2023-2024学年福建省泉州市泉港一中高一（下）第一次月考数学试卷（3月份）（含解析）

2023-2024学年福建省泉州市泉港一中高一（下）第一次月考数学试卷（3月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则复数在复平面内对应的点所在的象限为( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.在中，，则点在( )
A. 在线段上且是靠近点的三等分点 B. 在线段上且是靠近点的三等分点
C. 边所在直线上 D. 在线段上且是靠近点的三等分点
3.若向量，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
4.已知，是非零向量且满足，，则与的夹角是( )
A. B. C. D.
5.已知，则在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6.在中，，，则一定是( )
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形
7.在锐角中，、、分别是角、、所对的边，已知且，则锐角面积的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.在中，，，为线段上的动点，且，则的最小值为．( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在中，，，，则的面积可以是( )
A. B. C. D.
10.给出下列命题，正确的命题是( )
A. 向量的长度与向量的长度相等
B. 若向量与向量平行，则与的方向一定是相同或相反
C. 两个有共同起点并且相等的向量，其终点必相同
D. 有向线段就是向量，向量就是有向线段
11.如图，某人在一条水平公路旁的山顶处测得小车在处的俯角为，该小车在公路上由东向西匀速行驶分钟后，到达处，此时测得俯角为已知小车的速度是，且，则( )
A. 此山的高
B. 小车从到的行驶过程中观测点的最小仰角为
C.
D. 小车从到的行驶过程中观测点的最大仰角的正切值为
12.下列说法中错误的是( )
A. 若，，则
B. 若，且，则
C. 已知，，，则在上的投影向量是
D. 三个不共线的向量，，，满足，则是的外心
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量，则 ______．
14.已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则最大值是 ．
15.如图，在中，已知，，，点是边的中点，且，直线与相交于点，则 ______．
16.小明同学在一次数学课外兴趣小组活动中，探究知函数在上单调递增，在上单调递减．
于是小明进一步探究求解以下问题：
法国著名的军事家拿破仑波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．
在三角形中，角，以、、为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为、、，若三角形的面积为，则三角形的周长最小值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知向量，，则：
求向量的坐标；
若向量与互相垂直，求实数的值．
18.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
求的大小；
若，，求的面积．
19.本小题分
已知，，分别是锐角内角，，的对边，若，且．
求角的大小；
若，求的周长的取值范围．
20.本小题分
如图所示，近日我渔船编队在岛周围海域作业，在岛的南偏西方向有一个海面观测站，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与相距海里的处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西方向，以海里小时的速度向岛直线航行以保护我渔船编队，分钟后到达处，此时观测站测得，间的距离为海里．
求的值；
试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛？
21.本小题分
在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且．
求的值；
若为线段上任意一点，求的取值范围．
22.本小题分
在中，是的中点，，，．
求的面积．
若为上一点，且，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
所以复数在复平面内对应的点为，位于第四象限．
故选：．
应用复数的除法求出复数即可求解．
本题考查复数的运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为，
所以，即，
所以点在线段上且是靠近点的三等分点．
故选：．
根据平面向量的线性运算法则化简已知等式，可得，从而确定点的位置．
本题考查平面向量的基本定理，熟练掌握平面向量的线性运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由，则．
所以．
则．
故选C．
由给出的两个向量的坐标，求出的坐标，然后直接进行数量积的坐标运算求解．
本题考查了平面向量数量积的坐标运算，考查了利用数量积判断两个向量的垂直关系，解答的关键是熟记数量积的坐标运算公式，是基础题．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查两个向量垂直的性质，两个向量的夹角公式的应用．属于基础题．
利用两个向量垂直，数量积等于，得到，代入两个向量的夹角公式得到夹角的余弦值，进而得到夹角．
【解答】
解：，，
，，
，设与的夹角为，
则由两个向量的夹角公式得，
．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：，
且，
所以在方向上的投影向量为．
故选：．
根据题意，由投影向量的定义，代入计算，即可得到结果．
本题主要考查投影向量的定义，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：在中，，，
又，
，解得，
一定是等边三角形，
故选：．
利用余弦定理，结合题意可得答案．
本题考查三角形形状的判断，考查余弦定理的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：且，，
根据正弦定理得，，
整理得，
，，
，解得，，
，
，，
的面积
，
为锐角三角形，，，
，，
．
故选：．
首先利用正弦定理求出角，再利用三角形面积公式结合正弦定理化边为角，再根据三角恒等变换转化为三角函数求范围即可．
本题考查正弦定理和三角函数的恒等变换，以及正弦函数的性质，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查平面向量的数量积运算，考查化归与转化思想，训练了利用基本不等式求最值，属于较难题．
由已知结合正余弦定理求得，，的值，建立平面直角坐标系，再由向量等式求得，然后利用基本不等式求最值．
