2023-2024学年江苏省南京市各名校九下数学一模错题集强化训练（含答案）

2023-2024学年江苏省南京市各名校九下数学一模错题集强化训练
一．选择题（共6小题）
1．（2023 鼓楼区一模）将半径为5的⊙O如图折叠，折痕AB长为8，C为折叠后的中点，则OC长为（　　）
A．2 B． C．1 D．
2．（2023 鼓楼区一模）如图，O为△ABC的外心，四边形OCDE为正方形．以下结论：①O是△ABE的外心；②O是△ACD的外心；③直线DE与△ABC的外接圆相切．其中所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
3．（2023 南京一模）如图，在△ABC中，以BC为直径的半圆分别与AB，AC交于点D，E．若BC＝6，∠A＝60°，则的长为 （　　）
A． B．π C．2π D．3π
4．（2023 南京一模）如图，在平面直角坐标系中，经过A（0，6）的一次函数y1的图象与经过B（0，2）的一次函数y2的图象相交于点C．若点C的纵坐标为3，则函数y＝y1 y2的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
5．实数a，b满足a＜0，a2＞b2，下列结论：①a＜b，②b＞0，③＜，④|a|＞|b|．其中所有正确结论的序号是（　　）
A．①④ B．①③ C．②③ D．②④
6．如图，E是菱形ABCD的边BC上的点，连接AE．将菱形ABCD沿AE翻折，点B恰好落在CD的中点F处，则tan∠ABE的值是（　　）
A．4 B．5 C． D．
二．填空题（共13小题）
7．（2023 鼓楼区一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A（1，2），B（﹣1，﹣2），C（5，﹣2），AC交x轴于点D，则OD的长为 　 　．
8．（2023 鼓楼区一模）如图，在 ABCD中，点E在AD上，AE＝2ED，射线BE交CD的延长线于点F，若S△DEF＝1，则S△BCF的值为 　 　．
9．（2023 鼓楼区一模）如图，点I是△ABC的内心．若∠IAB＝34°，∠IBC＝36°，则∠ICA的度数是 　 　°．
10．（2023 鼓楼区一模）要使反比例函数y＝的图象经过点（3，4），以下对该图象进行变化的方案中可行的是 　 　（只填序号）．
①向上平移3个单位长度；
②先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度；
③沿直线y＝3轴对称；
④先沿直线x＝2轴对称，再向右平移1个单位长度．
11．（2023 南京一模）将一副直角三角板按如图所示的位置摆放．若AB∥DE，则∠AGF＝　 　°．
12．（2023 南京一模）如图，在⊙O中，C为上的点，．若∠ACB＝120°，则∠OBC＝　 　．
13．（2023 牡丹区三模）如图，在正方形ABCD中，E是CD边上一点，将△ADE沿AE翻折至△AD′E，延长ED′交BC于点F．若AB＝15，DE＝10，则BF的长是 　 　．
14．（2023 南京一模）如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝60°，AB＝4，D，E分别是射线AB，射线AC上的点，AD，AE的垂直平分线交于点O，当点O落在BC上时，DE长的最小值为 　 　．
15．在△ABC中，AC＝3，BC＝4，若∠C为钝角，则AB的长的取值范围是 　 　．
16．如图，在正五边形ABCDE中，BD、CE相交于点O．以O为圆心，OB为半径画弧，分别交AB，AE于点M，N．若BC＝2，则的长为 　 　（结果保留π）．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C'，BC的延长线交B'C'于点D，若B'C'∥AB，则CD的长为 　 　．
