山东省德州市复习学案及解答(必修四第二章向量)

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第二章平面向量
第一节平面向量的概念、加、减、数乘运算
一、考试要求：
1、了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何意义。
2、掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义。
3、掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义。
4、了解向量的线性运算性质及其几何意义。
二、知识梳理：
（3） 向量是既有大小又有________的量，向量常用_______线段来表示，向量的长度记作_______,长度为零的向量叫做__________，记作______,长度等于1的向量叫做____________;方向相同或相反的向量叫______________,也叫______________,长度相等，方向相同的向量叫______________。
（4） 向量的加法是由几何作图定义得向量可由__________法则或__________法则作得。
（5） 实数与向量的积是一个向量，记作______，它的长度和方向规定如下：①；②当>0时，与的方向_______，当<0时，与的方向_______，当=0时，=____
（6） 向量与共线的充要条件是_________________________________(其中)
三、基础练习：
1、 下面的几个命题：①若；②长度不等且方向相反的两向量不一定是共线向量；
③若满足且与同向，则；④由于方向不定，故不能与任何向量平行；⑤对于任意向量必有
其中正确命题的序号是：（ ）
A、①②③ B、⑤ C、③⑤ D、①⑤
2、 在正六边形ABCDEF中，O为其中心，则
A、 B、 C、 D、
3、如图所示，D、E、F分别是△ABC的边，AB、BC、CA的中点,则＝( )
A. B.
C. D.
4．(07福建卷)对于向量，，和实数，下列命题中真命题是（　　）
Ａ．若=0，则或 Ｂ．若，则或
Ｃ．若，则或 Ｄ．若，则
5．(07湖南卷) 若是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
6、如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是DC、BC中点，
已知，用c、d表示＝ ， 。
7、设是两个不共线向量，则向量与向量共线的充要条件是
四、典型例题：
1.设两个非零向量与不共线
（1）、若求证A、B、D三点共线
（2）、试确定实数的值，使向量与共线。
2.如图，D、E是△ABC中AB、AC的中点，M、N分别是DE、BC的中点，已知，试用a、b分别表示
3.已知存在非零实数λ、μ，且λ+μ＝1，使，求证：的终点A、B、C共线。
五、自我测评：
1.（2006，山东） 设向量a=（1，－3），b＝（－2，4），若表示向量4a，3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c= .
2. 已知e1、e2是平面内一组基底，下列四组向量中，不能作为一组基底的是（ ）
A.e1+e2，e1－e2 B.3e1－2e2，4e1－6e2 C.e1+2e2 D.e2，e1+e2
3.下列命题：
①若与为非零向量，且//时，则必与或中之一的方向相同；
②若为单位向量，且，则；
③若与共线，又与共线，则与必共线；
④若平面内四点A、B、C、D，则必有
正确的命题个数是（ ）
A、1 B、2 C、3 D、0
4、等于（ ）
A、 B、 C、 D、
5．(07年安徽卷)在四面体O-ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，则= （用a，b，c表示）.
6.一条渔船距对岸4km,以2km/h速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为8km，求河水的流速。
六、课后练习：
1、已知向量，且则一定共线的三点是（ ）
（A）、A、B、D （B）、A、B、C （C）、B、C、D （D）、A、C、D
2、已知向量且，则
A、 B、 C、 D、
3、 已知则是A、B、C三点构成三角形的（ ）
A、充分不必要条件； B、必要不充分条件；
C、充要条件； D、既不充分也不必要条件。
4、O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，，点O是△ABC的（ ）
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
5、已知向量若与共线，则（ ）
A、 B、 C、 D、或
6、若则（用表示）
7、已知，且，则其中与方向的夹角是，与的夹角是
8、若非零向量满足则与所成角的大小为
9、已知在△ABC中，D、E、F分别是BC、CA、AB的中点，求证：
（1）、 （2）、 （3）、
10、已知△OAB中，点C是以A为中心的B的对称点，D是将分成2：1的一个内分点，DC与OA交于E，设.
（1）用a与b表示；
（2）若，求实数λ的值。
七、数学快餐
1.下列命题中，真命题的个数为( )
①方向相同 ②方向相反
③有相等的模 ④方向相同
A.0 B.1 C.2 D.3
2．(07年全国II) 在中，已知是边上一点，，则（ ）
A． B． C． D．
3.设e1、e2是两个不共线的向量，则向量m=-e1+ke2(k∈R)与向量a=e2-2e1，共线的充要条件是( )
A.k=0 B.k=1 C.k=2 Dk=
4.已知正方形ABCD边长为1，，则a+b+c的根等于( )
A.0 B.3 C. D.
