山东省德州市高三复习学案(必修五第二章数列)
文档属性
| 名称 | 山东省德州市高三复习学案(必修五第二章数列) |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 376.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2009-07-16 06:33:00 | ||
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文档简介
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第2章 数列
第一节 数列及其基本概念
一、考试要求：
（1）掌握数列及通项公式的概念
（2）理解数列的表示方法与函数表示方法之间的关系
二、知识梳理
①数列的定义
②数列的通项公式
③数列的分类
④数列可以看作是一个定义域为 的函数当自变量从 到 依次取值时，对应的一列函数值，它的图象是一串 的点。
⑤递推公式的定义是
三、基础练习
1.根据数列的前n项，写出下列各数列的一个通项公式
（1）1,3,6,10,15,………
（2）7,77,777,………
（3）1，………
2.数列1,0,1,0……的一个通项公式是（ ）
A. B.
C. D.
3.数列中的最大项是（ ）
A.107 B.108 C. D.109
四、典型例题
例1.已知无穷数列1×2,2×3,3×4,……,n(n+1),……判断420与421是否为该数列中的项？若是应为第几项？
例2 已知函数f(x)=2x -2-x，数列满足f(log2an)=-2n
（1）求数列的通项公式；
（2）证明数列是递减数列。
例3 已知数列的递推公式为an+2=3an+1-2an,且a1=1,a2=3，
(1) 求:a5;(2)127是这个数列的第几项？
五、自我测评
1.符合数列2，5,11，20，x，47，……构成规律的x等于（ ）
A.32 B.28 C.33 D.27
2.下列说法正确的是（ ）
A.数列2，4,6,8，可表示为
B.数列1,0，－2，－1与数列－2，－1,0，1是相同数列
C.数列的第k项为1＋
D.数列0,2，4,6，8……可记为
3.数列中，an=1,an+2=,则a5=( )
A. B. C. D.
4.数列中，a1=1对所有n≥2,都有，则a3+a5=
5.(07江西理14)已知数列｛an｝对于任意p，q∈N*，有ap+aq=ap+q,若a1=,则a36=
。
6.设是首项为1的正项数列，且(n+1) a2n+1-nan2+an+1an=0(n=1,2,3,……)
求它的通项公式an
六、课后练习
1.数列……中，有序数对（a,b）可以是( )
A.(21,-5) B.(16,-1) C.() D.( )
2.已知数列的通项公式是则数列的最大项是（ ）
A.第12项 B.第12项和第13项 C.第13项 D.不存在
3.已知数列的通项公式是，其中a，b均为正常数，那么an与an+1的大小关系是（ ）
A. B. C. D.与n的取值有关
4.已知数列的前n项和则a5+a6=( )
A. B. C. D.
5.已知数列的通项公式，则数列的前30项中，最大项和最小项分别为（ ）
A.a1,a30 B.a1,a9 C.a10,a9 D.a10,a30
6.（07广东文13）已知数列｛an｝的前n项和Sn=n2-9n,则其通项an= ;若它的第k项满足57．（07山东理17）若数列｛an｝的前n项和Sn=n2-10n(n=1,2,3,…),则此数列的通项公式为
；数列｛nan｝中数值最小的项是第 项。
8.已知是递增数列且对任意的an=n2+入n恒成立，则实数入的取值范围是
9.已知问数列中有没有最大项？如果有，求出这个最大值；若没有说明理由。
10.（07山东理17）设数列｛an｝满足a1+3a2+32a3+…+3n-1an=,a∈N＊
(I)求数列｛an｝的通项；
(II)设bn=,求数列｛bn｝的前n项和Sn.
3
5 6
9 10 12
①写出这个三角形数表的第四行，第五行各数；
②求a100
七、快餐
1、数列｛an｝中，an=-2n2+29n+3,则此数列最大项的值是（ ）
A．107 B．108 C．108 D．109
2、已知数列｛an｝的通项an=（a、b、c都是正实数），则an与an+1的大小关系是（ ）
A．an>an+1 B．an3、数列3,7,13,21,31…的通项公式是（ ）
A．an=4n-1 B．an=n3-n2+n+2 C．an=n2+n+1 D．不存在
4、数列｛an｝中，a1=1,对所有的n≥2，都有a1·a2·a3·…·an=n2,则a3+a5等于（ ）
A． B． C． D．
5．已知｛an｝是递增数列，且对于任意的n∈N＊,an=n2+n恒成立，则实数的取值范围是 。
6．已知数列｛an｝满足a1=1,当n≥2时，an2-(n+2)an-1·an+2na=0，则an=
。（写出你认为正确的一个答案即可）
第二节 等差数列
一、考试要求：
1.掌握等差数列的概念，等差中项的概念，会用定义判定数列是否是等差数列。
2.掌握等差数列的通项公式及推导方法，会类比直线，一次函数等有关知识研究等差数列的性质，能熟练运用通项公式求有关的量：a1,d,n,an.
3.掌握等差数列的前几项和公式及推导方法，熟练运用通项公式，前几项和公式，对于a1,d,n,an,sn中已知三个量求另两个量，灵活运用公式解决与等差数列有关的综合问题，能构建等差数列模型解决实际问题。
4.提高观察、概括、猜想，运算和论证能力，能通过类比，转化等方法解决有关数列的一些问题。
二、知识梳理：
1.等差数列定义
2.等差数列的判定
3.通项公式
4.等差数列n项和公式
5.性质：①am=ak+(m-k)d 则d= .
②若m,n,,N+,且m+n=k+，则 反之不成立。
③若数列是公差为d的等差数列，则数列(入，b为常数)是公差为 的等差数列。
若也是公差为d的等差数列，则(入1,入2为常数)也是等差数列且公差为 。
④下标成等差数列且公差为m的项ak,ak+m,ak+2m……组成的数列仍为 ，公差为 。
⑤设A=a1+a2+………an, B=an+1+an+2………+a2n, C=a2n+1+a2n+2………+a3n 则A、B、C成 。
⑥若等差数列的项数为，则S偶－S奇＝ ；
；S2n=n(an+an+1),(an,an+1)为中间二项)若等差数列的项数为2n-1(),则S奇－S偶＝ ， ，
S2n-1=(2n-1)an (an为中间项)
三、基础练习
1.等差数列的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（ ）
A.130 B.170 C.210 D.260
2.若关于的方程和(a≠b)的四个根可组成首项为的等差数列，则a+b的值是（ ）
A. B. C. D.
3.若差数列中前n项的和为210，其中前4项的和为40，后4项的和为80，则n值为( )
A.12 B.14 C.16 D.18
4.在a和b(a≠b)两数之间插入n个数，使它们与a,b组成等差数列，则该数列的公差为（ ）
A. B. C. D.
5.有两个等差数列，它们的前n项和的比是（n+2）:（n＋3），则此二数列中第七项的比a7:b7=( )
A. B. C. D.
6.在等差数列中，若a3+a4+a5+a6+a7=450，则a2+a8=（ ）
A.90 B.100 C.180 D.200
四、典型例题
1.一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32：27，求公差d.
2.在等差数列中，a1=－60，a17=－12，求数列的前n项和。
分析：本题实际上是求数列前n项的绝对值之和，由绝对值的意义，要求我们应首先分清这个数列的哪些项是负的，哪些项是非负的。由已知数列是首项为负数的递增数列，因此应先求出这个数列从首项起共有哪些项是负数，然后再分段求出前n项的绝对值之和。
3.等差数列的首项为a1>0，前n项和为Sn，当≠m时， ，问n为何值时，Sn最大。
五、自我评测
1.（07重庆理1）若等差数列的前三项和S3=9且a1=1,则a2等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2.如果数列是等差数列，则 （ ）
A． B．
C． D．
3．（07安徽文3）等差数列的前n项和为Sx若a2=1,a3=3,则S4=（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
4.等差数列中，a2+a5=19,S5=40,则a1=
5.已知等差数列的前n项和为Sn，且S10＝100，S100＝10，则S110＝
6.设等差数列的前n项和为Sn,已知a3=12,S12>0 S13<0
①求公差d的取值范围。
②指出S1，S2……，Sn中哪一个值最大，并说明理由。
六、课后练习
1.(07辽宁文5)设等差数列｛an｝的前n项和为Sn,若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9=( )
A.63 B.45 C.36 D.27
2.（07湖北理8）已知两个等差数列｛an｝和｛bn｝的前n项和分别为An和Bn,且，且，则使得为整数的正整数n的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3.在等差数列中，若a2+a4=m, a3+a5=n，则此数列前6项和等于（ ）
A. m+n B. C. D.
4.在等差数列中，3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)＝24，则此数列的前13项之和等于（ ）
A.26 B.13 C.52 D.156
5.（07理宁理4）设等差数列｛an｝的前n项和Sn,若S3=9，S6 =36，则a7+a8+a9=( )
A.63 B.45 C.36 D.27
A.1 B. C. D.
6.（07宁夏文16）已知｛an｝是等差数列，a4+a6=6,其前5项和S5=10，则其公差d= .
7.在等差数列中，a1+a2+a3=15, an+an-1+an-2=78 ,Sn=155，则n= .
8.等差数列中，Sm=Sn，(m≠n),则Sm+n=
9.（07上海文20）如果有穷数列a1,a2,a3，…，am（m为正整数）满足条件a1=am,a2=am-1,…am=a1,即a1=am-i+1(i=1,2,…,m),我们称其为“对称数列”。
例如，数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，2，4，8都是“对称数列”。
（1）设｛bn｝是7项的“对称数列”，其中b1,b2,b3,b4是等差数列，且b1=2,b4=11,依次写出｛bn｝的每一项；
（2）设｛cn｝是49英的“对称数列”，其中c25，c26,…,c49是首项为1，公比为2的等比数列，求｛cn｝各项的和S；
（3）设｛dn｝是100项的“对称数列”，其中d51,d52,d100是首项为2,公差为3的等差数列，求｛dn｝前n项的和Sn(n=1,2,…,100).
10.（2004全国IV）设数列是公差不为零的等差数列，Sn是数列的前n项和，且，求数列的通项公式。
七、快餐
1．已知等差数列｛an｝满足a1+a2+a3+…+a101=0,则有（ ）
A．a1+a101>0 B．a2+a101<0
C．a3+a99=0 D．a1=51
2.在等差数列｛an｝中，若a3+a4+a5+a6+a7=450,则a2+a8=( )
A.45 B.75 C.180 D.300
3.若x≠y,数列x,a1,a2,y和x,b1,b2,b3,y各自成等差数列，则=（ ）
A． B． C． D．
4．等差数列中，a1=,第10项开始比1大，则公差d的范围是（ ）
A．d> B．d< C．5.等差数列｛an｝的公差d<0，且a=a,则数列的前n项和Sn取得最大值时的项数n= 。
6．若关于x的方程x2-x+a=0(a≠0)和x2-x+b=0的四个根可组成首项为的等差数列，则a+b的值是 .
第三节 等比数列
一、考试要求：
1.通过实例，理解等比数列的概念。
2.探索并掌握等比数列的通项公式与前几项和的公式。
3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。
4.体会等比数列与指数函数的关系。
二、知识梳理
1.等比数列的定义
2.等比数列的通项 前几项和
3.等比中项
若a、b、c成等比,则b为a、c的等比中项，即b2=ac.
正数m、n的等比中项为
4.等比数列的性质
①若数列等比数列，则若则
②当或 时，数列为递增数列。
当 或 时，数列为递减数列。
当＝1时，数列为常数列；当＜0时，数列为摆动数列。
三、基础练习
1.设数列为等比数列，则下面4个数列：
① ②（p为非零常数） ③ ④其中是等比数列的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.b2=ac是a、b、c成等比数列的（ ）条件
A.充分但不必要 B.必要但不充分 C.充要条件 D.既不充分也不必要
3.等比数列中，a5=-8, 则an= Sn=
4.某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂成两个），经过3小时，这种细菌由一个可繁殖 个。
5.在等比数列中，则
四、典型例题
例1 一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，那么所得的三项就成为等差数列；如果再把这个等差数列的第三项加上32那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列。
例2 若数列满足关系a1=2，an+1=3an+2求数列的通项公式。
例3 设等比数列的前n项和为Sn，若求公比q.
五、自我测评
1.在各项为均为正数的等比数列中，公比q=2且a1a2a3……a30=230 则……a30＝（ ）
A.210 B.220 C.216 D.215
2.（07福建文2）等比数列中，a4=4,则a2·a6等于（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
3.（07重庆文1）在等比数列中，a1=8,a5=64,则公比q为（ ）
4.