18．若x+y＝5，则xy+1的最大值为 　 　．
19．如图，在△ABC中，AB＝2，∠ACB＝60°，DC⊥BC，DC＝BC，则AD的长的最大值为 　 　．
三．解答题（共6小题）
20．（2023 鼓楼区一模）已知二次函数y＝x2+（a﹣2）x+3的图象经过点（2，3）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）当0＜x＜3时，y的取值范围为 　 　；
（3）已知点P（m﹣1，y1），点Q（m，y2）在该二次函数的图象上，若y1＞y2，直接写出m的取值范围．
21．（2023 鼓楼区一模）已知函数y＝ax3+bx2+cx（a，b，c为常数，且a≠0）的图象是中心对称图形．用数学软件在相同的坐标系中得到以下函数的图象（图①～④），观察并思考…
（1）函数y＝ax3+bx2+cx的图象如图⑤所示，指出常数a，b，c的正负．
（2）你同意“函数y＝﹣x3+2x2的图象的对称中心的横坐标为1”吗？判断并说明理由．
（3）已知ac＜0，直接写出关于x的不等式ax3+x2+cx＞0的解集（用含a，c的式子表示）．
22．（2024 南京模拟）A、B两地相距120km，甲车从A地驶往B地，乙车从B地以80km/h的速度匀速驶往A地，乙车比甲车晚出发m h．设甲车行驶的时间为x（h），甲、乙两车离A地的距离分别为y1（km）、y2（km），图中线段OP表示y1与x的函数关系．
（1）甲车的速度为 　 　km/h；
（2）若两车同时到达目的地，在图中画出y2与x的函数图象，并求甲车行驶几小时后与乙车相遇；
（3）若甲、乙两车在距A地60km至72km之间的某处相遇，直接写出m的范围．
23．（2023 南京一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是⊙O的切线，且CD∥AB，连接AD交⊙O于点E．
（1）求证AC＝BC；
（2）连接BE，若BE为直径，BC＝3，AE＝8，求⊙O的半径．
24．（2023 南京一模）已知函数y1＝ax2+3ax+1与y2＝ax+5（a为常数，且a≠0）．
（1）若a＞0，求证：y1与y2的函数图象总有两个公共点；
（2）若a＜，当0＜x＜2时，比较y1与y2的大小，并说明理由；
（3）当﹣4＜x＜1时，y1＜y2，直接写出a的取值范围．
25．（2023 南京一模）【初识模型】
（1）如图①，在△ABC中，D是BC上一点，∠B＝∠ACE，，连接DE．
求证：（Ⅰ）；
（Ⅱ）∠B＝∠ADE．
【再研模型】
（2）如图②，在△ABC中，D是BC上一点，∠B＝∠ADE＝∠ACE．求证：．
【应用模型】
（3）如图③，直线AM与BN交于点O，∠AOB＝60°，一辆快车和一辆慢车分别从A，B两处沿AM，BN方向同时匀速行驶，快车速度是慢车速度的2倍，在行驶过程中两车与某一定点P所组成的三角形的形状始终不变．当两车距离为700m时，慢车到定点P的距离为 　 　m．
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．【解答】解：延长OC交⊙O于D点，交AB于E点，连接OA、OB、AC、BC，如图，
∵C为折叠后的中点，
∴＝，
∴CA＝CB，
∵OA＝OB，
∴OC垂直平分AB，
∴AE＝BE＝AB＝4，
在Rt△AOE中，OE＝＝＝3，
∴DE＝OD﹣OE＝5﹣3＝2，
∵沿AB折叠得到，CD垂直AB，
∴C点和D点关于AB对称，
∴CE＝DE＝2，
∴OC＝OE﹣CE＝3﹣2＝1．
故选：C．
2．【解答】解：连接OB、OD、OA，
∵O为锐角三角形ABC的外心，
∴OA＝OC＝OB，
∵四边形OCDE为正方形，
∴OA＝OC＜OD，
∴OA＝OB＝OC＝OE≠OD，
①OA＝OE＝OB，O是△ABE的外心，故本选项符合题意；
②OA＝OC≠OD，即O不是△ACD的外心，故本选项不符合题意；
