2＝4 ∴(a＋c)2＝4－3(a－c)2,∵0≤a－c＜1 ∴0≤3(a－c)2＜3,∴4－3(a－c)2≤4 即(a＋c)2≤4,∴a＋c≤2， 又a＋c＞1 ∴1＜a＋c≤2.
A
B
C
图一
C
B
A
C
B
A
图二
图三
j
j
j
a
C
b
B
C
A
b
B
A
a
C
A
B EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
b
a
B
C
b
B
A
a
ab>a>bsinA
ab
a=bsinA
C
a
b
C
C
B
A
C
a
a EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
b
a>b
A
B
C
D
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