重庆市荣昌中学校2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题(含答案)

重庆市荣昌中学校2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题
全卷满分150分,考试时间120分钟.
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.某学校开设5门球类运动课程、6门田径类运动课程和3门水上运动课程供学生学习,某位学生任选1门课程学习,则不同的选法共有( )
A.90种 B.30种 C.14种 D.11种
2.二项式的各项系数之和为( )
A.512 B. C.2 D.
3.若函数,则( )
A.0 B. C. D.
4.从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛,不同的组合方法种数为( )
A. B. C. D.
5.某位同学家中常备三种感冒药,分别为金花清感颗粒3盒、莲花清瘟胶囊2盒、清开灵颗粒5盒.若这三类药物能治愈感冒的概率分别为,他感冒时,随机从这几盒药物里选择一盒服用,则感冒被治愈的概率为( )
A. B. C. D.
6.已知(为常数)在上有最大值3,则函数在上的最小值为( )
A.-3 B.-5 C.-37 D.-39
7.质数(prime number)又称素数,一个大于1的自然数,除了1和它本身外,不能被其他自然数整除,则这个数为质数,数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”.如:3和5,5和,在1900年的国际数学大会上,著名数学家希尔伯特提出了23个问题,其中第8个就是大名鼎鼎的孪生素数猜想:即存在无穷多对孪生素数.我国著名数学家张益唐2013年在《数学年刊》上发表论文《素数间的有界距离》,破解了困扰数学界长达一个半世纪的难题,证明了孪生素数猜想的弱化形式.那么,如果我们在不超过30的自然数中,随机选取两个不同的数,记事件“这两个数都是素数”;事件“这两个数不是孪生素数”,则( )
A. B. C. D.
8.已知函数,若不等式在上恒成立,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知定义域为的函数的导函数为,且的图象如图所示,则( )
A.函数在区间上单调递增 B.函数在上单调递减
C.函数在处取得极小值 D.函数在处取得极大值
10.甲罐中有5个红球,5个白球,乙罐中有3个红球,7个白球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,再从乙罐中随机取出一球.设“从甲罐取出的球是红球”,“从甲罐取出的球是白球”,“从乙罐取出的球是红球”.则下列结论正确的是( )
A.为对立事件 B.
C. D.
11.设函数,则( )
A.当时,直线不是曲线的切线
B.当时,函数有三个零点
C.若有三个不同的零点,则
D.若曲线上有且仅有四点能构成一个正方形,则
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知函数在点处的切线方程为,则_______________.
13.若,则________.
14.已知A,B分别是函数和图象上的动点,若对任意的,都有恒成立,则实数的最大值为______________.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知函数,且.
(1)求函数的图象在点处的切线方程;
(2)求函数的单调区间.
16.(15分)在的展开式中,
(1)求二项式系数最大的项;
(2)若第项是有理项,求的取值集合;
(3)系数的绝对值最大的项是第几项.
17.(15分)如图,在四棱锥中,四边形ABCD是正方形,是等边三角形,平面平面分别是棱的中点.
(1)证明:BE//平面PDF；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
18.(17分)已知椭圆的上、下顶点分别为,点在上,且.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设坐标原点为,若不经过点的直线与相交于两点,直线与的斜率互为相反数,当的面积最大时,求直线MN的方程.
19.(17分)英国数学家泰勒发现了如下公式:其中为自然对数的底数,.以上公式称为泰勒公式.设,根据以上信息,并结合高中所学的数学知识,解决如下问题.
(1)证明:;
(2)设,证明:;
(3)设,若是的极小值点,求实数的取值范围.
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数学试题解析
全卷满分150分，考试时间120分钟.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.C 2.B 3.A 4.B 5.C 6.C 7.D 8.D
8.【答案】D
【解析】由于函数,定义域为,满足,得是奇函数,且在上为增函数.
在上恒成立,
在上恒成立,
在上恒成立,在上恒成立.
