湖南省衡阳县井头镇清潭中学2023-2024学年八年级下学期数学开学测试试卷
一、选择题
1．（2024八下·衡阳开学考）如图所示，在杭州亚运会上一名中国运动员在跪姿射击时是由左手、左肘、左肩、右肩构成两个三角形.这样做的数学依据是（ ）
A．三角形全等 B．三点确定一线
C．三角形具有稳定性 D．三线合一
2．（2022八上·柯桥期末）下列图案中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024八下·衡阳开学考）下列各式中不是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·太谷模拟）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024八下·衡阳开学考）下列各分式中，是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024八下·衡阳开学考）现有两根木棒，它们的长是20cm和30cm，若要钉成一个三角形木架，则应选取的第三根木棒长为（ ）
A．10cm B．50cm C．60cm D．40cm
7．（2024八下·衡阳开学考）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024八下·衡阳开学考）如图，在直角坐标系中，的顶点O和B的坐标分别是，，且，，则顶点A关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023八上·平昌期末）如图，已知，添加下列条件不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023七下·余杭月考）如图，三角板的直角顶点在直尺的一边上.若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
11．（2024八下·衡阳开学考）如图，在平面直角坐标系中，，，，，以为直角边在边的下方作等腰直角，则点C的坐标是（ ）
A． B． C． D．
12．（2020八上·庐阳月考）已知，如图，等腰 ， ， ， 于点 ，点 是 延长线上一点，点 是线段 上一点， ，下列结论：① 平分 ；② ；③ 是等边三角形；④ ，其中正确的序号是（ ）
A．①③④ B．②③ C．①②④ D．①③
二、填空题
13．（2023八下·江油月考）最简二次根式 与二次根式是同类二次根式，则x＝ ．
14．（2024八下·衡阳开学考）若分式有意义，则实数x的取值范围是 ；分式约分的结果是 .
15．若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是 ．
16．（2024八下·衡阳开学考）形如燕尾的几何图形我们通常称之为“燕尾形”.如图是一个燕尾形，已知，，，则的度数为 .
17．（2024八下·衡阳开学考）如图，中，，AD平分交BC于点D，E为线段AC上一点，连接DE，且.若，，则AE的长为 .
三、解答题
18．（2024八下·衡阳开学考）（1）利用因式分解进行简便运算：；
（2）化简：.
19．（2024八下·衡阳开学考）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为、、.
（1）请画出关于y轴对称的；
（2）请写出、、的坐标；
（3）若平面直角坐标系中存在点P，使（点P与点C不重合），请直接写出点P的坐标.
20．（2023·青岛模拟）“冰墩墩”和“雪容融”作为第24届北京冬奥会和残奥会的吉祥物深受大家喜爱，某文旅店订购“冰墩墩”花费6000元，订购“雪容融”花费3200元，其中“冰墩墩”的订购单价比“雪容融”的订购单价多20元，并且订购“冰墩墩”的数量是“雪容融”的1.25倍．
（1）求文旅店订购“冰墩墩”和“雪容融”的数量分别是多少个；（请列分式方程作答）
（2）该文旅店以100元和80元的单价销售“冰墩墩”和“雪容融”，在“冰墩墩”售出，“雪容融”售出后，文旅店为了尽快回笼资金，决定对剩余的“冰墩墩”每个打a折销售，对剩余的“雪容融”每个降价2a元销售，很快全部售完，若要保证文旅店总利润不低于6060元，求a的最小值．
21．（2023八上·衡阳期中）如图，，垂足分别为．
（1）求证：；
（2）若，求四边形的面积．
22．（2022八上·台州月考）如图，直线是中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点，若，，．
（1）求的最小值，并说明理由．
（2）求周长的最小值．
23．（2024八下·衡阳开学考）如图，在中，，，点D为内部一点，且.
（1）连接BD，求证：；
（2）若，延长AD至点E，使.
①求证：DE平分；
②在DE上截取DF，使，连接BF，请判断EF，CD的数量关系，并给出证明.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：这样做的数学依据是：三角形具有稳定性，
故答案为：C.
【分析】根据三角形的性质 ：三角形具有稳定性解答即可．
2．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意.