5.数列的前n项和Sn=3+2n 则an=
6.数列满足求数列的通项公式及前n项和Sn的公式。
六、课后练习
1.在各项均为正数的等比数列中，若=（ ）
A.12 B.10 C.8 D.2+log35
2.（07湖南文4）在等比数列(n∈N﹡)中，若a1=1,a4=,则该数列的前10项和为（ ）
A.2- B.2-
C.2- D. 2-
3.（07宁夏文6）已知a,b,c,d成等比数列，且曲线y=x2-2x+3的项点是（b,c），则ad等于（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D.-2
4.某工厂2003年12月份的产值是这年1月份产值的m倍，则该在2003年产值的月平均增长率为（ ）
A. B. C. D.
5.设2a=3, 2b=6, 2c=12 则a、b、c（ ）
A.是等差数列，但不是等比数列 B.是等比数列，但不是等差数列
C.既是等差数列，又是等比数列 D.既不是等差数列，也不是等比数列
6.已知数的前n项和Sn=n2-4n+1 则=
7.数列中，an+1=2nan,a1=1 则an=
8.设数列是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若是等差数列，则q=
9.已知是各项均为正数的等差数列，lga1、lga2、lga4成等差数列又，n=1,2.3……
（I）证明为等比数列
（II）如果无穷等比数列各项的和S=，求数列的首项a1和公差d.
（注：无穷数列各项的和，即当n→∞时数列前n项和的极限）
10.假设某市2004年新建住房400万m2，其中有250万m2是中低价房。预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%，另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万m2，那么到哪一年底，
①该市历年所建中低价房的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万m2
②当年建造的中低价房的面积，占该年建造住房面积的比例首次大于85%？
七、快餐
1．一个各项均为正数的等比数列，其任何项都等于后面两项的和，则其公比是（ ）
A． B． C． D．
2．若正项等比数列｛an｝的公比q≠1,且a3,a5,a6成等差数列，则等于（ ）
A． B． C． D．不确定
3．若Sn是数列｛an｝的前n项和，且Sn=n2，则｛an｝是（ ）
A．等比数列，但不是等差数列 B．等差数列，但不是等比数列
C．等差数列，而且也是等比数列 D．既非等差数列又非等比数列
4．非零实数x,y,z等差数列，x+1,y,z与x,y,z+2分别成等比数列，则y等于（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
5．设a、b、c成等比数列，x为a、b的等差中项，y为b、c的等差中项，则= 。
6．如下图，它满足：①第n行首尾两数均为n；②表中的递推关系类似杨辉三角，则第n行（n≥2）第2个数是 .
第四节 等差数列与等比数列的综合运用
一、考试要求：
1.理解等差数列与等比数列概念，掌握它们的通项公式与前n项和公式。
2.能正确的判断和区分等差数列和等比数列，并能用其公式和性质解决简单的实际问题。
二、知识梳理
等差数列 等比数列
定 义
通项公式
前n项和公式
性 质
等差（等比）中项
三、基础练习
1.设是递增等差数列，前三项和为12，前三项积为48，则它的首项为（ ）
A.4 B.2 C.1 D.6
2.（07宁夏理4）已知是等差数列，a10=10,其前10项和S10=70，则其公差d=( )
A.- B.- C. D.
3.一个各项均为正数的等比数列，其任何项都等于后面两项的和，其公比是（ ）
A. B. C. D.
4.（07四川文7）等差数列中，a1=1，a3+a5=14,其前n项和Sn=10,则S6=等于（ ）
A.12 B.18 C.24 D.42
5.在等比数列中，已知a1+a2+a3=30,a4+a5+a6=60,则a10+a11+a12=
6.在1,2之间插入n个正数a1,a2,a3……an，使这n+2个数成等比数列；又在1与2之间插入n个正数b1,b2,b3……bn，使这n+2个数成等差数列，记An=，Bn=求数列和的通项。
四、典型例题
1.在等比数列中， ,,则
2.设是各项均为正整数的无穷等比数列，
满足(1)a5+a6=48 (2)
求数列的通项公式
3.（07全国1文21）设是等差数列，（bn）是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1,a3+b5=21,a5+b3=13
(I)求，（bn）的通项公式；
（II）求数列｛｝的前n项和Sn
五、自我测评
1.等差数列的公差d≠0,若a1,a3,a9成等比数列，则=( )
A. B. C. D.
2.（07陕西文5）等差数列的前n项和为Sn,若S2=2，S4=10，则S6等于（ ）
A、12 B、18 C、24 D、42
3、（07天津理8）设等差数列的公差d不为0，a1=9d.若ak是a1与a2k的等比中项，则k=（ ）
A、2 B、4 C、6 D、8
4.在等差数列中，a1>0,S4=S9,则Sn取最大值时n=
5、（07重庆理14）设为公比q>1的等比数列，若a2004和a2005是方程4x28x+3=0的两个根，则
A2006+a2007= .18
6. 为两个数列点M(1,2),An(2,an),Bn()为直角坐标平面上的点，
(1)对,若点M,An,Bn在同一直线上，求数列的通项公式。
（2）若数列满足，其中是第三项为8，公比为4的等比数列，求证：点（1,b1）(2,b2),………(n,bn)在同一直线上，并求此直线方程。
六、课后练习
1.已知等差数列中，a7+a9=16,a4=1,则a12的值是（ ）
A.15 B.30 C.31 D.64
2.在各项都为正数的等比数列中，首项a1=3,前三项和为21，则a3+a4+a5=( )
A.33 B.72 C.84 D.189
3.(05年山东) 是首项a1=1,公差d=3，的等差数列，如果an＝2005，则序号n等于（ ）
A.667 B.668 C.669 D.670
4.（05年全国II）如果a1,a2……,a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0,则（ ）
A. B.
C. D.
5.（07湖南理10）设集合，S1，S2……SK都是M的含两个元素的子集，且满足：对任意的Si=,都有min），则k的最大值是（ ）
A、10 B、11 C、12 D、13
6.在数列中，a1=1,a2=2,且an+2-an=1+(-1)n()则S10=
7.（07全国1理15）等比数列的前n项和为Sn,已知成等差数列，则的公比为
.
8.设等比数列的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1, Sn， Sn＋2成等差数列，则q的值为
9.（07浙江19）已知数列 中的相邻两项是关于x的方程的两个根，且
（I）求（不必证明）；
（II）求数列的前2n项和S2n
10、（07陕西文20）已知实数列是等比数列，其中成等差数列，（I）求数列的通项公式；
（II）数列的前n项和记为Sn，证明：
七、快餐：
1、等差数列的首项从第7项开始为负数，则的值为（ ）
A、-7 B、-17 C、-27 D、有无数个值
2、已知数列1，是此数列中的（ ）
A、第48项 B、第49项 C、第50项 D、第51项
3、已知数列的前n项和等于（ ）
A、729 B、387 C、604 D、854
4、已知数列中等于（ ）
A、445 B、765 C、1080 D、3150
5、设等差数列的公差成等比数列，则 。
6、在数列中， 。
第五节 数列的通项及求和
一、考试要求：
1.会用一些简单的方法寻求数列的通项，并用通项解决数列的相关问题。
2.掌握一些简单的数列求和的方法，并能用数列求和解决一些数列问题。
二、知识梳理
（一）数列公式的一般求法
1. ，就是利用有限项，专推测公式。
2.对于比较复杂的通项公式，要借助于 数列和 数列和其他方法解决。
3.利用an与Sn之间的关系an= 来用通项。
4.会用等比数列和等差数列中的累乘法和累加法求通项。
（二）数列前n项和Sn的一般方法
1.直接转化为 或 求和问题。
2.运用等差数列和等比数列求和的 和 方法求前n项和。
（3）裂项求和 （4）对通项进分解或组合，将原数列化成若干个容易求和的数列。
（4）掌握一些常见数列的前n项和公式。
（1）1+2+3+……+n= （2）1+3+5+……(2n-1)=
（3）12+22+……+n2= (4)13+23+……+n3=
三、基础练习
1.（江西）数列的前n项和Sn满足log2(Sn+1)=n+1则an=
2.设的首项为1的正项数列，且则它的通项an=
3.数列的通项公式为an=4n-1，令则数列的前n项和
A.n2 B.n(n+2) C.n(n+1) D.n(2n+1)
4.若 则x=
5.已知中，,则
四、典型例题
1.已知数列是等差数列，且a1=2,a1+a2+a3=12
（I）求数列的通项公式。
（II）令，求数列的前n项和的公式。
2.已知数列中，a1=8,a4=2,且满足an+2=2an+1-an
(1)求数列的通项公式
(2)设 是否存在最大的整数m，使得对任意，均有成立若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由
五、自我测评
1.1+(1+2)+(1+2++22)+……(1+2+22+……+210)的值是( )
A.211-11 B.211-13 C.212-13 D.213-11
2.若数列是等差数列，其前n项和为Sn且满足其中m, m≠n，则的值为（ ）
A. B. C. D.
3. 首项为2，公比为3的等比数列，从第m项到第n项的和为720，则 （ ）
A．m=2，n=6 B．m=2，n=7 C．m=3，n=6 D．m=3，n=9
4.数列的通项为,若前n项和为10，则项数n为
5.已知数列满足a1=1,an=a1+2a2+3a3+……+(n-1)an-1 (n≥2)，则的通项an=
6.已知数列中a1=1,且a2k=a2k-1+(-1)k a2k+1=a2k+3k 其中k=1,2,3,……
(1)求a3,a5 (2)求an的通项公式
六、课后练习
（一）选择题
1、（07福建理2）数列的前n项和为Sn，若等于（ ）
A、1 B、 C、 D、
2、（07广东理5）已知数列的前n项和，第k项满足，则k=（ ）
A、9 B、8 C、7 D、6
3.（天津）若数列的前8项和值各异且an+8=an对任意都成立则下列数列中可取通前8项值的数列为（ ）
A. B. C. D.
4.（2004年湖北理）已知数列的前n项和(n=1,2……)，其中a、b是非零常数，则存在数列，使得（ ）
A.an=xn+yn,其中为等差数列，为等比数列
B.an=xn+yn,其中和都为等差数列
C.,其中为等差数列，为等比数列
D.,其中和都为等比数列
5.若是等差数列，首项a1>0,a2003+a2004>0 ，则使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是（ ）
A.4005 B.4006 C.4007 D.4008
二、填空题
1、（07全国2文14）已知数列的通项，则其前n项和Sn= .-
2.已知函数f(x)=2x+log2x,数列的通项公式是an=0.1,当取得最小时n=
3、（07江西文14）已知等差数列的前n项和为Sn，若 .7
三、解答题
1、（07山东文18）设是公比大于1的等比数列，Sn为数列的前n项和。已知S3=7，且构成等差数列。
（1）求数列的等差数列。
（2）令求数列的前n项和T。
七、快餐：
1、数列的通项为所确定数列的前n项和是（ ）
A、n(n+2) B、 c、 D、
2、数列1，的前n项和为（ ）
A、 B、 C、 D、
3、正整数数列中，前50个偶数的平方和与50个奇数的平方和的差是（ ）
A、0 B、5050 C、2525 D、-5050
4、数列的前n项和为（ ）
A．2- B、2-
C、 D、
5、已知为等差数列， 。
6、在一个数列中，如果第一项与它的后一项的积为同一个常数，那么这个数列称为等积数列，这个常数称为该数列的公积，已知数列是等积数列，且
公积为5，那么这个数列的前41项的和为 。
第六节 数学归纳法
一、考试要求：
1.理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
2.用数学归纳法证明，步骤与格式要规范。
3.能把猜想与数学归纳法结合起来，解决归纳型问题和存在型问题。
二、知识梳理
1.数学归纳法：设是一个与自然相关的命题集合，如果：（1）证明起始命题 （或 ）成立；（2）在假设 成立的前提下，推出 也成立，那么可以判定，对一切整数成或自然数成立。
2.数学归纳法步骤：
（1）证明当n取第一个值 时，命题P(n)正确。
（2）假设 （）时命题正确，证明当n= 时命题也正确，即P(k+1)为真。
（3）根据（1），（2）知，当n≥n1,且时，P(n)正确。
三、基础练习
1.用数学归纳法证明“对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取( )
A.2 B.3 C.5 D.6
2.记凸k边形的内角和为f(k),则凸k+1边形的内角和f(k+1)=f(k)+( )
A. B. C. D.
3.用数学归纳法证明不等式时，第一步应验证不等式（ ）A. B. C. D.
4.如果命题P(n)对n=k成立，则它对n=k+2亦成立，又若P(n)对n=2成立，则下列结论正确的是（ ）
A. P(n)对所有正整数n成立 B. P(n)对所有偶正整数n成立
C. P(n)对所有奇正整数n成立 D. P(n)对所有比1大的自然数n成立
5.用数学归纳法证明“n3+5n能被6整除”的过程中，当n=k+1时，对式子(k+1)3+5(k+1)应变形为 。
6.用数学归纳法证明：
设f(k):1×4+2×7+……+k(3k+1)=k(k+1)2则f(k+1)为
四、典型例题
例1 用数学归纳法证明：1＋4＋7……＋(3n-2)=
例2 用数学归纳法证明：f(n)=能被36整除。
例3 证明：平面上n个圆最多把平面分成n2-n+2区域。
五、自我测评
1.用数学归纳法证明：，第二步证明从“k到k+1”,左端增加的项数是（ ）
A.2k-1 B.2k C.2k-1 D.2k+1
2.等式( )
A.n为任何正整数时都成立 B.仅当n=1,2,3时成立
C.当n=4时成立，n=5时不成立 D.仅当n=4时不成立
3.设，那么f(n+1)-f(n)等于（ ）
A. B. C. D.
4.某个命题与正整数n有关，如果当n=k时该命题成立，那么可推得当n=k＋1时，该命题也成立，现已知当n=12时，该命题不成立，那么可推得当n= 时，该命题不成立
5.设f(k):则f(k+1)变为
6、（07湖北理21）已知m,n为正整数，
（1）用数学归纳法证明：当x>-1时，（1+x）m1+mx;
(2)对于n6,已知
求证
（3）求出满足等式的所有正整数n。
六、课后练习
1.用数学归纳法证明：“”在验证n=1时，左端计算所得项为（ ）
A.1 B.1＋a C.1＋a+a2 D.1+a2
2.用数学归纳法证明：“(n+1)×(n+2)×……×(n+n)=2n×1×……3×……×(2n-1)”从“K到k+1”左端需增乘的代数式为（ ）
A.2k+1 B.2(2k+1) C. D.