令,则,
当时,,故在上单调递减,
当时,在上单调递增,
,即的取值范围为,
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.BC 10.AB
11.【答案】BCD
【解析】当时,,则,则,
则曲线在点处的切线方程为,故选项错误.
当时,,则,
当和时,单调递增,时,单调递减.
又因为,结合三次函数的图像特征,此时,有三个零点,故选项正确.
设的三个零点分别为,
则有,
展开后比对含项的系数,可得,故选项正确.
当时,易知在上单调递增,
结合图像知不符合题意,故.
因为,
因此函数的图像关于点成中心对称图形.
则此正方形必以为中心,
不妨设正方形的四个顶点分别为
其中一条对角线AC的方程为,则,
即,解得,则,
同理可得.
由得,
根据题意,方程只有一个正解,当时,显然不成立.
故,则,
因为,则,设,则.设,
根据题意,只需要直线与函数的图像只有唯一的公共点即可.
结合双勾函数的图像可得,解得.所以选项正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.0 13.2555
14.【答案】
【解析】点到直线的距离,
则
又
由知,和在上单调递增,
所以在上单调递增,其值域为,
又,令,
令,
当时,,当时,,
所以函数在上单调递减,在上单调递增,
所以,
所以,
因为对任意的,都有恒成立,所以,
所以实数的最大值为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.【答案】(1)
(2)单调递增区间为,单调递减区间为
【解析】(1)由已知可得,
所以,解得,
所以,所以.
根据导数的几何意义可知函数的图象在点处的切线斜率,
所以切线方程为,即.
(2)由(1)知.
令,得或.
解可得,或,
所以在上单调递增,在上单调递增;
解可得,,所以在上单调递减.
所以的单调递增区间为,单调递减区间为.
16.【答案】(1)
(2)
(3)第6项和第7项
【解析】(1),
二项式系数最大的项为中间项,即第5项,
所以;
(2),
当为整数时为有理项,即,
则的取值集合为;
(3)设第项的系数的绝对值最大,
则,所以,解得,
故系数的绝对值最大的项为第6项和第7项.
17.
【解析】(1)因为是等边三角形,是AB的中点,
所以,
又平面平面ABCD,平面平面平面PAB,所以平面ABCD,底面ABCD是正方形,如图,以为原点建立空间直角坐标系,不妨令,
则,
所以,设平面PDF的法向量为,则,令,可得,
所以,即,又平面PDF,
所以平面PDF；
(2)因为
所以,
设平面PBC的法向量为,
则,令,可得,
又平面PDF的一个法向量为,
所以,
所以平面PBC与平面PDF夹角的余弦值为.
18.【解析】(1)由题意椭圆的上、下顶点分别为,故,点在上,故,又,即,即,解得,
结合可得,
故椭圆的标准方程为.
(2)由题意知直线PM斜率存在,故设为,
则直线PM的方程为,联立,可得,
由题意知该方程有一根为,设,
则,
则,
因为直线PM与PN的斜率互为相反数,设,故以代换,
可得,
由题意可得,故,
所以直线MN的斜率为,
即直线MN的斜率为,则设其方程为,联立,
可得,需满足,
则,
故,
原点到直线MN的距离为,
故的面积为
,
当,即时,的面积取到最大值,
此时直线MN的方程.
19.【解析】(1)设,则.
当时,；当时,,
所以在上单调递减,在上单调递增.
因此,,即.
(2)由泰勒公式知,①
于是,②
由①②得
所以
即
则,设.
由基本不等式知,,当且仅当时等号成立.
所以当时,,所以在上单调递增.
又因为是奇函数,且,
所以当时,;当时,.
所以在上单调递减,在上单调递增.
因此,是的极小值点.
下面证明:当时,不是的极小值点.
当时,,
又因为是上的偶函数,且在上单调递增,所以当时,.
因此,在上单调递减.
又因为是奇函数,且,
所以当时,;当时,.
所以在上单调递增,在上单调递减.
因此,是的极大值点,不是的极小值点.
综上,实数的取值范围是.