5.两个非零向量相等是两个向量相等的 条件。
6.如图所示，已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶
点A、B、C的向量为r1、r2、r3 ，则=
7．（07浙江卷）若非零向量、满足｜一｜＝｜｜，则
(A) ｜2｜＞｜一2｜ (B) ｜2｜＜｜一2｜
(C) ｜2｜＞｜2一｜ (D) ｜2｜＜｜2一｜
第二节平面向量的分解与坐标运算
一、考试要求：
1、了解平面向量的基本定理及其意义。
2、掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。
3、会用坐标表示平面向量的加、减法、数乘运算。
4、理解用坐标表示的平面向量共线的条件。
二、知识梳理
1、平面向量基本定理：如果和是一平面内的两个_______的向量，那么该平面内的任一向量，存在______的一对实数，，使 。不共线向量，叫做表示这平面内所有向量的一组_______，记为。叫做向量关于基底的分解式。
(1) 向量的正交分解：如果基底的两个基向量和互相______,则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫__________。
3、向量的直角坐标：，叫向量在x轴上的坐标分量, 叫在y轴上的坐标分量.
4、向量的直角坐标运算:
（1）若,.则+=_______,=_______,=________,// ()的充要条件是_______ .
（2）已知点A,B,则=____________________
5、直线1的向量参数方程式：__________________。
三、基础训练
1、若向量与相等，且A（1，3），B（2，4），则x为（ ）
A．1 B. 1或4 C.0 D.-4
2、下列说法中正确的是（ ）
①一个平面内只有一对不共线的向量可作为基底
②两个非零向量平行，则它们所在直线平行
③零向量不能作为基底中的向量
④两个单位向量的数量积等于零
A.①③ B.②④ C.③ D.②③
3.把函数y=ex的图像按向量a=(2，3)平移，得到y=f(x)的图像，则f(x)=( )
A.ex-3+2 B.ex+3-2 C.ex-2+3 D.ex+2-3
4.下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底是( )
A. B.
C. D.b
5.为正交基底，设则向量位于( )
A.第一.二象限 B.第二.三象限 C.第三象限 D.第四象限
6、若,当与平行时,实数的值_________.
四、典型例题
例1 ：如图所示，已知D为△ABC的中点，E为AD上的一点且AE=3ED，若，试用表示
例2： 已知A（1，-2），B（2，1），C（3，2），D（-2，3），求以为一组基底来表示。
例3： 已知O（0，0），A（1，2），B（4，5）及
求（1）t为何值时，P在X轴上？P在y轴上？P在第二象限？
（2）四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由。
五、自我评价
1、与向量（1，）平行的单位向量是（ ）
A.（1，） B. C. D. 或
2．(07年全国Ⅰ) 已知向量，，则与
A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向
3．（07年北京卷）已知向量．若向量，
则实数的值是 ．
4、平行四边形ABCD的对角线交于O,且,,则的坐标为______.
5、已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4)且,求点M,N和的坐标.
6、已知点B(1,0)是向量的终点,向量,均为以原点O为原点,且,与向量的关系为,求向量的起点坐标.
六、课后练习
1、已知向量且.则,的值分别为( )
A. –2,1 B.1,-2 C.2,-1 D.-1,2
2、(05全国) 点P在平面上作匀速直线运动,速度向量=(4,-3),即点P的运动方向与相同,且每秒移动的距离为个单位,设开始时点P的坐标为(-10,10),则5秒后P的坐标为( )
A.(-2,4) B.(-30,24) C.(10,-5) D(5,-10)
3、点O是△ABC所过平面内一点，D为BC中点，且，则( )
A. B. C. D.
4、已知则，的坐标为（ ）
A．（0，-11），（-12，0） B.（0，-11），（0，31）
C.（-11，-11），（-12，3） D.（0，-11），（-12，31）
5、平行四边形ABCD的顶点A、B、C、D的坐标分别为（-1，-4），（3，-2），（-3，4），则两对角线交点M的坐标及顶点C的坐标分别为（ ）
A．（0，1），（0，6） B.（1，0），（1，6）
C.（0，1），（1，6） D .（1，0），（2，6）
6、 向量a=(-2,4)，则与向量a垂直的且模是1的向量坐标
7、(06年上海)已知点A(1,-2),若向量与=(2,3)同向,||=,则点B的坐标为______.