3.用数学归纳法证明命题“能被9整除”要利用归纳假设证n=k+1时的情况，只需展开（ ）
A.(k+3)3 B.(k+2)3 C.(k+1)3 D.(k+1)3+(k+2)3
4.用数学归纳法证明不等式的过程中，由n=k道推到n=k+1时，不等式左边（ ）
A.增加一项 B.增加两项
C.增加了，B中的两项，又减少了另一项 D.增加了,A中的一项，又减少了另一项
5.用数学归纳法证明：“对于足够大的自然数n，总有2n>n3”验证第一步不等式成立所取的第一个值n0最小应取（ ）
A.1 B.大于1且小于10的某个自然数 C.10 D.11
6.k棱柱有f(k)个对角面，则k+1棱柱的对角个数f(k+1)=f(k)+
7.平面上有n个圆，其中每两个都相交于两点，第三个都无公共点，它们将平面分成f(n)块区域，有f(1)=2,f(2)=4,f(3)=8，则f(n)表达式为
8.（07江西理22） 设正整数数列满足：且对于任何n,有2+
（1）求
（2）求数列的通项an。
七、快餐：
1、等式（ ）
A、n为任何正整数时都成立
B、仅当n=1,2,3时成立
C、当n=4时成立，n=5时不成立
D、仅当n=4时不成立
2、利用数学归纳法证明“”的过程中，由“n=k”变到“n=k+1”时，不等式左过的变化是（ ）
A、增加 B、增加
C、增加 D、增加
3、同一平面内有n个圆，其中每两个圆有两个不同交点，并且三个圆不过同一点，则这n个圆把平面分成（ ）
A、2n部分 B、n2部分 C、2n-2部分 D、n2-n+2部分
4、某个命题与正整数有关，如果当n=k（）时该命题成立，那么可以推出n=k+1时该命题也成立，现已知n=5时该命题不成立，那么（ ）
A、n=4时该命题成立 B、n=6时该命题不成立
C、n为大于5的某个自然数时命题成立
D、以上答案均不对
5、用数学归纳法证明“”能被9整除的第二步中，为了使用归纳假设，应将变形为 。
6、已知数列的前n项和为Sn，且a1=1,，试归纳猜想出Sn的表达式为 。
第七节 数列的综合运用
一、考试要求：
1.理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据数列的递推公式写出数列的前n项。
2.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式和前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题。
3.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式，并能运用公式解决简单的问题。
4.掌握等差数列，等比数列的基础知识基本技能、基本思想方法。
5.使学生具备熟练的运算能力、逻辑思维能力以及分析问题解决问题的能力
二、知识梳理：
三、基础练习：
1.设是递增的等差数列，前三项和为12，前三项积为48，则它的首项为
2.设是公比为q的等比数列，Sn为其前n项和，若是等差数列，则q＝
3.设公差不等于0的等差数列和等比数列，两数列关系为a1＝b1，a3＝b3，a7=b5,那么
A．b11＝a13 B．b11＝a31 C．b11＝a63 D．b63＝a11
4.等差数列、的前n项和分别为和，若，则 。
5.在等差数列中，已知＝10，＝100，则＝
6.（07北京文10）若数列的前n项和，则此数列的通项公式为 .2n-11
四、典型例题
1.已知是等差数列的前n项和，且＝（p≠q）则＝
2.已知A（0,） B(0,-) C(4+,0)其中，设表示△ABC外接圆的面积。则＝ 。
3.（07湖北文20）已知数列和满足：且是以q为公比的等比数列。
（1）证明：；
（2）若,证明数列是等比数列；
（3）求和：.
五、自我测评
1.选择
（1）设等差数列满足3=5且＞0，则前n项和中最大的是（ ）
A． B． C． D．
（2）等差数列中，≠0，若m＞1，且-+＝0，＝38则m的值为（ ）
A．38 B．20 C．19 D．10
2、填空：
（1）等比数列中，＝A，＝B，则＝ 。
（2）数列中，＝1 ＝（n≥2）则这个数列的前n项和为 。
3、已知数列为等差数列（公差为d且d≠0）中部分项组成数列……恰为等比数列，其中＝1 ＝5 ＝17求++…的值。
六、课后练习
1、在如图所示的表格里，每格填上一个数字后使每一横行成等差数列，每一列成等比数列，则a+b的值为（ ）
2 6
1 2
a
b
A、 B、 C、 D、
2、某厂去年12月份产量a，今年产量月增长率为p，则今年12月份的产量比去年12月份的产量增加了（ ）
A、12p倍 B、13p倍 C、（1+p）12倍 D、[（1+p）12-1]
3、某企业欲实现在今后10年内产值翻一番的目标，则该企业年产值的年平均增长率最低应（ ）
A、低于5% B、在5%—6%之间 C、在6%—8%
4、某校环保小 组发现本市生活垃圾年增长率为b，2005年产生垃圾量为a t,由此预测，到2010年的垃圾量为（ ）
A、 B、 C、 D、
5、某地宜林荒地2640万亩，从2004年开始绿化造林，第一年绿化120万亩，以后每年比前一年多绿化60万亩，则到哪一年可以使全部荒地得以绿化（ ）
A、2012年 B、2011年 C、2013年 D、2014年
二、填空题：
6、数列中， a1=1,则Sn= .
7、A、B两厂2005年元月份的产值相同，A厂每月增加的产值相同，B 厂每月的增长率相同，到2006年元月份，两厂的产值又相同，则2005年7月产值较高的是 厂。
8、某地2005年工业垃圾有7.4×107t，为建设节约型社会，每回收1t工业旧物资相当于减少4t工业增圾，并可节约矿石20t，若从2006年回收工业旧物资10万t ，并计划今后每年递增20%，则 2006年—2014年可节约矿石 万t 。
三、（07福建文21）1、已知数列中，
(1)求a3、a5
(2)求的通项公式
2、（07安徽理21）某国采用养老储备金制度，公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1,以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d>0)，因此，历年所交纳的储务金数目a1,a2,…是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利，这说是说，如果固定年利率为r(r>0),那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1(1+r)n-1,第二年所交纳的储备金就变为a2(1+r)n-2,……，以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额。
（1）写出Tn与Tn-1（n2）的递推关系式：
（2）求证：，其中是一个等比数列，是一个等差数列。
七、快餐：
1、随着计算机技术的迅猛发展，电脑的价格不断降低，若每隔4年电脑的价格降低三分之一，则现在价格为8100元的电脑12年后的价格可降为（ ）
A、2400 B、2700 C、3000 D、3600
2、据权威人士分析“严格来讲，我国目前已进入负利率时代”，“钱在银行缩水”．以一年期存款利率1．98％为例，现考虑2003年物价指数3．2％和利息所得税20％两方面的因素，实际利息为一1．616％(即1．98％×O．8—3．2％)，这意味将100000元人民币存入银行，1年后实际价值变为98384元，1616元白白“蒸发”．据初步估计2004年物价指数为2．2％，其他条件不变，请你计算一下某人年初将100000元人民币
存入银行，1年后它的实际价值变成了 ( )
A．99464元 B．99384元
C．98384元 D．100616元
3、某工厂2004年生产某种产品2万件，计划从2005年开始，每年的产量比上一年增长20％，经过n年这家工厂生产这种产品的年产量首次超过12万件，则n值为(已知lg2=O.3010，lg3=O.4771) ( )
A。10 B．11 C、12 D．13
4、从2001年到2004年期间，甲每年6月1日都到银行存入m元的一年定期教育储蓄，若年利率为”保持不变，且每年到期的存款本息均自动转为新的一年定期，到2005年6月1日，甲去银行不再存款，而是将所有存款的本息全部取回，则取回的金额是(注：教育储蓄不计利息税) ( )
A．m(1+n)4元
B．m(1+n)5元
c．m[(1+n)4一(1+n)]／n元
D．m[(1+n)5一(1+n)]／n元
5、据某校环保小组调查，某区垃圾的年增长率为6，2003年产生的垃圾量为n吨，由此预测该区下一年的垃圾量为 吨，2008年的垃圾量为 吨．
6、有一堆物品，某层放n2个，而它的上一层比它少放(2n～1)个(n≥2)，已知这堆物品底层放100个，顶层放16个，则这堆物品共有 个．
答案：
第一节 数列及其基本概念
三、1.(1) (2) (3)
2.B 3.B
四、例一 解：由an=n(n+1)=420 n1=-21（舍），n2=20 故420是数列中的第20项
由an=n(n+1)=421 n无整数解,故421不是数列中的项
小结：要判断一个数是否为该数列中的项，可由通项等于这个数解出n，根据n是否为正整数便可确定这个数是否为数列中的项。也就是说判定某一数是否为数列中的某一项，其实质就是看方程是否有整数解。
例二 解：（1）∵f(x)=2x -2-x，f(log2an)=-2n
∴
∴an2+2nan-1=0
∵an>0 ∴
（2）证明：
又∵an>0 ∴an+1小结：（1）中，an>0这是因为an为真数，解答过程要仔细，根据限制条件，做到合理取舍（2）中转化技巧实质上是分子分母双双同时“有理化”。
例三解：(1)a3=3a2-2a1=7 a4=3a3-2a2=15 a5=3a4-2a3=31
(2)a6=3a5-2a4=63 a7=3a6-2a5=127
即127为这个数列的第七项
五、1.A 2.C 3.D 4. 5. 4
6.解：an>0则由已知
∴ ∴
=
六、1.D 2.B 3.B 4.B 5.C 6.2n-10;8 7.2n-11;3 8.入＞-3
9.解：设中第n最大，则
即
∴
∴即最大值为
10.（I） ,
,
.
.
验证n=1时也满足上式，。
（II），
，
。
快餐：1、B 2、B 3、C 4、A 5、（-3，＋） 6、2n-1
第二节 等差数列
三、1.C 2.D 3.B 4.B 5.A 6.C
四、1.解法1：设这个数列的首项为a1，公差为d,则.
d=5.
解法2:
又S偶－S奇＝6d， ∴d=5.
2. 解：数列的公差
∴.
由an>0,得3n－60<0,即n<21.
∴数列的前20项是负数，第20项以后的项都为非负数。
设Sn,分别表示数列和的前n项之和
当n≤20时，
当n≥20时,
=
=
∴数列的前n项和
3.分析：1：将已知条件代入求和公式，利用二次函数知识求解。
解法1：∵ ∴，
∴
∴
=
=
∵a1>0, ∴∵
∴若为偶数，当时，Sn最大.
若为奇数，当时,Sn最大.
分析2：利用二次函数知识求解
解：依题意∴,此函数是以n为变量的二次函数。
∵a1>0.(≠m),∴d<0.此二次函数的图象开口向下。
∵∴时，最大，但中，.
∴若为偶数，当时，Sn最大.
若为奇数，当时，Sn最大.
五、1.A 2.C 3.B 4.2 5.－110
6.【解析】(1)依题意，有
即
又∵a3=12. ∴a1=a3-2d=12-2d.③
把③分别代入①、②中，得
∴
（2）
＝
=
=
∵
∴
故当n=6时，Sn有最大值。
∴在S1，S2……，S12中，S6最大.
六、1.A 2.C 3.C 4.A 5.C 6. 7.10 8.0
9.【解析】
（1）设数列的公差为d，则，
.
(2)
.