③∵OE＝OA，OE⊥DE，
∴直线DE与△ABC的外接圆相切．故本选项符合题意；
故选：B．
3．【解答】解：连接OD、OE，
∵∠A＝60°，
∴∠B+∠C＝120°，
∵OB＝OD，OE＝OC，
∴∠ODB＝∠B，∠OEC＝∠C，
∴∠BOD+∠EOC＝360°﹣120°×2＝120°，
∴∠DOE＝60°，
∴的长为：＝π，
故选：B．
4．【解答】解：根据题意设C（m，3），y1＝k1x+6，y2＝k2x+2，
∴一次函数y1的图象与一次函数y2的图象相交于点C，
∴3＝mk1+6，3＝mk2+2，
∴k1＝﹣，k2＝，
∴y1＝﹣x+6，y2＝x+2，
∴y＝y1 y2＝（﹣x+6）（x+2）＝﹣x2+12，
∴函数y是二次函数，
∵﹣＜0，
∴函数y图象开口向下，顶点为（0，12），
故选：C．
5．【解答】解：∵a＜0，a2＞b2，
∴|a|＞|b|，
∴a＜b，故①符合题意，④符合题意；
当a＝﹣2，b＝﹣1时，a2＝4，b2＝1，故②不符合题意；
当a＝﹣2，b＝﹣1时，＝﹣，＝﹣1，＞，故③不符合题意；
故选：A．
6．【解答】解：如图，过点A作AG⊥CD，
∵四边形ABCD为菱形，菱形ABCD沿AE翻折，
∴AB＝AD，AB＝AF，∠ABE＝∠D，
∴AD＝AF，
∴三角形ADF为等腰三角形，
∵AG⊥DF，
∴点G为DF中点，
∵点F为CD中点，
∴AD＝CD＝4DG，
设DG＝a，则AD＝4a，
在Rt△ADG中，AD2＝AG2+DG2，
∴（4a）2＝AG2+a2，
∴AG＝a，
∴tan∠ABE＝tanD＝＝，
故选：D．
二．填空题（共13小题）
7．【解答】解：∵A（1，2），B（﹣1，﹣2），
∴OA＝OB，
∵B（﹣1，﹣2），C（5，﹣2），
∴BC∥x轴，
∴＝，
∴＝，
∴OD＝3．
故答案为：3．
8．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠FDE＝∠BAE，∠DFE＝∠ABE，∠FDE＝∠C，∠FED＝∠FBC，
∴△DEF∽△AEB，△DEF∽△CBF，
∴，，
∵AE＝2ED，
∴，
∴，
∵S△DEF＝1，
∴，
解得：S△CBF＝9．
故答案为：9．
9．【解答】解：∵点I是△ABC的内心．∠IAB＝34°，∠IBC＝36°，
∴∠ABC＝2∠IBC＝2×36°＝72°，∠BAC＝2∠IAB＝2×34°＝68°，
∴∠ACB＝180°﹣72°﹣68°＝40°，
∴∠ICA＝∠ACB＝＝20°．
故答案为：20．
10．【解答】解：①反比例函数y＝的图象向上平移3个单位长度得到y＝+3，
∵x＝3时，则y＝＝5，
∴方案①不可行；
②反比例函数y＝的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到y＝，
∵x＝3时，y＝﹣2＝4，
∴方案②可行；
③把x＝3代入y＝得，y＝2，
∴点（3，2）在反比例函数的图象上，
∵点（3，2）关于直线y＝3的对应点为（3，4），
∴反比例函数y＝的图象沿直线y＝3轴对称得到的图象经过点（3，4），
∴方案③可行；
④把x＝3代入y＝得，y＝2，
∴点（3，2）在反比例函数的图象上，
∵点（3，2）关于直线x＝2的对应点为（1，2），再向右平移1个单位长度得到（2，2），
把x＝2代入y＝得y＝3，
∴反比例函数y＝的图象先沿直线x＝2轴对称，再向右平移1个单位长度得到的图象不经过点（3，4），
∴方案④不可行；
故答案为：②③．
11．【解答】解：∵AB∥DE，
∴∠E＝∠AFG＝45°，
∵∠A＝30°，
∴∠AGF＝180°﹣∠A﹣∠AFG＝180°﹣30°﹣45°＝105°．
故答案为：105°．
12．【解答】解：在优弧AB上取一点D，连接AD，BD，OC，
∵∠ACB＝120°，
∴∠D＝180°﹣∠ACB＝60°，
∴∠AOB＝2∠D＝120°，