8、若M(1,0),N(0,1),P(2,1),Q(1, y),且,则y 的值为_______.
9、,则点D的坐标是__________.
10、设两个非零向量不共线
（1）如果，求证：A、B、D三点共线。
（2）试确定实数K，使K和共线。
七、数学快餐
1. c、d是不共线的非零向量，则下列给出的四组a、b线的一组是( )
A.a=-2(c+d) b=2(c+d) B.a=c-d b=-2c+2d
C.a=c+d D.b=c-2d
2.已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点A、C)，则等于( )
A. B.
C. D.
3.若对n个向量……，存在n个不全为0的实数k1，k2，k 3……kn，使得成立，则称向量……为“线性相关”，按照规定的说明a1=(1，0)，a2 =(1，-1)，a3=(2，3)这三个向量“线性相关”的实数k1，k2，k3可能的取值为( )
A.-5，3，1 B.5，3，1 C.-5，1，3 D.-5，1，-3
4.若AN、BN、OP是△ABC的三条中线，则=( )
A.0 B. C.1 D.
5.△ABC的外接圆的贺心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m= 。
6.已知a与b不共线，p=2a-3b，q= -a+5b，x，y∈R，若，则x= ,y
第3节 平面向量数量积
一、考试要求
1、理解并掌握平面向量的数量积概念、运算律及数量积的几何意义。
2、掌握两平面向量垂直的充要条件，会用向量数量积的运算判断或证明向量的垂直。
3、会求两个向量的数量积、夹角、模等。
二、知识梳理
1.数量积的概念，已知两个非零向量a、b
(1)向量的夹角 规定∈
(2)数量积的定义
(3)数量积的几何定义
2.数量积的性质
若，都是非零向量，是单位向量，是与的夹角，是与的夹角，则
（1）________________=__________________
（2）==cos
（3）=0_____________________
（其中）
（4）当与同向时， =;当与反向时， =，
或________________
（5）cos==______________________
（6）
3.数量积的运算律：
(1)交换律：a·b=
(2)数乘结合律：(a·b)= =
(3)分配律：(a·b)·c=
注意 ：
①数量积不适合乘法结合律，即（）与（）未必相等。
②数量积的消去律不成立，即=，不一定得到=
4.数量积的坐标运算
设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)则
(1)a·b=
(2)=
(3)cos=
(4) a∥b
(5)a⊥b
三、基础练习
1、若=0, ,且则
A、 B、 C、 D、1
2、若b=(1,1)，a·b=2，(a-b)2=3，则=( )
A. B.5 C.1 D.
3、已知,是非零向量且满足，，则与的夹角是（ ）
A、 B、 C、 D、
4、在边长为1的正三角形ABC中，，则a·b+b·c+c·a=
5、设均为非零向量，则下面结论：
① ; ② ;
③ ; ④
正确的是_________
6、已知平面向量，=(3,-4) , =(2,x) , =(2,y) 且 // , ,
求 以及 和 的夹角
四、典型例题
1、已知
（1）求 与 的夹角
（2）求 和
（3）若作三角形ABC，求的面积。
2、已知a、b是非零向量，若a+b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直，试求a与b的夹角。
3.已知a=() ，b=()且θ∈.