(3)是首项为149，公差为-3的等差数列。
当时，
。
当
。
综上所述，
10.【解析】设等差数列的公差为d,由及已知条件得
①
②
由②得＝2a代入①有
解得a1=0或a1＝
当a1=0时，=0舍去
因此a1＝,=
故数列的通项公式
快餐：1、C 2、C 3、B、 4、C 5、5或6 6、
第三节 等比数列
二、1.如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项之比都等于同一常数q，这个数列叫等比数列.q叫等比数列的公比。
2.an=a1qn-1
4.①am+an=ap+aq
②a1<0,00,01
三、1.D 2.B 3. 4.512
5.32 6.189
四、例一 解：设原来的等比数列的三项分为
则
∴原等比数列为2，6，18或
例二 解：设an+1＋x=3(an+x) 则an+1=3an+2x ∴2x=2 得x=1
∴an+1=3an+2可化为an+1+1=3(an+1)
∴是以a1+1=3为首项，以3为公比的等比数列 故
例三 解：若q=1时，则≠2Sq
∴q≠1 由已知可得
∴q3(2q6―q3―1)=0 ∴
∵q≠1 ∴293+1=0 得q=
五、1.B 2.C 3.A 4. 5.an=
6.解: ∵ ①对任意正整数n都成立
∴当n≥2时,有②
①－②可得 (n≥2) ∴
在①中令n=1可得
所以an=
显然①S1=an=14
②当n≥2时 Sn=a1+a2+a3+……+an
=14+23+24+25+……+2n+1
=14+
综上可得Sn=2n+2+6
六、1.B 2.B 3.B 4.C 5.A 6.67 7. 8.q=1
9.解：(I)∵lga1,lga2,lga4成等差数列
∴2lga2=lga1+lga4,即
设等差数列的公差这d,则(a1+d)2=a1(a1+3d),
这样 从而 d(d-a1)=0
①若d=0，则为常数列，相应也是常数列。
此时是首项为正数，公比为1的等比数列。
②若d=a1≠0,则
这时是首项，公比为的等比数列，综上知，为等比数列
(II)如果无穷等比数列的公比q=1，则当n→∞时，其前项n和的极限项不存在，因而d=a1≠0,这时公比 这样, 的前n项和
则 . 由 得公差d=3 首项a1=d=3
10.（1）设中低价房面积形成数列，由题意可知是等差数列，其中，a1=250,d=50
则
令 25n2+225n≥4750
即 n2+9n-190≥0,则n是正整数
∴n≥10
故到2013年底，该市所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万m2
(2)设新建住房面积形成数列，由题意知,是等比数列，其中b1=400,q=1.08
则
由题意知an>0.85bn, 有
由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=6。
故到2009年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.
快餐：1、D 2、A 3、B 4、B 5、2 6、
第四节 等差数列与等比数列
三、1.B 2.D 3.D 4.B 5.240 6.
6.解：（1）设公比为q，则 ∴
(2)设公差为d,则2=1+(n+1)d,∴(n+1)d=1
=
四、1.解： ∴
2.解:均为正整数 ∴ ①
∴ ∴ a1q3=8 ②
∴8q+8q2=48 ∴q2+q=6 解得：q=2或－3（舍）∴a1=1 ∴ ∴
3.解：（I）设的公差为d，的公比为q,则依题意有q>0且
解得d=2,q=2.
所以an=1+（n-1）d=2n-1,
bn=qn-1 =2n-1.
(II)
Sn=1+①
2Sn=2+②
②-①得Sn=2+2+,
=2+2×
=2+2×
=6-.
五、1.D 2.C 3.C 4.6或7 5.2
6.解：（1）M,An,Bn共线， ∴ ∴an=2n
∵的第三项为8，公比为4， ∴,
a1+a2+……+an=n(n+1)
∴a1b1+a2b2+……+anbn=(2n-3)n(n-1)
同理 a1b1+a2b2+……an-1bn-1=(2n-5)(n-1)n
∴anbn=(2n-3)n(n+1)-(2n-5)(n-1)n=n(6n-8)=2nbn
∴bn=3n-4 ∴ 故点列在同一条直线上，方程为y+1=3(x-1)即3x-y-4=0
六、1.A 2.C 3.C 4.B 5.C 6.35 7.-8 8.-2
9.(I)解：方程x2-(3k+2k)x+3k·2+=0的两个根为x1=3k,x2=2k.
当k=1时，x1=3,x2=2,所以a1=2;
当k=2时，x1=6,x2=4,所以a3=4;
当k=3时，x1=9,x2=8,所以a3=8;
当k=4时，x1=12,x2=16,所以a7=12;
因为n≥4时，2n>3n,所以a2n=2n(n≥4)
(II)S2n=a1+a2+…+a2n=(3+6+…+3n)+(2+22+…+2n)=
10.解（I）设等比数列｛an｝的公比为q(q∈R),
由a7=a1q6=1,得a1=q-6,从而a4=a1q3=q-3,a5=a1q4=q-2,a6=a1q5=q-1.
因为a4,a5+1,a6成等差数列，所以a4+a6=2(a5+1),
即q-3+q-1=2(q-2+1),q-1(q-2+1)=2(q-2+1).
所以q=,故an=a1qn-1=q-6qn-1=64().
(II)Sn=
快餐：1B 2C 3C 4B 5 6 2600
第五节 数列的通项及求和答案
三、1. 2. 3.n2 4.10 5.4n-1
四、例一 解：(I)设数列的公差为d，则a1+a2+a3=3a1+3d=12 2a1=12 得d=2 ∴an=2n
(II)令 则由得
当x≠1时，①式减去②式得
∴ 当x=1时，Sn=2+4+……+2n=n(n+1)
总之当x=1时，Sn=n(n+1) 当x≠1时，
例二解：（1）易求an=10-2n
(2)
∴
=
要使总成立，需 恒成立,即m<8，∴m的最大值为7
五、1.C 2.C 3.C 4.120 5.
6.解：(1)a2=a1+(-1)1=0 a3=a2+31=3 a4=a3+(-1)2=4 a5=a4+32=13 ∴a3=3 a5=13
(2)a2k+1=a2k+3k=a2k-1+(-1)k+3k ∴a2k+1-a2k-1=3k+(-1)k 同理a2k-1-a2k-3=3k-1+(-1)k-1 a3-a1=3+(-1)
∴(a2k+1-a2k-1)+(a2k-1-a2k-3)+……+a3-a1=(3k+3k-1+……3)+[(-1)k+(-1)k-1+…+(-1)]
得
=
an的通项公式为
n为奇数时
n为偶数时
六、(一)1.B 2.B 3.B 4.C 5.B
（二）1.- 2.110 3.100a100
a1+a2+a3=7,
(三)1.解：（1）由已知得：
解得：a2=2.
设数列｛an｝的公比为q，由a2=2,可得a1=
又S3=7，可知
即2q2-5q+2=0,
解得q1=2,q2=.
由题意得q>1,∴q=2.
∴a1=1.
故数列｛an｝的通项为an=2n-1.
(2)由于bn=1na3n+1,n=1,2,…，
由（1）得an+1=23n
∴bn=1n23n=3nln2
又bn+1-bn=3ln2n
∴｛bn｝是等差数列。
∴Tn=b1+b2+…+bn
=
=
=
故Tn=
2.解（1）由an=
整理得1-an=-(1-an-1).
又1-a1≠0，所以｛1-an｝是首项为1-a1,公比为- 等比数列，得
an=1-(1-a1)(-)
(2)方法一：
由（1）可知00.
那么，b
=a(3-2an+1)-an2(3-2an)
=
又由（1）知an>0且an≠1,故b
因此 bn方法二：
由（1）可知0因为an+1=
所以bn+1=an+1
由an≠1可得an(3-2an)<()3,
即an2(3-2an)<()
即bn快餐：1。C 2。B 3。B 4。B 5。 1或13 6。 -92
第六节 数学归纳法（答案）
二、1.(1)P1,P0 (2)Pk,Pk+1 2.(1) n0,n0=1 (2)n=k,k+1
三、1.C 2.B 3.B 4.B 5.k3+5k+3k(k2+1)+6
6.1×4+2×7+……+k(3k+1)+(k+1)[3(k+1)+1]=(k+1)[(k+1)+1]2
四、证明：（1）当n=1时,左边=1=右边 显然成立
（2）假设n=k时，命题成立，即
1+4+7+……+(3k-2)= 则n=k+1时，
=
即n=k+1时等式也成立
由（1）（2）知，对任何等式成立
2.证明：（1）当n=1时，f(1)=(2×1+7)×3+9=36,能被36整除
（2）假设n=k时，f(k)能被36整除
即 能被36整除
则当n=k+1时,f(k+1)=[2(k+1)+7]=
由归纳假设3[]能被36整除 而3k-1-1是偶数 ∴18(3k-1-1)能被36整除
∴f(k+1)能被36整除
由（1）（2）可知，对任何能被36整除
3.证明：（1）一个圆将平面分成2个区域，而当n=1时，n2-n+2=2,因此结论当n=1时成立
（2）假设n=k时，结论成立，即k个圆最多把平面分成k2-k+2个区域，在此基础上增加一圆，为使区域最多，应使新增的圆与前k个圆都交于两点，于是新增2k个交点。这2k个交点将新圆分成2k段弧，这2k段弧将所有经过的区域一分为二，因此新增2k个区域，这样k+1个圆最多把平面分成(k2-k+2)+2k=(k+1)2-(k+1)+2 可见结论当n=k+1时成立，于是对任何正整数结论成立。
五、1.B 2.B 3.D 4.11 5.
6.解法1：（I）证：用数学归纳法证明：
（i）当m=1时，原不等式成立；当m=2时，左国=1+2x+x2，右边=1+2x,因为x2≥0,所以左边≥右边，原不等式成立；
（ii）假设当m=k时，不等式成立，即（1+x）k≥1+kx,则当m=k+1时，
∵x>-1，∴1+x>0，于是在不等式（1+x）k≥1+kx两边同乘以1+x得
（1+x）k·（1+x）≥(1+kx)(1+x)=1(k+1)x+kx2≥1+(k+1)x,
所以（1+x）k+1≥1+(k+1)x。即当m=k+1时，不等式也成立。
综合（i）(ii)知，对一切正整数m，不等式都成立。
（II）证：当n≥6,m≤n时，由（I）得（1+）m≥1-
于是
(III)解：由（II）知，当n≥6时，
∴
即3n+4n+…+(n+2)n<(n+3)n.即当n≥6时，不存在满足该等式的正整数n。
故只需要讨论n=1,2,3,4,5的情形：
当n=1时，3≠4，等式不成立；
当n=2时，32+42=52，等式成立；
当n=3时，32+43+53=63，等式成立；
当n=4时，34+44+54+64为偶数，而74为奇数，故34+44+54+64≠74，等式不成立；
当n=5时，n=4的情形可分析出，等式不成立。
综上，所求的n只有n=2,3.
解法2：（I）证：当x=0或m=1时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明：
当x>-1,且x≠0,m≥2,(1+x)m>1+mx. ①
(i)当m=2时，左边=1+2x+x2,右边=1+2x，因为x≠0,所以x2>0，即左边>右边，不等式①成立；
（ii）假设当m=k(k≥2)时，不等式①成立，即（1+x）k>1+kx,则当m=k+1时，
因为x>-1,所以1+x>0。又因为x≠0,所以x2>0。
于是在不等式（1+x）k>1+kx两边同乘以1+x得
（1+x）k·（1+x）>(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x,
所以（1+x）k+1>1+(k+1)x..即当m=k+1时，不等式①也成立。
综上所述，所证不等式成立。
（II）证：当n≥6,m≤时，∵
而由（I），
（III）解：假设存在正整数n0≥6使等式3n0+4n0+…+(n0+3)n0成立，
即有②
又由（II）可得
=
<②式矛盾。
故当n≥6时，不存在满足该等式的正整数n。
下同解法1。
快餐：
1、B 2、D 3、D 4、C 5、2 6、
第七节 数列的综合应用答案
三、1.解：
2．Sn-1,Sn,Sn+1成等差 ……
q2-2q+1=0 q=1
3.
①÷②得：q2+1=3 q2=2代入①得b1=a1=2d ∴an=(n+1)d
∴ 又∵a63=64d ∴b11=a63选C
4. 5.S110=－110
6.
Sn=
四、1.设数列的前n项和为 ∴
∴ A(P+q)+B=0
∴
2.设圆W坐标为(x0,0),则
∴半径 ∴
3. 解法1：（1）证：由
（II）证：
（III）由（II）得
=
=
当q=1时，
=
当q≠1时，
=
=
q=1
故
.
解法2：（I）同解1（I）
（2）证：
下同解法1。
五、1.(1)3(a1+7d)=5(a1+12d) d<0 an=a1+(n-1)d
令an≤0 a20>0,a21<0 故前20项和最大选C
(2)略
六、（一）1、D 2、D 3、C 4、C 5、B
（二）6、 7、A 8、4160
（三）1解：（I）
2、
(5)
(4)
(1)
(2)
(3)
1 (n=1)
(n≥2)
数 列
定义及有关概念
通项公式
数列求和
等差数列
等比数列
定义
等差等比中项
通项公式
前n项和公式
数列应用
an≥an+1
an≥an-1
∴
n≥8
n≤9
∴8≤n≤9即a8,a9最大。
S奇＋S偶＝354
S偶＝192，
S奇＝162.
n≤20,
n＞20.
