2023-2024学年北京市日坛中学高一（下）月考数学试卷（4月份）（含解析）

2023-2024学年北京市日坛中学高一（下）月考数学试卷（4月份）
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数其中是虚数单位，则在复平面内对应的点的坐标是( )
A. B. C. D.
2.下列关于向量的命题正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，，则 D. 若，，则
3.向量与的夹角为( )
A. B. C. D.
4.向量，，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则( )
A.
B.
C.
D.
5.在边长为的菱形中，为的中点，则的值为
( )
A. B. C. D.
6.在中，，则( )
A. B. C. D.
7.已知平面向量，，均为非零向量，则“”是“向量，同向”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.外接圆的半径为，圆心为，且，，则等于( )
A. B. C. D.
9.已知单位向量，满足，若非零向量，其中，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
10.已知不共线的平面向量，，两两的夹角相等，且，，，实数，，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.向量，，且，则实数 ______．
12.设为锐角，，若与共线，则角 ______．
13.设，复数若复数是纯虚数，则______；若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则______．
14.设复数，则 ．
15.已知等边的边长为，为边的中点，点是边上的动点，则的最大值为 ，最小值为 ．
16.如图，，，是三个边长为的等边三角形，且有一条边在同一直线上，边上有个不同的点，，，，，设，则 ．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知向量，．
求
求向量与向量的夹角的余弦值
若，且，求向量与向量的夹角．
18.本小题分
如图，在平行四边形中，，，，，分别为，上的点，且，．
若，求，的值；
求的值；
求．
19.本小题分
在中，．
Ⅰ求的值；
Ⅱ若，，求的值．
20.本小题分
如图，在锐角中，分别是边，上的点，且，再从条件、条件、条件中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并求：
条件：
条件：
条件：
的值；
的大小；
四边形的面积．
21.本小题分
将平面直角坐标系中的一列点，，，，记为，设，其中为与轴正方向相同的单位向量．若对任意的正整数，都有，则称为点列．
Ⅰ判断是否为点列，并说明理由；
Ⅱ若为点列，且任取其中连续三点，，，证明为钝角三角形；
Ⅲ若为点列，对于正整数，，，比较与的大小，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
【解答】
解：，
在复平面内对应的点的坐标是．
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了向量的定义，向量共线的定义，相等向量的定义，共线向量的定义，属于基础题．
根据向量的定义即可判断A错误，根据向量共线的定义即可判断B错误，显然正确，对于选项D，当时，便得不出，即得出选项D错误．
【解答】解：对于：向量的长度相等，方向不一定相同，从而得不出，即该选项错误；
对于：长度相等不能得出向量相互平行，故该选项错误；
对于：若，，显然可得出，故该选项正确；
对于：若，，不共线，虽然，，但得不到，则该选项错误．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量的夹角，涉及三角函数的恒等变形，属于基础题．
根据题意，设两个向量的夹角为，由向量的坐标可得、的模以及的值，由向量夹角公式计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，设两个向量的夹角为，
向量与，
则，，，
则，
又由，故两个向量的夹角为，
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了向量的线性运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
由图可知：，即可得出．
【解答】解：由图可知：，
则，，所以．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
将表示为，再利用向量的运算法则，两个向量的数量积的定义求解．
本题考查向量的数量积运算．关键是将表示为易错点在于将有关向量的夹角与三角形内角不加区别，导致结果出错．本题还可以以，为基底，进行转化计算，属于中档题．
【解答】
解：在菱形中，，
为正三角形，
由， ，可得，．
，
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】
根据已知条件，运用正弦定理，可得，再结合角的范围，即可求解．
本题考查了正弦定理，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
【解答】解：，
由正弦定理，可得，
，
，，
又，
．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：向量，同向，反之不成立，可能向量，反向．
“”是“向量，同向”的必要不充分条件．
故选：．
向量，同向，反之不成立，可能向量，反向．即可判断出结论．
本题考查了向量共线定理、数量积运算性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：，
，
，则，，共线，
为圆的直径，则，
又外接圆的半径为，圆心为，且，
，，，
．
故选：．
利用向量的运算法则将已知等式化简得到，得到为直径，故为直角三角形，求出三边长可得的值，利用两个向量的数量积的定义求得答案．