(1)求的最值。
(2)是否存在k的值，使
五、自我测评
1、已知i和j为互相垂直的单位向量，a=i-2j，b=i+λj，且a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值 ( )
A.(-∞，-2)∪(-2，) B.(，+∞)
C.(-2，)∪(，+∞) D.(-∞，)
2、 已知 =（1,2）, =(x,1) ,当时，实数x的值为（ ）
A、6 B、-2 C、 D、-2，
3、已知 =(cos,sin) , =(cos,sin) ,下列结论正确的是（ ）
A、 B、//
C、 D、,的夹角为
4、已知 且 ，则向量在向量的方向上的正射影的数量为______
5、已知 , 若是以O为直角顶点的等腰直角三角形，求向量及的面积。
六、课后练习
1、已知向量 =(x-5,3) , =(2,x) 且 则由x的值构成的集合是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、已知 为非零的平面向量,甲∶ ; 乙∶ ；则（ ）
A、甲是乙的充分但不必要条件 B、甲是乙的必要但不充分条件。
C、甲是乙的充要条件 D、既不充分也不必要条件。
3．（07重庆卷）已知向量且则向量等于
（A） （B） （C） （D）
4、（2006北京）若 且 ，则向量 与 的夹角为（ ）
A、 B、 C、 D、
5、点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足 ，则点O是△ABC的（ ）
A、三个内角的角平分线的交点 B、三条边的垂直平分线的交点
C、三条中线的交点 D、三条高的交点
6．（07年湖北卷）设，在上的投影为，在轴上的投影为2，且，则为（ ）
A． B． C． D．
7、已知 且 与 的夹角为 ，k的值是_________
8、若两个向量与的夹角为，则称向量为“向量积”，其长度 ，令已知, 则 =_____
9、设向量 满足 及
（1）求 所成角的大小。
（2）求 的值。
10、已知，且存在实数k和t，使得 且 ，试求 的最小值
七、数学快餐
1.△ABC中，点O为BC的中点，过点O作直线分别交直线AB、AC于不同两点M、N，若，则m+n=（　　）
A.2 B.1 C.4 D
2．（07年四川卷）设，，为坐标平面上三点，为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则与满足的关系式为（　　）
（A）　（B）　（C）　（D）
3.△ABC中，∠BAC=120°，AB＝2，AC＝1，D为边BC上一点，，则＝（　　）
　.A. B. C. D.4
4.F为抛物线y2＝4x的焦点，A、B、C为抛物线上三点，若，＝（　　）
　A.9 B.6 C.4 D.3
5.已知且存在实数k与t，使，且x⊥y，则的最小值为
6．（07辽宁卷）若向量与不共线，，且，
则向量与的夹角为（ ）
A．0 B． C． D．
7.给出下列命题：①在△ABC中，若，则△ABC是锐角三角形。
②在△ABC中，若，则△ABC为锐角三角形
③△ABC为Rt△
④△ABC是条件△的必要不充分条件是
其中正确的命题序号
第三章平面向量
第一节平面向量的概念、加、减、数乘运算
参考答案
三、基础练习
1、 B
2、 B　，故选B
3、 D　∵，由三角形中位线定理，故选D
4、 B　5、B 6、　设，M、N为DC、BC中点，，，在△ABN中△ADM中
a+b=d　　① b+a=c ②
解①②：
7、，由不共线，必有故
四、典型例题：
1、 分析：要证明A、B、C三点共线，只需证明存在实数，使即可，而与共线，则一定存在实数，使
证明：（1）
与共线，又它们有公共点B，所以A、B、D三点共线。
（2）与共线，
存在实数使，即
是不共线的两向量，
2、解：由 三角形中垂线定理知：DE　BC
故
3.证明：∵　其中λ+μ＝1，则μ＝1－λ
∴，从而
即　　共线，且它们有公共点B，∴A、B、C三点共线，而的终点A、B、C共线
五、自我测评：
1、 由4a+(3b-2a)+c=0 c= -2a-2b=-2(1，-3)-3(-2，4)=(4，-6)
2、 B ∵ 4e1-6e1= -2(3e1-2e2)
∴ 4e2-6e1与3e1-2e2共线，故不能作为一组基底，作为基底的两向量不共线
3、 C ①②④对 ③错
4、 D
5、
6、 如图，设表示船垂直于对岸的速度，表示水流的速度，
则由，就是渔船实际航行的速度，
航行的时间为
在中，，
六、课后练习：
1、 A A、B、D三点共线。
2、 A 由，得：
3、 B
4、 D 由 所以OB⊥CA
同理OA⊥BC 故O是△ABC的两条高线交点，故选 D
5、 D
6、
7、 ， 4， ， 120°
8、
9、（1）
（2）略
（3）两式相加得：
同理，
10、解(1)∵A是BC中点
∴2，而
(2)设
∵共线
∴存在实数k，使
(λ-2)a+b=k(2a-b)
解：λ=
七、数学快餐
1.C ①②对 ③④错
2.A解：在 ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=，则
，∴ =，选A。
3.D m、n共线，设m=λn，即-e1+ke2=λ(e2-2e1)(k-λ)e2=(1-2λ)e1
∵e1、e2为不共线向量，∴k-λ=0且1-2λ=0k=
4.C 正方形ABCD边长为1 ∴
5.必要不充分条件 ∵向量为矢量，向量相等包括大小、方向两方面。
6.r1+r3-r2 ∵
7、解：若两向量共线，则由于是非零向量，且，
则必有a=2b；代入可知只有A、C满足；若两向量不共线，
注意到向量模的几何意义，故可以构造如图所示的三角形，
使其满足OB=AB=BC；令a, b,则a-b,
∴a-2b且；
又BA+BC>AC ∴
∴,选A．
第二节 平面向量的分解与坐标运算
参考答案
三、基础训练：
1、 A 。
2、 C
3、 C
4、 D x2+x+1=(x+)2+>0, x2-x+1=(x-)2+>0
5、
6、 解：
四、典型例题：
1、依题意：AE=3ED
∴AE=
故有
∴
又ED是△AEC的一条中线
∴
∴
∴
2.解:
根据平面向量基本定理,一定存在实数m,n,使得=m+n
可得 =32-22
1. (1) ,若P在x轴上,则2+3t=0,;
若P在y轴上,只需1+3t=0,;
若P在第二象限,则.