2a2+11d>0,①
A3+6d<0. ②
24+7d>0
3+d<0
Sn
5 (n=1)
2n-1 (n≥2)
a=6
解
或
q=3
5，（n=1）
2n-1,(n≥2)
14 (n=1)
2n+1 (n=2,3……)
1+2d+q4=21,
1+4d+q2=13,
3 (n=1)
2n (n>1)
a1+a2+a3=12
a1a2a3=48
a2=4
a1+a3=8
a1a3=12
a1=2,a2=4,a3=6
a1=b1
a1+2d=b1q2
a1+6d=b1q4
b1+2d=b1q2
b1+6d=b1q4
2d=b1(q2-1) ①
6d=b1(q4-1) ②
n为奇数
n为偶数
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第2章 数列
第一节 数列及其基本概念
一、考试要求：
（1）掌握数列及通项公式的概念
（2）理解数列的表示方法与函数表示方法之间的关系
二、知识梳理
①数列的定义
②数列的通项公式
③数列的分类
④数列可以看作是一个定义域为 的函数当自变量从 到 依次取值时，对应的一列函数值，它的图象是一串 的点。
⑤递推公式的定义是
三、基础练习
1.根据数列的前n项，写出下列各数列的一个通项公式
（1）1,3,6,10,15,………
（2）7,77,777,………
（3）1，………
2.数列1,0,1,0……的一个通项公式是（ ）
A. B.
C. D.
3.数列中的最大项是（ ）
A.107 B.108 C. D.109
四、典型例题
例1.已知无穷数列1×2,2×3,3×4,……,n(n+1),……判断420与421是否为该数列中的项？若是应为第几项？
例2 已知函数f(x)=2x -2-x，数列满足f(log2an)=-2n
（1）求数列的通项公式；
（2）证明数列是递减数列。
例3 已知数列的递推公式为an+2=3an+1-2an,且a1=1,a2=3，
(1) 求:a5;(2)127是这个数列的第几项？
五、自我测评
1.符合数列2，5,11，20，x，47，……构成规律的x等于（ ）
A.32 B.28 C.33 D.27
2.下列说法正确的是（ ）
A.数列2，4,6,8，可表示为
B.数列1,0，－2，－1与数列－2，－1,0，1是相同数列
C.数列的第k项为1＋
D.数列0,2，4,6，8……可记为
3.数列中，an=1,an+2=,则a5=( )
A. B. C. D.
4.数列中，a1=1对所有n≥2,都有，则a3+a5=
5.(07江西理14)已知数列｛an｝对于任意p，q∈N*，有ap+aq=ap+q,若a1=,则a36=
。
6.设是首项为1的正项数列，且(n+1) a2n+1-nan2+an+1an=0(n=1,2,3,……)
求它的通项公式an
六、课后练习
1.数列……中，有序数对（a,b）可以是( )
A.(21,-5) B.(16,-1) C.() D.( )
2.已知数列的通项公式是则数列的最大项是（ ）
A.第12项 B.第12项和第13项 C.第13项 D.不存在
3.已知数列的通项公式是，其中a，b均为正常数，那么an与an+1的大小关系是（ ）
A. B. C. D.与n的取值有关
4.已知数列的前n项和则a5+a6=( )
A. B. C. D.
5.已知数列的通项公式，则数列的前30项中，最大项和最小项分别为（ ）
A.a1,a30 B.a1,a9 C.a10,a9 D.a10,a30
6.（07广东文13）已知数列｛an｝的前n项和Sn=n2-9n,则其通项an= ;若它的第k项满足5
；数列｛nan｝中数值最小的项是第 项。
8.已知是递增数列且对任意的an=n2+入n恒成立，则实数入的取值范围是
9.已知问数列中有没有最大项？如果有，求出这个最大值；若没有说明理由。
10.（07山东理17）设数列｛an｝满足a1+3a2+32a3+…+3n-1an=,a∈N＊
(I)求数列｛an｝的通项；
(II)设bn=,求数列｛bn｝的前n项和Sn.
3
5 6
9 10 12
①写出这个三角形数表的第四行，第五行各数；
②求a100
七、快餐
1、数列｛an｝中，an=-2n2+29n+3,则此数列最大项的值是（ ）
A．107 B．108 C．108 D．109
2、已知数列｛an｝的通项an=（a、b、c都是正实数），则an与an+1的大小关系是（ ）
A．an>an+1 B．an
A．an=4n-1 B．an=n3-n2+n+2 C．an=n2+n+1 D．不存在
4、数列｛an｝中，a1=1,对所有的n≥2，都有a1·a2·a3·…·an=n2,则a3+a5等于（ ）
A． B． C． D．
5．已知｛an｝是递增数列，且对于任意的n∈N＊,an=n2+n恒成立，则实数的取值范围是 。
6．已知数列｛an｝满足a1=1,当n≥2时，an2-(n+2)an-1·an+2na=0，则an=
。（写出你认为正确的一个答案即可）
第二节 等差数列
一、考试要求：
1.掌握等差数列的概念，等差中项的概念，会用定义判定数列是否是等差数列。
2.掌握等差数列的通项公式及推导方法，会类比直线，一次函数等有关知识研究等差数列的性质，能熟练运用通项公式求有关的量：a1,d,n,an.
3.掌握等差数列的前几项和公式及推导方法，熟练运用通项公式，前几项和公式，对于a1,d,n,an,sn中已知三个量求另两个量，灵活运用公式解决与等差数列有关的综合问题，能构建等差数列模型解决实际问题。
4.提高观察、概括、猜想，运算和论证能力，能通过类比，转化等方法解决有关数列的一些问题。
二、知识梳理：
1.等差数列定义
2.等差数列的判定
3.通项公式
4.等差数列n项和公式
5.性质：①am=ak+(m-k)d 则d= .
②若m,n,,N+,且m+n=k+，则 反之不成立。
③若数列是公差为d的等差数列，则数列(入，b为常数)是公差为 的等差数列。
若也是公差为d的等差数列，则(入1,入2为常数)也是等差数列且公差为 。
④下标成等差数列且公差为m的项ak,ak+m,ak+2m……组成的数列仍为 ，公差为 。
⑤设A=a1+a2+………an, B=an+1+an+2………+a2n, C=a2n+1+a2n+2………+a3n 则A、B、C成 。
⑥若等差数列的项数为，则S偶－S奇＝ ；
；S2n=n(an+an+1),(an,an+1)为中间二项)若等差数列的项数为2n-1(),则S奇－S偶＝ ， ，
S2n-1=(2n-1)an (an为中间项)
三、基础练习
1.等差数列的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（ ）
A.130 B.170 C.210 D.260
2.若关于的方程和(a≠b)的四个根可组成首项为的等差数列，则a+b的值是（ ）
A. B. C. D.
3.若差数列中前n项的和为210，其中前4项的和为40，后4项的和为80，则n值为( )
A.12 B.14 C.16 D.18
4.在a和b(a≠b)两数之间插入n个数，使它们与a,b组成等差数列，则该数列的公差为（ ）
A. B. C. D.
5.有两个等差数列，它们的前n项和的比是（n+2）:（n＋3），则此二数列中第七项的比a7:b7=( )
A. B. C. D.
6.在等差数列中，若a3+a4+a5+a6+a7=450，则a2+a8=（ ）
A.90 B.100 C.180 D.200
四、典型例题
1.一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32：27，求公差d.
2.在等差数列中，a1=－60，a17=－12，求数列的前n项和。
分析：本题实际上是求数列前n项的绝对值之和，由绝对值的意义，要求我们应首先分清这个数列的哪些项是负的，哪些项是非负的。由已知数列是首项为负数的递增数列，因此应先求出这个数列从首项起共有哪些项是负数，然后再分段求出前n项的绝对值之和。
3.等差数列的首项为a1>0，前n项和为Sn，当≠m时， ，问n为何值时，Sn最大。
五、自我评测
1.（07重庆理1）若等差数列的前三项和S3=9且a1=1,则a2等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2.如果数列是等差数列，则 （ ）
A． B．
C． D．
3．（07安徽文3）等差数列的前n项和为Sx若a2=1,a3=3,则S4=（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
4.等差数列中，a2+a5=19,S5=40,则a1=
5.已知等差数列的前n项和为Sn，且S10＝100，S100＝10，则S110＝
6.设等差数列的前n项和为Sn,已知a3=12,S12>0 S13<0
①求公差d的取值范围。
②指出S1，S2……，Sn中哪一个值最大，并说明理由。
六、课后练习
1.(07辽宁文5)设等差数列｛an｝的前n项和为Sn,若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9=( )
A.63 B.45 C.36 D.27
2.（07湖北理8）已知两个等差数列｛an｝和｛bn｝的前n项和分别为An和Bn,且，且，则使得为整数的正整数n的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3.在等差数列中，若a2+a4=m, a3+a5=n，则此数列前6项和等于（ ）
A. m+n B. C. D.
4.在等差数列中，3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)＝24，则此数列的前13项之和等于（ ）
A.26 B.13 C.52 D.156
5.（07理宁理4）设等差数列｛an｝的前n项和Sn,若S3=9，S6 =36，则a7+a8+a9=( )
A.63 B.45 C.36 D.27
A.1 B. C. D.
6.（07宁夏文16）已知｛an｝是等差数列，a4+a6=6,其前5项和S5=10，则其公差d= .
7.在等差数列中，a1+a2+a3=15, an+an-1+an-2=78 ,Sn=155，则n= .
8.等差数列中，Sm=Sn，(m≠n),则Sm+n=
9.（07上海文20）如果有穷数列a1,a2,a3，…，am（m为正整数）满足条件a1=am,a2=am-1,…am=a1,即a1=am-i+1(i=1,2,…,m),我们称其为“对称数列”。
例如，数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，2，4，8都是“对称数列”。
（1）设｛bn｝是7项的“对称数列”，其中b1,b2,b3,b4是等差数列，且b1=2,b4=11,依次写出｛bn｝的每一项；
（2）设｛cn｝是49英的“对称数列”，其中c25，c26,…,c49是首项为1，公比为2的等比数列，求｛cn｝各项的和S；
（3）设｛dn｝是100项的“对称数列”，其中d51,d52,d100是首项为2,公差为3的等差数列，求｛dn｝前n项的和Sn(n=1,2,…,100).
10.（2004全国IV）设数列是公差不为零的等差数列，Sn是数列的前n项和，且，求数列的通项公式。
七、快餐
1．已知等差数列｛an｝满足a1+a2+a3+…+a101=0,则有（ ）
A．a1+a101>0 B．a2+a101<0
C．a3+a99=0 D．a1=51
2.在等差数列｛an｝中，若a3+a4+a5+a6+a7=450,则a2+a8=( )
A.45 B.75 C.180 D.300
3.若x≠y,数列x,a1,a2,y和x,b1,b2,b3,y各自成等差数列，则=（ ）
A． B． C． D．
4．等差数列中，a1=,第10项开始比1大，则公差d的范围是（ ）
A．d> B．d< C．
6．若关于x的方程x2-x+a=0(a≠0)和x2-x+b=0的四个根可组成首项为的等差数列，则a+b的值是 .
第三节 等比数列
一、考试要求：
1.通过实例，理解等比数列的概念。
2.探索并掌握等比数列的通项公式与前几项和的公式。
3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。
4.体会等比数列与指数函数的关系。
二、知识梳理
1.等比数列的定义
2.等比数列的通项 前几项和
3.等比中项
若a、b、c成等比,则b为a、c的等比中项，即b2=ac.
正数m、n的等比中项为
4.等比数列的性质
①若数列等比数列，则若则
②当或 时，数列为递增数列。
当 或 时，数列为递减数列。
当＝1时，数列为常数列；当＜0时，数列为摆动数列。
三、基础练习
1.设数列为等比数列，则下面4个数列：
① ②（p为非零常数） ③ ④其中是等比数列的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.b2=ac是a、b、c成等比数列的（ ）条件
A.充分但不必要 B.必要但不充分 C.充要条件 D.既不充分也不必要
3.等比数列中，a5=-8, 则an= Sn=
4.某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂成两个），经过3小时，这种细菌由一个可繁殖 个。
5.在等比数列中，则
四、典型例题
例1 一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，那么所得的三项就成为等差数列；如果再把这个等差数列的第三项加上32那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列。
例2 若数列满足关系a1=2，an+1=3an+2求数列的通项公式。
例3 设等比数列的前n项和为Sn，若求公比q.
五、自我测评
1.在各项为均为正数的等比数列中，公比q=2且a1a2a3……a30=230 则……a30＝（ ）
A.210 B.220 C.216 D.215
2.（07福建文2）等比数列中，a4=4,则a2·a6等于（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
3.（07重庆文1）在等比数列中，a1=8,a5=64,则公比q为（ ）
4.