故答案为：C.
【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形.
3．【答案】B
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解：A.被开方数x2+1>0，所以A是二次根式，故A不符合题意；
B.被开方数-9<0，所以B不是二次根式，故B符合题意；
C.被开方数5>0，所以C是二次根式，故C不符合同意；
D.被开方数（m-n）2≥0，所以D是二次根式，故D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的定义逐个判断即可．能熟记二次根式的定义（形如，其中a≥0的根式叫二次根式）是解此题的关键．
4．【答案】C
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：在实数范围内有意义，
且，
解得：．
故答案为：C．
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数；分式有意义的条件：分母不为0，据此解答即可.
5．【答案】A
【知识点】最简分式
【解析】【解答】解：A.是最简分式，A符合题意；
B.，B不符合题；
C.，C不符合题；
D.，D不符合题.
故答案为：A.
【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．
6．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三根木棒长为xcm，根据三角形三边的关系，得
30-20即，10故答案为：D.
【分析】利用三角形三边的关系：三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边列出不等式即可求解.
7．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A.a2·a4=a2+4=a6，A不符合题意；
B.（a2）2=a2×2=a4，B符合题意；
C.（2a）3=23×a3=8a3，C不符合题意；
D.a10÷a2=a10-2=a8，D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据同底数幂的乘除法法则、幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可．
8．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：过A作AD⊥OB于D，
∵∠OAB＝90°，AO＝AB，
∴∠OAD＝∠BAD＝45°，OD=BD=OB=3，
∠AOD＝∠ABD＝45°，
∴∠OAD＝∠AOD，
∴AD=OD=3
∴点A的坐标为（3，3），
∴顶点A关于x轴的对称点的坐标（3， 3），
故答案为：D.
【分析】根据等腰三角形的判定和性质及等腰三角形“三线合一”得出AD、OD的长，即求出点A的坐标，再利用关于x轴的对称点的坐标特点解答即可．
9．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
A.若添加，则满足边边角，无法判定，故本选项符合题意；
B.若添加，可利用角边角判定，故本选项不符合题意；
C.若添加，可利用角角边判定，故本选项不符合题意；
D.若添加，可利用边角边判定，故本选项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据BE=CF结合线段的和差关系可得BC=EF，然后根据全等三角形的判定定理进行判断.
10．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；邻补角
【解析】【解答】解：如图所示，
直尺中，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：.
【分析】根据平行线的性质可得∠2=∠4=70°，由邻补角的性质可求出∠5的度数，然后利用内角和定理进行计算.
11．【答案】C
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：过点C作CD⊥y轴于点D，如图所示．
∵∠ABC＝90°，∠AOB＝90°，
∴∠OAB＋∠OBA＝90°，∠OBA＋∠DBC＝90°，
∴∠OAB＝∠DBC．
在△OAB和△DBC中，
∴△OAB≌△DBC（AAS），
∴BD＝AO，DC＝OB．
∵A（3，0），B（0， 1），
∴BD＝AO＝3，DC＝OB＝1，OD＝OB＋BD＝4，
∴点C的坐标为（1， 4）．
故答案为：C.
【分析】要求C点的坐标，就得求出点C到y轴及x轴的距离，因此过点C作CD⊥y轴于点D，构造全等三角形.证明△OAB≌△DBC是关键，根据全等三角形的性质再结合点A、B的坐标即可得出CD、OD 的长度，进而可得出点C的坐标.
12．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；三角形的综合
【解析】【解答】解：① ， ， ；
， ，
，
平分 ，故①符合题意；
②由①知： ， ，
点 是线段 上一点，
与 不一定相等，则 与 不一定相等，
故②不符合题意；
③ ，
，
，
，
，
，
是等边三角形；
故③符合题意；
④如图，在 上截取 ，
，
是等边三角形，
， ，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
；
故④符合题意．
故答案为：A．
【分析】①根据等腰三角形的性质，邻补角的定义即可得到结论；②因为点 是线段 上一点，所以 不一定是 的角平分线，可作判断；③证明 且 ，即可证得 是等边三角形；④首先证明 ，则 ， ．
13．【答案】
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：
∵最简二次根式 与二次根式是同类二次根式 ，
∴4-3x=2，
解之：x=.
