6.1平面向量的概念 课件(共35张PPT)数学人教A版（2019）必修第二册

(共35张PPT)
第六章
平面向量及其应用
向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题。
向量不同于数量，它是一种新的量，关于数量的代数运算在向量范围内不都适用。因此，本章在介绍向量概念时，重点说明了向量与数量的区别，然后又重新给出了向量代数的部分运算法则，包括加法、减法、实数与向量的积、向量的数量积的运算法则等。之后，又将向量与坐标联系起来，把关于向量的代数运算与数量(向量的坐标)的代数运算联系起来，这就为研究和解决有关几何问题又提供了两种方法——向量法和坐标法。
本章共分五大节。第一节是“平面向量的实际背景及基本概念”，内容包括向量的物理背景与概念、向量的几何表示、相等向量与共线向量。
本节从物理学中的位移、力这些既有大小又有方向的量出发，抽象出向量的概念，并重点说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念。
在“向量的物理背景与概念”中介绍向量的定义；在“向量的几何表示”中，主要介绍有向线段、有向线段的三个要素、向量的表示、向量与有向线段的区别与联系、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量；在“相等向量与共线向量”中，主要介绍相等向量，共线向量定义等。
6.1平面向量的概念
一、向量的实际背景
向量，最初被应用于物理学。很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量。
大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到。
“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段。最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿。
O
B
A
湖面上有三个景点O,A,B,一游艇将游客从景点O送至景点A,半小时后,游艇再将游客送至景点B.
1.在物理中，位移与路程是同一个概念吗？为什么？
向量的实际背景与概念
2.物体受到的重力、物体在液体中受到的浮力, 被拉长或压缩的弹簧的弹力…力是常见的物理量，也是既有大小又有方向的量.
创设情境
老鼠为什么认为猫是“傻猫”
猫的速度再快也没用，因为方向错了。
50m/s
10m/s
傻猫
故事：南辕北辙　——《战国策》
战国后期，魏国国力渐衰,可是魏王想出兵攻伐赵国.谋臣季梁前来劝阻伐赵。季梁为了打动魏王，来了个现身说法。季梁说：“今天我在来此的路上，遇见一个人坐车朝北而行，告诉臣说‘我想要去楚国。’臣说‘楚国在南方，为什么要朝北走？’那人的回答是：‘我的马好，跑得快。’‘我的路费多着呢。’‘我的马夫最会赶车。’
结果：那人离楚国越来越远。
结果怎么样了？
以上两则故事，告诉我们什么道理？
找准方向+看到差距+努力=成功
这两件事告诉我们，不管是治理国家，还是抓一只小老鼠，做任何事，都要首先看准方向，才能充分发挥自己的有利条件；
如果方向错了，那么有利条件只会起到相反的作用。
导入新知
一、向量的概念
①向量的要素是什么
②向量就是数量吗 向量之间能否比较大小
大小
方向
数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、能比较大小；
向量具有大小和方向这双重要素，由于方向不能比较大小，故向量不能比较大小.
想一想
位移和距离这两个量有什么不同？
位移既有大小又有方向
距离只有大小没有方向
向量
数量
一条小船从A地出发，向西北方向航行15km到达B地，可以用什么方式表示小船的位移？
北
东
A
B
由于数量可以用实数表示，而实数与数轴上的点一一对应，所以数量可用数轴上的点表示，那么，向量该如何表示呢？
探索新知
二、向量的表示方法：
(1)几何表示法：有向线段.
有向线段——具有一定方向的线段.
以A为起点、B为终点的有向线段，记为
A（起点）
B(终点)
向量:与起点无关.用有向线段表示向量时,起点可以取任意位置.数学中的向量也叫自由向量.
向量的模
向量 的大小，就是向量 的长度，称为向量的模，记作 .
1. 向量 的模 ；
2.向量不能比大小，但是 可以比大小；
3.两个特殊向量： 、
有向线段的三个要素：起点、方向、长度
如图：有向线段AB与有向线段CD是否能代表同一条有向线段吗
1.若有向线段的起点不同,则有向线段不同
2.有向线段与向量是两个不同的概念
B
A
D
C
(2）字母表示法：
用a、b、c等小写字母表示；
或用表示有向线段的起点和终点字母表示,如a.
思考：向量 与向量 是不是同一向量 为什么
(3)模的概念：向量 的大小即向量的长度称为向量的模.记作：
零向量---长度(模)为0的向量叫做零向量，记作 。
单位向量---长度（模）等于1个单位长度的向量叫作单位向量。
说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.