5.数列的前n项和Sn=3+2n 则an=
6.数列满足求数列的通项公式及前n项和Sn的公式。
六、课后练习
1.在各项均为正数的等比数列中，若=（ ）
A.12 B.10 C.8 D.2+log35
2.（07湖南文4）在等比数列(n∈N﹡)中，若a1=1,a4=,则该数列的前10项和为（ ）
A.2- B.2-
C.2- D. 2-
3.（07宁夏文6）已知a,b,c,d成等比数列，且曲线y=x2-2x+3的项点是（b,c），则ad等于（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D.-2
4.某工厂2003年12月份的产值是这年1月份产值的m倍，则该在2003年产值的月平均增长率为（ ）
A. B. C. D.
5.设2a=3, 2b=6, 2c=12 则a、b、c（ ）
A.是等差数列，但不是等比数列 B.是等比数列，但不是等差数列
C.既是等差数列，又是等比数列 D.既不是等差数列，也不是等比数列
6.已知数的前n项和Sn=n2-4n+1 则=
7.数列中，an+1=2nan,a1=1 则an=
8.设数列是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若是等差数列，则q=
9.已知是各项均为正数的等差数列，lga1、lga2、lga4成等差数列又，n=1,2.3……
（I）证明为等比数列
（II）如果无穷等比数列各项的和S=，求数列的首项a1和公差d.
（注：无穷数列各项的和，即当n→∞时数列前n项和的极限）
10.假设某市2004年新建住房400万m2，其中有250万m2是中低价房。预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%，另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万m2，那么到哪一年底，
①该市历年所建中低价房的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万m2
②当年建造的中低价房的面积，占该年建造住房面积的比例首次大于85%？
七、快餐
1．一个各项均为正数的等比数列，其任何项都等于后面两项的和，则其公比是（ ）
A． B． C． D．
2．若正项等比数列｛an｝的公比q≠1,且a3,a5,a6成等差数列，则等于（ ）
A． B． C． D．不确定
3．若Sn是数列｛an｝的前n项和，且Sn=n2，则｛an｝是（ ）
A．等比数列，但不是等差数列 B．等差数列，但不是等比数列
C．等差数列，而且也是等比数列 D．既非等差数列又非等比数列
4．非零实数x,y,z等差数列，x+1,y,z与x,y,z+2分别成等比数列，则y等于（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
5．设a、b、c成等比数列，x为a、b的等差中项，y为b、c的等差中项，则= 。
6．如下图，它满足：①第n行首尾两数均为n；②表中的递推关系类似杨辉三角，则第n行（n≥2）第2个数是 .
第四节 等差数列与等比数列的综合运用
一、考试要求：
1.理解等差数列与等比数列概念，掌握它们的通项公式与前n项和公式。
2.能正确的判断和区分等差数列和等比数列，并能用其公式和性质解决简单的实际问题。
二、知识梳理
等差数列 等比数列
定 义
通项公式
前n项和公式
性 质
等差（等比）中项
三、基础练习
1.设是递增等差数列，前三项和为12，前三项积为48，则它的首项为（ ）
A.4 B.2 C.1 D.6
2.（07宁夏理4）已知是等差数列，a10=10,其前10项和S10=70，则其公差d=( )
A.- B.- C. D.
3.一个各项均为正数的等比数列，其任何项都等于后面两项的和，其公比是（ ）
A. B. C. D.
4.（07四川文7）等差数列中，a1=1，a3+a5=14,其前n项和Sn=10,则S6=等于（ ）
A.12 B.18 C.24 D.42
5.在等比数列中，已知a1+a2+a3=30,a4+a5+a6=60,则a10+a11+a12=
6.在1,2之间插入n个正数a1,a2,a3……an，使这n+2个数成等比数列；又在1与2之间插入n个正数b1,b2,b3……bn，使这n+2个数成等差数列，记An=，Bn=求数列和的通项。
四、典型例题
1.在等比数列中， ,,则
2.设是各项均为正整数的无穷等比数列，
满足(1)a5+a6=48 (2)
求数列的通项公式
3.（07全国1文21）设是等差数列，（bn）是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1,a3+b5=21,a5+b3=13
(I)求，（bn）的通项公式；
（II）求数列｛｝的前n项和Sn
五、自我测评
1.等差数列的公差d≠0,若a1,a3,a9成等比数列，则=( )
A. B. C. D.
2.（07陕西文5）等差数列的前n项和为Sn,若S2=2，S4=10，则S6等于（ ）
A、12 B、18 C、24 D、42
3、（07天津理8）设等差数列的公差d不为0，a1=9d.若ak是a1与a2k的等比中项，则k=（ ）
A、2 B、4 C、6 D、8
4.在等差数列中，a1>0,S4=S9,则Sn取最大值时n=
5、（07重庆理14）设为公比q>1的等比数列，若a2004和a2005是方程4x28x+3=0的两个根，则
A2006+a2007= .18
6. 为两个数列点M(1,2),An(2,an),Bn()为直角坐标平面上的点，
(1)对,若点M,An,Bn在同一直线上，求数列的通项公式。
（2）若数列满足，其中是第三项为8，公比为4的等比数列，求证：点（1,b1）(2,b2),………(n,bn)在同一直线上，并求此直线方程。
六、课后练习
1.已知等差数列中，a7+a9=16,a4=1,则a12的值是（ ）
A.15 B.30 C.31 D.64
2.在各项都为正数的等比数列中，首项a1=3,前三项和为21，则a3+a4+a5=( )
A.33 B.72 C.84 D.189
3.(05年山东) 是首项a1=1,公差d=3，的等差数列，如果an＝2005，则序号n等于（ ）
A.667 B.668 C.669 D.670
4.（05年全国II）如果a1,a2……,a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0,则（ ）
A. B.
C. D.
5.（07湖南理10）设集合，S1，S2……SK都是M的含两个元素的子集，且满足：对任意的Si=,都有min），则k的最大值是（ ）
A、10 B、11 C、12 D、13
6.在数列中，a1=1,a2=2,且an+2-an=1+(-1)n()则S10=
7.（07全国1理15）等比数列的前n项和为Sn,已知成等差数列，则的公比为
.
8.设等比数列的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1, Sn， Sn＋2成等差数列，则q的值为
9.（07浙江19）已知数列 中的相邻两项是关于x的方程的两个根，且
（I）求（不必证明）；
（II）求数列的前2n项和S2n
10、（07陕西文20）已知实数列是等比数列，其中成等差数列，（I）求数列的通项公式；
（II）数列的前n项和记为Sn，证明：
七、快餐：
1、等差数列的首项从第7项开始为负数，则的值为（ ）
A、-7 B、-17 C、-27 D、有无数个值
2、已知数列1，是此数列中的（ ）
A、第48项 B、第49项 C、第50项 D、第51项
3、已知数列的前n项和等于（ ）
A、729 B、387 C、604 D、854
4、已知数列中等于（ ）
A、445 B、765 C、1080 D、3150
5、设等差数列的公差成等比数列，则 。
6、在数列中， 。
第五节 数列的通项及求和
一、考试要求：
1.会用一些简单的方法寻求数列的通项，并用通项解决数列的相关问题。
2.掌握一些简单的数列求和的方法，并能用数列求和解决一些数列问题。
二、知识梳理
（一）数列公式的一般求法
1. ，就是利用有限项，专推测公式。
2.对于比较复杂的通项公式，要借助于 数列和 数列和其他方法解决。
3.利用an与Sn之间的关系an= 来用通项。
4.会用等比数列和等差数列中的累乘法和累加法求通项。
（二）数列前n项和Sn的一般方法
1.直接转化为 或 求和问题。
2.运用等差数列和等比数列求和的 和 方法求前n项和。
（3）裂项求和 （4）对通项进分解或组合，将原数列化成若干个容易求和的数列。
（4）掌握一些常见数列的前n项和公式。
（1）1+2+3+……+n= （2）1+3+5+……(2n-1)=
（3）12+22+……+n2= (4)13+23+……+n3=
三、基础练习
1.（江西）数列的前n项和Sn满足log2(Sn+1)=n+1则an=
2.设的首项为1的正项数列，且则它的通项an=
3.数列的通项公式为an=4n-1，令则数列的前n项和
A.n2 B.n(n+2) C.n(n+1) D.n(2n+1)
4.若 则x=
5.已知中，,则
四、典型例题
1.已知数列是等差数列，且a1=2,a1+a2+a3=12
（I）求数列的通项公式。
（II）令，求数列的前n项和的公式。
2.已知数列中，a1=8,a4=2,且满足an+2=2an+1-an
(1)求数列的通项公式
(2)设 是否存在最大的整数m，使得对任意，均有成立若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由
五、自我测评
1.1+(1+2)+(1+2++22)+……(1+2+22+……+210)的值是( )
A.211-11 B.211-13 C.212-13 D.213-11
2.若数列是等差数列，其前n项和为Sn且满足其中m, m≠n，则的值为（ ）
A. B. C. D.
3. 首项为2，公比为3的等比数列，从第m项到第n项的和为720，则 （ ）
A．m=2，n=6 B．m=2，n=7 C．m=3，n=6 D．m=3，n=9
4.数列的通项为,若前n项和为10，则项数n为
5.已知数列满足a1=1,an=a1+2a2+3a3+……+(n-1)an-1 (n≥2)，则的通项an=
6.已知数列中a1=1,且a2k=a2k-1+(-1)k a2k+1=a2k+3k 其中k=1,2,3,……
(1)求a3,a5 (2)求an的通项公式
六、课后练习
（一）选择题
1、（07福建理2）数列的前n项和为Sn，若等于（ ）
A、1 B、 C、 D、
2、（07广东理5）已知数列的前n项和，第k项满足，则k=（ ）
A、9 B、8 C、7 D、6
3.（天津）若数列的前8项和值各异且an+8=an对任意都成立则下列数列中可取通前8项值的数列为（ ）
A. B. C. D.
4.（2004年湖北理）已知数列的前n项和(n=1,2……)，其中a、b是非零常数，则存在数列，使得（ ）
A.an=xn+yn,其中为等差数列，为等比数列
B.an=xn+yn,其中和都为等差数列
C.,其中为等差数列，为等比数列
D.,其中和都为等比数列
5.若是等差数列，首项a1>0,a2003+a2004>0 ，则使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是（ ）
A.4005 B.4006 C.4007 D.4008
二、填空题
1、（07全国2文14）已知数列的通项，则其前n项和Sn= .-
2.已知函数f(x)=2x+log2x,数列的通项公式是an=0.1,当取得最小时n=
3、（07江西文14）已知等差数列的前n项和为Sn，若 .7
三、解答题
1、（07山东文18）设是公比大于1的等比数列，Sn为数列的前n项和。已知S3=7，且构成等差数列。
（1）求数列的等差数列。
（2）令求数列的前n项和T。
七、快餐：
1、数列的通项为所确定数列的前n项和是（ ）
A、n(n+2) B、 c、 D、
2、数列1，的前n项和为（ ）
A、 B、 C、 D、
3、正整数数列中，前50个偶数的平方和与50个奇数的平方和的差是（ ）
A、0 B、5050 C、2525 D、-5050
4、数列的前n项和为（ ）
A．2- B、2-
C、 D、
5、已知为等差数列， 。
6、在一个数列中，如果第一项与它的后一项的积为同一个常数，那么这个数列称为等积数列，这个常数称为该数列的公积，已知数列是等积数列，且
公积为5，那么这个数列的前41项的和为 。
第六节 数学归纳法
一、考试要求：
1.理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
2.用数学归纳法证明，步骤与格式要规范。
3.能把猜想与数学归纳法结合起来，解决归纳型问题和存在型问题。
二、知识梳理
1.数学归纳法：设是一个与自然相关的命题集合，如果：（1）证明起始命题 （或 ）成立；（2）在假设 成立的前提下，推出 也成立，那么可以判定，对一切整数成或自然数成立。
2.数学归纳法步骤：
（1）证明当n取第一个值 时，命题P(n)正确。
（2）假设 （）时命题正确，证明当n= 时命题也正确，即P(k+1)为真。
（3）根据（1），（2）知，当n≥n1,且时，P(n)正确。
三、基础练习
1.用数学归纳法证明“对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取( )
A.2 B.3 C.5 D.6
2.记凸k边形的内角和为f(k),则凸k+1边形的内角和f(k+1)=f(k)+( )
A. B. C. D.
3.用数学归纳法证明不等式时，第一步应验证不等式（ ）A. B. C. D.
4.如果命题P(n)对n=k成立，则它对n=k+2亦成立，又若P(n)对n=2成立，则下列结论正确的是（ ）
A. P(n)对所有正整数n成立 B. P(n)对所有偶正整数n成立
C. P(n)对所有奇正整数n成立 D. P(n)对所有比1大的自然数n成立
5.用数学归纳法证明“n3+5n能被6整除”的过程中，当n=k+1时，对式子(k+1)3+5(k+1)应变形为 。
6.用数学归纳法证明：
设f(k):1×4+2×7+……+k(3k+1)=k(k+1)2则f(k+1)为
四、典型例题
例1 用数学归纳法证明：1＋4＋7……＋(3n-2)=
例2 用数学归纳法证明：f(n)=能被36整除。
例3 证明：平面上n个圆最多把平面分成n2-n+2区域。
五、自我测评
1.用数学归纳法证明：，第二步证明从“k到k+1”,左端增加的项数是（ ）
A.2k-1 B.2k C.2k-1 D.2k+1
2.等式( )
A.n为任何正整数时都成立 B.仅当n=1,2,3时成立
C.当n=4时成立，n=5时不成立 D.仅当n=4时不成立
3.设，那么f(n+1)-f(n)等于（ ）
A. B. C. D.
4.某个命题与正整数n有关，如果当n=k时该命题成立，那么可推得当n=k＋1时，该命题也成立，现已知当n=12时，该命题不成立，那么可推得当n= 时，该命题不成立
5.设f(k):则f(k+1)变为
6、（07湖北理21）已知m,n为正整数，
（1）用数学归纳法证明：当x>-1时，（1+x）m1+mx;
(2)对于n6,已知
求证
（3）求出满足等式的所有正整数n。
六、课后练习
1.用数学归纳法证明：“”在验证n=1时，左端计算所得项为（ ）
A.1 B.1＋a C.1＋a+a2 D.1+a2
2.用数学归纳法证明：“(n+1)×(n+2)×……×(n+n)=2n×1×……3×……×(2n-1)”从“K到k+1”左端需增乘的代数式为（ ）
A.2k+1 B.2(2k+1) C. D.
