2023-2024学年福建省福州市城门中学高二（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2023-2024学年福建省福州市城门中学高二（下）月考数学试卷（3月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合的真子集个数是( )
A. B. C. D.
2.将个不同的小球放入个盒子中，则不同放法种数有( )
A. B. C. D.
3.已知的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于( )
A. B. C. D.
4.如图，用种不同的颜色对图中个区域涂色种颜色全部使用，要求每个区域涂种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
5.记者要为名志愿者和他们帮助的位老人拍照，要求排成一排，位老人相邻，不同的排法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.已知等比数列满足，则( )
A. B. C. D.
7.氨基酸的排列顺序是决定蛋白质多样性的原因之一，某肽链由种不同的氨基酸构成，若只改变其中种氨基酸的位置，其他种不变，则不同的改变方法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8.若的展开式中常数项为，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知二项式的展开式中各项系数之和是，则下列说法正确的有( )
A. 展开式共有项 B. 二项式系数最大的项是第项
C. 所有二项式系数和为 D. 展开式的有理项共有项
10.从至这个自然数中任取两个，有如下随机事件：
“恰有一个偶数”，“恰有一个奇数”，
“至少有一个是奇数”，“两个数都是偶数”，
“至多有一个奇数”．
下列结论正确的有( )
A. B.
C. D. ，
11.已知函数的零点依次构成一个公差为的等差数列，把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数( )
A. 是奇函数 B. 图象关于直线对称
C. 在上是减函数 D. 在上的值域为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知上有个点，过每三个点画一个圆内接三角形，则一共可以画的三角形个数为______．
13.双曲线以椭圆的焦点为焦点，它的离心率是椭圆离心率的倍，求该双曲线的方程为______．
14.已知为圆：上任意一点，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
位同学站成一排．问：
甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？
甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？
甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？
甲、乙、丙三个同学必须站在一起，另外四个人也必须站在一起的排法有多少种？
16.本小题分
已知的展开式中各项系数和比各项的二项式系数和大．
求展开式中二项式系数最大的项；
求展开式中系数最大的项．
17.本小题分
设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第车间的次品率为，第车间的次品率为，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库假设第，车间生产的成品比例为：，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的概率．
18.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，且．
求；
若，，求的面积．
19.本小题分
设，为实数，且，函数．
讨论的单调性；
设，函数，试问是否存在极小值点？若存在，求出的极小值点；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
集合的真子集个数是，
故选：．
先求出集合，再利用含有个元素的集合，其真子集个数为个即可求解．
本题主要考查集合真子集个数的求法，含有个元素的集合，其真子集个数为个．
2.【答案】
【解析】解：本题是一个分步计数问题
对于第一个小球有众不同的方法，
第二个小球也有众不同的方法，
第三个小球也有众不同的放法，
即每个小球都有种可能的放法，
根据分步计数原理知共有即
故选B．
第一个小球有众不同的方法，第二个小球也有众不同的方法，第三个小球也有众不同的放法，即每个小球都有种可能的放法，根据分步乘法原理得到结果．
本题考查分步计数原理，是一个典型的分步计数问题，本题对于盒子和小球没有任何限制条件，可以把小球随便放置，注意与有限制条件的元素的问题的解法．
3.【答案】
【解析】解：因为 的展开式中只有第四项的二项式系数最大
所以．
所以其通项为．
令．
故展开式中的常数项等于．
故选：．
先利用展开式中只有第四项的二项式系数最大求出，再求出其通项公式，令的指数为，求出，再代入通项公式即可求出常数项的值．
本题主要考查二项式定理中的常用结论：如果为奇数，那么是正中间两项的二项式系数最大；如果为偶数，那么是正中间一项的二项式系数最大．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
利用分步计数原理，先涂区域，再涂区域，再涂区域，再涂区域，最后涂区域，涂后面的两个区域时注意分类．
【解答】
解：由题意知，第一步：涂区域，有种方法；
第二步：涂区域，有种方法；
第三步：涂区域，有种方法此前三步已经用去三种颜色；
第四步：涂区域，分两类：第一类，与同色，则区域涂第四种颜色；第二类，区域与不同色，则涂第四种颜色，此时区域就可以涂区域或区域或区域中的任意一种颜色，有种方法．
所以，不同的涂色种数有种．
故选B．
5.【答案】
【解析】解：将位老人排好，有种排法，
将两位老人视为一个元素，与其它名志愿者一起排列，有种排法，
故共有．
故选：．
相邻问题使用捆绑法．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：等比数列满足，
所以，
所以．
故选：．
由已知结合等比数列的性质即可求解．
本题主要考查了等比数列的性质的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：根据题意，分步进行分析：
、先从种氨基酸里选种改变其位置，
、因为被选每种氨基酸都不能在原来的位置上，
因此第一种氨基酸有两种放法，
被占据了位置的那种只能坐在第三种的位置上一种放法，
才能保证三种也不放在自己的位置上．
因此三种氨基酸调换方法有两种．
故不同的改变方法有，
故选：．
由分步计数原理：第一步．先从种氨基酸里选种改变其位置，第二步．因为被选每种氨基酸都不能在原来的位置上，可得三种氨基酸调换方法有两种．相乘可得．
本题考查排列、组合及简单计数问题、分步计数原理等基础知识，考查分析问题解决问题的能力．属中档题．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，属于基础题．
先将展开，再求出的通项，求出展开式的常数项，列出方程求出的值．
【解答】
解：，
展开式的通项为，
展开式的常数项为，
，