故答案为：
【分析】先将化成最简二次根式，再根据同类二次根式的定义，可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
14．【答案】；b
【知识点】分式有意义的条件；分式的约分
【解析】【解答】解：∵分式有意义，
∴x-3≠0，
解得，x≠3.
故答案为：x≠3；b.
【分析】（1）分式有无意义主要看分式的分母，①当分式的分母等于零时，分式无意义；②当分式的分母不等于零时，分式有意义；
（2）约分就根据分式的基本性质是把分子、分母中的公因式约去.
15．【答案】8
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】设多边形的边数为N，根据题意，得
（N－2） 180＝3×360，
解得N＝8．
则这个多边形的边数是8．
【分析】任何多边形的外角和是360°，即这个多边形的内角和是3×360°．N边形的内角和是（N－2） 180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
16．【答案】
【知识点】角的运算；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：连接BD，延长BD到E．
∵∠1=∠C+∠CBD，∠2=∠A+∠ABD，
∴∠ADC=∠1+∠2=∠C+∠A+∠CBD+∠ABD=∠C+∠A+∠ABC，
∵∠ADC=105°，∠ABC=63°，∠BAD=22°，
∴∠BCD=∠ADC-∠ABC-∠BAD=105°-63°-22°=20°.
故答案为：20°.
【分析】连接BD，延长BD到E，根据三角形的外角的性质得出∠1=∠C+∠CBD，∠2=∠A+∠ABD，继而得出∠ADC=∠1+∠2=∠A+∠C+∠ABC，代入已知数据，即可求解.掌握三角形外角的性质是解题的关键.
17．【答案】4
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；三角形全等的判定（AAS）；线段的计算
【解析】【解答】解：如图，过D点作DF垂直AB于点F，
∵∠C＝90°，∴AC⊥BD，
∵AD平分∠BAC且DC⊥AC，DF⊥AB，
∴DF=DC，
在△BFD和△ECD中，
，
∴△BFD≌△ECD（AAS），
∴FB=CE=6，
∵AB=16，
∴AF=AB-FB=16-6=10，
在△AFD和△ACD中，
，
∴△AFD≌△ACD（AAS），
∴AF=AC=10，
∴AE=AC-CE=10-6=4．
故答案为：4．【分析】过D点作AB的垂线相交于F，证明△BFD≌△ECD，即可得出AF的长度，再证明△AFD≌△ACD，可求出AC的长度，则AE=AC-CE.熟练掌握角平分线的性质、三角形全等的判定是解决本题的关键.
18．【答案】（1）解：
（2）解：原式：
【知识点】因式分解的应用；分式的混合运算
【解析】【分析】（1）解决本题的关键是把原式化成完全平方式的形式，然后写成完全平方的形式再进行计算；
（2）依据题意，由分式的混合运算法则进行计算可以得解．
19．【答案】（1）解：如图，即为所求
（2）解：由（1）可知，，，
（3）解：点P的坐标为
【知识点】三角形全等的判定；关于坐标轴对称的点的坐标特征；作图﹣轴对称
【解析】【解答】解：（3）若△PAB≌△CAB，则AP=AC=PB=CB，
如图，利用网格找点C关于AB的对称点P，
∴点P的坐标为（0，3）．
【分析】（1）分别作A、B、C三点关于y轴对称点A'、B'、C'，连接就得到△A'B'C'，注意：关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标不变；
（2）由图可得出答案；
（3）若△PAB≌△CAB，则BP=BC，利用网格找点C关于AB的对称点P，即可得出答案。
20．【答案】（1）解：设文旅店订购“雪容融”的数量为个，则订购“冰墩墩”的数量为个，
由题意得：，
解得，符合题意，
经检验，是所列分式方程的解，
则，
答：文旅店订购“冰墩墩”的数量为100个，“雪容融”的数量为80个；
（2）解：由题意得：文旅店销售“冰墩墩”的收入为（元），
销售“雪容融”的收入为（元），
则，
解得，
答：的最小值为8．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设文旅店订购“雪容融”的数量为个，则订购“冰墩墩”的数量为个，根据题意列出方程，再求解即可；
（2）根据题意列出不等式，再求解即可。
21．【答案】（1）证明：在Rt△ABC和Rt△ADC中，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）；
（2）解：由（1）知：△ABC≌△ADC，
∴BC＝CD＝3，S△ABC＝S△ADC，
∴S△ABC＝AB BC＝×4×3＝6，
∴S△ADC＝6，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝12，
答：四边形ABCD的面积是12．
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】（1）根据三角形全等的判定证明Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）即可求解；
（2）根据三角形全等的性质得到BC＝CD＝3，S△ABC＝S△ADC，进而结合题意运用S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC即可求解。
22．【答案】（1）解：当A，B，P三点共线时，PA+PB最小短
；
原因：两点之间，线段最短．
（2）解：∵直线m是BC的垂直平分线，点P在m上，
∴点C关于直线m的对称点是点B，
则 ，
∵ ，
∵ ，
要使 周长最小，
即 最小，
当点P是直线m与AB的交点时， 最小，
即 ，此时 ．
【知识点】线段垂直平分线的性质；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【分析】（1）利用两点之间线段最短，可知当当A，B，P三点共线时，PA+PB最小.