3.用数学归纳法证明命题“能被9整除”要利用归纳假设证n=k+1时的情况，只需展开（ ）
A.(k+3)3 B.(k+2)3 C.(k+1)3 D.(k+1)3+(k+2)3
4.用数学归纳法证明不等式的过程中，由n=k道推到n=k+1时，不等式左边（ ）
A.增加一项 B.增加两项
C.增加了，B中的两项，又减少了另一项 D.增加了,A中的一项，又减少了另一项
5.用数学归纳法证明：“对于足够大的自然数n，总有2n>n3”验证第一步不等式成立所取的第一个值n0最小应取（ ）
A.1 B.大于1且小于10的某个自然数 C.10 D.11
6.k棱柱有f(k)个对角面，则k+1棱柱的对角个数f(k+1)=f(k)+
7.平面上有n个圆，其中每两个都相交于两点，第三个都无公共点，它们将平面分成f(n)块区域，有f(1)=2,f(2)=4,f(3)=8，则f(n)表达式为
8.（07江西理22） 设正整数数列满足：且对于任何n,有2+
（1）求
（2）求数列的通项an。
七、快餐：
1、等式（ ）
A、n为任何正整数时都成立
B、仅当n=1,2,3时成立
C、当n=4时成立，n=5时不成立
D、仅当n=4时不成立
2、利用数学归纳法证明“”的过程中，由“n=k”变到“n=k+1”时，不等式左过的变化是（ ）
A、增加 B、增加
C、增加 D、增加
3、同一平面内有n个圆，其中每两个圆有两个不同交点，并且三个圆不过同一点，则这n个圆把平面分成（ ）
A、2n部分 B、n2部分 C、2n-2部分 D、n2-n+2部分
4、某个命题与正整数有关，如果当n=k（）时该命题成立，那么可以推出n=k+1时该命题也成立，现已知n=5时该命题不成立，那么（ ）
A、n=4时该命题成立 B、n=6时该命题不成立
C、n为大于5的某个自然数时命题成立
D、以上答案均不对
5、用数学归纳法证明“”能被9整除的第二步中，为了使用归纳假设，应将变形为 。
6、已知数列的前n项和为Sn，且a1=1,，试归纳猜想出Sn的表达式为 。
第七节 数列的综合运用
一、考试要求：
1.理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据数列的递推公式写出数列的前n项。
2.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式和前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题。
3.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式，并能运用公式解决简单的问题。
4.掌握等差数列，等比数列的基础知识基本技能、基本思想方法。
5.使学生具备熟练的运算能力、逻辑思维能力以及分析问题解决问题的能力
二、知识梳理：
三、基础练习：
1.设是递增的等差数列，前三项和为12，前三项积为48，则它的首项为
2.设是公比为q的等比数列，Sn为其前n项和，若是等差数列，则q＝
3.设公差不等于0的等差数列和等比数列，两数列关系为a1＝b1，a3＝b3，a7=b5,那么
A．b11＝a13 B．b11＝a31 C．b11＝a63 D．b63＝a11
4.等差数列、的前n项和分别为和，若，则 。
5.在等差数列中，已知＝10，＝100，则＝
6.（07北京文10）若数列的前n项和，则此数列的通项公式为 .2n-11
四、典型例题
1.已知是等差数列的前n项和，且＝（p≠q）则＝
2.已知A（0,） B(0,-) C(4+,0)其中，设表示△ABC外接圆的面积。则＝ 。
3.（07湖北文20）已知数列和满足：且是以q为公比的等比数列。
（1）证明：；
（2）若,证明数列是等比数列；
（3）求和：.
五、自我测评
1.选择
（1）设等差数列满足3=5且＞0，则前n项和中最大的是（ ）
A． B． C． D．
（2）等差数列中，≠0，若m＞1，且-+＝0，＝38则m的值为（ ）
A．38 B．20 C．19 D．10
2、填空：
（1）等比数列中，＝A，＝B，则＝ 。
（2）数列中，＝1 ＝（n≥2）则这个数列的前n项和为 。
3、已知数列为等差数列（公差为d且d≠0）中部分项组成数列……恰为等比数列，其中＝1 ＝5 ＝17求++…的值。
六、课后练习
1、在如图所示的表格里，每格填上一个数字后使每一横行成等差数列，每一列成等比数列，则a+b的值为（ ）
2 6
1 2
a
b
A、 B、 C、 D、
2、某厂去年12月份产量a，今年产量月增长率为p，则今年12月份的产量比去年12月份的产量增加了（ ）
A、12p倍 B、13p倍 C、（1+p）12倍 D、[（1+p）12-1]
3、某企业欲实现在今后10年内产值翻一番的目标，则该企业年产值的年平均增长率最低应（ ）
A、低于5% B、在5%—6%之间 C、在6%—8%
4、某校环保小 组发现本市生活垃圾年增长率为b，2005年产生垃圾量为a t,由此预测，到2010年的垃圾量为（ ）
A、 B、 C、 D、
5、某地宜林荒地2640万亩，从2004年开始绿化造林，第一年绿化120万亩，以后每年比前一年多绿化60万亩，则到哪一年可以使全部荒地得以绿化（ ）
A、2012年 B、2011年 C、2013年 D、2014年
二、填空题：
6、数列中， a1=1,则Sn= .
7、A、B两厂2005年元月份的产值相同，A厂每月增加的产值相同，B 厂每月的增长率相同，到2006年元月份，两厂的产值又相同，则2005年7月产值较高的是 厂。
8、某地2005年工业垃圾有7.4×107t，为建设节约型社会，每回收1t工业旧物资相当于减少4t工业增圾，并可节约矿石20t，若从2006年回收工业旧物资10万t ，并计划今后每年递增20%，则 2006年—2014年可节约矿石 万t 。
三、（07福建文21）1、已知数列中，
(1)求a3、a5
(2)求的通项公式
2、（07安徽理21）某国采用养老储备金制度，公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1,以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d>0)，因此，历年所交纳的储务金数目a1,a2,…是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利，这说是说，如果固定年利率为r(r>0),那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1(1+r)n-1,第二年所交纳的储备金就变为a2(1+r)n-2,……，以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额。
（1）写出Tn与Tn-1（n2）的递推关系式：
（2）求证：，其中是一个等比数列，是一个等差数列。
七、快餐：
1、随着计算机技术的迅猛发展，电脑的价格不断降低，若每隔4年电脑的价格降低三分之一，则现在价格为8100元的电脑12年后的价格可降为（ ）
A、2400 B、2700 C、3000 D、3600
2、据权威人士分析“严格来讲，我国目前已进入负利率时代”，“钱在银行缩水”．以一年期存款利率1．98％为例，现考虑2003年物价指数3．2％和利息所得税20％两方面的因素，实际利息为一1．616％(即1．98％×O．8—3．2％)，这意味将100000元人民币存入银行，1年后实际价值变为98384元，1616元白白“蒸发”．据初步估计2004年物价指数为2．2％，其他条件不变，请你计算一下某人年初将100000元人民币
存入银行，1年后它的实际价值变成了 ( )
A．99464元 B．99384元
C．98384元 D．100616元
3、某工厂2004年生产某种产品2万件，计划从2005年开始，每年的产量比上一年增长20％，经过n年这家工厂生产这种产品的年产量首次超过12万件，则n值为(已知lg2=O.3010，lg3=O.4771) ( )
A。10 B．11 C、12 D．13
4、从2001年到2004年期间，甲每年6月1日都到银行存入m元的一年定期教育储蓄，若年利率为”保持不变，且每年到期的存款本息均自动转为新的一年定期，到2005年6月1日，甲去银行不再存款，而是将所有存款的本息全部取回，则取回的金额是(注：教育储蓄不计利息税) ( )
A．m(1+n)4元
B．m(1+n)5元
c．m[(1+n)4一(1+n)]／n元
D．m[(1+n)5一(1+n)]／n元
5、据某校环保小组调查，某区垃圾的年增长率为6，2003年产生的垃圾量为n吨，由此预测该区下一年的垃圾量为 吨，2008年的垃圾量为 吨．
6、有一堆物品，某层放n2个，而它的上一层比它少放(2n～1)个(n≥2)，已知这堆物品底层放100个，顶层放16个，则这堆物品共有 个．
答案：
第一节 数列及其基本概念
三、1.(1) (2) (3)
2.B 3.B
四、例一 解：由an=n(n+1)=420 n1=-21（舍），n2=20 故420是数列中的第20项
由an=n(n+1)=421 n无整数解,故421不是数列中的项
小结：要判断一个数是否为该数列中的项，可由通项等于这个数解出n，根据n是否为正整数便可确定这个数是否为数列中的项。也就是说判定某一数是否为数列中的某一项，其实质就是看方程是否有整数解。
例二 解：（1）∵f(x)=2x -2-x，f(log2an)=-2n
∴
∴an2+2nan-1=0
∵an>0 ∴
（2）证明：
又∵an>0 ∴an+1
例三解：(1)a3=3a2-2a1=7 a4=3a3-2a2=15 a5=3a4-2a3=31
(2)a6=3a5-2a4=63 a7=3a6-2a5=127
即127为这个数列的第七项
五、1.A 2.C 3.D 4. 5. 4
6.解：an>0则由已知
∴ ∴
=
六、1.D 2.B 3.B 4.B 5.C 6.2n-10;8 7.2n-11;3 8.入＞-3
9.解：设中第n最大，则
即
∴
∴即最大值为
10.（I） ,
,
.
.
验证n=1时也满足上式，。
（II），
，
。
快餐：1、B 2、B 3、C 4、A 5、（-3，＋） 6、2n-1
第二节 等差数列
三、1.C 2.D 3.B 4.B 5.A 6.C
四、1.解法1：设这个数列的首项为a1，公差为d,则.
d=5.
解法2:
又S偶－S奇＝6d， ∴d=5.
2. 解：数列的公差
∴.
由an>0,得3n－60<0,即n<21.
∴数列的前20项是负数，第20项以后的项都为非负数。
设Sn,分别表示数列和的前n项之和
当n≤20时，
当n≥20时,
=
=
∴数列的前n项和
3.分析：1：将已知条件代入求和公式，利用二次函数知识求解。
解法1：∵ ∴，
∴
∴
=
=
∵a1>0, ∴∵
∴若为偶数，当时，Sn最大.
若为奇数，当时,Sn最大.
分析2：利用二次函数知识求解
解：依题意∴,此函数是以n为变量的二次函数。
∵a1>0.(≠m),∴d<0.此二次函数的图象开口向下。
∵∴时，最大，但中，.
∴若为偶数，当时，Sn最大.
若为奇数，当时，Sn最大.
五、1.A 2.C 3.B 4.2 5.－110
6.【解析】(1)依题意，有
即
又∵a3=12. ∴a1=a3-2d=12-2d.③
把③分别代入①、②中，得
∴
（2）
＝
=
=
∵
∴
故当n=6时，Sn有最大值。
∴在S1，S2……，S12中，S6最大.
六、1.A 2.C 3.C 4.A 5.C 6. 7.10 8.0
9.【解析】
（1）设数列的公差为d，则，
.
(2)
.