本题主要考查向量在几何中的应用、向量的数量积，向量垂直的充要条件等基本知识，求出为直角三角形及三边长是解题的关键，是中档题．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量的运算，最值，解题中需要理清思路，属于中档题．
由单位向量，满足，推出，，设，，进而可得，则，分两种情况：当时，当时，求出的最大值．
【解答】解：因为单位向量，满足，
所以，，
设，，
所以，
所以，
所以
当时，，
当时，，
令，
则，
所以，
所以的最大值为．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量的数量积的应用，向量的模，属于中档题．
根据向量之间的夹角和模长求解两两之间的数量积，然后把目标式平方，结合，，的取值范围，即可求解．
【解答】解：不共线的平面向量，，两两的夹角相等，
平面向量，，两两的夹角都为，
，，，
，，，
，
，，，
当，， 时，取得最大值为，
的最大值为．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：因为，，且，
所以，即，解得．
故答案为：
依题意可得，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可．
本题考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12.【答案】
【解析】解：，若与共线，则，解得，
注意到为锐角，所以．
故答案为：．
由向量平行的坐标表示列方程即可得出的值，进一步即可求解．
本题考查了共线向量的坐标关系，是基础题．
13.【答案】
【解析】解：，
若复数是纯虚数，则，，
若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则，．
故答案为：，．
利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了复数的运算法则、复数模的求法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
利用复数的运算法则即可得出．
【解答】
解：因为，
所以，
故答案为：．
15.【答案】

【解析】【分析】
本题主要考查了平面向量的数量积公式，建立平面直角坐标系是解本题的关键，属于中档题．
以所在的直线为轴，的中点为坐标原点，建立直角坐标系，再结合平面向量的数量积公式和三角函数的单调性，即可求解．
【解答】
解：以所在的直线为轴，的中点为坐标原点，建立如图所示直角坐标系，
等边的边长为，为边的中点，
，，，，
设点的坐标为，，
，，
，
设，，
函数的对称轴为，
在区间 单调递减，在区间 单调递增，
当时，，
当时，．
故答案为：，．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量的数量积的坐标表示，注意运用直线方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
建立坐标系，求出直线的方程，得出的坐标的关系，代入数量积公式计算即可．
【解答】
解：以为原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：
则，，，，
直线所在直线方程为，即，
设，则．
，．
故答案为．
17.【答案】解：Ⅰ因为，，
所以．
所以．
Ⅱ因为，，，
所以．
Ⅲ因为，
所以．
即．
所以．
即，
所以．
因为，
所以．
【解析】Ⅰ根据题意，求出的坐标，进而计算可得答案；
Ⅱ根据题意，由向量夹角公式计算可得答案；
Ⅲ根据题意，由向量垂直的判断方法可得即，据此计算可得答案．
本题考查向量数量积的性质以及应用，涉及向量夹角、向量模的计算，属于基础题．
18.【答案】解：，
又，
．
，，，，
．
连接，设的夹角为，
，，
且，
，
，
，，
又
，
，
即．
【解析】本题考查向量的加法、减法、数乘运算，考查向量的数量积，考查向量的夹角，考查计算能力，属于中档题．
利用向量的减法、数乘运算，即可求出，的值；
利用的结果，通过数量积的运算，求解即可；
求出，通过向量的夹角公式求解即可．
19.【答案】解：Ⅰ在中，，
由余弦定理，
．
Ⅱ由Ⅰ知，，
．
，
，
又，
．
【解析】根据已知条件，结合余弦定理，即可求解．
由已知条件，运用三角函数的同角公式，可得，再结合正弦定理和二倍角公式，即可求解．
本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用，属于中档题．
20.【答案】解：选条件，．
因为，，，
在中，由正弦定理得．
所以．
因为是锐角三角形，
由知，所以，
在中，由余弦定理得，
所以即，解得舍负．
又因为，所以又因为，所以，故；
因为，，由知，所以．
又因为，所以，
所以四边形的面积为．
选条件，因为，，
所以，，
所以．
由及正弦定理得，，，
又因为，所以又因为，所以，故；
因为是锐角三角形，由知，所以，
由余弦定理得，
解得，所以又因为，
所以，所以四边形的面积为．
选条件，，点的位置不确定，无法确定，不能求解．
【解析】根据正弦定理，余弦定理即可逐项求解．
本题考查正弦定理，余弦定理，同角函数关系，两角和差公式，属于中档题．
21.【答案】解：Ⅰ为点列．理由如下：
由题意可知，，
所以，
，
即，，，，
所以为点列；
Ⅱ由题意可知，，
所以，
因为为点列，
所以，，，，
又因为，所以，
所以对中连续三点，，，都有，，
又，
所以，
所以为的最大内角，
由余弦定理可得，
，
故为钝角，所以为钝角三角形；
Ⅲ由正整数，，满足，则，
因为为点列，由Ⅱ知，，，，
所以，
，
，
两边分别相加可得，
所以，
则，
所以，
又，
所以，
所以．
【解析】Ⅰ利用点列的定义进行判断即可；
Ⅱ利用为点列，得到对中连续三点，，，都有，，分析得出，为的最大内角，然后由余弦定理判断即可；
Ⅲ利用为点列，，，，，则列举不等式后，利用不等式的基本性质左右分别相加，可得，再由，即可判断得到答案．
本题考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可，属于难题．
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