（2）利用垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可证得BP=PC；利用△APC的周长为AP+AC+PC，而AC是定值，要使△APC的周长最小，可知AP+PC的值最小，由此可知当点P是直线m与AB的交点时，可知PA+PB最小，即可求出△APC周长的最小值.
23．【答案】（1）证明：在和中，，
（2）解：①证明：，，由（1）知，
，，
，，，
，，
，，
，平分；
②，理由如下：
，由①，是等边三角形，
，，
，，，
，，
，
由①知，，
在和中，，
，.∴EF=CD
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）利用SSS即可解决；
（2）①根据全等三角形的性质得出∠DBA=∠DBC=45°，∠BCD=∠BAD=15°，再根据等腰三角形的性质得出∠BAC=∠BCA=45°，根据三角形的外角的性质可得∠CDE=∠BDE=60°，即可证得；
②根据等边三角形的判定和性质及三角形外角的性质，利用SAS证明△BDC≌△BFE，最后证得EF=CD.
1 / 1湖南省衡阳县井头镇清潭中学2023-2024学年八年级下学期数学开学测试试卷
一、选择题
1．（2024八下·衡阳开学考）如图所示，在杭州亚运会上一名中国运动员在跪姿射击时是由左手、左肘、左肩、右肩构成两个三角形.这样做的数学依据是（ ）
A．三角形全等 B．三点确定一线
C．三角形具有稳定性 D．三线合一
【答案】C
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：这样做的数学依据是：三角形具有稳定性，
故答案为：C.
【分析】根据三角形的性质 ：三角形具有稳定性解答即可．
2．（2022八上·柯桥期末）下列图案中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意.
故答案为：C.
【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形.
3．（2024八下·衡阳开学考）下列各式中不是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解：A.被开方数x2+1>0，所以A是二次根式，故A不符合题意；
B.被开方数-9<0，所以B不是二次根式，故B符合题意；
C.被开方数5>0，所以C是二次根式，故C不符合同意；
D.被开方数（m-n）2≥0，所以D是二次根式，故D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的定义逐个判断即可．能熟记二次根式的定义（形如，其中a≥0的根式叫二次根式）是解此题的关键．
4．（2023·太谷模拟）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：在实数范围内有意义，
且，
解得：．
故答案为：C．
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数；分式有意义的条件：分母不为0，据此解答即可.
5．（2024八下·衡阳开学考）下列各分式中，是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简分式
【解析】【解答】解：A.是最简分式，A符合题意；
B.，B不符合题；
C.，C不符合题；
D.，D不符合题.
故答案为：A.
【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．
6．（2024八下·衡阳开学考）现有两根木棒，它们的长是20cm和30cm，若要钉成一个三角形木架，则应选取的第三根木棒长为（ ）
A．10cm B．50cm C．60cm D．40cm
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三根木棒长为xcm，根据三角形三边的关系，得
30-20即，10故答案为：D.
【分析】利用三角形三边的关系：三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边列出不等式即可求解.