解得或．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：令可得：，解得，故该二项式为，
故展开式中共项，故A错误；
二项式系数最大的项为中间的第、项，故B错误；
所有二项式系数之和为，故C正确；
展开式的通项为，，，，，，当，，，时，为有理项，故D正确．
故选：．
利用赋值法求出的值，然后结合二项式系数的性质以及通项逐项判断．
本题考查二项式系数的性质以及通项的应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查事件的包含与相等、事件的并和交运算、对立事件与互斥事件，属于基础题．
根据已知条件，结合对立事件，互斥事件的定义，直接求解．
【解答】
解：从至这个自然数中任取两个，
当恰有一个偶数时，另外一个必为奇数，当恰有一个奇数时，另外一个必为偶数，故A，故A选项正确，
“至少有一个是奇数的事件”包含”恰有一个奇数的事件”，故B，故B选项正确，
“至多有一个奇数的事件”包含“一个奇数，一个偶数的事件”和“两个都为偶数的事件”，故D，不互斥，故C选项错误，
“至少有一个是奇数”，“两个数都是偶数”，和既是互斥事件，又是对立事件，故D选项正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：函数的零点依次构成一个公差为的等差数列，
，即，
把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，
显然，为奇函数，故A正确；
令，则，故B错误；
，
，是减函数，故C正确；
在区间上，，，即的值域为，故D正确．
故选：．
由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，结合函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，逐一分析选项，即可得出答案．
本题主要考查三角恒等变换，函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：根据题意，圆上个点，任意点都不共线，故从个中任选个都可以构成一个三角形，
故一共可以画的三角形个数为个；
故答案为：．
根据题意，圆上个点，任意点都不共线，故从个中任选个都可以构成一个三角形，由组合数公式计算可得答案．
本题主要考查了组合问题，关键是圆上的任意三点都不共线，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：因为椭圆方程为，则，
所以其焦点坐标为，，离心率为，
则双曲线的焦点为，，离心率为，
即，所以，则，
所以双曲线的方程为．
故答案为：．
根据椭圆方程求得焦点坐标即离心率，继而求得双曲线的焦点坐标和离心率，进一步计算即可求解．
本题主要考查圆锥曲线的综合，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：根据题意，设，变形可得，则即的几何意义为直线的斜率，
为圆：上任意一点，则有，即，
解可得：，即的最大值为；
故答案为：．
根据题意，设，变形分析的几何意义，结合点与圆的位置关系分析可得答案．
本题考查直线与圆的位置关系，涉及斜率的计算，属于基础题．
15.【答案】解先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的个元素同学一起进行全排列有种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有种方法．所以这样的排法一共有种．
方法同上，一共有种．
将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的个元素中选取个元素放在排头和排尾，有种方法；将剩下的个元素进行全排列有种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有种方法．所以这样的排法一共有种方法．
将甲、乙、丙三个同学“捆绑”在一起看成一个元素，另外四个人“捆绑”在一起看成一个元素时．一共有个元素，一共有排法种数： 种．
【解析】本题考查排列、组合及简单计数问题，本题在计数时根据具体情况选用了捆绑法等方法，做题时要注意体会这些方法的原理及其实际意义，属于中档题．
采用捆绑法，将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的个元素同学一起进行全排列，问题得以解决；
采用捆绑法，将甲、乙、丙三个同学同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的个元素同学一起进行全排列，问题得以解决；
先同，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的个元素中选取个元素放在排头和排尾，问题得以解决；
甲、乙、丙三个同学“捆绑”在一起看成一个元素，另外四个人“捆绑”在一起看成一个元素时．一共有个元素，进行全排列，问题得以解决．
16.【答案】解：令得各项系数和为，所有二项式系数为，
各项系数和比各项的二项式系数和大，
，
即，
得，
得，得，
则展开式中二项式系数最大的项为第项和第项，
的展开式的通项公式为，
，．
二项展开式的系数为，
设第项的系数最大，
则，
得，
得，得得，
得，得，
即，
即展开式中系数最大的项为第项，此时．
【解析】求出展开式中各项的系数和二项式系数，建立方程关系进行求解即可．
根据系数最大，建立不等式关系进行求解即可．
本题主要考查二项式定理的应用，结合条件求出的值，以及利用二项式定理的通项公式进行求解是解决本题的关键．考查学生的运算能力．难度中等．
17.【答案】解：设从成品仓库中随机提一台产品是合格品，
则提出的一台是第车间生产的产品，
则，
由题意可得，，
，，
由全概率公式可得．
【解析】设从成品仓库中随机提一台产品是合格品，则提出的一台是第车间生产的产品，根据全概率公式即可求出．
本题考查了全概率公式，考查了运算求解能力，属于基础题．
18.【答案】解：，
由正弦定理得，，
，
，
，
，
，
又，
．
，，
，可得，
由正弦定理，可得，
．
【解析】由正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得，结合范围，可求的值．
由已知利用三角形内角和定理可求，利用正弦定理可得的值，根据三角形的面积公式即可求解．
本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
19.【答案】解：由，得，，，
当时，，在区间上单调递增；
当，且时，，单调递减；
当时，，单调递增．
综上，当时，在区间上单调递增；
当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
当时，，，则．
令，，所以，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
又，，，
故，使得．
当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增，
故存在极小值点，且极小值点为．
【解析】根据题意，对求导，分和两种情况判断的单调性即可；
对求导，确定函数的单调区间，根据零点存在性定理即可说明是否存在极值点．
本题考查了利用导数研究函数的单调性和利用导数研究函数的极值，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．
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