∵，
∴∠BOC＝2∠AOC，
∴∠BOC＝80°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC＝50°，
故答案为：50°．
13．【解答】解：连接AF，如图，
∵四边形ABCD为正方形，AB＝15，
∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝15，
根据折叠的性质可得，AD＝AD′＝15，DE＝DE′，∠D＝∠AD′E＝90°，
∴AB＝AD′，∠AD′F＝90°，
在Rt△ABF和Rt△AD′F中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△AD′F（HL），
∴BF＝D′F，
∵DE＝10，
∴D′E＝DE＝10，CE＝CD﹣DE＝15﹣10＝5，
设BF＝D′F＝x，则CF＝BC﹣BF＝15﹣x，EF＝D′E+D′F＝10+x，
在Rt△EFC中，CE2+CF2＝EF2，
∴52+（15﹣x）2＝（10+x）2，
解得：x＝3，
∴BF＝3．
故答案为：3．
14．【解答】解：∵AD，AE的垂直平分线交于点O，
∴OD＝OA＝OE，
∴点O是△ADE外接圆的圆心，
以O为圆心，OD长为半径作△ADE外接圆⊙O，连接OD，OE，OA，
∵∠BAC＝45°，
∴∠DOE＝2∠BAC＝90°，
∵OD＝OE，
∴△ODE是等腰直角三角形，
∴DE＝OD＝OA，
∴当OA长最小时DE长最小，
当OA⊥BC时，OA长最小，
∵∠ABC＝60°，AB＝4，
∴sin∠ABC＝＝＝，
∴AO＝2，
∴DE长的最小值是OA＝2．
故答案为：2．
15．【解答】解：由三角形的性质得：
BC﹣AC＜AB＜AC+BC（三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边），
即：4﹣3＜AB＜4+3，1＜AB＜7．
∵∠C为钝角，
∴钝角三角形AB2＞BC2+AC2，
∴5＜AB＜7，
故答案为：5＜AB＜7．
16．【解答】解：连接OM、ON，
∵正五边形ABCDE，
∴正五边形ABCDE的每个内角为：540°÷5＝108°，
∴∠CBD＝∠BDC＝（180°﹣108°）÷2＝36°，
∠BCO＝108°﹣36°＝72°，
∴∠BOC＝180°﹣72°﹣36°＝72°，
∴∠BOC＝∠BCO，
∴△BCO为等腰三角形，
∴BC＝BO＝2，
∴∠BOE＝180°﹣∠BOC＝108°，
∴∠ABO＝108°﹣∠CBO＝108°﹣36°＝72°，
∵OB＝OM，
∴∠OBM＝∠BMO＝72°，
∴∠BOM＝180°﹣∠OBM﹣∠OMB＝180°﹣72°﹣72°＝36°，
同理可得：∠NOE＝36°，
∴∠MON＝108°﹣∠BOM﹣∠NOE＝108°﹣36°﹣36°＝36°，
∴＝＝，
故答案为：．
17．【解答】解：设CE＝x，
∵B′C′∥AB，
∴∠BAB′＝∠B′，
由旋转的性质得：∠B＝∠B′，AC＝AC′＝6，
∴∠BAE＝∠B，
∴AE＝BE＝8﹣x，
∴（8﹣x）2＝x2+62，
∴x＝，
∴CE＝，
∴AE＝BE＝8﹣，
∵AB＝AB′＝，
∴B′E＝AB′﹣AE＝，
∵B′C′∥AB，
∴∠EB′D＝∠BAE＝∠ABE＝∠EDB′，
∴DE＝B′E＝，
∴CD＝DE﹣CE＝2，
故答案为：2．
18．【解答】解：∵x+y＝5，
∴y＝5﹣x，
∴xy+1＝x（5﹣x）+1＝﹣x2+5x+1＝﹣（x﹣）2+，
∵﹣1＜0，
∴xy+1的最大值为，
故答案为：．
19．【解答】解：过点D作DE⊥AC，交AC延长线于E，如图所示：
∵∠ACB＝60°，DC⊥BC，
∴∠DCE＝180°﹣60°﹣90°＝30°，
∴DE＝CD，
设DC＝BC＝x，AC＝y，
则DE＝x，CE＝＝＝x，