(3)是首项为149，公差为-3的等差数列。
当时，
。
当
。
综上所述，
10.【解析】设等差数列的公差为d,由及已知条件得
①
②
由②得＝2a代入①有
解得a1=0或a1＝
当a1=0时，=0舍去
因此a1＝,=
故数列的通项公式
快餐：1、C 2、C 3、B、 4、C 5、5或6 6、
第三节 等比数列
二、1.如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项之比都等于同一常数q，这个数列叫等比数列.q叫等比数列的公比。
2.an=a1qn-1
4.①am+an=ap+aq
②a1<0,0
三、1.D 2.B 3. 4.512
5.32 6.189
四、例一 解：设原来的等比数列的三项分为
则
∴原等比数列为2，6，18或
例二 解：设an+1＋x=3(an+x) 则an+1=3an+2x ∴2x=2 得x=1
∴an+1=3an+2可化为an+1+1=3(an+1)
∴是以a1+1=3为首项，以3为公比的等比数列 故
例三 解：若q=1时，则≠2Sq
∴q≠1 由已知可得
∴q3(2q6―q3―1)=0 ∴
∵q≠1 ∴293+1=0 得q=
五、1.B 2.C 3.A 4. 5.an=
6.解: ∵ ①对任意正整数n都成立
∴当n≥2时,有②
①－②可得 (n≥2) ∴
在①中令n=1可得
所以an=
显然①S1=an=14
②当n≥2时 Sn=a1+a2+a3+……+an
=14+23+24+25+……+2n+1
=14+
综上可得Sn=2n+2+6
六、1.B 2.B 3.B 4.C 5.A 6.67 7. 8.q=1
9.解：(I)∵lga1,lga2,lga4成等差数列
∴2lga2=lga1+lga4,即
设等差数列的公差这d,则(a1+d)2=a1(a1+3d),
这样 从而 d(d-a1)=0
①若d=0，则为常数列，相应也是常数列。
此时是首项为正数，公比为1的等比数列。
②若d=a1≠0,则
这时是首项，公比为的等比数列，综上知，为等比数列
(II)如果无穷等比数列的公比q=1，则当n→∞时，其前项n和的极限项不存在，因而d=a1≠0,这时公比 这样, 的前n项和
则 . 由 得公差d=3 首项a1=d=3
10.（1）设中低价房面积形成数列，由题意可知是等差数列，其中，a1=250,d=50
则
令 25n2+225n≥4750
即 n2+9n-190≥0,则n是正整数
∴n≥10
故到2013年底，该市所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万m2
(2)设新建住房面积形成数列，由题意知,是等比数列，其中b1=400,q=1.08
则
由题意知an>0.85bn, 有
由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=6。
故到2009年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.
快餐：1、D 2、A 3、B 4、B 5、2 6、
第四节 等差数列与等比数列
三、1.B 2.D 3.D 4.B 5.240 6.
6.解：（1）设公比为q，则 ∴
(2)设公差为d,则2=1+(n+1)d,∴(n+1)d=1
=
四、1.解： ∴
2.解:均为正整数 ∴ ①
∴ ∴ a1q3=8 ②
∴8q+8q2=48 ∴q2+q=6 解得：q=2或－3（舍）∴a1=1 ∴ ∴
3.解：（I）设的公差为d，的公比为q,则依题意有q>0且
解得d=2,q=2.
所以an=1+（n-1）d=2n-1,
bn=qn-1 =2n-1.
(II)
Sn=1+①
2Sn=2+②
②-①得Sn=2+2+,
=2+2×
=2+2×
=6-.
五、1.D 2.C 3.C 4.6或7 5.2
6.解：（1）M,An,Bn共线， ∴ ∴an=2n
∵的第三项为8，公比为4， ∴,
a1+a2+……+an=n(n+1)
∴a1b1+a2b2+……+anbn=(2n-3)n(n-1)
同理 a1b1+a2b2+……an-1bn-1=(2n-5)(n-1)n
∴anbn=(2n-3)n(n+1)-(2n-5)(n-1)n=n(6n-8)=2nbn
∴bn=3n-4 ∴ 故点列在同一条直线上，方程为y+1=3(x-1)即3x-y-4=0
六、1.A 2.C 3.C 4.B 5.C 6.35 7.-8 8.-2
9.(I)解：方程x2-(3k+2k)x+3k·2+=0的两个根为x1=3k,x2=2k.
当k=1时，x1=3,x2=2,所以a1=2;
当k=2时，x1=6,x2=4,所以a3=4;
当k=3时，x1=9,x2=8,所以a3=8;
当k=4时，x1=12,x2=16,所以a7=12;
因为n≥4时，2n>3n,所以a2n=2n(n≥4)
(II)S2n=a1+a2+…+a2n=(3+6+…+3n)+(2+22+…+2n)=
10.解（I）设等比数列｛an｝的公比为q(q∈R),
由a7=a1q6=1,得a1=q-6,从而a4=a1q3=q-3,a5=a1q4=q-2,a6=a1q5=q-1.
因为a4,a5+1,a6成等差数列，所以a4+a6=2(a5+1),
即q-3+q-1=2(q-2+1),q-1(q-2+1)=2(q-2+1).
所以q=,故an=a1qn-1=q-6qn-1=64().
(II)Sn=
快餐：1B 2C 3C 4B 5 6 2600
第五节 数列的通项及求和答案
三、1. 2. 3.n2 4.10 5.4n-1
四、例一 解：(I)设数列的公差为d，则a1+a2+a3=3a1+3d=12 2a1=12 得d=2 ∴an=2n
(II)令 则由得
当x≠1时，①式减去②式得
∴ 当x=1时，Sn=2+4+……+2n=n(n+1)
总之当x=1时，Sn=n(n+1) 当x≠1时，
例二解：（1）易求an=10-2n
(2)
∴
=
要使总成立，需 恒成立,即m<8，∴m的最大值为7
五、1.C 2.C 3.C 4.120 5.
6.解：(1)a2=a1+(-1)1=0 a3=a2+31=3 a4=a3+(-1)2=4 a5=a4+32=13 ∴a3=3 a5=13
(2)a2k+1=a2k+3k=a2k-1+(-1)k+3k ∴a2k+1-a2k-1=3k+(-1)k 同理a2k-1-a2k-3=3k-1+(-1)k-1 a3-a1=3+(-1)
∴(a2k+1-a2k-1)+(a2k-1-a2k-3)+……+a3-a1=(3k+3k-1+……3)+[(-1)k+(-1)k-1+…+(-1)]
得
=
an的通项公式为
n为奇数时
n为偶数时
六、(一)1.B 2.B 3.B 4.C 5.B
（二）1.- 2.110 3.100a100
a1+a2+a3=7,
(三)1.解：（1）由已知得：
解得：a2=2.
设数列｛an｝的公比为q，由a2=2,可得a1=
又S3=7，可知
即2q2-5q+2=0,
解得q1=2,q2=.
由题意得q>1,∴q=2.
∴a1=1.
故数列｛an｝的通项为an=2n-1.
(2)由于bn=1na3n+1,n=1,2,…，
由（1）得an+1=23n
∴bn=1n23n=3nln2
又bn+1-bn=3ln2n
∴｛bn｝是等差数列。
∴Tn=b1+b2+…+bn
=
=
=
故Tn=
2.解（1）由an=
整理得1-an=-(1-an-1).
又1-a1≠0，所以｛1-an｝是首项为1-a1,公比为- 等比数列，得
an=1-(1-a1)(-)
(2)方法一：
由（1）可知0
那么，b
=a(3-2an+1)-an2(3-2an)
=
又由（1）知an>0且an≠1,故b
因此 bn
由（1）可知0
所以bn+1=an+1
由an≠1可得an(3-2an)<()3,
即an2(3-2an)<()
即bn
第六节 数学归纳法（答案）
二、1.(1)P1,P0 (2)Pk,Pk+1 2.(1) n0,n0=1 (2)n=k,k+1
三、1.C 2.B 3.B 4.B 5.k3+5k+3k(k2+1)+6
6.1×4+2×7+……+k(3k+1)+(k+1)[3(k+1)+1]=(k+1)[(k+1)+1]2
四、证明：（1）当n=1时,左边=1=右边 显然成立
（2）假设n=k时，命题成立，即
1+4+7+……+(3k-2)= 则n=k+1时，
=
即n=k+1时等式也成立
由（1）（2）知，对任何等式成立
2.证明：（1）当n=1时，f(1)=(2×1+7)×3+9=36,能被36整除
（2）假设n=k时，f(k)能被36整除
即 能被36整除
则当n=k+1时,f(k+1)=[2(k+1)+7]=
由归纳假设3[]能被36整除 而3k-1-1是偶数 ∴18(3k-1-1)能被36整除
∴f(k+1)能被36整除
由（1）（2）可知，对任何能被36整除
3.证明：（1）一个圆将平面分成2个区域，而当n=1时，n2-n+2=2,因此结论当n=1时成立
（2）假设n=k时，结论成立，即k个圆最多把平面分成k2-k+2个区域，在此基础上增加一圆，为使区域最多，应使新增的圆与前k个圆都交于两点，于是新增2k个交点。这2k个交点将新圆分成2k段弧，这2k段弧将所有经过的区域一分为二，因此新增2k个区域，这样k+1个圆最多把平面分成(k2-k+2)+2k=(k+1)2-(k+1)+2 可见结论当n=k+1时成立，于是对任何正整数结论成立。
五、1.B 2.B 3.D 4.11 5.
6.解法1：（I）证：用数学归纳法证明：
（i）当m=1时，原不等式成立；当m=2时，左国=1+2x+x2，右边=1+2x,因为x2≥0,所以左边≥右边，原不等式成立；
（ii）假设当m=k时，不等式成立，即（1+x）k≥1+kx,则当m=k+1时，
∵x>-1，∴1+x>0，于是在不等式（1+x）k≥1+kx两边同乘以1+x得
（1+x）k·（1+x）≥(1+kx)(1+x)=1(k+1)x+kx2≥1+(k+1)x,
所以（1+x）k+1≥1+(k+1)x。即当m=k+1时，不等式也成立。
综合（i）(ii)知，对一切正整数m，不等式都成立。
（II）证：当n≥6,m≤n时，由（I）得（1+）m≥1-
于是
(III)解：由（II）知，当n≥6时，
∴
即3n+4n+…+(n+2)n<(n+3)n.即当n≥6时，不存在满足该等式的正整数n。
故只需要讨论n=1,2,3,4,5的情形：
当n=1时，3≠4，等式不成立；
当n=2时，32+42=52，等式成立；
当n=3时，32+43+53=63，等式成立；
当n=4时，34+44+54+64为偶数，而74为奇数，故34+44+54+64≠74，等式不成立；
当n=5时，n=4的情形可分析出，等式不成立。
综上，所求的n只有n=2,3.
解法2：（I）证：当x=0或m=1时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明：
当x>-1,且x≠0,m≥2,(1+x)m>1+mx. ①
(i)当m=2时，左边=1+2x+x2,右边=1+2x，因为x≠0,所以x2>0，即左边>右边，不等式①成立；
（ii）假设当m=k(k≥2)时，不等式①成立，即（1+x）k>1+kx,则当m=k+1时，
因为x>-1,所以1+x>0。又因为x≠0,所以x2>0。
于是在不等式（1+x）k>1+kx两边同乘以1+x得
（1+x）k·（1+x）>(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x,
所以（1+x）k+1>1+(k+1)x..即当m=k+1时，不等式①也成立。
综上所述，所证不等式成立。
（II）证：当n≥6,m≤时，∵
而由（I），
（III）解：假设存在正整数n0≥6使等式3n0+4n0+…+(n0+3)n0成立，
即有②
又由（II）可得
=
<②式矛盾。
故当n≥6时，不存在满足该等式的正整数n。
下同解法1。
快餐：
1、B 2、D 3、D 4、C 5、2 6、
第七节 数列的综合应用答案
三、1.解：
2．Sn-1,Sn,Sn+1成等差 ……
q2-2q+1=0 q=1
3.
①÷②得：q2+1=3 q2=2代入①得b1=a1=2d ∴an=(n+1)d
∴ 又∵a63=64d ∴b11=a63选C
4. 5.S110=－110
6.
Sn=
四、1.设数列的前n项和为 ∴
∴ A(P+q)+B=0
∴
2.设圆W坐标为(x0,0),则
∴半径 ∴
3. 解法1：（1）证：由
（II）证：
（III）由（II）得
=
=
当q=1时，
=
当q≠1时，
=
=
q=1
故
.
解法2：（I）同解1（I）
（2）证：
下同解法1。
五、1.(1)3(a1+7d)=5(a1+12d) d<0 an=a1+(n-1)d
令an≤0 a20>0,a21<0 故前20项和最大选C
(2)略
六、（一）1、D 2、D 3、C 4、C 5、B
（二）6、 7、A 8、4160
（三）1解：（I）
2、
(5)
(4)
(1)
(2)
(3)
1 (n=1)
(n≥2)
数 列
定义及有关概念
通项公式
数列求和
等差数列
等比数列
定义
等差等比中项
通项公式
前n项和公式
数列应用
an≥an+1
an≥an-1
∴
n≥8
n≤9
∴8≤n≤9即a8,a9最大。
S奇＋S偶＝354
S偶＝192，
S奇＝162.
n≤20,
n＞20.
2a2+11d>0,①
A3+6d<0. ②
24+7d>0
3+d<0
Sn
5 (n=1)
2n-1 (n≥2)
a=6
解
或
q=3
5，（n=1）
2n-1,(n≥2)
14 (n=1)
2n+1 (n=2,3……)
1+2d+q4=21,
1+4d+q2=13,
3 (n=1)
2n (n>1)
a1+a2+a3=12
a1a2a3=48
a2=4
a1+a3=8
a1a3=12
a1=2,a2=4,a3=6
a1=b1
a1+2d=b1q2
a1+6d=b1q4
b1+2d=b1q2
b1+6d=b1q4
2d=b1(q2-1) ①
6d=b1(q4-1) ②
n为奇数
n为偶数
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