1.1.1变化率问题学案
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1.1.1变化率问题学案
【学习目标】理解函数平均变化率的概念，会求已知函数的平均变化率。
【学习重点】通过实例，让学生明白变化率在实际生活中的需要，探究和体验平均变化率的实际意义和数学意义；
1. 掌握平均变化率的概念，体会逼近的思想和用逼近的思想思考问题的方法；
【学习难点】平均变化率的概念．
【自学点拨】
一．阅读章引言，并思考章引言写了几层意思？
二、问题提出
问题1气球膨胀率问题：
气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是__________.
如果将半径r表示为体积V的函数,那么___________.
1 当V从0增加到1时,气球半径增加了___________.
气球的平均膨胀率为___________.
2 当V从1增加到2时,气球半径增加了___________.
气球的平均膨胀率为___________.
可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．
思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少 ___________.
问题2 高台跳水问题：
在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在怎样的函数关系？
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系___________.
）如何计算运动员的平均速度？并分别计算０≤t≤０.5，1≤t≤2，1.8≤t≤2，2≤t≤2.2，时间段里的平均速度.
思考计算：和的平均速度
在这段时间里，___________.；
在这段时间里，___________.
探究：计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考以下问题：
⑴运动员在这段时间内使静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，，
所以___________.，
虽然运动员在这段时间里的平均速度为，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．
（1）计算和思考，展开讨论；
（2）说出自己的发现，并初步修正到最终的结论上.
（3）得到结论是：①平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某一刻的运动状态. ②需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态；
（二）平均变化率概念:
1．上述问题中的变化率可用式子 表示, 称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
2．若设, (这里看作是对于x1的一个“增量”可用x1+代替x2,同样)
3． 则平均变化率为___________.
思考：观察函数f(x)的图象
平均变化率表示什么
（1） 一起讨论、分析，得出结果；
（2） 计算平均变化率的步骤：①求自变量的增量Δx=x2-x1；②求函数的增量Δf=f(x2)-f(x1)；③求平均变化率.
注意：①Δx是一个整体符号，而不是Δ与x相乘；
②x2= x1+Δx；
③Δf=Δy=y2-y1；
三．典例分析
例1．已知函数f(x)=的图象上的一点及临近一点,则 ．
解：
例2． 求在附近的平均变化率。
解：
四．课堂练习
1．质点运动规律为，则在时间中相应的平均速度为 ．
2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.
3.过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率.
五．回顾总结
六．补充实例
例１ 在经营某商品中，甲挣到10万元，乙挣到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？
变式：在经营某商品中，甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？
例２ 情境：现有南京市某年3月和4月某天日最高气温记载.
时间 3月18日 4月18日 4月20日
日最高气温 3.5℃ 18.6℃ 33.4℃
观察：3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度变化，用曲线图表示为：
七．作业
①看书，复习今天内容；②思考问题：如何能更精细地刻画运动员的运动状态？需要增加什么量？③预习下节内容.
h
t
o
x1
x2
O
y
y=f(x)
f(x1)
f(x2)
△y =f(x2)-f(x1)
x
△x= x2-x1
20
30
34
2
10
20
30
0
温度T (℃)
2
10
时间t（d）
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1.1.1变化率问题学案
【学习目标】理解函数平均变化率的概念，会求已知函数的平均变化率。
【学习重点】通过实例，让学生明白变化率在实际生活中的需要，探究和体验平均变化率的实际意义和数学意义；
1. 掌握平均变化率的概念，体会逼近的思想和用逼近的思想思考问题的方法；
【学习难点】平均变化率的概念．
【自学点拨】
一．阅读章引言，并思考章引言写了几层意思？
二、问题提出
问题1气球膨胀率问题：
气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是__________.
如果将半径r表示为体积V的函数,那么___________.
1 当V从0增加到1时,气球半径增加了___________.
气球的平均膨胀率为___________.
2 当V从1增加到2时,气球半径增加了___________.
气球的平均膨胀率为___________.
可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．
思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少 ___________.
问题2 高台跳水问题：
在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在怎样的函数关系？
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系___________.
）如何计算运动员的平均速度？并分别计算０≤t≤０.5，1≤t≤2，1.8≤t≤2，2≤t≤2.2，时间段里的平均速度.
思考计算：和的平均速度
在这段时间里，___________.；
在这段时间里，___________.
探究：计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考以下问题：
⑴运动员在这段时间内使静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，，
所以___________.，
虽然运动员在这段时间里的平均速度为，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．
（1）计算和思考，展开讨论；
（2）说出自己的发现，并初步修正到最终的结论上.
（3）得到结论是：①平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某一刻的运动状态. ②需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态；
（二）平均变化率概念:
1．上述问题中的变化率可用式子 表示, 称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
2．若设, (这里看作是对于x1的一个“增量”可用x1+代替x2,同样)
3． 则平均变化率为___________.
思考：观察函数f(x)的图象
平均变化率表示什么
（1） 一起讨论、分析，得出结果；
（2） 计算平均变化率的步骤：①求自变量的增量Δx=x2-x1；②求函数的增量Δf=f(x2)-f(x1)；③求平均变化率.
注意：①Δx是一个整体符号，而不是Δ与x相乘；
②x2= x1+Δx；
③Δf=Δy=y2-y1；
三．典例分析
例1．已知函数f(x)=的图象上的一点及临近一点,则 ．
解：
例2． 求在附近的平均变化率。
解：
四．课堂练习
1．质点运动规律为，则在时间中相应的平均速度为 ．
2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.
3.过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率.
五．回顾总结
六．补充实例
例１ 在经营某商品中，甲挣到10万元，乙挣到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？
变式：在经营某商品中，甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？
例２ 情境：现有南京市某年3月和4月某天日最高气温记载.
时间 3月18日 4月18日 4月20日
日最高气温 3.5℃ 18.6℃ 33.4℃
观察：3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度变化，用曲线图表示为：
七．作业
①看书，复习今天内容；②思考问题：如何能更精细地刻画运动员的运动状态？需要增加什么量？③预习下节内容.
h
t
o
x1
x2
O
y
y=f(x)
f(x1)
f(x2)
△y =f(x2)-f(x1)
x
△x= x2-x1
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