问：在平面上把所有单位向量的起点平移到同一点P，那么它们的终点的集合组成什么图形？
方向任意
向量就是有向线段吗？
（1）有向线段 ——>
三要素：起点、大小、方向
（2）向 量 ——>
两要素：大小、方向
（2）相等向量：
长度相等且方向相同向量.
A1
B1
A3
B3
A4
B4
A2
B2
2.零向量与零向量相等
3.任意两个相等的非零向量，
都可用同一条有向线段来表示，
并且与有向线段的起点无关。
1.若向量 与 相等，则记为
（1）平行向量：
① 方向相同或相反的非零向量.
向量 与 平行，记作
② 规定：零向量与任一向量平行，
即 ( 为任意向量)
（2）共线向量：
任一组平行向量都可移到同一条直线上 ，所以平行向量也叫共线向量。
一切向量都可以在不改变它大小和方向的前提下，将它平移到任何位置。
（3）相反向量：
长度相等且方向相反的向量.
的相反向量记作
（4）相等向量：
长度相等且方向相同的向量.
向量 与向量 相等
判断下列向量的概念是否正确
(1) 若向量a和向量b都是单位向量，则a=b （ ）
(2) 零向量和任何向量平行 （ ）
(3) 相反向量一定共线 （ ）
(4) 共线向量一定相等 （ ）
(5) 若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是平行向量 （ ）
(6) 零向量没有相反向量 （ ）
(7) 平行于同一个向量的两个向量是平行向量 （ )
(8) 若向量a和向量b不共线，则两个向量不平行 （ ）
×
×
×
√
×
√
√
×
例1．如图，设O 是正六边形 ABCDEF 的中心，分别写出图中与向量 相等的向量．
（1）向量 与 相等吗
（2）与向量 长度相等的向量有多少 个？
（3）与向量 共线的向量有哪几个？
不相等
11
（3）向量的表示方法：
一般可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如
若表示向量的有向线段没有标注起点和终点字母，向量也可用黑体字母a，b，c，…（书写时用注意用 表示）.
A
B
已知向量 如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A.向量 可以用 表示
B.向量 的方向是由M指向N
C.向量 的起点是M
D.向量 的终点是M
M
N
例题讲解
D
向量 的大小，就是向量 的长度（或称模）,记作 ，
或者记作 .
（4）向量的模
思考：向量的模可以为0吗？可以为1吗？可以为负数吗？
零向量：长度为0的向量，记作 .
单位向量：长度等于1个单位的向量.
说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小， 不确定方向. 故零向量的方向是任意的，单位向量的方向具体而定.
注意：向量是不能比较大小的,但向量的模（是正数或零）是可以进行大小比较的.
有意义
没有意义
模相等，方向相同； 模相等，方向不相同；
模不相等，方向相同； 模不相等，方向不相同；
思考1：向量由其模和方向所确定.对于两个向量 ，就其模等与不等，方向同与不同而言，有哪几种可能情形？
三.相等向量与共线向量
规定：零向量与任一向量平行
（1）平行向量：方向相同或相反的非零向量.
向量 与 平行，记作
探究一 向量的有关概念
例1 下列说法正确的有 。（填序号）
①若 ，则 或 ；
②若向量 与 是共线向量，则A,B,C,D四点必在同一条直线上；
③向量 与 是平行向量；
④任何两个单位向量都是相等向量。
③
例题讲解
O
北
探究二 平面向量的表示
例2 如图所示，在坐标纸上（每个小方格的边长均为1），用直尺和圆规画出下列向量：
（1） ，使 ，点A在点O北偏东 方向；
（2） ，使 ，点B在点A正东方向；
（3） ，使 ，点C在点B北偏东 方向。
例题讲解
某人从点A出发向东走了5米到达点B，然后改变方向按东北方向走了 米到达点C，到达点C后又改变方向向西走了10米到达点D。
（1）作出向量 ；
（2）求 的模。
O
北
变式训练
探究三 相等向量与共线向量
例3 如图，四边形ABCD为边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作向量，则与 平行且长度为 的向量有 个。
8
A
B
C
D
例题讲解
2、本例中的条件不变，如图，与 相等的向量有多少个？
延伸探究
1、本例中的条件不变，与 同向且长度为 的向量有几个？
4
8
A
B
C
D
O
A
B
C
D
易错辨析
典例 已知下列说法：
①若 ，则 为零向量；
②若 ,则 ；
③共线的单位向量是相等向量；
④两个有共同起点，而且相等的向量，其终点必相同.
其中正确的有 （ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
B
例题讲解