7．（2024八下·衡阳开学考）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A.a2·a4=a2+4=a6，A不符合题意；
B.（a2）2=a2×2=a4，B符合题意；
C.（2a）3=23×a3=8a3，C不符合题意；
D.a10÷a2=a10-2=a8，D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据同底数幂的乘除法法则、幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可．
8．（2024八下·衡阳开学考）如图，在直角坐标系中，的顶点O和B的坐标分别是，，且，，则顶点A关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：过A作AD⊥OB于D，
∵∠OAB＝90°，AO＝AB，
∴∠OAD＝∠BAD＝45°，OD=BD=OB=3，
∠AOD＝∠ABD＝45°，
∴∠OAD＝∠AOD，
∴AD=OD=3
∴点A的坐标为（3，3），
∴顶点A关于x轴的对称点的坐标（3， 3），
故答案为：D.
【分析】根据等腰三角形的判定和性质及等腰三角形“三线合一”得出AD、OD的长，即求出点A的坐标，再利用关于x轴的对称点的坐标特点解答即可．
9．（2023八上·平昌期末）如图，已知，添加下列条件不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
A.若添加，则满足边边角，无法判定，故本选项符合题意；
B.若添加，可利用角边角判定，故本选项不符合题意；
C.若添加，可利用角角边判定，故本选项不符合题意；
D.若添加，可利用边角边判定，故本选项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据BE=CF结合线段的和差关系可得BC=EF，然后根据全等三角形的判定定理进行判断.
10．（2023七下·余杭月考）如图，三角板的直角顶点在直尺的一边上.若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；邻补角
【解析】【解答】解：如图所示，
直尺中，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：.
【分析】根据平行线的性质可得∠2=∠4=70°，由邻补角的性质可求出∠5的度数，然后利用内角和定理进行计算.
11．（2024八下·衡阳开学考）如图，在平面直角坐标系中，，，，，以为直角边在边的下方作等腰直角，则点C的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：过点C作CD⊥y轴于点D，如图所示．
∵∠ABC＝90°，∠AOB＝90°，
∴∠OAB＋∠OBA＝90°，∠OBA＋∠DBC＝90°，
∴∠OAB＝∠DBC．
在△OAB和△DBC中，
∴△OAB≌△DBC（AAS），
∴BD＝AO，DC＝OB．
∵A（3，0），B（0， 1），
∴BD＝AO＝3，DC＝OB＝1，OD＝OB＋BD＝4，
∴点C的坐标为（1， 4）．
故答案为：C.
【分析】要求C点的坐标，就得求出点C到y轴及x轴的距离，因此过点C作CD⊥y轴于点D，构造全等三角形.证明△OAB≌△DBC是关键，根据全等三角形的性质再结合点A、B的坐标即可得出CD、OD 的长度，进而可得出点C的坐标.
12．（2020八上·庐阳月考）已知，如图，等腰 ， ， ， 于点 ，点 是 延长线上一点，点 是线段 上一点， ，下列结论：① 平分 ；② ；③ 是等边三角形；④ ，其中正确的序号是（ ）
A．①③④ B．②③ C．①②④ D．①③
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；三角形的综合
【解析】【解答】解：① ， ， ；
， ，
，
平分 ，故①符合题意；
②由①知： ， ，
点 是线段 上一点，
与 不一定相等，则 与 不一定相等，
故②不符合题意；
③ ，
，
，
，
，
，
是等边三角形；
故③符合题意；
④如图，在 上截取 ，
，
是等边三角形，
， ，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
；
故④符合题意．
故答案为：A．
【分析】①根据等腰三角形的性质，邻补角的定义即可得到结论；②因为点 是线段 上一点，所以 不一定是 的角平分线，可作判断；③证明 且 ，即可证得 是等边三角形；④首先证明 ，则 ， ．
二、填空题
13．（2023八下·江油月考）最简二次根式 与二次根式是同类二次根式，则x＝ ．
【答案】
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：
∵最简二次根式 与二次根式是同类二次根式 ，
∴4-3x=2，
解之：x=.