【解答】
解：，由正弦定理可得，，
再由余弦定理可得，，整理得，即，
又，，
即，得，
，得，从而．
以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
可得，，，
为线段上的一点，则存在实数使得，，设，，，，，
由，
得，，则，求的最小值，则，均不为，
则．
当且仅当时等号成立．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：，，，
由正弦定理可得：，
，
，，
或，，．
故选：．
先由正弦定理求得的值，进而求得，根据三角形内角和求得，最后利用三角形面积公式求得答案．
本题主要考查了正弦定理和三角形面积公式的应用．考查了学生对解三角形基础知识的灵活运用．
10.【答案】
【解析】解：对于选项，，A正确；
对于选项，若为零向量，也满足向量与向量平行，B错误；
对于选项，两个有共同起点并且相等的向量，其终点必相同，C正确；
对于选项，有向线段可以用来表示向量，但不能说向量就是有向线段，D错误．
故选：．
根据平面向量的定义及性质进行判断．
本题考查的知识点：向量的定义，主要考查学生的理解能力，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：在山顶处测得小车在处的俯角为，山顶处测得小车在处的俯角为，
，，
设，，，
．
，
由余弦定理可知，，
解得，即，故A错误；
从而故C正确；
，设到的距离为，
由等面积法可得，即，
解得，即到的距离为，
则最大仰角的正切值为故D正确；
又，所以最小仰角为故B正确；
故答案为：．
设，依题意，利用余弦定理可求得，进而可求得及小车从到的行驶过程中观测点的最大仰角的正切值及最小仰角的值，从而可得答案．
本题考查解三角形，着重考查余弦定理与等面积法的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：对，若，则，但不一定成立，故A错误；
对，若且，则，即，并不能推出，故B错误；
对，因为，故，所以在上的投影向量是，故C正确；
对，，则，
故，
故，所以，即在的角平分线上，
同理在，的角平分线上，故为的内心，故D错误；
故选：．
对，举反例判断即可；
对，根据数量积的运算分析即可；
对，根据条件可得，进而根据投影向量的公式求解即可；
对，根据，结合数量积的公式可得，再同理判断即可．
本题主要考查向量的平行关系，向量投影的计算，向量运算与三角形外心的关系等知识，属于中等题．
13.【答案】
【解析】解：因为向量，，所以，
所以．
故答案为：．
首先根据向量的加法和数乘运算求得的坐标，再利用向量的模的坐标公式求得结果．
本题考查了平面向量的数量积与模长计算问题，是基础题．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查平面向量数量积的运算，向量的模的几何意义，是基础题．
已知是平面内两个互相垂直的单位向量，设，通过，化简，根据关系式，求最大值．
【解答】
解：已知是平面内两个互相垂直的单位向量，
设，令，
则，
即，
它表示以为圆心，为半径的圆，可知最大值是．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】解：如图可知，，
是中点，，
，，
设，则，
，则，
，，
，
与不共线，，解得，
，，
．
．
故答案为：．
以向量，为基底，表示出向量，，计算数量积即可求解．
本题考查了平面向量的线性运算及数量积运算，考查了数形结合思想，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：如图，设角，，所对边长分别为，，，
，，都是正三角形，
在中，，，
可得，同理，
在正三角形中，面积为，
解得，又，可得，
在中，，即，
在中，，则，
又，又，得，
，
令，，
所以，
由题意可知在上单调递减，
所以当，即时，的周长最小，最小值为．
故答案为：．
设角，，所对边长分别为，，，将，分别用，表示，由面积为求，在中，由余弦定理可得，进而可得，根据已知条件结合的单调性，可求得结果．
本题考查三角形中的几何计算，属中档题．
17.【答案】解：因为，且，
所以，解得，则，
因为，所以，解得，
所以，；
因为，，，
所以，，
因为向量与互相垂直，
则，解得．
【解析】根据向量垂直和平行的坐标表示，即可求解；
根据向量垂直的坐标表示，即可求解．
本题考查平面向量平行与垂直的坐标表示和平面向量的数量积运算，属于基础题．
18.【答案】解：由．
则，
则，
即，
即，
又，
则，
又，
则；
已知，，
由余弦定理可得：
，
即，
即，
即，
则的面积为．
【解析】由三角恒等变换结合正弦定理及求解即可；
由余弦定理结合三角形面积公式求解即可．
本题考查了三角恒等变换，重点考查了正弦定理及余弦定理，属基础题．
19.【答案】解：若，则，
即，根据正弦定理可知，
，即，
因为，且，
所以，又，则；
由正弦定理可知，，
则，，
所以的周长
，
因为为锐角三角形，且，，
所以
所以，则的范围为．
所以的周长的取值范围为．
【解析】首先利用向量垂直的坐标表示，再结合三角函数恒等变换，即可求解角；
利用正弦定理表示的周长，再根据三角函数的性质求周长的取值范围．
本题主要考查向量垂直与数量积关系、正弦定理、诱导公式、两角和与差的正弦公式等基础知识，考查了考生运算求解的能力，属于中档题．
20.【答案】解：由已知可得，
中，根据余弦定理求得，
．
由已知可得，
．
中，由正弦定理可得，
分钟．
即海警船再向前航行分钟即可到达岛．
【解析】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系的应用，两角和差的正弦公式的应用，属于中档题．
由已知可得，中，根据余弦定理求得的值，再利用同角三角函数的基本关系求得的值．
由已知可得，由此可得的值，再由正弦定理求得的值，由此求得海警船到达的时间．
21.【答案】解：以为原点，，分别为，轴建立平面直角坐标系，则，，，，
因为，，，
所以∽，所以，
所以点，
设，则，，
因为，所以，解得，
所以，，
所以．
由知，，
设，，则，
所以，
因为，
所以当时，取得最大值，为；
当时，取得最小值，为，
故的取值范围为．
【解析】以为原点，建立平面直角坐标系，根据∽，可求得点的坐标，设，由，求得，再由平面向量数量积的坐标运算，得解；
设，，用含的式子表示出，再根据二次函数的图象与性质，得解．
本题考查平面向量在几何中的应用，遇到规则图形，一般采用建立坐标系，将问题转化为平面向量的坐标运算可简化试题难度，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：是中点，且，，，
，，
，，
，
，
；
，且，，三点共线，
，解得．
【解析】根据题意，两边平方即可求出，从而可求出，进而求出，然后根据三角形的面积公式即可求出的面积；
可以得出，然后根据，，三点共线即可得出，解出即可．
本题考查了向量加法的平行四边形法则，向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，三角形的面积公式，三点，，共线时，由得出，考查了计算能力，属于基础题．
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