∴AE＝AC+CE＝y+x，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2＝AE2+DE2＝（y+x）2+（x）2＝x2+y2+xy，
∵（x﹣y）2≥0，
∴xy≤（x2+y2），
当x＝y时，取等号，
∴AD2＝x2+y2+xy≤x2+y2+（x2+y2），
∴当x＝y时，AD最大，
∵∠ACB＝60°，
∴AD最大时，△ABC为等边三角形，
此时，x＝y＝AB＝2，
AD2＝x2+y2+（x2+y2）＝22+22+（22+22）＝8+4，
∵AD＞0，
∴AD＝+，
故答案为：+．
解法2：如图，在AB的下方作以AB为斜边的等腰直角三角形ABF，连接CF，
则BA＝BF，∠ABF＝45°，
∵DC⊥BC，DC＝BC，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BD＝BC，∠CBD＝45°，
∴＝，∠ABF+∠ABC＝∠CBD+∠ABC，
即∠FBC＝∠ABD，
∴△FBC∽△ABD，
∴＝＝，
∴AD＝CF，
当C在△ABC外接圆最高点处时，△ABC为等边三角形，CF取得最大值+1，
∴AD最大值为+，
故答案为：+．
三．解答题（共6小题）
20．【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+（a﹣2）x+3的图象经过点（2，3），
∴4+2（a﹣2）+3＝3，
解得a＝0，
∴该二次函数的表达式为y＝x2﹣2x+3；
（2）∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴当x＝1时，y的最小值为2，
当x＝0时，y＝3，
当x＝3时，y＝（3﹣1）2+2＝6，
∴0＜x＜3时，y的取值范围为2≤y＜6，
故答案为：2≤y＜6；
（3）∵点P（m﹣1，y1），点Q（m，y2）且y1＞y2，对称轴为直线x＝1，
∴＜1，
解得m＜，
∴m的取值范围为m．
21．【解答】解：（1）通过观察图象可得，y＝ax3+bx2+cx的图象如图⑤，则a＜0，b＞0，c＞0；
（2）不同意“函数y＝﹣x3+2x2的图象的对称中心的横坐标为1”，理由如下：
对任意实数m（m＞0），
当x＝1+m时，y1＝﹣（1+m）3+2（1+m）2＝﹣m3﹣m2+m+1，
当x＝1﹣m时，y2＝﹣（1﹣m）3+2（1﹣m）2＝m3﹣m2﹣m+1，
∴y1+y2＝﹣2m2+2，
若函数y＝﹣x3+2x2图象的对称中心的横坐标为1，则y1+y2的值与m无关，
而﹣2m2+2的值与m有关，
∴函数y＝﹣x3+2x2的图象的对称中心的横坐标不是1；
（3）令ax3+x2+cx＝0，则x（ax2+x+c）＝0，
∴x＝0或ax2+x+c＝0，
∵ac＜0，
∴ax2+x+c＝0的解为x1＝，x2＝，
∴y＝ax3+x2+cx与x轴交点横坐标分别是，0和，
当a＞0时，ax3+x2+cx＞0（即y＞0）的解集为＜x＜0或x＞；
当a＜0时，ax3+x2+cx＞0（即y＞0）的解集为0＜x＜或x＜．
22．【解答】解：（1）由图可得，甲车的速度为120÷2＝60（km/h），
故答案为：60；
（2）∵乙车从B地以80km/h的速度匀速驶往A地，两车同时到达目的地，
∴乙车行驶时间为120÷80＝1.5（h），
∵2﹣1.5＝0.5（h），
∴乙车比甲车晚出发0.5h，
画出y2与x的函数图象如下：
图象CD即为y2与x的函数图象，
由题意得y1＝60x，
设CD的函数表达式为y2＝﹣80x+b，将（2，0）代入y2＝﹣80x+b，得b＝160，
∴y2＝﹣80x+160，
由﹣80x+160＝60x，解得x＝，
∴甲车出发后h与乙车相遇，
答：甲车出发后h与乙车相遇；
（3）根据题意得y1＝60x，y2＝120﹣80（x﹣m）＝﹣80x+120+80m，
由60x＝﹣80x+120+80m得：x＝+m，
当x＝+m时，y1＝y2＝60（+m），