（2）因为若OABP为平行四边形,则
无解,所以四边形OABP不能成为平行四边形.
五、自我测评
1、 D 设所求向量,验证即可.
2、A
3、解：已知向量．向量，，
则2+λ+4+λ=0，实数=－3．
4、 解:
故
设M(x,y),则即
即M点的坐标为(0,20),同理N(9,2),故
5、 设的起点为A(x,y), 则由=得的起点坐标为A(8,-10)
六、课后练习：
1、 D 分析：又
2、 C 分析： 故5秒后P的坐标为（10，-5）。
3、 A 分析：∵2 ∴
∴ 即：
4、 D. 分析：，
则
5、 C
同理M(0,1)所以选C
6、答案 令，则
则
7、 答案B（5，4）
由题意知：，设B（x,y）则，故且，解得：x=5,y=4 所以B（5，4）。
8、 2
9、（7，6） 分析：，而C（3，0），设D点的坐标为（x,y），则
10、 解：(1)由已知可知,所以A.B.D三点共线.
(2)若二者共线,则所以得
七、数学快餐
1.D
2.A 分析：而 又∵ 故λ∈(0，1)
K1+k2+2k3=0
3.A 分析：∵得
-k2+3k3=0
代入验证得A
4.A 分析：∵
∴
5.答案为1 特殊值法：设△ABC为等腰直角三角形(∠B为直角)，O为AC的中点，此时H与B重合，
故m=1
2x－y=2 x=
6.x=，y= 析：(2x－y)a+(-3x+5y)b=2a－b　　∴
－3x+5y=－1 y＝
第三节 平面向量数量积
参考答案
三、基础练习：
1、 A
2、 A
3、 B
4、
5、① ，③
6、解：， 解之
, 又 与 的夹角为
四、典型例题：
1、解：① 解得： ，又
②
③
2、解：由条件知
（a+3b）(7a-5b)=0 (a-4b)(7a-2b)=0
∴ ① ②
由①—②得
46
∴
∴b2=2a·b
即所求向量a、b的夹角为
3.解：（1）a·b=cos2θ
又θ∈
∴
令
令,则t∈[，1]
则m=t ∴m′＝1+＞0
∴m在[，1]上为增函数
∴mmin= - mmax=
（2）由条件知：
又
∴cos2θ=由0≤θ≤得
，即
故存在k∈满足题意。
五、自我测评：
1、 A
2、 D
3、 C
4、
5、解：，即
又
，即
设 ，则，
解之，得：， 或 ，
六、课后练习：
1、 C 2、 B
3、解：设
联立解得选D
4、 C 5、 D 6、B
7、 -5 8、 3
9 (1)而则，
故与所成的角为
（2）
10、由题意可得 , ,
, 故有
由 知：，即
可得，故
即当t=-2时，有最小值为
七、数学快餐
1.A　
2、A解：由与在方向上的投影相同，可得：,
即 ，．选A．
3.A　4.B　5. 　6、D 7.①④
F
E
D
A
B
C
A
D
M
C
N
B
A
D
E
M
N
B
C
D
O
C
A
B
E
A
D
C
B
r1
r2
r3
A
B
C
D
E
∥
＝
C
B
A
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