故答案为：
【分析】先将化成最简二次根式，再根据同类二次根式的定义，可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
14．（2024八下·衡阳开学考）若分式有意义，则实数x的取值范围是 ；分式约分的结果是 .
【答案】；b
【知识点】分式有意义的条件；分式的约分
【解析】【解答】解：∵分式有意义，
∴x-3≠0，
解得，x≠3.
故答案为：x≠3；b.
【分析】（1）分式有无意义主要看分式的分母，①当分式的分母等于零时，分式无意义；②当分式的分母不等于零时，分式有意义；
（2）约分就根据分式的基本性质是把分子、分母中的公因式约去.
15．若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是 ．
【答案】8
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】设多边形的边数为N，根据题意，得
（N－2） 180＝3×360，
解得N＝8．
则这个多边形的边数是8．
【分析】任何多边形的外角和是360°，即这个多边形的内角和是3×360°．N边形的内角和是（N－2） 180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
16．（2024八下·衡阳开学考）形如燕尾的几何图形我们通常称之为“燕尾形”.如图是一个燕尾形，已知，，，则的度数为 .
【答案】
【知识点】角的运算；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：连接BD，延长BD到E．
∵∠1=∠C+∠CBD，∠2=∠A+∠ABD，
∴∠ADC=∠1+∠2=∠C+∠A+∠CBD+∠ABD=∠C+∠A+∠ABC，
∵∠ADC=105°，∠ABC=63°，∠BAD=22°，
∴∠BCD=∠ADC-∠ABC-∠BAD=105°-63°-22°=20°.
故答案为：20°.
【分析】连接BD，延长BD到E，根据三角形的外角的性质得出∠1=∠C+∠CBD，∠2=∠A+∠ABD，继而得出∠ADC=∠1+∠2=∠A+∠C+∠ABC，代入已知数据，即可求解.掌握三角形外角的性质是解题的关键.
17．（2024八下·衡阳开学考）如图，中，，AD平分交BC于点D，E为线段AC上一点，连接DE，且.若，，则AE的长为 .
【答案】4
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；三角形全等的判定（AAS）；线段的计算
【解析】【解答】解：如图，过D点作DF垂直AB于点F，
∵∠C＝90°，∴AC⊥BD，
∵AD平分∠BAC且DC⊥AC，DF⊥AB，
∴DF=DC，
在△BFD和△ECD中，
，
∴△BFD≌△ECD（AAS），
∴FB=CE=6，
∵AB=16，
∴AF=AB-FB=16-6=10，
在△AFD和△ACD中，
，
∴△AFD≌△ACD（AAS），
∴AF=AC=10，
∴AE=AC-CE=10-6=4．
故答案为：4．【分析】过D点作AB的垂线相交于F，证明△BFD≌△ECD，即可得出AF的长度，再证明△AFD≌△ACD，可求出AC的长度，则AE=AC-CE.熟练掌握角平分线的性质、三角形全等的判定是解决本题的关键.
三、解答题
18．（2024八下·衡阳开学考）（1）利用因式分解进行简便运算：；
（2）化简：.
【答案】（1）解：
（2）解：原式：
【知识点】因式分解的应用；分式的混合运算
【解析】【分析】（1）解决本题的关键是把原式化成完全平方式的形式，然后写成完全平方的形式再进行计算；
（2）依据题意，由分式的混合运算法则进行计算可以得解．
19．（2024八下·衡阳开学考）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为、、.
（1）请画出关于y轴对称的；
（2）请写出、、的坐标；
（3）若平面直角坐标系中存在点P，使（点P与点C不重合），请直接写出点P的坐标.