∵甲、乙两车在距A地60km至72km之间的某处相遇，
∴60＜60（+m）＜72，
解得＜m＜，
∴m的范围是＜m＜．
23．【解答】（1）证明：连接CO并延长交AB于点F，连接BE，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD＝90°，
∵CD∥AB，
∴∠OFB＝∠OCD＝90°，即OF⊥AB，
∴AF＝BF，
∴CF是AB的垂直平分线，
∴AC＝BC；
（2）解：∵AF＝BF，OB＝OE，
∴OF＝AE＝×8＝4，
设OB＝OC＝r，在Rt△BCF和Rt△BOF中，由勾股定理得：
BF2+CF2＝BC2，BF2+OF2＝OB2，
即BF2＝（3）2﹣（r+4）2，BF2＝r2﹣42，
∴（3）2﹣（r+4）2＝r2﹣42，
解得r1＝5．r2＝﹣9 （舍去）．
∴⊙O的半径为5．
24．【解答】（1）证明：令y1＝y2，得ax2+3ax+1＝ax+5，
∴ax2+2ax﹣4＝0，
∴Δ＝（2a）2﹣4a×（﹣4）＝4a2+16a，
∵a＞0，
∴Δ＞0，
∴方程ax2+2ax﹣4＝0有两个不相等的实数根，
即y1与y2的函数图象总有两个公共点；
（2）解：设y＝y1﹣y2＝ax2+2ax﹣4，
∵函数y＝ax2+2ax﹣4的图象的对称轴为直线x＝﹣1，
∴函数y＝ax2+2ax﹣4的图象在0＜x＜2时，y随x的增大而增大或y随x的增大而减小，
当x＝2时，y＝4a+4a﹣4＝8a﹣4，
∵a＜，
∴8a﹣4＜0，即x＝2时，y＜0，
∴y1＜y2，
当x＝0时，y＝﹣4＜0，
∴y1＜y2，
综上所述，当0＜x＜2时，y1＜y2；
（3）解：由（2）知y＝y1﹣y2＝ax2+2ax﹣4的图象的对称轴为直线x＝﹣1，
∵当﹣4＜x＜1时，y1＜y2，
∴当﹣4＜x＜1时，y的最大值为负数，
当a＞0时，
∵﹣1﹣（﹣4）＞1﹣（﹣1），
∴y＝y1﹣y2＝ax2+2ax﹣4在x＝﹣4时取最大值，
∵x＞﹣4，
∴16a﹣8a﹣4≤0，
解得a≤，
∴0＜a≤；
当a＜0时，y＝y1﹣y2＝ax2+2ax﹣4在顶点处，即x＝﹣1时取最大值，
∴a﹣2a﹣4＜0，
解得a＞﹣4，
∴﹣4＜a＜0，
综上所述，a的范围是0＜a≤或﹣4＜a＜0．
25．【解答】（1）证明：（Ⅰ）∵∠B＝∠ACE，，
∴△ABD∽△ACE，
∴；
（Ⅱ）∵△ABD∽△ACE，
∴∠BAD＝∠CAE．
∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，即∠BAC＝∠DAE，
∵，
∴，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠B＝∠ADE；
（2）证明：∵∠ACE＝∠ADE，∠CFE＝∠DFA，
∴△AFD∽△EFC，
∴∠DAF＝∠CEF，
∴，即，
又∠AFE＝∠DFC，
∴△AFE∽△DFC，
∴∠ACB＝∠AEF，
∴∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝∠ACB+∠DAF＝∠ADB，
又∠ACE＝∠ABC，
∴△ABD∽△ACE，
∴；
（3）解：作△OAB的外接圆，在圆O'上取点P，且使PA＝2PB，连接PA，PB，
若快车行驶到A'，慢车行驶到B'，AA'＝2BB'，连接PA'，PB'，A'B'，
由（2）可知△PAB∽△PA'B'，△PAA'∽△PBB'，
∴＝2，
过点A'作A'G⊥B'P，交B'P的延长线于点G，
由题意可知，A'B'＝700m，
∵∠AOB＝60°，
∴∠APB＝∠A'PB'＝120°，
∴∠A'PG＝60°，
设PG＝x m，则PB'＝x m，A'G＝x（m），
在Rt△A'B'G中，A'G2+B'G2＝A'B'2，
∴，
∴x＝100（负值舍去），
∴PG＝PB'＝100（m），
故答案为：100．