北京市北京师范大学附属实验中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（PDF版无答案）

北师大附属实验中学 2023-2024 学年度第二学期期中试卷
高二年级数学
班级 姓名 学号 成绩
1．本试卷共 4 页，共五道大题，24 道小题，答题卡共 8 页，满分 150 分，
考 考试时间 120 分钟.
生 2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号.
须 3．试卷答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效.
知 4．在答题卡上，选择题须用 2B 铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色
字迹签字笔作答.
命题人：李桂春 于大哲 高华文 审题人： 黎栋材
第Ⅰ卷（共 100 分）
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
1． 2 与8的等差中项是
(A) 5 (B) 5 (C) 4 (D) 4
2．函数 f (x) (x 2)e x 的单调递增区间是
(A) ( ,1) (B) ( ,2) (C) (2, ) (D) (1, )
3．数列1， 3， 5 ， 7 ，9 ，……的一个通项公式为
(A) a ( 1)n (1 2n) (B) an 2n 1n
(C) an ( 1)
n (2n 1) (D) an ( 1)
n (2n 1)
4．等差数列{an}的公差不为零，首项 a1 1，a2 是 a1和 a5 的等比中项，则数列的前10 项
之和是
(A) 90 (B) 100 (C) 145 (D) 190
5．已知某生产厂家的年利润 y （单位：万元）与年产量 x（单位：万件）的函数关系式
1
为 y x3 81x 234 ，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为
3
(A) 7 万件 (B) 8万件 (C) 9 万件 (D) 11万件
6．设{an}是无穷等差数列，且公差不为零，其前 n项的和为 Sn ，则“ n
*
N ,Sn 1 Sn ”
是“{an}为递增数列”的
(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件
(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件
2
7．设函数 f x 2x alnx在 1,2 上单调递减，则实数a的取值范围是
x
(A) [4,5] (B) (5, ) (C) [4, ) (D) [5, )
1
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1 1 m
8．已知m,n (2,e)，且 ln ，则
n2 m2 n
(A) m n (B) m n
1
(C) m 2 (D) m,n 大小关系不确定
n
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）
9．已知 f (x) mex x2 ，若 f '(x)为奇函数，则m ．
10．已知 a,b为非零常数，函数 f (x) ax4 1 2bcos x, 则 f '(1) f '( 1) ．
11．若数列{a } 满足： a 1,a 2a (n N *n 1 n 1 n ) ，则 a ；前 8 项的和5
S8 ．（用数字作答）
12 ．在等差数列 {an} 中， 3(a3 a5 ) 2(a7 a10 a13 ) 24 ，则此数列前 1 3 项之和
为 ．
13．斐波那契数列又称“黄金分割数列”，因数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子
而引入，故又称为“兔子数列”．此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着
广泛的应用．斐波那契数列{an}可以用如下方法定义：
an an 1 an 2 (n 3，n
*
N ) ，a1 a2 1．若此数列各项除以 4 的余数依次构成一个新
数列{bn}，则b2024 ．
x
14．若曲线 y (x a)e 有两条过坐标原点的切线，则实数a 的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共 3 小题，共 30 分）
15．（本小题满分 10 分）
等比数列{an}的前 n项和为 Sn ，已知 S ,S ,S 成等差数列． 1 3 2
(Ⅰ)求{an}的公比 q ；
(Ⅱ)若 a1 a S3 3，求 n ．
16．（本小题满分 10 分）
已知函数 f x x3 x, g x 2x 3 ．
(Ⅰ)求函数 f (x) 在 0,2 上的最大值；
(Ⅱ)求证：存在唯一的 x0 ，使得 f x0 g x0 ．
2
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17．（本小题满分 10 分）
1 ln x
已知函数 f (x) ．
x
1
(Ⅰ)若函数在区间 (a,a ) (a 0)上存在极值，求实数 a的取值范围；
2
k
(Ⅱ)如果当 x 1时，不等式 f (x) 恒成立，求实数 k 的取值范围．
x 1
第Ⅱ卷（共 50 分）
四、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）
18．曲线 y lnx在点 1,0 处的切线方程为___________．

19．已知函数 f (x) cos(2x )

， f '(x)是 f (x) 的导函数，则 f '( ) ．
6 6
20．设等差数列 a 的前 n项和为 S ，若n n S6 S S ，则满足 S S 的正整数 n 的值7 5 n n 1 0
为 ．
na2
21．已知正项数列 a a 1,a n 1n 满足 1 n ，则在下列四个结论中，
nan 1 1
5 1
① a ； ② an 是递增数列； 2
2
1 n 1
③ an 1 an ； ④ an 1 1 ．
n 1 k 1 k
其中所有正确结论的序号是 ．
五、解答题（本大题共 3 小题，共 34 分）
22．（本小题满分 10 分）
已知数列 a n *n 的前 项和为 Sn , n N ，从条件①、条件②和条件③中选择两个作为
已知，并完成解答：
(Ⅰ)求数列 an 的通项公式；
(Ⅱ)设等比数列 bn 满足b2 a4 ，b3 a7 ，求数列 an bn 的前 n项和Tn ．
条件①： a1 3； 条件②： an 1 an 2 ； 条件③： S2 4 ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
3
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23．（本小题满分 12 分）
x2 4a 1
已知函数 f x (1 2a)x ln(2x 1)，a 0 .
2 2
(Ⅰ)已知函数 f x 在 x 2处取得极小值，求a 的值；
(Ⅱ)讨论函数 f x 的单调区间；
1 1 1 2
(Ⅲ)当a 时，存在 x0 ( , )， f (x0 ) 2a ，求实数a 的取值范围.
4 2 2
24．（本小题满分 12 分）
对于给定的正整数m 和实数 a，若数列 an 满足如下两个性质：
① a1 a2 am a ；
②对任意的 n *N , an m an ．则称数列 an 具有性质 Pm (a)
(Ⅰ)若数列 an 具有性质 P2 (1) ，求数列 a 10n 的前 项和；
(Ⅱ)对于给定的正奇数 t ，若数列 an 同时具有性质 P4 (4) 和 Pt (t) ，求数列 an 的通项公
式；
(Ⅲ)若数列 an 具有性质 Pm (a) ，求证：存在自然数 N ，对任意的正整数 k ，不等式
aN 1 aN k a 均成立．
k m
4
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