【答案】（1）解：如图，即为所求
（2）解：由（1）可知，，，
（3）解：点P的坐标为
【知识点】三角形全等的判定；关于坐标轴对称的点的坐标特征；作图﹣轴对称
【解析】【解答】解：（3）若△PAB≌△CAB，则AP=AC=PB=CB，
如图，利用网格找点C关于AB的对称点P，
∴点P的坐标为（0，3）．
【分析】（1）分别作A、B、C三点关于y轴对称点A'、B'、C'，连接就得到△A'B'C'，注意：关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标不变；
（2）由图可得出答案；
（3）若△PAB≌△CAB，则BP=BC，利用网格找点C关于AB的对称点P，即可得出答案。
20．（2023·青岛模拟）“冰墩墩”和“雪容融”作为第24届北京冬奥会和残奥会的吉祥物深受大家喜爱，某文旅店订购“冰墩墩”花费6000元，订购“雪容融”花费3200元，其中“冰墩墩”的订购单价比“雪容融”的订购单价多20元，并且订购“冰墩墩”的数量是“雪容融”的1.25倍．
（1）求文旅店订购“冰墩墩”和“雪容融”的数量分别是多少个；（请列分式方程作答）
（2）该文旅店以100元和80元的单价销售“冰墩墩”和“雪容融”，在“冰墩墩”售出，“雪容融”售出后，文旅店为了尽快回笼资金，决定对剩余的“冰墩墩”每个打a折销售，对剩余的“雪容融”每个降价2a元销售，很快全部售完，若要保证文旅店总利润不低于6060元，求a的最小值．
【答案】（1）解：设文旅店订购“雪容融”的数量为个，则订购“冰墩墩”的数量为个，
由题意得：，
解得，符合题意，
经检验，是所列分式方程的解，
则，
答：文旅店订购“冰墩墩”的数量为100个，“雪容融”的数量为80个；
（2）解：由题意得：文旅店销售“冰墩墩”的收入为（元），
销售“雪容融”的收入为（元），
则，
解得，
答：的最小值为8．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设文旅店订购“雪容融”的数量为个，则订购“冰墩墩”的数量为个，根据题意列出方程，再求解即可；
（2）根据题意列出不等式，再求解即可。
21．（2023八上·衡阳期中）如图，，垂足分别为．
（1）求证：；
（2）若，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：在Rt△ABC和Rt△ADC中，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）；
（2）解：由（1）知：△ABC≌△ADC，
∴BC＝CD＝3，S△ABC＝S△ADC，
∴S△ABC＝AB BC＝×4×3＝6，
∴S△ADC＝6，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝12，
答：四边形ABCD的面积是12．
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】（1）根据三角形全等的判定证明Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）即可求解；
（2）根据三角形全等的性质得到BC＝CD＝3，S△ABC＝S△ADC，进而结合题意运用S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC即可求解。
22．（2022八上·台州月考）如图，直线是中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点，若，，．
（1）求的最小值，并说明理由．
（2）求周长的最小值．
【答案】（1）解：当A，B，P三点共线时，PA+PB最小短
；
原因：两点之间，线段最短．
（2）解：∵直线m是BC的垂直平分线，点P在m上，
∴点C关于直线m的对称点是点B，
则 ，
∵ ，
∵ ，
要使 周长最小，
即 最小，
当点P是直线m与AB的交点时， 最小，
即 ，此时 ．
【知识点】线段垂直平分线的性质；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【分析】（1）利用两点之间线段最短，可知当当A，B，P三点共线时，PA+PB最小.
（2）利用垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可证得BP=PC；利用△APC的周长为AP+AC+PC，而AC是定值，要使△APC的周长最小，可知AP+PC的值最小，由此可知当点P是直线m与AB的交点时，可知PA+PB最小，即可求出△APC周长的最小值.
23．（2024八下·衡阳开学考）如图，在中，，，点D为内部一点，且.
（1）连接BD，求证：；
（2）若，延长AD至点E，使.
①求证：DE平分；
②在DE上截取DF，使，连接BF，请判断EF，CD的数量关系，并给出证明.
【答案】（1）证明：在和中，，
（2）解：①证明：，，由（1）知，
，，
，，，
，，
，，
，平分；
②，理由如下：
，由①，是等边三角形，
，，
，，，
，，
，
由①知，，
在和中，，
，.∴EF=CD
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）利用SSS即可解决；
（2）①根据全等三角形的性质得出∠DBA=∠DBC=45°，∠BCD=∠BAD=15°，再根据等腰三角形的性质得出∠BAC=∠BCA=45°，根据三角形的外角的性质可得∠CDE=∠BDE=60°，即可证得；
②根据等边三角形的判定和性质及三角形外角的性质，利用SAS证明△BDC≌△BFE，最后证得EF=CD.
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